Apeirostikìc Logismìc. Pragmatikèc Sunart seic Miac Pragmatik c Metablht c

Transcript

1 Apeirostikìc Logismìc Prgmtikèc Sunrt seic Mic Prgmtik c Metblht c Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης

2

3 Proktrktikˆ. Οι σημειώσεις αυτές ασχολούνται με τον απειροστικό λογισμό, δηλαδή τον λογισμό των απειροστών μεγεθών, δηλαδή τον λογισμό των ορίων. Περιορίζονται στο πλαίσιο των συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής με πραγματικές τιμές. Αφού αναφερθούν οι κυριότερες ιδιότητες των (πραγματικών) αριθμών, εισάγονται οι έννοιες του ορίου ακολουθίας και του ορίου συνάρτησης καθώς και η συγγενική έννοια της συνεχούς συνάρτησης. Κατόπιν, ο απειροστικός λογισμός χωρίζεται στον λογισμό των παραγώγων τον διαφορικό λογισμό και στον λογισμό των ολοκληρωμάτων τον ολοκληρωτικό λογισμό. Τους δυο αυτούς λογισμούς ενώνει το Θεμελιώδες Θεώρημα του απειροστικού λογισμού. Οι σημειώσεις τελειώνουν με μερικά απλοϊκά ζητήματα προσεγγιστικών υπολογισμών και με τις σειρές αριθμών.. Στο πρόγραμμα σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης υπάρχουν δυο μαθήματα σχετικά με τα παραπάνω θέματα. Το ένα είναι το μάθημα πρώτου εξαμήνου Απειροστικός Λογισμός Ι, ένα «υπολογιστικό» μάθημα με έμφαση στον χειρισμό των ορίων, των παραγώγων και των ολοκληρωμάτων, και το άλλο είναι το μάθημα τρίτου εξαμήνου Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι, ένα «θεωρητικό» μάθημα με έμφαση στη θεμελίωση των εννοιών και στις θεωρητικές αποδείξεις. Οι σημειώσεις αυτές απευθύνονται στους φοιτητές του πρώτου μαθήματος. Αυτός ο χωρισμός με τον οποίο δεν αισθάνομαι τόσο άνετα καθορίζει και το επίπεδο αυτών των σημειώσεων. Πιο συγκεκριμένα: Το επίπεδο των σημειώσεων είναι στοιχειώδες. Δηλαδή δεν ασχολούνται με τη βαθύτερη ιδιότητα των πραγματικών αριθμών, τη λεγόμενη Ιδιότητα Συνέχειας, οπότε και δεν αποδεικνύουν κανένα από τα αποτελέσματα που στηρίζονται στην ιδιότητα αυτή. Για παράδειγμα, δεν αποδεικνύεται η ύπαρξη ριζών των θετικών αριθμών ούτε τα βασικά θεωρήματα για συνεχείς συναρτήσεις ούτε η ολοκληρωσιμότητα των συνεχών συναρτήσεων. Επίσης, δεν αναφέρονται καν διάφορα μη στοιχειώδη αποτελέσματα, όπως το θεώρημα των Bolzno - Weierstrss για ακολουθίες. Η Ιδιότητα Συνέχειας δεν αναφέρεται καν εκτός σε ελάχιστα σημεία και πάλι, όχι ως τέτοια και μόνο για να στηριχτούν στοιχειωδώς οι ανάλογες περιγραφές. Μάλιστα, η Ιδιότητα Συνέχειας αναφέρεται όχι με τη λιγότερο εύληπτη διατύπωσή της με το ελάχιστο άνω φράγμα αλλά με την εξής απλούστερη και ισοδύναμη μορφή της: αν έχουμε δυο μη κενά υποσύνολα της πραγματικής ευθείας και το ένα βρίσκεται αριστερά του άλλου, τότε υπάρχει σημείο της ευθείας που βρίσκεται ανάμεσα στα δυο αυτά σύνολα. 3. Μια προειδοποίηση. Το επίπεδο των σημειώσεων αυτών είναι στοιχειώδες αλλά όχι εύκολο οι σημειώσεις είναι αρκετά πυκνογραμμένες και απαιτούν συγκέντρωση, επιμονή και, κυρίως, γρήγορη προσαρμογή των φοιτητών του πρώτου εξαμήνου σε τρόπο εργασίας αρκετά διαφορετικό από αυτόν που έμαθαν στο λύκειο. 4. Οι σημειώσεις δίνουν μεγάλη έμφαση στην έννοια του ορίου ακολουθίας και 3

4 συνάρτησης. Αναλύονται διεξοδικά οι ορισμοί των ορίων σε όλες τις περιπτώσεις και υπάρχουν πάρα πολλά παραδείγματα υπολογισμού του n 0 και του δ από τον ɛ. Οι φοιτητές πρέπει να εξασκηθούν αρκετά με τέτοιους υπολογισμούς ακριβώς σε ένα «υπολογιστικό» μάθημα, πριν αντιμετωπίσουν πιο θεωρητικές καταστάσεις σε κατοπινότερα μαθήματα. Είναι αρκετοί οι φοιτητές που αντιμετωπίζουν δυσκολίες με την κατανόηση του ρόλου των ποσοτήτων δ και ɛ (και των ανάλογων ποσοτήτων στις άλλες περιπτώσεις) αλλά υπάρχουν και πάρα πολλοί άλλοι οι οποίοι, με κάποια εξάσκηση, ξεπερνούν σχετικά εύκολα τις όποιες αρχικές δυσκολίες. 5. Από πολύ νωρίς από το πρώτο μόλις κεφάλαιο δίνονται κάποιοι μη τετριμμένοι ορισμοί: ο ορισμός της ρίζας θετικού αριθμού και ο συνακόλουθος ορισμός της δύναμης με ρητό εκθέτη, ο ορισμός της δύναμης με άρρητο εκθέτη, ο ορισμός του λογαρίθμου και οι ορισμοί των τριγωνομετρικών αριθμών και των αντιστρόφων τους. Οι ορισμοί των τριγωνομετρικών αριθμών είναι γεωμετρικοί και βασίζονται στον τριγωνομετρικό κύκλο. Αυτό κρίνεται απαραίτητο διότι αφ ενός μεν οι αναλυτικοί ορισμοί μπορούν να δοθούν μόνο σε πολύ κατοπινότερο στάδιο αφ ετέρου δε οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι τόσο βασικές ώστε δεν είναι και παιδαγωγικά σωστό να μαθαίνει κάποιος τις έννοιες του απειροστικού λογισμού χωρίς ταυτόχρονα να τις εφαρμόζει στις συναρτήσεις αυτές. Οι άλλοι τρεις ορισμοί είναι αναλυτικοί ορισμοί δηλαδή, βασίζονται μόνο στις ιδιότητες των αριθμών χωρίς, όμως, πλήρη αιτιολόγηση, αφού αποφεύγουμε να χρησιμοποιήσουμε την Ιδιότητα Συνέχειας. Ισως υπάρξει κάποια ένσταση διότι σε διάφορα βιβλία επιλέγεται διαφορετική σειρά παρουσίασης αυτών των ορισμών. Για παράδειγμα, ο ορισμός της ρίζας προκύπτει ως εφαρμογή του θεωρήματος ενδιάμεσης τιμής στη συνάρτηση y = x n, ο ορισμός του λογαρίθμου γίνεται με το ολοκλήρωμα log x = x t dt και ο ορισμός της δύναμης με άρρητο εκθέτη γίνεται μέσω της εκθετικής συνάρτησης η οποία ορίζεται ως αντίστροφη της λογαριθμικής. Η παρουσίαση αυτή, παρά το ότι είναι πολύ βολική, μάλλον δεν είναι «φυσιολογική» εννοιολογικά. Πάντως, εκτός από τους ορισμούς στο πρώτο κεφάλαιο, περιγράφονται αναλυτικά και μερικοί άλλοι ευρέως χρησιμοποιούμενοι ορισμοί των δυνάμεων με άρρητο εκθέτη, των λογαρίθμων και των τριγωνομετρικών αριθμών. Οι ορισμοί αυτοί δεν εντάσσονται στο κυρίως κείμενο. Συγκεκριμένα, περιγράφονται: (i) ο ορισμός της λογαριθμικής συνάρτησης μέσω ολοκληρώματος (του log x = x t dt) και ο ορισμός της εκθετικής συνάρτησης ως αντίστροφης της λογαριθμικής στο όγδοο κεφάλαιο, (ii) ο ορισμός της εκθετικής συνάρτησης μέσω σειράς (της εκθετικής δυναμοσειράς) καθώς και μέσω ακολουθιών (με ρητές προσεγγίσεις των άρρητων εκθετών) και οι αντίστοιχοι ορισμοί της λογαριθμικής συνάρτησης στο δέκατο κεφάλαιο, (iii) ο ορισμός των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μέσω ολοκληρώματος (του rctn x = x 0 t + dt) στο όγδοο κεφάλαιο και (iv) ο ορισμός των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μέσω σειρών (των δυναμοσειρών του συνημιτόνου και του ημιτόνου). Επίσης, μετά από κάθε ορισμό περιγράφεται συνοπτικά και η συνεπαγώμενη ανάπτυξη των ιδιοτήτων της αντίστοιχης ορισθείσας συνάρτησης. 6. Ο ορισμός του ολοκληρώματος βασίζεται στα αθροίσματα Riemnn και όχι στα 4

5 αθροίσματα Drboux. Η αιτία είναι διπλή. Αφ ενός μεν ο ορισμός του ολοκληρώματος μέσω των αθροισμάτων Drboux απαιτεί μεγαλύτερη προετοιμασία αλλά και την έννοια του ελάχιστου άνω φράγματος δηλαδή την Ιδιότητα της Συνέχειας αφ ετέρου δε τα αθροίσματα Riemnn συνδέονται πιο άμεσα και φυσιολογικά με τις εφαρμογές των ολοκληρωμάτων. 7. Οι αποδείξεις που περιέχονται στις σημειώσεις αυτές είναι πολλές. Ολες σχεδόν οι αποδείξεις παρουσιάζονται με μικρά τυπογραφικά στοιχεία ώστε κατά την πρώτη ανάγνωση οι φοιτητές να επικεντρώσουν την προσοχή τους στις διατυπώσεις των αποτελεσμάτων, στα παραδείγματα και κυρίως στις ασκήσεις. Ας αποφασίσει ο εκάστοτε διδάσκων ποιες από αυτές τις αποδείξεις θα παρουσιάσει στον πίνακα η πίεση χρόνου δεν αφήνει πολλά περιθώρια! Οι φοιτητές από τη μεριά τους καλά θα κάνουν να προσπαθήσουν με την καθοδήγηση, ίσως, και του διδάσκοντος ως προς την επιλογή να δοκιμάσουν τις δυνάμεις τους μελετώντας κάποιες τουλάχιστον από τις αποδείξεις όσο περισσότερες τόσο το καλύτερο. 8. Η μεγαλύτερη ωφέλεια για τους φοιτητές θα προκύψει από την επίλυση όσο το δυνατό περισσότερων ασκήσεων. Στις σημειώσεις αυτές δεν υπάρχουν συνειδητά, τουλάχιστον πολύ δύσκολες ασκήσεις. Η επιλογή των ασκήσεων έγινε όχι για να δυσκολευτεί ο εξαιρετικός φοιτητής αλλά μάλλον για να ανεβάσει το επίπεδό του ο επιμελής μέτριος φοιτητής. Γι αυτό σε πάρα πολλές ασκήσεις δίνονται υποδείξεις. Μερικές ασκήσεις είναι λίγο πιο δύσκολες από τις άλλες αυτές σημειώνονται με ( ) ή ( ). 9. Οι σημειώσεις αυτές χρησιμοποιήθηκαν σε μια πρώτη μορφή το χειμερινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους με τους φοιτητές του Τμήματος Επιστήμης Υπολογιστών και σε μια δεύτερη βελτιωμένη μορφή το χειμερινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους με τους φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών. Η παρούσα μορφή είναι διαφορετική από τις δυο πρώτες σε πάρα πολλά σημεία ελπίζω προς το καλύτερο. Πρέπει να πω ότι αυτή η τελική μορφή των σημειώσεων οφείλει πολλά στους πρωτοετείς φοιτητές του Τμήματος Μαθηματικών όσο κι αν αυτοί δεν το συνειδητοποίησαν του χειμερινού εξαμήνου που μόλις τέλειωσε: σε όλους και, ειδικώτερα, σε μερικούς πραγματικά εξαιρετικούς φοιτητές. Πολλές από τις αλλαγές οφείλονται σε ερωτήσεις, παρατηρήσεις και παρεμβάσεις τους. Τέλος, επειδή είναι σαφές ότι κι αυτή η μορφή απέχει αρκετά από το να είναι βέλτιστη, είναι απείρως ευπρόσδεκτες οποιεσδήποτε επισημάνσεις λαθών αλλά και παρατηρήσεις ως προς το στυλ παρουσίασης ή την επιλογή των θεμάτων αυτών των σημειώσεων. Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Κρήτης Φεβρουάριος

6 6

7 BibliogrfÐ Clculus ή, σε μετάφραση, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός, T. Apostol. Differentil nd Integrl Clculus, R. Cournt. Introduction to Clculus nd Anlysis, R. Cournt - F. John. A Course of Pure Mthemtics, G. Hrdy. A Course of Higher Mthemtics, V. Smirnov. Advnced Clculus (Schum s Outline Series), M. Spiegel. The Clculus A Genetic Approch, O. Toeplitz. 7

8 8

9 Perieqìmen Οι πραγματικοί αριθμοί. 3. Η πραγματική ευθεία Δυνάμεις και ρίζες Λογάριθμοι Τριγωνομετρικοί αριθμοί. Αντίστροφοι τριγωνομετρικοί αριθμοί.. 3 Ακολουθίες και όρια ακολουθιών. 4. Ορισμοί Οριο ακολουθίας Τα ± ως όρια ακολουθιών Ιδιότητες σχετικές με όρια ακολουθιών Ορια μονότονων ακολουθιών. Ο αριθμοί e, π Συναρτήσεις Φυσικά και γεωμετρικά παραδείγματα Συνάρτηση, πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών Αναλυτικές εκφράσεις Γράφημα συνάρτησης Αντίστροφη συνάρτηση Πολυωνυμικές και ρητές συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Δυνάμεις Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση Τριγωνομετρικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις Υπερβολικές και αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Ορια συναρτήσεων Ορισμοί, παραδείγματα Οριο και γράφημα Ιδιότητες σχετικές με όρια συναρτήσεων Ορια συναρτήσεων και ακολουθίες Ρητές συναρτήσεις Δυνάμεις Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

10 4.8 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ορια μονότονων συναρτήσεων Συνεχείς συναρτήσεις Ορισμοί, παραδείγματα Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων Είδη ασυνεχειών Συνεχείς συναρτήσεις και ακολουθίες Τα τρία βασικά θεωρήματα Το σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης Αντίστροφες συναρτήσεις Παράγωγοι Ενα γεωμετρικό και ένα φυσικό πρόβλημα Παράγωγος Παραδείγματα παραγώγων, Ι Παράγωγος και γράφημα συνάρτησης Ιδιότητες των παραγώγων Παραδείγματα παραγώγων, ΙΙ Καμπύλες και εφαπτόμενες ευθείες Τέσσερα σημαντικά θεωρήματα Εφαρμογές Δεύτερη παράγωγος και εφαρμογές Ασύμπτωτες ευθείες Υπολογισμός απροσδιόριστων μορφών Τάξη μεγέθους, ασυμπτωτική ισότητα Ολοκληρώματα Riemnn Εμβαδό Το ολοκλήρωμα Riemnn Ιδιότητες ολοκληρωμάτων Riemnn Εφαρμογές ολοκληρωμάτων Riemnn Σχέση παραγώγου και ολοκληρώματος Riemnn Αντιπαράγωγος και αόριστο ολοκλήρωμα Riemnn Το Θεμελιώδες Θεώρημα Υπολογισμοί ολοκληρωμάτων Riemnn Γενικευμένα ολοκληρώματα Riemnn Απλές διαφορικές εξισώσεις Εναλλακτικοί ορισμοί μερικών στοιχειωδών συναρτήσεων, Ι Μερικά ζητήματα προσέγγισης Ο τύπος του Tylor Προσεγγιστική επίλυση εξισώσεων Προσεγγιστική ολοκλήρωση Riemnn

11 0 Σειρές Ορισμοί και βασικές ιδιότητες Σειρές με μη αρνητικούς όρους p-αδικά αναπτύγματα Κριτήρια σύγκλισης σειρών Δυναμοσειρές Σειρές Tylor Εναλλακτικοί ορισμοί μερικών στοιχειωδών συναρτήσεων, ΙΙ

12

13 Kefˆlio Oi prgmtikoð rijmoð. Οι αριθμοί και η γεωμετρική τους αναπαράσταση. Η Αρχιμήδεια Ιδιότητα. Ακέραιο μέρος. Δυνάμεις με ακέραιους εκθέτες, ρίζες, δυνάμεις με ρητούς εκθέτες, δυνάμεις με άρρητους εκθέτες. Λογάριθμοι. Τριγωνομετρικοί και αντίστροφοι τριγωνομετρικοί αριθμοί.. H prgmtik eujeð. Ολοι έχουμε στοιχειώδη γνώση των πραγματικών αριθμών και των ιδιοτήτων τους. Τους πραγματικούς αριθμούς θα τους λέμε, απλώς, αριθμούς. Το άθροισμα x + y, η διαφορά x y, το γινόμενο xy και ο λόγος x y (y 0) αριθμών x, y είναι αριθμοί. Οι ιδιότητες των πράξεων αντιμεταθετικότητα, προσεταιριστικότητα κλπ. είναι γνωστές από το γυμνάσιο. Α. Φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, άρρητοι. Οι απλούστεροι αριθμοί είναι οι φυσικοί,, 3,..., οι ακέραιοι 0,,,,, 3, 3,... και οι ρητοί, δηλαδή οι λόγοι m n, όπου m, n είναι ακέραιοι με n 0. Είναι φανερό ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων και, επειδή κάθε ακέραιος m είναι ίσος με τον ρητό m, το σύνολο των ακεραίων είναι υποσύνολο του συνόλου των ρητών. Το άθροισμα και το γινόμενο φυσικών είναι φυσικοί. Το άθροισμα, το γινόμενο και η διαφορά ακεραίων είναι ακέραιοι. Τέλος, το άθροισμα, το γινόμενο, η διαφορά και ο λόγος ρητών είναι ρητοί. Οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί χαρακτηρίζονται άρρητοι. Τέτοιοι αριθμοί ήταν γνωστοί από την αρχαιότητα για παράδειγμα, ο λόγος του μήκους της διαγωνίου προς το μήκος της πλευράς οποιουδήποτε τετραγώνου ( δείτε παρακάτω την Πρόταση.9). Παρατηρήσεις: () Κάθε ρητός γράφεται με άπειρους τρόπους ως λόγος ακεραίων πράγματι, όλοι οι λόγοι ±m ±n, ±m ±n, ±3m ±3n,... είναι μεταξύ τους ίσοι. 3

14 () Κάθε ρητός μπορεί να γραφτεί ως λόγος m n έτσι ώστε ο m να είναι ακέραιος και ο n φυσικός, δηλαδή θετικός ακέραιος. Για παράδειγμα, ο γράφεται και 3 και ο 4 3 γράφεται και 4 3. Με το σύμβολο R συμβολίζουμε το σύνολο των αριθμών. Επίσης, με τα σύμβολα N, Z και Q συμβολίζουμε τα σύνολα των φυσικών, των ακεραίων και των ρητών, αντιστοίχως. Προσέξτε: μερικά βιβλία θεωρούν φυσικό και τον 0, οπότε με N συμβολίζουν το σύνολο των 0,,,... και με N το σύνολο των,,.... Β. Ανισότητες, απόλυτες τιμές. Οι ιδιότητες των ανισοτήτων είναι γνωστές. Πρόταση. () Αν x y και y z, τότε x z. Αν μια τουλάχιστον από τις δυο αρχικές ανισότητες είναι γνήσια, τότε και η τελική είναι γνήσια ανισότητα. () Αν x y, τότε x + z y + z και x z y z. (3) Αν x y και z w, τότε x + z y + w. Αν μια τουλάχιστον από τις δυο αρχικές ανισότητες είναι γνήσια, τότε και η τελική είναι γνήσια ανισότητα. (4) Αν x y και z > 0, τότε xz yz και x z y z. (5) Αν x y και z < 0, τότε xz yz και x z y z. (6) Αν 0 < x y και 0 < z w, τότε 0 < xz yw. Αν μια τουλάχιστον από τις δυο αρχικές ανισότητες είναι γνήσια, τότε και η τελική είναι γνήσια ανισότητα. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού x συμβολίζεται x και ορίζεται να είναι { x, αν x 0, x = x, αν x 0. Προφανώς, η απόλυτη τιμή κάθε αριθμού είναι μη αρνητικός αριθμός. Πρόταση. () xy = x y. () Τριγωνική ανισότητα. x y x ± y x + y. (3) Αν y 0, τότε x y = x y. (4) x αν και μόνο αν x. (5) x < αν και μόνο αν < x <. Ο μεγαλύτερος από δυο αριθμούς x, y συμβολίζεται mx{x, y} και ο μικρότερος min{x, y}. Τα σύμβολα αυτά χρησιμοποιούνται και για περισσότερους από δυο αριθμούς: mx{x,..., x n } και min{x,..., x n }. Αν ένα υποσύνολο A του R έχει μέγιστο στοιχείο, δηλαδή στοιχείο του A μεγαλύτερο από κάθε άλλο στοιχείο του A, τότε το στοιχείο αυτό ονομάζεται και mximum του A και συμβολίζεται mx A. Επίσης, αν το A έχει ελάχιστο στοιχείο, τότε αυτό ονομάζεται και minimum του A και συμβολίζεται min A. Γ. Η γεωμετρική αναπαράσταση του R. Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί αναπαρίστανται από σημεία ευθείας ως εξής. Θεωρούμε αυθαίρετη ευθεία γραμμή και ξεχωρίζουμε αυθαίρετο σημείο της Ο το οποίο 4

15 αναπαριστά τον αριθμό 0. Επειτα ξεχωρίζουμε δεύτερο αυθαίρετο σημείο Ι της ευθείας το οποίο αναπαριστά τον αριθμό. Η απόσταση του Ι από το Ο παίζει τον ρόλο της μονάδας μέτρησης αποστάσεων πάνω στην ευθεία. Αφού καθοριστούν αυτά τα δυο σημεία, κάθε άλλος αριθμός x αναπαρίσταται από το αντίστοιχο σημείο Χ της ευθείας το οποίο βρίσκεται στην ίδια μεριά του Ο στην οποία βρίσκεται και το Ι, αν x > 0, και στην αντίθετη μεριά του Ο, αν x < 0, και του οποίου η απόσταση από το Ο είναι ίση με x. Επομένως, είναι αυτονόητο ότι κάθε σημείο της ευθείας αναπαριστά ακριβώς έναν αριθμό και κάθε αριθμός αναπαρίσταται από ακριβώς ένα σημείο της ευθείας. Άρα τα σημεία της ευθείας είναι σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τους αριθμούς. Σχήμα.: Η πραγματική ευθεία. Κάθε ευθεία που χρησιμοποιούμε για να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς την ονομάζουμε πραγματική ευθεία και στο εξής δε θα κάνουμε διάκριση ανάμεσα στο οποιοδήποτε σημείο Χ μιας πραγματικής ευθείας και στον αριθμό x που αναπαρίσταται από το σημείο αυτό. Θα λέμε «το σημείο x» καθώς και «ο αριθμός x». Επίσης, θα λέμε «ρητά σημεία» και «ακέραια σημεία» της πραγματικής ευθείας. Είναι φανερό από τον κανόνα αντιστοίχισης αριθμών και σημείων ότι η απόσταση κάθε σημείου x της πραγματικής ευθείας από το σημείο 0 είναι ίση με x. Επίσης, γενικότερα, γνωρίζουμε ότι η απόσταση οποιωνδήποτε σημείων x, y της πραγματικής ευθείας είναι ίση με x y. Τέλος, γνωρίζουμε τη σχέση των ανισοτήτων ανάμεσα σε αριθμούς με τη διάταξη των αντίστοιχων σημείων της πραγματικής ευθείας: είναι x < y αν και μόνο αν τα σημεία x, y έχουν την ίδια διάταξη με τα σημεία 0,, αντιστοίχως. Δηλαδή, αν η ευθεία είναι οριζόντια και το σημείο είναι δεξιά του σημείου 0, τότε: είναι x < y αν και μόνο αν το σημείο y είναι δεξιά του σημείου x. Αν η ευθεία είναι κατακόρυφη και το σημείο είναι πάνω από το σημείο 0, τότε: είναι x < y αν και μόνο αν το σημείο y είναι πάνω από το σημείο x. Εμείς θα ακολουθούμε τη συνήθη πρακτική: για τη γεωμετρική αναπαράσταση των αριθμών θα χρησιμοποιούμε οριζόντια ευθεία με το σημείο δεξιά του σημείου 0. Εναλλακτικά, όταν χρειαζόμαστε και δεύτερη ευθεία για παράδειγμα, όταν σχεδιάζουμε γραφήματα συναρτήσεων θα χρησιμοποιούμε και κατακόρυφη ευθεία με το σημείο πάνω από το σημείο 0. Δ. Διαστήματα και τα σύμβολα ±. Τα διαστήματα είναι χαρακτηριστικά υποσύνολα του R. Αν < b, ορίζουμε (, b) = {x : < x < b}, (, b] = {x : < x b} και [, b) = {x : x < b}. Αν b, ορίζουμε [, b] = {x : x b}. Ολα αυτά χαρακτηρίζονται φραγμένα διαστήματα με άκρα, b. Από αυτά το (, b) χαρακτηρίζεται ανοικτό διάστημα 5

16 και το [, b] κλειστό διάστημα. Κατόπιν ορίζουμε (, + ) = {x : x > }, (, b) = {x : x < b}, [, + ) = {x : x } και (, b] = {x : x b}. Αυτά χαρακτηρίζονται μη φραγμένα διαστήματα (ή ημιευθείες) και τα δυο πρώτα χαρακτηρίζονται ανοικτά διαστήματα (ή ανοικτές ημιευθείες) ενώ τα δυο τελευταία κλειστά διαστήματα (ή κλειστές ημιευθείες). Φυσικά, ορίζεται και το μη φραγμένο διάστημα (, + ) = R, δηλαδή ολόκληρη η πραγματική ευθεία. Παρατήρηση: Πρέπει να τονίσουμε ότι τα σύμβολα +, δεν είναι τίποτε άλλο παρά σκέτα σύμβολα τα ± δεν είναι αριθμοί. Μπορούμε να σκεφτόμαστε το + ως ένα «σημείο» που είναι δεξιά κάθε σημείου της πραγματικής ευθείας και το ως ένα «σημείο» που είναι αριστερά κάθε σημείου της πραγματικής ευθείας. Αυτός είναι ο λόγος που επεκτείνουμε τη χρήση των συμβόλων < και > των ανισοτήτων, γράφοντας < x, x < +, < + για κάθε αριθμό x. Είναι, ίσως, περιττό να αναφέρουμε ότι τα «σημεία» + και δεν έχουν πραγματική / υλική υπόσταση και ότι είναι δημιουργήματα της φαντασίας. Επίσης, μπορούμε να σκεφτόμαστε το + ως μια απείρως μεγάλη θετική «ποσότητα» και το ως μια απείρως μεγάλη (σε μέγεθος) αρνητική «ποσότητα». Φυσικά, ούτε και οι «ποσότητες» + και έχουν πραγματική / υλική υπόσταση. Θα ξανααναφέρουμε τα σύμβολα ± και σε επόμενα κεφάλαια, όταν θα μελετήσουμε την έννοια του ορίου. Ε. Η Αρχιμήδεια Ιδιότητα. Αν έχουμε δυο ευθύγραμμα τμήματα με μήκη και b, τότε, αν πάρουμε έναν αρκετά μεγάλο αριθμό αντιγράφων του πρώτου και τα κολλήσουμε το ένα μετά το άλλο πάνω στην ίδια ευθεία, το ευθύγραμμο τμήμα που θα προκύψει θα έχει μήκος μεγαλύτερο από το μήκος του δεύτερου ευθύγραμμου τμήματος. Το πόσο μεγάλο αριθμό αντιγράφων χρειαζόμαστε εξαρτάται, φυσικά, από το μέγεθος του δεύτερου ευθύγραμμου τμήματος (σε σχέση με τη μονάδα μέτρησης αποστάσεων). Η μαθηματική έκφραση αυτής της εμπειρικά προφανούς ιδιότητας είναι: για κάθε b > 0 υπάρχει φυσικός n ώστε να είναι n > b. Είναι φανερό ότι αυτό ισχύει και για b 0 και, επομένως: Σχήμα.: Υπάρχει κάποιος n > b. Θεώρημα. Για κάθε b υπάρχει φυσικός n > b. 6

17 Το Θεώρημα. συμπληρώνεται ως εξής. Αφού υπάρχει κάποιος φυσικός n μεγαλύτερος από τον b, τότε και όλοι οι επόμενοι φυσικοί n +, n +, n + 3,... είναι μεγαλύτεροι από τον b. Δηλαδή: Οσο μεγάλος κι αν είναι ένας αριθμός, είναι μεγαλύτεροί του όλοι οι φυσικοί από κάποιον και πέρα. Αν πάρουμε b =, όπου είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός, τότε από το Θεώρημα. συνεπάγεται: Πρόταση.3 Αρχιμήδεια Ιδιότητα. Για κάθε > 0 υπάρχει φυσικός n ώστε να είναι n <. Σχήμα.3: Υπάρχει κάποιος n <. Παρατηρούμε πάλι ότι, αφού υπάρχει κάποιος n μικρότερος από τον, συνεπάγεται ότι και όλοι οι επόμενοι αριθμοί n+, n+, n+3,... είναι μικρότεροι από τον. Άρα η Αρχιμήδεια Ιδιότητα συμπληρώνεται ως εξής. Οσο μικρός κι αν είναι ένας θετικός αριθμός, όλοι οι αντίστροφοι φυσικών από κάποιον και πέρα είναι μικρότεροί του. Παρατήρηση: Το Θεώρημα. και η ισοδύναμη με αυτό Αρχιμήδεια Ιδιότητα θα παίξουν σημαντικό ρόλο αργότερα στη μελέτη της έννοιας του ορίου ακολουθίας. Υπάρχει ένα αποτέλεσμα για το πώς κατανέμονται οι αριθμοί ανάμεσα στους ακεραίους και διατυπώνεται στην Πρόταση.4. Πρόταση.4 Για κάθε x υπάρχει μοναδικός ακέραιος k ώστε k x < k +. Το αποτέλεσμα αυτό λέει με άλλα λόγια ότι κάθε αριθμός x ανήκει σε ένα ακριβώς διάστημα [k, k + ), όπου ο k είναι ακέραιος. Αυτό σημαίνει ότι τα διαδοχικά διαστήματα..., [ 3, ), [, ), [, 0), [0, ), [, ), [, 3),... είναι ξένα ανά δύο και η ένωσή τους ισούται με ολόκληρη την πραγματική ευθεία (, + ). Ο ακέραιος k με την ιδιότητα k x < k + ονομάζεται ακέραιο μέρος του x και συμβολίζεται [x]. Παράδειγμα: [3] = 3, [ 4] = 4, [ 8 5 ] =, [ 3 ] = 0, [ 8 5 ] =. Το Θεώρημα. και οι Προτάσεις.3 και.4 δε θα αποδειχθούν σ αυτές τις σημειώσεις. 7

18 Ask seic. Α. Ρητοί, άρρητοι.. Αν ο r είναι ρητός και ο είναι άρρητος, αποδείξτε ότι ο r + είναι άρρητος.. Αν ο r είναι ρητός 0 και ο είναι άρρητος, αποδείξτε ότι ο r είναι άρρητος. 3. Αν ο είναι άρρητος, οι p, q, r, s είναι ρητοί και p + q = r + s, αποδείξτε ότι p = r και q = s. Β. Ανισότητες, απόλυτες τιμές.. Αν x y < 0 και z w < 0, αποδείξτε ότι 0 < yw xz.. Αν x y, z w, t s και x + z + t = y + w + s, αποδείξτε ότι x = y, z = w και t = s. Αν 0 < x y, 0 < z w, 0 < t s και xzt = yws, αποδείξτε ότι x = y, z = w και t = s. 3. Αποδείξτε ότι x + y = x + y αν και μόνο αν x, y 0 ή x, y 0. Αποδείξτε ότι x+y +z x + y + z. Επίσης, αποδείξτε ότι x+y +z = x + y + z αν και μόνο αν x, y, z 0 ή x, y, z Αποδείξτε ότι t x και t y αν και μόνο αν t min{x, y}. Αποδείξτε ότι t x και t y αν και μόνο αν t mx{x, y}. 5. Αποδείξτε ότι mx{x, y} = x+y+ x y και min{x, y} = x+y x y. 6. Ποια από τα παρακάτω σύνολα έχουν μέγιστο ή ελάχιστο στοιχείο; [, b], (, b), [, b), N, Z, Q, { n : n είναι φυσικός }. Γ. Η γεωμετρική αναπαράσταση.. Ποιο είναι το γεωμετρικό περιεχόμενο των πρώτων δυο ιδιοτήτων των ανισοτήτων στην Πρόταση. καθώς και των τελευταίων δυο ιδιοτήτων των απόλυτων τιμών στην Πρόταση.;. Μέσω της γεωμετρικής αναπαράστασης αιτιολογήστε τις εξής δυο προτάσεις. Κατόπιν αποδείξτε τις με μαθηματικό τρόπο. Αν x b και y b, τότε x y b. Αν < x < b και < y < b, τότε x y < b. 3. Αν γνωρίζουμε τα σημεία Χ, Υ της πραγματικής ευθείας που αναπαριστούν τους x, y, περιγράψτε γεωμετρικές κατασκευές οι οποίες καταλήγουν στην εύρεση των σημείων που αναπαριστούν τους x + y, x y, xy και x y. 8

19 (Υπόδειξη για το xy : Εστω x, y > 0. Φτιάξτε δεύτερη πραγματική ευθεία ώστε οι δυο ευθείες να έχουν την ίδια μονάδα μέτρησης και το σημείο τομής τους Ο να αναπαριστά τον 0 και στις δυο τους. Εστω Ι, Υ τα σημεία της δεύτερης ευθείας που αναπαριστούν τους, y, αντιστοίχως. Από το Υ φέρτε ευθεία παράλληλη προς την ευθεία που διέρχεται από τα Ι, Χ. Αν αυτή τέμνει την πρώτη πραγματική ευθεία στο Κ, τότε ποιον αριθμό αναπαριστά το Κ;) Δ. Διαστήματα.. Για καθεμιά από τις παρακάτω ανισότητες γράψτε σε μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο των x για τους οποίους είναι αληθής. x + >, x < x +, x x + > x + 3 3x +, (x ) 4, x 7x > x 7x, (x )(x + 4) (x 7)(x + 5) > 0, (x )(x 3) (x ) 0.. Για καθένα από τα επόμενα σύνολα βρείτε μία ανισότητα με μεταβλητή x ώστε το σύνολο αυτό να είναι το σύνολο των x για τους οποίους η ανισότητα είναι αληθής. (, 3], (, + ), (3, 7), (, ) (, 4) (7, + ), [, 4] [6, + ), [, 4) (4, 8], (, ] [, 4) [7, + ). Ε. Ακέραιο μέρος.. Για ποιους x ισχύει [ x] = [x] ;. Αν ο k είναι ακέραιος, αποδείξτε ότι [x + k] = [x] + k. (Υπόδειξη: Το να αποδείξουμε ότι [y] = m ισοδυναμεί με το να αποδείξουμε ότι ο m είναι ακέραιος και ότι m y < m +.) 3. Αποδείξτε ότι [x+y] = [x]+[y] ή [x+y] = [x]+[y]+ και βρείτε παραδείγματα και για τις δυο περιπτώσεις. Αποδείξτε ανάλογο συμπέρασμα για το [x + y + z]. 4. Αποδείξτε ότι, αν 0 < x, τότε υπάρχει μοναδικός φυσικός n ώστε να είναι n+ < x n και γράψτε τύπο για τον n συναρτήσει του x. 5. Γνωρίζουμε ότι για κάθε b υπάρχει φυσικός n > b. Πώς θα εκφράσετε τον ελάχιστο τέτοιο φυσικό n συναρτήσει του b; Πώς θα εκφράσετε συναρτήσει του b τον ελάχιστο φυσικό n b; Εστω > 0. Η Αρχιμήδεια Ιδιότητα λέει ότι υπάρχει φυσικός n ώστε να είναι n <. Πώς θα εκφράσετε τον ελάχιστο τέτοιο φυσικό n συναρτήσει του ; 9

20 6. Αποδείξτε ότι [x] + [x + ] = [x], [x] + [x + 3 ] + [x + 3 ] = [3x] και, γενικότερα, [ [x] + x + ] [ + + n για κάθε φυσικό n. x + n n. Dunˆmeic ki rðzec. Α. Δυνάμεις με ακέραιους εκθέτες. ] [ + x + n n ] = [nx] Η δύναμη n με θετικό ακέραιο (δηλαδή φυσικό) εκθέτη n ορίζεται με τον τύπο n = } {{ }, n δηλαδή το γινόμενο n αριθμών ίσων με. Αν 0, τότε ορίζεται η δύναμη 0 καθώς και η δύναμη n με αρνητικό ακέραιο εκθέτη n με τους τύπους 0 =, n = n = } {{ } n ( 0). Από τον γνωστό κανόνα πολλαπλασιασμού προσήμων εύκολα προκύπτει ότι ( ) n = n, αν ο n είναι άρτιος ακέραιος, και ( ) n = n, αν ο n είναι περιττός ακέραιος. Είναι, επίσης, φανερό ότι, αν ο n είναι άρτιος ακέραιος, τότε n > 0 για κάθε 0 ενώ, αν ο n είναι περιττός ακέραιος, τότε (i) n > 0 για κάθε > 0 και (ii) n < 0 για κάθε < 0. Η Πρόταση.5 είναι γνωστή από το γυμνάσιο και αποδεικνύεται εύκολα με την επιμεριστική ιδιότητα. Πρόταση.5 Αν ο n είναι φυσικός, τότε x n y n = (x y)(x n + x n y + + xy n + y n ). Επίσης, αν ο n είναι περιττός φυσικός 3, τότε x n + y n = (x + y)(x n x n y + xy n + y n ). Ονομάζουμε παραγοντικό ενός φυσικού n το γινόμενο (n ) n και το συμβολίζουμε n!. Δηλαδή n! = (n ) n. Παράδειγμα:! =,! = =, 3! = 3 = 6, 4! = 3 4 = 4. Επίσης, ορίζουμε 0! = 0

21 και παρατηρούμε ότι για κάθε φυσικό n ισχύει n! = (n )! n. Κατόπιν ορίζουμε τους δυωνυμικούς συντελεστές ( n m) για οποιουσδήποτε ακεραίους m, n με 0 m n με τον τύπο ( n n! = m) m!(n m)!. Παράδειγμα: ( ) ( n 0 = n ( n) =, n ) ( = n n ) = n, ( ) ( ) n = n n = n(n ). Αν m n, τότε, απλοποιώντας, βρίσκουμε ( n n(n ) (n m + ) =. m) m! Πρόταση.6 Ο δυωνυμικός τύπος του Newton. Για κάθε x, y και για κάθε φυσικό n ισχύει ( n ) ( n ) ( ) n ( n (x + y) n = x n + x n y + + xy n + y 0 n n) n. Apìdeixh: J podeðxoume ton duwnumikì tôpo tou Newton me thn rq thc epgwg c. Gi n = o tôpoc grˆfeti ( ) ( ) (x + y) = 0 x + y ki eðni swstìc, diìti ( ( 0) = ) =. Ktìpin upojètoume ìti o tôpoc eðni swstìc gi kˆpoion fusikì n ki ton pollplsiˆzoume me to x + y. Tìte brðskoume (x + y) n+ = ( n 0 ) x n+ + ) = = ( n+ 0 ( ) ( ) n n x n y + + xy n n ( ) ( n n + x n y n ) ( ki n ( n) = = n+ ) ( ) n xy n + y n+. n n+). EpÐshc, brðskoume eôko- PrthroÔme ìti ( n 0 l me lðgec prˆxeic ìti t duo mon num pou brðskonti sthn m-ost st lh ( m n) èqoun ˆjroism ( n m ktl goume sthn isìtht ( n + (x + y) n+ = 0 ) x n m+ y m + ( n m ) x n+ + ( n + ) x n m+ y m = ( n+ m ) x n y + + ( n + 'Ar o tôpoc eðni swstìc ki me to n + sth jèsh tou n. Παράδειγμα: Οι γνωστές ισότητες (x + y) = x + y, (x + y) = x + xy + y, (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3, (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4, n ) x n m+ y m ki, epomènwc, ) ( ) n + xy n + y n+. n + (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 0x 3 y + 0x y 3 + 5xy 4 + y 5 είναι ειδικές περιπτώσεις του δυωνυμικού τύπου του Newton. Η Πρόταση.7 καταγράφει τις γνωστές μας βασικές ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιους εκθέτες.

22 Πρόταση.7 () Οι παρακάτω ισότητες ισχύουν αρκεί μόνο να ορίζονται τα συστατικά τους μέρη. x b x = (b) x, x y = x+y, ( x ) y = ( y ) x = xy. () Αν 0 < < b, τότε (i) x < b x, αν x > 0, (ii) 0 = b 0 = και (iii) x > b x, αν x < 0. (3) Αν x < y, τότε (i) x < y, αν >, (ii) x = y = και (iii) x > y, αν 0 < <. Apìdeixh: H pìdeixh thc Prìtshc.7 eðni pl ; bsðzeti mìno se swstì mètrhm! Endeiktikˆ, nfèroume kˆpoiec peript seic. () Pr th isìtht: An x > 0, tìte x b x = b b = (b) (b) = (b) } {{ } }{{} } {{ } x. x x x An x < 0, tìte, b 0 ki x b x = = = (b) } {{ } b b }{{} (b) (b) x. } {{ } An x = 0, tìte, b 0 ki x b x = = = (b) x. DeÔterh isìtht: An x, y > 0, tìte x y = } {{ } } {{ } x y } {{ } x x x x = = } {{ } x+y. x+y An x < 0 < y ki x + y > 0, tìte eðni 0 < x < y, opìte y = } {{ } y = x+y ki, epomènwc, x y = y = x+y. } {{ } x+y } {{ } x } {{ } An x < 0 < y ki x + y < 0, tìte eðni 0 < y < x, opìte } {{ } y } {{ } (x+y) ki, epomènwc, x y = } {{ } x y = } {{ } (x+y) x = x+y. An x < 0 < y ki x + y = 0, tìte y = x, opìte x y = H perðptwsh y < 0 < x eðni prìmoi me thn x < 0 < y. An x, y < 0, tìte x y = = = } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } x y ( x)+( y) x = } {{ } x = } {{ } y } {{ } y ( x) } {{ } ( x) y x y = y y = = x+y. (x+y) = x+y. An x = 0, tìte x y = y = 0+y = x+y. H perðptwsh y = 0 eðni prìmoi me thn x = 0. TrÐth isìtht: An x, y > 0, tìte ( x ) y = x x = = = xy. } {{ } y } {{ } x } {{ } x } {{ } xy } {{ } y Me prìmoio trìpo qeirizìmste ki tic ˆllec peript seic: x < 0 < y, y < 0 < x, x, y < 0, x = 0 ki y = 0. () (i) Pollplsiˆzontc thn < b me ton eutì thc x forèc, brðskoume thn x = < } {{ } x b b = b }{{} x. H (iii) prokôptei pì thn (ii): x = x > b x = b x. H (ii) eðni profn c. x (3) (i) EÐni y x > 0, opìte, pollplsiˆzontc thn < me ton eutì thc y x forèc, brðskoume x = < = } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } y. H (iii) èqei prìmoi pìdeixh ki h (ii) x y x x y x eðni profn c. Παρατήρηση: Ολες οι ισότητες και ανισότητες που περιέχονται στην Πρόταση = =

23 .7 ισχύουν γενικότερα με πραγματικούς εκθέτες. Επομένως, θα ξανααναφέρουμε την πρόταση αυτή άλλες δυο φορές στις επόμενες υποενότητες μια φορά αφού θα έχουμε ορίσει τις δυνάμεις με ρητούς εκθέτες και μια φορά αφού θα έχουμε ορίσει τις δυνάμεις με άρρητους εκθέτες. Β. Ρίζες. Το Θεώρημα. είναι σημαντικό, διότι εξασφαλίζει ότι κάποιες απλές αλγεβρικές εξισώσεις έχουν λύση για παράδειγμα, οι εξισώσεις δεύτερου βαθμού. Δε θα αποδείξουμε το Θεώρημα.. Θεώρημα. Αν ο n είναι φυσικός και > 0, τότε η εξίσωση x n = με άγνωστο τον x έχει μοναδική λύση > 0. Το Θεώρημα. αναφέρεται στην εξίσωση x n = μόνο στην περίπτωση > 0 και μόνο στη θετική λύση της. Η Πρόταση.8, γνωστή κι αυτή από το γυμνάσιο, καλύπτει όλες τις περιπτώσεις. Η απόδειξή της αν δεχτούμε το Θεώρημα. είναι στοιχειώδης. Πρόταση.8 () Αν ο n είναι άρτιος φυσικός, τότε η εξίσωση x n = έχει (i) ακριβώς δυο λύσεις, μια θετική και την αντίθετη αρνητική, αν > 0, (ii) ακριβώς μια λύση, τον 0, αν = 0, και (iii) καμιά λύση, αν < 0. () Αν ο n είναι περιττός φυσικός, τότε η x n = έχει (i) ακριβώς μια λύση, θετική, αν > 0, (ii) ακριβώς μια λύση, τον 0, αν = 0, και (iii) ακριβώς μια λύση, αρνητική, αν < 0. Αν ο n είναι περιττός, τότε για κάθε τη μοναδική λύση της εξίσωσης x n = την ονομάζουμε n-οστή ρίζα του και τη συμβολίζουμε n. Αν ο n είναι άρτιος, τότε για κάθε 0 τη μοναδική μη αρνητική λύση της x n = την ονομάζουμε και πάλι n-οστή ρίζα του και τη συμβολίζουμε και n πάλι. Είναι, λοιπόν, n 0 = 0 για κάθε n και n > 0 για κάθε > 0 και κάθε n. n Επίσης, στην περίπτωση < 0 είναι < 0 για κάθε περιττό n ενώ δεν ορίζεται ο n για κανέναν άρτιο n. Αν n =, 3, 4,..., ο n ονομάζεται δεύτερη, τρίτη, τέταρτη,... ρίζα του. Στην περίπτωση n = ο συμβολίζεται και και ονομάζεται και τετραγωνική ρίζα ή, απλώς, ρίζα του. Στην περίπτωση n = 3 ο 3 ονομάζεται και κυβική ρίζα του. Παραδείγματα: () Η εξίσωση x 4 = 6 έχει δυο λύσεις, τον 4 6 = και τον 4 6 =. Ομως, η x 4 = 6 δεν έχει καμιά λύση. () Η εξίσωση x 5 = 3 έχει μια λύση, τον 5 3 =. Η x 5 = 3 έχει μια λύση, τον 5 3 =. Παρατηρήστε ότι 5 3 = = 5 3. Ετσι ο 5 3 είναι η λύση της x 5 = 3, όπως ακριβώς και ο 5 3 είναι η λύση της x 5 = 3. Αυτό, φυσικά, ισχύει γενικότερα: n = n (n περιττός φυσικός). 3

24 Ας δούμε τώρα ένα χρήσιμο κριτήριο για το αν μια ρίζα είναι ρητός ή άρρητος. Πρόταση.9 Εστω φυσικοί n, k. Τότε ο n k είναι ρητός αν και μόνο αν ο k είναι n-οστή δύναμη φυσικού. Apìdeixh: H mi kteôjunsh eðni eôkolh. 'Estw ìti o k eðni n-ost dônmh fusikoô, dhld ìti upˆrqei fusikìc m ste n eðni k = m n. Tìte o n k = n m n = m eðni fusikìc ki, epomènwc, rhtìc. Antistrìfwc, èstw ìti o r = n k eðni rhtìc ki èstw r = m, ìpou oi m, l eðni fusikoð l qwrðc koinì diirèth >. Upojètoume ìti o fusikìc l eðni >, opìte upˆrqei toulˆqiston ènc pr toc rijmìc p o opoðoc diireð ton l. Epeid oi l, m den èqoun knèn koinì diirèth >, sunepˆgeti ìti o p de diireð ton m. EÐni k = r n = mn, opìte l n l n k = m n. O p diireð ton l, opìte diireð ton l n k ki, epomènwc, diireð ton m n. GnwrÐzoume ìti, n ènc pr toc rijmìc diireð to ginìmeno kˆpoiwn fusik n, tìte diireð toulˆqiston ènn pì utoôc touc rijmoôc. Epomènwc, epeid o p diireð ton m n = m m, sunepˆgeti ìti diireð ton m ki ktl goume se ntðfsh. SumperÐnoume ìti l =, opìte r = m ki, epomènwc, o k = r n = m n eðni n-ost dônmh fusikoô. Παραδείγματα: () Ο είναι άρρητος διότι, προφανώς, δεν υπάρχει φυσικός m ώστε να είναι m =. Ομοίως, ο 3 5 είναι άρρητος διότι δεν υπάρχει φυσικός m ώστε να είναι m 3 = 5. () Ο + 3 είναι άρρητος. Διότι, αν είναι ρητός και τον συμβολίσουμε r, τότε ( + 3) = r, οπότε 6 = r 5 και, επομένως, ο 6 είναι ρητός. Αυτό είναι αδύνατο διότι δεν υπάρχει φυσικός m ώστε να είναι m = 6. Γ. Δυνάμεις με ρητούς εκθέτες. Σ αυτήν την υποενότητα θα ορίσουμε τη δύναμη r όταν ο εκθέτης r είναι ρητός. Θεωρούμε οποιονδήποτε ρητό r και γράφουμε r = m n, όπου ο m είναι ακέραιος, ο n είναι φυσικός, δηλαδή θετικός ακέραιος, και οι m, n είναι σχετικά πρώτοι, δηλαδή έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη τον. Η συγκεκριμένη γραφή του r ονομάζεται ανάγωγη μορφή του και είναι μοναδική. Παράδειγμα: Η ανάγωγη μορφή του 6 0 είναι η 8 5 και προκύπτει με απλοποίηση του αρχικού λόγου. Ομοίως, η ανάγωγη μορφή του είναι η. Αφού γράψουμε τον ρητό r στην ανάγωγη μορφή του, r = m n, ορίζουμε r = ( n ) m με τις εξής διευκρινήσεις: (i) αν > 0, δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα διότι ο n ορίζεται, (ii) αν = 0, τότε είναι n 0 = 0, οπότε πρέπει να είναι m > 0 ή, ισοδύναμα, r > 0 και τότε 0 r = ( n 0) m = 0 m = 0 και (iii) αν < 0, τότε πρέπει ο n να είναι περιττός για να ορίζεται ο n. Με άλλα λόγια: Ο r ορίζεται (i) αν > 0, (ii) αν = 0 και r > 0 και (iii) αν < 0 και ο παρονομαστής στην ανάγωγη μορφή του r είναι περιττός. Ο r δεν ορίζεται (i) αν = 0 και r 0 και (ii) αν < 0 και ο πα- 4

25 ρονομαστής στην ανάγωγη μορφή του r είναι άρτιος. Παραδείγματα: () 3 4 = ( 4 ) 3, 6 8 = 3 4 = ( 4 ) 3, 3 4 = ( 4 ) 3 = ( 4, ) 3 6 = 3 = 8 και 6 = 3 = = 3 8. () = 0 και = 0. Οι 0 3 4, και 0 0 δεν ορίζονται. (3) ( ) 5 3 = ( 3 ) 5 = ( 3 ) 5 = ( 3 ) 5, ( ) 0 6 = ( ) 5 3 και ( ) 0 =. Οι ( ) 5 και ( ) 4 4 δεν ορίζονται. Παρατηρήσεις: () Ας θεωρήσουμε οποιονδήποτε φυσικό n και τον αντίστοιχο ρητό n. Είναι φανερό ότι η ανάγωγη μορφή του n είναι ακριβώς η n. Άρα ο n ταυτίζεται εξ ορισμού με τον n : n = n. () Οπως είδαμε, υπάρχει μια περιπλοκή στον ορισμό του r όταν < 0 : πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις για τον παρονομαστή της ανάγωγης μορφής του r. Αυτό, φυσικά, δημιουργεί περαιτέρω περιπλοκές στη διατύπωση αλλά και στη χρήση των διαφόρων ιδιοτήτων των δυνάμεων, αφού για να τις χρησιμοποιούμε με αρνητική βάση θα πρέπει να βάζουμε περιορισμούς στους παρονομαστές των ρητών εκθετών. Γι αυτό στα περισσότερα βιβλία δεν ορίζεται καν το σύμβολο r όταν < 0 και ο r είναι ρητός. Είναι εύκολο να δούμε ότι ισχύει r > 0 για κάθε ρητό r και κάθε > 0. Πράγματι, αν m n είναι η ανάγωγη μορφή του r, τότε είναι n > 0 και, επομένως, r = ( n ) m > 0. Παρατήρηση: Ξεκινώντας από τις βασικές ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιους εκθέτες, όπως αυτές περιγράφονται στην Πρόταση.7, μπορούμε να αποδείξουμε τις ίδιες ιδιότητες και για ρητούς εκθέτες. Apìdeixh thc Prìtshc.7 sthn perðptwsh rht n ekjet n: J podeðxoume tic idiìthtec pou nfèronti sthn Prìtsh.7 ìtn ìloi oi ekjètec eðni rhtoð, qrhsimopoi ntc tic Ðdiec idiìthtec gi kèriouc ekjètec. St prkˆtw jewroôme x = m ki n y = k n eðni oi nˆgwgec l morfèc twn rht n x ki y. Prin proqwr soume j podeðxoume thn isìtht ( x ) n = m pou j mc fneð qr simh prkˆtw: ( x ) n = (( n ) m ) n = (( n ) n ) m = m. () Pr th isìtht: 'Estw, b > 0. Tìte ( x b x ) n = ( x ) n (b x ) n = m b m = (b) m = ((b) x ) n ki, epeid x b x, (b) x > 0, sunepˆgeti x b x = (b) x. An = 0, tìte eðni x > 0 ki x b x = 0 b x = 0 = 0 x = (b) x. H perðptwsh b = 0 eðni prìmoi. An < 0, tìte o n eðni perittìc. ApodeiknÔoume ìpwc prin ìti ( x b x ) n = ((b) x ) n ki, epeid o n eðni perittìc, sunepˆgeti x b x = (b) x. H perðptwsh b < 0 eðni prìmoi. DeÔterh isìtht: 'Estw x+y = p h nˆgwgh morf tou rhtoô x+y. An q > 0, tìte (x y ) nl = ( x ) nl ( y ) nl = (( x ) n ) l (( y ) l ) n = ( m ) l ( k ) n = ml kn = ml+kn = (( q ) q ) ml+kn = ( q ) q(ml+kn) = ( q ) pnl = (( q ) p ) nl = ( x+y ) nl ki, epeid x y, x+y > 0, sunepˆgeti x y = x+y. An = 0, tìte eðni x, y > 0 ki x y = 0 0 = 0 = x+y. An < 0, tìte oi n, l eðni perittoð. ApodeiknÔoume ìpwc prin ìti ( x y ) nl = ( x+y ) nl ki, epeid o nl eðni perittìc, sunepˆgeti x y = x+y. TrÐth isìtht: 'Estw xy = p q h nˆgwgh morf tou rhtoô xy. An > 0, tìte ((x ) y ) nl = ( (( x ) y ) l) n = (( x ) k ) n = (( x ) n ) k = ( m ) k = mk = (( q ) q ) mk = ( q ) qmk = ( q ) pnl = 5

26 (( q ) p ) nl = ( xy ) nl ki, epeid ( x ) y, xy > 0, sunepˆgeti ( x ) y = xy. H ( y ) x = xy podeiknôeti omoðwc. An = 0, tìte x, y > 0 ki ( x ) y = 0 y = 0 = xy. H ( y ) x = xy podeiknôeti omoðwc. An < 0, tìte oi n, l eðni perittoð. ApodeiknÔoume ìpwc prin ìti (( x ) y ) nl = ( xy ) nl ki, epeid o nl eðni perittìc, sunepˆgeti ( x ) y = xy. H ( y ) x = xy podeiknôeti omoðwc. () (i) Epeid x > 0, eðni m > 0. Tìte ( x ) n = m < b m = (b x ) n ki, epeid x, b x > 0, sunepˆgeti x < b x. H (iii) podeiknôeti omoðwc ki h (ii) eðni profn c. (3) (i) Epeid x < y ki n, l > 0, eðni ml < kn. 'Ar ( x ) nl = (( x ) n ) l = ( m ) l = ml < kn = ( k ) n = (( y ) l ) n = ( y ) nl. Epeid x, y > 0, sunepˆgeti x > y. H (iii) podeiknôeti omoðwc ki h (ii) eðni profn c. Δ. Δυνάμεις με άρρητους εκθέτες. Τέλος, θα ορίσουμε το σύμβολο x όταν 0 και ο x είναι άρρητος. Κατ αρχάς θεωρούμε την περίπτωση >. Παρατηρούμε ότι, αν για τρεις ρητούς s, r, t ισχύει s < r < t, τότε, φυσικά, συνεπάγεται s < r < t. Σκεφτόμαστε τώρα ότι, αν είχαμε ορίσει τις δυνάμεις με άρρητους εκθέτες έτσι ώστε να ισχύουν και γι αυτές οι συνηθισμένες ιδιότητες των δυνάμεων με ρητούς εκθέτες, τότε, αν παίρναμε ρητούς s, t και άρρητο x ώστε να είναι s < x < t, θα συνεπαγόταν s < x < t. Φυσικά, στη διπλή αυτή ανισότητα οι s, t είναι ήδη ορισμένοι ενώ ο x δεν έχει ακόμη οριστεί. Ομως, η ανισότητα αυτή αποτελεί τον «οδηγό» για το πώς πρέπει να οριστεί και ο x : πρέπει να οριστεί με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι s < x < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t. Αυτό γίνεται ως εξής. Θεωρούμε όλους τους ρητούς s < x και όλους τους ρητούς t > x. Επειδή για όλους αυτούς τους ρητούς s, t ισχύει, προφανώς, s < t και επειδή >, συνεπάγεται s < t. Εχουμε, λοιπόν, ένα πρώτο σύνολο, το σύνολο των s, και ένα δεύτερο σύνολο, το σύνολο των t, τα οποία εμφανίζονται πάνω στην πραγματική ευθεία να είναι το πρώτο αριστερά του δεύτερου κάθε σημείο του πρώτου συνόλου είναι αριστερά κάθε σημείου του δεύτερου. Είναι φανερό ότι Σχήμα.4: Ο ορισμός του x. υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο ανάμεσα στα δυο αυτά σύνολα. Δηλαδή υπάρχει κάποιος αριθμός, ας τον συμβολίσουμε ξ, ο οποίος βρίσκεται ανάμεσα στους s και στους t : s < ξ < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t. Μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει δεύτερος τέτοιος αριθμός, δηλαδή κάποιος ξ ξ ώστε να είναι s < ξ < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t. Καταλήγουμε, λοιπόν, στο εξής αποτέλεσμα του οποίου την απόδειξη θα παραλείψουμε. 6

27 Θεώρημα.3 () Εστω > και άρρητος x. Τότε υπάρχει μοναδικός ξ ώστε να είναι s < ξ < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t. () Εστω > και ρητός x. Τότε υπάρχει μοναδικός ξ ώστε να είναι s < ξ < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t και ο μοναδικός αυτός ξ είναι ο (ήδη ορισμένος) x. Αν > και ο x είναι άρρητος, ορίζουμε τον x να είναι ακριβώς ο αριθμός ξ που αναφέρεται στο πρώτο μέρος του Θεωρήματος.3. Από τον ορισμό του, λοιπόν, ο x ικανοποιεί τη διπλή ανισότητα s < x < t για όλους τους ρητούς s, t με s < x < t και είναι ο μοναδικός αριθμός με αυτήν την ιδιότητα. Σύμφωνα με το δεύτερο μέρος του Θεωρήματος.3, ακριβώς τα ίδια ισχύουν και στην περίπτωση που ο x είναι ρητός. Αν = και ο x είναι άρρητος, ορίζουμε: x =. Επίσης, αν 0 < < και ο x είναι άρρητος, τότε είναι άρρητος. Άρα έχει ορισθεί ο ( ) x και ορίζουμε: ( ) x x =. Τέλος, αν ο x είναι θετικός άρρητος, ορίζουμε 0 x = 0. > και ο x είναι Βλέπουμε, λοιπόν, ότι, αν ο x είναι άρρητος, το σύμβολο x ορίζεται (i) αν > 0 και (ii) αν = 0 και x > 0. Το σύμβολο x δεν ορίζεται (i) αν < 0 και ο x είναι άρρητος και (ii) αν = 0 και ο x είναι άρρητος < 0. Αν συνυπολογίσουμε τα συμπεράσματα των προηγούμενων υποενοτήτων, βλέπουμε ότι Ο x ορίζεται (i) αν > 0 και ο x είναι οποιοσδήποτε αριθμός, (ii) αν = 0 και x > 0 και (iii) αν < 0 και ο x είναι ρητός με περιττό παρονομαστή στην ανάγωγη μορφή του. Ο x δεν ορίζεται (i) αν = 0 και x 0 και (ii) αν < 0 και ο x είναι άρρητος η ρητός με άρτιο παρονομαστή στην ανάγωγη μορφή του. Ας πούμε μερικά λόγια για το πρόσημο του x : αν ο x είναι άρρητος και > 0 δεν έχει νόημα η περίπτωση < 0 τότε, βάσει του ορισμού του x, είναι x > s για κάθε ρητό s < x, οπότε, επειδή s > 0, συνεπάγεται x > 0. Παρατήρηση: Οπως έχουμε ήδη αναφέρει, οι βασικές ιδιότητες των δυνάμεων, αυτές δηλαδή που καταγράφονται στην Πρόταση.7, ισχύουν για οποιουσδήποτε πραγματικούς εκθέτες. Ομως, την απόδειξή τους στη γενική περίπτωση πραγματικών εκθετών θα την παραλείψουμε. 7

28 Ask seic. Α. Δυνάμεις με ακέραιους εκθέτες.. Εστω ότι ο n είναι φυσικός. Αν ο n είναι περιττός, αποδείξτε ότι x n < y n αν και μόνο αν x < y. Αν ο n είναι άρτιος, αποδείξτε ότι x n < y n αν και μόνο αν x < y.. Αν οι x, y δεν είναι και οι δυο 0, αποδείξτε ότι x + xy + y > 0 και x 4 +x 3 y+x y +xy 3 +y 4 > 0. Ποια είναι η γενίκευση αυτών των ανισοτήτων; Τι μπορείτε να πείτε για τις ανισότητες x 3 + x y + xy + y 3 > 0 και x 5 + x 4 y + x 3 y + x y 3 + xy 4 + y 5 > 0; Ποια είναι η γενίκευσή τους; 3. Αποδείξτε με την αρχή της επαγωγής ότι για κάθε φυσικό n ισχύει (i) n = n(n + ), (ii) n = 6 n(n + )(n + ), (iii) n 3 = 4 n (n + ). 4. Παρατηρείτε κάποια σχέση ανάμεσα στον δυωνυμικό τύπο του Newton και στο παρακάτω λεγόμενο τρίγωνο του Pscl; Αν m n, αποδείξτε ότι ( ) ( ( ) n+ m = n m) + n m. Παρατηρείτε τη σχέση ανάμεσα στην ισότητα αυτή και στο τρίγωνο του Pscl; 5. Αυξάνουν ή φθίνουν οι ( n m) όταν αυξάνει ο n από τον m και πέρα; Αυξάνουν ή φθίνουν οι ( n m) όταν αυξάνει ο m ανάμεσα στους 0 και n; Πώς φαίνονται αυτές οι δυο ιδιότητες στο τρίγωνο του Pscl; 6. Για κάθε φυσικό n αποδείξτε τις παρακάτω ισότητες. ( n ) ( n ) ( ) n ( n = 0 n n) n, ( n ) ( n ) ( n + + ( ) n 0 n 8 ) ( + ( ) n n ) = 0. n

29 Β. Ρίζες.. Αν ο n είναι περιττός φυσικός, αποδείξτε ότι n n =. Αν ο n είναι άρτιος φυσικός, αποδείξτε ότι n n =.. Αποδείξτε ότι + b + b για κάθε, b 0. Αποδείξτε ότι + b = + b αν και μόνο αν = 0 ή b = Βεβαιωθείτε ότι γνωρίζετε τις ιδιότητες των ριζών: n n b = n n m b, = n m = nm. Μπορείτε να τις αποδείξετε; Ποιοι περιορισμοί υπάρχουν αν < 0 ή b < 0 ; 4. Αν ο n είναι άρτιος φυσικός και 0 < b, αποδείξτε ότι n < n b. Αν ο n είναι περιττός φυσικός και < b, αποδείξτε ότι n < n b. 5. ( ) Να συγκρίνετε τους και Αποδείξτε ότι οι 7 9, και είναι άρρητοι. 7. Αν > 0, αποδείξτε ότι = αν στο αριστερό μέλος της ισότητας υπάρχουν n διαδοχικές ρίζες. 8. Περιγράψτε γεωμετρική κατασκευή του. n (Υπόδειξη: Εστω <. Αν Ο, Ι και Α είναι τα σημεία της πραγματικής ευθείας που αναπαριστούν τους 0, και, φτιάξτε ημικύκλιο με διάμετρο ΟΑ και ευθεία κάθετη στην πραγματική ευθεία στο Ι η οποία να τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο Β. Αν x είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΒ, αποδείξτε ότι x =.) Περιγράψτε γεωμετρική κατασκευή των 4 και 8. Γ. Δυνάμεις με ρητούς εκθέτες.. Ποιοι από τους ( ) 0, 0 0, ( 3) 7 3, ( ) 6, ( ) 0 ορίζονται; Υπολογίστε τους ( 8) 4 3, ( ) Ορίζονται οι δυο μεριές της ισότητας ( ) ( ) 5 3 = ( ) 3 5 ; Είναι σωστή αυτή η ισότητα; Υπάρχει αντίφαση με την Πρόταση.7; 3. Για ποιους ρητούς r ισχύει ( ) r < 0; Δ. Δυνάμεις με άρρητους εκθέτες.. Ορίζονται οι, ( ), 0, 0 ;. Αποδείξτε ότι ( 7 3) 4 < 3 < ( 7 3) 5. 9

30 3. Να συγκρίνετε τους 3 και Υπολογίστε τους [0 ] και [00 ]. 5. Ισχύει ( ( ) ) 3 = ( ) 3 ; Υπάρχει αντίφαση με την Πρόταση.7; Για ποιους x ισχύει ( ( ) x) 3 = ( ) x 3 ;.3 Logˆrijmoi. Θεωρούμε > 0 και. Διατυπώνουμε το εξής ερώτημα: για ποιους y η εξίσωση x = y (με άγνωστο τον x) έχει λύση; Γνωρίζουμε ότι για κάθε x είναι x > 0, οπότε, για να έχει λύση η εξίσωση x = y, πρέπει να είναι y > 0. Το Θεώρημα.4, το οποίο, επίσης, δε θα αποδείξουμε, μας λέει ότι αυτός είναι ο μοναδικός περιορισμός για τον y. Θεώρημα.4 Εστω > 0 και. Για κάθε y > 0 υπάρχει μοναδικός x ώστε να είναι x = y. Το ουσιαστικό αποτέλεσμα του Θεωρήματος.4 είναι η ύπαρξη της λύσης της εξίσωσης x = y. Η μοναδικότητα της λύσης είναι σχεδόν προφανής. Πράγματι, δε μπορεί να υπάρχουν διαφορετικές λύσεις x, x της x = y με τον ίδιο y διότι από την Πρόταση.7 γνωρίζουμε ότι, αν x x, τότε x x. Η μοναδική λύση της εξίσωσης x = y ονομάζεται λογάριθμος του y με βάση και συμβολίζεται log y. Με άλλα λόγια, ισχύει η ισοδυναμία: x = log y αν και μόνο αν x = y. Παρατήρηση: Η περίπτωση =, σε σχέση με την εξίσωση x = y, δεν παρουσιάζει ενδιαφέρον. Πράγματι, επειδή είναι x = για κάθε x, ο μοναδικός y για τον οποίον έχει λύση η εξίσωση είναι ο και σ αυτήν την περίπτωση η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις: όλους τους αριθμούς. Για τον ίδιο λόγο ούτε η περίπτωση = 0 έχει ενδιαφέρον. Η εξίσωση 0 x = y έχει λύση μόνο όταν y = 0 και σ αυτήν την περίπτωση έχει άπειρες λύσεις: όλους τους θετικούς αριθμούς. Η περίπτωση < 0 δεν αποτελεί αντικείμενο μελέτης λόγω των γνωστών περιπλοκών με τον x όταν ο x είναι ρητός και λόγω του ότι ο x δεν ορίζεται όταν ο x είναι άρρητος. Πρόταση.0 Εστω > 0 και. () log (yz) = log y + log z για κάθε y, z > 0. y () log z = log y log z για κάθε y, z > 0. (3) log (y z ) = z log y για κάθε y > 0 και κάθε z. (4) log = 0 και log =. 30

31 (5) Εστω 0 < y < z. Τότε (i) log y < log z, αν >, και (ii) log y > log z, αν 0 < <. Apìdeixh: () OrÐzoume x = log y ki w = log z, opìte x = y ki w = z. Tìte x+w = x w = yz, opìte log (yz) = x + w = log y + log z. () Apì thn log y z + log z = log ( y z z) = log y sunepˆgeti log y z = log y log z. (3) OrÐzoume x = log y, opìte x = y. Tìte zx = ( x ) z = y z ki, epomènwc, log (y z ) = zx = z log y. (4) H log = 0 prokôptei pì thn 0 = ki h log = pì thn =. (5) 'Estw 0 < y < z. OrÐzoume x = log y ki w = log z, opìte y = x ki z = w. Tìte x < w ki, n >, sunepˆgeti x < w en, n 0 < <, sunepˆgeti x > w. Πρόταση. Εστω, b > 0 και, b. Τότε για κάθε y > 0. log b y = log b log y Apìdeixh: 'Estw, b > 0 ki, b. OrÐzoume x = log b y ki w = log b, opìte b x = y ki w = b. Sunepˆgeti wx = ( w ) x = b x = y. 'Ar log y = wx = log b log b y. Ask seic.. Υπολογίστε τους log 4, log, log 4.. Να συγκρίνετε τους log 3 και log Υπολογίστε το γινόμενο log 3 log 3 5 log 5 7 log 7 0 log Εστω > 0,. Αποδείξτε ότι log y = y για κάθε y > Είναι ο log 3 ρητός; 6. Εστω > 0,. Αποδείξτε ότι log y = log y για κάθε y > Εστω > 0,. Αποδείξτε ότι log z(y z ) = log y για κάθε y > 0 και z..4 TrigwnometrikoÐ rijmoð. AntÐstrofoi trigwnometrikoð rijmoð. Α. Τριγωνομετρικοί αριθμοί. Θεωρούμε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας και δυο κάθετες μεταξύ τους διαμέτρους, την οριζόντια Α ΟΑ (το Α δεξιά του Ο) και την κατακόρυφη Β ΟΒ (το Β πάνω από το Ο). Θεωρούμε οποιονδήποτε x και γράφουμε πάνω στον κύκλο τόξο ΑΜ μήκους x, αρχίζοντας από το Α και πηγαίνοντας προς την κατεύθυνση την αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ρολογιού, αν x > 0, ή προς την αντίθετη 3

32 κατεύθυνση την κατεύθυνση της κίνησης των δεικτών του ρολογιού αν x < 0. Καθώς ο x μεταβάλλεται, το σημείο Μ μεταβάλλεται αναλόγως. Είναι γνωστό ότι το γράμμα π χρησιμοποιείται για να συμβολίσει το μισό του μήκους οποιουδήποτε κύκλου με ακτίνα. Επομένως, ο π αντιστοιχεί στο σημείο Β, ο π στο σημείο Α, ο 3π στο σημείο Β και ο π στο σημείο Α. Καθώς ο x διατρέχει το διάστημα [0, π] από μικρότερες προς μεγαλύτερες τιμές το σημείο Μ διατρέχει τον κύκλο ΑΒΑ ΒΆ προς την κατεύθυνση την αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ρολογιού και όταν ο x ξεπεράσει το π το Μ ξαναρχίζει να διατρέχει τον κύκλο. Ακριβώς το ίδιο πράγμα γίνεται όταν ο x διατρέχει το διάστημα [kπ, (k + )π], όπου ο k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος: η κίνηση του σημείου Μ είναι περιοδική με περίοδο π. Με άλλα λόγια, αν ένα σημείο Μ αντιστοιχεί σε κάποιον x, τότε το ίδιο Μ αντιστοιχεί και σε όλους τους αριθμούς που διαφέρουν από τον x κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Σχήμα.5: Ο τριγωνομετρικός κύκλος. Κατόπιν ζωγραφίζουμε την ευθεία ε που εφάπτεται στον κύκλο στο σημείο Α και την ευθεία η που εφάπτεται στον κύκλο στο σημείο Β. Για κάθε x προσδιορίζουμε, λοιπόν, το αντίστοιχο Μ και φέρνουμε. κάθετη ΜΕ στη διάμετρο Α ΟΑ. Συμβολίζουμε cos x = ± μήκος του ΟΕ με +, αν το Ε είναι δεξιά του Ο, και, αν το Ε είναι αριστερά του Ο.. κάθετη ΜΖ στη διάμετρο Β ΟΒ. Συμβολίζουμε sin x = ± μήκος του ΟΖ με +, αν το Ζ είναι πάνω από το Ο, και, αν το Ζ είναι κάτω από το Ο. 3