3.2 Πίνακες και Γραφήματα για Επαναλαμβανόμενες Τιμές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3.2 Πίνακες και Γραφήματα για Επαναλαμβανόμενες Τιμές"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αριθμητικά Δεδομένα 3.1 Γενικά Τα αριθμητικά δεδομένα προκύπτουν από την παρατήρηση ή καταγραφή μιας ποσοτικής μεταβλητής. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Πρώτον, η μεταβλητή μπορεί να είναι είτε συνεχής είτε διακριτή (δηλαδή μπορεί να πάρει λίγες αριθμητικές τιμές) οπότε στα δεδομένα θα υπάρχουν επαναλαμβανόμενες τιμές και δεύτερον, η μεταβλητή είναι συνεχής. Η περιγραφική στατιστική στις δύο περιπτώσεις διαφοροποιείται κυρίως ως προς τον τρόπο που οργανώνονται τα δεδομένα σε μία κατανομή και ως προς τις γραφικές παραστάσεις που είναι κατάλληλες σε κάθε περίπτωση. Υπενθυμίζεται ότι στη στατιστική πρακτική, οι διακριτές μεταβλητές οι οποίες μπορούν να πάρουν μεγάλο πλήθος τιμών αντιμετωπίζονται ως συνεχείς (βλέπε και 1.5). 3.2 Πίνακες και Γραφήματα για Επαναλαμβανόμενες Τιμές Έστω ότι τα δεδομένα αποτελούνται από n μετρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής η οποία είναι διακριτή και οι δυνατές τιμές της είναι λιγότερες από n. Είναι προφανές ότι κάποιες ή όλες οι τιμές της επαναλαμβάνονται. Ο πιο φυσικός τρόπος να οργανωθούν οι n παρατηρήσεις είναι ένας πίνακας συχνοτήτων (frequency table) στον οποίον κάθε τιμή επαναλαμβάνεται φορές. O πίνακας ονομάζεται εναλλακτικά και κατανομή συχνοτήτων (frequency distribution). Είναι προφανές ότι ισχύει: = n. i Εναλλακτικά, μπορούμε να εκφράσουμε τις συχνότητες ως ποσοστά επί του πλήθους των παρατηρήσεων οπότε προκύπτει η κατανομή σχετικών συχνοτήτων (relative frequency distribution) ή επί τοις εκατό ποσοστιαία κατανομή (percent distribution) η οποία προσφέρεται για συγκρίσεις. Είναι προφανές ότι ισχύει: /n =1. i παράδειγμα 3.1 Για τους πρώτους εισαχθέντες στο Τμήμα Οικονομικών Επιστημών του ΑΠΘ, καταγράψαμε τις συμμετοχές τους στις Πανελλήνιες εξετάσεις και πήραμε τις εξής τιμές:

2 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Τα δεδομένα οργανώνονται στην ακόλουθη κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων, αντίστοιχα. Συμμετοχές Συχνότητα Σχετική συχνότητα x i /n Άθροισμα 1. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι στο παράδειγμα αυτό, η μεταβολή μιας συχνότητας κατά 1 θα έχει ως αποτέλεσμα τη μεταβολή της σχετικής συχνότητας κατά.5. παράδειγμα 3.2 Η βαθμολογία των φοιτητών του Οικονομικού Τμήματος του ΑΠΘ στο μάθημα Στατιστική ΙΙ, τον Ιούνιο 6 δίνεται στο ακόλουθο γράφημα ΒΑΘΜΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Στις ίδιες εξετάσεις ζητήθηκε από τους εξεταζόμενους να καταγράψουν τον βαθμό τους στη Στατιστική Ι και τα αποτελέσματα δίνονται στο ακόλουθο γράφημα Λείπει ΒΑΘΜΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Επισημαίνεται ότι περίπου 9 άτομα δεν έδωσαν τον βαθμό τους στη Στατιστική Ι (είτε δεν τον θυμόταν είτε προσήλθαν στις εξετάσεις στη Στατιστική ΙΙ χωρίς να έχουν εξεταστεί στην Στατιστική Ι). 3

3 Κεφάλαιο 3 Αριθμητικά Δεδομένα παράδειγμα 3.3 Δίνεται η κατανομή συχνοτήτων του αριθμού των παιδιών που γέννησαν 653 γυναίκες οι οποίες παντρεύτηκαν μετά τα 3 τους χρόνια και στη συνέχεια το αντίστοιχο ραβδόγραμμα συχνοτήτων. Αριθμός παιδιών Συχνότητα Σχετική συχνότητα x i /n Άθροισμα Μια τέτοια κατανομή μπορεί να δοθεί γραφικά με το ραβδόγραμμα. 1 Αριθμός Γυναικών ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΑΙΔΙΩΝ Την ίδια ακριβώς εικόνα θα πάρουμε αν στον κάθετο άξονα σημειώσουμε τις σχετικές συχνότητες (όπως φαίνεται στο σχήμα που δίνεται στην επόμενη σελίδα). ΣΗΜΕΙΩΣΗ Η κατανομή της βαθμολογίας, γενικά, θεωρείται εντάξει όταν είναι συμμετρική. Δεξιά λοξότητα είναι ένδειξη ότι τα θέματα ήταν δύσκολα ενώ η αριστερή λοξότητα ότι τα θέματα ήταν πολύ εύκολα. Το συγκεκριμένο γράφημα δίνει ενδείξεις για θέματα μάλλον δύσκολα και επιπλέον αντανακλά την τάση του διδάσκοντα να σπρώχνει το μη δημοφιλές 4 προς το 3 ή στο 5! 1 Να σημειωθεί ότι για το SPSS το ραβδόγραμμα δεν διαφοροποιείται είτε οι παρατηρήσεις είναι ποσοτικές αλλά διακριτές και επαναλαμβανόμενες είτε είναι κατηγορικές. 31

