Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D"

Transcript

1 ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό

2 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο D Β1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο Β Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο x 1 D µέγιστο. x 1 D τοπικό µέγιστο. Γ1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο Γ Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο x D ελάχιστο. x D τοπικό ελάχιστο. x Έστω η συνάρτηση f(x) = e 1, µε x R Α) Να βρείτε τις τιµές του x R ώστε f (x) = 0 Β1) Να αποδείξετε ότι το διάγραµµα C f τέµνει τους άξονες µόνο στην αρχή Ο (0,0) Β) Να βρείτε τις τιµές του x R ώστε η συνάρτηση f είναι θετική. Γ) Να βρείτε το σηµείο τοµής M της C f µε την ευθεία ( ε) : y = e 1 ) Να βρείτε τους θετικούς πραγµατικούς x, ώστε f(ln x) = x 1 Ε1) Να βρείτε το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης F(x) = f(x) f( x) Ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση F(x) = 1 είναι αδύνατη.

3 Όρια Α Έστω οι συναρτήσεις f και g οι οποίες στο έχουν όρια πραγµατικούς αριθµούς και έστω ότι lim f(x) = l 1 x o x x o, lim g(x) = l x x o Τότε lim ( f(x) + g(x) ) =... x x o lim f(x)g(x) = ( )... x x o Β1 Αν lim f(x) 1, τότε 3 + f(x) 0 = x lim = x 0 Β Αν lim f(x) 1 και lim g(x) = 1, τότε είναι lim = = x x x 0 f(x) + g(x) f(x) g(x) Έστω η συνάρτηση f(x) = x + x + k, x R και k R f(x) Ξέρουµε ότι lim = 1 x 0 x + 1 Α) Να αποδείξετε ότι κ = 1 και να γράψετε τον τύπο της f Β) Να αποδείξετε ότι f(x) 0 f(x 1) Γ1) Να βρείτε την τιµή του ορίου lim x 1 f(x) f(x) 3 Γ) Να βρείτε την τιµή του ορίου lim x 1 x 1 f(x) + λ Γ3) Αν lim 0 x λ x =, να βρείτε την τιµή της παραµέτρου λ + 1

4 3 Συνέχεια Α Να αναφέρετε, πότε η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A, λέγεται συνεχής στο Α Β1 Αν lim f(x) 0 0 = x Β Αν lim f(x) 0 0 = x, η συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής στο σηµείο 0, και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, τότε f (0) = 0 Β3 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R µε µία ρίζα το 1, τότε lim f(x) 0 1 = x Β4 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, η γραφική της παράσταση της θα είναι µία συνεχής γραµµή. Έστω η συνεχής στο σηµείο x ο =, συνάρτηση µε α R 3 x 8 f(x) = x α αν αν x x = Α) Να βρείτε την τιµή του α Β) Να αποδείξετε ότι f(x) = x + x + 4, για κάθε x R f(x) f() Γ1) Να βρείτε την τιµή του ορίου lim x x Γ) Να βρείτε την τιµή του ορίου f()x lim x x 4 x

5 4 Παράγωγος αριθµός Έστω η συνάρτηση f και Μ ( x, f(x )) C ο ο ο ένα σηµείο της f Α1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε παράγωγο της f στο Α Να αναφέρετε πως συµβολίζεται ο παράγωγος στο Α3 Να αναφέρετε τι εκφράζει γεωµετρικά ο παράγωγος στο Α4 Να γράψετε την εφαπτόµενη ευθεία ε της σε συνάρτηση µόνο των αριθµών o x o x o x o C f στο σηµείο της x, του f(x o ) και f (x ) o M o Β) Έστω s = s(t), η συνάρτηση θέσης ενός κινητού Κ που κινείται ευθύγραµµα. Β1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε µέση ταχύτητα u _ του κινητού στη διάρκεια του χρονικού διαστήµατος h, από t o µέχρι t o + h Β Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε στιγµιαία ταχύτητα u o του κινητού τη στιγµή t o Έστω η συνάρτηση s s(t) = t Α1) Να αποδείξετε ότι η s είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 1, µε s (1) = Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της s C, στο σηµείο της M ( 1, s(1) ) Β) Έστω ότι η συνάρτηση s εκφράζει τη συνάρτηση θέσης ενός κινητού K που κινείται ευθύγραµµα όπου s (t) σε m και t 0 σε sec Β1) Να βρείτε τη µέση ταχύτητα _ u του K, στο διάστηµα από 1 µέχρι sec Β) Να βρείτε τη στιγµιαία ταχύτητα u του K, τη χρονική στιγµή 1 sec

6 5 Παράγωγος συνάρτηση Α) Έστω η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A Α1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε παράγωγο συνάρτηση της f Α Πως συµβολίζεται; Α3 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε δεύτερη παράγωγο µιας συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού Α Β1 Η παράγωγος συνάρτηση της ταυτοτικής συνάρτησης είναι σταθερή συνάρτηση. Β Αν f (x) = f, g δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο R, µε g(x) 0 για κάθε x R f(x) f (x) τότε ισχύει = g(x) g (x) x Έστω οι συναρτήσεις f(x) = x + x + 1 και g (x) = f(x) 1 Α1) Να ορίσετε τη συνάρτηση h µε h(x) = g(x) ηλαδή να βρείτε το πεδίο ορισµού της και τον τύπο της. x e Α) Να λύσετε την εξίσωση h (x) = 0 Β1) Να βρείτε την παράγωγο h (x) Β) Αν x ο η µεγαλύτερη ρίζα της h (x) = 0, να βρείτε την τιµή h (x ο ) Β3) Αν η κλίση της εφαπτοµένης της f C στο σηµείο της ( x, f(x )) ισούται µε h (0), να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου Μ Μ 1 1

