ΜΕΡΟΣ Β. º π 3 Ô. Μέτρηση Κύκλου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΕΡΟΣ Β. º π 3 Ô. Μέτρηση Κύκλου"

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ º π Ô Μέτρηση Κύκλου

2 ΕΙΣΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ Ô appleúfi ÏËÌ ÙÔ ÙÂÙÚ ÁˆÓÈÛÌÔ ÙÔ Î ÎÏÔ, ÙÔ ÔappleÔ Ô Ù Ó Ó applefi Ù ÙÚ appleâú ÊËÌ Ï Ù appleúô Ï Ì Ù ÙË Ú ÈfiÙËÙ, Ô ÁËÛ ÛÙËÓ appleúôûapple ıâè ÂÎÙ ÌËÛË ÙË ÙÈÌ ÙÔ ÚÈıÌÔ apple, ÙÔ appleèô È ÛËÌÔ applefi fiïô ÙÔ ÚÈıÌÔ. ÚÈıÌfi apple appleúôî appleùâè Ê ÛÈÔÏÔÁÈÎ applefi ÙË Ì ÙÚËÛË ÙÔ Î ÎÏÔ, Ë ÔappleÔ Â Ó È ÙÔ Î ÚÈÔ ÓÙÈΠÌÂÓÔ ÙÔ ÙÔ. Εγγεγραμμένες γωνίες. Κανονικά πολύγωνα. Μήκος κύκλου.4 Μήκος τόξου.5 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου.6 Εμβαδόν κυκλικού τομέα ÎÂÊ Ï Ô. ÂÍÂÙ ÛÔ ÌÂ, ÂappleÈappleÏ ÔÓ, Ù Î ÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ : appleôï ÁˆÓ Ì Û appleïâ Ú Î È Û ÁˆÓ Â. Ó È appleôï ÁÓˆÛÙ Û Ì Ù Û ÂÌ, ÏÏ ÙÒÚ ı ÌÂÏÂÙ ÛÔ Ì appleèô ÈÂÍÔ ÈÎ Ù ÛÙÔÈ Â ÙÔ Î È ÙËÓ Î Ù ÛΠÙÔ.

3 .. Εγγεγραμμένες γωνίες θεατής Έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί τα θέατρα, όπως η Επίδαυρος, έχουν «κυκλικό» σχήμα; σκηνή ιατί από κάθε κάθισμα, που βρίσκεται πάνω στον κύκλο, ο θεατής «βλέπει τη σκηνή με την ίδια γωνία». Οι γωνίες που βλέπουμε στο διπλανό σχήμα έχουν την κορυή τους (θεατής) πάνω στον κύκλο και οι δύο πλευρές τους τέμνουν τον κύκλο. Mια γωνία x y που η κορυή της ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και οι πλευρές της x, Ay τέμνουν τον κύκλο, λέγεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο, ρ). x y Το τόξο του κύκλου (Ο, ρ) που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της. Επίσης, λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία βαίνει στο τόξο. ƒ ƒ π Aντώνης Κ EΡ Μιχάλης Μ Στο Πανεπιστήμιο γίνεται μάθημα στο μιθέατρο. ύο οιτητές, ο ντώνης και ο Μιχάλης, κάθονται σε μία σειρά θέσεων που σχηματίζει με την έδρα ημικύκλιο, όπως αίνεται στο διπλανό σχήμα. Στο διάλειμμα ο ντώνης μέτρησε την απόστασή του από τα δύο άκρα, της έδρας και βρήκε ότι = m, = 4 m, ενώ έχουμε ότι = 5 m. Ο Μιχάλης, αντίστοιχα, βρήκε ότι Μ = 5 m και Μ = 5 m. α) Να εξετάσετε αν ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα και Μ. β) Τι γωνίες είναι οι και Μ; γ) Τι συμπεραίνετε γενικά για κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο; Λύση α) Έχουμε ότι: + = + 4 = 5 = 5 = M + M = (5) + (5) = 5 =

4 76 Μέρος -.. Εγγεγραμμένες γωνίες Επομένως, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα και στα δύο τρίγωνα και Μ. β) Aού ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, θα έχουμε ότι: = 90 και Μ = 90, δηλαδή τα τρίγωνα είναι ορθογώνια. M γ) Συμπεραίνουμε ότι η προηγούμενη διαπίστωση ισχύει γενικά, δηλαδή: Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. A Κ Μια ορθή γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης που είναι η πλήρης γωνία. Το συμπέρασμα αυτό ισχύει για κάθε εγγεγραμμένη και την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία της. Συγκεκριμένα: K Λ Kάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο. Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους ίσες. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της. 00 Σε ένα κύκλο (Ο, ρ) θεωρούμε τρία σημεία,,, έτσι ώστε = 0 και = 00. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. 0 Ο ού = 00, τότε η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία Ο θα είναι και αυτή ίση με 00. Επομένως, η γωνία που είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο ίδιο τόξο με την επίκεντρη Ο θα είναι: = Ο = 50. Ομοίως προκύπτει ότι: = 60. Επειδή το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι 80, θα ισχύει ότι: = = 70.

5 Μέρος -.. Εγγεγραμμένες γωνίες 77 Στο παρακάτω σχήμα η είναι διάμετρος του κύκλου. Να υπολογίσετε τα διαδοχικά τόξα,,,. Tα διαδοχικά τόξα και σχηματίζουν ημικύκλιο, οπότε: 5x x + 50 = 80 ή 6x = 0, επομένως x = 0. Ομοίως, τα διαδοχικά τόξα και σχηματίζουν ημικύκλιο, οπότε: y 0 + 7y = 80, επομένως 0y = 00 ή y = 0. Έχουμε ότι: = y 0 = 60 0 = 40, = = 0, = = 70, = 7 0 = 40. Στο παρακάτω σχήμα η είναι διάμετρος του κύκλου και οι Ο, ΟΕ είναι διχοτόμοι των γωνιών Ο, Ο αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το τόξο Ε. 5x+0 x+50 y-0 Ο 7y ού οι Ο, ΟΕ είναι διχοτόμοι των γωνιών Ο και Ο αντίστοιχα, θεωρούμε ότι Ο = Ο = και ΟΕ = Ε Ο = ω. Όμως, ΟΕ = Ο + Ε Ο = + ω. Έχουμε Ο + Ο = 80, δηλαδή + ω = 80, οπότε + ω = 90. Άρα ΟΕ = 90 και το αντίστοιχο τόξο Ε είναι ίσο με 90. Ε ω ω Ο ƒø π. Στα παρακάτω σχήματα ποιες από τις γωνίες είναι εγγεγραμμένες και ποιες επίκεντρες; α Ο γ ε δ θ η β ζ. Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. A α) Το μέτρο της γωνίας είναι: M 50 β) Το μέτρο του τόξου είναι:

6 78 Μέρος -.. Εγγεγραμμένες γωνίες. Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. A α) β) γ) Το μέτρο της γωνίας είναι: Το μέτρο της γωνίας A O είναι: Το μέτρο της γωνίας A είναι: A O δ) Το μέτρο της γωνίας A είναι: ν σε κύκλο έρουμε δύο κάθετες διαμέτρους, τότε τα τέσσερα ίσα τόξα είναι: : 80 : 80 : 90 : 45. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. α) β) γ) δ) To μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνει σε ημικύκλιο είναι: ν σ έναν κύκλο μια επίκεντρη γωνία είναι ίση με μια εγγεγραμμένη, τότε για τα αντίστοιχα τόξα ισχύει: Η άκρη του ωροδείκτη ενός ρολογιού σε ώρες διαγράει τόξο: Η άκρη του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού σε 45 λεπτά διαγράει τόξο: A 80 είναι ίσα Το τόξο της επίκεντρης είναι διπλάσιο από το τόξο της εγγεγραμμένης Το τόξο της επίκεντρης είναι ίσο με το μισό του τόξου της εγγεγραμμένης 0 70 π Να υπολογίσετε τις γωνίες και ω που υπάρχουν στα παρακάτω σχήματα. ω 55 0 ω ω Έστω Μ και Ν τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα, ενός κύκλου κέντρου Ο και ακτίνας ρ. ν = 60 και = 70, να βρείτε το μέτρο του τόξου ΜΝ. M Στο διπλανό σχήμα το είναι τετράγωνο και το Μ ένα σημείο του τόξου. Να υπολογίσετε τη γωνία A Μ. Μ 70 O 60 N

7 Μέρος -.. Εγγεγραμμένες γωνίες 79 4 Να υπολογίσετε τη γωνία στο παρακάτω σχήμα. 7 Να υπολογίσετε τις γωνίες x, y στο παρακάτω σχήμα x 70 y 80 Ο 00 5 Στον κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ του παρακάτω σχήματος να υπολογίσετε τα τόξα,,,, αν γνωρίζουμε ότι A O = 45 και ότι οι, είναι διάμετροι του κύκλου. 45 Ο 8 9 Σ έναν κύκλο θεωρούμε τρία διαδοχικά τόξα A = 00, = 60 και = 80. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετράπλευρου. Στον κύκλο κέντρου Ο οι χορδές και τέμνονται στο Ρ. ν A = 50 και = 70, να υπολογίσετε τη γωνία. Ρ Σε ημικύκλιο διαμέτρου = 6 cm δίνεται σημείο του, έτσι ώστε =. Να υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες του τριγώνου. Ο O

8 .. Κανονικά πολύγωνα Στην υμνασίου μελετήσαμε διάορα είδη τετραπλεύρων, όπως το παραλληλόγραμμο, το ορθογώνιο, το ρόμβο, το τετράγωνο και το τραπέζιο. Ένα τυχαίο τετράπλευρο είναι ένα πολύγωνο με τέσσερις κορυές. Μπορούμε να σχηματίσουμε και πολύγωνα με 5, 6, 7,... κορυές, τα οποία αντίστοιχα λέγονται πεντάγωνο, εξάγωνο, επτάγωνο,..., κ.τ.λ. apple Ú ÏÏËÏfiÁÚ ÌÌÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ε πεντάγωνο Ζ εξάγωνο Ζ Ε επτάγωνο Ένα πολύγωνο με ν κορυές θα το λέμε ν-γωνο. Εξαίρεση αποτελεί το πολύγωνο με 4 κορυές, που λέγεται τετράπλευρο. Ε Η ÙÂÙÚ ÁˆÓÔ ÚfiÌ Ô Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, αν όλες οι πλευρές του είναι μεταξύ τους ίσες και όλες οι γωνίες του είναι μεταξύ τους ίσες. π.χ. ÙÚ apple ÈÔ Iσόπλευρο τρίγωνο Τετράγωνο Κανονικό πεντάγωνο Κανονικό εξάγωνο

9 Μέρος -.. Kανονικά πολύγωνα 8 Κατασκευή κανονικών πολυγώνων ƒ ƒ π α) Να χωρίσετε έναν κύκλο σε έξι ίσα και διαδοχικά τόξα:,,, Ε, ΕΖ, Ζ. β) Τι παρατηρείτε για τα ευθύγραμμα τμήματα (χορδές),,, Ε, ΕΖ, Ζ; γ) Τι είδους πολύγωνο είναι το ΕΖ; Λύση α) ού όλος ο κύκλος έχει μέτρο 60, για να τον χωρίσουμε σε έξι ίσα τόξα, κάθε τόξο θα έχει μέτρο = A Ζ 60 Ο Ε Σχηματίζουμε διαδοχικά έξι επίκεντρες γωνίες ω = 60, οι οποίες χωρίζουν τον κύκλο σε έξι ίσα και διαδοχικά τόξα. β) νωρίζουμε από την υμνασίου ότι ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές, επομένως: = = = Ε = ΕΖ = Ζ. γ) Η γωνία του εξαγώνου είναι εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου με αντίστοιχο τόξο, μέτρου: Ζ + ΖΕ + Ε + = = 40. Επομένως, = 40 = 0. Ομοίως, έχουμε ότι: = Ε = ΕΖ = Ε Ζ = Ζ = 0. Το εξάγωνο ΕΖ έχει όλες τις πλευρές του ίσες μεταξύ τους και όλες τις γωνίες του ίσες μεταξύ τους, οπότε είναι κανονικό. Η διαδικασία κατασκευής ενός κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές (κανονικό ν-γωνο) ακολουθεί τα εξής βήματα: o Ì : 60 Υπολογίζουμε τη γωνία ω = ν. o Ì : Σχηματίζουμε διαδοχικά ν επίκεντρες γωνίες ω, οι οποίες χωρίζουν τον κύκλο σε ν ίσα τόξα. o Ì : Ενώνουμε με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των τόξων. Eίδαμε ότι με την προηγούμενη διαδικασία κατασκευάζεται ένα κανονικό εξάγωνο, του οποίου οι κορυές είναι σημεία ενός κύκλου. Ο κύκλος αυτός λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του πολυγώνου.

10 8 Μέρος -.. Kανονικά πολύγωνα Επίσης, λέμε ότι το πολύγωνο είναι εγγεγραμμένο στο συγκεκριμένο κύκλο. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να εγγράψουμε σε ένα κύκλο ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα τετράγωνο και γενικά ένα κανονικό ν-γωνο. Ο ρ ω ω ω A ρ ρ ρ ωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου Κεντρική γωνία ν-γώνου Aς θεωρήσουμε ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές (κανονικό ν-γωνο) εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ). Eίδαμε προηγουμένως ότι για να χωρίσουμε τον κύκλο σε ν ίσα 60 τόξα, θεωρούμε ν διαδοχικές επίκεντρες γωνίες ω = ν. Ε Καθεμία από τις γωνίες αυτές λέγεται κεντρική γωνία του κανονικού ν-γώνου. Επομένως: H κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν-γώνου είναι ίση με ω = 60. ν Μ A ωνία ν-γώνου Σε οποιοδήποτε κανονικό ν-γωνο οι γωνίες Μ,,,... κ.ο.κ. είδαμε ότι είναι ίσες, αού είναι εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα και τις συμβολίζουμε με. Η γωνία ονομάζεται γωνία του κανονικού ν-γώνου. O ς δούμε τη σχέση της κεντρικής γωνίας ω και της γωνίας του ν-γώνου. Ενώνουμε το κέντρο του ν-γώνου με τις κορυές, οπότε σχηματίζονται ν ίσα ισοσκελή τρίγωνα. Μ O ω A Σε καθένα από τα τρίγωνα αυτά οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες με. Στο τρίγωνο Ο θα έχουμε ότι: ω + + = 80 ή ω + = 80 ή = 80 ω Επομένως: Η γωνία ενός κανονικού ν-γώνου είναι παραπληρωματική της κεντρικής γωνίας του ν-γώνου.

11 Μέρος -.. Kανονικά πολύγωνα 8 α) Να βρείτε τη γωνία του κανονικού δεκαγώνου. β) Να βρείτε ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία 6. α) ν ονομάσουμε τη γωνία του κανονικού δεκαγώνου και ω την κεντρική του γωνία, έχουμε: = 80 ω = = 80 6 = β) 60 Ισχύει ότι: = 80 ω ή 6 = 80 ν ή = 80 6 ή = 8 ή ν = ν ν 8 ή ν = 0. ηλαδή, το κανονικό εικοσάγωνο έχει γωνία = 6. ω Να κατασκευαστεί κανονικό πεντάγωνο. Με το διαβήτη θεωρούμε διαδοχικά τόξα ίσα με το. Φέρνουμε τις χορδές των παραπάνω τόξων. ράουμε κύκλο (Ο, ρ) και σχηματίζουμε μια επίκεντρη γωνία O 60 = 5 = 7. Ε ίνεται ένα κανονικό ν-γωνο. Να κατασκευάσετε το κανονικό πολύγωνο που έχει διπλάσιες πλευρές (ν-γωνο). O 7 ν ω είναι η κεντρική γωνία του πολυγώνου που έχει ν πλευρές, και θ η κεντρική γωνία του πολυγώνου με ν πλευρές, έχουμε ότι ω = ν και θ = ν. ω Επομένως, θ =. ν έρουμε τις διχοτόμους των κεντρικών γωνιών του ν-γώνου, οι γωνίες που θα σχηματιστούν θα είναι οι κεντρικές γωνίες του πολυγώνου με ν πλευρές. Οι διχοτόμοι, όπως γνω-ρίζουμε, διέρχονται από τα μέσα των τόξων. Τα μέσα αυτών των τόξων και οι κορυές του αρχικού ν-γώνου αποτελούν τις κορυές του κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές. θ O ω

12 84 Μέρος -.. Kανονικά πολύγωνα ƒø π. Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. A α) Η κεντρική γωνία κανονικού εξαγώνου είναι: 0 β) H κεντρική γωνία κανονικού δωδεκάγωνου είναι: 0 γ) H κεντρική γωνία κανονικού πεντάγωνου είναι: 5 Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 6. δ) Το πλήθος των πλευρών του είναι: 6 ε) Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 0. Το πλήθος των πλευρών του είναι: Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. A α) Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 40. Η γωνία του πολυγώνου είναι: 50 β) Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 7. Η γωνία του πολυγώνου είναι: 08 γ) Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 0. Η γωνία του πολυγώνου είναι: Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. Ένα κανονικό πολύγωνο έχει 5 πλευρές. Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 50 Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 5 α) Η κεντρική του γωνία είναι: β) Η γωνία του πολυγώνου είναι: γ) Η κεντρική του γωνία είναι: δ) Το πλήθος των πλευρών του είναι: ε) Η κεντρική του γωνία είναι: στ) Το πλήθος των πλευρών του είναι: A π Να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες. πλήθος πλευρών γωνία κανονικού πολυγώνου κεντρική γωνία Σε κανονικό πολύγωνο η γωνία του είναι τετραπλάσια της κεντρικής του γωνίας. Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου. Nα υπολογίσετε την κεντρική γωνία ω και τη γωνία ενός κανονικού εξαγώνου και να επαληθεύσετε ότι: ω + = 80. κεντρική γωνία 5 7 γωνία κανονικού πολυγώνου H γωνία ενός κανονικού πολυγώνου 5 είναι τα της ορθής. Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου.

13 Μέρος -.. Kανονικά πολύγωνα Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο: α) με κεντρική γωνία ω = 6. β) με γωνία = 0. Να κατασκευάσετε κανονικό οκτάγωνο. Ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία ίση με την κεντρική του γωνία; π ƒπ ª πøª 8 Με πλευρές τις πλευρές ενός κανονικού Κ Λ εξάγωνου, κατασκευάζουμε τετράγωνα εξωτε- Ζ A ρικά του εξαγώνου. Ε Να αποδείξετε ότι οι κορυές των τετραγώνων, που δεν είναι και κορυές του εξαγώνου, σχηματίζουν κανονικό δωδεκάγωνο. Î ÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ ÛÙË º ÛË, ÛÙËÓ ÓË Î È ÛÙÈ appleèûù ÌÂ Ô apple Ï ÙÈ ÙË lhambra ÛÙË Granada ÙË πûapple Ó Â Ó È ÙÔ ÂÍÔ fiùâúô, Ûˆ,  ÁÌ Ú ÛË ÙˆÓ Î ÓÔÓÈÎÒÓ appleôï ÁÒÓˆÓ ÛÙËÓ ÓË. Œ ÂÈ ÊÙÈ Ù fiïô Ì ËÊÈ ˆÙ apple Óˆ ÛÂ Û È appleô appleâúèï Ì ÓÔ Ó Âapple Ó Ï ÂÈ applefi Û Óı ÛÂÈ Î ÓÔÓÈÎÒÓ appleôï ÁÒÓˆÓ. Ó ÏÔÁ Û È Ô Ì ÂÈ ÛÂ ÌˆÛ Î, ÛÂ Ê ÛÌ Ù Î È ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ ÛÙÈ ÓÂ. Ã Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎfiÙÂÚÔ apple Ú ÂÈÁÌ appleôùâïô Ó ÔÈ ËÌÈÔ ÚÁ  ÙÔ ÏÏ Ó Ô Î ÏÏÈÙ ÓË M.C. Escher. Ú ÛË Î ÓÔÓÈÎÒÓ appleôï ÁÒÓˆÓ ÛÙËÓ ÓË Î È ÙË È ÎfiÛÌËÛË appleôùâïâ ÎÔÌÌ ÙÈ appleôïïòó Ú ˆÓ appleôïèùèûìòó. È Ô Ì ÚÈÔÈ (appleâú appleô 4000 apple.ã.) È ÎÔÛÌÔ Û Ó Ù Ûapple ÙÈ Î È ÙÔ Ó Ô ÙÔ ÌÂ Û È applefi Âapple Ó Ï Ì ÓfiÌÂÓ Î ÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ. Ó ÏÔÁÂ È ÎÔÛÌ ÛÂÈ ÎfiÌË Î È ÂÊ ÚÌÔÁ ÛÙÈ Î Ù ÛΠÎÙÈÚ ˆÓ Ô Ó apple ÚÔ ÛÈ ÛÙ ÛÙÔ ÈÁ appleùèô, ÙÔ ŒÏÏËÓÂ, ÙÔ ª ÚÈÙ ÓÔ, ÙÔ ƒˆì Ô, ÙÔ ÚÛÂ, ÙÔ ÕÚ Â, ÙÔ μ ÓÙÈÓÔ, ÙÔ π appleˆóâ Î È ÙÔ ÈÓ Ô. ÃÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ Û Ó È ÊÔÚ Ù ÓÈÎ Û Â È ÛÌÔ Î È Ù Ó ÓÙÔÓÔ Ô Û ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÚfiappleÔ ÚˆÌ ÙÈÛÌÔ.  ÚÎÂÙÔ appleôïèùèûìô Ë ıúëûîâ Ù Ó ÂΠÓË appleô ÙÔ ÒıËÛÂ Û Ùfi ÙÔ Â Ô ÓË. È apple Ú ÂÈÁÌ, Ë ÈÛÏ ÌÈÎ ıúëûîâ apple ÁÔÚ ÂÈ ÙËÓ Ó apple Ú ÛÙ ÛË ˆÓÙ ÓÒÓ ÔÚÁ ÓÈÛÌÒÓ Û ÚÁ Ù ÓË. È ÙÔ ÏfiÁÔ Ùfi, ÔÈ ª ÚÈÙ ÓÔ ËÌÈÔ ÚÁËÛ Ó ÌfiÓÔ ÊËÚËÌ Ó ÁˆÌÂÙÚÈÎ Û Ì Ù. ÓÙ ıâù, ÔÈ ƒˆì ÔÈ Î È ÏÏÔÈ ÌÂÛÔÁÂÈ ÎÔ Ï Ô ÚËÛÈÌÔappleÔ ËÛ Ó ˆ ÊfiÓÙÔ Û Ó ÛÌÔ Î ÓÔÓÈÎÒÓ appleôï ÁÒÓˆÓ, ÁÈ Ó ÙÔÓ ÛÔ Ó Ó apple Ú ÛÙ ÛÂÈ Ì ÓıÚÒappleÔ ÛÎËÓ applefi ÙË Ê ÛË. Î ÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ Û Ó ÓÙÒÓÙ È ÛÙË º ÛË Î È Á ÓÔÓÙ È ÓÙÈΠÌÂÓÔ ÌÂÏ ÙË applefi È ÊÔÚÔ ÎÏ Ô ÙˆÓ º ÛÈÎÒÓ appleèûùëìòó, fiappleˆ ÙËÓ Ú ÛÙ ÏÏÔÁÚ Ê (Ì ÎÙ Ó Ã), ÙËÓ ÓÙÔÌË ÓÈÎ, ÙËÓ ÓÙÈÎ ÃËÌÂ. È apple Ú ÂÈÁÌ, Ë Ú ÛÙ ÏÏÔÁÚ Ê Ì ÎÙ ÓÂ Ã Â Ó È Ô ÂappleÈÛÙËÌÔÓÈÎfi ÎÏ Ô appleô Û ÔÏÂ Ù È Ì ÙËÓ Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ ÙÔappleÔı ÙËÛË ÈˆÓ ÓÙÈÎÂÈÌ ÓˆÓ, fiappleˆ Ù Û Ó ÓÙÒÓÙ È ÛÙË º ÛË. ÚÎÂÙ applefi ÙÈ Ó Î Ï ÂÈ ÛÙËÓ Ú ÛÙ ÏÏÔÁÚ Ê Î Ù Ù Ì Û ÙÔ 0Ô ÈÒÓ ÌÔÈ Ô Ó Ì ÚÁ Ù ÓË ÙÔ M.C. Esher. ÕÏÏÔÈ ÙÔÌ ÚÂ Ó appleô Û ÔÏÔ ÓÙ È Û ÛÙËÌ ÙÈÎ Ì ΠÓÔÓÈÎ appleôï ÁˆÓ appleâúèï Ì ÓÔÓÙ È ÛÙË ÂˆÏÔÁ, ÙË ªÂÙ ÏÏÔ ÚÁ, ÙË μèôïôá ÎfiÌË Î È ÛÙËÓ Ú appleùôáú Ê!

14 .. Μήκος κύκλου ƒ ƒ π ς θεωρήσουμε ένα νόμισμα των. ού μετρήσετε τη διάμετρό του δ, να βάλετε μελάνι γύρω - γύρω από το νόμισμα και να το κυλίσετε κάθετα στο χαρτί, έτσι ώστε να κάνει μια πλήρη περιστροή. α) Το μήκος L που διαγράει είναι το μήκος του κύκλου. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: δ = L= L δ = β) ς δούμε κατόπιν μερικές προσεγγιστικές μετρήσεις από την στρονομία για την «περιέρεια» και τις διαμέτρους κάποιων πλανητών. Συμπληρώστε τον πίνακα: Πλανήτες Ερμής Aροδίτη Άρης η Σελήνη Να κάνετε τις πράξεις με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηίων χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή τσέπης. Τι παρατηρείτε; Λύση α) Έχουμε ότι: 8006,6 km, km 4005,8 km 094,6 km δ= L= L δ = L 50 km 4879 km 04 km 6794 km 756 km 476 km,5 cm 7,85 cm,4 cm L β) Παρατηρούμε ότι ο λόγος δ είναι περίπου,4 για όλους τους πλανήτες. υτός ο σταθερός λόγος ονομάστηκε από τους αρχαίους Έλληνες ως «ο αριθμός π», ο πιο διάσημος και αξιοσημείωτος απ όλους τους αριθμούς (βλέπε Ιστορικό σημείωμα). L δ L δ

15 Μέρος -.. Mήκος κύκλου 87 ποδεικνύεται ότι ο αριθμός π είναι ένας άρρητος αριθμός, δηλαδή δεκαδικός με άπειρα ψηία, τα οποία δεν προκύπτουν με συγκεκριμένη διαδικασία. Τα πρώτα 40 δεκαδικά ψηία του π είναι: π =, L πό τη σχέση = π, προκύπτει ότι: δ Παρατήρηση: Στις εαρμογές και ασκήσεις θα χρησιμοποιούμε για τον π την προσεγγιστική τιμή,4. Το μήκος του κύκλου υπολογίζεται από τη σχέση: L= πδ ή L= πρ Ένας κύκλος έχει μήκος L = 9,4 cm. Να βρείτε το μήκος της ακτίνας του. ια το μήκος του κύκλου ισχύει ότι: L 9,4 L = πρ ή ρ = π =,4 =,5 cm. Ένας κύκλος έχει μήκος 0 cm περισσότερο από έναν άλλο. Πόσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα του; Θα ισχύει ότι: L = L + 0 ή πρ = πρ + 0. Επομένως: 0 0 ρ = ρ + ή ρ = ρ + ή ρ = ρ +,59. π,4 ηλαδή, η ακτίνα του πρώτου κύκλου είναι μεγαλύτερη κατά,59 cm της ακτίνας του δεύτερου. Να υπολογιστεί το μήκος του κύκλου στο παρακάτω σχήμα. Η εγγεγραμμένη γωνία A είναι ίση με 0, οπότε βρίσκουμε την αντίστοιχη επίκεντρη Ο = 0 = 60. Επομένως, το τρίγωνο Ο είναι ισόπλευρο με Ο = Ο = = cm, οπότε ρ = cm. Άρα, το μήκος του κύκλου είναι: L= πρ =,4 =,56 cm. cm 0 Ο

16 88 Μέρος -.. Mήκος κύκλου ƒø π. Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: κτίνα ρ 5 cm 4 cm Μήκος κύκλου L 7,68 cm cm,56 cm 9 cm. Aν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το μήκος του κύκλου: : διπλασιάζεται : τριπλασιάζεται : τετραπλασιάζεται : παραμένει το ίδιο. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.. Τρεις ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες ρ, ρ, ρ αντίστοιχα. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: L L L L L L L L L ρ L 4ρ L 6ρ L ρ ρ ρ π Ένας κύκλος έχει μήκος 0 cm περισσότερο από έναν άλλο. Πόσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα του; ύρω από τον κορμό ενός αιωνόβιου δέντρου τυλίγουμε ένα σκοινί. Μετράμε το σκοινί και βρίσκουμε ότι έχει μήκος,5 m. Να υπολογίσετε την ακτίνα του κορμού. 6 7 θα διαγράψει το άκρο του λεπτοδείκτη σε ώρες. Στη μηχανή ενός αυτοκινήτου δύο τροχαλίες, συνδέονται με ελαστικό ιμάντα. ν ρ = cm και ρ = 8 cm, να βρείτε πόσες στροές θα κάνει η, αν η κάνει μία στροή. Ένας ποδηλάτης, που προετοιμάζεται για τους αγώνες, προπονείται σε στίβο σχήματος κύκλου με ακτίνα ρ = 0 m. Πόσες στροές θα κάνει σε ώρες προπόνησης, αν κινείται με ταχύτητα 0km/h; Οι διάμετροι δύο κύκλων διαέρουν κατά 5 cm. Να βρείτε πόσο διαέρουν: α) oι ακτίνες τους β) oι περίμετροί τους. 4 5 Οι περίμετροι δύο κύκλων έχουν λόγο προς. Να βρείτε το λόγο: α) των διαμέτρων τους. β) των ακτίνων τους. Ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού έχει μήκος,5 cm. Να βρείτε πόσο διάστημα 8 νωρίζουμε ότι ο Ισημερινός της ης έχει μήκος km περίπου. Θεωρώντας ότι η η είναι σαιρική να βρείτε την ακτίνα της.

17 Μέρος -.. Mήκος κύκλου 89 π ƒπ ª πøª apple =, apple Â Ó È Ô ÌfiÓÔ ÚÚËÙÔ Î È appleâú ÙÈÎfi, fiappleˆ Ï ÁÂÙ È ÚÈıÌfi appleô Û Ó ÓÙ Ù È ÛÙË Ê ÛË. ÙËÓ Ï È È ı ÎË Ê ÓÂÙ È fiùè Ô apple ıâˆúô ÓÙ Ó ÛÔ Ì ÙÔ. È μ ÏÒÓÈÔÈ appleâú appleô ÙÔ.000 apple.ã. ıâˆúô Û Ó fiùè Ô apple  ÙÂ Â Ó È ÛÔ Ì ÙÔ Â Ù Ì ÙÔ. 8 È ÈÁ appleùèôè ÛÙÔÓ apple apple ÚÔ ÙÔ Rhind (500 apple.ã.) ıâˆúô Û Ó fiùè ÙÔ ÂÌ fió ÂÓfi Î ÎÏÔ ÈÛÔ Ù È Ì ( 8 ), fiappleô Ë È ÌÂÙÚÔ ÙÔ Î ÎÏÔ, ÔapplefiÙÂ, apple, øûùfiûô, ÔÈ Ú ÔÈ ŒÏÏËÓÂ Í Ê Á Ó applefi ÙÈ «ÔÓ ÚÈλ ÂÎÙÈÌ ÛÂÈ ÙˆÓ μ ÏˆÓ ˆÓ Î È ÙˆÓ ÈÁ appleù ˆÓ Î È ˆÛ Ó ÂappleÈÛÙËÌÔÓÈÎ Ì ıô Ô ÁÈ ÙÔÓ appleôïôáèûìfi ÙÔ apple. Ô Û Ó Û Ó ÌÂ Ó applefi Ù appleâú ÊËÌ «Ï Ù» appleúô Ï Ì Ù ÙË Ú ÈfiÙËÙ : Ì ÙÔ appleúfi ÏËÌ ÙÔ ÙÂÙÚ ÁˆÓÈÛÌÔ ÙÔ Î ÎÏÔ, ËÏ ÙËÓ Î Ù ÛΠ̠ΠÓfiÓ Î È È ÙË ÙÂÙÚ ÁÒÓÔ ÈÛÂÌ ÈÎÔ Ì ÔÛÌ ÓÔ Î ÎÏÔ. ÎÙÈÌ ÛÂÈ ÙÔ apple ÔÏÏÔ ÂappleÈÛÙ ÌÔÓ applefi ÙËÓ Ú ÈfiÙËÙ (Ì appleúˆùfiáôó Ì Û ) Ì ÚÈ Û ÌÂÚ (ÌÂ Û Á ÚÔÓÔ appleâú appleôïôáèûù ), appleúôûapple ıëû Ó Ó ÚÔ Ó appleúôûâáá ÛÂÈ ÙÔ apple Ì fiûô ÙÔ Ó ÙfiÓ appleâúèûûfiùâú ÂÎ ÈÎ ËÊ. ªÂÚÈÎ applefi Ù ÙÈ appleúôûapple ıâèâ Â Ó È ÔÈ apple Ú Î Ùˆ: ƒãπª : apple ª π : apple (=,46...) , apple,4857 apple 7 7 TSU CHUNG-CHI ( Ó ):,4596 apple,4597, apple 55. AL KASHI (5Ô ÈÒÓ Ì.Ã.): 6 ÎÚÈ ÂÎ ÈÎ ËÊ. LUDOLPH VAN CEULEN: 0, Î ÙfiappleÈÓ, ÙÂÏÈÎ 5 ÎÚÈ ÂÎ ÈÎ ËÊ. SNELL: 4 ËÊ. apple VIETE (59): appleúòùô Ù appleô : = JOHN WALLIS: apple = LEINIZ (67): apple = JOHN MACHIN (706): 00 ÂÎ ÈÎ ËÊ JOLIANN DASE (84-86): 00 WILLIAM SHANKS (85): 707 π C (H/Y)(949): 07 CDC 6600 (967): I appleˆóèî Ì (99): (= 4 ).

18 .4. Μήκος τόξου ια να υπολογίσουμε το μήκος ενός τόξου μετρημένου σε μοίρες, αρκεί να εαρμόσουμε την απλή μέθοδο των τριών. Ένα τόξο 60 (ολόκληρος ο κύκλος) Ένα τόξο μ έχει μήκος πρ. πόσο μήκος έχει; O μ Τόξο 60 μ Μήκος πρ 60 μ μ Έχουμε: = ή = πρ. πρ 60 rad μ Το μήκος ενός τόξου μ ισούται με: = πρ. 60 O ρ Aκτίνια (rad) Aρκετές ορές ως μονάδα μέτρησης των τόξων ενός κύκλου θεωρούμε το τόξο που έχει το ίδιο μήκος με την ακτίνα ρ του κύκλου. υτή η μονάδα μέτρησης λέγεται ακτίνιο ή rad. ν χρησιμοποιήσουμε ακτίνια,τότε: Το μήκος ενός τόξου α rad ισούται με: = αρ. Σχέση μοιρών και ακτινίων Εξισώνοντας τις δύο προηγούμενες σχέσεις: μ = πρ 60 = αρ μ μ μ α βρίσκουμε ότι: πρ = αρ ή π = α ή = π Η αναλογία αυτή εκράζει τη σχέση των μοιρών με τα ακτίνια. Σχόλιο: Ο κύκλος χωρίζεται σε τέσσερα ίσα τόξα από δύο κάθετες διαμέτρους: = = =. Καθένα από αυτά τα τόξα έχει μέτρο 90 και ονομάζεται τεταρτοκύκλιο. O

19 Μέρος -.4. Mήκος τόξου 9 Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα παρακάτω τόξα: π π π rad, 5, 48, rad, 5, rad. 4 6 ια να μπορέσουμε να συγκρίνουμε τα τόξα, θα πρέπει είτε να τα μετατρέψουμε όλα σε μοίρες είτε να τα μετατρέψουμε όλα σε rad. Aς κάνουμε και τις δύο μετατροπές: Μοίρες rad π = 45 4 π 4 5 5π 5 = π 48 = 5 π = 70 π 5 5π 5 = 4 π = 0 6 π 6 Επομένως, ισχύει ότι: 5π π 4π 5π π π 5 < 45 < 48 < 5 < 70 < 0 ή < < < < < Ένα τόξο 0 έχει μήκος, cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου. μ Το μήκος του τόξου είναι: = πρ, οπότε έχουμε διαδοχικά: 60 0, = πρ 80, = πρ 6 πρ = 7,8 7,8 7,8 ρ = = =,48 (cm). π,4 Nα αποδείξετε ότι τα μήκη των τόξων Ο και στο διπλανό σχήμα είναι ίσα. Σχολιάστε το αποτέλεσμα. Ο Κ ρ Στον κύκλο (Κ, ρ) το τόξο Ο είναι ημικύκλιο, επομένως έχει μήκος: 80 = πρ = πρ. Στον κύκλο (Ο, ρ) το τόξο αντιστοιχεί σε τεταρτοκύκλιο, οπότε έχει μήκος: = π (ρ) = πρ. Άρα, τα δύο τόξα έχουν ίδιο μήκος. 60 Συμπεραίνουμε ότι δύο τόξα με ίσα μήκη δεν είναι απαραίτητα ίσα, αού μπορεί να ανήκουν σε κύκλους με διαορετικές ακτίνες.

20 9 Μέρος -.4. Mήκος τόξου ƒø π. Να αντιστοιχίσετε τα μέτρα των τόξων της πρώτης γραμμής από μοίρες σε ακτίνια (rad) της δεύτερης γραμμής. Μοίρες κτίνια 90 π 4 60 π 80 π 70 π 45 π 60 π. Aν το μήκος ενός τόξου μ είναι ίσο με το του μήκους του κύκλου στον οποίο 8 ανήκει, τότε: : μ = 45 : μ = 90 : μ = 60 : μ = 80 Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Τόξο σε μοίρες 0 00 Τόξο σε ακτίνια π π 4 5π 4 7π π Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Τόξο σε μοίρες 5 Τόξο σε ακτίνια π π π Ένα τόξο 45 έχει μήκος 5,7 cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου. ίνονται τόξα π ακτινίων. Να εξετάσετε αν είναι πάντοτε ίσα. ίνονται τρεις ομόκεντροι κύκλοι ακτίνων cm,,5 cm και cm και μια επίκεντρη γωνία 45. Να βρείτε τα μήκη των τόξων που αντιστοιχούν στη γωνία αυτή. 80 Nα υπολογίσετε το μήκος ενός τεταρτοκύκλιου ακτίνας ρ = 8 cm. Σ έναν κύκλο που έχει μήκος 88,4 cm να βρείτε το μήκος τόξου 0. O 45 Ζ E 4 Να βρείτε το μήκος του τόξου που αντιστοιχεί στην πλευρά τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με ακτίνα ρ = 0 cm.

21 .5. Εμβαδόν κυκλικού δίσκου ια να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου, χωρίζουμε τον κυκλικό δίσκο σε όσο πιο μικρά μέρη μπορούμε. Κόβουμε τα κομματάκια αυτά και κατόπιν τα τοποθετούμε όπως αίνεται στο διπλανό σχήμα: 4 ρ πρ Παρατηρούμε ότι σχηματίζεται ένα σχήμα που «μοιάζει» με ορθογώνιo. ν συνεχίσουμε να χωρίζουμε τον κυκλικό δίσκο ολοένα σε πιο μικρά ίσα μέρη, τότε το τελικό σχήμα θα προσεγγίζει όλο και περισσότερο ένα ορθογώνιο, του οποίου η «βάση» είναι ίση με το μισό του μήκους του κύκλου, δηλαδή με πρ, και το «ύψος» με την ακτίνα του κύκλου. Επομένως, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου που σχηματίζεται, δηλαδή με ρ πρ. Επομένως: Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται με Ε = πρ ν το μήκος ενός κύκλου είναι 6,8 cm, να βρείτε το εμβαδόν του. Το μήκος του κύκλου δίνεται από τον τύπο L=πρ, δηλαδή 6,8=,4 ρ, οπότε ρ= (cm). Tότε, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι: Ε = πρ =,4 =,4 (cm ). Στο διπλανό σχήμα η κίτρινη περιοχή που βρίσκεται ανάμεσα στους δύο κύκλους ονομάζεται κυκλικός δακτύλιος. ν το εμβαδόν του κίτρινου δακτυλίου είναι ίσο με το εμβαδόν του μπλε κυκλικού δίσκου, ο οποίος έχει ακτίνα ρ = cm, να βρείτε την ακτίνα R του μεγάλου κύκλου. ρ O R Τo εμβαδόν Ε του δακτυλίου ισούται με τη διαορά των εμβαδών Ε = πr και E = πρ των δύο κυκλικών δίσκων. Επομένως, Ε = Ε Ε = πr πρ. ού Ε = Ε, θα έχουμε: πr πρ = πρ ή πr = πρ ή R = ρ ή R = () = 4. Οπότε: R = cm.

22 94 Μέρος -.5. Eμβαδόν κυκλικού δίσκου Mια πιτσαρία προσέρει πίτσες κυκλικού σχήματος σε τρία μεγέθη: τη μικρή, τη μεσαία και τη μεγάλη. Η μικρή έχει διάμετρο cm και κοστίζει 7. Η μεσαία έχει διάμετρο 8 cm και κοστίζει 8 και 50 λεπτά. Η μεγάλη έχει διάμετρο cm και κοστίζει και 90 λεπτά. Ποια από τις τρεις πίτσες συμέρει από άποψη τιμής; ια να συγκρίνουμε τις πίτσες, αρκεί να βρούμε το κόστος τού cm για κάθε πίτσα. Η μικρή έχει εμβαδόν: Ε = πρ = π ( ) = 45,7 (cm ). Η μεσαία έχει εμβαδόν: Ε = πρ = π 4 = 65,44 (cm ). Το κόστος του cm για κάθε πίτσα είναι: Η μεγάλη έχει εμβαδόν: Ε = πρ = π ( ) = 854,87 (cm ). Μικρή 700 =,69 (λεπτά/cm ) 45,7 Μεσαία 850 =,8 (λεπτά/cm ) 65,44 Μεγάλη 90 =,9 (λεπτά/cm ) 854,87 Επομένως, συμέρει να αγοράσουμε τη μεσαία πίτσα. ƒø π... Ένας κύκλος έχει εμβαδόν ίσο αριθμητικά με το μήκος του. Η ακτίνα του είναι ίση με: : 4 : : 6 : 5. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Ένας κύκλος έχει μήκος L = 4 cm. Tο εμβαδόν του είναι: : cm 4 : π cm : 9 cm : 6 cm. Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το εμβαδόν του: : διπλασιάζεται : τριπλασιάζεται : εξαπλασιάζεται : εννιαπλασιάζεται. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. 4. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: κτίνα ρ κύκλου 5 cm Εμβαδόν κύκλου Ε 8,6 cm,5 cm 94 cm

23 Μέρος -.5. Eμβαδόν κυκλικού δίσκου Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: κτίνα ρ Μήκος L cm cm cm 4 cm ρ cm ρ cm ρ cm 4ρ cm Τι παρατηρείτε; Εμβαδόν Ε π Ένας κύκλος (Ο, ρ) έχει διάμετρο 0 cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που έχει τετραπλάσια επιάνεια από τον κύκλο (Ο, ρ). 5 Ένα τετράγωνο έχει πλευρά cm. Να βρεθεί (κατά προσέγγιση) η ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου που είναι ισοδύναμος (δηλαδή έχει το ίδιο εμβαδόν) με το τετράγωνο. Να βρείτε το εμβαδόν του μπλε κυκλικού δακτυλίου, αν ρ= cm και R= cm. O ρ R 6 Λυγίζουμε ένα σύρμα μήκους,56 m, ώστε να σχηματίσει κύκλο. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που αντιστοιχεί στο συρμάτινο κύκλο. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου. 6 cm A O 8 cm 7 Να υπολογίσετε το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς α = 6 cm. 4 Ένας κύκλος έχει ακτίνα 0 cm. Να κατασκευάσετε κυκλικό δίσκο με διπλάσιο εμβαδόν. 8 Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν 44π cm. Να βρείτε το μήκος του τόξου του κύκλου που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 60.

24 .6. Εμβαδόν κυκλικού τομέα ς θεωρήσουμε ένα κύκλο (Ο, ρ) και μια επίκεντρη γωνία xοy μέτρου μ. Το μέρος του κυκλικού δίσκου που περιέχεται μέσα στη γωνία xοy λέγεται κυκλικός τομέας γωνίας μ του κύκλου (Ο, ρ). Ο μ x μ y Aν η επίκεντρη γωνία x Οy είναι μέτρου μ, τότε και το αντίστοιχο τόξο της έχει μέτρο μ, οπότε βρίσκουμε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα: 60 πρ μ = ή Ε ν το τόξο έχει μετρηθεί σε ακτίνια και ισούται με α rad, τότε πάλι έχουμε: μ E= πρ 60 Τόξο σε μοίρες Eμβαδόν Τόξο σε ακτίνα (rad) Eμβαδόν 60 πρ π πρ μ Ε α Ε E = πρ α ρ = α ή π E= αρ Ο 50 ƒ ƒ π Mια κυκλική πλατεία έχει ακτίνα ρ = 0 m. Ένας προβολέας είναι τοποθετημένος στο κέντρο της πλατείας και εκπέμπει μια δέσμη ωτός που ωτίζει ένα κυκλικό τομέα γωνίας 50. α) Να βρείτε το εμβαδόν της πλατείας. β) Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που ωτίζεται. Λύση α) Το εμβαδόν της πλατείας είναι: Ε = πρ =,4 0 = 56 (m ). β) νωρίζουμε ότι όλη η πλατεία αντιστοιχεί σε τόξο 60 και έχει εμβαδόν 56 m. ια να βρούμε το εμβαδόν ε του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί σε ε τόξο 50, χρησιμοποιούμε την απλή μέθοδο των τριών, οπότε: = ή ε = ε 60 = 74,44 (m ). Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα στον στίβο της σαιροβολίας ακτίνας ρ = 4 m και γωνίας 65. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα δίνεται από τον τύπο: μ Ε = πρ =, = 6,56 (m )

25 Μέρος -.6. Eμβαδόν κυκλικού τομέα 97 O παρακάτω κύκλος έχει διάμετρο και εμβαδόν 40 cm. Nα υπολογίσετε τα εμβαδά Ε, Ε, Ε, Ε 4. Έχουμε ότι: Ο = 0, Ο = 90 και Ο = 90 Ο = 90 0 = 60 Επομένως: Ε = (πρ 80 ) = 40 = 0 (cm ). 60 Ε Ο Ε = (πρ 90 ) = 40 = 0 (cm ) Ε = (πρ 0 ) = 40 =, (cm ). 60 Ε 4 0 Ε Ε Ε 4 = (πρ 60 ) = 40 = 6,67 (cm ) ƒø π. Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: ακτίνα κύκλου γωνία κυκλικού τομέα ρ = cm μ = 60 μ = 45 ρ = cm εμβαδόν κυκλικού τομέα Ε = 8π cm Ε = π cm Σ έναν κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ =... (cm) ο κυκλικός τομέας γωνίας 0 έχει μήκος τόξου 6π (cm) και εμβαδόν... (cm ). Να συμπληρώσετε τα κενά. Η ακτίνα ενός κύκλου είναι cm. Ένας κυκλικός τομέας γωνίας 60 έχει εμβαδόν: : 4π (cm ) : 6π (cm ) : 54π (cm ) : 08π (cm ). Nα κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ν το εμβαδόν κυκλικού τομέα είναι,56 cm και η γωνία του είναι 90, η ακτίνα του κύκλου είναι: : cm, : 4 cm, : 9 cm, : 7 cm. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. ν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα του κύκλου: : διπλασιάζεται : τριπλασιάζεται : εξαπλασιάζεται : εννιαπλασιάζεται. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. π Να υπολογιστεί η γωνία κυκλικού τομέα που έχει εμβαδόν ίσο με το του 8 εμβαδού του κύκλου. Ένας κυκλικός τομέας γωνίας 0 έχει εμβαδόν m. Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου.

26 98 Μέρος -.6. Eμβαδόν κυκλικού τομέα Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι 56 cm. Να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα γωνίας 6. Το εμβαδόν κυκλικού τομέα γωνίας 45 είναι 0,5π cm. Να βρείτε το εμβαδόν του κύκλου στον οποίο ανήκει ο τομέας. ύο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες ρ = cm και ρ =4 cm αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το εμβαδόν O του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος. A Ο υαλοκαθαριστήρας ενός αυτοκινήτου έχει μήκος 55 cm. Το σημείο περιστροής απέχει από το λάστιχο καθαρισμού 5 cm. Aν ο υαλοκαθαριστήρας διαγράει γωνία 0, να υπολογίσετε την επιάνεια που καθαρίζει. 8 Να υπολογίσετε τα εμβαδά των γραμμοσκιασμένων καμπυλόγραμμων επιανειών στα παρακάτω τετράγωνα: α) ==8 cm β) = 8 cm γ) = 8 cm δ) = 8 cm ε) A = 8 cm Να βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιάνειας στο σχήμα, αν οι αριθμοί εκράζουν τα μήκη των αντίστοιχων τμημάτων σε cm. apple Ó ÏË Ë ÂÊ Ï Ô Μέτρηση Κύκλου Ε Ζ Εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα ειναι μεταξύ τους ίσες. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο. Κανονικό πολύγωνο: ίσες πλευρές ίσες γωνίες 60 Κεντρική γωνία κανονικού ν-γώνου: ω = ν ωνία κανονικού ν-γώνου: = 80 ω Μήκος κύκλου: L δ = π ή L= πρ Μήκος τόξου: μ = πρ 60 ή = αρ Εμβαδό κυκλικού δίσκου: Ε = πρ Εμβαδό κυκλικού τομέα: μ Ε = πρ ή Ε = αρ 60

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί

ΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί ΜΕΡΟΣ Α º π Ô Πραγματικοί αριθμοί ΕΙΣΑΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ª ÚÈ ÙÒÚ Ô ÌÂ Û Ó ÓÙ ÛÂÈ Ê ÛÈÎÔ, Î Ú ÈÔ Î È ÚËÙÔ ÚÈıÌÔ. ÙÔ ÙÂÏÂ Ù Ô Â ÌÂ ÂÍÂÙ ÛÂÈ ÙË ÂÎ ÈÎ ÙÔ apple Ú ÛÙ ÛË, Ë ÔappleÔ Ù Ó ÁÓˆÛÙ ÛÂ appleï appleâúèô

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται µε. Ε = πρ 2.

Ορισμός Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται µε. Ε = πρ 2. ΜΕΡΟΣ Β 3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ 345 3.5 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ Ορισμός Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται µε. ρ Χωρίζουμε τον κύκλο σε πιο μικρά μέρη και σχηματίζεται ένα ορθογώνιο με διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Σ ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ να σχεδιάσετε με αρχή το σημείο Γ, ένα διάνυσμα ³ ΓΔ αντίθετο του ΑΒ ³ και στη

Σ ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ να σχεδιάσετε με αρχή το σημείο Γ, ένα διάνυσμα ³ ΓΔ αντίθετο του ΑΒ ³ και στη .5- øª ƒπ (56-6) 9--06 00:08 ÂÏ 6 Μέρος -.5. Η έννοια του διανύσματος 6 Τα διανύσματα α και β του παρακάτω σχήματος έχουν ίσα μέτρα. Να εξετάσετε αν τα διανύσματα αυτά είναι ίσα. 6 Σ ένα ισόπλευρο τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου.

Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου. Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου. Μέρος Α Θεωρία. 1. Ποια γωνία λέγετε εγγεγραμμένη σε κύκλο; 2. Ποιο είναι το αντίστοιχο τόξο εγγεγραμμένης γωνίας; 3. Με τι είναι ίση κάθε εγγεγραμμένη γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π

ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ «Η ΕΘΝΙΚΗ» ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1891 ΕΤΑΙΡΙΑ ΤΟΥ ΟΜΙΛΟΥ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΑΡ.Μ.Α.Ε.: 12840/05 B 86/20 Α.Φ.Μ.: 094003849 Δ.Ο.Υ.: ΜΕΓΑΛΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΛΕΩΦ.

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Παναγιώτης Βλάμος Παναγιώτης ρούτσας Γεώργιος Πρέσβης Κωνσταντίνος Ρεκούμης

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Παναγιώτης Βλάμος Παναγιώτης ρούτσας Γεώργιος Πρέσβης Κωνσταντίνος Ρεκούμης ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙ ΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Παναγιώτης Βλάμος Παναγιώτης ρούτσας Γεώργιος Πρέσβης Κωνσταντίνος Ρεκούμης ΜΘΗΜΤΙΚ Β Γυμνασίου ΜΕΡΟΣ B Τόμος 2ος Μαθηματικά Β ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β 1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ÂÚÈÂ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô

ÂÚÈ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô ÂÚÈ fiìâó ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô È ÚÈıÌÔ Ì ÚÈ ÙÔ ÃÒÚÔ Î È Û Ì Ù ÂÊ Ï ÈÔ : ÚÔÛ Ó ÙÔÏÈÛÌfi ÛÙÔ ÒÚÔ... ÂÊ Ï ÈÔ : ˆÌÂÙÚÈÎ Û Ì Ù... ÂÊ Ï ÈÔ : ÁÎÚÈÛË Î È ÂÎÙ ÌËÛË appleôûôù ÙˆÓ... ÂÊ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ.

Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ. χωνευτοί σ. 56 Nedbox χωνευτοί από 12 έως 56 στοιχεία σ. 58 από 1 έως 6 στοιχεία σ. 62 XL 3 160 από 48 έως 144 στοιχεία και ερµάρια διανοµής ισχύος XL 3 σ. 68 Ράγες, πλάτες στήριξης και µετώπες σ. 77 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

(ON THE JOB TRAINING) ΟΡΓΑΝΩΝΕΙ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ «ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ» ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΧΩΡΩΝ /

(ON THE JOB TRAINING) ΟΡΓΑΝΩΝΕΙ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ «ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ» ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΧΩΡΩΝ / Επαγγελµατικό προφίλ: ΠΡΟΪΣΤΑΜΕΝΟΣ ΟΡΟΦΩΝ (ΟΡΟΦΟΚΟΜΟΣ) Επίπεδο: 2 εξιότητες Θέµατα Συνδεδεµένες δεξιότητες C1 ΗΓΕΙΤΑΙ, ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΖΕΙ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

À π. apple Ú Â ÁÌ Ù. π À Ã ª ªπ À À À. ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË

À π. apple Ú Â ÁÌ Ù. π À à ª ªπ À À À. ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË À π Àªµ 2008-2010 π À à ª ªπ À À À appleâíëáëì ÙÈÎ apple Ú Â ÁÌ Ù Η υπογραφή της νέας Συλλογικής Σύµβασης µεταξύ ΕΤΥΚ ΚΕΣΤ για τα έτη 2008 2010 θεωρήθηκε µια µεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. β) Το Ε ΑΒΓ = 3Ε ΒΟΓ = 3 ΒΓ ΟΗ = = 2. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο:

Ερωτήσεις ανάπτυξης. β) Το Ε ΑΒΓ = 3Ε ΒΟΓ = 3 ΒΓ ΟΗ = = 2. Η κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου δίδεται από τον τύπο: ρωτήσεις ανάπτυξης. α) πό το ορθογώνιο τρίγωνο, έχουµε: - () λλά R, R, αφού η γωνία 0. () γίνεται: (R) - R R - R R Άρα R cm H πλευρά α του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α 6 cm. β) Το 6 7 cm. B A H O. κεντρική

Διαβάστε περισσότερα

ÓfiÙËÙ 1. ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ

ÓfiÙËÙ 1. ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ ÓfiÙËÙ ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ ª ı Óˆ: ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ º ÛÈÎÔ ÚÈıÌÔ È ÚÈıÌÔ 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... ÔÓÔÌ ÔÓÙ È Ê ÛÈÎÔ. ıâ Ê ÛÈÎfi ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi applefi ÙÔ 0, appleúôî appleùâè applefi ÙÔÓ appleúôëáô

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος. Ενότητα 8. β τεύχος

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος. Ενότητα 8. β τεύχος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 46 Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος Ενότητα 8 β τεύχος Γεωμετρικά σχήματα-η περίμετρος 46 1η Άσκηση Να κυκλώσεις όλα τα κανονικά πολύγωνα: 60 ο 108 ο 108 ο 120

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : Μήκος κύκλου: L = Εμβαδόν κύκλου: Ε = ( όπου π = 3,14) Γνωρίζοντας ότι σε γωνία 360 0 αντιστοιχεί κύκλος με μήκος L και εμβαδόν Ε έχουμε : α) ημικύκλιο

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ» Τι καλείται εμαδόν επίπεδης επιφάνειας; Το εμαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, πο εκφράζει την έκταση πο καταλαμάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα).

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε μια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο Κ του κύκλου να φέρετε κάθετη στη χορδή ΑΒ η οποία τέμνει τη χορδή στο σημείο Μ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β 1.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ

ΜΕΡΟΣ Β 1.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ 45. 4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙ Το ομοιόθετο σημείου ν πάρουμε δύο σημεία Ο, και στην ημιευθεία Ο πάρουμε ένα σημείο ', τέτοιο ώστε Ο = 2 O, τότε λέμε ότι το σημείο είναι ο- μοιόθετο του με κέντρο Ο

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Επίπεδα Σχήματα

Κεφάλαιο 5 Επίπεδα Σχήματα Κεφάλαιο 5 Επίπεδα Σχήματα Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 5.1 Στοιχεία τριγώνου... 3 5.2 Είδη τριγώνων... 5 5.3 Πυθαγόρειο θεώρημα... 8 5.4 Ισότητα ορθογωνίων τριγώνων...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΚΥΚΛΟΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Αν α είναι η απόσταση ευθείας ε από το κέντρο του κύκλου (Ο, ρ) τότε: αν α > ρ η ε λέγεται εξωτερική του κύκλου αν α = ρ η ε λέγεται τέμνουσα του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό

Διαβάστε περισσότερα

ÓfiÙËÙ 1 ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô

ÓfiÙËÙ 1 ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ÓfiÙËÙ ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô Ì Ì È: ÀappleÂÓı ÌÈÛË ã T ÍË È Ó ÂappleÈÏ ÛÔ ÌÂ Ó appleúfi ÏËÌ, ÙÔ È Ô ÌÂ appleúôûâîùèî ÒÛÙÂ Ó Î Ù ÓÔ ÛÔ - ÌÂ ÙÈ appleïëúôêôú

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚHΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚHΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΚHΣΙΣ ΠΝΛΗΨΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΦΥΛΧΤΟΣ Π. ΣΜΪΛΗ. ΜYΡΙΙΝΝΗΣ. 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) χ (χ 1) 3 = (1+5χ) β) x (3 3 x) 1 3(1 x) γ ) χ 3(χ ) +7 =( 3)( 5) 3χ δ) 5χ 19 3-(4χ-5) =χ (6χ 5) ε) 4 x 5 x

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)

Διαβάστε περισσότερα