Με διεθνή σύμβαση το 1961, καθιερώθηκε ότι 1 amu (atomic mass unit) είναι το 1/12 της μάζας του ουδέτερου ατόμου του άνθρακα 12 C, επομένως:

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΑΤΟΜΙΚΟΣ ΠΥΡΗΝΑΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ο πυρήνας του ατόμου αποτελείται από πρωτόνια και νετρόνια, τα νουκλεόνια που είναι φερμιόνια με σπιν ½, όπως και τα λεπτόνια. Η μάζα του νετρονίου είναι 0.14% μεγαλύτερη αυτής του πρωτονίου : M n = MeV/c = amu M p = MeV/c = amu Διαφορά μαζών είναι M n M p = 1.9 MeV/c (~ μάζες ηλεκτρονίου) Με διεθνή σύμβαση το 1961, καθιερώθηκε ότι 1 amu (atomic mass unit) είναι το 1/1 της μάζας του ουδέτερου ατόμου του άνθρακα 1 C, επομένως: Μ(1, 6) = amu Επομένως 1 Mole (0.01 kg) του 1 C θα είναι: 0.01 kg = N A x 1 amu, N A = αριθμός Avogadro 1 amu = (0.001/N A ) kg = x 10-7 kg = MeV/c. Ελαφροί πυρήνες περιέχουν σχεδόν ίδιο αριθμό πρωτονίων με τον αριθμό των νετρονίων. Σε βαρείς πυρήνες τα νετρόνια υπερέχουν των πρωτονίων, με αποτέλεσμα να μην έχουν εντελώς σφαιρικό σχήμα, όπως φαίνεται στο σχήμα 5. Σχήμα 5 : Μέγεθος και σχήμα πυρήνων 16 Ο και 38 U, ανάλογα με τον αριθμό των νουκλεονίων _Atomikos_Pyrhnas.doc 14

2 Όλα τα άτομα με τον ίδιο ατομικό αριθμό, δηλ. ίδιο πυρηνικό φορτίο, ανήκουν στο ίδιο στοιχείο. Άτομα του ίδιου ατομικού αριθμού αλλά διαφορετικού μαζικού αριθμού καλούνται ισότοπα ενός στοιχείου. Προφανώς τα ισότοπα ενός στοιχείου διαφέρουν μεταξύ τους ως προς τον αριθμό νετρονίων που έχουν στον πυρήνα. Για να προσδιορίσουμε τη μάζα ενός πυρήνα, χρησιμοποιούμε τη σχέση: B = + + (.0) M ZM p NMn Zme c Όπου Β = πυρηνική ενέργεια σύνδεσης Ακριβείς τιμές των ατομικών μαζών μετρούνται με τον φασματογράφο μάζας, σχήμα 6 Σχήμα 6 : Αρχή φασματογράφου μάζας Ιονισμένα άτομα επιταχύνονται ηλεκτρικά μέσω γνωστής διαφοράς δυναμικού και αποκλίνουν σε ένα κυκλικό τόξο εξ αιτίας γνωστού μαγνητικού πεδίου. Η ακτίνα καμπυλότητας του μαγνητικού πεδίου καθορίζει τον λόγο e/m, ακριβώς με τον ίδιο τρόπο που στο πείραμα του Thomson μετρείται ο λόγος e/m για ηλεκτρόνια. Εφόσον το φορτίο e είναι γνωστό, βρίσκεται η μάζα Μ του ιόντος που εύκολα διορθώνεται σε μάζα Μ του ουδέτερου ατόμου. Μια μέση τιμή της ενέργειας σύνδεσης σε ένα πλαίσιο 10% για τους περισσότερους πυρήνες είναι: Β (8 MeV) A B/c = (0.008 amu) A _Atomikos_Pyrhnas.doc 15