7 6 Παράγωγος συνάρτηση Α1 Να αποδείξετε ότι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f (x) = x, x R είναι η συνάρτηση f ' (x) = x, x R Α Έστω f, g δύο συναρτήσεις δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Να γράψετε τον τύπο παραγώγισης της σύνθεσης f (g(x)) Β1 Αν f µια παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση, τότε ( f (x)) = f (x) Β Αν f µια παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση µε f (x) = x, τότε ( f (1) ) = f (1) = 1 Β3 Αν f f, g δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο R, τότε ( (x)g(x)) = f (x)g (x) Αν f είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση να βρείτε τις παραγώγους αν: Α) f(x) =, x > 0 x 3 Β) f(x) = x t x + ηµ t, x R και t R x Γ) f(x) = x e ηµx ln x, x > 0 ) lnx f (x) =, x > 0 x e Ε) f(x) = xσυν x + x συν x, x R Ζ) x e f(x) = x e, x R + 1

8 7 Παράγωγος συνάρτηση π π Α1 Αν f (x) = ηµx + συν, τότε f (x) = συνx ηµ 3 3 Α Αν f (x) = x, τότε είναι f (x) = 0 Α3 Αν f (x) = x, τότε αποκλείεται να είναι f(x) = x + x + 1 Β1 Έστω η συνάρτηση (x) f( g(x) ) h = και έστω ότι x g (x) = e, µε x R Υποθέτουµε ότι f ( g(0) ) = 1 Τότε το h (0) ισούται µε Α: 0 Β : 1 Γ: : 3 Ε: 4 Β Η εφαπτόµενη της C στο σηµείο ( 1,f(1) ) f Τότε η παράγωγος της f για x = 1 είναι Α:1 Β: A σχηµατίζει µε τον x x γωνία 3 3 ο 30 Γ: 3 : 0 Έστω g(x) 3 = f(x)(x 1) και f (x) = αx + β για κάθε x R, µε α, β R Έστω ότι f (1) = και f (1) = 1 Α1) Να βρείτε τον τύπο της f και µετά να βρείτε και τον τύπο της g g (x) Α) Να βρεθεί την τιµή του ορίου lim x 1 x x Α3) Να βρείτε τον παράγωγο αριθµό g (1) Β1) Να βρείτε την εφαπτόµενη της C g στο σηµείο της εκείνο που αυτή τέµνει τον άξονα των τεταγµένων. Β) Να βρείτε την εφαπτόµενη της C g, που είναι παράλληλη στον x x

9 8 Παράγωγος συνάρτηση f Α Να αποδείξετε ότι ( (x) + g(x) ) = f (x) + g (x) Β1 ( ηµx) = συνx Β (ηµ x) = ηµx συνx Β3 x) = εφx (εφx) (εφ Β4 ( ηµ ) (x) = ηµ(x)συν( x) Β5 ηµx ( ηµx ) = συν(x) Η θέση ενός υλικού σηµείου το οποίο εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση 3 δίνεται από τον τύπο x = x(t) = t 1t + 60t + 3, όπου ο χρόνος t 0 µετράται σε sec και το x σε m Α) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σηµείου για t = 1sec B) Πότε το υλικό σηµείο είναι στιγµιαία ακίνητο; Γ) Πότε το σηµείο κινείται κατά την θετική ή την αρνητική κατεύθυνση ; ) Να βρείτε το ολικό διάστηµα που έχει διανύσει το σηµείο στη διάρκεια των πρώτων 6 sec

10 9 Εφαρµογές παραγώγων Α1 Αν για τη συνάρτηση f είναι f (xο) = 0 για x ο (α,β) f (x) > 0 στο ( α,xο ) και f (x) < 0 στο x,β) τότε η f θα παρουσιάζει στο διάστηµα ( α,β), για x = xο... Α Αν για τη συνάρτηση f είναι f (xο) = 0 για x ο (α,β) ( ο f (x) < 0 στο ( α,xο ) και f (x) > 0 στο x,β) τότε η f θα παρουσιάζει στο διάστηµα ( α,β) για x = xο... x Β1 Αν f(x) = e + x + 1, για κάθε x R, τότε η f είναι γνήσια αύξουσα. x Β Αν f (x) = e + x + 1, για κάθε x R, τότε η f είναι γνήσια αύξουσα. Β3 Αν f (x) = e x 1, για κάθε x R τότε η f θα είναι γνήσια φθίνουσα στο (,0), αφού f (x) < 0 στο (,0) και η f θα είναι γνήσια αύξουσα στο ( 0, + ), αφού f (x) > 0 στο ( 0, + ) Οπότε η f στο σηµείο 0 παρουσιάζει το µοναδικό της ελάχιστο. ( ο x 1 Έστω η συνάρτηση µε τύπο f(x) = 3, µε x R x e Α) Να υπολογίσετε το όριο e lim x 1 x f(x) x 1 Β) Να αποδείξετε ότι ( f (x) + f (x)) = 3 e x Γ1) Να µελετήσετε την f (x) ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. Γ) Να συγκρίνετε τους αριθµούς f (e), f ( 10)