4 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ.3 Ποσοστό Γυναικών ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΑΙΔΙΩΝ Η αθροιστική και η αφαιρετική κατανομή συχνοτήτων Η αθροιστική συχνότητα που αντιστοιχεί στην τιμή x i συμβολίζεται με F i και είναι το πλήθος των παρατηρησεων που έχουν τιμή μέχρι και x i. Ο τρόπος με τον οποίο προσδιορίζετια είναι ανάλογος με αυτόν που είδαμε στα στα διατακτικά δεδομένα (βλέπε ενότητα 2.3). Ειδικότερα, θέτοντας ως αρχική συνθήκη F =, και επειδή ισχύει η αναδρομική σχέση έχουμε F i = F i 1 +, F 1 = F + f 1 = f 1 F 2 = F 1 + f 2 = f 1 + f 2 F 3 = F 2 + f 3 = f 1 + f 2 + f 3 κ.ο.κ. Ο πίνακας που σε κάθε τιμή x i αντιστοιχεί την αθροιστική της συχνότητα ονομάζεται πίνακας ή κατανομή αθροιστικών συχνοτήτων (cumulative or less than distribution). Αν μας ενδιαφέρει το πλήθος των παρατηρήσεων οι οποίες έχουν τιμή μεγαλύτερη ή ίση με x i τότε αρκεί από το άθροισμα των παρατηρήσεων να αφαιρέσουμε τις συχνότητες που αντιστοιχούν στις μικρότερες της x i τιμές. Έτσι προκύπτει η αφαιρετική συχνότητα και, αντίστοιχα, η κατανομή αφαιρετικών συχνοτήτων ( more than distribution). Οι αφαιρετικές συχνότητες συμβολίζονται με F i. Εκφράζοντας τις αθροιστικές ή τις αφαιρετικές συχνότητες ως ποσοστά επί του συνόλου των παρατηρήσεων προκύπτει η κατανομή των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων και, αντίστοιχα, η κατανομή των σχετικών αφαιρετικών συχνοτήτων. παράδειγμα 3.4 Για την κατανομή συχνοτήτων του παραδείγματος 3.1 οι αθροιστικές και οι αφαιρετικές συχνότητες υπολογίζονται στον ακόλουθο πίνακα. 32 x i F i F i F i /n F i /n

5 Κεφάλαιο 3 Αριθμητικά Δεδομένα Έτσι π.χ. μέχρι και 2 φορές έδωσαν 18 άτομα ή ποσοστό 9% ενώ 2 και περισσότερες φορές έδωσαν 8 άτομα δηλαδή ποσοστό %. 3.3 Ομαδοποίηση Όταν στις παρατηρήσεις υπάρχουν πολλές διαφορετικές τιμές, τα δεδομένα ομαδοποιούνται σε τάξεις (classes or bins) τιμών και παρουσιάζονται με τη μορφή μιας κατανομής συχνοτήτων (frequency distribution). Ειδικότερα, έστω θέλουμε να ομαδοποιήσουμε τις παρατηρήσεις x 1,x 2,...,x n μιας συνεχούς μεταβλητής X (η X μπορεί ακόμη να είναι διακριτή με μεγάλο πλήθος τιμών οπότε, όπως ειπώθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, αντιμετωπίζεται ως συνεχής). Για το σκοπό αυτό χωρίζουμε το εύρος των δεδομένων (data range), δηλαδή τη διαφορά R = x μέγιστη x ελάχιστη σε ίσα διαδοχικά διαστήματα ή τάξεις και καταγράφουμε τη συχνότητα των παρατηρήσεων που ανήκουν σε κάθε τάξη. Πρέπει επομένως να επιλέξουμε το πλήθος, το εύρος και τα όρια των τάξεων. ΠΛΗΘΟΣ ΤΑΞΕΩΝ. Επιλέγεται παίρνοντας υπόψη το πλήθος των παρατηρήσεων καθώς και τον σκοπό για τον οποίο προορίζεται η κατανομή. Οι ακόλουθες πρακτικές παρατηρήσεις μπορεί να φανούν χρήσιμες: Όταν τα δεδομένα είναι λιγότερα από 1 επιλέγουμε συνήθως μέχρι 1 τάξεις. Από 1 ως 1 συνήθως αρκούν 1-12 τάξεις. Από 1 ως 1 αρκούν τάξεις. Αν υπάρχουν πολλές μηδενικές συχνότητες συνιστάται η μείωση του αριθμού των τάξεων. Αν η κατανομή είναι πολύ ανώμαλη δοκιμάζουμε να αυξήσουμε τον αριθμό των τάξεων. Όταν σκοπός της ομαδοποίησης των δεδομένων είναι απλώς η περιληπτική τους παρουσίαση, το πλήθος των τάξεων δεν πρέπει να ξεπερνά το. ΤΑΞΙΚΟ ΕΥΡΟΣ δηλαδή η διαφορά της κατώτερης από την ανώτερη τιμή. Συμβολίζεται με c και προσδιορίζεται ως εξής: διαιρούμε το εύρος R με τον αριθμό των τάξεων κ και στρογγυλοποιούμε το αποτέλεσμα έτσι ώστε να προκύπτει ένας αριθμός εύχρηστος και οικείος στον μέσο αναγνώστη. Τέτοιοι είναι π.χ. οι αριθμοί.5,.1, 2, 4, 5, 1, 15,, 25 κλπ. ΟΡΙΑ ΤΑΞΕΩΝ δηλαδή την κατώτερη και την ανώτερη τιμή για κάθε τάξη. Επιλέγοντας τα όρια αυτά πρέπει να έχουμε υπόψη ότι η κεντρική τιμή κάθε τάξης πρόκειται να χρησιμοποιηθεί σε περαιτέρω υπολογισμούς, οπότε κεντρικές τιμές όπως 5, 1, 15,... είναι προτιμότερες από τις 7.2, 14.4, ΚΑΤΩΤΕΡΗ ΤΙΜΗ ή ΑΓΚΥΡΑ δηλαδή το κάτω όριο της πρώτης τάξης, το οποίο, όπως θα δούμε στα παραδείγματα που ακολουθούν, μπορεί να επηρεάσει σημαντικά την εικόνα που δίνει η κατανομή και η γραφική της παράσταση. Περισσότερα για την ομαδοποίηση Ανεξάρτητα από την ακρίβεια των μετρήσεων από τις οποίες προέκυψαν τα δεδομένα, συνηθίζεται να ορίζουμε την ίδια τιμή για το ανώτερο όριο μιας τάξης και το κατώτερο της επόμενης. Αν έχουμε μια παρατήρηση η οποία έχει αυτή την κοινή τιμή, συμβατικά θεωρούμε ότι ανήκει στην επόμενη τάξη σύμβαση πάντως που δεν ακολουθείται από όλους. Έτσι π.χ. αν έχουμε τις τάξεις -3 και 3- και στα δεδομένα υπάρχει η τιμή x = 3 θα την θεωρήσουμε ότι ανήκει στο ταξικό διάστημα 3-. Εξάλλου, επειδή σε περαιτέρω υπολογισμούς κάνουμε την υπόθεση ότι οι παρατηρήσεις κατανέμονται ομοιόμορφα σε κάθε τάξη, φροντίζουμε ώστε η κατώτερη τιμή της πρώτης τάξης να είναι μικρότερη από την ελάχιστη τιμή των δεδομένων και η ανώτερη τιμή της τελευταίας μεγαλύτερη 33

6 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ από την μέγιστη τιμή των δεδομένων. Αν χρειαστεί, αυξάνουμε το πλήθος των τάξεων ή (και) τα όριά τους. Όταν σκοπός της ομαδοποίησης των δεδομένων είναι η περαιτέρω στατιστική τους ανάλυση είναι χρήσιμο να δοκιμάζονται διαφορετικές ομαδοποιήσεις μεταβάλλοντας το πλήθος και συνακόλουθα και το εύρος των τάξεων. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα αν το γράφημα της κατανομής δίνει εικόνα για κάτι ιδιαίτερο στα δεδομένα όπως π.χ. δύο κορυφές ή απρόσμενη λοξότητα. Όπως ειδικότερα θα δούμε λίγο πιο κάτω, είναι δυνατόν σε μια ομαδοποίηση με περισσότερες τάξεις να υπάρξει μόνο μία κορυφή που επιμένει ή αντίστροφα, να αποκαλύψει μια δεύτερη κορυφή. παράδειγμα 3.5 Δίνονται τα αποτελέσματα της μέτρησης του βάρους γεννήσεως 6 βρεφών σε γραμμάρια Στα δεδομένα αυτά η μέγιστη τιμή είναι η 455 και η ελάχιστη η 148, οπότε το εύρος τους είναι το R = = 37. Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μικρότερο από 1 θα προτιμήσουμε να τις ομαδοποιήσουμε σε 6, 7 ή 8 τάξεις. Διαιρώντας το εύρος R δια τον καθέναν από τους αριθμούς αυτούς παίρνουμε: 37 : 6 = : 7 = : 8 = Στρογγυλοποιώντας σε αριθμούς εύχρηστους και οικείους επιλέγουμε ως ταξικό εύρος το ή το 5. Για ταξικό εύρος θα πάρουμε μια από τις ακόλουθες κατανομές ανάλογα με την άγκυρα, η οποία επιλέγεται. Αν επιλέξουμε ως άγκυρα τον αριθμό 1 προκύπτει η ακόλουθη κατανομή με 8 τάξεις. Τάξεις βάρους Αριθμός βρεφών Άθροισμα 6 Αν επιλέξουμε ως άγκυρα τον αριθμό 1 προκύπτει η ακόλουθη κατανομή η οποία όμως έχει 9 τάξεις. 34

7 Κεφάλαιο 3 Αριθμητικά Δεδομένα Τάξεις βάρους Αριθμός βρεφών Άθροισμα 6 Μπορούμε ακόμη να επιλέξουμε ως ταξικό εύρος το 5. Στην περίπτωση αυτή όμως είναι λογικό να ορίσουμε ως όρια των τάξεων αριθμούς πολλαπλάσιους του 5 οπότε επιλέγουμε ως άγκυρα το 1 και προκύπτει η ακόλουθη κατανομή: Τάξεις βάρους Αριθμός βρεφών Άθροισμα 6 Οι συχνότητες συχνά εκφράζονται ως ποσοστά επί του συνόλου των παρατηρήσεων και η αντίστοιχη κατανομή ονομάζεται η κατανομή σχετικών συχνοτήτων ή ποσοστιαία. 3.4 Κατανομή Συχνοτήτων με Ανοιχτές τις Ακραίες Τάξεις Όταν οι περισσότερες παρατηρήσεις είναι συγκεντρωμένες σε ένα διάστημα τιμών και υπάρχουν πολύ λίγες ακραίες τιμές έξω από το διάστημα αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διαστήματα με ανοιχτή τη μια άκρη για την πρώτη ή (και) την τελευταία τάξη. Ένα τέτοιο διάστημα θα ήταν της μορφής κάτω από x για την πρώτη τάξη και πάνω από y για την τελευταία τάξη. Τα ανοιχτά διαστήματα πολλές φορές χρησιμοποιούνται για να εξασφαλίσουν την εμπιστευτικότητα της πληροφορίας. Έτσι, όταν είναι γνωστή η ταυτότητα των λίγων επιχειρήσεων ή ατόμων με υψηλό εισόδημα, ο προσδιορισμός του ανώτερου ορίου της τελευταίας τάξης εισοδήματος μπορεί να θεωρηθεί πολύ αποκαλυπτικός. Ο υπολογισμός ορισμένων συναρτήσεων των παρατηρήσεων πάντως δεν μπορεί να γίνει από μια κατανομή η οποία έχει ανοιχτές τάξεις. Θα πρέπει για τον σκοπό αυτό να διαθέτουμε τα αρχικά δεδομένα. 35