3 Παράδειγμα : Ποιά είναι η ενέργεια σύνδεσης του 1 C ; B Από M = ZM p + NMn + Zme c B/c = 6( ) + 6( ) + 6( ) B/c = amu = 9.17 MeV. Μέγεθος και Σχήμα του πυρήνα Για να «δούμε» τον πυρήνα τον «φωτίζουμε» με φωτόνια και ανιχνεύουμε τα σκεδαζόμενα φωτόνια για περιγράψουμε το σχήμα του και ενδεχομένως τη δομή του, όπως στο σχήμα 7, όπου μεταβάλλουμε τη γωνία ανίχνευσης/σκέδασης Θ γύρω από το σημείο βομβαρδισμού και να έχουμε μια πλήρη «εικόνα» του πυρήνα από όλες τις διευθύνσεις : Σχήμα 7 : Βομβαρδισμός σωματιδίων σε σταθερό στόχο με ανίχνευτή των προϊόντων Ο βομβαρδισμός του πυρήνα μπορεί να γίνει και με δέσμη φορτισμένων σωματιδίων κινητικής ενέργειας Ε και αντίστοιχου ισοδύναμου μήκους κύματος λ πάνω σε λεπτό υμένιο ομογενούς υλικού του πυρήνα που θελουμε να μελετήσουμε. Το σχήμα του πυρήνα προσδιορίζεται από τη χαρακτηριστική κατανομή ως προς τη γωνία απόκλισης των σωματίων που σκεδάζονται. Η απαραίτητη κινητική ενέργεια των φορτισμένων σωματιδίων που απαιτείται, δίδεται από τη σχέση De Broglie : h h h λ = = = (.1) p mv Em _Atomikos_Pyrhnas.doc 16

4 Επομένως τα φορτισμένα σωματίδια με ενέργεια μέσω επιταχυντικών διατάξεων ή νετρόνια από πυρηνικό αντιδραστήρα με κατάλληλη ενέργεια, του πίνακα Ι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν «εργαλεία φωτισμού» για τον προσδιορισμό του σχήματος του πυρήνα. ΠΙΝΑΚΑΣ Ι ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ (MeV) ΣΩΜΑΤΙΟ λ = 1 fm λ = 5 fm E p, n 60 3 Α Οι δέσμες των ηλεκτρονίων έχουν το πλεονέκτημα ότι είναι γνωστή με μεγάλη ακρίβεια η διαδικασία αλληλεπίδρασης με τον πυρήνα (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ) και δίδουν καλύτερα αποτελέσματα. Δεν έχουμε την πολυπλοκότητα των ισχυρών αλληλεπιδράσεων, ενώ η ασθενής αλληλεπίδραση στις διαδικασίες σκέδασης είναι αμελητέα. Αν ο πυρήνας έχει μαγνητική ροπή, τότε συνεισφέρει σημαντικά σε μεγάλες γωνίες σκέδασης, αλλά μπορεί να υπολογιστεί. Στις ανωτέρω ενέργειες τα ηλεκτρόνια περιγράφονται με τη σχετικιστική κυματική εξίσωση Dirac και όχι από την εξίσωση Schrödinger. p m m Schrodinger : = E... =... Ενώ η σχετικιστική κυματική εξίσωση : t (.) { } i { } = ( + ){...} = {...} (.3) pc mc E c mc Η οποία ονομάζεται εξίσωση Klein-Gordon Ακτίνα του Πυρήνα Τα νουκλεόνια περιγράφονται μέσα στον πυρήνα σε μια σφαιρική, κατά προσέγγιση, συμμετρία, οπότε αναφερόμαστε αντίστοιχα στην πυρηνική ακτίνα. Σημειώνεται ότι στις μικροσκοπικές διαστάσεις που μελετάμε, η πυρηνική ακτίνα δεν συνεπάγεται με κανένα τρόπο, ότι προσδιορίζεται η μάζα του πυρήνα που φτάνει επακριβώς μέχρι τα όρια του σφαιρικού φλοιού της πυρηνικής ακτίνας και εξω από την επιφάνεια του φλοιού η μάζα μηδενίζεται. t _Atomikos_Pyrhnas.doc 17

5 Συνεπώς η κατανομή της πυκνότητας της πυρηνικής μάζας περιγράφεται από το σχήμα 8, και η σχέση που συνδέει την πυρηνική ακτίνα με τον μαζικό αροθμό είναι: R 1 = ra 3 0 (.4) r o = σταθερά ~ 1. fm Σχήμα 8 : Πυκνότητα πυρηνικής μάζας Σχήμα 9 : Πυρηνική ακτίνα Θεωρούμε το Δυναμικό (φράγμα) Coulomb με ύψος BBc : B c = Z1Ze 4πε R o c (.5) Παράδειγμα : για ηλεκτρόνια πάνω σε πυρήνες 38 9 U, Ζ 1 = 1, Ζ = 9, Α = 38 δίδουν R c = 7.6 fm B c = 17.4 MeV του σχήματος 9 με το πηγάδι δυναμικού του πυρήνα ακτίνας R c και Δυναμικό (φράγμα) Coulomb με ύψος B c (σκιασμένο), έχοντας πάντα την υπόθεση της σφαιρικής συμμετρίας. Σκέδαση Ηλεκτρονίων Αν το προσπίπτον σωματίδιο στον πυρήνα είναι ηλεκτρόνιο ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ πυρηνική δύναμη αλληλεπίδρασης, αλλά μόνο η ελκτική δύναμη Coulomb. Η _Atomikos_Pyrhnas.doc 18

6 σκέδαση αποκαλύπτει λεπτομέρειες της κατανομής φορτίου του πυρήνα, αν το ισοδύναμο μήκος κύματος De Broglie είναι λ/π ~ 1 fm, E ~ 00 MeV. Το ηλεκτρόνιο θεωρείται σωματίδιο-σημείο χωρίς εσωτερική δομή και το φαινόμενο του πεπερασμένου μεγέθους του πυρήνα αποκαλύπτεται ευθέως από την ελαττωμένη σκέδαση σε δεδομένη γωνία μικρότερη από την αναμενόμενη, όπως υπολογίστηκε από τον Mott. Τα πρωτοποριακά πειράματα του Hofstadter στο Stanford, που χρησιμοποίησε τον γραμμικό επιταχυντή ηλεκτρονίων με ενέργεια μέχρι 550 MeV, έδωσαν τον λόγο των παρατηρηθέντων προς τις υπολογισθείσες εντάσεις για δεδομένη γωνία ίσο με το τετράγωνο του παράγοντα σχηματισμού (form factor) F. Έχοντας απολύτως κατανοητή την ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση, ο παράγων σχηματισμού F μπορεί να γραφεί συναρτήσει της πυκνότητας του πυρηνικού φορτίου ρ(r), με τη βασική προϋπόθεση της περιγραφής της σκέδασης με την προσέγγιση κατά Born της κβαντομηχανικής, λόγω της σχετικιστικής ενέργειας των ηλεκτρονίων. Σαν συνάρτηση της μεταφερόμενης ορμής q στον πυρήνα από το προσπίπτον σωματίδιο που είδαμε στη σκέδαση Rutherford, ο παράγων σχηματισμού F μπορεί να γραφεί : 4π sin qr = qze 0 rdr (.6) ( ) ρ ( r) F q Όπου q = q (E/c)sin(θ/), Ε = ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου και θ = γωνία σκέδασης (και τα δύο μεγέθη στο κέντρο μάζας του συστήματος) Αν αντί q, ορίσουμε ως διάνυσμα μεταφερόμενης ενέργειας το ђq, τότε το q καθίσταται ένα ισοδύναμο μήκος και η σχέση.6 απλοποιείται : 4π F ( q) = ρ ( r) sin ( qr) rdr qze 0 (.7) _Atomikos_Pyrhnas.doc 19

7 Σχήμα 10 : Σκέδαση ηλεκτρονίων ενέργειας 153 MeV σε Χρυσό με θεωρητικές προσεγγίσεις κατά Bohr (A) και Mottelson (B). Στο σχήμα 10 εμφανίζονται τα πειραματικά αποτελέσματα του Hofstadter με σκέδαση ηλεκτρονίων ενέργειας 153 MeV σε πυρήνες Χρυσού, από τα οποία μπορεί να υπολογιστεί ο παράγων F(q). Στην περίπτωση που έχουμε, πειραματικά, καλύψει μια ιδιαίτερα μεγάλη περιοχή τιμών του q τότε μπορεί να υπολογιστεί η πυκνότητα του πυρηνικού φορτίου ρ(r) με μετασχηματισμό Fourier του F(q) ως προς το q. Γενικά αυτό δεν είναι εύκολο και καταφεύγουμε σε προσεγγιστική έκφραση της πυκνότητας του πυρηνικού φορτίου ρ(r), π.χ. κατά τη συνάρτηση Fermi : ρ0 ρ ( r) = 1+ exp r R / a ( ) 1 (.8) Σύγκριση (fit) με τα πειραματικά αποτελέσματα δίδουν τιμές της ακτίνας-ημίσεως R ½ και της παραμέτρου του επιφανειακού πάχους α. Ενώ ρ ο είναι η σταθερά κανονικοποίησης, ώστε : ( ) = ρ( ) 3 ρ r d r r r dr = Z (.9) 0 Η μέση τιμή του τετραγώνου της πυρηνικής ακτίνας για δεδομένη πυκνότητα του πυρηνικού φορτίου ρ(r) ορίζεται : _Atomikos_Pyrhnas.doc 0

8 1 = Ze ρ ( ) π r r r 4 r dr (.10) Για την πυκνότητα του πυρηνικού φορτίου ρ(r) από τη σχέση.8 έχουμε : 1 r < R 1 < R c (.11) Για μεγάλη περιοχή πυρήνων με Α > 0, βρέθηκε ισχυρή εξάρτηση του R ½ και R c από την ποσότητα 1/3 Α. Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι προσδιορισμού της μέσης πυρηνικής ακτίνας κατανομής του φορτίου. Τα αποτελέσματα όλων των μεθόδων είναι συμβατά μεταξύ τους, ο συνδυασμός των οποίων δίδει : 13 R1 = 1.1A fm R ( ) 13 c = A fm (.1) Η επιφανειακή πυκνότητα ή η απόσταση της περιοχής μεταξύ του 90% και του 10% από το κέντρο (κεντρική πυκνότητα) είναι.5 fm για ΟΛΟΥΣ τους πυρήνες οι πολύ ελαφροί πυρήνες είναι σχεδόν επιφανειακοί. Μέγεθος του Πρωτονίου Αν βομβαρδίσουμε πρωτόνια με ηλεκτρόνια υψηλής ενέργειας και μελετήσουμε τα γεγονότα εκείνα με την πιο σημαντική απόκλιση, τότε μπορούμε να πάρουμε τη διαφορική ενεργό διατομή σκέδασης που παρέχει πληροφορίες για το πρωτόνιο. Στο σχήμα 11 παρατηρούμε το διάγραμμα της διαφορικής ενεργού διατομής σκέδασης ηλεκτρονίου-πρωτονίου του R Hofstadter στο Stanford, όπου φαίνεται ότι η πραγματική σκέδαση είναι μικρότερη από την αναμενόμενη ως σκέδαση σημειακού φορτίου, ιδιαίτερα στις μεγάλες γωνίες. Αυτό σημαίνει ότι το πρωτόνιο είναι «μαλακός» πυρήνας, δηλ. το φορτίου του δεν είναι συγκεντρωμένο σε ένα σημείο αλλά απλώνεται σε μια περιοχή διαστάσεων m. _Atomikos_Pyrhnas.doc 1

9 Σχήμα 11 : (α)σκέδαση ηλεκτρονίων ενέργειας 400 MeV σε πρωτόνια, η πάνω συνεχής γραμμή θεωρεί τον πυρήνα ως σημείο, (β) Η πυκνότητα φορτίου συναρτήσει της πυρηνικής ακτίνας. H πυκνότητα του φορτίου, ρ παρίσταται στο ίδιο σχήμα σαν συνάρτηση της ακτίνας r. Αυτή η πειραματική απόδειξη της δομής του πρωτονίου μαζί με αντίστοιχη του νετρονίου μέσω σκέδασης ηλεκτρονίων με δευτέρια ήταν τόσο σημαντική, ώστε απενεμήθη στον R Hofstadter το βραβείο Nobel του Σχήμα 1 : Επίδραση της κατανομής φορτίου στη σκέδαση ηλεκτρονίων σε μικρές και μεγάλες γωνίες απόκλισης Ο λόγος του μικρότερου αριθμού γεγονότων με μεγάλη γωνία σκέδασης αποδίδεται με κλασσική προσέγγιση από το το σχήμα 1, όπου οι μεγάλες γωνίες σκέδασης υφίστανται όταν οι τροχιές περνούν πολύ κοντά από σημειακό φορτίο αντί να _Atomikos_Pyrhnas.doc

10 διασχίζουν τη μάζα το πρωτονίου με το κατανεμημένο φορτίο, όπου τα ηλεκτρόνια «αισθάνονται» ασθενέστερες δυνάμεις και υφίστανται μικρή απόκλιση. Κλασσικά, θα πρέπει να υπάρχει κάποια γωνία πέραν της οποίας κανένα σωματίδιο δεν υφίσταται σκέδαση. Τέτοια απότομα όρια δεν υφίστανται στα κβαντικά φαινόμενα. Η κυματική φύση των σωματιδίων επιτρέπει να σκεδάζονται και λίγα σωματίδια στις μεγάλες γωνίες μέσω του μηχανισμού περίθλασης των σωματιδίων. Μέγεθος και Σχήμα των πυρήνων Θεωρούμε τους περισσότερους πυρήνες ή σχεδόν σφαιρικούς με ακτίνα πυρήνα να κυμαίνεται από m μέχρι m και να υπολογίζεται γι ακάθε πυρήνα η ακτίνα από τη σχέση: R ( ) = m A (.13) Εκτιμάται ότι το επιφανειακό πάχος του πυρήνα είναι περίπου fm. Σχήμα 13 : Πυκνότητα πυρηνικής μάζας τεσσάρων πυρήνων. Η διακεκομένη γραμμή είναι οι ακτίνες που δίδει η σχέση.13 Η πειραματική πληροφόρηση σχετικά με την πυρηνική ακτίνα έρχεται από σκεδάσεις πολύ ενεργών ηλεκτρονίων, που πιστοποιούν την κατανομή του θετικού φορτίου των πρωτονίων στον πυρήνα. ΑΝ θεωρήσουμε ότι και η πυκνότητα της κατανομής των νετρονίων είναι μέσα στον πυρήνα ανάλογη με την πυκνότητα των πρωτονίων, τότε μπορούμε να έχουμε κατανομή πυρηνικού υλικού, όπως στο σχήμα 13. Παρατηρείται ότι η πυκνότητα στο κεντρικό μέρος του πυρήνα εξαρτάται πολύ λίγο από τον μαζικό αριθμό του πυρήνα. Η σχετική σταθερότητα της πυκνότητας 4 3 R 3 είναι συνεπής με την έκφραση της σχέσης.13, όπου ο πυρηνικός όγκος π είναι ανάλογος του μαζικού αριθμού Α. _Atomikos_Pyrhnas.doc 3

11 Συμπεραίνουμε ότι κάθε νουκλεόνιο αποτελεί ένα ακόμη δομικό λίθο στη δομή του πυρήνα, σε αντίθεση με τον ατομικό όγκο που παραμένει σχεδόν σταθερός, εκτός μερικών περιοδικών διακυμάνσεων, και ανεξάρτητος του αριθμού των ηλεκτρονίων. Άσκηση Υπολογίστε την πυκνότητα της πυρηνικής ύλης και συγκρίνετέ την με την πυκνότητα ενός κανονικού υλικού στερεάς κατάστασης: ρ m 7 ( Kg ) A 15 π ( ) M = = =.3 10 Kg / m =.3 10 g / cm ογκος Kg A Βρίσκουμε περίπου φορές μεγαλύτερη πυκνότητα του πυρηνικού υλικού από την πυκνότητα ενός τυπικού στερεού, το οποίο κυρίως είναι κενό. Μια μπάλλα μεγέθους του πινγκ-πονγκ θα ζύγιζε δισεκατομύρια τόνους!!. Τα ιστορικά πειράματα σκέδασης του Rutherford και των συνεργατών του ( ) με σωματίδια-α ενέργειας 9 MeV επάνω σε πυρήνες Χρυσού, ερμηνεύονται σήμερα ως πειράματα με τα σωματίδια-α να έχουν ΜΗ ικανή ενέργεια για να πλησιάσουν την άκρη του πυρήνα ακόμα και σε μετωπική σύγκρουση. Επομένως τα ευρήματα αυτών των σκεδάσεων «σημειακού φορτίου» είναι πυρηνική ακτίνα μικρότερη από ένα ανώτατο όριο. Πειράματα που έγιναν αργότερα με μεγαλύτερες ενέργειες έδειξαν αποκλίσεις από τα ευρήματα με την υπόθεση του σημειακού φορτίου και συνεπώς έδωσαν πληροφορίες για την ακτίνα του πυρήνα. Σχήμα 14 : (α) Λόγος ενεργών σκέδασης σωματιδίων-α ενέργειας 5.5 και 7.7 MeV ως προς πυρήνα και πυρήνα-σημείο, (β) ίδιος λόγος ενεργών διατομών για σωματίδια-α με ενέργεια 48 MeV επάνω σε μόλυβδο. _Atomikos_Pyrhnas.doc 4

12 Στο σχήμα 14α έχουμε σκέδαση σωματιδίων-α ενέργειας 5.5 και 7.7 MeV επάνω σε στόχο Mg (194). Στο σχήμα 14β σωματίδια-α ενέργειας 48 MeV σκεδάζονται επάνω σε Pb, δείχνοντας ότι σε μεγάλες γωνίες η διαφορική ενεργός διατομή είναι μέχρι φορές μικρότερη από ότι με «σημειακό» πυρήνα (1956). Πυρηνική Παραμόρφωση Από πολλά πειραματικά αποτελέσματα είναι γνωστό ότι οι περισσότεροι πυρήνες δεν είναι σφαιρικοί. Ένας ΜΗ σφαιρικός πυρήνας χαρακτηρίζεται από τον παράγοντα παραμόρφωσης Α μέσω της σχέσης: 3 1 = + R Ro 1 A cos θ (.14) Ro = ακτίνα σφαίρας αναφοράς 3 1 Η συνάρτηση cos θ είναι πολυώνυμο Legendre Στους πόλους, ο πυρήνας επιμηκύνεται: R = R ( 1+ A) Στον ισημερινό, ο πυρήνας συμπιέζεται: R= R ( 1 1 o A) Η συγκεκριμένη γωνιακή συνάρτηση επελέγη ώστε για μικρές τιμές του Α οι όγκοι των παραμορφωμένων πυρήνων και της σφαίρας αναφοράς να είναι ΙΔΙΟΙ. o Σχήμα 15 : Πυρηνική παραμόρφωση σαν συνάρτηση του μαζικού αριθμού. Στο σχήμα 15 παρουσιάζεται η πυρηνική παραμόρφωση συναρτήσει του μαζικού αριθμού. Για Α = 0 έχουμε σφαιρικό πυρήνα. Για Α > 0 ο πυρήνας είναι επιμήκηςσφαιρικός και για Α < 0 είναι διαμήκης-σφαιρικός. _Atomikos_Pyrhnas.doc 5

13 Άσκηση Ένα σωματίδιο-α ενέργειας 9 MeV προσεγγίζει μετωπικά ένα πυρήνα Χρυσού (Ζ=79). Σε ποιά απόσταση από το κέντρο του πυρήνα το σωματίδιο-α οπισθογυρίζει; Στο σημείο οπισθοσκέδασης, η κινητική ενέργεια του σωματιδίου-α μηδενίζεται, άρα Ε = U. Αν το σημείο οπισθοσκέδασης είναι έξω από το πυρηνικό δυναμικό, η δυναμική ενέργεια είναι: 1 Ze U = 4πε 0 r Άρα το σημείο της πλησιέστερης προσέγγισης του σωματιδίου-α προσδιορίζεται: 1 Ze rmin = 4πε E r min 0 1 e mc e = Z 4πε c m c E 0 e Ο πρώτος όρος είναι η σταθερά λεπτής υφής, ο δεύτερος όρος είναι το μήκος κύματος Compton και ο τρίτος είναι ο αδιάστατος λόγος των ενεργειών. Άρα: r min ( )( )( V) 70 / Cm fm Me ec Z = = E = 5.3 fm 9MeV Για σύγκριση, η πυρηνική ακτίνα R = 1.(197) 1/3 fm = 7.0 fm. Η πιο «έξω» περιοχή του πυρήνα είναι περίπου 1.4(197) 1/3 fm = 8.1 fm. Άρα το σωματίδιο-α δεν μπορεί να φτάσει τον πυρήνα. _Atomikos_Pyrhnas.doc 6

14 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Σκέδαση Mott Η σύγχρονη μεθοδολογία για τη μελέτη της δομής των αδρονίων βασίζεται στην πρωτοποριακή εργασία του Hofstadter και των συνεργατών του στο Stanford στη δεκαετία του Επιχειρείται η μελέτη του θέματος αυτού για να δημιουργηθεί ένα θεωρητικό πλαίσιο και να ερμηνευτούν τα αποτελέσματα πιο σύγχρονων πειραμάτων. Σχήμα Α1 : Σκέδαση ηλεκτρονίου σε πρωτόνιο Θεωρούμε τη σκέδαση Coulomb ενός ηλεκτρονίου από ένα «στατικό» σημειακό πρωτόνιο, σχήμα Α1. Η διαδικασία σκέδασης «υλοποιείται» από την εκπομπή από το πρωτόνιο ενός δυνητικού φωτονίου που απορροφάται από το ηλεκτρόνιο αρχικής ορμής p i και προκύπτει ηλεκτρόνιο τελικής κατάστασης με ορμή p f. Η διαφορική ενεργός διατομή αυτής της διαδικασίας είναι η γνωστή σχέση της σκέδασης Rutherford, αλλά τροποποιημένης για σχετικιστικά σωματίδια, γραφοντας όπου μυ 1 = p i c, οπότε : dσ = d a ( θ ) Ω (Α.1) 4 4pi sin Η αλλαγή της ορμής του ηλεκτρονίου ή η μεταφερόμενη ορμή είναι ίση με την ορμή q του δυνητικού φωτονίου : q = p p q = p + p p p i f i f i Για ένα στατικό πρωτόνιο p i = p f και _Atomikos_Pyrhnas.doc 7 f (Α.)

15 i i ( ) q = p (1 cos θ) = 4p sin θ (Α.3) Αλλά dω= pd(cos θ) = πdq / pi (Α.4) Και η σχέση της σκέδασης Rutherford γράφεται : dσ = dq 4π a q 4 i (Α.5) Στην πραγματικότητα το φορτίο του πρωτονίου δεν εντοπίζεται ως σημειακό. Για να προσδιοριστεί η κατανομή φορτίου, θα πρέπει η πειραματικώς μετρούμενη διαφορική ενεργός διατομή σκέδασης των ηλεκτρονίων να συγκριθεί με την διαφορική ενεργό διατομή σκέδασης από σημειακό φορτίο (σκέδαση Rutherford) επί κάποιον παράγοντα : dσ dσ = F( q) dω dω Measured Rutherford (Α.6) F(q) = παράγων σχηματισμού (form factor), είναι ο μετασχηματισμός Fourier της κατανομής της πυκνότητας του ηλεκτρικού φορτίου F q = ρ r iq r d τ ( ) ( ) exp( ) i (Α.7) Καλύτερη προσέγγιση θα μπορούσε να υπολογιστεί, αν θεωρήσουμε τη σκέδαση Rutherford με σημειακό φορτίο, αλλά δεχόμενοι το ηλεκτρόνιο με σπιν ½ ως σωματίδιο Dirac και επιτρέποντας το πρωτόνιο να υποστεί ανάδραση. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε τη σχέση της σκέδασης Mott : cos ( θ ) ( ) ( θ ) dσ dσ = dω dω 1+ E/ M sin Mott Rutherford (Α.8) _Atomikos_Pyrhnas.doc 8