11 10 Εφαρµογές παραγώγων Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά µε λέξεις ή µαθηµατικά σύµβολα ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. Α1 Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και ισχύει f (x) > 0, για κάθε...σηµείο του τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως... στο Α Η συνάρτηση f (x) = lnx + x + 1 είναι γνησίως... στο ( 0, + ) γιατί f (x)...., για κάθε x > 0 Α3 Για την ορισµένη στο R συνάρτηση f είναι f (x) = x, x R Αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα... και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα... Έχει µοναδικό ολικό... στο σηµείο... 1 Έστω η συνάρτηση f(x) = x + 1 Α1) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της. Α) Να βρείτε την f (x) Α3) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. Β) Να βρείτε την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο που αυτή παρουσιάζει το τοπικό ακρότατο. Γ) Να αποδείξετε ότι f (x) = 6x ( x + 1) 3 f(x) 1 ) Να υπολογίσετε το όριο lim x 0 x

12 11 Εφαρµογές παραγώγων Έστω το κινητό K που κινείται ευθύγραµµα µε συνάρτηση θέσης y = x(t) ταχύτητα y = u(t) και επιτάχυνση y = α(t) Α1 Η ταχύτητα είναι η παράγωγος της θέσης x (t) Α Η επιτάχυνση είναι η παράγωγος της θέσης x (t) Α3 Η επιτάχυνση είναι η παράγωγος της ταχύτητας u (t) Β1 Το Κ µένει στιγµιαία ακίνητο, αν u (t) 0 Β Το Κ κινείται κατά τη θετική φορά, αν u (t) 0 Β3 Το Κ κινείται κατά την αρνητική φορά, αν u (t) 0 Η θέση ενός υλικού σηµείου το οποίο εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση 3 δίνεται από τον τύπο x(t) = t + αt + βt, t [0,10] όπου το t µετριέται σε δευτερόλεπτα sec και το x σε µέτρα m Α) Αν για την χρονική στιγµή t = 1s η ταχύτητα του σηµείου είναι u (1) = 9m / s και η επιτάχυνση του α(1) Β) Έστω α = 9 και β = 4 = 1m / s, να βρείτε τις τιµές των α και β Να βρείτε Β1) πότε το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου είναι Β) τα χρονικά διαστήµατα κατά τα οποία το σηµείο κινείται κατά τη θετική ή την αρνητική κατεύθυνση. Β3) πότε το σηµείο µένει ακίνητο. 9 m / s Β4) πότε η ταχύτητα του σηµείου αυξάνεται και πότε µειώνεται. Β5) πότε η ταχύτητα γίνεται ελάχιστη. Β6) ποιο είναι το ολικό διάστηµα που διήνυσε το σηµείο στα πρώτα 10 δευτερόλεπτα της κίνησής του.

13 1 Βασικές έννοιες Α) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις δίνουν και µεταβλητές και τότε να εξετάσετε ποιες είναι ποιοτικές και ποιες είναι ποσοτικές και από τις ποσοτικές να βρείτε ποιες είναι διακριτές και ποιες είναι συνεχείς. Α1 Η βαθµολογία των µαθητών στο Λύκειο. Α Η βαθµολογία των µαθητών στην Α ηµοτικού. Α3 Η βαθµολογία των µαθητών στην Σ Τ ηµοτικού. Α4 Εξετάσαµε τους µαθητές ενός λυκείου και τους κατατάξαµε σχετικά µε το ύψος τους, σε «Κοντούς» ή «Ψηλούς». Α5 Εξετάσαµε τους µαθητές ενός λυκείου σχετικά µε το ύψος τους και τους οµαδοποιούµε αναγράφοντας το ύψος τους σε cm σε αυτούς των οποίων το ύψος είναι µικρότερο από 165 cm και σ αυτούς που είναι από 165 cm και πάνω. Α6 Εξετάσαµε τους µαθητές ενός λυκείου σχετικά µε το βάρος τους σε kg. Β) Θα ελέγξουµε ποια από τα δείγµατα είναι το πιο αντιπροσωπευτικό. Κάποιος θέλει να σχηµατίσει µια ιδέα σχετικά µε το πώς έγραψαν οι µαθητές. στις Πανελλήνιες εξετάσεις. Έτσι Β1 Τηλεφωνεί σε γνωστούς του µαθητές. Β Επιλέγει µαθητές από διάφορα Λύκεια της Ελλάδας. Έγινε µια δειγµατοληψία για το πόσα αδέρφια έχουν 30 µαθητές ενός τµήµατος. Εξετάσαµε 10 απ αυτά και πήραµε τα αποτελέσµατα: 1,, 1, 0, 0,, 1, 3, 1, Να βρείτε Α) Ποιος είναι ο πληθυσµός. Β) Ποιες είναι οι µονάδες του πληθυσµού. Γ) Ποιο είναι το δείγµα. ) Ποια είναι η µεταβλητή, ποιες οι παρατηρήσεις και ποιες οι τιµές.

14 13 Παρουσίαση διακριτών µεταβλητών Έστω ότι x 1,x,..., xκ είναι οι τιµές µε συχνότητες αντίστοιχα τις ν 1, ν,..., νκ µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν µε κ ν Α1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε απόλυτη συχνότητα ν i της τιµής Α Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε σχετική συχνότητα f i της τιµής Α3 Να αποδείξετε ότι f + f f 1 1 κ = x i x i Β1 Είναι ν1 + ν νκ = ν Β Είναι 0 fi 1 για i = 1,,... κ Β3 f % = 100f i i Ρωτήσαµε 50 οικογένειες σχετικά µε τον αριθµό των παιδιών τους. Πήραµε το διπλανό πίνακα. Να βρείτε Α 1 ) Τις τιµές της µεταβλητής Α ) Τις συχνότητες αυτών. Αριθµός παιδιών x i Αριθµός οικογενειών ν i Α 3 ) Τις σχετικές συχνότητες και τις εκατοστιαίες σχετικές συχνότητες αυτών. Α 4 ) Τις αθροιστικές συχνότητες και τις αθροιστικές εκατοστιαίες σχετικές συχνότητες αυτών. Β 1 ) Πόσες οικογένειες έχουν το πολύ παιδιά. Β ) Πόσες οικογένειες έχουν τουλάχιστον παιδιά.

15 14 Παρουσίαση διακριτών µεταβλητών Έστω ότι x 1,x,..., xκ είναι οι τιµές µε συχνότητες αντίστοιχα τις ν 1, ν,..., νκ µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν µε κ ν Α1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε αθροιστική συχνότητα Ν i της τιµής x i Α Να αναφέρετε τι εκφράζει η αθροιστική συχνότητα Α3 N1 + N Nκ = 1 Α4 N κ = Nκ 1 + νκ Α5 N κ = ν Ν i της τιµής Β1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε σχετική αθροιστική συχνότητα F i της τιµής Β Να αναφέρετε τι εκφράζει η σχετική αθροιστική συχνότητα F i της τιµής x i x i x i Β3 Είναι f ν για i = 1,,... κ i i Έστω ο πίνακας που δείχνει τις τιµές 1,,3,4,5, 6 µίας µεταβλητής. Για κάποιο λόγο, σβήστηκαν δεδοµένα. x i ν i f i N i F i f i % F i % , , Σύνολο Α) Να βρείτε το µέγεθος ν του δείγµατος Β) Να συµπληρώστε τον πίνακα.

16 15 Ποιοτικές µεταβλητές Έστω η ποιοτική µεταβλητή Χ Α1 Στο ραβδόγραµµα συχνοτήτων το άθροισµα των υψών των ορθογωνίων είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος ν Α Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται µόνο για την απεικόνιση ποιοτικών µεταβλητών. Α3 Στο κυκλικό διάγραµµα η συχνότητα v i µια τιµής x i είναι ανάλογη προς το αντίστοιχο τόξο του κυκλικού τοµέα στον οποίο αντιστοιχεί. i Α4 Σε ένα κυκλικό διάγραµµα ισχύει α = 360 i f ν Με ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνεται το µορφωτικό επίπεδο των 800 εργαζοµένων µιας επιχείρησης σε 4 κατηγορίες. Α Κατηγορία : Απόφοιτοι Γυµνασίου. Β Κατηγορία : Απόφοιτοι Λυκείου. Γ Κατηγορία : Πτυχιούχοι Ανώτατης Εκπαίδευσης. Κατηγορία : Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου. Κάθε εργαζόµενος ανήκει σε µία µόνο από τις κατηγορίες αυτές. Στην Α Κατηγορία ανήκει το 5 % των εργαζοµένων της επιχείρησης. Η γωνία του τοµέα που αντιστοιχεί στους εργαζόµενους της Κατηγορίας είναι ο 18 Οι εργαζόµενοι της Β κατηγορίας είναι Κατηγορίας. 6 πλάσιοι των εργαζοµένων της Γ Α) Να υπολογίσετε τον αριθµό των εργαζοµένων κάθε κατηγορίας. Β Γ Α Β) Να παραστήσετε µε ραβδόγραµµα την πιο πάνω κατανοµή.

17 16 Ποσοτικές µεταβλητές Α Αν ενώσουµε τα µέσα των πάνω βάσεων του ραβδογράµµατος προκύπτει τµήµα του πολυγώνου συχνοτήτων. Β Έστω µεταβλητή µε τιµές x 1,x,..., xκ µε αντίστοιχες συχνότητες ν 1,ν,..., νκ Το πλήθος του δείγµατος είναι ν και ξέρουµε ότι N κ = 10, ν κ 1 = 1 και ν κ = Τότε δεν είναι ορθή η επιλογή Α: Νκ Νκ = 3 Β: Ν κ = 7 Γ: N κ 1 = 8 : Νκ + Νκ 1 = 13 Οι βαθµοί 50 φοιτητών στο µάθηµα των µαθηµατικών φαίνονται στο διπλανό πίνακα. Α) Συµπληρώσετε τον πίνακα µε τις στήλες των f i, f i %, N i, F i, F i % Β) Να κατασκευάσετε το διάγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων και µετά το αντίστοιχο πολύγωνο. Γ) Να βρείτε τον αριθµό και το ποσοστό των φοιτητών που έγραψαν Γ 1 ) 5 Γ ) Από 6 ως και 8 Γ 3 ) Πάνω από 8 x i ν i ) Να κατασκευάσετε το διάγραµµα των εκατοστιαίων σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο. ) Η σχολή θα δώσει υποτροφία στο 14 % των φοιτητών µε την µεγαλύτερη βαθµολογία. Να βρείτε ποιος είναι ο ελάχιστος βαθµός που πρέπει να γράψει ένας φοιτητής για να πάρει υποτροφία.

18 17 Ποσοτικές µεταβλητές Α Πλάτος της κλάσης µε άκρα α, β ονοµάζεται ο αριθµός α + β Β Το κέντρο κάθε κλάσης ισούται µε την ηµιδιαφορά των άκρων της. Γ Το άθροισµα των κεντρικών τιµών ισοπλατών κλάσεων ισούται µε το εύρος. Κατά την οµαδοποίηση παρατηρήσεων αν R είναι το εύρος του δείγµατος και κ ο αριθµός των κλάσεων το πλάτος των κλάσεων c, είναι R c στρογγυλεύοντας ίσως προς τα πάνω. κ Η βαθµολογία 50 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι η πιο κάτω Α 1 ) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων. Α ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων. Β 1 ) Να οµαδοποιήσετε τα πιο πάνω δεδοµένα σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους Γνωρίζουµε ότι η κεντρική τιµή της πρώτης κλάσης ισούται µε Β ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων. Β 3 ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. Γ) Ο καθηγητής επέλεξε να τους προάγει στο επόµενο έτος µε βάση την οµαδοποίηση, αλλά οι φοιτητές αντέδρασαν, είχαν δίκιο?

19 18 Επαναληπτικό f Α Να αποδείξετε ότι ( (x) + g(x) ) = f (x) + g (x) Β 1 Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται µόνο για ποιοτικά δεδοµένα. Β Πλάτος της κλάσης [ α,β) ονοµάζεται ο αριθµός α β Β 3 Το άθροισµα των κεντρικών τιµών ισοπλατών κλάσεων, ισούται µε το εύρος. 10x 10 3 Έστω οι συναρτήσεις f(x) = και g(x) = x 3x + x + 1 x x και ο πιο κάτω ηµιτελής πίνακας συχνοτήτων. x i v i f i % µ 3 ξ 0, 4 0, 16 f x i i v i N i Α) Να βρείτε τα πεδία ορισµού των f και g f(x)(x 1) Β) Να βρείτε τα όρια Β 1 ) lim f(x), Β ) lim x 1 x 1 g(x) Γ 1 ) Αφού απλοποιήσετε τον τύπο της f να βρείτε τη πρώτη παράγωγο της. Γ ) Να βρείτε την εφαπτοµένη της A 1, f( 1) C στο σηµείο της ( ) 1 ) Να βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της g ) Να εξετάσετε τη g ως προς τα ακρότατα. Ε) Έστω τώρα ότι µ = lim f(x) και ξ = g (4) 8 x 1 Ε 1 ) Να συµπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. Ε ) Να κάνετε το διάγραµµα και το πολύγωνο συχνοτήτων. f Ε 3 ) Να οµαδοποιήσετε τα πιο πάνω δεδοµένα σε 3 κλάσεις ίσου πλάτους 1, 5 όπως θέλετε και να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα και το πολύγωνο συχνοτήτων.

20 19 Μέση τιµή Α 1 Να αναφέρετε τι λέµε µέση τιµή ή αριθµητικό µέσο _ x των ν παρατηρήσεων t ενός δείγµατος. 1, t,..., t ν Α Αν στις τιµές x1, x,..., xκ δίνεται διαφορετική βαρύτητα ή έµφαση χρησιµοποιούµε τον σταθµισµένο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο. Αν σε κάθε τιµή x δώσουµε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται 1, x,..., xκ µε τους λεγόµενους συντελεστές βαρύτητας ή στάθµισης w 1, w,..., w κ να αναφέρετε από ποιον τύπο δίνεται ο σταθµικός µέσος. Β Έστω ότι σε µία δειγµατοληψία έχουµε 0 παρατηρήσεις τις t 1, t,..., t 0 ανά δύο ίδιες και τις 10 τιµές x 1, x,..., x10 της. Η µέση τιµή των παρατηρήσεων είναι x = 0 Σ t ν t + t t 0 10 Σ x ν = ν _ i i i i= i= = = = 10 Ο χρόνος οµιλίας σε κινητό 10 µαθητών δίνεται από τον πίνακα: 10, 10, 0, 30, 0, 10, 10, 0, 30, 0 σε λεπτά Α) Να βρείτε το µέσο όρο του χρόνου οµιλίας. Β) Αν αυξήσουν όλοι το χρόνο οµιλία τους κατά χρόνο t σε min και νέος µέσος όρος του χρόνου οµιλίας είναι τώρα ίσος µε 8 min να βρείτε την αύξηση t Γ) Αν αυξήσουν όλοι το χρόνο οµιλία τους κατά x % και νέος µέσος όρος του χρόνου οµιλίας είναι τώρα ίσος µε 7 min να βρείτε το x

21 0 Μέτρα θέσης σε διακριτή µεταβλητή Α Να αναφέρετε πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος v παρατηρήσεων. Β1 Αν έχουµε περιττό πλήθος παρατηρήσεων, η διάµεσος θα είναι τιµή του δείγµατος. Β Αν η διάµεσος είναι τιµή του δείγµατος, θα έχουµε περιττό πλήθος παρατηρήσεων. Β3 Αν έχουµε άρτιο πλήθος παρατηρήσεων, η διάµεσος αποκλείεται να είναι τιµή του δείγµατος. Β4 Αν η διάµεσος δεν είναι τιµή του δείγµατος, θα έχουµε άρτιο πλήθος παρατηρήσεων. Οι θερµοκρασίες των 0 πρώτων ηµερών του µήνα Απριλίου σε βαθµούς Κελσίου C φαίνονται στο διπλανό πίνακα. Η µέση θερµοκρασία των παραπάνω ηµερών είναι 4,4 C Α 1 ) Να συµπληρώσετε τον πίνακα. x i ν i Α ) Να βρείτε την διάµεση θερµοκρασία. Β) Από κάποιο όµως λάθος, διαπιστώθηκε ότι το θερµόµετρο έδειχνε ένα βαθµό περισσότερο από το κανονικό. Να βρείτε τη νέα πραγµατική µέση θερµοκρασία. Γ) Τώρα µετα την αλλαγή των θερµοκρασιών να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε 3 κλάσεις ίσου πλάτους και να βρείτε την νέα µέση τιµή.

22 1 Μέτρα θέσης σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα Α Έστω µία συνεχής µεταβλητή στην οποία οµαδοποιήσαµε τα δεδοµένα. Α1 Να αναφέρετε πως ορίζουµε τη µέση τιµή των παρατηρήσεων. % F i Α Να αναφέρετε πως ορίζουµε τη διάµεσο των παρατηρήσεων. O x i Η βαθµολογία 50 µαθητών σε έναν µαθηµατικό διαγωνισµό φαίνεται στο διπλανό πίνακα. Κλάσεις ν i [ 10,1) 5 [ 1,14) 10 [ 14,16) 0 [ 16,18) 10 [ 18,0) 5 ΣΥΝΟΛΟ 50 Οι παρατηρήσεις θεωρούµε ότι είναι όµοιες, δηλαδή ότι είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες. Α) Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. Β) Να βρείτε τον αριθµό των µαθητών που έγραψαν µέχρι 15 Γ 1 ) Να υπολογίσετε τη µέση βαθµολογία των µαθητών. Γ ) Να υπολογίσετε τη διάµεση βαθµολογία των µαθητών. ) Αν για την επόµενη φάση του διαγωνισµού προκρίνεται το 30 % των µαθητών ποιά είναι η ελάχιστη βαθµολογία που πρέπει να γράψει ένας µαθητής, ώστε να προκριθεί στην επόµενη φάση;

23 Μέτρα θέσης Έστω µία µεταβλητή στην οποία οµαδοποιήσαµε τα δεδοµένα. Έστω και οι διπλανές καµπύλες συχνοτήτων των κατανοµών Α και Β ίδιου εύρους. οι οποίες είναι συµµετρικές αντίστοιχα ως προς τι κατακόρυφες ευθείες που βλέπουµε. Α Είναι δ < δ Α Β Β Οι συχνότητες των διαµέσων είναι ίσες. Σε ένα σχολείο πραγµατοποιήθηκε µία έρευνα για το ύψος των µαθητών αλλά τα δεδοµένα χάθηκαν και βρέθηκε µόνο το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων Α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα. Κέντρο Χρόνια Κλάσης x i [ ) 150 [ ) 160 [ ) 170 [ ) 180 [ ) 190 [195-05) 00 [05-15) 10 Σύνολο 0 ν i N i F i % Β) Να αποδείξετε ότι για τη διάµεσο δ είναι 175 < δ < 185 Γ) Να βρείτε τη µέση τιµή.

24 3 Μέτρα διασποράς Α1 Να αναφέρετε τι λέµε εύρος ή κύµανση κάποιων παρατηρήσεων. Α Πως ορίζεται αυτή σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα ; Β1 Να αναφέρετε τι λέµε διακύµανση κάποιων παρατηρήσεων. Β Πως ορίζεται αυτή σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα ; Ένα εργοστάσιο έχει v στελέχη και σε εκατοντάδες uro όπου ν θετικός φυσικός. 4 ν εργάτες, µε µισθούς x i, i = 1,...,5ν Ο µηνιαίος µισθός κάθε εργάτη είναι 750 και κάθε στελέχους είναι 1100 Α 1 ) Να βρείτε το µέσο µισθό x Ε των εργατών και µέσο µισθό Σ x των στελεχών. Α ) Να βρείτε την τυπική απόκλιση των µισθών των εργατών και των στελεχών. Α 3 ) Να βρείτε το µέσο µηνιαίο µισθό _ x όλων των υπαλλήλων. Β) Υποθέτουµε ότι η τυπική απόκλιση όλων των µισθών είναι 140 uro 5ν και t i = uro i= 1 5ν t 5ν i 1 i= 1 ίνεται: s = t i όπου 5 ν το πλήθος των υπαλλήλων. 5ν 5ν i= 1 Να αποδείξετε ότι το εργοστάσιο απασχολεί 50 υπαλλήλους. Γ) Το εργοστάσιο αποφασίζει να αυξήσει τις µηνιαίες αποδοχές των εργατών κατά α uro και να µειώσει τις µηνιαίες αποδοχές των στελεχών κατά β uro ώστε το µέσο µηνιαίο µισθολόγιο να µην υπερβεί τα 840 uro Να αποδείξετε ότι 4α β 100

25 4 Συντελεστής µεταβολής s s Έστω η καµπύλη συχνοτήτων που είναι κανονική ή περίπου κανονική. x 3s x s Έστω x η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων. Α1 Στο ( x s, x + s) βρίσκεται περίπου το των παρατηρήσεων. Α Στο ( x s, x + s) βρίσκεται περίπου το των παρατηρήσεων. Α3 Στο ( x 3s, x + 3s) βρίσκεται περίπου το των παρατηρήσεων. Β Είναι R x 6 s δ Γ1 Τι λέµε συντελεστή µεταβολής ή µεταβλητότητας CV των παρατηρήσεων; Γ Πότε ένα δείγµα λέγεται οµοιογενές; x s x x + s Γ3 Όσο µικρότερο CV έχουµε, τόσο µικρότερη διασπορά έχουµε. x + s x + 3s 1 Αν y1 1 + = x c,..., y = x c c :σταθερά, τότε y _ = x, s = s c ν ν + y x + Αν y 1 = cx 1,..., y ν = cx ν c : σταθερά, τότε y c x =, s y = c s x Ο χρόνος οµιλίας σε min το µήνα ν µαθητών, είναι περίπου κανονική µε µέση τιµή x, τυπική απόκλιση s και συντελεστή µεταβλητότητας CV = 0% Πάνω από 14 λεπτά, µιλάει µόνο το,5% του δείγµατος, 68 µαθητές µιλάνε 68 περισσότερο από 10 min και λιγότερο από 1 min Α 1 ) Να βρείτε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση του χρόνου οµιλίας. Α ) Να βρείτε το πλήθος ν των µαθητών. Β) Να βρείτε πόσοι µαθητές µιλάνε λιγότερο από 1 min. Γ 1 ) Η εταιρεία τηλεφωνίας, πριµοδοτεί όλους τους µαθητές κατά 10 % επιπλέον δωρεάν χρόνο οµιλίας. Μεταβάλλεται ο συντελεστής µεταβλητότητας; Γ ) Στη συνέχεια, µετά την προηγούµενη πριµοδότηση, η εταιρεία ξαναπριµοδοτεί όλους τους µαθητές, µε µισή ώρα επιπλέον δωρεάν χρόνο οµιλίας. Είναι τώρα το δείγµα οµοιογενές;

26 5 Ενδεχόµενα Α1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε αιτιοκρατικό πείραµα. Α Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε πείραµα τύχης. Α3 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε δυνατά αποτελέσµατα του πειράµατος. Α4 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε δειγµατικό χώρο Ω Β1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε ενδεχόµενο ή γεγονός. Β Να αναφέρετε πότε λέµε ότι αυτό πραγµατοποιείται ή συµβαίνει. Β3 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε ευνοϊκές περιπτώσεις ενός ενδεχοµένου. Γ. Έστω τα ενδεχόµενα Α,Β Γ1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε τοµή και τι ένωση δυο ενδεχοµένων. Γ Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε συµπλήρωµα του Α Γ3 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε διαφορά του Α από το Β. Να γράψετε µε τη βοήθεια των συνόλων, το ενδεχόµενο 1 να πραγµατοποιείται ή µόνο το Α ή µόνο το Β να µην πραγµατοποιείται κανένα από τα Α και Β Ε1 A B = Α (Α B) = A B Ε Α Β = (Α Β) (Α Β) (Β Α) Α Β Ω Ρίχνουµε ένα νόµισµα 3 φορές. Α) Να βρείτε τα ενδεχόµενα Α 1 ) Α: Το αποτέλεσµα της 1 ης ρίψης να είναι διαφορετικό από τα αποτελέσµατα της ης ρίψης και 3 ης ρίψης Α ) Β: Το αποτέλεσµα της 3 ης ρίψης να είναι διαφορετικό από τα αποτελέσµατα της 1 ης ρίψης και ης ρίψης Β) Να βρείτε τα ενδεχόµενα Β 1 ) A B, Β ) A B, Β 3 ) Α Β, Β 4 ) A B

27 6 Πιθανότητες Α Σε ν εκτελέσεις ενός πειράµατος, ένα ενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται κ φορές. Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε σχετική συχνότητα του ενδεχοµένου Α Β1 Τι ονοµάζεται στατιστική οµαλότητα ή νόµο των µεγάλων αριθµών. Β Να αναφέρετε πως ορίζεται η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου Α σε ένα δειγµατικό χώρο πεπερασµένου πλήθους στοιχείων µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Γ Να αναφέρετε γενικότερα, πως ορίζεται η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου A = {α,α,...,α } 1 κ σε ένα δειγµατικό χώρο Ω = {ω,ω,...,ω } πεπερασµένου πλήθους στοιχείων. 1 Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται σε ασθενείς που πάσχουν από κάποιο νόσηµα που οφείλεται και σε κληρονοµικούς παράγοντες. ν Ηλικία ασθενούς Ελαφριά Περίπτωση Με κληρονοµικά αίτια Σοβαρή περίπτωση Με κληρονοµικά αίτια ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ Κάτω από 50 ετών 15 % 10 % 8 % % Πάνω από 50 ετών 15 % 0 % 0 % 10 % Επιλέγουµε τυχαία έναν ασθενή και θεωρούµε τα ενδεχόµενα: Α: «Η κατάσταση του ασθενή να είναι σοβαρή.» Β: «Ο ασθενής είναι κάτω από 50 ετών.» Γ: «Υπάρχουν κληρονοµικά αίτια.» Α) Να βρείτε τις πιθανότητες Α1) P (A) Α) Ρ (Β) Α3) Ρ (Γ) Α4) Ρ(Α Β) Α5) P(A Γ) Β) Να διατυπώσετε στη γλώσσα των συνόλων τα ενδεχόµενα: Β1) A B Β) ( ) Α Β Β) Α Β Β3) ( ) Α Β Β4) A B Β5) Α Β Β5) Α (Α Β) παραστήστε τα µε διαγράµµατα Venn και να βρείτε τις πιθανότητες τους.

28 7 Πιθανότητες Α Να αποδείξετε ότι για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και του χώρου Ω, ισχύει Ρ(Α') = 1 Ρ(Α) Β1 Για τα ενδεχόµενα Α, Β του χώρου Ω είναι Ρ (Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Α Α ' Β Ω Β Αν Α Β τότε Ρ(Α Β) Ρ(Β) A B A B Β Α Β3 Ρ ((Α Β) (Α Β) ) = Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Έστω τα ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ώστε Ρ (Α Β) = Α1) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ (Α) Α) Να αποδείξετε ότι Ρ(Α Β) 0, 5 Έστω τώρα ότι είναι και Ρ ((Α Β) ) = 1 Β) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα Ρ (Β) = Γ) Να βρείτε τις πιθανότητες Γ1) Ρ(Β Α) 1 4 Γ) Ρ( (Α Β) (Β Α) ) Γ3) Ρ( (Α Β) (Β Α) ) Γ4) Ρ( (Α Β) (Α Β) (Β Α) ) Ρ (Α Β) = ) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου να πραγµατοποιείται το Α ή να µην πραγµατοποιείται το Β

29 8 Πιθανότητες Α Έστω ο χώρος Ω και τα ενδεχόµενα Α και Β αυτού ώστε όταν δεν πραγµατοποιείται το Α να µην πραγµατοποιείται και το Β Η πιθανότητα να πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β, είναι Ρ(Α) Ρ(Β) Β Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω και τα µη κενά ενδεχόµενά του Α, Β,Γ όπως φαίνονται στο διπλανό σχήµα µε τα διαγράµµατα του Venn. Να εκφράσετε το γραµµοσκιασµένο χωρίο, σε συνάρτηση των Α,Β,Γ Α Β Γ Ω Από τους ένοικους µίας πολυκατοικίας ένα 60 % αυτών ενοικιάζει βιντεοκασέτα ένα 40% αυτών ενοικιάζει DVD και το 48% αυτών ενοικιάζει µόνο βιντεοκασέτα και δεν ενοικιάζει DVD Επίσης υπάρχουν και 3 ένοικοι που δεν ενοικιάζουν κανένα από τα δύο. Επιλέγουµε τυχαία ένα ένοικο. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα V: Ο ένοικος να ενοικιάζει Video και D: Ο ένοικος να ενοικιάζει DVD Α) Ποια είναι η πιθανότητα ο ένοικος να ενοικιάσει βιντεοκασέτα και DVD Β) ιατυπώστε το ενδεχόµενο D V και υπολογίστε την πιθανότητά του. Γ) Να βρείτε την πιθανότητα, ο ένοικος να µην ενοικιάσει βιντεοκασέτα και να µην ενοικιάσει DVD. ) Υπολογίστε το πλήθος των ενοίκων της πολυκατοικίας.

30

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και A ενός δειγµατικού χώρου Ω να P A = P A.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4 ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΛ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΛ ΜΑΘ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γ 369 Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x είναι f (x) = Β. Να γράψετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ÊÑÇÔÇÓ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι f ( x) + g( x) = f ( x) + g ( x), για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF: 4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 03 06 000... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 6 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 04 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Τα απλά ενδεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών www.othisi.gr 2 Παρασκευή, 20 Μαΐου 2016 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 MAΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015 Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 000-015 Περιεχόμενα Θέματα Επαναληπτικών 015.................................................. 3 Θέματα 015............................................................

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. χρόνος σε min. 2. xa x. x x v

( ) 2. χρόνος σε min. 2. xa x. x x v ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΜΑΘ. ΚΑΙ ΣΤ. ΣΤΑΤ. ΤΑΞΗ Γ

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΜΑΘ. ΚΑΙ ΣΤ. ΣΤΑΤ. ΤΑΞΗ Γ Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 43 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 44 Α. Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παραγωγίσιμη σε κάθε Α και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι: (cf ()) = cf () Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε με Σ (σωστό)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Τι λέγεται ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων σχετικών συχνοτήτων; Ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι μια σειρά από

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Tι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; 3. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 000 0 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞETΑΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α. α) Δίνεται η συνάρτηση F() = f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F () f () g (). Μονάδες 8 β) Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ευτέρα, 18 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ευτέρα, 18 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 ευτέρα, 8 Μα ου 009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

4

4 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ προς απάντηση Διαφορικός Λογισμός Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Tι λέγεται τιμή μίας συνάρτησης f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ ΘΗΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΘΕΤ ΘΕ 1. ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f x g x f x g x, για κάθε x ονάδες 7. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Β.. Β.. Β.. Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ

Διαβάστε περισσότερα

1% = 100% 25 = 100. v 400. v = 6v v = 6 40 v = 240. = = 360 v v v + v + v + v = v v = 400

1% = 100% 25 = 100. v 400. v = 6v v = 6 40 v = 240. = = 360 v v v + v + v + v = v v = 400 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 000 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 A.. α.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 ΘΗΤΙ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέματα και παντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα αθηματικών http://www.othisi.gr ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ 07 Δευτέρα, Ιουνίου 07 Γ ΛΥΕΙΟΥ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8.

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ(4)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης,

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Το σύνολο Α, που λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - ΘΕΩΡΙΑ Γιάννης Ζαμπέλης ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Τι ονοµάζεται συνάρτηση Συνάρτηση (functon) είναι µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III):

Οµάδα (I): Οµάδα (II): Οµάδα (III): I Α) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ), δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση ίνονται τρείς οµάδες τιµών Οµάδα (I): 0

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 0 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα