Παρουσίαση ερευνητικής εργασίας µε θέµα: Η διερεύνηση της έννοιας του απείρου διαβάζοντας κείµενα µαθηµατικής λογοτεχνίας.
|
|
- Μελέτη Γούναρης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Παρουσίαση ερευνητικής εργασίας µε θέµα: Η διερεύνηση της έννοιας του απείρου διαβάζοντας κείµενα µαθηµατικής λογοτεχνίας. ΒΑΣΙΛΗΣ «Από αµνηµόνευτους χρόνους, το άπειρο συγκινούσε τη ψυχή του ανθρώπου περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο ζήτηµα. Είναι δύσκολο να βρει κανείς µια ιδέα που να έχει ερεθίσει τόσο γόνιµα τη νόηση όσο η ιδέα του απείρου. Αλλά και καµία άλλη έννοια δεν χρήζει οριστικής διασάφησης περισσότερο από αυτήν». Με αφορµή τον παραπάνω ισχυρισµό του D.Hilbert, ξεκινάµε ένα ταξίδι στο χρόνο, µε τη βοήθεια του Logicomix, και στόχο να συναντηθούµε µε το µαθηµατικό άπειρο µετρώντας τις δυνάµεις µας ΣΤΕΦΑΝΙ Το Logicomix είναι ένα µυθιστόρηµα σε µορφή κόµικς, το οποίο ασχολείται µε την αναζήτηση των θεµελίων των µαθηµατικών και είναι γραµµένο από τον Απόστολο οξιάδη, το Χρίστο Παπαδηµητρίου, τον Αλέκο Παπαδάτο και την Annie Di Donna. Αφηγητής είναι ο Bertrand Arthur William Russell, ο οποίος γεννήθηκε το 187 στην Αγγλία από αριστοκρατική οικογένεια και υπήρξε σπουδαίος επιστήµονας της Λογικής, µαθηµατικός, ειρηνιστής και πολιτικός ακτιβιστής. Άνθρωπος µε έντονα πάθη, µας ταξιδεύει µέσω της βιογραφίας του στον κόσµο της Λογικής. ΓΙΑΝΝΗΣ Στις 4 Σεπτεµβρίου του 1939, την ηµέρα που το Ηνωµένο Βασίλειο κήρυξε τον πόλεµο στη Γερµανία, ο Ράσελ καλείται από ένα αµερικανικό Πανεπιστήµιο να δώσει µία οµιλία µε θέµα: «ο ρόλος της λογικής στα ανθρώπινα πράγµατα». Έξω από το Πανεπιστήµιο οι αποµονωτιστές ζητούν από τον Ράσελ να διαδηλώσει µαζί τους ενάντια στη συµµετοχή των ΗΠΑ στον Β Παγκόσµιο πόλεµο. Ο Ράσελ τους πείθει ότι παρακολουθώντας την οµιλία του θα µπορέσουν να βρουν τις απαντήσεις σχετικά µε το αν η στάση τους απέναντι στον πόλεµο είναι σωστή. Ο Ράσελ θα µιλήσει για τις αρχές που διέπουν τη Λογική, µέσω των αρχών της δικής του ζωής. Έζησε, λοιπόν, τα παιδικά του χρόνια (1880) στο σπίτι της γιαγιάς και του παππού του. Η γιαγιά του ήταν πολύ αυστηρή και θρησκόληπτη, σε αντίθεση µε τον παππού του που ήταν ένας άνθρωπος ανοιχτόµυαλος και µορφωµένος. Η γιαγιά καθώς δεν εµπιστευόταν την δηµόσια εκπαίδευση, προσέλαβε δασκάλους, οι οποίοι ανέλαβαν την εκπαίδευση του Ράσελ. Ο τελευταίος, χάρη στην κρυφή βιβλιοθήκη του παππού του, τέως πρωθυπουργού της Αγγλίας, και στην καθοδήγηση του καθηγητή των Μαθηµατικών, ήρθε σε επαφή µε τον Ευκλείδη. Στο έργο του βρήκε, ό,τι µάταια αναζητούσε ως τότε στη θρησκεία της γιαγιάς. (ο Γεράσιµος σηκώνεται και κάνει την απόδειξη) Ο Ευκλείδης του έδειξε το δρόµο που θα τον οδηγούσε στην αλήθεια: τη Λογική, στη αγκαλιά της οποίας γνώρισε για πρώτη φορά την ηδονή της απόλυτης βεβαιότητας. Η απόδειξη ήταν η "βασιλική οδός"!(γεράσιµος: µε αφορµή µια απόδειξη που στηρίζεται στο αξίωµα των παραλλήλων δηλαδή µια απόδειξη που στηρίζεται στο αναπόδεικτο, απογοητεύεται.)
2 Με το θάνατο του παππού του βρίσκει το κουράγιο να αντιταχθεί στη γιαγιά του και επιτέλους να µάθει όλα τα στοιχεία για την οικογένειά του, που εκείνη του κράταγε κρυφά τόσα χρόνια. Οι κραυγές που άκουγε τα βράδια, και των οποίων όλοι αρνούνταν την ύπαρξη, ήταν του θείου που ήταν σχιζοφρενής και κλεισµένος σε ένα δωµάτιο του σπιτιού. Ο Ράσελ είδε στα µάτια του την τρέλα, έναν εφιάλτη που θα τον κυνηγούσε σε όλη του τη ζωή. ΕΙΡΗΝΗ Με την είσοδο του στο Μαθηµατικό τµήµα του πανεπιστηµίου του Cambridge, ο Ράσελ παρατηρεί κενά στον ορισµό εννοιών, όπως εκείνον του απειροστού. (Καραγιάννης: Ο Απειροστικός Λογισµός, µε τα παράδοξα του απείρου στον πυρήνα του, υπήρξε επανάσταση στα µαθηµατικά. Κίνητρο για την αλµατώδη εξέλιξη του απειροστικού λογισµού, σ ένα µεγάλο βαθµό, ήταν προβλήµατα όπως αυτό του ορισµού της εφαπτοµένης καµπύλης σε σηµείο αυτής. Το 17 ο αιώνα, δύο εξέχουσες προσωπικότητες που ανέπτυξαν συστηµατικές µεθόδους επίλυσης αυτού του προβλήµατος, ήταν οι Newton και Leibniz, δηµιουργώντας ανεξάρτητα αυτό που αποκαλούµε σήµερα Απειροστικό Λογισµό. Το 1684 ο Leibniz, δηµοσίευσε µερικές απλές εφαρµογές του διαφορικού λογισµού, στις οποίες φαίνεται να χρησιµοποιεί ποσότητες dx,dy τις οποίες θεωρεί διάφορες του µηδενός ενώ ταυτόχρονα µικρότερες από κάθε πραγµατικό θετικό αριθµό. Ένα παράδειγµα της χρησιµοποίησης τους είναι για τον υπολογισµό του ρυθµού µεταβολής της συνάρτησης y=x : Έστω ότι η µεταβολή του x είναι dx τότε ο ρυθµός µεταβολής της συνάρτησης είναι: ( x+ dx) x ( x+ dx) x = x + xdx+ ( dx) dx x = xdx+ ( dx) dx = dx(x+ dx) dx = x+ dx x (αφού το dx είναι απείρως µικρότερο του x) Παρόλη την κριτική που τους ασκήθηκε και την ασαφή φύση τους, τα απειροστά χρησιµοποιήθηκαν ευρέως για αρκετό καιρό κυρίως κατά τον 17 ο -18 ο αιώνα. Την προσπάθεια για αυστηρή θεµελίωση του Απειροστικού Λογισµού, εξοβελίζοντας τα απειροστά από τα τυπικά µαθηµατικά, συµπλήρωσε ο Weierstrass που θεµελίωσε την Aνάλυση σε καθαρά αριθµητική βάση). Απογοητευµένος απ' τα Μαθηµατικά, ο Ράσελ στρέφεται στη λογοτεχνία, τη φιλοσοφία και το θέατρο. Έρχεται σε επαφή µε τη φύση, απαλλάσσεται από τις δεισιδαιµονίες της παιδικής του ηλικίας και γνωρίζει την Άλις, τη γυναίκα που θα παντρευόταν, παρά τις αντιρρήσεις της γιαγιάς του. Έχοντας τελειώσει τις σπουδές µε άριστα, έχει πια πεισθεί ότι τα θεµέλια των Μαθηµατικών θα υποχωρήσουν και το µαθηµατικό οικοδόµηµα θα καταρρεύσει. Παράλληλα, δεν βρίσκει στη Φιλοσοφία την Αλήθεια που έψαχνε. Ο Λογικιστικός Λογισµός του Leibniz και το σχετικό έργο του Μπούλ, τον κάνουν να καταλάβει, ότι ανήκει στη Λογική. Συνοδοιπόρος του στην αναζήτηση των αρχών της Νέας Λογικής και κατά συνέπεια των σταθερών θεµελίων των Μαθηµατικών, ο Alfred Whitehead, που έµελλε να γίνει µέντορας και φίλος του.