8 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ παράδειγμα 3.6 Κατανομή συχνοτήτων με ανοιχτές και τις δύο ακραίες τάξεις είναι η ακόλουθη: Ηλικία της μητέρας Αριθμός γεννήσεων σε έτη κάτω των και άνω 41 Άθροισμα Πηγή: ΕΣΥΕ, Στατιστική Επετηρίς της Ελλάδος, 1981 Πίνακας 3.1 Κατανομή των γεννήσεων της Ελλάδας το 198 κατά ηλικία της μητέρας 3.5 Το Ιστόγραμμα και το Πολύγωνο Συχνοτήτων Η γραφική παρουσίαση δεδομένων τα οποία είναι ομαδοποιημένα σε μια κατανομή συχνοτήτων γίνεται με το ιστόγραμμα συχνοτήτων (frequency histogramm) ή απλώς ιστόγραμμα ή (και) την πολυγωνική γραμμή ή πολύγωνο συχνοτήτων (frequency polygon). ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ. Είναι ίσως η πιο σημαντική γραφική παράσταση των δεδομένων και όπως θα δούμε σε επόμενα μέρη μπορεί να παίξει σημαντικό ρόλο στη στατιστική συμπερασματολογία. Αποτελεί μια ακολουθία ορθογώνιων παραλληλογράμμων, όσα και οι τάξεις της κατανομής. Κάθε παραλληλόγραμμο έχει πλάτος ίσο με το εύρος και ύψος ίσο με τη συχνότητα της. Αν οι συχνότητες είναι σχετικές, τότε το ιστόγραμμα αναφέρεται ως ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ. Αποτελείται από ένα σύνολο ευθύγραμμων τμημάτων, κάθε ένα από τα οποία ενώνει τα μέσα των επάνω πλευρών δύο διαδοχικών παραλληλογράμμων του ιστογράμματος. Συμβατικά, η πολυγωνική γραμμή επεκτείνεται από τα δύο άκρα στον οριζόντιο άξονα και σε απόσταση μισού ταξικού εύρους. Έτσι, η επιφάνεια που περικλείει, ισούται με την επιφάνεια του ιστογράμματος. παράδειγμα 3.7 Στα σχήματα (α)-(γ) που ακολουθούν δίνεται το ιστόγραμμα και η πολυγωνική γραμμή για τις 3 παραλλαγές της κατανομής του βάρους γεννήσεως 6 βρεφών (παράδειγμα 3.5). Αν στον κάθετο άξονα μετρήσουμε τις σχετικές συχνότητες τότε έχουμε, αντίστοιχα, το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων δίνει την ίδια εικόνα με το ιστόγραμμα συχνοτήτων, επιπλέον όμως επιτρέπει τις συγκρίσεις κατανομών με διαφορετικό πλήθος παρατηρήσεων. Παρατηρούμε ότι παρόλο που στην τελευταία ομαδοποίηση αντιστοιχεί ένα ομαλό και μάλλον συμμετρικό πολύγωνο συχνοτήτων, οι τρεις γραφικές παραστάσεις δίνουν χονδρικά παρόμοια εικόνα για τα δεδομένα. 36

9 Κεφάλαιο 3 Αριθμητικά Δεδομένα ΒΑΡΟΣ ΓΕΝΝΗΣΕΩΣ ομαδοποίηση (α) ΒΑΡΟΣ ΓΕΝΝΗΣΕΩΣ ομαδοποίηση (β) ΒΑΡΟΣ ΓΕΝΝΗΣΕΩΣ ομαδοποίηση (γ) Το ιστόγραμμα μιας κατανομής με άνισα ταξικά διαστήματα Είδαμε ότι το ιστόγραμμα συχνοτήτων μας δίνει σημαντικές οπτικές πληροφορίες για την κατανομή των δεδομένων. Όταν όλες οι τάξεις έχουν το ίδιο εύρος, το ύψος των παραλληλογράμμων επιλέγεται ίσο με τις αντίστοιχες συχνότητες οπότε οι διαφορές στις συχνότητες απεικονίζονται με ανάλογες διαφορές στα εμβαδά. Όταν η κατανομή έχει άνισες τάξεις, το ύψος των παραλληλογράμμων θα πρέπει να τροποποιηθεί έτσι ώστε και πάλι τα εμβαδά των επιφανειών που περικλείουν να είναι ανάλογα με τις συχνότητες. Έτσι π.χ. αν μια τάξη είναι διπλάσια από τις υπόλοιπες, τότε το ύψος του παραλληλογράμμου της θα πρέπει να ισούται με το μισό της συχνότητάς της. Γενικά, για να κατασκευάσουμε το ιστόγραμμα μιας 37

10 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ κατανομής με άνισες τάξεις υπολογίζουμε τις διορθωμένες συχνότητες ως εξής: διαλέγουμε την τάξη της οποίας το εύρος θέλουμε να πάρουμε ως μονάδα, διαιρούμε το εύρος της κάθε τάξης δια του εύρους-μονάδα, θέτουμε ως διορθωμένη συχνότητα το πηλίκο της διαίρεσης της αρχικής συχνότητας δια του αντίστοιχου αριθμού που προέκυψε από το βήμα 2. Είναι προφανές ότι για τη γραφική παράσταση των αθροιστικών ή αφαιρετικών συχνοτήτων δε χρειάζονται διορθώσεις. παράδειγμα 3.8 Δίνεται μια υποθετική κατανομή συχνοτήτων με τρία ταξικά διαστήματα. Επιλέγουμε ως μονάδα το ταξικό εύρος 1. Τότε, επειδή η δεύτερη τάξη έχει διπλάσιο εύρος από το εύρος-μονάδα, θα διαιρέσουμε τη συχνότητά της με 2. Τάξεις Εύρος τάξεως Συχνότητα Διορθωμένη συχνότητα ( ) =1 5 : 1 = 5 ( ) =2 7 : 2 = 35 ( ) =1 32 : 1 = 32 Το ιστόγραμμα της κατανομής αυτής δίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: Ιστόγραμμα και πολύγωνο συχνοτήτων που περικλείουν επιφάνεια ίση με τη μονάδα Η επιφάνεια E i που περικλείεται από το παραλληλόγραμμο i ενός ιστογράμματος συχνοτήτων ισούται με E i = c i i =1,...,κ όπου c i το ταξικό εύρος και η αντίστοιχη συχνότητα. Όταν όλες οι τάξεις είναι ίσες δηλαδή c i = c τότε, τα κ παραλληλόγραμμα του ιστογράμματος περικλείουν επιφάνεια ίση με E = κ κ c = c = c n i=1 i=1 38

11 Κεφάλαιο 3 Αριθμητικά Δεδομένα Σε επόμενα κεφάλαια θα δούμε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις το ιστόγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για να προσεγγίσει το γράφημα μιας κατανομής πιθανοτήτων και επομένως θα πρέπει να περικλείει συνολική επιφάνεια ίση με 1. Για τον σκοπό αυτό αρκεί το ύψος του κάθε παραλληλόγραμμου i να ισούται με την σχετική συχνότητα ανά ταξικό εύρος δηλαδή d i = nc i, i =1,...,κ H d i (i =1,...,κ) ονομάζεται πυκνότητα (density) και το αντίστοιχο ιστόγραμμα περικλείει επιφάνεια ίση με 1. Πράγματι έχουμε και E = E i = c nc = n, κ E i = i=1 κ i=1 n = 1 n i =1,...,κ κ = n n =1 Το ιστόγραμμα των πυκνοτήτων προσφέρεται για συγκρίσεις στις κατανομές με άνισα ταξικά διαστήματα ή/και διαφορετικό πλήθος παρατηρήσεων. i=1 παράδειγμα 3.9 Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατανομή συχνοτήτων του αριθμού των ωρών εργασίας που απαιτήθηκαν σε κάθε μία από τις 1 μονάδες του X προϊόντος. Στην τελευταία στήλη δίνονται οι σχετικές συχνότητες ανά μονάδα ταξικού εύρους. X /n /nc Άθροισμα Στο σχήμα που ακολουθεί δίνεται το ιστόγραμμα πυκνότητας και η αντίστοιχη πολυγωνική γραμμή

12 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 3.6 Ερμηνεύοντας το Iστόγραμμα Σχεδόν πάντα το ιστόγραμμα αναφέρεται σε ένα σύνολο δειγματικών δεδομένων τα οποία μελετούμε με σκοπό την εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό. Έτσι, από την κατ αρχήν οπτική εξέταση του ιστογράμματος των δειγματικών τιμών, μπορούμε να ανιχνεύσουμε τα χαρακτηριστικά της άγνωστης κατανομής πληθυσμού. Όπως ειδικότερα θα δούμε και σε επόμενα μέρη, σε ένα τέτοιο πλαίσιο, η κατανομή συχνοτήτων των δειγματικών παρατηρήσεων ονομάζεται εμπειρική κατανομή σε αντιδιαστολή με την κατανομή πληθυσμού η οποία ονομάζεται θεωρητική. Από το ιστόγραμμα μπορούμε να αντλήσουμε σημαντικές πληροφορίες για την κατανομή των δεδομένων και ειδικότερα αν είναι συμμετρική ή λοξή, έχει μια ή περισσότερες κορυφές, υπάρχουν ασυνήθιστα σημεία. Η ερμηνεία του ιστογράμματος θα πρέπει να γίνεται με προσοχή και σε συνδυασμό με το φυλλογράφημα (που παρουσιάζεται αμέσως στη συνέχεια) αλλά και το θηκόγραμμα (που παρουσιάζεται στην ενότητα 4.3). Στη συνέχεια επισημαίνονται ειδικότερα ζητήματα τα οποία μπορεί να ανακύψουν κατά την ανάγνωση του ιστογράμματος Ιστόγραμμα και ομαδοποίηση Η εικόνα που δίνει το ιστόγραμμα μπορεί να μεταβάλλεται σημαντικά με το πλήθος των τάξεων, άρα και με το εύρος τους, καθώς και την αρχική τιμή ή άγκυρα. Ήδη στα τρία ιστογράμματα των δεδομένων του παραδείγματος του βάρους γεννήσεως βρεφών παρατηρούμε κάποιες διαφορές παρόλο που το πλήθος των τάξεων δε μεταβάλλεται σημαντικά. Οι διαφορές αυτές μπορεί να γίνουν σημαντικές, όταν π.χ. διπλασιάζεται το πλήθος των τάξεων. παράδειγμα 3.1 Τα ακόλουθα δύο ιστογράμματα αποτελούν γραφική παράσταση του ίδιου συνόλου δεδομένων και έγιναν από τα προγράμματα SPSS και S-plus, αντίστοιχα, με αυτόματη επιλογή (by default) MOΡIA MOΡIA Ομοίως, τα ακόλουθα δύο ιστογράμματα (επόμενη σελίδα) αναφέρονται σε ίδιο σύνολο δεδομένων και έγιναν με τα προγράμματα SPSS και S-plus, αντίστοιχα. Πολλά προγράμματα Η/Υ δίνουν τη δυνατότητα στο χρήστη να ζητήσει πολλαπλά ιστογράμματα μεταβάλλοντας το πλήθος των τάξεων ή (και) την άγκυρα. Αν η εμφάνιση του ιστογράμματος δε μεταβάλλεται σημαντικά όταν μεταβάλλεται το πλήθος των τάξεων σε ένα λογικά μεγάλο εύρος τότε ο

13 Κεφάλαιο 3 Αριθμητικά Δεδομένα LMGEE LMGEE αναλυτής μπορεί να εμπιστευτεί την εικόνα που παίρνει από τη γραφική παράσταση των δεδομένων του (βλ. και Chatterjee-Handcock-Simonoff, 1995) Συμμετρία Στις περισσότερες περιπτώσεις το ιστόγραμμα το οποίo μελετούμε αναφέρεται σε εμπειρική κατανομή. Η τυχαιότητα των παρατηρήσεων και το πεπερασμένο και συνήθως μικρό, μέγεθος του δείγματος έχει ως αποτέλεσμα το ιστόγραμμα και η πολυγωνική γραμμή να μην είναι ομαλή. Έτσι, ακόμα και αν η κατανομή στον πληθυσμό είναι π.χ. ομαλή και απολύτως συμμετρική, στο δείγμα θα παρατηρήσουμε αποκλίσεις από μια τέτοια συμπεριφορά, Με την εμπειρία ο ερευνητής μπορεί να κρίνει αν ένα ιστόγραμμα αποκτά την ικανότητα να θεωρηθεί (περίπου) συμμετρικό ή όχι. παράδειγμα 3.11 Μπορούμε με σχετική ασφάλεια να θεωρήσουμε ότι είναι συμμετρικό το ακόλουθο ιστόγραμμα των μετρήσεων του λίπους σε 252 ενήλικες άντρες ΣΩΜΑΤΙΚΟ ΛΙΠΟΣ Στο επόμενο σχήμα δίνεται το ίδιο ιστόγραμμα μαζί με την κανονική καμπύλη η οποία ορίζει μια θεωρητική κατανομή που είναι συμμετρική γύρω από τη μέση τιμή. Μπορούμε λοιπόν κατ αρχήν να υποθέσουμε ότι οι παρατηρήσεις αυτού του δείγματος έχουν προέλθει από μια τέτοια κατανομή. Πιο αυστηρούς στατιστικούς ελέγχους για κανονικότητα θα δούμε σε επόμενα κεφάλαια. 41

