Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος
|
|
- reek Βέργας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30
2 Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 2 / 30
3 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 3 / 30
4 1. Ανισότητα Markov Θεώρημα Χ μη αρνητική t > 0 } : Pr{X t } E(X) t Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 4 / 30
5 1. Ανισότητα Markov Θεώρημα Χ μη αρνητική t > 0 } : Pr{X t } E(X) t Φυσική σημασία t = 2 µ P r{x 2 µ} µ 2 µ = 1 2 t = 3 µ P r{x 3 µ} 1 3 Γενικά: P r{x t µ} 1 t Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 4 / 30
6 1. Ανισότητα Markov - Απόδειξη E(X) = x P r{x = x} x P r{x = x} x x t t P r{x = x} = t P r{x = x} = t P r{x t} x t x t Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 5 / 30
7 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 30
8 2. Διασπορά - Ορισμός Ορισμός διασποράς (variance) [ V ar(x) = E (X µ) 2] = x (x µ) 2 P r{x = x} όπου µ = E(X) σ = V ar(x) (τυπική απόκλιση) Φυσική σημασία: μέτρο αποκλίσεων από τη μέση τιμή (μέση τιμή τετραγώνου αποκλίσεων από τη μέση τιμή - πιθανοτικά ζυγισμένο άθροισμα αυτών των αποκλίσεων) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 7 / 30
9 2. Variance - Ιδιότητες Ιδιότητες 1) V ar(x) = E(X 2 ) E 2 (X) 2) Αν X, Y ανεξάρτητες V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) (προσθετικότητα) 3) V ar(c X) = c 2 V ar(x) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 8 / 30
10 2. Variance - Ιδιότητες Απόδειξη 1) [ V ar(x) = E (X µ) 2] = E [ X 2 2 µ X + µ 2] = = E(X 2 ) 2 µ E(X)+E(µ 2 ) = E(X 2 ) 2 µ 2 +µ 2 = E(X 2 ) µ 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 30
11 2. Variance - Ιδιότητες Απόδειξη 2) V ar(x + Y ) = E [ (X + Y ) 2] E 2 (X + Y ) = E [ X X Y + Y 2] [E(X) + E(Y )] 2 = E(X 2 )+2 E(X Y )+E(Y 2 ) E 2 (X) 2 E(X) E(Y ) E 2 (Y ) = (λόγω ανεξαρτησίας ισχύει: E(X Y ) = E(X) E(Y )) = E(X 2 ) E 2 (X) + E(Y 2 ) E 2 (Y ) = = V ar(x) + V ar(y ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 10 / 30
12 3. Συνδιασπορά - Ορισμός Ορισμός συνδιασποράς (covariance) Καλούμε συνδιασπορά (covariance) δύο τυχαίων μεταβλητών X, Y την: Cov(X, Y ) = E[(X E(X)) (Y E(Y ))] Βασική ιδιότητα: Είναι Cov(X, Y ) = E[XY E(X)Y E(Y )X + E(X)E(Y )] = = E(XY ) E(X)E(Y ) E(Y )E(X) + E(X)E(Y ) Άρα Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) Φυσική σημασία: Αν X,Y ανεξάρτητες E(XY ) = E(X)E(Y ) Cov(X, Y ) = 0 Δηλαδή η συνδιασπορά είναι μέτρο της εξάρτησης δύο τ.μ. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 11 / 30
13 3. Συνδιασπορά - Παρατήρηση Παρατήρηση: Το αντίστροφο δεν ισχύει! δηλαδή η συνδιασπορά μπορεί να είναι 0 ακόμα και όταν οι τυχαίες μεταβλητές είναι εξαρτημένες. πχ. P r{x = 0} = P r{x = 1} = P r{x = 1} = 1 3 { 0, αν X 0 και έστω Y = 1, αν X = 0 Οπότε προφανώς X Y = 0, οπότε E(XY ) = 0. Αλλά E(X) = = 0 και E(Y ) = 0 P r{x 0} + 1 P r{x = 0} = 1 3 Άρα Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 0 ενώ οι X και Y είναι προφανώς εξαρτημένες. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 12 / 30
14 3. Συνδιασπορά - Ιδιότητες Ιδιότητες (ι) Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) (ιι) Cov(X, X) = V ar(x) ( n ) n (ιιι) V ar X i = i=1 i=1 V ar(x i ) + i Cov(X i, X j ) j i Απόδειξη της (ιι): Cov(X, X) = E(X X) E(X)E(X) = = E(X 2 ) E 2 (X) = = V ar(x) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 30
15 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 30
16 4. Ανισότητα Chebyshev Θεώρημα P r{ X µ t} V ar(x) t 2 Φυσική σημασία: V ar(x) P r{ X µ t} μικρές αποκλίσεις, υψηλή συγκέντρωση γύρω από τη μέση τιμή π.χ. P r{ X µ 2 σ} σ2 4 σ 2 = 1 4 P r{ X µ 2 σ} 0.75 (δηλαδή οποιαδήποτε τ.μ. συγκεντρώνεται ± 2 τυπικές αποκλίσεις γύρω από τη μέση τιμή με πιθανότητα 0.75). Επίσης: P r{ X µ 3 σ} σ2 9 σ 2 = 1 9 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 15 / 30
17 4. Ανισότητα Chebyshev [ Απόδειξη: V ar(x) = E (X µ) 2] = x (x µ) 2 f(x) (x µ) 2 P r {X = x} t 2 P r {X = x} x µ t x µ t = t 2 P r {X = x} = t 2 P r { X µ t} x µ t Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 16 / 30