3 ΤΕΚΤΟΝΙ ΗΣ Ο Russell, µε προτροπή του Whitehead, αποφασίζει να ταξιδέψει στην Ευρώπη για να γνωρίσει τους νέους αστέρες της Λογικής. Επισκέπτεται στην Γερµανία τον Frege, του οποίου το όνειρο είναι να φτιάξει µία τέλεια λογική γλώσσα, ικανή για να χτίσει τα θεµέλια των Μαθηµατικών (η αλήθεια είναι ότι ο Frege τις είχε τις παραξενιές του.). Συναντά τον Cantor σε ένα σε ψυχιατρικό άσυλο, γεγονός που τον σοκάρει ενώ οι εφιάλτες του επιστρέφουν (Λογική και τρέλα-παράξενο ζευγάρι).(σωκράτης: O Georg Cantor υπήρξε Γερµανός µαθηµατικός και στοχαστής. Καθιερώθηκε ως ο δηµιουργός και θεµελιωτής της θεωρίας των συνόλων. Οι ιδέες που εισήγαγε στα µαθηµατικά υπήρξαν τόσο νεωτεριστικές για την εποχή του, ώστε προκάλεσαν πολλές κριτικές από τους σύγχρονούς του µαθηµατικούς. Το έργο του ανακίνησε τα θεµέλια των Mαθηµατικών, επιδρώντας αποφασιστικά στη διαµόρφωση της µαθηµατικής σκέψης και έκφρασης. Ιδιαίτερα σε αυτό συνετέλεσε το γεγονός ότι οι µέθοδοι του Cantor οδήγησαν στα λεγόµενα παράδοξα της θεωρίας των συνόλων, απ όπου προέκυψε η ανάγκη για την κριτική επανεξέταση των θεµελίων των Μαθηµατικών. Κατά τη διάρκεια της ζωής του απέδειξε, µεταξύ άλλων, δύο σηµαντικά θεωρήµατα: i. Αρχικά, απέδειξε ότι το σύνολο των ρητών αριθµών είναι δυνατόν να τεθεί σε αντιστοιχία «1 1» µε το σύνολο τον φυσικών. ηλαδή, ένα στοιχείο από το σύνολο των ρητών µπορεί να αντιστοιχηθεί µε ένα και µόνο ένα στοιχείο από το σύνολο των φυσικών. Αυτό καθιστά το σύνολο των ρητών αριθµήσιµο. ii. Στη συνέχεια απέδειξε (µε χρήση του διαγώνιου επιχειρήµατος) ότι το σύνολο των πραγµατικών αριθµών δεν µπορεί να υποστεί πανόµοια διαδικασία µε το σύνολο των φυσικών, οπότε το σύνολο τον πραγµατικών αριθµών δεν είναι αριθµήσιµο και µάλιστα είναι άπειρο αµέσως µεγαλύτερο από εκείνο των φυσικών. Αυτά τα δύο θεωρήµατα οδήγησαν στην παραδοχή της ύπαρξης δύο ειδών απείρου, του αριθµήσιµου ℵ 0 και του πρώτου µη αριθµήσιµο απείρου ℵ 1. Ο Cantor περνά την υπόλοιπη µαθηµατική του ζωή προσπαθώντας να αποδείξει την περίφηµη «Υπόθεση του Συνεχούς», δηλαδή ότι δεν υπάρχει κάποιο τρίτο είδος απείρου που να ιεραρχείται ανάµεσα στα δύο, χωρίς όµως να το καταφέρει (ο Cohen απέδειξε το 1963, ότι δεν µπορεί να αποδειχθεί η «Υπόθεση του Συνεχούς», ούτε όµως και η άρνησή της στο υπάρχον αξιωµατικό σύστηµα της θεωρίας συνόλων). Ο Cantor υπέφερε από σοβαρά ψυχικά νοσήµατα και νοσηλεύθηκε για µακρά χρονικά διαστήµατα µε τη διάγνωση της µελαγχολίας, προβλήµατα που µπορούν να αποδοθούν στην πολεµική που δέχθηκε η θεωρία συνόλων από µέρος της µαθηµατικής κοινότητας. Ο Cantor ήταν ο πρώτος που κοίταξε το άπειρο κατάµατα, δεν ήταν όµως ο πρώτος που ασχολήθηκε µε αυτό. Πρέπει να ταξιδέψουµε για λίγο πίσω στο χρόνο να συναντήσουµε τους Αρχαίους Έλληνες µαθηµατικούς και φιλοσόφους που ασχολήθηκαν πρώτοι µε το άπειρο. (Ελένη-Ναταλία-Ρένα: Αναξίµανδρος ο Μιλήσιος: επίκεντρο της φιλοσοφίας του ήταν το άπειρο, για το οποίο δίνει δυο ορισµούς: α+πέρας: δίχως τέλος α+περάω: αδιαπέραστο. Με αυτές τις έννοιες υπογραµµίζει ότι το άπειρο είναι στοιχείο «άφθαρτο, αγέννητο και αθάνατο». Είναι το βασικό κοσµικό στοιχείο.
4 Πυθαγόρειοι (6 ος αιώνας): Για του Πυθαγόρειους το άπειρο είναι ακατανόητο, αόριστο, χωρίς την αρµονία και την οµορφιά που περιέβαλε τον κόσµο, τον οποίο οι Πυθαγόρειοι ερµήνευσαν πάνω στην αφηρηµένη έννοια του αριθµού. Ανακάλυψαν την ασυµµετρία, δηλαδή ότι υπάρχουν γεωµετρικά µεγέθη αποτελούµενα από απείρως µικρά τµήµατα των οποίων ο αριθµός είναι άπειρος. Η ανακάλυψη αυτή οδηγεί στη διάλυση της σχολής των Πυθαγορείων. Ατοµικοί Φιλόσοφοι: πίστευαν ότι η ύλη αποτελείται από αδιάσπαστα, άφθαρτα, αόρατα στοιχεία, τα άτοµα, τα οποία γεννήθηκαν τυχαία, έλκονται και σχηµατίζουν νέους κόσµους. Υποστήριζαν ότι στον κόσµο µας δεν υπάρχει ένα είδος απείρου, και ότι από ένα σύνολο απείρου µπορεί να απορρέει ένα ή και περισσότερα σύνολα απείρων. Τέλος, πίστευαν πως ένα τµήµα του σύµπαντος το οποίο είναι άπειρο, είναι άδειο και αραιό, ενώ το άλλο είναι γεµάτο και στερεό. Συµπεραίνουµε από αυτό, πως θεωρούσαν ότι το άπειρο µπορεί να διαιρεθεί. Ζήνων ο Ελεάτης: Με τα περίφηµα παράδοξα (το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας, το παράδοξο της διχοτοµίας, του βέλους και του σταδίου) αποκάλυψε τη σύγκρουση ανάµεσα στο συνεχές και το διακριτό. Ο Ζήνωνας, ως µαθητής του Παρµενίδη, δίδασκε πως η κίνηση είναι φαινοµενική, εκφράζοντας τη αντίληψη ότι ο χώρος στην πραγµατικότητα δεν αποτελείται από σηµεία. Θεωρούσε λοιπόν το χώρο ως µη διαιρέσιµο όλον, το οποίο δεν µπορεί να διασπασθεί σε µέρη. Αριστοτέλης: Ο Αριστοτέλης έθεσε το ερώτηµα αν υπάρχει άπειρο, τι είναι και τι ακριβώς σηµαίνει. Έθεσε κάποιες υποχρεωτικές παραδοχές: Α. ο χρόνος δεν έχει τέλος, είναι άπειρος Β. υπάρχουν άπειροι τρόποι τοµής τµηµάτων, άπειρες φορές Γ. η γέννηση και η φθορά υπήρχαν, υπάρχουν και θα υπάρχουν στο µέλλον, δηλαδή στο άπειρο. όλα τα πράγµατα στον κόσµο οριοθετούνται από άλλα µεγαλύτερα πράγµατα, όµως οι φορές οριοθέτησης είναι άπειρες Ε. η σκέψη του ανθρώπινου νου είναι απεριόριστη άρα και οι εφευρέσεις είναι άπειρες αέναες. Αυτό που είναι αδύνατο για τον Αριστοτέλη είναι η θεώρηση αντικειµένων απείρων διαστάσεων, άπειρα αντικείµενα δεν υπάρχουν. Άπειρες ολότητες αντικειµένων µπορούν αν εξετασθούν µόνο εσωτερικά, πράγµα που σηµαίνει ότι για τον Αριστοτέλη έχει νόηµα µόνο η δυνητική σπουδή του απείρου, ενώ το πραγµατικό άπειρο, σαν αντικείµενο, είναι αποτέλεσµα νοητικού άλµατος, που είναι µια διαδικασία µη επιτρεπτή. Το σύµπαν δεν περιέχει άπειρα αντικείµενα, ο άνθρωπος δε µπορεί να τελειώσει καµία άπειρη διαδικασία. Νόηµα έχει µόνο η δυνητική σπουδή του απείρου. Το νοητικό άλµα της αντικειµενοποίησης του απείρου (ενεργεία άπειρο) είναι, από την ίδια τη φύση των πραγµάτων, µια διαδικασία µη επιτρεπτή Εύδοξος :Ο Εύδοξος γεννήθηκε το 408 π.χ. στη Μικρά Ασία. Όταν πήγε στην Αθήνα ήρθε σε επαφή µε τον Πλάτωνα και έγινε µαθητής του. Εισήγαγε για πρώτη φορά την έννοια του µεγέθους (ευθύγραµµα τµήµατα, εµβαδά κλπ.). Από τα πιο σπουδαία έργα του είναι η γενική θεωρία των λόγων, µια γεωµετρική θεωρία που έκανε µη αναγκαία την αναφορά σε σύµµετρα και ασύµµετρα µεγέθη.
5 Αρχιµήδης: Γεννήθηκε στις Συρακούσες το 87 π.χ. Τα µεγαλύτερα επιτεύγµατά του στον κόσµο των µαθηµατικών ανήκουν στον ολοκληρωτικό λογισµό. Επίσης ασχολήθηκε µε τα θεωρήµατα των εµβαδών επίπεδων σχηµάτων και τους όγκους στερεών σχηµάτων. Γύρω στο 5 π.χ. πραγµατοποίησε τον τετραγωνισµό της παραβολής. Επόµενος σταθµός του ταξιδιού του το 1900, είναι το Παρίσι, όπου παραβρίσκεται στο Παγκόσµιο Συνέδριο, τη σπουδαιότερη σύναξη µαθηµατικών στον κόσµο. Όλοι οι νέοι ήρωες του Russell είναι εκεί (ο Klein, ο Dedekind, o Poincaré και βέβαια ο Hilbert). (Πασχάλης: Ο David Hilbert γεννήθηκε το 186 στη Γερµανία. Υπήρξε µαθηµατικός και ασχολήθηκε ιδιαίτερα µε το άπειρο. Θα παρουσιάσουµε το παράδοξο του «άπειρου ξενοδοχείου». Είναι µια καταπληκτική ιστορία που αποδίδεται στον Hilbert (δεν αναφέρεται όµως σε κανένα από τα συγγράµµατά του). Συνοπτικά, η ιστορία αναφέρεται σε ένα ξενοδοχείο µε άπειρο αριθµό δωµατίων το οποίο είναι γεµάτο. Ενώ µοιάζει να µην χωράνε άλλοι επισκέπτες, εµφανίζονται στο ξενοδοχείο καταρχήν ένας νέος επισκέπτης και στη συνέχεια πούλµαν µε άπειρους επισκέπτες. Το ερώτηµα είναι πώς, αν βέβαια είναι δυνατόν, θα χωρέσουν όλοι οι επισκέπτες στο ξενοδοχείο. Για να φιλοξενηθεί ο ένας νέος επισκέπτης, αρκεί να µετακινηθούν όλοι στο διπλανό δωµάτιο( ο άνθρωπος από το δωµάτιο 1 να πάει στο, αυτός από το να πάει στο 3 και κ.λ.π). Στη συνέχεια, για να φιλοξενηθούν άπειροι επισκέπτες, αρκεί ο άνθρωπος από το δωµάτιο να πάει στο 4,και αυτός από το 3 να πάει στο 6 και τελικά να µετακινηθεί ο άνθρωπος από το ν- οστό δωµάτιο και να πάει στο δωµάτιο µε αριθµό ν. Το πρώτο video που θα παρακολουθήσουµε εξηγεί αναλυτικά τα παραπάνω και το δεύτερο είναι ένα δείγµα από τη δική µας.πάλη µε τα απειροσύνολα.) Στο Παρίσι, λοιπόν, ο Ράσελ βρίσκει και τον Whitehead µε τη σύζυγό του Evelyn, µε τον οποίο παρακολούθησαν τη διαµάχη µεταξύ Poincaré και Hilbert. Το αντικείµενο της διαµάχης ήταν η αξία της θεωρίας συνόλων και το αν αυτή θα έπαιζε ή όχι κεντρικό ρόλο στη θεµελίωση των Μαθηµατικών. Ο Poincaré θεωρεί τη θεωρία συνόλων ασθένεια (πίστευε µε πάθος στην ανθρώπινη διαίσθηση) ενώ ο Hilbert, φανατικός της αυστηρά ακριβόλογης µεθοδολογίας, πιστεύει ότι: «κανείς δεν θα µας διώξει από τον παράδεισο που δηµιούργησε µε τη θεωρία συνόλων ο Cantor για µας». Πίστευε ότι στα Μαθηµατικά "δεν υπάρχει ignorabimus", εµπνέοντας έτσι τον Russell να αντιµετωπίσει τα όχι και τόσο προφανή κατά τη γνώµη του αξιώµατα του Ευκλείδη. ΧΡΗΣΤΟΣ Ο Russell, ξανά στο Cambridge, στην προσπάθειά του να επιλύσει τα προβλήµατα των Θεµελίων (και να ξεπεράσει τον Ευκλείδη!!) µε το βιβλίο του "Αρχές των Μαθηµατικών", ασχολήθηκε µε τα σύνολα και ανακάλυψε ένα παράδοξο. ( ανάη: το περίφηµο ποια παράδοξο του Russell είναι το εξής: το σύνολο των συνόλων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους, περιέχει τον εαυτό του; Αν ναι, τότε δεν τον περιέχει. Αν όχι, τότε τον περιέχει. Είναι ένα παράδοξο παρόµοιο µε εκείνο του κουρέα: όποιος δεν ξυρίζεται µόνος του, τον ξυρίζει ο κουρέας. Ποιος ξυρίζει τον κουρέα;) Κάποιοι είδαν το παραπάνω παράδοξο µε χαρά (όπως ο
6 Poincaré και ο Cantor), άλλοι δεν χάρηκαν και τόσο µε την ανακάλυψή του (Peano, Hilbert, Frege). O Russell, για να αντιµετωπίσει το «πρόβληµα» που δηµιούργησε, αποφασίζει να γράψει ένα έργο µε τον Whitehead, τo «Principia Mathematica» µε το οποίο θα «ξαναέχτιζαν τη Λογική από το µηδέν». ούλεψαν σκληρά σχεδόν για δέκα χρόνια όµως δεν κατάφεραν τίποτα. Ούτε η µετακόµιση στο σπίτι των Whitehead διευκόλυνε την κατάσταση, καθώς οι προστριβές και οι αντιθέσεις στις απόψεις των δυο θεµελιωτών ήταν πολλές. Βρίσκουν µάλιστα απόλυτο εκφραστή του επιχειρήµατός τους τις αναΐδες, καταδικασµένες σε ένα ανώφελο έργο χωρίς τέλος. Αποφασίζουν λοιπόν να εκδώσουν την ανύπαρκτη σχεδόν πρόοδό τους, µε τους εκδότες να συµφωνούν στο εγχείρηµα αυτό, µε την προϋπόθεση της κάλυψης των εξόδων έκδοσης από τους ίδιους τους συγγραφείς. Κύριο και απόλυτα βάσιµο ήταν το επιχείρηµά τους, πως κανείς δε θα αγόραζε το βιβλίο εφόσον κανείς δε θα δεχόταν να το διαβάσει επί πληρωµή. ΑΓΓΕΛΟΣ Με το κλείσιµο του κεφαλαίου των Principia στη ζωή του Russell, η πραγµατικότητα εισβάλλει ορµητικά. Έχει ήδη χωρίσει την γυναίκα του η οποία είναι έγκλειστη σε ιδρύµατα, ενώ έχει οµολογήσει τον έρωτά του στην Evelyn Whitehead, γυναίκα του φίλου του. Την περίοδο που ακολουθεί, γνωρίζει τον Ludwig Wittgenstein, ο οποίος απευθύνεται στο Russell για να τον διδάξει τη Λογική. Επιθυµούσε διακαώς τη στήριξη των θεµελίων της Λογικής, αποκλείοντας εντελώς την παρεµβολή παραγόντων εµπειρικών, της έννοιας του συνόλου σε επίπεδο µη πεπερασµένο, και φυσικά της έννοιας του απείρου, ερχόµενος σε απόλυτη αντίθεση µε τις απόψεις του Russell, ο οποίος νιώθει τελικά όλο του το έργο να καταρρέει. Ο παραλίγο θάνατος της Evelyn, έγινε αφορµή για ένα µεγάλο άνοιγµα προς τη ζωή. Ο πόλεµος άλλωστε ήταν προ των πυλών, µε τον οξύ εθνικισµό να διασχίζει ταχύτατα τη Μάγχη. Στις 4 Αυγούστου του 1914 η Αγγλία κηρύσσει τον πόλεµο στη Γερµανία, ο µικρός γιός Whitehead και ο Wittgenstein κατατάσσονται στο στρατό, και ο ίδιος φυλακίζεται εξαιτίας ενός ειρηνευτικού άρθρου του. ΒΑΣΙΛΗΣ Μετά τον πόλεµο, επικρατεί το χάος. Οι άνθρωποι αποτινάσσουν το ζυγό των παλιών αξιών καθώς θεωρούν πως αυτές τους οδήγησαν στον πόλεµο. Το έργο του Wittgenstein, αρχίζει να γίνεται όλο και πιο γνωστό, ενώ ο ίδιος αποσύρεται για να ασχοληθεί µε την διδασκαλία, µονοπάτι που ακολούθησε και ο Russell µε τη νέα γυναίκα του, µε την οποία απέκτησε και ένα γιό. Καθώς όµως ο πρώτος είναι πολύ αυστηρός και ο δεύτερος πολύ προοδευτικός, αποτυγχάνουν και οι δύο. Εν τω µεταξύ, στη Βιέννη ο Russell συναντά τον Gödel, τον µοναδικό αναγνώστη των Principia, ο οποίος παρατηρεί ότι τα Principia στηρίζονται στο αξίωµα ότι: το αληθινό είναι και αποδείξιµο (στα Μαθηµατικά, βλέπετε, δεν υπάρχει ignorabimus). Έτσι, ο Russell δεν καταφέρνει να ξεπεράσει τον Ευκλείδη, και ο Gödel µε το περίφηµο θεώρηµα της µη πληρότητας, αποδεικνύει ότι πάντα θα υπάρχουν κάποιες ερωτήσεις που δεν θα απαντηθούν. Τετέλεσται Ήταν το τέλος ενός ονείρου που είχε θεολογική καταγωγή, και το πιστεύω του είχε γραφτεί στα ελληνικά πριν είκοσι τρείς αιώνες. (ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ-ΟΡΕΣΤΗΣ διαβάζουν τις σελίδες 95 (Μας φώναξες )-96-97)
Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα
[ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή
Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Καθηγητή Χάρη Βάρβογλη 1 / 6 Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΚΟΡΙΤΣΙ ΜΕ ΤΑ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ ΤΟΥ JOSTEIN GAARDER
ΤΟ ΚΟΡΙΤΣΙ ΜΕ ΤΑ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ ΤΟΥ JOSTEIN GAARDER 1 Α Ομάδα «Κάθεσαι καλά, Γκέοργκ; Καλύτερα να καθίσεις, γιατί σκοπεύω να σου διηγηθώ μια ιστορία για γερά νεύρα». Με αυτόν τον τρόπο ο συγγραφέας του βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου Το κορίτσι με τα πορτοκάλια Του Γιοστέιν Γκάαρντερ Λογοτεχνικό ανάγνωσμα Χριστουγέννων 2014-2015
Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου Το κορίτσι με τα πορτοκάλια Του Γιοστέιν Γκάαρντερ Λογοτεχνικό ανάγνωσμα Χριστουγέννων 2014-2015 Δημητριάννα Σκουρτσή Γ2 Σχολικό έτος 2014-15 Τάξη Γ Γυμνασίου Λογοτεχνικό Εξωσχολικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Η Κλασική Μηχανική σηµματοδοτεί την πρώτη µμεγάλη επανάσταση της ανθρώπινης σκέ- ψης στην πορεία της για την ερµμηνεία
Διαβάστε περισσότεραΜη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση
Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα
Διαβάστε περισσότεραΟι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα
Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν
Διαβάστε περισσότεραΔελτίο Τύπου του Μορφωτικού Ιδρύματος της ΕΣΗΕΑ για την παρουσίαση του βιβλίου του Κώστα Δούκα
Ημερομηνία Ανάρτησης: 21/05/2015 Δελτίο Τύπου του Μορφωτικού Ιδρύματος της ΕΣΗΕΑ για την παρουσίαση του βιβλίου του Κώστα Δούκα ΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΤΗΣ ΕΣΗΕΑ ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΤΟΥ ΚΩΣΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΗ εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης
Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές
Διαβάστε περισσότεραΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ
http://hallofpeople.com/gr/bio/aquinas.php ΘΩΜΑΣ ΑΚΙΝΑΤΗΣ Ο μεγαλύτερος και σπουδαιότερος φιλόσοφος του δευτέρου μισού του Μεσαίωνα ήταν ο Θωμάς ο Ακινάτης, που έζησε από το 1225 ως το 1274. Υπήρξε ο σημαντικότερος
Διαβάστε περισσότεραΧάρτινη αγκαλιά. Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου, Β Γυμνασίου
Χάρτινη αγκαλιά Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου, Β Γυμνασίου Εργασίες 1 α ) Κατά τη γνώμη μου, το βιβλίο που διαβάσαμε κρύβει στις σελίδες του βαθιά και πολύ σημαντικά μηνύματα, που η συγγραφέας θέλει να μεταδώσει
Διαβάστε περισσότερα«Το κορίτσι με τα πορτοκάλια»
«Το κορίτσι με τα πορτοκάλια» «Κάθεσαι καλά, Γκέοργκ; Καλύτερα να καθίσεις, γιατί σκοπεύω να σου διηγηθώ μια ιστορία για γερά νεύρα». Με αυτόν τον τρόπο ο συγγραφέας του βιβλίου αρχίζει να ξετυλίγει το
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Αρχών Φιλοσοφίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000
Θέµα Α1 Θέµατα Αρχών Φιλοσοφίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 Α.1.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα ονόµατα των φιλοσόφων (στήλη Α) και δίπλα την έννοια (στήλη Β) που συνδέεται µε τον καθένα: Α
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Αρχών Φιλοσοφίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000
Θέµατα Αρχών Φιλοσοφίας Θεωρητικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 2000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµα Α1 Α.1.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα ονόµατα των φιλοσόφων (στήλη Α) και δίπλα την έννοια (στήλη Β) που συνδέεται µε τον
Διαβάστε περισσότεραΗ φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους
Η φύση των Μαθηματικών: ο ρόλος και η επιρροή τους Οι αντιλήψεις για τη φύση και το ρόλο των μαθηματικών που υπάρχουν στην κοινωνία μας έχουν μια σημαντική επίδραση στην ανάπτυξη των προγραμμάτων των σχολικών
Διαβάστε περισσότεραΠερί της Ταξινόμησης των Ειδών
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης
Διαβάστε περισσότεραΛέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο
Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία
Διαβάστε περισσότεραΗ ΤΑΞΗ ΩΣ «ΛΕΣΧΗ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ» «ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ»
Η ΤΑΞΗ ΩΣ «ΛΕΣΧΗ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ» «ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ» Στόχοι: Η καλλιέργεια της φιλαναγνωσίας, η ανάπτυξη, δηλαδή, μέσα στην τάξη-λογοτεχνικό εργαστήρι εσωτερικών κινήτρων, ώστε να εδραιωθεί μια σταθερότερη
Διαβάστε περισσότεραΕλισάβετ Μουτζάν-Μαρτινέγκου, Αυτοβιογραφία
Ελισάβετ Μουτζάν-Μαρτινέγκου, Αυτοβιογραφία Ποιά ηρωικά χαρακτηριστικά έχει η ηρωίδα κατά τη γνώμη σας; Κατά τη γνώμη μου και μόνο που χαρακτηρίζουμε την Ελισάβετ Μουτζάν Μαρτινέγκου ηρωίδα δείχνει ότι
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Τερζίδης: Δεν υπάρχει το συναίσθημα της αυτοθυσίας αν μιλάμε για πραγματικά όνειρα
Χρήστος Τερζίδης: Δεν υπάρχει το συναίσθημα της αυτοθυσίας αν μιλάμε για πραγματικά όνειρα 21/04/2015 Το φως της λάμπας πάνω στο τραπέζι αχνοφέγγει για να βρίσκουν οι λέξεις πιο εύκολα το δρόμο τους μέσα
Διαβάστε περισσότεραΘεοφανία Ανδρονίκου Βασιλάκη: "Θέλω κάποια στιγμή να γράψω ένα μυθιστόρημα που να έχει όλα τα είδη"
Θεοφανία Ανδρονίκου Βασιλάκη: "Θέλω κάποια στιγμή να γράψω ένα μυθιστόρημα που να έχει όλα τα είδη" Στο βιβλίο χρησιμοποιείτε πολυπρόσωπες αφηγήσεις μέσα στην κεντρική πλοκή ώστε να μιλήσετε για την ίδια
Διαβάστε περισσότεραιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36
ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr
Διαβάστε περισσότεραA READER LIVES A THOUSAND LIVES BEFORE HE DIES.
A READER LIVES A THOUSAND LIVES BEFORE HE DIES. 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα
Διαβάστε περισσότεραΜάνος Κοντολέων : «Ζω γράφοντας και γράφω ζώντας» Πέμπτη, 23 Μάρτιος :11
Μάνος Κοντολέων : «Ζω γράφοντας και γράφω ζώντας» Πέμπτη, 23 Μάρτιος 2017-11:11 Από τη Μαίρη Γκαζιάνη Ο ΜΑΝΟΣ ΚΟΝΤΟΛΕΩΝ γεννήθηκε στην Αθήνα και σπούδασε Φυσική στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Έχει γράψει περίπου
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΤΙΝΗ ΑΓΚΑΛΙΑ ΟΜΑΔΑ Β. Ερώτηση 1 α
ΧΑΡΤΙΝΗ ΑΓΚΑΛΙΑ ΟΜΑΔΑ Β Ερώτηση 1 α Το βιβλίο με τίτλο «Χάρτινη Αγκαλιά», της Ιφιγένειας Μαστρογιάννη, περιγράφει την ιστορία ενός κοριτσιού, της Θάλειας, η οποία αντιμετωπίζει προβλήματα υγείας. Φεύγει
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 20.05.14 Χ. Χαραλάμπους 1 2 Απειροσειρές Περιεχόμενα Πρώτη περιγραφή του απειροστικού λογισμού Οι βασικές ιδέες του λογισμού του Newotn έχουν να κάνουν με κίνηση. Θεωρεί ότι οι ποσότητες-μεταβλητές
Διαβάστε περισσότερα«Η απίστευτη αποκάλυψη του Σεμπάστιαν Μοντεφιόρε»
«Η απίστευτη αποκάλυψη του Σεμπάστιαν Μοντεφιόρε» της Άννας Κουππάνου Στις σελίδες που ακολουθούν υπάρχουν δραστηριότητες σχετικά με το βιβλίο: «Η απίστευτη αποκάλυψη του Σεμπάστιαν Μοντεφιόρε» Οι δραστηριότητες
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΟΝΕΙΡΟ ΚΑΙ ΤΟ Σ ΑΓΑΠΑΩ
ΤΟ ΟΝΕΙΡΟ ΚΑΙ ΤΟ Σ ΑΓΑΠΑΩ (Αόρατος) ΑΦΗΓΗΤΗΣ: Κάποτε στη γη γεννήθηκε το Όνειρο. Το όνομά του δεν ήταν έτσι, όμως επειδή συνεχώς ονειρευόταν, όλοι το φώναζαν Όνειρο. Δεν ήταν κάτι το σπουδαίο, ήταν σαν
Διαβάστε περισσότεραΜαρούλα Κλιάφα Μελίνα Κ Γεράσιμος Κ.: Μάριος Κ.
Την Παρασκευή, 15 Δεκεμβρίου 2017, η συγγραφέας Μαρούλα Κλιάφα επισκέφτηκε το σχολείο μας και συναντήθηκε με τους μαθητές και τις μαθήτριες του Α2, Β1, Β5. Οι μαθητές/ριες του Α2 ασχολήθηκαν στο πλαίσιο
Διαβάστε περισσότεραβ) Αν είχες τη δυνατότητα να «φτιάξεις» εσύ έναν ιδανικό κόσμο, πώς θα ήταν αυτός;
1 α) H πραγματική ζωή κρύβει χαρά, αγάπη, στόχους, όνειρα, έρωτα, αλλά και πόνο, απογοήτευση, πίκρες, αγώνα. αν λείπουν όλα αυτά τα συναισθήματα και οι ανατροπές, αν χαθεί η καρδιά και η ψυχή, η ελευθερία,
Διαβάστε περισσότερατι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές;
ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΑΛΗΘΕΙΑ; τι είναι αυτό που κάνει κάτι αληθές; τι κριτήρια έχουμε, για να κρίνουμε πότε κάτι είναι αληθές; ποια είναι η σχέση των πεποιθήσεών μας με την πραγματικότητα, για να είναι αληθείς και
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια
Διαβάστε περισσότεραΑρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα»
Αρχές Φιλοσοφίας Β Λυκείου Τράπεζα Θεμάτων: 2 ο κεφάλαιο «Κατανοώντας τα πράγματα» Α] Ασκήσεις κλειστού τύπου (Σωστό Λάθος) Για τον Πλάτωνα οι καθολικές έννοιες, τα «καθόλου», δεν είναι πράγματα ξεχωριστά
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012
Εαρινό εξάμηνο 2012 03.05.12 Χ. Χαραλάμπους 1 2 υωνυμικό Θεώρημα (o Newton κατέληξε στο δυωνυμικό θεώρημα από ένα πρόβλημα τετραγωνισμού!) Άπειρη σειρά: Σύγκλιση? Γιατί το Δυωνυμικό Θεώρημα θεωρείται
Διαβάστε περισσότεραΤο κορίτσι με τα πορτοκάλια. Εργασία Χριστουγέννων στο μάθημα της Λογοτεχνίας. [Σεμίραμις Αμπατζόγλου] [Γ'1 Γυμνασίου]
Το κορίτσι με τα πορτοκάλια Εργασία Χριστουγέννων στο μάθημα της Λογοτεχνίας [Σεμίραμις Αμπατζόγλου] [Γ'1 Γυμνασίου] Εργασία Χριστουγέννων στο μάθημα της Λογοτεχνίας: Σεμίραμις Αμπατζόγλου Τάξη: Γ'1 Γυμνασίου
Διαβάστε περισσότεραΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΑΝΥΠΑΡΞΙΑ
ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΑΝΥΠΑΡΞΙΑ Την έρευνα για τη φύση του την αρχίζει ο άνθρωπος θέτοντας στον εαυτό του την ερώτηση: «Ποιός είμαι; Τι είμαι;» Στην πορεία της αναζήτησης για την απάντηση, η ερώτηση διαφοροποιείται
Διαβάστε περισσότεραΠένυ Παπαδάκη: «Οι άνθρωποι που αγαπούν το βιβλίο δεν επηρεάζονται από την κρίση» ΘΑΝΑΣΗΣ ΞΑΝΘΟΣ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017
Πένυ Παπαδάκη: «Οι άνθρωποι που αγαπούν το βιβλίο δεν επηρεάζονται από την κρίση» ΘΑΝΑΣΗΣ ΞΑΝΘΟΣ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΟΤΑΝ ΟΙ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ ΜΙΛΟΥΝ Η συγγραφέας Πένυ Παπαδάκη σε μια εποικοδομητική συνέντευξη στο
Διαβάστε περισσότεραΡένα Ρώσση-Ζαΐρη: Στόχος μου είναι να πείσω τους αναγνώστες μου να μην σκοτώσουν το μικρό παιδί που έχουν μέσα τους 11 May 2018
Ρένα Ρώσση-Ζαΐρη: Στόχος μου είναι να πείσω τους αναγνώστες μου να μην σκοτώσουν το μικρό παιδί που έχουν μέσα τους 11 May 2018 by Rena Mavridou Αγαπητή Ρένα Ρώσση-Ζαΐρη, πώς προέκυψε η συγγραφή στη ζωή
Διαβάστε περισσότεραΓνωριµία. ιακριτά Μαθηµατικά. Βιβλία Μαθήµατος. Επικοινωνία. ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης. Ωρες γραφείου (502, Γρ.
Γνωριµία ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη 26): ευτέρα
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 22.05.14 Χ. Χαραλάμπους Ο Argand (1768-1822) 1822) το 1814 δημοσίευσε μία απόδειξη του ΘΘΑ στην εργασία του Réflexions sur la nouvelle théorie d'analyse. Η απόδειξη του Argand βασιζόταν
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη
Διαβάστε περισσότεραΟ Νίκος Πιλάβιος μιλάει στην Μαίρη Γκαζιάνη για τον «Παραμυθά» των βιβλίων του Πέμπτη, 07 Ιούνιος :11
Ο Νίκος Πιλάβιος μιλάει στην Μαίρη Γκαζιάνη για τον «Παραμυθά» των βιβλίων του Πέμπτη, 07 Ιούνιος 2018-11:11 Από την Μαίρη Γκαζιάνη Είναι αδύνατον να μην γνωρίζει κάποιος τον «παραμυθά» Νίκο Πιλάβιο είτε
Διαβάστε περισσότεραΗ συγγραφέας Φανή Πανταζή μιλάει στο Infowoman.gr για το μεγαλείο της μητρικής αγάπης
ΣΧΕΣΕΙΣ Η συγγραφέας Φανή Πανταζή μιλάει στο Infowoman.gr για το μεγαλείο της μητρικής αγάπης 13 Μάϊου 2018 ΗΓιορτή της Μητέρας πλησιάζει (13 Μαΐου) και το Infowoman.gr θέλει να τιμήσει όλες εκείνες τις
Διαβάστε περισσότεραinvariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der
Κουλακίδου Π. Ιστορία των Μαθηματικών Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Χ. Χαραλάμπους Εισαγωγή David Hilbert (1862 Königsberg - 1943 Göttingen). Διδακτορικό το 1885 υπό την επίβλεψη του Ferdinand von Lindemann με
Διαβάστε περισσότερα«Δεν είναι ο άνθρωπος που σταματάει το χρόνο, είναι ο χρόνος που σταματάει τον άνθρωπο»
ΣΥΖΗΤΩΝΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΠΗΝΕΛΟΠΗ ΚΟΥΡΤΖΗ «Δεν είναι ο άνθρωπος που σταματάει το χρόνο, είναι ο χρόνος που σταματάει τον άνθρωπο» Ημερομηνία: 13 Μαρτίου 2019, 20:33 Κατηγορία: Βιβλίο, Συνεντεύξεις ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ
Διαβάστε περισσότεραΝΕΥΤΩΝΑΣ... Λίνα Παπαεμμανουήλ Μάνος Ορφανίδης Άννα Σαμαρά Στέφανος Τζούμας
ΝΕΥΤΩΝΑΣ... Λίνα Παπαεμμανουήλ Μάνος Ορφανίδης Άννα Σαμαρά Στέφανος Τζούμας Γνωρίζοντας τον Νεύτωνα... Ο Σερ Ισαάκ Νεύτων (Αγγλ. Sir Isaac Newton Σερ Άιζακ Νιούτον, 4 Ιανουαρίου 1643 31 Μαρτίου 1727) ήταν
Διαβάστε περισσότεραΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Στο πλαίσιο των εκδηλώσεων για τον εορτασµό των 15 χρόνων από την ίδρυση της Σχολής, ο Τοµέας Μαθηµατικών της ΣΕΜΦΕ διοργάνωσε στις 30 Απριλίου 2015 Ηµερίδα Μαθηµατικών
Διαβάστε περισσότεραΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής
ΗΥ 180 - Λογική Διδάσκων: Καθηγητής E-mail: dp@csd.uoc.gr Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα, Τετάρτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες φροντιστηρίου: Πέμπτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες γραφείου: Δευτέρα, Τετάρτη 2-4 μμ, Κ.307 Web site:
Διαβάστε περισσότεραΟ Στέφανος Δάνδολος έρχεται στη Θεσσαλονίκη με το νέο του βιβλίο
Typosthes.gr Τύπος Θεσσαλονίκης / Πολιτισμός GET RSS Ο συγγραφέας γράφει για την Ελλάδα της κρίσης μέσα από ένα μυθιστόρημα που εκτυλίσσεται τον 19ο αιώνα Ο Στέφανος Δάνδολος έρχεται στη Θεσσαλονίκη με
Διαβάστε περισσότεραΜουσική και Μαθηματικά!!!
Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,
Διαβάστε περισσότεραTeachers4europe «ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ»
2 ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΕΩΝ ΜΟΥΔΑΝΙΩΝ ΧΑΛΚΙΔΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : ΣΤΑΘΩΡΟΥ ΑΓΛΑΪΑ ΤΑΞΗ: Στ 1 ΜΑΘΗΤΕΣ: 20 Teachers4europe 2016-2017 «ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ» http://egnosi.wikispaces.com/ Το Στ 1 κατά το
Διαβάστε περισσότεραΓια αυτό τον μήνα έχουμε συνέντευξη από μία αγαπημένη και πολυγραφότατη συγγραφέα που την αγαπήσαμε μέσα από τα βιβλία της!
Κυριακή, 2 Ιουλίου 2017 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΟΥ ΜΗΝΑ: ΓΙΩΤΑ ΦΩΤΟΥ Για αυτό τον μήνα έχουμε συνέντευξη από μία αγαπημένη και πολυγραφότατη συγγραφέα που την αγαπήσαμε μέσα από τα βιβλία της! Πείτε μας λίγα λόγια
Διαβάστε περισσότερα5η ιδακτική Ενότητα ΠΩΣ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΣΗΜΕΡΑ Η ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
5η ιδακτική Ενότητα ΠΩΣ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΣΗΜΕΡΑ Η ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Εργασία για το σπίτι Ποιες ήταν οι βασικές αρχές της ηµοκρατίας που ίσχυσε στην Αρχαία Ελλάδα; (Στο τέλος του κεφαλαίου παραθέτουµε αποσπάσµατα από το
Διαβάστε περισσότεραΜΑΡΙΝΑ ΓΙΩΤΗ: «Η επιτυχία της Στιγμούλας, μου δίνει δύναμη να συνεχίσω και να σπρώχνω τα όριά μου κάθε φορά ακόμα παραπέρα»
Ημερομηνία 27/11/2015 Μέσο trikalakids.gr Συντάκτης Link http://www.trikalakids.gr/bookcorner/%ce%bc%ce%b1%cf%81%ce%b9%ce%bd %CE%B1-%CE%B3%CE%B9%CF%89%CF%84%CE%B7-%CE%B7- %CE%B5%CF%80%CE%B9%CF%84%CF%85%CF%87%CE%AF%CE%B1-
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις.
Α ομάδα ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα μηνύματα που θέλει να περάσει μέσα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σπύρου Ν. Πνευµατικού Καθηγητή Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών ΕΚ ΟΣΕΙΣ Γ. Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΥ 2005 Σ. Ν. Πνευµατικός Η αναπαραγωγή ολικά ή µερικά ή περιληπτικά, ή η αντιγραφή του
Διαβάστε περισσότερα. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).
. Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ
Διαβάστε περισσότεραΠαράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών
Παράδοξα στη Φιλοσοφία της Λογικής και των Μαθηματικών Αριστείδης Αραγεώργης Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 1. «Παράδοξο» και «λύση» παραδόξου
Διαβάστε περισσότεραΜύθοι. Τοπικοί μύθοι Η ανάγκη των ανθρώπων οδήγησε στη δημιουργία μύθων
Μύθοι Τοπικοί μύθοι Η ανάγκη των ανθρώπων οδήγησε στη δημιουργία μύθων Ορισμός : Προσπαθώντας να δώσουμε έναν ορισμό στο µζύθο µπορθούμε να πούμε ότι είναι µια φανταστική, πλαστή διήγηση µε στοιχεία συχνά
Διαβάστε περισσότεραΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΨΥΧΗΣ. Απόσπασμα από το βιβλίο Ενδυναμώνοντας την Ψυχή Μέσω του Διαλογισμού από τον Ρατζίντερ Σινγκ
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΨΥΧΗΣ Απόσπασμα από το βιβλίο Ενδυναμώνοντας την Ψυχή Μέσω του Διαλογισμού από τον Ρατζίντερ Σινγκ Μέσα μας υπάρχουν περισσότερα πλούτη απ ό,τι μπορούμε ποτέ να συσσωρεύσουμε σ αυτήν τη γη.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚ Η ΜΕΤΡΗΣΗ. By Teamcprojectphysics
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚ Η ΜΕΤΡΗΣΗ By Teamcprojectphysics ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κόσμος της Κβαντομηχανικής είναι περίεργος, γοητευτικός και μυστήριος. Η ονομασία όμως Κβαντομηχανική είναι αποκρουστική, βαρετή, μη ενδιαφέρουσα,
Διαβάστε περισσότεραΆρθρο του Σταμάτη Σουρμελή*
Άρθρο του Σταμάτη Σουρμελή* Το ζήτημα της αποτελεσματικής Διοίκησης - Ηγεσίας, απασχόλησε, απασχολεί και θα απασχολεί όλους εκείνους που επιδιώκουν την αποτελεσματικότητα, την προσωπική βελτίωση, την κοινωνική
Διαβάστε περισσότεραΑϊνστάιν. Η ζωή και το έργο του από τη γέννησή του έως το τέλος της ζωής του ΦΙΛΟΜΗΛΑ ΒΑΚΑΛΗ-ΣΥΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ. Εικόνες: Νίκος Μαρουλάκης
ΜΕΓΑΛΟΙ ΕΦΕΥΡΕΤΕΣ - ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΦΙΛΟΜΗΛΑ ΒΑΚΑΛΗ-ΣΥΡΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΥ Αϊνστάιν Η ζωή και το έργο του από τη γέννησή του έως το τέλος της ζωής του Εικόνες: Νίκος Μαρουλάκης Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1:...3 Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραGEORGE BERKELEY ( )
42 GEORGE BERKELEY (1685-1753) «Ο βασικός σκοπός του Berkeley δεν ήταν να αμφισβητήσει την ύπαρξη των εξωτερικών αντικειμένων, αλλά να υποστηρίξει την άποψη ότι τα πνεύματα ήταν τα μόνα ανεξάρτητα όντα,
Διαβάστε περισσότερα«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»
«ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΝ ε ο ε λ λ η ν ι κ ή ς Λ ο γ ο τ ε χ ν ί α ς. Θεματική ενότητα: «Οικουμενικές αξίες και Λογοτεχνία» ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
1 Σχολική Χρονιά 2012-2013 Κ ε ί μ ε ν α Ν ε ο ε λ λ η ν ι κ ή ς Λ ο γ ο τ ε χ ν ί α ς Θεματική ενότητα: «Οικουμενικές αξίες και Λογοτεχνία» ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Κείμενα προς συνανάγνωση συνεξέταση Έριχ Μαρία
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη
ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΝΔΥΝΑΜΩΜΕΝΗ ΨΥΧΗ. του Ρατζίντερ Σινγκ Απόσπασμα από το βιβλίο: «Διαλογισμός για την Ενδυνάμωση της Ψυχής σας»
Η ΕΝΔΥΝΑΜΩΜΕΝΗ ΨΥΧΗ του Ρατζίντερ Σινγκ Απόσπασμα από το βιβλίο: «Διαλογισμός για την Ενδυνάμωση της Ψυχής σας» Μέσα μας υπάρχουν περισσότερα πλούτη απ ό,τι μπορούμε ποτέ να συσσωρεύσουμε σ αυτή τη Γη.
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ.
2 ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ (Ι) ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ; Στο μάθημα «Κοινωνική Θεωρία της Γνώσης (I)» (όπως και στο (ΙΙ) που ακολουθεί) παρουσιάζονται
Διαβάστε περισσότεραΤο ψέμα είναι ένας εύκολος τρόπος να αποφύγεις την πραγματικότητα : συνέντευξη του Άγγελου Αγγέλου και της Έμης Σίνη στο elniplex
Το ψέμα είναι ένας εύκολος τρόπος να αποφύγεις την πραγματικότητα : συνέντευξη του Άγγελου Αγγέλου και της Έμης Σίνη στο elniplex Η Έμη Σίνη μεγάλωσε στη Ρόδο, σπούδασε πολιτικός μηχανικός στο Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΡένα Ρώσση-Ζαΐρη: «Στόχος μου είναι να μάθω στους αναγνώστες μου, ότι η αγάπη συλλαβίζεται»
Ρένα Ρώσση-Ζαΐρη: «Στόχος μου είναι να μάθω στους αναγνώστες μου, ότι η αγάπη συλλαβίζεται» 04.07.2016 19:42 Νατάσσα Βαφειάδου Με αφορμή τη αυριανή παρουσίαση του μυθιστορήματός της «Δύο φιλιά για την
Διαβάστε περισσότεραένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά για αξίες και συναισθήματα»
Ημερομηνία 8/4/2015 Μέσο Συντάκτης Link http://artpress.sundaybloody.com/ Βασίλης Κάργας http://goo.gl/di6ugf Μαρίνα Γιώτη, συγγραφέαςεικονογράφος : «Τα παραμύθια είναι ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά
Διαβάστε περισσότεραΟ Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.
Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε
Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f
Διαβάστε περισσότεραΚριτικη της Maria Kleanthous Kouzapa για το βιβλίο : " ΤΟ ΔΑΧΤΥΛΙΔΙ " του Γιώργου Παπαδόπουλου-Κυπραίου
Ημερομηνία 13/07/2015 Μέσο Συντάκτης Link http://vivliopareas.blogspot.gr/ Μαρία Κλεάνθους Κουζάπα http://vivliopareas.blogspot.gr/2015/07/maria-kleanthous-kouzapa_40.html Δευτέρα, 13 Ιουλίου 2015 Κριτικη
Διαβάστε περισσότεραβ) Αν είχες τη δυνατότητα να «φτιάξεις» εσύ έναν ιδανικό κόσμο, πώς θα ήταν αυτός;
1α) H πραγματική ζωή κρύβει χαρά, αγάπη, στόχους, όνειρα, έρωτα, αλλά και πόνο, απογοήτευση, πίκρες, αγώνα. Aν λείπουν όλα αυτά τα συναισθήματα και οι ανατροπές, αν χαθεί η καρδιά και η ψυχή, η ελευθερία,
Διαβάστε περισσότεραΈνα γόνιμο μέλλον. στο παρόν και πνευματικές ιδιότητες που εκδηλώνουν οι Έλληνες όταν κάνουν τα καλά τους έργα
1 Ένα γόνιμο μέλλον Ένα γόνιμο μέλλον χρειάζεται μια καλή συνείδηση στο παρόν και πνευματικές ιδιότητες που εκδηλώνουν οι Έλληνες όταν κάνουν τα καλά τους έργα Χρειαζόμαστε οι Έλληνες να συνδεθούμε πάλι
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΟδηγός για Εκπαιδευτικούς
Οδηγός για Εκπαιδευτικούς Οδηγός για Εκπαιδευτικούς Λίγα λόγια για το βιβλίο Τα 39 στοιχεία, που αναζητούν οι Κέιχιλ, υπόσχονται τεράστια εξουσία. Η Έιμι με τον αδελφό της, Νταν, διαπιστώνουν με έκπληξη
Διαβάστε περισσότεραΜπλεζ Πασκάλ. 2ο Γυμνάσιο Πειραιά Σίλο Κωνσταντίνος
Μπλεζ Πασκάλ 2ο Γυμνάσιο Πειραιά Σίλο Κωνσταντίνος Τα πρώτα χρόνια Γεννήθηκε στο Κλερμόν- Φεράν το 1623. Ο Μπλεζ Πασκάλ ήταν έναν παιδί θαύμα. Η μητέρα του πέθανε όταν ήταν τριών μόλις χρονών, και λίγο
Διαβάστε περισσότεραΣόφη Θεοδωρίδου: «Ζήσαμε και καλά χρόνια στη Μικρά Ασία με τους Τούρκους, πριν γίνουν όλα μαχαίρι και κρέας»
Τετάρτη, 04/10/2017 Συνεντεύξεις Σόφη Θεοδωρίδου: «Ζήσαμε και καλά χρόνια στη Μικρά Ασία με τους Τούρκους, πριν γίνουν όλα μαχαίρι και κρέας» «Η αρμονική συμβίωση των λαών είναι εφικτή.» «Έχω μάθει να
Διαβάστε περισσότεραΟι πραγµατικοί αριθµοί
Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών
Διαβάστε περισσότεραΛέσχη ανάγνωσης «Η ιστορία του γάτου που έμαθε σε ένα γλάρο να πετάει», Λουίς Σεπούλβεδα
Λέσχη ανάγνωσης «Η ιστορία του γάτου που έμαθε σε ένα γλάρο να πετάει», Λουίς Σεπούλβεδα Μικροί λογοτέχνες: Ολυμπιάδα Σωκράτους, Μαρία Κωστέα, Β5 Γυμνάσιο Αγίου Ιωάννη Χρυσοστόμου Σχολική χρονιά: 2012-2013
Διαβάστε περισσότερα«Πώς υφαίνεται ο χρόνος»: Ένα μυθιστόρημα για το παρελθόν που επιστρέφει και...
«Πώς υφαίνεται ο χρόνος»: Ένα μυθιστόρημα για το παρελθόν που επιστρέφει και... «Πώς υφαίνεται ο χρόνος»: Ένα μυθιστόρημα για το παρελθόν που επιστρέφει και κάθε γυναίκα πρέπει να διαβάσει 10 Απριλίου
Διαβάστε περισσότεραΜαρίνα Γιώτη, συγγραφέας-εικονογράφος «Τα παραμύθια είναι ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά για αξίες και συναισθήματα»
Ημερομηνία 8/4/2015 Μέσο Συντάκτης Link artpress.sundaybloody.com Βασίλης Κάργας http://artpress.sundaybloody.com/?it_books=%ce%bc%ce%b1%cf%81%ce%af%ce%bd%ce %B1-%CE%B3%CE%B9%CF%8E%CF%84%CE%B7- %CF%83%CF%85%CE%B3%CE%B3%CF%81%CE%B1%CF%86%CE%AD%CE%B1%CF%82-
Διαβάστε περισσότερα1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()
Διαβάστε περισσότεραΜεταξία Κράλλη! Ένα όνομα που γνωρίζουν όλοι οι αναγνώστες της ελληνικής λογοτεχνίας, ωστόσο, κανείς δεν ξέρει ποια
Δευτέρα, Ιουνίου 16, 2014 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΞΙΑΣ ΚΡΑΛΛΗ Η Μεταξία Κράλλη είναι ένα από τα δημοφιλέστερα πρόσωπα της σύγχρονης ελληνικής λογοτεχνίας. Μετά την κυκλοφορία του πρώτου της βιβλίου, "Μια φορά
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΟδηγός διαφοροποίησης για την πρωτοβάθµια
Οδηγός διαφοροποίησης για την πρωτοβάθµια Γιατί χρειάζεται να κάνουµε τόσο ειδική διαφοροποίηση; Τα παιδιά που βρίσκονται στο φάσµα του αυτισµού έχουν διαφορετικό τρόπο σκέψης και αντίληψης για τον κόσµο,
Διαβάστε περισσότερα«ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ»
«ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ» ΤΑΞΗ Γ1 2 ο Δ Σ ΓΕΡΑΚΑ ΔΑΣΚ:Αθ.Κέλλη ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κατά τη διάρκεια της περσινής σχολικής χρονιάς η τάξη μας ασχολήθηκε με την ανάγνωση και επεξεργασία λογοτεχνικών βιβλίων
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Επιστημολογίας. Ρένια Γασπαράτου
Ρένια Γασπαράτου Στο σημερινό μάθημα: λίγη ιστορία της φιλοσοφίας (&) της επιστήμης ο παραδοσιακός ορισμός της γνώσης Οι απαρχές της φιλοσοφίας & της επιστήμης Ιωνία, 7ος-6ος αι. π.χ. Προ-σωκρατικοί (Θαλής,
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΒΔΗΡΩΝ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΒΔΗΡΩΝ Τμήμα Α1 Ομάδα 1 Γούλα Χρυσούλα Δέλλιου Ευγενία Γκλατκίχ Γιάννης Μακράκης Παναγιώτης Εμίν Ογλού Εμίν ΑΡΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Πυθαγόρας ο Σάμιος (580-500 π.χ.) Ιπποκράτης ο Χίος
Διαβάστε περισσότεραΚάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.
Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑφροδίτη Βακάλη: «Σε όλες τις εποχές ο δρόμος της συγγραφής ήταν και είναι μοναχικός»
Αφροδίτη Βακάλη: «Σε όλες τις εποχές ο δρόμος της συγγραφής ήταν και είναι μοναχικός» Η Αφροδίτη Βακάλη γεννήθηκε στην Αθήνα το 1965 και είναι εκπαιδευτικός. Σπούδασε Αγγλική Φιλολογία στο Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότερα