ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

Transcript

1 Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους

2 1. Έχει κάθε πολυώνυμο ρίζα? 2. Πόσες ρίζες έχει ένα πολυώνυμο βαθμού n? 3. Μπορούμε να καθορίσουμε πότε οι ρίζες είναι ρητές, πραγματικές, θετικές, κλπ? 4. Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στις ρίζες του πολυωνύμου και στους συντελεστές του? 5. Πως βρίσκουμε τις ρίζες ενός πολυωνύμου?

3 1. Έχει κάθε πολυώνυμο ρίζα? Απάντηση: Θεμελιώδες Θώ Θεώρημα της Άλγεβρας Κάθε πολυώνυμο λώ με πραγματικούς ή μιγαδικούς συντελεστές έχει (τουλάχιστον) μία μιγαδική ρίζα. Κάθε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πολυωνύμων βαθμού 1 με μιγαδικούς συντελεστές. Κάθε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πολυωνύμων βαθμού 1 ή 2 με πραγματικούς συντελεστές.

4 Πως προκύπτουν οι παραπάνω συνεπαγωγές?? (από ό πότε γνώριζαν οι Μαθηματικοί ότι τα παραπάνω είναι ισοδύναμα?) Γιατί το Θεώρημα αυτό λέγεται Θ.Θ. Άλγεβρας? Είναι τόσο σημαντικό? Πάνω σε αυτό στηρίχτηκε η Άλγεβρα?? (Σύγκριση με το Θ.Θ. Λογισμού.)

5 Ο Girard ( ) στο βιβλίο βλί του L'invention en algèbre το 1629 ισχυρίστηκε ότι πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού n έχουν n ρίζες. (Όμως δεν είπε ξεκάθαρα ότι οι ρίζες αυτές είναι μιγαδικές)

6 Δύο ξεχωριστά ζητήματα: Έχει κάθε πολυωνυμική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές μία ρίζα? Είναι οι ρίζες της εξίσωσης (αν υπάρχουν )μιγαδικοί αριθμοί?

7 Descartes: ( ) το 1637 στο βιβλίο του Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences παρατήρησε ότι : «κάθε εξίσωση μπορεί να έχει τόσες ρίζες όσος είναι ο αριθμός των διαστάσεων της άγνωστης ποσότητας στην εξίσωση.»

8 Ο Leibniz το 1702 ισχυρίστηκε ότι το το πολυώνυμο δεν μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο γραμμικών ή δευτεροβάθμιων όρων, (άρα το ΘΘΑ δεν ισχύει). Αφού γνωρίζουμε ότι το ΘΘΑ ισχύει, προφανώς μπορούμε να γράψουμε το παραπάνω πολυώνυμο ως γινόμενο δευτέρου βαθμού πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές. Γιατί όμως έκανε αυτό το λάθος ο Leibniz? Ποια είναι αυτά τα πολυώνυμα? οκιμάστε να βρείτε τα πολυώνυμα όταν a= i

9 Newton: αν a+bi ρίζα του p(x) () τότε a bi ρίζα του p(x). ()

10 Ο Euler ( ) 8) σε αλληλογραφία λ με τους Bernoulli και Goldbach το 1742 έδειξε ότι το αντιπαράδειγμα του Leibniz ήταν λάθος.

11 D Alembert DAlembert( ) έκανε το 1746 τη πρώτη (σοβαρή) απόπειρα να αποδείξει του ΘΘΑ. Η απόδειξη αυτή είχε κενά στηρίχτηκε για παράδειγμα σε κάτι που είναι ισοδύναμο με ένα θεώρημα σε σειρές που αποδείχτηκε το 1850 (Puiseux).

12 Euler επιχείρησε μία άλλη απόδειξη το (Μπορούσε να αποδείξει ότι κάθε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές και βαθμό n μικρότερο ή ίσο του 6 είχε ακριβώς n μιγαδικές ρίζες. Η απόδειξη ήταν στη γενική περίπτωση περισσότερο σκίτσο απόδειξης. Το 1772 ο Lagrange έδειξε μία ατέλεια της απόδειξης του Euler: ότι θα μπορούσε να οδηγήσει σε κλάσμα της μορφής 0/0. Διόρθωσε αυτό το σημείο. Το 1795 ο Laplace έδωσε μία διαφορετική απόδειξη χρησιμοποιώντας τη διακρίνουσα του πολυωνύμου.

13 Το πραγματικό πρόβλημα των αποδείξεων: Υποθέτουν ότι το πολυώνυμο έχει ρίζες (κάποιας μορφής) και στη συνέχεια αποδεικνύουν ότι είναι μιγαδικοί αριθμοί. Lagrange ( ) Laplace ( )

14 Ο πρώτος που παρατήρησε το βασικό πρόβλημα των προηγούμενων αποδείξεων ήταν ο Gauss ( ) στη δδ διδακτορική του διατριβή το Εκεί παρουσίασε και τη πρώτη του απόδειξη που χρησιμοποιεί τοπολογικές ιδέες. Έχει και αυτή σοβαρές ελλείψεις. Άλλες δύο αποδείξεις, το 1816 (σωστή), 1849 (για τις πολ. εξισώσεις με μιγαδικούς συντελεστές).

15 Ο Argand ( ) 1822) το 1814 δημοσίευσε μία απόδειξη του ΘΘΑ στην εργασία του Réflexions sur la nouvelle théorie d'analyse. Η απόδειξη του Argand βασιζόταν στην ιδέα του d Alembert. Το 1820 ο Cauchy αφιερώνει ένα ολόκληρο κεφάλαιο από το Cours d'analyse για την απόδειξη του Argand χωρίς να αναφέρει τον Argand. Τελικά ο Argand αναγνωρίστηκε όταν τον ανέφερε ο Chrystal στο βιβλίο του Algebra το 1886.

16 Cauchy ( )

17 Παρατηρήσεις: Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι το απλούστερο σύστημα που περιέχει τους πραγματικούς και μπορεί να κατασκευαστεί από αυτούς με πολύ απλό τρόπο: C= R+R i όπου i i = 1 ( δηλαδή το i είναι αλγεβρικό πάνω από το R) Υπάρχουν άλλα τέτοια συστήματα? ( Ο Gauss φαίνεται να το πίστευε: αποκαλούσε τα άλλα τέτοια συστήματα σκιά της σκιάς ).

18 H πρώτη κατασκευαστική απόδειξη βασισμένη στην απόδειξη (ύπαρξης) του Argand δόθηκε το 1940 από τον Kneser (μαθητής του Hilbert).

19 2. Πόσες ρίζες έχει ένα πολυώνυμο βαθμού n? Ο Descartes έδειξε ότι αν a είναι ρίζα του p(x) τότε p(x)=(x a)q(x) όπου βαθμός q(x) είναι βαθμός p(x) μείον 1. Επαναλαμβάνοντας (και θεωρώντας ότι το ΘΘΑ ισχύει) προκύπτει ότι αν ο βαθμός του p(x) είναι n τότε

20 3. Μπορούμε να καθορίσουμε πότε οι ρίζες είναι ρητές, πραγματικές, θετικές, κλπ? κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει μία πραγματική ρίζα. Παρόλο αποδεκτό τον 17 και 18 αιώνα αποδείχτηκε χη τον 19 ο αιώνα ως συνέπεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής από τον Λογισμό: (Κάθε συνεχής συνάρτηση που είναι θετική για κάποιες τιμές και αρνητική για κάποιες άλλες πρέπει να διασχίζει τον άξονα των x και να έχει μία ρίζα.)

21 Descartes: κριτήριο για το ποιοί ρητοί a/b μπορούν να είναι ρίζες ενός πολυωνύμου. Descartes: (χωρίς ρ ςαπόδειξη) άνω όριο για τον αριθμό των θετικών ριζών ενός πολυωνύμου μετράμε τον αριθμό των αλλαγών των προσήμων από + σε και από σε + Descartes: (χωρίς απόδειξη) άνω όριο για τον αριθμό των αρνητικών ριζών ενός πολυωνύμου μετράμε τον αριθμό των δύο συνεχόμενων + και δύο συνεχόμενων

22 Ερώτημα 4: Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στις ρίζες του πολυωνύμου και στους συντελεστές του? σχέση ανάμεσα στις ρίζες ενός δευτεροβάθμιου πολυωνύμου και στους συντελεστές του πολυωνύμου: γνωστή. αντίστοιχη σχέση για τις ρίζες και τους συντελεστές πολυωνύμων βαθμού έως και 5 από τον Viete. Ο Newton εισήγαγε την έννοια των συμμετρικών συναρτήσεων που εκφράζουν αυτές τις σχέσεις ανάμεσα στις ρίζες και τους συντελεστές για πολυώνυμα βαθμού n. (Ρόλος συμμετρικών συναρτήσεων στην επίλυση με ριζικά και Θεωρία Galois).

23 5. Πως βρίσκουμε τις ρίζες ενός πολυωνύμου? Το επιθυμητό είναι να δοθεί η λύση με ριζικά όπως για πολυώνυμα βαθμού 2,3,4. Προσπάθεια: εύρεση τέτοιας λύσης (ακριβής λύση) για πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του 4. Παράλληλα: όταν δεν υπάρχει ακριβής λύση γίνεται ανάπτυξη μεθόδων για την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων π.χ. Newton (17 ος αιώνας), Horner (19 ος αιώνας)

24 Μελέτη των λύσεων οδηγεί στην μελέτη των ιδιοτήτων διάφορων συστημάτων αριθμών (πχ σύστημα των φυσικών αριθμών, των ρητών, των μιγαδικών, κλπ) ) Newton: αρνητικοί αριθμοί «ποσότητες μικρότερες του τίποτα» Leibniz: μιγαδικοί αριθμοί «αμφίβια ανάμεσα στα όντα και μη όντα» Κανόνες όπως ( 1)( 1)=1 γνωστοί από την αρχαιότητα. Όμως χωρίς δικαιολόγηση. Από πότε γίνονται δεκτοί για σύμβολα (δηλ. ( a) ( a)=a)?