18 4. Ανισότητα Chebyshev - Παράδειγμα Ενα παράδειγμα όπου η Chebyshev δίνει ακριβές αποτέλεσμα 1 k, 2 k 1 2 X = k, 2 k 2 0, 1 1 k 2 1 µ = k 2 k 2 k 1 2 k = 0 V ar(x) = (k 0) k 2 +( k 0)2 1 2 k 2 +(0 0)2 = = 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 17 / 30
19 4. Ανισότητα Chebyshev - Παράδειγμα (Συνέχεια) Από την Chebyshev έχω: P r{ X k} = P r{ X µ k} V ar(x) k 2 = 1 k 2 Από την pdf έχω: P r{ X k} = P r{x k} + P r{x k} = P r{x = k} + P r{x = k} = 1 2 k k 2 = 1 k 2 δηλαδη το άνω φράγμα είναι ακριβές. Αλλά πολλές φορές τα άνω φράγματα της Chebyshev δεν είναι πολύ ακριβή μελετάμε υψηλότερες ροπές Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 18 / 30
20 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 30
21 5. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η διασπορά κατά την ρίψη ενός ζαριού Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
22 5. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η διασπορά κατά την ρίψη ενός ζαριού Λύση: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
23 5. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η διασπορά κατά την ρίψη ενός ζαριού Λύση: Εστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμάτων του ζαριού. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
24 5. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η διασπορά κατά την ρίψη ενός ζαριού Λύση: Εστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμάτων του ζαριού. Είναι E(X) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
25 5. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η διασπορά κατά την ρίψη ενός ζαριού Λύση: Εστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμάτων του ζαριού. Είναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
26 5. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η διασπορά κατά την ρίψη ενός ζαριού Λύση: Εστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμάτων του ζαριού. Είναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Είναι E(X 2 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
27 5. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η διασπορά κατά την ρίψη ενός ζαριού Λύση: Εστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμάτων του ζαριού. Είναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Είναι E(X 2 ) = = 91 6 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
28 5. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η διασπορά κατά την ρίψη ενός ζαριού Λύση: Εστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμάτων του ζαριού. Είναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Είναι E(X 2 ) = = 91 6 Άρα V ar(x) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
29 5. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η διασπορά κατά την ρίψη ενός ζαριού Λύση: Εστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμάτων του ζαριού. Είναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Είναι E(X 2 ) = = 91 6 Άρα V ar(x) = E(X 2 ) E 2 (X) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
30 5. Παράδειγμα 1 Να υπολογιστεί η διασπορά κατά την ρίψη ενός ζαριού Λύση: Εστω Χ η τ.μ. των αποτελεσμάτων του ζαριού. Είναι E(X) = = ( )1 6 = 21 6 = 7 2 Είναι E(X 2 ) = = 91 6 Άρα V ar(x) = E(X 2 ) E 2 (X) = 91 ( ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 30
31 5. Παράδειγμα 2 Να δείξετε την ανισότητα του Boole χρησιμοποιώντας μέσες τιμές δεικνυουσών μεταβλητών. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 21 / 30
32 5. Παράδειγμα 2 Να δείξετε την ανισότητα του Boole χρησιμοποιώντας μέσες τιμές δεικνυουσών μεταβλητών. Απόδειξη: Εστω γεγονότα A 1, A 2,..., A n. Θέλουμε να δείξουμε ότι: n P r{ n i=1a i } P r{a i } i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 21 / 30
33 5. Παράδειγμα 2 Να δείξετε την ανισότητα του Boole χρησιμοποιώντας μέσες τιμές δεικνυουσών μεταβλητών. Απόδειξη: Εστω γεγονότα A 1, A 2,..., A n. Θέλουμε να δείξουμε ότι: n P r{ n i=1a i } P r{a i } i=1 Εστω τ.μ. X 1, X 2,..., X n που δείχνουν αν συνέβη ή όχι κάθε ένα από τα A i, δηλαδή: { 1, αν συνέβη το Ai X i = 0, διαφορετικά Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 21 / 30
