Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

Transcript

1 ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό

2 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο D Β1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο Β Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο x 1 D µέγιστο. x 1 D τοπικό µέγιστο. Γ1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο Γ Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο x D ελάχιστο. x D τοπικό ελάχιστο. x Έστω η συνάρτηση f(x) = e 1, µε x R Α) Να βρείτε τις τιµές του x R ώστε f (x) = 0 Β1) Να αποδείξετε ότι το διάγραµµα C f τέµνει τους άξονες µόνο στην αρχή Ο (0,0) Β) Να βρείτε τις τιµές του x R ώστε η συνάρτηση f είναι θετική. Γ) Να βρείτε το σηµείο τοµής M της C f µε την ευθεία ( ε) : y = e 1 ) Να βρείτε τους θετικούς πραγµατικούς x, ώστε f(ln x) = x 1 Ε1) Να βρείτε το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης F(x) = f(x) f( x) Ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση F(x) = 1 είναι αδύνατη.

3 Όρια Α Έστω οι συναρτήσεις f και g οι οποίες στο έχουν όρια πραγµατικούς αριθµούς και έστω ότι lim f(x) = l 1 x o x x o, lim g(x) = l x x o Τότε lim ( f(x) + g(x) ) =... x x o lim f(x)g(x) = ( )... x x o Β1 Αν lim f(x) 1, τότε 3 + f(x) 0 = x lim = x 0 Β Αν lim f(x) 1 και lim g(x) = 1, τότε είναι lim = = x x x 0 f(x) + g(x) f(x) g(x) Έστω η συνάρτηση f(x) = x + x + k, x R και k R f(x) Ξέρουµε ότι lim = 1 x 0 x + 1 Α) Να αποδείξετε ότι κ = 1 και να γράψετε τον τύπο της f Β) Να αποδείξετε ότι f(x) 0 f(x 1) Γ1) Να βρείτε την τιµή του ορίου lim x 1 f(x) f(x) 3 Γ) Να βρείτε την τιµή του ορίου lim x 1 x 1 f(x) + λ Γ3) Αν lim 0 x λ x =, να βρείτε την τιµή της παραµέτρου λ + 1

4 3 Συνέχεια Α Να αναφέρετε, πότε η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A, λέγεται συνεχής στο Α Β1 Αν lim f(x) 0 0 = x Β Αν lim f(x) 0 0 = x, η συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής στο σηµείο 0, και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0, τότε f (0) = 0 Β3 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R µε µία ρίζα το 1, τότε lim f(x) 0 1 = x Β4 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, η γραφική της παράσταση της θα είναι µία συνεχής γραµµή. Έστω η συνεχής στο σηµείο x ο =, συνάρτηση µε α R 3 x 8 f(x) = x α αν αν x x = Α) Να βρείτε την τιµή του α Β) Να αποδείξετε ότι f(x) = x + x + 4, για κάθε x R f(x) f() Γ1) Να βρείτε την τιµή του ορίου lim x x Γ) Να βρείτε την τιµή του ορίου f()x lim x x 4 x

5 4 Παράγωγος αριθµός Έστω η συνάρτηση f και Μ ( x, f(x )) C ο ο ο ένα σηµείο της f Α1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε παράγωγο της f στο Α Να αναφέρετε πως συµβολίζεται ο παράγωγος στο Α3 Να αναφέρετε τι εκφράζει γεωµετρικά ο παράγωγος στο Α4 Να γράψετε την εφαπτόµενη ευθεία ε της σε συνάρτηση µόνο των αριθµών o x o x o x o C f στο σηµείο της x, του f(x o ) και f (x ) o M o Β) Έστω s = s(t), η συνάρτηση θέσης ενός κινητού Κ που κινείται ευθύγραµµα. Β1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε µέση ταχύτητα u _ του κινητού στη διάρκεια του χρονικού διαστήµατος h, από t o µέχρι t o + h Β Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε στιγµιαία ταχύτητα u o του κινητού τη στιγµή t o Έστω η συνάρτηση s s(t) = t Α1) Να αποδείξετε ότι η s είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 1, µε s (1) = Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της s C, στο σηµείο της M ( 1, s(1) ) Β) Έστω ότι η συνάρτηση s εκφράζει τη συνάρτηση θέσης ενός κινητού K που κινείται ευθύγραµµα όπου s (t) σε m και t 0 σε sec Β1) Να βρείτε τη µέση ταχύτητα _ u του K, στο διάστηµα από 1 µέχρι sec Β) Να βρείτε τη στιγµιαία ταχύτητα u του K, τη χρονική στιγµή 1 sec

6 5 Παράγωγος συνάρτηση Α) Έστω η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A Α1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε παράγωγο συνάρτηση της f Α Πως συµβολίζεται; Α3 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε δεύτερη παράγωγο µιας συνάρτησης f µε πεδίο ορισµού Α Β1 Η παράγωγος συνάρτηση της ταυτοτικής συνάρτησης είναι σταθερή συνάρτηση. Β Αν f (x) = f, g δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο R, µε g(x) 0 για κάθε x R f(x) f (x) τότε ισχύει = g(x) g (x) x Έστω οι συναρτήσεις f(x) = x + x + 1 και g (x) = f(x) 1 Α1) Να ορίσετε τη συνάρτηση h µε h(x) = g(x) ηλαδή να βρείτε το πεδίο ορισµού της και τον τύπο της. x e Α) Να λύσετε την εξίσωση h (x) = 0 Β1) Να βρείτε την παράγωγο h (x) Β) Αν x ο η µεγαλύτερη ρίζα της h (x) = 0, να βρείτε την τιµή h (x ο ) Β3) Αν η κλίση της εφαπτοµένης της f C στο σηµείο της ( x, f(x )) ισούται µε h (0), να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου Μ Μ 1 1

7 6 Παράγωγος συνάρτηση Α1 Να αποδείξετε ότι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f (x) = x, x R είναι η συνάρτηση f ' (x) = x, x R Α Έστω f, g δύο συναρτήσεις δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Να γράψετε τον τύπο παραγώγισης της σύνθεσης f (g(x)) Β1 Αν f µια παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση, τότε ( f (x)) = f (x) Β Αν f µια παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση µε f (x) = x, τότε ( f (1) ) = f (1) = 1 Β3 Αν f f, g δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο R, τότε ( (x)g(x)) = f (x)g (x) Αν f είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση να βρείτε τις παραγώγους αν: Α) f(x) =, x > 0 x 3 Β) f(x) = x t x + ηµ t, x R και t R x Γ) f(x) = x e ηµx ln x, x > 0 ) lnx f (x) =, x > 0 x e Ε) f(x) = xσυν x + x συν x, x R Ζ) x e f(x) = x e, x R + 1

8 7 Παράγωγος συνάρτηση π π Α1 Αν f (x) = ηµx + συν, τότε f (x) = συνx ηµ 3 3 Α Αν f (x) = x, τότε είναι f (x) = 0 Α3 Αν f (x) = x, τότε αποκλείεται να είναι f(x) = x + x + 1 Β1 Έστω η συνάρτηση (x) f( g(x) ) h = και έστω ότι x g (x) = e, µε x R Υποθέτουµε ότι f ( g(0) ) = 1 Τότε το h (0) ισούται µε Α: 0 Β : 1 Γ: : 3 Ε: 4 Β Η εφαπτόµενη της C στο σηµείο ( 1,f(1) ) f Τότε η παράγωγος της f για x = 1 είναι Α:1 Β: A σχηµατίζει µε τον x x γωνία 3 3 ο 30 Γ: 3 : 0 Έστω g(x) 3 = f(x)(x 1) και f (x) = αx + β για κάθε x R, µε α, β R Έστω ότι f (1) = και f (1) = 1 Α1) Να βρείτε τον τύπο της f και µετά να βρείτε και τον τύπο της g g (x) Α) Να βρεθεί την τιµή του ορίου lim x 1 x x Α3) Να βρείτε τον παράγωγο αριθµό g (1) Β1) Να βρείτε την εφαπτόµενη της C g στο σηµείο της εκείνο που αυτή τέµνει τον άξονα των τεταγµένων. Β) Να βρείτε την εφαπτόµενη της C g, που είναι παράλληλη στον x x

9 8 Παράγωγος συνάρτηση f Α Να αποδείξετε ότι ( (x) + g(x) ) = f (x) + g (x) Β1 ( ηµx) = συνx Β (ηµ x) = ηµx συνx Β3 x) = εφx (εφx) (εφ Β4 ( ηµ ) (x) = ηµ(x)συν( x) Β5 ηµx ( ηµx ) = συν(x) Η θέση ενός υλικού σηµείου το οποίο εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση 3 δίνεται από τον τύπο x = x(t) = t 1t + 60t + 3, όπου ο χρόνος t 0 µετράται σε sec και το x σε m Α) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σηµείου για t = 1sec B) Πότε το υλικό σηµείο είναι στιγµιαία ακίνητο; Γ) Πότε το σηµείο κινείται κατά την θετική ή την αρνητική κατεύθυνση ; ) Να βρείτε το ολικό διάστηµα που έχει διανύσει το σηµείο στη διάρκεια των πρώτων 6 sec

10 9 Εφαρµογές παραγώγων Α1 Αν για τη συνάρτηση f είναι f (xο) = 0 για x ο (α,β) f (x) > 0 στο ( α,xο ) και f (x) < 0 στο x,β) τότε η f θα παρουσιάζει στο διάστηµα ( α,β), για x = xο... Α Αν για τη συνάρτηση f είναι f (xο) = 0 για x ο (α,β) ( ο f (x) < 0 στο ( α,xο ) και f (x) > 0 στο x,β) τότε η f θα παρουσιάζει στο διάστηµα ( α,β) για x = xο... x Β1 Αν f(x) = e + x + 1, για κάθε x R, τότε η f είναι γνήσια αύξουσα. x Β Αν f (x) = e + x + 1, για κάθε x R, τότε η f είναι γνήσια αύξουσα. Β3 Αν f (x) = e x 1, για κάθε x R τότε η f θα είναι γνήσια φθίνουσα στο (,0), αφού f (x) < 0 στο (,0) και η f θα είναι γνήσια αύξουσα στο ( 0, + ), αφού f (x) > 0 στο ( 0, + ) Οπότε η f στο σηµείο 0 παρουσιάζει το µοναδικό της ελάχιστο. ( ο x 1 Έστω η συνάρτηση µε τύπο f(x) = 3, µε x R x e Α) Να υπολογίσετε το όριο e lim x 1 x f(x) x 1 Β) Να αποδείξετε ότι ( f (x) + f (x)) = 3 e x Γ1) Να µελετήσετε την f (x) ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. Γ) Να συγκρίνετε τους αριθµούς f (e), f ( 10)

11 10 Εφαρµογές παραγώγων Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά µε λέξεις ή µαθηµατικά σύµβολα ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. Α1 Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και ισχύει f (x) > 0, για κάθε...σηµείο του τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως... στο Α Η συνάρτηση f (x) = lnx + x + 1 είναι γνησίως... στο ( 0, + ) γιατί f (x)...., για κάθε x > 0 Α3 Για την ορισµένη στο R συνάρτηση f είναι f (x) = x, x R Αυτή είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα... και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα... Έχει µοναδικό ολικό... στο σηµείο... 1 Έστω η συνάρτηση f(x) = x + 1 Α1) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της. Α) Να βρείτε την f (x) Α3) Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. Β) Να βρείτε την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο που αυτή παρουσιάζει το τοπικό ακρότατο. Γ) Να αποδείξετε ότι f (x) = 6x ( x + 1) 3 f(x) 1 ) Να υπολογίσετε το όριο lim x 0 x

12 11 Εφαρµογές παραγώγων Έστω το κινητό K που κινείται ευθύγραµµα µε συνάρτηση θέσης y = x(t) ταχύτητα y = u(t) και επιτάχυνση y = α(t) Α1 Η ταχύτητα είναι η παράγωγος της θέσης x (t) Α Η επιτάχυνση είναι η παράγωγος της θέσης x (t) Α3 Η επιτάχυνση είναι η παράγωγος της ταχύτητας u (t) Β1 Το Κ µένει στιγµιαία ακίνητο, αν u (t) 0 Β Το Κ κινείται κατά τη θετική φορά, αν u (t) 0 Β3 Το Κ κινείται κατά την αρνητική φορά, αν u (t) 0 Η θέση ενός υλικού σηµείου το οποίο εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση 3 δίνεται από τον τύπο x(t) = t + αt + βt, t [0,10] όπου το t µετριέται σε δευτερόλεπτα sec και το x σε µέτρα m Α) Αν για την χρονική στιγµή t = 1s η ταχύτητα του σηµείου είναι u (1) = 9m / s και η επιτάχυνση του α(1) Β) Έστω α = 9 και β = 4 = 1m / s, να βρείτε τις τιµές των α και β Να βρείτε Β1) πότε το µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου είναι Β) τα χρονικά διαστήµατα κατά τα οποία το σηµείο κινείται κατά τη θετική ή την αρνητική κατεύθυνση. Β3) πότε το σηµείο µένει ακίνητο. 9 m / s Β4) πότε η ταχύτητα του σηµείου αυξάνεται και πότε µειώνεται. Β5) πότε η ταχύτητα γίνεται ελάχιστη. Β6) ποιο είναι το ολικό διάστηµα που διήνυσε το σηµείο στα πρώτα 10 δευτερόλεπτα της κίνησής του.

13 1 Βασικές έννοιες Α) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις δίνουν και µεταβλητές και τότε να εξετάσετε ποιες είναι ποιοτικές και ποιες είναι ποσοτικές και από τις ποσοτικές να βρείτε ποιες είναι διακριτές και ποιες είναι συνεχείς. Α1 Η βαθµολογία των µαθητών στο Λύκειο. Α Η βαθµολογία των µαθητών στην Α ηµοτικού. Α3 Η βαθµολογία των µαθητών στην Σ Τ ηµοτικού. Α4 Εξετάσαµε τους µαθητές ενός λυκείου και τους κατατάξαµε σχετικά µε το ύψος τους, σε «Κοντούς» ή «Ψηλούς». Α5 Εξετάσαµε τους µαθητές ενός λυκείου σχετικά µε το ύψος τους και τους οµαδοποιούµε αναγράφοντας το ύψος τους σε cm σε αυτούς των οποίων το ύψος είναι µικρότερο από 165 cm και σ αυτούς που είναι από 165 cm και πάνω. Α6 Εξετάσαµε τους µαθητές ενός λυκείου σχετικά µε το βάρος τους σε kg. Β) Θα ελέγξουµε ποια από τα δείγµατα είναι το πιο αντιπροσωπευτικό. Κάποιος θέλει να σχηµατίσει µια ιδέα σχετικά µε το πώς έγραψαν οι µαθητές. στις Πανελλήνιες εξετάσεις. Έτσι Β1 Τηλεφωνεί σε γνωστούς του µαθητές. Β Επιλέγει µαθητές από διάφορα Λύκεια της Ελλάδας. Έγινε µια δειγµατοληψία για το πόσα αδέρφια έχουν 30 µαθητές ενός τµήµατος. Εξετάσαµε 10 απ αυτά και πήραµε τα αποτελέσµατα: 1,, 1, 0, 0,, 1, 3, 1, Να βρείτε Α) Ποιος είναι ο πληθυσµός. Β) Ποιες είναι οι µονάδες του πληθυσµού. Γ) Ποιο είναι το δείγµα. ) Ποια είναι η µεταβλητή, ποιες οι παρατηρήσεις και ποιες οι τιµές.

14 13 Παρουσίαση διακριτών µεταβλητών Έστω ότι x 1,x,..., xκ είναι οι τιµές µε συχνότητες αντίστοιχα τις ν 1, ν,..., νκ µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν µε κ ν Α1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε απόλυτη συχνότητα ν i της τιµής Α Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε σχετική συχνότητα f i της τιµής Α3 Να αποδείξετε ότι f + f f 1 1 κ = x i x i Β1 Είναι ν1 + ν νκ = ν Β Είναι 0 fi 1 για i = 1,,... κ Β3 f % = 100f i i Ρωτήσαµε 50 οικογένειες σχετικά µε τον αριθµό των παιδιών τους. Πήραµε το διπλανό πίνακα. Να βρείτε Α 1 ) Τις τιµές της µεταβλητής Α ) Τις συχνότητες αυτών. Αριθµός παιδιών x i Αριθµός οικογενειών ν i Α 3 ) Τις σχετικές συχνότητες και τις εκατοστιαίες σχετικές συχνότητες αυτών. Α 4 ) Τις αθροιστικές συχνότητες και τις αθροιστικές εκατοστιαίες σχετικές συχνότητες αυτών. Β 1 ) Πόσες οικογένειες έχουν το πολύ παιδιά. Β ) Πόσες οικογένειες έχουν τουλάχιστον παιδιά.

15 14 Παρουσίαση διακριτών µεταβλητών Έστω ότι x 1,x,..., xκ είναι οι τιµές µε συχνότητες αντίστοιχα τις ν 1, ν,..., νκ µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν µε κ ν Α1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε αθροιστική συχνότητα Ν i της τιµής x i Α Να αναφέρετε τι εκφράζει η αθροιστική συχνότητα Α3 N1 + N Nκ = 1 Α4 N κ = Nκ 1 + νκ Α5 N κ = ν Ν i της τιµής Β1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε σχετική αθροιστική συχνότητα F i της τιµής Β Να αναφέρετε τι εκφράζει η σχετική αθροιστική συχνότητα F i της τιµής x i x i x i Β3 Είναι f ν για i = 1,,... κ i i Έστω ο πίνακας που δείχνει τις τιµές 1,,3,4,5, 6 µίας µεταβλητής. Για κάποιο λόγο, σβήστηκαν δεδοµένα. x i ν i f i N i F i f i % F i % , , Σύνολο Α) Να βρείτε το µέγεθος ν του δείγµατος Β) Να συµπληρώστε τον πίνακα.

16 15 Ποιοτικές µεταβλητές Έστω η ποιοτική µεταβλητή Χ Α1 Στο ραβδόγραµµα συχνοτήτων το άθροισµα των υψών των ορθογωνίων είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος ν Α Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται µόνο για την απεικόνιση ποιοτικών µεταβλητών. Α3 Στο κυκλικό διάγραµµα η συχνότητα v i µια τιµής x i είναι ανάλογη προς το αντίστοιχο τόξο του κυκλικού τοµέα στον οποίο αντιστοιχεί. i Α4 Σε ένα κυκλικό διάγραµµα ισχύει α = 360 i f ν Με ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνεται το µορφωτικό επίπεδο των 800 εργαζοµένων µιας επιχείρησης σε 4 κατηγορίες. Α Κατηγορία : Απόφοιτοι Γυµνασίου. Β Κατηγορία : Απόφοιτοι Λυκείου. Γ Κατηγορία : Πτυχιούχοι Ανώτατης Εκπαίδευσης. Κατηγορία : Κάτοχοι Μεταπτυχιακού Τίτλου. Κάθε εργαζόµενος ανήκει σε µία µόνο από τις κατηγορίες αυτές. Στην Α Κατηγορία ανήκει το 5 % των εργαζοµένων της επιχείρησης. Η γωνία του τοµέα που αντιστοιχεί στους εργαζόµενους της Κατηγορίας είναι ο 18 Οι εργαζόµενοι της Β κατηγορίας είναι Κατηγορίας. 6 πλάσιοι των εργαζοµένων της Γ Α) Να υπολογίσετε τον αριθµό των εργαζοµένων κάθε κατηγορίας. Β Γ Α Β) Να παραστήσετε µε ραβδόγραµµα την πιο πάνω κατανοµή.

17 16 Ποσοτικές µεταβλητές Α Αν ενώσουµε τα µέσα των πάνω βάσεων του ραβδογράµµατος προκύπτει τµήµα του πολυγώνου συχνοτήτων. Β Έστω µεταβλητή µε τιµές x 1,x,..., xκ µε αντίστοιχες συχνότητες ν 1,ν,..., νκ Το πλήθος του δείγµατος είναι ν και ξέρουµε ότι N κ = 10, ν κ 1 = 1 και ν κ = Τότε δεν είναι ορθή η επιλογή Α: Νκ Νκ = 3 Β: Ν κ = 7 Γ: N κ 1 = 8 : Νκ + Νκ 1 = 13 Οι βαθµοί 50 φοιτητών στο µάθηµα των µαθηµατικών φαίνονται στο διπλανό πίνακα. Α) Συµπληρώσετε τον πίνακα µε τις στήλες των f i, f i %, N i, F i, F i % Β) Να κατασκευάσετε το διάγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων και µετά το αντίστοιχο πολύγωνο. Γ) Να βρείτε τον αριθµό και το ποσοστό των φοιτητών που έγραψαν Γ 1 ) 5 Γ ) Από 6 ως και 8 Γ 3 ) Πάνω από 8 x i ν i ) Να κατασκευάσετε το διάγραµµα των εκατοστιαίων σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο. ) Η σχολή θα δώσει υποτροφία στο 14 % των φοιτητών µε την µεγαλύτερη βαθµολογία. Να βρείτε ποιος είναι ο ελάχιστος βαθµός που πρέπει να γράψει ένας φοιτητής για να πάρει υποτροφία.

18 17 Ποσοτικές µεταβλητές Α Πλάτος της κλάσης µε άκρα α, β ονοµάζεται ο αριθµός α + β Β Το κέντρο κάθε κλάσης ισούται µε την ηµιδιαφορά των άκρων της. Γ Το άθροισµα των κεντρικών τιµών ισοπλατών κλάσεων ισούται µε το εύρος. Κατά την οµαδοποίηση παρατηρήσεων αν R είναι το εύρος του δείγµατος και κ ο αριθµός των κλάσεων το πλάτος των κλάσεων c, είναι R c στρογγυλεύοντας ίσως προς τα πάνω. κ Η βαθµολογία 50 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι η πιο κάτω Α 1 ) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων. Α ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων. Β 1 ) Να οµαδοποιήσετε τα πιο πάνω δεδοµένα σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους Γνωρίζουµε ότι η κεντρική τιµή της πρώτης κλάσης ισούται µε Β ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων. Β 3 ) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. Γ) Ο καθηγητής επέλεξε να τους προάγει στο επόµενο έτος µε βάση την οµαδοποίηση, αλλά οι φοιτητές αντέδρασαν, είχαν δίκιο?

19 18 Επαναληπτικό f Α Να αποδείξετε ότι ( (x) + g(x) ) = f (x) + g (x) Β 1 Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται µόνο για ποιοτικά δεδοµένα. Β Πλάτος της κλάσης [ α,β) ονοµάζεται ο αριθµός α β Β 3 Το άθροισµα των κεντρικών τιµών ισοπλατών κλάσεων, ισούται µε το εύρος. 10x 10 3 Έστω οι συναρτήσεις f(x) = και g(x) = x 3x + x + 1 x x και ο πιο κάτω ηµιτελής πίνακας συχνοτήτων. x i v i f i % µ 3 ξ 0, 4 0, 16 f x i i v i N i Α) Να βρείτε τα πεδία ορισµού των f και g f(x)(x 1) Β) Να βρείτε τα όρια Β 1 ) lim f(x), Β ) lim x 1 x 1 g(x) Γ 1 ) Αφού απλοποιήσετε τον τύπο της f να βρείτε τη πρώτη παράγωγο της. Γ ) Να βρείτε την εφαπτοµένη της A 1, f( 1) C στο σηµείο της ( ) 1 ) Να βρείτε την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο της g ) Να εξετάσετε τη g ως προς τα ακρότατα. Ε) Έστω τώρα ότι µ = lim f(x) και ξ = g (4) 8 x 1 Ε 1 ) Να συµπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. Ε ) Να κάνετε το διάγραµµα και το πολύγωνο συχνοτήτων. f Ε 3 ) Να οµαδοποιήσετε τα πιο πάνω δεδοµένα σε 3 κλάσεις ίσου πλάτους 1, 5 όπως θέλετε και να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα και το πολύγωνο συχνοτήτων.

20 19 Μέση τιµή Α 1 Να αναφέρετε τι λέµε µέση τιµή ή αριθµητικό µέσο _ x των ν παρατηρήσεων t ενός δείγµατος. 1, t,..., t ν Α Αν στις τιµές x1, x,..., xκ δίνεται διαφορετική βαρύτητα ή έµφαση χρησιµοποιούµε τον σταθµισµένο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο. Αν σε κάθε τιµή x δώσουµε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται 1, x,..., xκ µε τους λεγόµενους συντελεστές βαρύτητας ή στάθµισης w 1, w,..., w κ να αναφέρετε από ποιον τύπο δίνεται ο σταθµικός µέσος. Β Έστω ότι σε µία δειγµατοληψία έχουµε 0 παρατηρήσεις τις t 1, t,..., t 0 ανά δύο ίδιες και τις 10 τιµές x 1, x,..., x10 της. Η µέση τιµή των παρατηρήσεων είναι x = 0 Σ t ν t + t t 0 10 Σ x ν = ν _ i i i i= i= = = = 10 Ο χρόνος οµιλίας σε κινητό 10 µαθητών δίνεται από τον πίνακα: 10, 10, 0, 30, 0, 10, 10, 0, 30, 0 σε λεπτά Α) Να βρείτε το µέσο όρο του χρόνου οµιλίας. Β) Αν αυξήσουν όλοι το χρόνο οµιλία τους κατά χρόνο t σε min και νέος µέσος όρος του χρόνου οµιλίας είναι τώρα ίσος µε 8 min να βρείτε την αύξηση t Γ) Αν αυξήσουν όλοι το χρόνο οµιλία τους κατά x % και νέος µέσος όρος του χρόνου οµιλίας είναι τώρα ίσος µε 7 min να βρείτε το x

21 0 Μέτρα θέσης σε διακριτή µεταβλητή Α Να αναφέρετε πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος v παρατηρήσεων. Β1 Αν έχουµε περιττό πλήθος παρατηρήσεων, η διάµεσος θα είναι τιµή του δείγµατος. Β Αν η διάµεσος είναι τιµή του δείγµατος, θα έχουµε περιττό πλήθος παρατηρήσεων. Β3 Αν έχουµε άρτιο πλήθος παρατηρήσεων, η διάµεσος αποκλείεται να είναι τιµή του δείγµατος. Β4 Αν η διάµεσος δεν είναι τιµή του δείγµατος, θα έχουµε άρτιο πλήθος παρατηρήσεων. Οι θερµοκρασίες των 0 πρώτων ηµερών του µήνα Απριλίου σε βαθµούς Κελσίου C φαίνονται στο διπλανό πίνακα. Η µέση θερµοκρασία των παραπάνω ηµερών είναι 4,4 C Α 1 ) Να συµπληρώσετε τον πίνακα. x i ν i Α ) Να βρείτε την διάµεση θερµοκρασία. Β) Από κάποιο όµως λάθος, διαπιστώθηκε ότι το θερµόµετρο έδειχνε ένα βαθµό περισσότερο από το κανονικό. Να βρείτε τη νέα πραγµατική µέση θερµοκρασία. Γ) Τώρα µετα την αλλαγή των θερµοκρασιών να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε 3 κλάσεις ίσου πλάτους και να βρείτε την νέα µέση τιµή.

22 1 Μέτρα θέσης σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα Α Έστω µία συνεχής µεταβλητή στην οποία οµαδοποιήσαµε τα δεδοµένα. Α1 Να αναφέρετε πως ορίζουµε τη µέση τιµή των παρατηρήσεων. % F i Α Να αναφέρετε πως ορίζουµε τη διάµεσο των παρατηρήσεων. O x i Η βαθµολογία 50 µαθητών σε έναν µαθηµατικό διαγωνισµό φαίνεται στο διπλανό πίνακα. Κλάσεις ν i [ 10,1) 5 [ 1,14) 10 [ 14,16) 0 [ 16,18) 10 [ 18,0) 5 ΣΥΝΟΛΟ 50 Οι παρατηρήσεις θεωρούµε ότι είναι όµοιες, δηλαδή ότι είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες. Α) Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο. Β) Να βρείτε τον αριθµό των µαθητών που έγραψαν µέχρι 15 Γ 1 ) Να υπολογίσετε τη µέση βαθµολογία των µαθητών. Γ ) Να υπολογίσετε τη διάµεση βαθµολογία των µαθητών. ) Αν για την επόµενη φάση του διαγωνισµού προκρίνεται το 30 % των µαθητών ποιά είναι η ελάχιστη βαθµολογία που πρέπει να γράψει ένας µαθητής, ώστε να προκριθεί στην επόµενη φάση;

23 Μέτρα θέσης Έστω µία µεταβλητή στην οποία οµαδοποιήσαµε τα δεδοµένα. Έστω και οι διπλανές καµπύλες συχνοτήτων των κατανοµών Α και Β ίδιου εύρους. οι οποίες είναι συµµετρικές αντίστοιχα ως προς τι κατακόρυφες ευθείες που βλέπουµε. Α Είναι δ < δ Α Β Β Οι συχνότητες των διαµέσων είναι ίσες. Σε ένα σχολείο πραγµατοποιήθηκε µία έρευνα για το ύψος των µαθητών αλλά τα δεδοµένα χάθηκαν και βρέθηκε µόνο το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων Α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα. Κέντρο Χρόνια Κλάσης x i [ ) 150 [ ) 160 [ ) 170 [ ) 180 [ ) 190 [195-05) 00 [05-15) 10 Σύνολο 0 ν i N i F i % Β) Να αποδείξετε ότι για τη διάµεσο δ είναι 175 < δ < 185 Γ) Να βρείτε τη µέση τιµή.

24 3 Μέτρα διασποράς Α1 Να αναφέρετε τι λέµε εύρος ή κύµανση κάποιων παρατηρήσεων. Α Πως ορίζεται αυτή σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα ; Β1 Να αναφέρετε τι λέµε διακύµανση κάποιων παρατηρήσεων. Β Πως ορίζεται αυτή σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα ; Ένα εργοστάσιο έχει v στελέχη και σε εκατοντάδες uro όπου ν θετικός φυσικός. 4 ν εργάτες, µε µισθούς x i, i = 1,...,5ν Ο µηνιαίος µισθός κάθε εργάτη είναι 750 και κάθε στελέχους είναι 1100 Α 1 ) Να βρείτε το µέσο µισθό x Ε των εργατών και µέσο µισθό Σ x των στελεχών. Α ) Να βρείτε την τυπική απόκλιση των µισθών των εργατών και των στελεχών. Α 3 ) Να βρείτε το µέσο µηνιαίο µισθό _ x όλων των υπαλλήλων. Β) Υποθέτουµε ότι η τυπική απόκλιση όλων των µισθών είναι 140 uro 5ν και t i = uro i= 1 5ν t 5ν i 1 i= 1 ίνεται: s = t i όπου 5 ν το πλήθος των υπαλλήλων. 5ν 5ν i= 1 Να αποδείξετε ότι το εργοστάσιο απασχολεί 50 υπαλλήλους. Γ) Το εργοστάσιο αποφασίζει να αυξήσει τις µηνιαίες αποδοχές των εργατών κατά α uro και να µειώσει τις µηνιαίες αποδοχές των στελεχών κατά β uro ώστε το µέσο µηνιαίο µισθολόγιο να µην υπερβεί τα 840 uro Να αποδείξετε ότι 4α β 100

25 4 Συντελεστής µεταβολής s s Έστω η καµπύλη συχνοτήτων που είναι κανονική ή περίπου κανονική. x 3s x s Έστω x η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων. Α1 Στο ( x s, x + s) βρίσκεται περίπου το των παρατηρήσεων. Α Στο ( x s, x + s) βρίσκεται περίπου το των παρατηρήσεων. Α3 Στο ( x 3s, x + 3s) βρίσκεται περίπου το των παρατηρήσεων. Β Είναι R x 6 s δ Γ1 Τι λέµε συντελεστή µεταβολής ή µεταβλητότητας CV των παρατηρήσεων; Γ Πότε ένα δείγµα λέγεται οµοιογενές; x s x x + s Γ3 Όσο µικρότερο CV έχουµε, τόσο µικρότερη διασπορά έχουµε. x + s x + 3s 1 Αν y1 1 + = x c,..., y = x c c :σταθερά, τότε y _ = x, s = s c ν ν + y x + Αν y 1 = cx 1,..., y ν = cx ν c : σταθερά, τότε y c x =, s y = c s x Ο χρόνος οµιλίας σε min το µήνα ν µαθητών, είναι περίπου κανονική µε µέση τιµή x, τυπική απόκλιση s και συντελεστή µεταβλητότητας CV = 0% Πάνω από 14 λεπτά, µιλάει µόνο το,5% του δείγµατος, 68 µαθητές µιλάνε 68 περισσότερο από 10 min και λιγότερο από 1 min Α 1 ) Να βρείτε τη µέση τιµή και την τυπική απόκλιση του χρόνου οµιλίας. Α ) Να βρείτε το πλήθος ν των µαθητών. Β) Να βρείτε πόσοι µαθητές µιλάνε λιγότερο από 1 min. Γ 1 ) Η εταιρεία τηλεφωνίας, πριµοδοτεί όλους τους µαθητές κατά 10 % επιπλέον δωρεάν χρόνο οµιλίας. Μεταβάλλεται ο συντελεστής µεταβλητότητας; Γ ) Στη συνέχεια, µετά την προηγούµενη πριµοδότηση, η εταιρεία ξαναπριµοδοτεί όλους τους µαθητές, µε µισή ώρα επιπλέον δωρεάν χρόνο οµιλίας. Είναι τώρα το δείγµα οµοιογενές;

26 5 Ενδεχόµενα Α1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε αιτιοκρατικό πείραµα. Α Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε πείραµα τύχης. Α3 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε δυνατά αποτελέσµατα του πειράµατος. Α4 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε δειγµατικό χώρο Ω Β1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε ενδεχόµενο ή γεγονός. Β Να αναφέρετε πότε λέµε ότι αυτό πραγµατοποιείται ή συµβαίνει. Β3 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε ευνοϊκές περιπτώσεις ενός ενδεχοµένου. Γ. Έστω τα ενδεχόµενα Α,Β Γ1 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε τοµή και τι ένωση δυο ενδεχοµένων. Γ Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε συµπλήρωµα του Α Γ3 Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε διαφορά του Α από το Β. Να γράψετε µε τη βοήθεια των συνόλων, το ενδεχόµενο 1 να πραγµατοποιείται ή µόνο το Α ή µόνο το Β να µην πραγµατοποιείται κανένα από τα Α και Β Ε1 A B = Α (Α B) = A B Ε Α Β = (Α Β) (Α Β) (Β Α) Α Β Ω Ρίχνουµε ένα νόµισµα 3 φορές. Α) Να βρείτε τα ενδεχόµενα Α 1 ) Α: Το αποτέλεσµα της 1 ης ρίψης να είναι διαφορετικό από τα αποτελέσµατα της ης ρίψης και 3 ης ρίψης Α ) Β: Το αποτέλεσµα της 3 ης ρίψης να είναι διαφορετικό από τα αποτελέσµατα της 1 ης ρίψης και ης ρίψης Β) Να βρείτε τα ενδεχόµενα Β 1 ) A B, Β ) A B, Β 3 ) Α Β, Β 4 ) A B

27 6 Πιθανότητες Α Σε ν εκτελέσεις ενός πειράµατος, ένα ενδεχόµενο Α πραγµατοποιείται κ φορές. Να αναφέρετε τι ονοµάζουµε σχετική συχνότητα του ενδεχοµένου Α Β1 Τι ονοµάζεται στατιστική οµαλότητα ή νόµο των µεγάλων αριθµών. Β Να αναφέρετε πως ορίζεται η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου Α σε ένα δειγµατικό χώρο πεπερασµένου πλήθους στοιχείων µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Γ Να αναφέρετε γενικότερα, πως ορίζεται η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου A = {α,α,...,α } 1 κ σε ένα δειγµατικό χώρο Ω = {ω,ω,...,ω } πεπερασµένου πλήθους στοιχείων. 1 Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται σε ασθενείς που πάσχουν από κάποιο νόσηµα που οφείλεται και σε κληρονοµικούς παράγοντες. ν Ηλικία ασθενούς Ελαφριά Περίπτωση Με κληρονοµικά αίτια Σοβαρή περίπτωση Με κληρονοµικά αίτια ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ Κάτω από 50 ετών 15 % 10 % 8 % % Πάνω από 50 ετών 15 % 0 % 0 % 10 % Επιλέγουµε τυχαία έναν ασθενή και θεωρούµε τα ενδεχόµενα: Α: «Η κατάσταση του ασθενή να είναι σοβαρή.» Β: «Ο ασθενής είναι κάτω από 50 ετών.» Γ: «Υπάρχουν κληρονοµικά αίτια.» Α) Να βρείτε τις πιθανότητες Α1) P (A) Α) Ρ (Β) Α3) Ρ (Γ) Α4) Ρ(Α Β) Α5) P(A Γ) Β) Να διατυπώσετε στη γλώσσα των συνόλων τα ενδεχόµενα: Β1) A B Β) ( ) Α Β Β) Α Β Β3) ( ) Α Β Β4) A B Β5) Α Β Β5) Α (Α Β) παραστήστε τα µε διαγράµµατα Venn και να βρείτε τις πιθανότητες τους.

28 7 Πιθανότητες Α Να αποδείξετε ότι για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και του χώρου Ω, ισχύει Ρ(Α') = 1 Ρ(Α) Β1 Για τα ενδεχόµενα Α, Β του χώρου Ω είναι Ρ (Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Α Α ' Β Ω Β Αν Α Β τότε Ρ(Α Β) Ρ(Β) A B A B Β Α Β3 Ρ ((Α Β) (Α Β) ) = Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Έστω τα ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ώστε Ρ (Α Β) = Α1) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ (Α) Α) Να αποδείξετε ότι Ρ(Α Β) 0, 5 Έστω τώρα ότι είναι και Ρ ((Α Β) ) = 1 Β) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα Ρ (Β) = Γ) Να βρείτε τις πιθανότητες Γ1) Ρ(Β Α) 1 4 Γ) Ρ( (Α Β) (Β Α) ) Γ3) Ρ( (Α Β) (Β Α) ) Γ4) Ρ( (Α Β) (Α Β) (Β Α) ) Ρ (Α Β) = ) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου να πραγµατοποιείται το Α ή να µην πραγµατοποιείται το Β

29 8 Πιθανότητες Α Έστω ο χώρος Ω και τα ενδεχόµενα Α και Β αυτού ώστε όταν δεν πραγµατοποιείται το Α να µην πραγµατοποιείται και το Β Η πιθανότητα να πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β, είναι Ρ(Α) Ρ(Β) Β Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω και τα µη κενά ενδεχόµενά του Α, Β,Γ όπως φαίνονται στο διπλανό σχήµα µε τα διαγράµµατα του Venn. Να εκφράσετε το γραµµοσκιασµένο χωρίο, σε συνάρτηση των Α,Β,Γ Α Β Γ Ω Από τους ένοικους µίας πολυκατοικίας ένα 60 % αυτών ενοικιάζει βιντεοκασέτα ένα 40% αυτών ενοικιάζει DVD και το 48% αυτών ενοικιάζει µόνο βιντεοκασέτα και δεν ενοικιάζει DVD Επίσης υπάρχουν και 3 ένοικοι που δεν ενοικιάζουν κανένα από τα δύο. Επιλέγουµε τυχαία ένα ένοικο. Θεωρούµε τα ενδεχόµενα V: Ο ένοικος να ενοικιάζει Video και D: Ο ένοικος να ενοικιάζει DVD Α) Ποια είναι η πιθανότητα ο ένοικος να ενοικιάσει βιντεοκασέτα και DVD Β) ιατυπώστε το ενδεχόµενο D V και υπολογίστε την πιθανότητά του. Γ) Να βρείτε την πιθανότητα, ο ένοικος να µην ενοικιάσει βιντεοκασέτα και να µην ενοικιάσει DVD. ) Υπολογίστε το πλήθος των ενοίκων της πολυκατοικίας.

30