14 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΩΜΑΤΙΚΟ ΛΙΠΟΣ Λοξότητα και μετασχηματισμοί Όπως ειδικότερα θα δούμε στο μέρος III αυτού του Βιβλίου, στη στατιστική συμπερασματολογία ο- ρισμένες τεχνικές (π.χ. ο έλεγχος με το κριτήριο t) μπορούν να εφαρμοστούν μόνο σε δεδομένα τα οποία προέρχονται από κατανομή συμμετρική. Όταν η εμπειρική κατανομή είναι εμφανώς λοξή, τότε οι αντίστοιχες τεχνικές δεν είναι πια αξιόπιστες. Λοξές κατανομές παρατηρούμε συχνά σε οικονομικές εφαρμογές όπου π.χ. στα σύνολα δεδομένων που αναφέρονται σε εισοδήματα παρατηρείται το εξής: το μεγαλύτερο ποσοστό των ατόμων έχει εισοδήματα κοντά στο βασικό και όσο απομακρυνόμαστε από αυτό τόσο το ποσοστό των δικαιούχων μικραίνει. Αυτό έχει ως συνέπεια η κατανομή συχνοτήτων σε εισοδηματικά δεδομένα να έχει δεξιά λοξότητα όπως στο ακόλουθο σχήμα που αποτελεί το ιστόγραμμα του οικογενειακού εισοδήματος σε δείγμα 85 νοικοκυριών Οικογενειακό Εισόδημα σε χιλ. ευρώ X Σε μια τέτοια περίπτωση, για να κάνουμε την εμπειρική κατανομή (περίπου) συμμετρική, δοκιμάζουμε κάποιον μετασχηματισμό στα δεδομένα αρχίζοντας από τον λογαριθμικό. Στα επόμενα σχήματα δίνεται το ιστόγραμμα του νεπέρειου λογαρίθμου του εισοδήματος και της τρίτης ρίζας του εισοδήματος αντίστοιχα. Ο δεύτερος φαίνεται να είναι ένας μετασχηματισμός που φέρνει την κατανομή πιο κοντά στη συμμετρία (για τον λογαριθμικό μετασχηματισμό γίνεται ξανά αναφορά στην ενότητα 4.7) Η δίκορφη κατανομή Είναι δυνατόν στο ιστόγραμμα να εμφανίζονται δύο κορυφές οι οποίες επιμένουν ακόμα και αν δοκιμάσουμε διαφορετική ομαδοποίηση. Μια τέτοια εικόνα μας οδηγεί στο βάσιμο συμπέρασμα ότι τα 42

15 Κεφάλαιο 3 Αριθμητικά Δεδομένα lnx X δεδομένα μας μπορούν να καταταγούν σε δύο κατηγορίες ως προς κάποιο χαρακτηριστικό (ή, ισοδύναμα, ότι προέρχονται από δύο διαφορετικούς πληθυσμούς). Το αν θα πρέπει να εξεταστούν χωριστά είναι κάτι που θα κριθεί κατά περίπτωση. παράδειγμα 3.12 Το ιστόγραμμα που ακολουθεί είναι η γραφική παράσταση της περιμέτρου του στήθους σε τυχαίο δείγμα 57 αθλουμένων. Υποπτευόμαστε ότι οι δύο κορυφές οφείλονται στο ότι τα δεδομένα αναφέρονται σε άνδρες και γυναίκες ΣΤΗΘΟΣ (cm) 43

16 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Αυτό επιβεβαιώνεται στο ακόλουθο γράφημα όπου δίνεται το ιστόγραμμα για τους άνδρες και τις γυναίκες του δείγματος, χωριστά. 5 3 ΑΝΔΡΕΣ ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΣΤΗΘΟΣ (cm) παράδειγμα 3.13 Οι δύο κορυφές στο ιστόγραμμα του Δείκτη Αντίληψης Διαφθοράς (Corruption Perception Index ή CPI) για 47 χώρες αντιστοιχεί στις δύο κατηγορίες χωρών: αναπτυγμένες και υπανάπτυκτες. (H τιμή 1 του δείκτη αντιστοιχεί σε μηδενική διαφθορά.) Δείκτης Αντίληψης Διαφθοράς n=47, Το Φυλλογράφημα Η ομαδοποίηση των δεδομένων σε μια κατανομή με κ τάξεις και η γραφική τους παρουσίαση με το ιστόγραμμα συχνοτήτων έχει δύο μειονεκτήματα: πρώτον εξαρτάται από τις επιλογές του ερευνητή και δεύτερο και πιο σημαντικό, δεν διατηρεί τις αρχικές τιμές. Το φυλλογράφημα ονονομάζεται και διάγραμμα μίχος-και-φύλλο (stemplot or stem-and-leaf plot) και είναι ένας έξυπνος 1 και απλός τρόπος παρουσίασης της κατανομής ο οποίος διατηρεί τις πραγματικές 1 Παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Tukey J. (1977), θεμελιωτή της λεγόμενης Διερευνητικής Ανάλυσης των Δεδομέ- 44

