Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών

Transcript

1 Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών η Μεθοδολογία: «Ανυψωτήρας» Το υγρό του δοχείου κλείνεται με δύο έμβολα που βρίσκονται στην ίδια οριζόντιο. Στο έμβολο με επιφάνεια Α ασκείται δύναμη F. ον Η F ασκεί πρόσθετη πίεση στο υγρό ίση με P=F/A. Από αρχή του Pascal η P μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του υγρού άρα στην επιφάνεια εμβαδού Α2 θα ασκηθεί η F2: F2=P A2 F2= F A2/A (Με την βοήθεια της αρχής του Pascal μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε μια δύναμη) 2 ον Επειδή τα υγρά είναι ασυμπίεστα οι μεταβολές των όγκων των υγρών στις δύο στήλες είναι ίσες: ΔV= ΔV2 A y= A2 y2 Τα ύψη είναι αντιστρόφως ανάλογα των εμβαδών διατομής 3 ον Τα έργα των δύο δυνάμεων είναι ίσα διότι: WF=F y=p A y=p ΔV WF2=F2 y2=p2 A2 y2=p2 V2 Από αρχή Pascal P =P 2 και ΔV =ΔV 2 άρα W F= W F2

2 2 η Μεθοδολογία: «Μέτρηση πίεσης σε διάφορα σημεία» Ένα ρευστό περιέχεται σε δοχεία που είναι κλεισμένο με έμβολο. Μέσω του εμβόλου δημιουργείται στο υγρό Ρεξ. Να συγκριθούν οι ενδείξεις των δύο μανόμετρων Μ και Μ2 όταν: α. το ρευστό είναι υγρό. β. το ρευστό είναι αέριο. ον Τα μανόμετρα μετρούν την ολική πίεση. Ρολ = Ρεξ + Ρυδρ () Σύμφωνα με την αρχή του Pascal η Ρεξ μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του υγρού. Άρα τα μανόμετρα δέχονται ίδιεs Ρεξ και η υδροστατική πίεση βρίσκεται από τη σχέση Ρυδρ=ρ g h Επειδή το μανόμετρο Μ2 βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθοs υγρού από το Μ θα έχω μεγαλύτερή υδροστατική πίεση. Με αντικατάσταση στη σχέση () προκύπτει ότι η ένδειξη του Μ2 είναι μεγαλύτερη από του Μ. Προσοχή!!! Αν το έμβολο έχει βάρος τότε στην πίεση που μετρά το μανόμετρο πρέπει να συνυπολογίσουμε και την πίεση από το βάρος P = Pυδρ() + Patm + Pβαρ = ρ g h + Patm + mg/a 2 ον Στο αέριο η σχέση () γράφεται Pολ=Pεξ+Pαερ Όπου Ραερ=ρ g h και επειδή τα αέρια έχουν πολύ μικρή πυκνότητα, η μεταβολή της υψομετρικής πίεσης για μικρές αποστάσεις θεωρείται μηδενική. Έτσι τα μανόμετρα δέχονται την ίδια πίεση πρακτικά.

3 3 η Μεθοδολογία: «Μανόμετρο Torricelli» O Torricelli χρησιμοποίησε την παρακάτω διάταξη με σκοπό να μετρήσει την πίεση της ατμόσφαιρας το 644. Βύθισε σε ένα δοχείο με υδράργυρο έναν γυάλινο σωλήνα και παρατήρησε ότι η στάθμη του υδραργύρου ανέβηκε σε ύψος h μέσα στο σωλήνα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ον Η πίεση στο σημείο Γ είναι μηδενική εφόσον είναι κενός χώρος από πάνω: PΓ=0 2 ον Η πίεση στο σημείο Α ισούται με την ατμοσφαιρική: PA=Pατμ 3 ον Η πίεση στο σημείο Β είναι ίση με την πίεση στο σημείο Α εφόσον βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο: PB =PA P Β =P υδρ ρ g h =Pατμ h= Pατμ/ ρ g Το ύψος που μέτρησε είναι ίσο με 760mm και προς τιμήν του ορίστηκε η μονάδα μέτρησης της πίεσης torr=mmhg όπου atm=760torr=760mmhg. 4 η Μεθοδολογία: «Τρία έμβολα στο ίδιο ρευστό» Στο διπλανό σχήμα έχουμε 3 συγκοινωνούντα δοχεία τα οποία είναι κλειστά με έμβολα βάρους W, W2 και W3 αντίστοιχα. ον Θέτουμε νοητή οριζόντια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και Γ τα οποία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Οι πιέσεις των σημείων θα είναι ίσες PA=PB=PΓ 2 ον Από την ισορροπία του κάθε εμβόλου θα έχουμε: Διαιρώ με Α Fυγρ() =W+Fatm Pυγρ() =(W/A)+Patm (όπου Pυγρ() η πίεση του υγρού ακριβώς κάτω από το έμβολο)

4 Στο σημείο Α θα έχουμε πίεση PA=Pυγρ()+Pυδρ PA=(W/A)+Patm+ρ g y Ομοίως PΒ=(W2/A2)+Patm+ρ g y2 και PΓ=(W3/A3)+Patm+ρ g y3 3 ον Εφόσον οι τρείς πιέσεις είναι ίσες τις εξισώνω και βρίσκω σχέση υψών ή σχέση των βαρών των εμβόλων. 5 η Μεθοδολογία: «Άνωση» Ένας ομογενής κύλινδρος βυθίζεται μέσα σε υγρό και ισορροπεί, με τον άξονά του κατακόρυφο,όπως στο διπλανό σχήμα. Για να υπολογίσω την συνισταμένη δύναμη που του ασκείται τότε: ον Σχεδιάζω τις δυνάμεις που ασκούνται από το υγρό όπως στο παρακάτω σχήμα 2 ον Εφόσον ισορροπεί από τον ο νόμο του Νεύτωνα θα ισχύει : ΣFx=0 και ΣFy=0. Στον χ χ οι δυνάμεις από το ρευστό λόγω υδροστατικής πίεσης αλληλοαναιρούνται Στον y y οι δυνάμεις που του ασκούνται είναι οι: F =P Α, όπου P = Pατμ+ Pυδρ = Pατμ+ ρ g h F 2=P 2 Α, όπου P 2= Pατμ+ Pυδρ = Pατμ+ ρ g (h+h2) Η Pατμ μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλη την έκταση του υγρού από αρχή του Pascal. Η Fυγρ θα ισούται με την διαφορά των F, F2 Fυγρ=ρ g h2 A Fυγρ=ρ g Vκυλ Αυτή η δύναμη ονομάζεται «Άνωση» και την ανακάλυψε ο Αρχιμήδης τον 3ο αιώνα π.χ. Ο Αρχιμήδης (287 π.χ.-22 π.χ.) ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς, φυσικούς και μηχανικούς της αρχαιότητας. Το έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά, και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς: γεωμετρία, οπτική (κατοπτρική), υδραυλική, μηχανική, αρχιτεκτονική και την πολιορκητική. Συνέδεσε το όνομά του με τη γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα, τη λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων, καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του,τις Συρακούσες. Η Αρχή του Αρχιμήδη καθορίζει ότι: "Κάθε σώμα βυθισμένο σε ρευστό δέχεται άνωση ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζει."

5 6 η Μεθοδολογία: «Σωλήνας που διαρρέεται από ασυμπίεστο υγρό και έχει μεταβλητή διατομή» ον Εξίσωση της συνέχειας A u = A2 u2 2 ον Από την εξίσωση Bernoulli υπολογίζω την στατική πίεση αν μου ζητηθεί 2 ρ u2 + P + ρ g y = 2 ρ u22 + P2 + ρ g y2 Επειδή η φλέβα δεν μετατοπίζεται στον κατακόρυφο άξονα y y: y=y2 άρα 2 ρ u2 + P = 2 ρ u22 + P2 3 ον Αν μου ζητηθεί χρόνος παροχής νερού και μου δίνει ποσότητα τότε : Π=ΔV/Δt A u = A2 u2 = ΔV/Δt σε m 3 /sec (Lit=0-3 m 3 ) 7 η Μεθοδολογία: «Παροχή νερού από βρύση» ον Εξίσωση της συνέχειας A u = A2 u2 2 ον Από την εξίσωση Bernoulli υπολογίζω την στατική πίεση αν μου ζητηθεί 2 ρ u2 + P + ρ g y = 2 ρ u22 + P2 + ρ g y2 Προσοχή: Η φλέβα μετατοπιζεται στον κατακόρυφο άξονα y y: h=y-y2 άρα 2 ρ u2 + P + ρ g h = 2 ρ u22 + P2 3 ον Αν μου ζητηθεί χρόνος παροχής νερού και μου δίνει ποσότητα τότε : Π=ΔV/Δt A u = A2 u2 =ΔV/Δt σε m 3 /sec (Lit=0-3 m 3 )

6 8 η Μεθοδολογία: «Τρύπα σε δοχείο» ον Εφαρμόζω την εξίσωση Bernoulli για την ρευματική γραμμή (A Γ) 2 ρ uα2 + PΑ + ρ g yα = 2 ρ uγ2 + PΓ + ρ g yγ Προσοχή: Αφού Α(Α)>>Α(Γ) θεωρώ ua 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Στο σημείο Γ όπου το νερό έρχεται σε επαφή με τον ατμοσφαιρικό αέρα η πίεση ισούται ΜΟΝΟ με την Pατμ (PΓ=Pατμ) Pατμ + ρ g Η = 2 ρ uγ2 + Pατμ + ρ g h uγ= 2 g (Η h) 2 ον Από το σημείο Γ και μετά το ρευστό εκτελεί οριζόντια βολή και το βεληνεκές του είναι χ=uγ tπτ Όπου tπτ = 2(Η h) g (ο χρόνος πτώσης) Άρα χ = 4h (Η h) 3 ον Το βεληνεκές γίνεται μέγιστο όταν οι παράγοντες του γινομένου εξισώνονται, δηλαδή όταν: h=h-h h=h/2 Άρα χmax = H

7 9 η Μεθοδολογία: «Ροόμετρο Venturi» ον Eξίσωση της συνέχειας : Α υ = Α2 υ2 υ2 = Α Α 2 υ 2 ον Οι πιέσεις στα σημεία Α και Β είναι: Ρ = Ρat + ρ g h και Ρ2 = Ρat + ρ g h2, με h = h h2. 3 ον Εξίσωση του Bernoulli από σημεία Α στο σημείο Β: Ρ + ρ υ² = 2 Ρ2 + ρ υ2² 2 Ρατμ + ρ g h + ρ υ² = 2 Ρατμ + ρ g h2 + ρ υ2² 2 ρ g h + ρ υ² = 2 ρ g h2 + ρ υ2² 2 ρ g h ρ g h2 = ρ υ2² ρ υ² 2 2 ρ g (h h2) = 2 ρ (υ2² υ²) 0 η Μεθοδολογία: «Δύναμη λόγω υποπίεσης» Για την φλεβα αέρα του διπλανού σχήματος εφαρμόζω την εξίσωση Bernoulli από Σ σε Σ2 : 2 ρ u2 + P + ρ g y = 2 ρ u22 + P2 + ρ g y2 Το Σ είναι σημείο μακρυά από την σκεπή και μπορώ να θεωρήσω ότι u 0.

8 Επίσης η πίεση στο Σ είναι ίση με την Pατμ. Τα ύψη y και y2 θεωρούνται σχεδόν ίσα κατά προσέγγιση. Pατμ = 2 ρ u22 + P2 P2 = 2 ρ u22 + Pατμ Αποδείξαμε ότι η πίεση στο εξωτερικό σημείο της σκεπής είναι μεγαλύτερη απο την ατμοσφαιρική πίεση. Αν το σπίτι έχει κλειστά τα παράθυρα τότε η πίεση στο εσωτερικό του είναι ίση με την ατμοσφαιρική και αυτό έχει ως αποτέλεσμα η σκεπή να δέχεται την δύναμη που φαίνεται στο σχήμα λόγω διαφοράς πίεσης. (Δύναμη λόγω υποπίεσης: F=ΔP/A). Η δύναμη υποπίεσης παίζει ρόλο στα οχήματα της Formula (και όχι μόνο) διότι βοηθά στο να συγκρατηθεί στο έδαφος το όχημα ακόμα και αν αναπτύσσει τεράστιες ταχύτητες. η Μεθοδολογία: «Ταλάντωση Ρευστού» Γυάλινος σωλήνας, ανοιχτός στα δύο άκρα του περιέχει ρευστό σε ύψος h και έχει μάζα m. ον Αρχικά το ρευστό ισορροπεί στην θέση ισορροπίας όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Εκτρέπω το υγρό από την μία μεριά κατά y και το αφήνω ελεύθερο.

9 2 ον Σε μια στήλη υγρού ύψους 2y, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι δυνάμεις που ασκούνται στην στήλη του υγρού, είναι : Pατμ Α ασκούνται λόγω της ατμοσφαιρικής πίεσης από τα ανοιχτά άκρα Δm g Το βάρος της στήλης υγρού, 3 ον Εφαρμόζουμε τον 2 ο νόμο του Νεύτωνα στο τμήμα του ρευστού ύψους 2y και μάζας Δm (θετικά θέτουμε προς τα πάνω) : ΣF = Pατμ Α dm g Pατμ Α ΣF = dm g ΣF = ρ dv g ΣF = ρ A 2 y g ΣF = (2 ρ Α g) y,

10 Που είναι της μορφής ΣF = D y, άρα η στήλη υγρού ύψους h και μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, με D = 2 ρ Α g, H περίοδος της ταλάντωσης : Τ = 2π h 2 g Τ = 2π m D Τ = 2π ρ A h 2 ρ Α g όπου ρ η πυκνότητα του υγρού,h το μήκος της στήλης του υγρού, Α η διατομή του σωλήνα, g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Παρατηρήσεις: η Η δύναμη που δέχεται ένα τμήμα ρευστού κατά την ροή του είναι: F = dp = dm Δu dt Δt = ρ dv Δu Δt = ρ.π.δu = ρ.dv.δu 2 η Ο ρυθμός με τον οποίο το ρευστό προσφέρει ενέργεια σε ένα στρόβιλο (π.χ. υδροηλεκτρικό φράγμα) είναι: dε = (/2) dm u2 dt Δt = ρ dv u2 2 Δt = ρ Π u2 2 = ρ Α u3 2 3 η Αν η παροχή είναι μεταβλητή, δηλαδή χρονική συνάρτηση, τότε το εμβαδόν του διαγράμματος ισούται αριθμητικά με τον όγκο του ρευστού που πέρασε από την διατομή Εμβ(τργ)=Vρευστού Κασβίκης Αθανάσιος Φυσικός