34 5. Παράδειγμα 2 Να δείξετε την ανισότητα του Boole χρησιμοποιώντας μέσες τιμές δεικνυουσών μεταβλητών. Απόδειξη: Εστω γεγονότα A 1, A 2,..., A n. Θέλουμε να δείξουμε ότι: n P r{ n i=1a i } P r{a i } i=1 Εστω τ.μ. X 1, X 2,..., X n που δείχνουν αν συνέβη ή όχι κάθε ένα από τα A i, δηλαδή: { 1, αν συνέβη το Ai X i = 0, διαφορετικά n Εστω X = X i οπότε η X μετράει τον αριθμό των γεγονότων i=1 που πραγματοποιήθηκαν. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 21 / 30
35 5. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Εστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικά δηλαδή η Y δείχνει αν πραγματοποιήθηκε ή όχι τουλάχιστον ένα γεγονός. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 30
36 5. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Εστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικά δηλαδή η Y δείχνει αν πραγματοποιήθηκε ή όχι τουλάχιστον ένα γεγονός. Προφανώς X Y Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 30
37 5. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Εστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικά δηλαδή η Y δείχνει αν πραγματοποιήθηκε ή όχι τουλάχιστον ένα γεγονός. Προφανώς X Y Άρα E(X) E(Y ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 30
38 5. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Εστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικά δηλαδή η Y δείχνει αν πραγματοποιήθηκε ή όχι τουλάχιστον ένα γεγονός. Προφανώς X Y Άρα E(X) E(Y ) ( n ) Αλλά E(X) = E X i = i=1 n E(X i ) = i=1 n 1 P r{a i } i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 30
39 5. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Εστω Y = { 1, αν X 1 0, διαφορετικά δηλαδή η Y δείχνει αν πραγματοποιήθηκε ή όχι τουλάχιστον ένα γεγονός. Προφανώς X Y Άρα E(X) E(Y ) ( n ) Αλλά E(X) = E X i = i=1 n E(X i ) = i=1 n 1 P r{a i } i=1 και E(Y ) = 1 P r{x 1} = P r{x 1} = P r{ n i=1a i } Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 30
40 5. Παράδειγμα 3 Μία γραμματέας βάζει τυχαία n επιστολές σε n φακέλους. Ποιά είναι η μέση τιμή του αριθμού των επιστολών που μπαίνουν στο σωστό φάκελο; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 30
41 5. Παράδειγμα 3 Μία γραμματέας βάζει τυχαία n επιστολές σε n φακέλους. Ποιά είναι η μέση τιμή του αριθμού των επιστολών που μπαίνουν στο σωστό φάκελο; Λύση: Εστω δεικνύουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : { 1, αν η επιστολή i μπαίνει στο σωστό φάκελο X i = 0, διαφορετικά Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 30
42 5. Παράδειγμα 3 Μία γραμματέας βάζει τυχαία n επιστολές σε n φακέλους. Ποιά είναι η μέση τιμή του αριθμού των επιστολών που μπαίνουν στο σωστό φάκελο; Λύση: Εστω δεικνύουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : { 1, αν η επιστολή i μπαίνει στο σωστό φάκελο X i = 0, διαφορετικά Άρα X = n X i είναι ο αριθμός των επιστολών σε σωστό φάκελο. i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 30
43 5. Παράδειγμα 3 Μία γραμματέας βάζει τυχαία n επιστολές σε n φακέλους. Ποιά είναι η μέση τιμή του αριθμού των επιστολών που μπαίνουν στο σωστό φάκελο; Λύση: Εστω δεικνύουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : { 1, αν η επιστολή i μπαίνει στο σωστό φάκελο X i = 0, διαφορετικά Άρα X = n X i είναι ο αριθμός των επιστολών σε σωστό φάκελο. i=1 Είναι E(X i ) = 1 P r{επιστολή i σε σωστό φάκελο} = (n 1)! = = 1 n! n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 30
44 5. Παράδειγμα 3 Μία γραμματέας βάζει τυχαία n επιστολές σε n φακέλους. Ποιά είναι η μέση τιμή του αριθμού των επιστολών που μπαίνουν στο σωστό φάκελο; Λύση: Εστω δεικνύουσες τ.μ. X i (i = 1, 2,..., n) : { 1, αν η επιστολή i μπαίνει στο σωστό φάκελο X i = 0, διαφορετικά Άρα X = n X i είναι ο αριθμός των επιστολών σε σωστό φάκελο. i=1 Είναι E(X i ) = 1 P r{επιστολή i σε σωστό φάκελο} = (n 1)! = = 1 n! n Άρα E(X) = E ( n i=1 X i) = n i=1 E(X i) = n i=1 1 n = n 1 n = 1 Άρα κατα μέση τιμή 1 επιστολή θα μπει σε σωστό φάκελο. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 30
45 5. Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η διασπορά στο παράδειγμα 3 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 30
46 5. Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η διασπορά στο παράδειγμα 3 Λύση: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 30
47 5. Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η διασπορά στο παράδειγμα 3 Λύση: Είναι X = n X i, όπου X i = i=1 { 1, με πιθανότητα p = 1 n 0, με πιθανότητα 1 p Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 30
48 5. Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η διασπορά στο παράδειγμα 3 Λύση: Είναι X = n X i, όπου X i = i=1 { 1, με πιθανότητα p = 1 n 0, με πιθανότητα 1 p Είναι V ar(x i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 30
49 5. Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η διασπορά στο παράδειγμα 3 Λύση: Είναι X = n X i, όπου X i = i=1 { 1, με πιθανότητα p = 1 n 0, με πιθανότητα 1 p Είναι V ar(x i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Επίσης Cov(X i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 30
50 5. Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η διασπορά στο παράδειγμα 3 Λύση: Είναι X = n X i, όπου X i = i=1 { 1, με πιθανότητα p = 1 n 0, με πιθανότητα 1 p Είναι V ar(x i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Επίσης Cov(X i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) Αλλά E(X i X j ) = 1 P r{x i = 1 X j = 1} = = P r{x i = 1}P r{x j = 1 X i = 1} = 1 n 1 n 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 30
51 5. Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η διασπορά στο παράδειγμα 3 Λύση: Είναι X = n X i, όπου X i = i=1 { 1, με πιθανότητα p = 1 n 0, με πιθανότητα 1 p Είναι V ar(x i ) = E(X 2 i ) E 2 (X i ) = 1 2 p (1 p) p 2 = = p p 2 = p(1 p) = 1 n n 1 n Επίσης Cov(X i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ) Αλλά E(X i X j ) = 1 P r{x i = 1 X j = 1} = = P r{x i = 1}P r{x j = 1 X i = 1} = 1 n 1 ( ) n Άρα Cov(X i, X j ) = n(n 1) 1 = n n 2 (n 1) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 30
52 5. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 30
53 5. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια Οπότε από τη σχέση n n V ar( X i ) = i=1 i=1 V ar(x i ) + i Cov(X i, X j ) j i Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 30
54 5. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια Οπότε από τη σχέση n n V ar( X i ) = Cov(X i, X j ) i=1 i=1 V ar(x i ) + i Προκύπτει ότι V ar(x) = n n 1 1 n 2 + n(n 1) n 2 (n 1) = n 1 n + 1 n = 1 j i Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 30
55 5. Παράδειγμα 5 (the weak law of large numbers) Εστω X 1, X 2,... μία ακολουθία ανεξάρτητων τ.μ. με την ίδια κατανομή και ίδια πεπερασμένη μέση τιμή E(X i ) = µ και διασπορά V ar(x { i ) = σ 2. Τότε, ɛ > 0 :} X X n P r µ n ɛ 0 καθώς n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30
56 5. Παράδειγμα 5 (the weak law of large numbers) Εστω X 1, X 2,... μία ακολουθία ανεξάρτητων τ.μ. με την ίδια κατανομή και ίδια πεπερασμένη μέση τιμή E(X i ) = µ και διασπορά V ar(x { i ) = σ 2. Τότε, ɛ > 0 :} X X n P r µ n ɛ 0 καθώς n Απόδειξη: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30
57 5. Παράδειγμα 5 (the weak law of large numbers) Εστω X 1, X 2,... μία ακολουθία ανεξάρτητων τ.μ. με την ίδια κατανομή και ίδια πεπερασμένη μέση τιμή E(X i ) = µ και διασπορά V ar(x { i ) = σ 2. Τότε, ɛ > 0 :} X X n P r µ n ɛ 0 καθώς n Απόδειξη: ( ) X1 + + X n Είναι E = 1 n n n E(X i ) = 1 n n µ = µ i=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30
58 5. Παράδειγμα 5 (the weak law of large numbers) Εστω X 1, X 2,... μία ακολουθία ανεξάρτητων τ.μ. με την ίδια κατανομή και ίδια πεπερασμένη μέση τιμή E(X i ) = µ και διασπορά V ar(x { i ) = σ 2. Τότε, ɛ > 0 :} X X n P r µ n ɛ 0 καθώς n Απόδειξη: ( ) X1 + + X n Είναι E = 1 n n και (λόγω ανεξαρτησίας): ( ) X1 + + X n V ar = 1 n n 2 n i=1 n E(X i ) = 1 n n µ = µ i=1 V ar(x i ) = 1 n 2 n σ2 = σ2 n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30
59 5. Παράδειγμα 5 (the weak law of large numbers) Εστω X 1, X 2,... μία ακολουθία ανεξάρτητων τ.μ. με την ίδια κατανομή και ίδια πεπερασμένη μέση τιμή E(X i ) = µ και διασπορά V ar(x { i ) = σ 2. Τότε, ɛ > 0 :} X X n P r µ n ɛ 0 καθώς n Απόδειξη: ( ) X1 + + X n Είναι E = 1 n n n E(X i ) = 1 n n µ = µ i=1 και (λόγω ανεξαρτησίας): ( ) X1 + + X n V ar = 1 n n n 2 i=1 { } X X n Άρα: P r µ n ɛ V ar(x i ) = 1 n 2 n σ2 = σ2 n σ 2 n ɛ 2 0 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 30
60 Φυσική σημασία Φυσική σημασία: Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας ακολουθίας n ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με ίδια κατανομή και μέση τιμή συγκεντρώνεται ισχυρά γύρω από αυτή τη μέση τιμή, καθώς το n μεγαλώνει και τείνει στο άπειρο. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
61 Φυσική σημασία Φυσική σημασία: Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας ακολουθίας n ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με ίδια κατανομή και μέση τιμή συγκεντρώνεται ισχυρά γύρω από αυτή τη μέση τιμή, καθώς το n μεγαλώνει και τείνει στο άπειρο. π.χ. αν { ρίξω n φορές ένα νόμισμα και 1, αν αποτέλεσμα κεφαλή X i = 0, αν αποτέλεσμα γράμματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
62 Φυσική σημασία Φυσική σημασία: Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας ακολουθίας n ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με ίδια κατανομή και μέση τιμή συγκεντρώνεται ισχυρά γύρω από αυτή τη μέση τιμή, καθώς το n μεγαλώνει και τείνει στο άπειρο. π.χ. αν { ρίξω n φορές ένα νόμισμα και 1, αν αποτέλεσμα κεφαλή X i = 0, αν αποτέλεσμα γράμματα τότε E(X i ) = = 1 2 = µ και επομένως: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
63 Φυσική σημασία Φυσική σημασία: Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας ακολουθίας n ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με ίδια κατανομή και μέση τιμή συγκεντρώνεται ισχυρά γύρω από αυτή τη μέση τιμή, καθώς το n μεγαλώνει και τείνει στο άπειρο. π.χ. αν { ρίξω n φορές ένα νόμισμα και 1, αν αποτέλεσμα κεφαλή X i = 0, αν αποτέλεσμα γράμματα τότε { E(X i ) = = 1 2 = µ και επομένως: X X n P r 1 } n 2 ɛ 0 καθώς n δηλαδή ο αριθμός των αποτελεσμάτων κεφαλή σε n επαναλήψεις συγκεντρώνεται πολύ κοντά στο n 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
64 Φυσική σημασία Φυσική σημασία: Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας ακολουθίας n ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με ίδια κατανομή και μέση τιμή συγκεντρώνεται ισχυρά γύρω από αυτή τη μέση τιμή, καθώς το n μεγαλώνει και τείνει στο άπειρο. π.χ. αν { ρίξω n φορές ένα νόμισμα και 1, αν αποτέλεσμα κεφαλή X i = 0, αν αποτέλεσμα γράμματα τότε { E(X i ) = = 1 2 = µ και επομένως: X X n P r 1 } n 2 ɛ 0 καθώς n δηλαδή ο αριθμός των αποτελεσμάτων κεφαλή σε n επαναλήψεις συγκεντρώνεται πολύ κοντά στο n 2 Παρατήρηση: Ωστόσο, σε κάθε ρίψη η πιθανότητα για κεφαλή είναι πάντα 1 2 ανεξαρτήτως της ιστορίας! π.χ. P r{ κεφαλή κεφαλή στις 100 τελευταίες ρίψεις} = 1 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 30
65 Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών Ενας ισχυρότερος νόμος: Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών Με πιθανότητα 1, X X n n µ καθώς n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 28 / 30
66 Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών Ενας ισχυρότερος νόμος: Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών Με πιθανότητα 1, X X n µ καθώς n n Φυσική σημασία: Σε ανεξάρτητες επαναλήψεις ενός πειράματος, έστω { 1, αν το γεγονός Ε συμβαίνει στην ι-οστή επανάληψη X i = 0, διαφορετικά Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 28 / 30
67 Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών Ενας ισχυρότερος νόμος: Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών Με πιθανότητα 1, X X n µ καθώς n n Φυσική σημασία: Σε ανεξάρτητες επαναλήψεις ενός πειράματος, έστω { 1, αν το γεγονός Ε συμβαίνει στην ι-οστή επανάληψη X i = 0, διαφορετικά και έστω P (E) η πιθανότητα να συμβεί το E. Προφανώς E(X i ) = P (E), άρα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 28 / 30
68 Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών Ενας ισχυρότερος νόμος: Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών Με πιθανότητα 1, X X n µ καθώς n n Φυσική σημασία: Σε ανεξάρτητες επαναλήψεις ενός πειράματος, έστω { 1, αν το γεγονός Ε συμβαίνει στην ι-οστή επανάληψη X i = 0, διαφορετικά και έστω P (E) η πιθανότητα να συμβεί το E. Προφανώς E(X i ) = P (E), άρα #πραγματοποιήσεων του E P (E) με πιθανότητα 1 καθώς ο #επαναλήψεων αριθμός των επαναλήψεων τείνει στο άπειρο. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 28 / 30
69 Η Διαφορά των δύο νόμων Η Διαφορά των δύο νόμων: Ο ασθενής νόμος λέει ότι για οποιοδήποτε μεγάλο n, ο μέσος όρος των αποτελεσμάτων των πρώτων n επαναλήψεων θα είναι κοντά στη μέση τιμή µ. Δεν εξασφαλίζει όμως ότι για περισσότερες του n επαναλήψεις οι αποκλίσεις θα παραμένουν μικρές, δηλαδή μεγάλες αποκλίσεις μπορεί να εμφανιστούν άπειρες φορές (αν και σε αραιά διαστήματα) Ισχυρός νόμος: μεγάλες αποκλίσεις μόνο σε πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων, με πιθανότητα 1. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 30
70 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
71 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
72 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
73 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = V ar[x 1 + ( 1)X 2 ] = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
74 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = V ar[x 1 + ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + V ar[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
75 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = V ar[x 1 + ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + V ar[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + ( 1) 2 V ar(x 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
76 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = V ar[x 1 + ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + V ar[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + ( 1) 2 V ar(x 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
77 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = V ar[x 1 + ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + V ar[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + ( 1) 2 V ar(x 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
78 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = V ar[x 1 + ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + V ar[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + ( 1) 2 V ar(x 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
79 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = V ar[x 1 + ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + V ar[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + ( 1) 2 V ar(x 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = ( 3) = 28 Άρα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
80 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = V ar[x 1 + ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + V ar[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + ( 1) 2 V ar(x 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = ( 3) = 28 Άρα P r{ X 1 X 2 > 15} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
81 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = V ar[x 1 + ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + V ar[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + ( 1) 2 V ar(x 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = ( 3) = 28 Άρα P r{ X 1 X 2 > 15} = P r{ X 1 X 2 0 > 15} Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
82 5. Παράδειγμα 6 Εστω E(X 1 ) = 75, E(X 2 ) = 75, V ar(x 1 ) = 10, V ar(x 2 ) = 12 και Cov(X 1, X 2 ) = 3. Βρείτε άνω φράγμα για την P r{ X 1 X 2 > 15}. Λύση: Είναι E(X 1 X 2 ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = = 0 και V ar(x 1 X 2 ) = V ar[x 1 + ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + V ar[( 1)X 2 ] + i j Cov[X 1, ( 1)X 2 ] = = V ar(x 1 ) + ( 1) 2 V ar(x 2 ) + Cov(X 1, X 2 ) + Cov( X 2, X 1 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2Cov(X 1, X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) + 2E(X 1 ( X 2 )) 2E(X 1 )E( X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) 2E(X 1 X 2 ) + 2E(X 1 )E(X 2 ) = = V ar(x 1 ) + V ar(x 2 ) 2Cov(X 1, X 2 ) = ( 3) = 28 Άρα P r{ X 1 X 2 > 15} = P r{ X 1 X 2 0 > 15} V ar(x 1 X 2 ) = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 30
Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5
5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα6ο Μάθημα Πιθανότητες
6ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 6ο Μάθημα
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραpdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραE [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (6η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Διαβάστε περισσότεραX = = 81 9 = 9
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη
Διαβάστε περισσότεραx P (x) c P (x) = c P (x), x S : x c
Κεφάλαιο 9 Ανισότητες, από κοινού κατανομή, Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 9.1 Ανισότητες Markov και Chebychev Ξεκινάμε αυτό το κεφάλαιο με δύο σημαντικά αποτελέσματα τα οποία, πέραν της μεγάλης χρησιμότητάς
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Ιδιότητες του cov(x, Y) Ιδιότητες των εκτιμητών Παράδειγμα. 1 Συσχέτιση Μεταβλητών. 2 Εκτιμητές και κατάλοιπα
Περιεχόμενα 1 Συσχέτιση Μεταβλητών Ιδιότητες του cov(x, Y 2 Ιδιότητες των εκτιμητών BEΠ (UPatras Γραμμικά Μοντέλα 4η, 5η Διάλεξη, 2018-19 1 / 12 Συσχέτιση Μεταβλητών Ιδιότητες του cov(x, Y Ένα μέτρο της
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΧρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 6: Οριακά θεωρήματα στη Θεωρία Πιθανοτήτων Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Χρησιμότητα
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραcov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραP(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28
Διαβάστε περισσότεραxp X (x) = k 3 10 = k 3 10 = 8 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 07 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές ( ΙΙ ) Ασκηση. Ρίχνουµε ένα αµερόληπτο εξάεδρο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Ορισμός Frequency moments
The space complexity of approximating the frequency moments Κωστόπουλος Δημήτριος Μπλα Advanced Data Structures June 2007 Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments Έστω ακολουθία Α = {a 1,a 2,...,a m ) με κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Στα πλαίσια του προπτυχιακού μαθήματος Χρονικές σειρές Τμήμα μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα 1 Μονοδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 2016-2017 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος.
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος. Εναλλακτικά η τιμή της τυχαίας μεταβλητής είναι ένα αριθμητικό γεγονός.
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5.4: Στατιστικοί Μέσοι Όροι 5.5 Στοχαστικές Ανελίξεις (Stochastic Processes)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-. Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i)
Διαβάστε περισσότεραf(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)
Κεφάλαιο 11 Συνεχείς κατανομές και ο Ν.Μ.Α. Στο προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε την έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, και είδαμε τις βασικές της ιδιότητες. Εδώ θα περιγράψουμε κάποιους ιδιαίτερους τύπους
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραVar(X 1 + X 2 ) = σ 2 X 1. E(Y ) = np (3) xf X (x) xp(x = x) (x 1 + x 2 )f X1 X 2. x 1 f X1 X 2. (x 1, x 2 ) + x 2 f X1 X 2. (x 1, x 2 ) + x 1,x 2
Ροπές πίνακας περιεχομένων Πότε χρειάζεται η ανεξαρτησία;....................... 3 Ιδιότητες κλιμάκωσης.............................. 8 Μέση τιμή και ccdf.............................. 1 Ο νόμος των μεγάλων
Διαβάστε περισσότεραX i = Y = X 1 + X X N.
Κεφάλαιο 6 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Σε σύνθετα προβλήματα των πιθανοτήτων, όπως π.χ. σε προβλήματα ανάλυσης πολύπλοκων δικτύων ή στη στατιστική ανάλυση μεγάλων δεδομένων, η λεπτομερής, στοιχείο-προς-στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος
Διαβάστε περισσότεραΣημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ
10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method)
Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία Δύο βασικά εργαλεία από τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 1 Υποπροσθετικότητα (Union Bound). 2 Γραμμικότητα Αναμενόμενης Τιμής (Linearity of Expectation). Τμήμα Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΣημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις, σημειακή εκτίμηση παραμέτρων και γραμμική παλινδρόμηση Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (10η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 48 Σημερινό
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις Έννοια τυχαίας μεταβλητής Κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων, συχνά συμβαίνει τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν να μετρούν
Διαβάστε περισσότερα12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΜέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. (Μπάλες Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ (αʹ Έστω A το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον μια άσπρη μπάλα. Θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότερα= 14 = 34 = Συνδυαστική Ανάλυση
1. Συνδυαστική Ανάλυση 1.1 Ένα κουτί περιέχει 8 κόκκινες, 3 άσπρες και 9 μπλε σφαίρες. Εάν βγάλουμε 3 σφαίρες στην τύχη χωρίς επανατοποθέτηση, ποια είναι η πιθανότητα (α) να είναι και οι 3 κόκκινες, (β)
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 26 Σεπτεμβρίου 2014 Ομάδα Θεμάτων Α ΘΕΜΑ 1 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα (δύο δυνατά
Διαβάστε περισσότεραΑναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)
Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY
Διαβάστε περισσότεραΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών
ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Φραγκίσκος Κουτελιέρης Αναπληρωτής
Διαβάστε περισσότεραΚανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.
Κανονική Κατανομή Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Κανονική Κατανομή τεχνικές 73 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
Κεφάλαιο 7 Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων Τυχαίες Μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι μια συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει έναν αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την
Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΧρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές
Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες μεταβλητές και μέση τιμή
Κεφάλαιο 12 Τυχαίες μεταβλητές και μέση τιμή Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Ross 1976, Grinstead and Snell 2012 και Hoel, Port, and Stone 1971. 12.1 Τυχαίες μεταβλητές και
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότητες ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis
Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραHMY 795: Αναγνώριση Προτύπων
HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας
Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Διαβάστε περισσότερα3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.
3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές
Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΚατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ( ) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% )
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ (0-6-005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ) Έστω μια τυχαία μεταβλητή Χ και ένα δείγμα x, x,, x n. Θεωρούμε την τιμή k = n i= ( x && x) i.να διευκρινιστεί
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤEΣ ΚΑΤΑΝΟΜEΣ Σε πολλά προβλήματα, ενδιαφερόμαστε για περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά ενός πληθυσμού. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι πιθανό να αλληλοεξαρτώνται
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές Η Χρήση των Θεωρητικών
Διαβάστε περισσότερα27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό
ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και
Διαβάστε περισσότεραΤ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Διαβάστε περισσότεραΑ ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας
Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 2010
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 1 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Θέμα 1 Θέμα Θέμα 3 Θέμα 4 Θέμα 5 Θέμα 5* Βαθμός ΝΠΣ ΠΠΣ / / / / / /1 / / / / / / /1 ΘΕΜΑ 1: Στο ράφι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ..Π.Μ.Σ. Μαθηµατικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων. Πάτρα, 27 Ιανουαρίου 2011
Πάτρα, 7 Ιανουαρίου 011 Γενικά Πολλές ϕορές µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε τις σχέσεις που υπάρχουν ανάµεσα στις µεταβλητές. Παράδειγµα 1 OZON 300 80 60 40 0 00 180 150 00 50 300 350 400 450 CFC 1 Από το
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί
Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr
Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός κανονικής τ.μ.
Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 4: Τυχαίες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Ορισμός κανονικής τ.μ. Ορισμός κανονικής τ.μ. Μια συνεχής τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.
Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότεραΔειγματικές Κατανομές
Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότερα2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.
Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διαβάστε περισσότερα