17 Κεφάλαιο 3 Αριθμητικά Δεδομένα τιμές των δεδομένων. Από το φυλλογράφημα μπορούμε να πάρουμε αμέσως σημαντικές πληροφορίες για την κατανομή δεδομένων και ειδικότερα: αν είναι συμμετρική ή λοξή, αν έχει μία ή περισσότερες κορυφές, αν έχει ασυνήθιστα σημεία. Επίσης, από το φυλλογράφημα μπορούμε να προσδιορίσουμε, σχετικά εύκολα, τη θέση της κατανομής είτε με το μάτι είτε προσδιορίζοντας τη διάμεσο ή μεσαία τιμή μετρώντας οποιοδήποτε άκρο του φυλλογραφήματος μέχρι να βρούμε τις μισές παρατηρήσεις. Το φυλλογράφημα λειτουργεί κυρίως για λίγα δεδομένα με μικρούς αριθμούς, που είναι όλοι μεγαλύτεροι από το μηδέν. Έτσι, όταν χρειάζεται θα πολλαπλασιάσουμε τα δεδομένα με την κατάλληλη δύναμη του 1, ώστε το ακέραιο μέρος τους να είναι μονοψήφιο ή διψήφιο. Στη συνέχεια εργαζόμαστε ως εξής: Χωρίζουμε κάθε παρατήρηση σε ένα μίσχο και ένα φύλλο. Ο μίσχος μπορεί να έχει όσα ψηφία χρειάζεται αλλά το φύλλο μόνο ένα ψηφίο. Τοποθετούμε τους μίσχους (δηλαδή τα πρώτα ψηφία κάθε παρατήρησης) σε μία στήλη σε αύξουσα σειρά από πάνω προς τα κάτω, τραβούμε μια κάθετη γραμμή προς τα δεξιά των μίσχων και παραθέτουμε τα φύλλα (δηλαδή το τελευταίο ψηφίο όλων των παρατηρήσεων) από τη δεξιά πλευρά της γραμμής. Ταξινομούμε τα φύλλα σε αύξουσα σειρά από αριστερά προς τα δεξιά. παράδειγμα 3.14 Σε τυχαίο δείγμα 2 παιδικών σταθμών μετρήθηκε με ειδικό τεστ το IQ και τα αποτελέσματα των μετρήσεων σε αύξουσα τάξη μεγέθους είναι τα εξής: Το φυλλογράφημα για τα δεδομένα αυτά είναι το εξής: Μίσχοι Φύλλα νων (Exploratory Data Analysis or EDA). Αυτή είναι μια πρακτική αντίληψη που ανάγει την οπτική ανάλυση των δεδομένων σε στάδιο ουσιαστικό, που καθορίζει τα επόμενα στάδια της στατιστικής επεξεργασίας 45

18 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ παράδειγμα 3.15 Σε ορισμένο ορυχείο βωξίτη καταγράψαμε την ημερήσια παραγωγή μεταλλεύματος σε τόνους στη διάρκεια 28 εργάσιμων ημερών και πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα Το φυλλογράφημα αυτών των παρατηρήσεων πολλαπλασιασμένων επί 1 είναι το εξής: Μίσχοι Φύλλα παράδειγμα 3.16 Σε τυχαίο δείγμα 38 βροχοπτώσεων μετρήσαμε το ύψος του νερού και πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: Πολλαπλασιάζουμε τις παρατηρήσεις επί 1 και κατασκευάζουμε το ακόλουθο φυλλογράφημα: Μίσχοι Φύλλα

19 Κεφάλαιο 3 Αριθμητικά Δεδομένα ΑΠΛΩΜΑ. Αν τα ψηφία-μίσχος έχουν μικρό εύρος, οπότε το φυλλογράφημα δεν δίνει αρκετές πληροφορίες για τη μεταβλητότητα των παρατηρήσεων, μπορούμε να σπάσουμε τα φύλλα σε δύο ομάδες με τον ίδιο μίσχο: στην πρώτη θα αντιστοιχήσουμε τα φύλλα από -4 και στη δεύτερη τα φύλλα 5-9. Έτσι προκύπτει το λεγόμενο απλωμένο φυλλογράφημα (spread-out stem-and-leaf). Το φυλλογράφημα είναι κατάλληλο για μικρά σύνολα δεδομένων το πολύ 5 παρατηρήσεις. παράδειγμα 3.17 Δίνεται η μέση ετήσια δαπάνη για ιατροφαρμακευτική περίθαλψη ανά ασφαλισμένο συνταξιούχο ο- ρισμένου ταμείου, στη διάρκεια ενός έτους, σε χιλιάδες ευρώ Το φυλλογράφημα που προκύπτει αν απλώσουμε τους μίσχους διπλασιάζοντάς τους είναι το εξής: Μίσχοι Φύλλα Αν και πάλι η στήλη των μίσχων είναι μικρή και οι παρατηρήσεις πολλές, μπορούμε να απλώσουμε το φυλλογράφημα ακόμη περισσότερο πενταπλασιάζοντας τις ομάδες με τον ίδιο μίσχο: στην πρώτη αντιστοιχούμε τα φύλλα και 1 στη δεύτερη τα φύλλα 2 και 3, κ.ο.κ., όπως στο ακόλουθο παράδειγμα. παράδειγμα 3.18 Σε 36 κεσεδάκια γιαούρτης μετρήσαμε το ph (μονάδα μέτρησης της οξύτητας) και πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα: Πολλαπλασιάζουμε τις παρατηρήσεις με 1 και επειδή έχουμε μόνον 4 δυνατές τιμές για το πρώτο ψηφίο πενταπλασιάζουμε τις ομάδες με τον ίδιο μίσχο, οπότε προκύπτει το ακόλουθο φυλλογράφημα. 47

20 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μίσχοι Φύλλα ΑΠΟΚΟΠΗ. Σε πολλές περιπτώσεις, όταν οι παρατηρούμενες τιμές έχουν πολλά ψηφία, είναι χρήσιμο να αποκόψουμε ένα ή περισσότερα από τα τελικά ψηφία των παρατηρήσεων. Το αν θα προτιμήσουμε αποκοπή ή διπλασιασμό των μίσχων επαφίεται στην κρίση του ερευνητή. Πρέπει να θυμόμαστε ότι ο σκοπός ενός φυλλογραφήματος είναι να παρουσιάσει το σχήμα της κατανομής. Έτσι, αν έχει λιγότερους από 5 μίσχους είναι καλό να απλώσουμε το φυλλογράφημα. Αν πολλοί μίσχοι δεν έχουν φύλλα ή έχουν μόνον ένα, βλέπουμε μήπως η αποκοπή βοηθήσει. παράδειγμα 3.19 Δίνονται οι ημερήσιες πωλήσεις, σε ευρώ, ενός καταστήματος αλυσίδας σούπερ μάρκετ Αποκόβουμε τα δύο τελικά ψηφία και κατασκευάζουμε το ακόλουθο φυλλογράφημα

21 Κεφάλαιο 3 Αριθμητικά Δεδομένα Μίσχοι Φύλλα Η πρακτική χρησιμότητα του φυλλογραφήματος Το φυλλογράφημα είναι ένας έξυπνος τρόπος ομαδοποίησης των δεδομένων που δεν χάνει τις αρχικές τιμές. Δυστυχώς δεν κατάφερε να κερδίσει σε δημοτικότητα τη θέση του ιστογράμματος, παρόλο που σε πολλές πρακτικές εφαρμογές δίνει καλύτερη εικόνα όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί παράδειγμα 3. Σε ένα τμήμα 68 πρωτοετών καταγράψαμε το ύψος τους (όπως το δήλωσαν) και στα δύο σχήματα που ακολουθούν δίνεται το ιστόγραμμα και το φυλλογράφημα των αντίστοιχων 68 μετρήσεων ΥΨΟΣ (cm) 49

22 ΜΕΡΟΣ I ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μίσχοι Φύλλα Παρατηρούμε ότι ενώ από το ιστόγραμμα θα υπέθετε κάποιος ότι υπάρχουν δύο τιμές που είναι πολύ μακριά από τις υπόλοιπες, στο φυλλογράφημα βλέπει ότι οι μεγαλύτερες τιμές είναι το 193 και 195 και η αμέσως προηγούμενη είναι η 187 άρα δεν έχουμε ασυνήθιστα ακραίες τιμές. 5

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 2016-2017 1 1. Περιγραφική Ανάλυση Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τι κάνει η Στατιστική Στατιστική (Statistics) Μετατρέπει αριθμητικά δεδομένα σε χρήσιμη πληροφορία. Εξάγει συμπεράσματα για έναν πληθυσμό. Τις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Παναγιώτα Λάλου. Βασικές έννοιες Ορισμός: Στατιστικός πληθυσμός ονομάζεται το σύνολο των πειραματικών μονάδων π.χ άνθρωποι, ζώα, επιχειρήσεις κ.λπ, οι οποίες συμμετέχουν στην έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1 Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Περιγραφική Στατιστική 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) 1. Οργάνωση και Γραφική παράσταση στατιστικών δεδομένων 2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (1/13) στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 227035468 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Περιγραφική Στατιστική Με τις στατιστικές μεθόδους επιδιώκεται: - η συνοπτική αλλά πλήρης και κατατοπιστική παρουσίαση των ευρημάτων μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 265 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Ασκήσεις Άλγεβρας. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 265 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Ασκήσεις Άλγεβρας Κώστας Γλυκός B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 65 ασκήσεις και τεχνικές σε 4 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 3 / 1 0 / 0 1 6

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Τι λέγεται ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων σχετικών συχνοτήτων; Ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι μια σειρά από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Ασκηση Περιγραφικής Στατιστικής Κουτσουμανής Κ. Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων Σχολή Γεωπονίας, Α.Π.Θ Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Στέλνουμε την άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Σε αυτή την ενότητα, όπως και στις επόμενες, όταν θα αναφερόμαστε σε δεδομένα από έναν πληθυσμό, θα θεωρούμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας τιμές, x, x,, x, μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Ορισμός Συνάρτησης

Συναρτήσεις. Ορισμός Συνάρτησης Συναρτήσεις Ορισμός Συνάρτησης Συνάρτηση είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Σχόλιο : Τα σύνολα Α και Β είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης 1 Οι Δείκτες Κεντρικής Τάσης Είναι αριθμητικές τιμές που δείχνουν το ΚΕΝΤΡΟ της κατανομής Η Δεσπόζουσα Τιμή (Δσπ) Η Διάμεσος (Δμ ή δ) Ο Μέσος Όρος (Μ.Ο) 2 Η Δεσπόζουσα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Στατιστική. Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)

Μέρος V. Στατιστική. Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Μέρος V. Στατιστική Εισαγωγή: Βασικές έννοιες και ορισμοί Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Σημαντικές κατανομές δειγματοληψίας (Sampling distributions) Διαστήματα Εμπιστοσύνης (Confidence

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή και Παρουσίαση Δεδομένων

Συλλογή και Παρουσίαση Δεδομένων Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Συλλογή και Παρουσίαση Δεδομένων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Στατιστικοί Πίνακες Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Απογραφή Δειγματοληψία Παρουσίαση Στατιστικών Δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ

Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ 1 Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ά ( ύ ) έ ί ύ σ ύ ό ά, ύ ό ά 1 1 1 ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ά ( ύ ) έ ί ύ σ ύ ό ά, ύ ό ά 1 1 1 ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ά ( ύ ) έ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 3Α: Η Κανονική Κατανομή Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. x 100% = s. lim. x x. γ) Αν οι συναρτήσεις f, g: A είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε ισχύει:

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. x 100% = s. lim. x x. γ) Αν οι συναρτήσεις f, g: A είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε ισχύει: ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 7 ΜΑΪΟΥ 010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x). Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακoλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Έτος : Διάλεξη 2 η Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική

Έτος : Διάλεξη 2 η Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Έτος 2017-2018: Διάλεξη 2 η Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Επανάληψη βασικών εννοιών Στατιστικής- Χρήση gretl/excel 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

f , Σύνολο 40 4) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα f , , Σύνολο 5) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

f , Σύνολο 40 4) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα f , , Σύνολο 5) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα 1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1) Οι παρακάτω αριθμοί παρουσιάζουν τα ύψη σε cm, των φυτών ενός θερμοκηπίου 4 3 6 5 3 1 4 5 4 6 6 3 3 1 4 3 α) Να κάνετε τον πίνακα όλων των συχνοτήτων β) Από τον προηγούμενο πίνακα να βρείτε,

Διαβάστε περισσότερα

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 2 3 1 2 2 0 3 3 4 6 5 10 6 11 7 7 8 6 9 3 10 2 4 Εάν έχουµε οµαδοποιηµένη µεταβλητή τότε είναι το σηµείο τοµής των ευθυγράµµων τµηµάτων τα οποία ορίζονται από α) ΑΒ, όπου Α το άνω δεξί άκρο της κλάσης

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα