x π 1 i n Το παραμετρικό μοντέλο πιθανότητας (η

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x π 1 i n Το παραμετρικό μοντέλο πιθανότητας (η"

Transcript

1 Η Στατιστική συμπερασματολογία (statstcal ferece είναι η επιστήμη που σκοπό έχει την εξαγωγή συμπερασμάτων για τις παραμέτρους ενός πληθυσμού, δηλαδή την εκτίμηση των παραμέτρων του, μελετώντας δείγμα (ή δείγματα από τον πληθυσμό (,, d paraeters (,, Οι άγνωστοι παράμετροι του πληθυσμού (odel Τα δεδομένα (data, παρατηρήσεις από τον πληθυσμό. π Το παραμετρικό μοντέλο πιθανότητας (η ~ ( δειγματοληπτική κατανομή saplg dstrbuto που καθορίζει για δοθείσα τιμή του πώς κατανέμονται οι πιθανότητες ενδεχομένων της μορφής { X A } δηλαδή { } π ( Συμβολισμός. P X A u du A Ο συμβολισμός που θα ακολουθήσουμε εξαρτάται από τα συμφραζόμενα (cotet sestve. Τον χρησιμοποιούμε γιατί οι μαθηματικές εκφράσεις που χρησιμοποιούμε γρήγορα γίνονται αρκετά πολύπλοκες και είναι δύσκολο να τις χειριστούμε με τον συνήθη συμβολισμό. Με π ( συμβολίζουμε την δεσμευμένη πυκνότητα fx ( δεσμευμένη μάζα πιθανότητας P{ X }. Το κεφαλαίο ( χρησιμοποιούμε για μέτρα πιθανότητας, για παράδειγμα ( π ( ( X είτε την Π το Π d d f d ενώ για το δεσμευμένο μέτρο πιθανότητας γράφουμε ( π ( ( Π d d f d. Το π ( y θα θεωρείτε γενικά «διαφορετικό» από το π ( π ( y X, δηλαδή το εκφράζει το νόμο πιθανότητας που ακολουθεί η τυχαία μεταβλητή Y ενώ το π ( τον νόμο που ακολουθεί η X. Το ( d Ω θα συμβολίζει τον χώρο καταστάσεων της τ.μ. : Ω (state space είτε το στήριγμα (support, του επαγόμενου μέτρου P (. Για παράδειγμα ( ( ω ( ωω ω ( P Ω P d P (, + d ] P (, + d ] ω ω ( Ω Ω Ω Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

2 ( ( ( ( ( ( ( P d P d f d d Ω Ω Ω π, ισοδύναμα για κάθε P μετρήσιμο υποσύνολο A του Ω ( ( ω (( ωω, + ω] ( (, + ] P A P d P d P d ω ω ( A A A ( ( ( ( ( ( ( ( P d P d f d d A A A A π. Σημειώστε ότι P ( d είναι απλά ένας τρόπος να συμβολίσουμε τη πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να ανήκει στο απειροστό διάστημα (, d] +. Εάν το μέτρο πιθανότητας ( προς το μέτρο Lebesgue έχουμε: P είναι απολύτως συνεχές ως ( { } { : ( } ( P d P < + d P ω Ω < ω + d π d. Κλασσική εκτίμηση: [ ],, συμπερασματολογία Υποθέτουμε ότι η παράμετρος του πληθυσμού είναι μια σταθερά, όπου ο παραμετρικός χώρος. Η αρχή της πιθανοφάνειας μας λέει ότι: Όλη η πληροφορία που μεταφέρεται από τα δεδομένα για την άγνωστη παράμετρο συγκεντρώνεται στην συνάρτηση πιθανοφάνειας (lkelhood L ; π. fucto ( ( Εάν και y είναι δύο διαφορετικές πραγματοποιήσεις του τυχαίου δείγματος, του ιδίου μεγέθους κάτω από δύο διαφορετικούς πειραματικούς σχεδιασμούς D και D, και έχουμε πd ( cπ ( D y με c cy (, τότε θα καταλήξουμε στην ίδια εκτίμηση για το είτε έχουμε παρατηρήσει είτε y. Οι τιμές του που δίνουν μεγαλύτερη πιθανότητα στο που παρατηρήθηκε είναι πιο πιθανές από εκείνες που δίνουν στο μικρότερη πιθανότητα. Ο Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

3 εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας ΕΜΠ μεγιστοποιεί την συνάρτηση πιθανοφάνειας. είναι λοιπόν η τιμή ˆMLE του που Έτσι εάν d θα έχουμε: ( ˆ MLE ( π sup π, ˆ MLE αν και μόνον εάν: log 0, δηλαδή το διάνυσμα των μερικών παραγώγων είναι. π ( ˆ MLE μηδέν για. ˆMLE. Ο πίνακας των δευτέρων παραγώγων log π ( Hes ( ˆ MLE ˆ MLE ˆMLE είναι αρνητικά ορισμένος (egatve defte, δηλαδή < 3 d z \{( 0,,0 } T ( ( MLE Q z z Hes ˆ z 0 για. για όπου ( log π ( η αντίστοιχη score fucto του ( π. Παράδειγμα έλουμε να εκτιμήσουμε την πιθανότητα επιτυχίας σε ανεξάρτητες δοκιμές Beroull. Σχεδιάζουμε δύο πειράματα:. Desg : α πραγματοποιηθούν ακριβώς δοκιμές.. Desg : Οι δοκιμές θα συνεχίζονται έως ότου ένας προκαθορισμένος αριθμός από επιτυχίες πραγματοποιηθεί. Στη πρώτη περίπτωση η παρατήρηση { X } ~ B, έρχεται από την διωνυμική ( 0,,. ( με π ( ( { } Mau Lkelhood Estator ˆMLE Ο Hessa πίνακας. 3 Η τετραγωνική μορφή Q( z είναι κοίλη (cocave με ολικό au το ( 0,,0 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0 3 z.

4 Στη δεύτερη περίπτωση η παρατήρηση { Y y} y ~ NB, y ( με π ( y ( ( y y Για τις παρατηρήσεις { X } και { Y } έρχεται από την αρνητική διωνυμική. (τότε το δείγμα είναι του ιδίου μεγέθους οι πιθανοφάνειες είναι ανάλογες η μία της άλλης και θα πρέπει να καταλήξουμε στην ίδια εκτίμηση για το. Πράγματι B ( ; ( (, ( π ( L X B NB Desg ( ; π ( (, ( ( L Y NB Desg Και από τις δύο πιθανοφάνειες προκύπτει ότι ˆ /. Για παράδειγμα: { X } 3 { ο αριθμός των επιτυχιών, σε ανεξάρτητες δοκιμές Beroull με πιθανότητα επιτυχίας, είναι 3}. { Y } { ο αριθμός των δοκιμών Beroull με πιθανότητα επιτυχίας, έως ότου παρατηρήσουμε 3 επιτυχίες, είναι }. MLE. 3 Τότε π ( 3 ( D και π ( y ( D 9 και από τις δύο πιθανοφάνειες ˆ MLE 0.5. ΕΜΠ για δεδομένα από την κατανομή Epoetal: Έστω τυχαίο δείγμα μεγέθους από την εκθετική κατανομή με μέση τιμή / δηλαδή Ep d ~ ( με Ep ( e ( 0 Παραμετρικός χώρος: ( 0,. ( ( ( > για, π π Ep e e, ( /. Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0 4

5 όπου. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση πιθανοφάνειας δίνει log π ( { log ( } 0 ˆ /. MLE και ότι log π ( υπολογισμένη για είναι ( < 0 ˆMLE Έτσι στο η συνάρτηση log ( ˆMLE π (άρα και η π ( παρουσιάζει μέγιστο. ΕΜΠ για δεδομένα από την κατανομή Gaa: Έστω τυχαίο δείγμα μεγέθους από την gaa κατανομή με μέση τιμή a /, όπου το a είναι γνωστό, δηλαδή d ~ Ga ( a, για [ ] a/ Παραμετρικός χώρος: ( 0,. π π a e a a, Γ ( ( Ga ( ( a Γ a a a e e log π ( a log ( a log π ( 0 ˆ MLE a /, ( a και log π ( a υπολογισμένη για είναι ˆMLE ( 0 <. a ΕΜΠ για δεδομένα από την κατανομή Posso: Έστω τυχαίο δείγμα μεγέθους από την κατανομή Posso με μέση τιμή > 0, δηλαδή d ~ Po( για. 5 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

6 [ ] Παραμετρικός χώρος: ( 0,. e π π e! ( ( Po( {!} { } log π + log log! + 0 ( ( ( από όπου ˆMLE, ενώ log π ( υπολογισμένη για ˆMLE είναι < 0, και εφόσον 0 και όλα τα δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν. Οι παρατηρήσεις δεν μπορεί να είναι όλες μηδέν, διότι σε αυτή την περίπτωση θα είχαμε π (, που είναι φθίνουσα συνάρτηση ως προς, με e αποτέλεσμα το sup του π ( για > 0 να είναι το 0 που δεν ανήκει στον παραμετρικό χώρο ( Ω ( 0, όλα τα δεν είναι ταυτόχρονα 0.. Έτσι το είναι το MLE μόνο στην περίπτωση που ΕΜΠ για δεδομένα από την κατανομή Beroull: Έστω τυχαίο δείγμα μεγέθους από την κατανομή Beroull δηλαδή d ~ Beroull ( B(, για. Παραμετρικός χώρος: ( 0,. ( ( ( ( B, ( π π Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0 6 ( ( ( log π ( { log ( + ( log ( } από όπου ˆMLE. Επειδή ο παραμετρικός χώρος δεν περιέχει το 0 και το (είναι 0,

7 ( log π ( ( αντικαθιστώντας παίρνουμε 0 < εάν και μόνον εάν οι παρατηρήσεις μας δεν είναι όλες ίδιες. Δηλαδή στην περίπτωση που 0 για όλα τα, είτε για όλα τα ο ΕΜΠ δεν ορίζεται. Σημειώστε ότι: d ~ B( Εφόσον y, το προηγούμενο πρόβλημα εύρεσης ΕΜΠ είναι ισοδύναμο με την εύρεση του ΕΜΠ για διωνυμικό μοντέλο με άγνωστο δοθείσας μιας μόνο διωνυμικής παρατήρησης y. Πράγματι y y ( y ( y π log π ( y log + ylog ( + ( y log ( y y y y y, από όπου ˆMLE. ( Αντικαθιστώντας y στην έκφραση log π ( y y y (, παίρνουμε < 0, όταν y 0,. y y ΕΜΠ για δεδομένα από την Noral κατανομή, με άγνωστες και τις δύο παραμέτρους: Έστω τυχαίο δείγμα μεγέθους από την κανονική κατανομή με μέσο µ και διασπορά σ δηλαδή d ~ N ( για και ( µσ, η άγνωστη παράμετρος. Παραμετρικός χώρος: ( µσ, (, ( 0,. Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0 7

8 ( ( N (, ( πσ ep ( µ π π µσ log π ( log ( π log ( σ ( µ +. Εάν ζητήσουμε σ σ και / + log π ( ( µσ, (, ( ( 0,0, µ µ µσ, σ σ ( σ παίρνουμε ˆMLE µ και ˆ σ ( MLE. Ο Hessa πίνακας Hes ( µσ, ( log π ( µσ, Hes ( µσ, µσ, είναι: ( µ σ ( σ ( µ 3 ( µ ( σ ( σ ( σ αντικαθιστώντας µ ˆ µ, σ ˆ σ παίρνουμε MLE MLE 0 ˆ σ ˆ MLE H Hes ( ˆ µ, ˆ MLE σ MLE 0 ( ˆ σ MLE Εάν z ( y, βλέπουμε ότι: y < {( }, ˆ T 0, z \ 0,0 ˆ σ MLE zhz ( ˆ σ MLE που σημαίνει ότι ο πίνακας Ĥ είναι αρνητικά ορισμένος. Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0 8

9 ΕΜΠ για δεδομένα από την Noral κατανομή, με άγνωστες και τις δύο παραμέτρους παραμετροποίηση με precso: Έστω τυχαίο δείγμα μεγέθους από την κανονική κατανομή με μέσο µ και ακρίβεια (precso τ / σ d ( N ( ~ µτ, µτ, για, τ τ ( ( / τ π ep ep ( ( µ τ S + µ τ log π ( log ( τ ( S + ( µ, S ( Ζητάμε log π ( τ ( µ 0 µ µ S log π ( ( S + ( µ 0 τ τ τ S τ S ( Ucorrected saple varace. ( Corrected saple varace. Ο Hessa πίνακας Hes ( µτ, ( log π ( µτ, μετά από πράξεις είναι µτ, Hes ( µσ, ( τ µ ( Hˆ ( µ 4 S 0 ( τ 0 S, που προφανώς είναι αρνητικά ορισμένος. Άσκηση Δείξτε ότι το ucorrected saple varace ( είναι μεροληπτικός (based εκτιμητής της διασποράς ενώ το corrected saple varace ( ( είναι αμερόληπτος (ubased εκτιμητής της διασποράς. Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0 9

10 Για το ucorrected saple varace έχουμε: ( ( ( σ µ + µ σ. ( σ µ σ < σ Για το corrected saple varace έχουμε: ( ( σ σ ( σ ( µ σ ( µ σ ( µ σ σ ( µ σ + Cov(, σ σ < Έτσι παίρνουμε σ ( σ σ σ. Παράδειγμα 00( a % διάστημα εμπιστοσύνης 4 Για και τυχαίο δείγμα ( S S ( και S+ S+ ( διάστημα I [ S, S+ ] { X } και ονομάζεται το 00( a,, ορίζουμε στατιστικές συναρτήσεις τέτοιες ώστε για 0 a < <, { } P S S a. Το + είναι τυχαίο εφόσον εξαρτάται από την πραγματοποίηση % διάστημα εμπιστοσύνης με επίπεδο εμπιστοσύνης a, επίπεδο σημαντικότητας a, κάτω όριο S και πάνω όριο S +. Από το Κεντρικό Οριακό εώρημα έχουμε ότι πρακτικά για 30 : 4 Cofdece Iterval 0 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

11 Z ( ( Var d N ( 0,, όπου, [ ] µ και Var [ ] σ. Ορίζουμε / 0 a z > τέτοιο ώστε { } P Z za/ a/ P Z z a,, ή ισοδύναμα { } που δίνει P{ S µ S } a με S± S± ( z a / + άγνωστο χρησιμοποιούμε την προσέγγιση σ ±. Εάν και το σ σˆ MLE. a/ σ είναι Η [ µ ] συμπερασματολογία έχει μακροχρόνια (frequetst ερμηνεία κατά την έννοια του ότι για πολύ μεγάλο αριθμό δειγμάτων (δηλαδή για πολύ μεγάλο αριθμό πραγματοποιήσεων της διανυσματικής τ.μ. (,, η σταθερά µ (η πραγματική μέση τιμή του πληθυσμού θα ανήκει περίπου, στο 00( a % των αντίστοιχων πραγματοποιήσεων του τυχαίου διαστήματος I( X S ( X, S ( X +. Εκτίμηση κατά Bayes ή [ ],, - συμπερασματολογία. Εδώ η άγνωστη παράμετρος τυχαιοποιήται δηλαδή θέτουμε ( (,, ~,, d π. εωρούμε ότι η παράμετρος είναι στοχαστική ποσότητα με από κοινού συνάρτηση πιθανότητας π (. Η κατανομή π ( είναι το εκ των προτέρων (apror στοχαστικό μοντέλο για το, προτού συλλέξουμε τα δεδομένα (,,. εωρούμε ότι συγκεντρώνει όλη την προηγούμενη γνώση μας (αρχική μας πίστη για την άγνωστη παράμετρο. Από εδώ και στο εξής θα αναφερόμαστε στην από κοινού συνάρτηση πιθανότητας (διακριτή ή συνεχή π ( π(,, d σαν την pror κατανομή. Όταν κάνουμε εκτίμηση παραμέτρων τις περισσότερες φορές έχουμε κάποια εκ των προτέρων γνώση για το τι τιμές μπορεί να παίρνει η άγνωστη παράμετρος. Με την κατανομή π ( συνδέουμε τις γνώμες και την εμπειρία των ειδικών (elctato processes είτε (ή και την εμπειρία που υπάρχει από προηγούμενα πειράματα (ιστορικά δεδομένα με την μορφή μαθηματικά συνεπών προτάσεων. Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

12 Ο κανόνας του Bayes. Γίνεται έτσι δυνατόν η εκτίμηση μας να βασίζεται στο συνδυασμό a-pror γνώσης και δεδομένων, χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Bayes. Η εκτίμηση παρουσιάζεται μέσο της a-posteror (εκ των υστέρων κατανομής π ( ή απλά posteror. ( ( ( ( π ( π, π π π (, π όπου π ( είναι η μίξη της πιθανοφάνειας π ( ως προς το pror μέτρο Π ( d (το μέτρο της μίξης: ( ( Π ( ( (. π π d π π d Η κατανομή π (, είναι η κατανομή των παρατηρήσεων, σύμφωνα με το μοντέλο π (, ή αλλιώς η εκ των προτέρων κατανομή πρόβλεψης (από εδώ και στο εξής pror predctve Η π ( λοιπόν, προβλέπει την κατανομή των παρατηρήσεων σύμφωνα με το μοντέλο πιθανότητας που διαλέξαμε για pror του. Η pror predctve κατανομή είναι χρήσιμη όταν θέλουμε να επιβεβαιώσουμε την συμβατότητα του παρατηρούμενου δείγματος με το μοντέλο μας για pror,, π. χρησιμοποιώντας δείγματα { } που προέρχονται από την ( Ένας άλλος χαρακτηρισμός της π ( είναι σαν η σταθερά κανονικοποίησης του πυρήνα (kerel της posteror. Πράγματι ( (, ( ( π π π π, που σημαίνει ότι υπάρχει C C( > 0 τέτοιο ώστε π ( C π ( π ( όπου ( ( ( ( ( π d C π π d C π π d ή ότι, από Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

13 ( π ( ( ( ( ( ( ( π π π π. π π π d Μετά την παρατήρηση του (,, κατανομή του [ ] να βρούμε και τον νόμο πιθανότητας [ ] μπορούμε εφόσον γνωρίζουμε την, δηλαδή την εκ των υστέρων κατανομή πρόγνωσης (posteror predctve, όπου νέα παρατήρηση που έπεται της παρατήρησης του. Σύμφωνα με τα προηγούμενα η κατανομή [ ] είναι μίξη της πιθανοφάνειας, για την νέα παρατήρηση, με μέτρο μίξης το posteror μέτρο Π ( ( d π d ( (, (, (. π π d π π d θα Κάτω από την προϋπόθεση ότι οι παρατηρήσεις είναι ανεξάρτητες δοθέντος του (codtoally depedet gve δηλαδή ότι βρίσκεται σε ισχύ το παραμετρικό μοντέλο ( d π,, ~ είναι λογικό να υποθέσουμε ότι και για την επόμενη παρατήρηση ισχύει ότι d ~ π ( + με που δίνει + (, ( ( ( (, ( ( π π π π π π π, από όπου π (, π ( και τελικά ( ( ( d ( Π ( d. π π π π Δηλαδή η ( π ( ως προς το a-posteror μέτρο πιθανότητας ( d π μπορεί να εκφραστεί ως η μέση τιμή των codtoal predctos Π. Λέμε ότι οι παρατηρήσεις είναι απείρως ανταλλάξιμες όταν: ( ( ( ( (,,, ~,,,,, ρ ρ ρ 3 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

14 για κάθε μετάθεση ρ Per ( πάνω στο σύνολο {,,, }. Για παράδειγμα εάν το ρ είναι η κυκλική μετάθεση ρ ( 3 της ανταλλαξιμότητας δίνει ( (,,,, ~, 3,,,,. τότε η υπόθεση Εάν ισχύει η υπόθεση της υπό συνθήκη ανεξαρτησίας τότε οι παρατηρήσεις είναι και ανταλλάξιμες, πράγματι (,,, (,,,, (,,, ( π π d π π d π ( π ( d Μεταθέτοντας τους παράγοντες του γινομένου σύμφωνα με την μετάθεση ρ η προηγούμενη σχέση μας δίνει ( ( ( ρ ( ( ρ( ρ( ρ( ( π,,, π π d π,,, π d ( (, (,, (, d (, (,, ρ ρ ρ ρ ρ ρ( ( π π. Όμως και το αντίστροφο είναι αληθές (De Fett s Theore. Οι απείρως ανταλλάξιμες παρατηρήσεις είναι και υπό συνθήκη ανεξάρτητες. Δηλαδή εάν,,, ανταλλάξιμες για κάθε υπάρχει τ.μ. 5 έτσι ώστε οι υπό [ ],[ ],, [ ] συνθήκη τ.μ. να είναι ανεξάρτητες για κάθε. Άσκηση Δείξτε ότι κάτω από την υπόθεση της υπό συνθήκη ανεξαρτησίας και [,,,, ] ~ (,, (,,, Per(. + ρ ρ + ρ > ισχύει: 5 Latet rado varable. 4 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

15 Αρκεί να δείξουμε ότι π (,,,, π ( π (,, d + + Πράγματι π (,,, π ( π( d + ( ( ( π π π d π ( π (,,, π( d, + έτσι π (,,,,, + π π (,, (,, (,,, π( π (,, π π ( d + π ( π (,, d. + H βασική αντίρρηση για την κατά Bayes συμπερασματολογία είναι η «υποκειμενικότητα» (subectvty της π ( που προκαλεί η εξάρτηση της posteror από την pror π (. Αυτή η εξάρτηση όμως δεν είναι τίποτε άλλο από την μαθηματική τυποποίηση και ενσωμάτωση της a-pror πληροφορίας στο στοχαστικό μας μοντέλο. Αυτό που γίνεται ανοιχτά στην Bayesa στατιστική μπορεί να γίνεται πολλές φορές εν κρυπτό στην κλασική στατιστική. Για παράδειγμα d Η επιλογή του κατάλληλου μοντέλου πιθανοφάνειας ~ π ( μπορεί να χαρακτηριστεί υποκειμενική. 5 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0 σαφώς Οι εκ των προτέρων πεποιθήσεις μας μπορούν να επηρεάσουν το επίπεδο σημαντικότητας a σε έναν κλασικό έλεγχο υποθέσεων.

16 Διαδοχική ανάλυση Έστω ότι έχουμε υπολογίσει την posteror π (,, για παρατηρήσεις (,, που αντιστοιχεί στην pror ( νέες παρατηρήσεις ( (,,,,, + π. Εάν στην συνέχεια προκύψουν και άλλες,, τότε για τον υπολογισμό της νέας posteror π +, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την γνώση της προηγούμενης posteror ( π. Ισχύει ότι,, (,,,,, (,, (,, π π π, + + δηλαδή η κατανομή ( π ( + π μπορεί να θεωρηθεί σαν η νέα pror και η,,,, σαν η νέα πιθανοφάνεια. Πράγματι (,,,,, π + (,(,,,( +,, (,,,(,, π π ( + (,, (,, ( +,,,(,, π ((,,,( +,, π π π κάτω από την προϋπόθεση της υπό συνθήκη ανεξαρτησίας οι τ.μ.,, + δοθέντος του είναι ανεξάρτητες των,, και έτσι ( +,,,(,, ( +,, π π ενώ π (,,, +,, π (,, έτσι παίρνουμε τελικά π (,,,, + 6 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

17 (,,,,, π + (,, ( +,, π (,,,, π π + (,, (,, π π. + Παρατηρούμε ότι στην προηγούμενη σχέση ο παρανομαστής είναι και πάλι το ολοκλήρωμα του αριθμητή ως προς (,,,, (,,,,, π π d + + (,, (,, d (,, ( d,, π π π Π, από όπου + + (,,,,, π + (,, ( +,, (,, (,, π π. π π d + Άσκηση: Δείξτε ότι για να προσθέσουμε μια νέα παρατήρηση + στην posteror κατανομή του [ ] π ( και σαν πιθανοφάνεια την π (,,,, αρκεί να θεωρήσουμε σαν pror κατανομή την +. Παράδειγμα Η αιμοφιλία είναι μια αρρώστια συνδεδεμένη με X χρωμοσωματικά υπολειπόμενη κληρονομικότητα ( X Chroosoe Lked Recessve Ihertace Άνδρας: Έχει από ένα X και Y χρωμόσωμα, τύπος: ( XY,. Γυναίκα: Έχει δύο X χρωμοσώματα, τύπος: ( X, X. Ο άνδρας είναι που καθορίζει το φύλο του παιδιού διότι δίνει X ή Y χρωμόσωμα ενώ η γυναίκα μπορεί να δώσει μόνο X. 7 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

18 Το αιμοφιλικά μεταλλαγμένο χρωμόσωμα 6, έχει μορφή X * με αποτέλεσμα μόνο η γυναίκα να μπορεί να γίνει αιμοφιλικός φορέας Αιμοφιλικός άνδρας ( X *, Y Αιμοφιλική γυναίκα ( X *, X * Φορέας αιμοφιλίας ( X *, X Το αποτέλεσμα είναι ότι ένας υγιείς άντρας και μια γυναίκα φορέας δίνουν ισοπίθανα { } * * * παιδιά τύπου: ( X, Y ( X, X ( X, X,( X, X,( Y, X,( Y, X Έστω γυναίκα που ξέρουμε ότι η μητέρα της ήταν φορέας. Η άγνωστη παράμετρος είναι η κατάσταση που βρίσκεται η γυναίκα αν δηλαδή είναι φορέας * (, ( X, X ( ή όχι 0, ( X, X γιων της. Για παράδειγμα η παρατήρηση { } * (, Y X, ενώ { 0} ότι δεν νοσεί (, Να βρεθούν:. Η pror predctve (, π.. Η posteror ( 0, 0 π.. Οι παρατηρήσεις μας είναι η κατάσταση των Y X. 3. Η posteror predctve ( 0, 0 ( 0, 0, 0 π. 3 3 σημαίνει ότι ο γιός της νοσεί π και η posteror Η a-pror κατανομή της πληροφορίας πριν δούμε οποιαδήποτε παρατήρηση είναι: 0 ~ π ( 0 π ( Η pror predctve για δύο παρατηρήσεις είναι: ( 0, 0 ( 0 ( 0, ( ( 0, 0 π π π π π 6 που περιέχει το αιμοφιλικό γονίδιο 8 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

19 ( 0 ( 0 0 ( 0 0 ( ( 0 ( 0 π π π + π π π ( 0.5( ( + ( 0.5( 0.5( Εύκολα υπολογίζουμε ότι π (, 0.5 και ( έχουμε π (, την ανταλλαξιμότητα των και π 0, 0.5 ενώ από Για παρατήρηση y { 0, 0}. π π y π ( 0, 0 π y ( 0.5( 0.5( 0.5 ( 0.5( ( + ( 0.5( 0.5( Έτσι η a-posteror κατανομή [ 0, 0] ( ( π ( π ( y ( π ( 0 π ( y 0 + π ( π ( y γίνεται: 0 [ ] 0, 0 ~ θέτουμε y { 0, 0}, y { 3 0} και π ( π (, ( y( π ( y y y y y έχουμε ( ( π ( y y π y π y π y π y π ( yy, π y ( y y Για την posteror predctve ( 0, 0 π έχουμε 3 ( 0 0, 0 ( 0, 0 0, 0 + ( 0, 0, 0 π π π ( 0 0, 0 ( 0 0, 0, 0 π π 3 ( 0, 0 ( 0 0, 0, + π π 3 ( 0 0, 0 ( 0 0 π π 3 9 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

20 ( 0, 0 ( 0 + π π 3 ( 0.80( + ( 0.0( έτσι ( 0.0( , 0 ~ [ ] 3 0 π ( yy, 0. [ yy, ] ~ Σημειώστε ότι: [ ],[ ],, [ ]. Ενώ οι τ.μ. είναι ανεξάρτητες, οι τ.μ.,,, δεν είναι. Πράγματι π ( 0,, 0 π ( 0 π ( 0 για > π 0,, 0 π 0 π 0 0 π π 0 ( ( ( + ( ( ( ( , + π ( 0 { π ( 0 π ( π ( π ( 0 } {( ( } , >. +. Έχουμε ότι π ( ( 0,, 0, 0 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0 0,, 0,,. Πράγματι: ( ( 0,, 0, π ( 0,, 0, π π π π ( π ( 0,, 0, ( ( 0,, 0, + ( 0 ( 0,, 0, 0 π π π π επειδή ( ( ( π 0,, 0, 0 π 0 0 π 0 0,

21 παίρνουμε π ( 0,, 0,. Άσκηση Εάν y { 0, 0} βρείτε την posteror [ yy,, y ] 4 5. Το μέτρο Drac Ορίζουμε το μέτρο Drac συγκεντρωμένο στο σαν Π ( d δ ( d με την 0 ιδιότητα Π ( A δ ( A δ ( d ( A Παράδειγμα A A A για κάθε A ( B. ( Διακριτή pror και συνεχής πιθανοφάνεια: Μας δίνεται το δείγμα,, d από Εκθετικές παρατηρήσεις ~ Ep ( για και διακριτή pror ~ p,0 (,, π p,0 p,0 p,0 p.,0 Να βρεθούν:. Η πιθανοφάνεια L(.. Η pror predctve π (, επίσης δείξτε ότι το ( κατανομή, για κάθε. p,,. 3. Η posteror π (,,, έχει ανταλλάξιμη 4. Η posteror predctve για μια νέα παρατήρηση y + με y ~ Ep (.. Για την πιθανοφάνεια έχουμε: ( (,, π π ( L ( Ep e e. Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

22 . H pror predctve είναι η μίξη της πιθανοφάνειας ως προς το pror μέτρο { p,0} (,, (,,, π π ( (,, π π p,0 e, ( Που είναι μίξη των πυκνοτήτων (,, ep ( g e + + στήριγμα το π +. Επίσης με (,, h ( h ( h ( ( π ( (,, ρ ρ ρ(. 3. Για την posteror θα έχουμε ( ( π L p e p,,,0, π ( π k ( p k k,0 k e ή ισοδύναμα p, p,0 e,. 4. H posteror predctve είναι η μίξη της πιθανοφάνειας για την νέα παρατήρηση y + ως προς το posteror μέτρο ( y,, ( y,,, π π (,, ( y,,, π π (,, ( y π π, ( p Ep y, όπου p,0 e, k p k k,0 k e p,. Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

23 H pror predctve για μια παρατήρηση είναι μίξη των εκθετικών { } πυκνοτήτων Ep ( προς το pror μέτρο { p,0} ( (, ( ( p,0 Ep (,. π π π π H pror predctve για δύο παρατηρήσεις και y είναι μια δισδιάστατη κατανομή με στήριγμα το + ( y, ( y,, ( ( y, π π π π l l l l l ( ( ( l p,0 y l Ep l Ep y l l p l l,0 l e + Η posteror predctve για μια νέα παρατήρηση y + είναι μίξη των { } εκθετικών πυκνοτήτων Ep ( με μέτρο μίξης { p, }. Άσκηση ( ( ( l + y p l,0 l e, y, π y, l + Να δειχθεί ότι η συνάρτηση με p l,0, l 0, αλλου είναι πυκνότητα. Παράδειγμα Σε ένα δοχείο υπάρχουν επανατοποθέτηση, δείγμα N σφαιρίδια. Έστω { } σφαιρίδια. Με τυχαίο τρόπο λαμβάνουμε, χωρίς 3 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0 D b μεγέθους, που περιέχει πλήθος b από μαύρα N p0 p,0 η αρχική μας πίστη για την κατανομή του πλήθους των 0 μαύρων σφαιριδίων στο δοχείο. Δηλαδή p,0 είναι η πιθανότητα το δοχείο να περιέχει μαύρα σφαιρίδια, πριν παρατηρήσουμε το δείγμα. Να βρεθούν οι posteror πιθανότητες p { p } δείγματος D b. N, D b. μετά την παρατήρηση του. Εάν όλο το δείγμα αποτελείται από μαύρα σφαιρίδια ποία η πιθανότητα μέσα στο δοχείο να μην έχει μείνει κανένα μαύρο σφαιρίδιο;

24 3. Να γίνει εφαρμογή για N 6 και 3 με τους εξής τρόπους: π 7 για 0 6 όπου ο αριθμός των μαύρων σφαιριδίων στο δοχείο πριν την δειγματοληψία. Χρησιμοποιώντας σαν pror την διακριτή ομοιόμορφη κατανομή ( Χρησιμοποιώντας την συμμετρική pror π ( 0 π ( 6 0 π ( π ( 5 /6, π ( π ( 4 3 /6, ( ( ( b ( b ( ( b N ( b, π π D π π D π ( D b π D π D ( ( b ( ( b 0 ( ( ( ( π π D π Hg b N,, N N π π D π Hg b N,, b b, π 3 8 /6. N N Όπου Hg ( b N,, η υπεργεωμετρική μάζα πιθανότητας, που b b δίνει την πιθανότητα ύπαρξης b μαύρων σφαιριδίων σε δείγμα μεγέθους, που έχει ληφθεί τυχαία χωρίς επανατοποθέτηση, από πληθυσμό N σφαιριδίων που έχει μαύρα σφαιρίδια. p, N N N N p p,0 b,0 b N N N p,0 p,0 b b b b N b b b b Το ενδεχόμενο μετά την δειγματοληψία μέσα στο δοχείο να μην έχει μείνει κανένα μαύρο σφαιρίδιο δοθέντος ότι όλο το δείγμα αποτελείται μόνο από μαύρα σφαιρίδια, D και έχει πιθανότητα: είναι { } N p,0 p,0 π ( D N N N p,0 p,0 4 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

25 Οι πιθανότητες π ( p,,0 0 N συνοψίζουν την αρχική γνώση για τον αριθμό των μαύρων σφαιριδίων στο δοχείο πριν την πραγματοποίηση του δηλαδή πριν την δειγματοληψία. D b, Η απουσία a-pror πληροφόρησης είναι ισοδύναμη με το να θέσουμε ~ D ( N + (Dscrete ufor και π ( ( N. Οι πιθανότητες N + p π ( Db και ( D, π γίνονται τότε: p, N N N + b b b b π ( D b, N N N N b b N + b b b b ( N N π D + N N + Όταν N 6 και 3 3 έχουμε ( D3 π Αλλάζοντας την pror σε π ( 0 π ( 6 0, π ( π ( ( π ( 4 3 /6, ( π. 5 /6, 3 π 3 8 /6, παίρνουμε π ( 3 D Άσκηση Για κάθε μία από τις παρακάτω κατανομές, γράψτε την συνάρτηση κατανομής και τον αντίστοιχο απλούστερο πυρήνα (al kerel ~ Po ( ( ββ β, ~ Be, ( + + αβ,, y ~ Ga α y, β 3 y 5 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

26 ϕ µ, τ, ~ N µτ + ( τ, τ Άσκηση Για κάθε έναν από τους παρακάτω πυρήνες, αναγνωρίστε την συνάρτηση κατανομής. π (, 0,, και < <.!. ( ( π,,, και 0< <. 3. ( (! ( (! π,, +, και 0< <. 4. ( λ π e, > 0, λ > ( ( π, < <, <. a / 6. ( b π ab, e, > 0, a> 0, b> π ( (, 0 < <, >. p q 8. ( ( π pq,, 0 < <, p> 0, q> π ( ( e, < <. π, ϕ ep + ϕ +, ϕ > 0. ϕ 0. ( ( Άσκηση Να υπολογιστούν οι παρακάτω σειρές και αθροίσματα με την χρήση πυρήνων γνωστών κατανομών. 0! όταν < <. 6 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

27 όταν < <.! p q ( d όταν p 0, q > >. b ( 3( ( ( b + b + b + d όταν b >. 7 Σ. Ι. Χατζησπύρος Σημειώσεις Bayesa Statstcs 0

Εδώ θα θέσουμε τα θεμέλια της εκτίμησης κατά Bayes αρχίζοντας με τα μονοπαραμετρικά μοντέλα δηλαδή όταν ϑ : Ω Θ.

Εδώ θα θέσουμε τα θεμέλια της εκτίμησης κατά Bayes αρχίζοντας με τα μονοπαραμετρικά μοντέλα δηλαδή όταν ϑ : Ω Θ. Μονοπαραμετρικά Μοντέλα Εδώ θα θέσουμε τα θεμέλια της εκτίμησης κατά Bayes αρχίζοντας με τα μονοπαραμετρικά μοντέλα δηλαδή όταν : Ω Θ Εκτίμηση πιθανότητας από boal data Έστω δεδομένα που δίδονται με την

Διαβάστε περισσότερα

Εδώ θα θέσουμε τα θεμέλια της εκτίμησης κατά Bayes αρχίζοντας με τα μονοπαραμετρικά μοντέλα δηλαδή όταν ϑ : Ω Θ.

Εδώ θα θέσουμε τα θεμέλια της εκτίμησης κατά Bayes αρχίζοντας με τα μονοπαραμετρικά μοντέλα δηλαδή όταν ϑ : Ω Θ. Μονοπαραμετρικά Μοντέλα Εδώ θα θέσουμε τα θεμέλια της εκτίμησης κατά Bayes αρχίζοντας με τα μονοπαραμετρικά μοντέλα δηλαδή όταν : Ω Θ Εκτίμηση πιθανότητας από boal data Έστω δεδομένα που δίδονται με την

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { } Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { }

Ορισμός : Η συνάρτηση X : Ω είναι μετρήσιμη εάν 1. της τυχαίας μεταβλητής X : Ω, είναι το πεδίο τιμών της X. Δηλαδή είναι το υποσύνολο του { } Ορισμός : Η συνάρτηση : Ω είναι μετρήσιμη εάν B B B B = ω Ω : ω B = B { όπου { { Μία μετρήσιμη συνάρτηση : Ω ονομάζεται τυχαία μεταβλητή Ορισμός: Ο χώρος καταστάσεων της τυχαίας μεταβλητής : Ω είναι το

Διαβάστε περισσότερα

Normal μοντέλο με γνωστή διασπορά, και άγνωστο μέσο

Normal μοντέλο με γνωστή διασπορά, και άγνωστο μέσο Normal μοντέλο με γνωστή διασπορά, και άγνωστο μέσο Εδώ έχουμε να εκτιμήσουμε τη locato παράμετρο του ormal μοντέλου για γνωστό precso τ σ π x ϑ = N x ϑτ, Θα δείξουμε = δηλαδή η κατανομή δειγματοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

conditional posterior distributions είναι standard δηλαδή ξέρουμε να κάνουμε δειγματοληψία από τις κατανομές π ( µτ,x) (, x) (, x) ( )

conditional posterior distributions είναι standard δηλαδή ξέρουμε να κάνουμε δειγματοληψία από τις κατανομές π ( µτ,x) (, x) (, x) ( ) Δειγματοληψία από την posteror π ( τ, x - Gbbs saplg Υποθέτουμε ότι η posteror έχει μορφή π ( τ, x π ( τ x π ( x και τα δύο full codtoal posteror dstrbutos είναι stadard δηλαδή ξέρουμε να κάνουμε δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος Εισαγωγή Αριθμητικά δεδομένα αντιστοιχούν σε πραγματοποιήσεις τυχαίων

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 11. β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη παράμετρο λ 0.

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ 11. β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη παράμετρο λ 0. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Άσκηση Έστω X, X,..., X d τυχαίες μεταβλητές με ~ Posso ( ), Να εξάγετε α) τη συνάστηση πιθανοφάνειας στις 3 μορφές τις και β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη παράμετρο

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής 008, σελ 9-98 ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Γεώργιος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΑΓΓΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 7 ΚΑΙ 8

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 7 ΚΑΙ 8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 7 ΚΑΙ 8 Άσκηση Έστω X, X,..., X d τυχαίες μεταβλητές με Beroull ( p ), p, Να εξάγετε α) τη συνάρτηση πιθανοφάνειας στις 3 μορφές τις και β) τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας για την άγνωστη

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 3.1 Εισαγωγή ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ Στο κεφ. 2 είδαμε πώς θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε έναν βέλτιστο ταξινομητή εάν ξέραμε τις προγενέστερες(prior) πιθανότητες ( ) και τις κλάση-υπό όρους πυκνότητες

Διαβάστε περισσότερα

II. Τυχαίες Μεταβλητές

II. Τυχαίες Μεταβλητές II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ

Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ 10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιμητές Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimators MLE)

Εκτιμητές Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimators MLE) Εκτιμητές Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimators MLE) Εστω τ.δ. X={x, x,, x } με κατανομή με σ.π.π. f(x;θ). Η από-κοινού σ.π.π. των δειγμάτων είναι η συνάρτηση L f x, x,, x; f x i ; και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΤΥΠΟ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ F3W.PR09 Όνομα: Επίθετο: Ημερομηνία: 7/0/07 Πρωί: Απόγευμα: Θεματική ενότητα: Αναλογιστικά Πρότυπα Επιβίωσης Ερώτηση Εάν η τυχαία μεταβλητή Τ έχει συνάρτηση πυκνότητας f ep 3 3 να υπολογίσετε το 90 ο εκατοστημόριο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων μεταξύ τους (ασυμβίβαστων) ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων μεταξύ τους (ασυμβίβαστων) ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P, που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ] και έχει τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ).. Η πιθανότητα της ένωσης δύο ξένων

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 3 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ Σύμφωνα με στοιχεία από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης η πιθανότητα ένας φοιτητής να αποφοιτήσει μέσα σε 5 χρόνια από την ημέρα εγγραφής του στο

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

{ } } ( ) (, ) (, ) (, ) ( x) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 21. Άσκηση 22. π π π. Δείξτε ότι εάν xi x. για i = 1, 2 τότε έχουμε ότι οι τ.μ u = x1+ x2.

{ } } ( ) (, ) (, ) (, ) ( x) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 21. Άσκηση 22. π π π. Δείξτε ότι εάν xi x. για i = 1, 2 τότε έχουμε ότι οι τ.μ u = x1+ x2. Άσκηση Δείξτε ότι εάν ~ G (, b v για, τότε έχουμε ότι οι τ.μ u και είναι ανεξάρτητες και u ~ G (, b, v ~ Be(, Η από κοινού των και είναι (, π e e e ( b b b. Ορίζουμε τον ένα-προς-ένα μετασχηματισμό T u

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά

Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 5 Κατανομές πιθανότητας και εκτίμηση παραμέτρων δυαδικές τυχαίες μεταβλητές Bayesian decision Minimum misclassificaxon rate decision: διαλέγουμε την κατηγορία Ck για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 5η Εργασία ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ακαδημαϊκό Έτος : 2013-2014 ΞΑΝΘΗ 15/3/2014 Ασκήσεις: 1. Να δείξετε ότι η μέση τιμή Τ.Μ. που υπακούει στη διωνυμική κατανομή, είναι ίση np. Επειδή η Τ.Μ. που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Βασικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων Ορισµός πιθανότητας Έστω Ω το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος Συµβολίζουµε µε ω τα στοιχεία του Ω Ονοµάζουµε ενδεχόµενο (evet ένα υποσύνολο του Ω Για

Διαβάστε περισσότερα