Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.."

Transcript

1 Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας ενδιαφέρει να συγκρίνουμε τον κίνδυνο εμφάνισης μιας νόσου σε ένα άτομο που έχει εκτεθεί στον παράγοντα κινδύνου με τον αντίστοιχο κίνδυνο ενός ατόμου που δεν έχει εκτεθεί στον ίδιο παράγοντα κινδύνου. Υ: Νόσος Χ: Παράγοντας Κινδύνου (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο (Παρόν) n n 2 n. 2 (Απών) n 2 n 22 n 2. Σύνολο n. n.2 n.. = n

2 Αποδιδόμενος Κίνδυνος (Attributable Risk, AR) Ως αποδιδόμενο κίνδυνο ορίζουμε τη διαφορά μεταξύ των ρυθμών επίπτωσης (ή των δεικτών θνησιμότητας) των ομάδων με άτομα εκτεθειμένα και μη εκτεθειμένα σε ένα παράγοντα κινδύνου. Όταν αναφερόμαστε σε ένα πίνακα συνάφειας 2 2 τότε ο αποδιδόμενος κίνδυνος ορίζεται ως η διαφορά των δεσμευμένων πιθανοτήτων j i και j i 2 AR P( A ) P( A ) π = P(A ) P( A ) j i j i 2 j 2 i 2 j 2 i πιθανότητες εμφάνισης της νόσου αν κάποιος ασθενής (Α) έχει εκτεθεί στον κίνδυνο () ή όχι ( )

3 Εκτίμηση Αποδιδόμενος Κίνδυνος n n2 n n2 AR p p p j i p j i 2 n n n n n n Υ: Νόσος Χ: Παράγοντας Κινδύνου (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο (Παρόν) n n 2 n. 2 (Απών) n 2 n 22 n 2. Σύνολο n. n.2 n.. = n j i ij i.

4 Αποδιδόμενος Κίνδυνος έλεγχος υποθέσεων (ανεξαρτησίας) H 0 : AR = 0 έναντι της εναλλακτικής H : AR 0. Το πρόβλημα με τον παραπάνω δείκτη είναι ότι μετράει απόλυτες διαφορές. Έτσι οι πιθανότητες 0.0 και 0.20 θα μας δώσουν ίδιο AR με τις πιθανότητες 0.6 και 0.7 αγνοώντας το γεγονός ότι στην πρώτη περίπτωση η πιθανότητα της μίας ομάδας είναι διπλάσια από την άλλη. p AR P( A ) P( A ) j i j i 2 AR P( A ) j i

5 Σχετικός Κίνδυνος (Relative Risk, RR) ορίζεται ως ο λόγος της επίπτωσης ή της θνησιμότητας δύο ομάδων με διαφορετική έκθεση στον παράγοντα κινδύνου Σε πίνακες 2x2 δίνεται από το λόγο των πιθανοτήτων j i j i 2 και RR P( A ) P( A ) p p RR p p j i j 2 i j i 2 j 2 i 2 j i. j i 2 n n n n 2 2.

6 Σχετικός Κίνδυνος (Relative Risk, RR) έλεγχος υποθέσεων (ανεξαρτησίας) H 0 : RR = H : RR έναντι της εναλλακτικής μοναδιαίος σχετικός κίνδυνος συνεπάγεται ανεξαρτησία μεταξύ των δύο μεταβλητών.

7 Σχετικός Κίνδυνος (Relative Risk, RR) Αν RR = a τότε Η πιθανότητα εμφάνισης της νόσου (Y = ) όταν ένα άτομο εκτεθεί στον παράγοντα κινδύνου (X = ) είναι ίση με a φορές την ίδια πιθανότητα όταν δεν εκτεθεί στον παράγοντα κινδύνου (X = 2). Αν a > τότε: Η πιθανότητα εμφάνισης της νόσου (Y = ) όταν ένα άτομο εκτεθεί στον παράγοντα κινδύνου (X = ) είναι ίση με a φορές μεγαλύτερη (ή (a )00% φορές μεγαλύτερη) από την ίδια πιθανότητα όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο (X = 2).

8 Σχετικός Κίνδυνος (Relative Risk, RR) Αν a < τότε: Η πιθανότητα εμφάνισης της νόσου (Y = ) όταν ένα άτομο εκτεθεί στον παράγοντα κινδύνου (X = ) είναι ίση με a φορές μικρότερη (ή ( a) 00% φορές μικρότερη) από την ίδια πιθανότητα όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο (X = 2) (η μεταβλητή ας εδώ λέγεται προστατευτικός παράγοντας). Αν a = τότε: Η πιθανότητα εμφάνισης της νόσου (Y = ) όταν ένα άτομο εκτεθεί στον παράγοντα κινδύνου (X = ) είναι ίση με την ίδια πιθανότητα όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο (X = 2) (δηλαδή η μεταβλητή X δεν επηρεάζει την εμφάνιση της νόσου συνεπώς δεν αποτελεί παράγοντα κινδύνου).

9 Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων Σχετική Πιθανότητα (Odds) υποκαθιστά το όρο «probability» (πιθανότητα) και συνήθως δίνει μια εκτίμηση της τύχης που έχει κάποιος να κερδίσει σε ένα αγώνα ή στοίχημα. Μαθηματικά το odds ενός ενδεχομένου A δίνεται από τον τύπο: P( A) Odds( A) P( A) λόγος της πιθανότητας εμφάνισης ενός ενδεχομένου έναντι της πιθανότητας μη εμφάνισης του (δηλαδή η πιθανότητα του συμπληρωματικού, ως προς το δειγματικό χώρο, ενδεχομένου).

10 Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων η σχετική πιθανότητα είναι μετασχηματισμός της αρχικής πιθανότητας εφόσον: odds odds odds Η ερμηνεία της θεωρείται πιο εύκολη από την απλή πιθανότητα διότι συγκρίνει την πιθανότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου με την πιθανότητα μη εμφάνισης. Έτσι όταν η Ελληνική ομάδα είχε σχετική πιθανότητα να μην κερδίσει το ευρωπαϊκό πρωτάθλημα του : αυτό σήμαινε ότι πιθανότητα να μην κερδίσει το πρωτάθλημα ήταν ίση με 80 φορές την πιθανότητα να κερδίσει. Πιο απλά η πιθανότητα να κερδίσει ήταν μόλις (/(80 + ) =)

11 Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων Αν odds = (ή : ) τότε οι πιθανότητες εμφάνισης ή μη εμφάνισης του ενδεχομένου που εξετάζουμε είναι ίσες (δηλαδή 50%). Αν odds = a τότε η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου που εξετάζουμε είναι ίση με a φορές την πιθανότητα μη εμφάνισής του. Αν odds = a και i. a > τότε η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου που εξετάζουμε είναι a (ή (a )00%) φορές μεγαλύτερη από την πιθανότητα μη εμφάνισης του. ii. a < τότε η πιθανότητα εμφάνισης του ενδεχομένου που εξετάζουμε είναι a (ή ( a) 00%) φορές μικρότερη από την πιθανότητα μη εμφάνισης του.

12 Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων odds = συνεπάγεται ίση πιθανότητα εμφάνισης και μη εμφάνισης της νόσου. odds > συνεπάγεται η εμφάνιση της νόσου είναι πιο πιθανή από την πιθανότητα μη εμφάνισης της νόσου. odds < συνεπάγεται η εμφάνιση της νόσου είναι λιγότερο πιθανή από την πιθανότητα μη εμφάνισης της νόσου

13 Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων 2 2 πίνακες συνάφειας odds( X ) i i 2 i i 2 odds( X 2 ) i 2 i i 2 i 2 22 p n n odds( X ) p n n n n i. 2 i 2 2. p n n odds( X 2 ) p n n n n 2 i i

14 Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων μας ενδιαφέρουν οι σχετικές πιθανότητες εμφάνισης της νόσου όταν έχουμε έκθεση ή όχι στον παράγοντα κινδύνου. odds P( A ) P( A ) odds P( A ) P( A ) odds p odds p p p

15 Σύγκριση Σχετικών Πιθανοτήτων λόγος σχετικών πιθανοτήτων του X = έναντι του X = 2 δίνεται από τον τύπο odds( X ) / / OR odds( X 2 ) / / i 2 i 2 22 i 2 2 i λόγος σταυρωτού ή χιαστού πολλαπλάσιου Στους 2 2 πίνακες συνάφειας ο λόγος σχετικών πιθανοτήτων (ΛΣΠ) εκτιμάται από τον εκτιμητή: OR p p n n p p n n

16 Σύγκριση Σχετικών Πιθανοτήτων Αν θέλουμε να ορίσουμε το ΛΣΠ ως συνάρτηση των πιθανοτήτων εμφάνισης της νόσου τότε: OR p p OR p p Η σύνδεση των ΛΣΠ (OR) με την έννοια της ανεξαρτησίας σε πίνακες 2 2 είναι άμεση αφού: «ανεξαρτησία» OR = Η 0 : ΟR = έναντι της εναλλακτικής Η : ΟR.

17 Σύγκριση Σχετικών Πιθανοτήτων Αν OR = a τότε η σχετική πιθανότητα της νόσου (Y = ) όταν ένα άτομο εκτεθεί στον κίνδυνο (X = ) είναι ίση με a φορές την ίδια σχετική πιθανότητα όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο (X = 2). Ή ισοδύναμα: η σχετική πιθανότητα μη εμφάνισης της νόσου (Y = 2) όταν ένα άτομο εκτεθεί στον κίνδυνο (X = 2) είναι ίση με a φορές την ίδια σχετική πιθανότητα όταν εκτεθεί στον κίνδυνο (X = ). Αν OR = a > τότε η σχετική πιθανότητα της νόσου (Y = ) όταν ένα άτομο εκτεθεί στον κίνδυνο (X = ) είναι a (ή {a }00%) φορές μεγαλύτερη της ίδιας σχετικής πιθανότητας όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο (X = 2). Αν OR = a < τότε η σχετική πιθανότητα της νόσου (Y = ) όταν ένα άτομο εκτεθεί στον κίνδυνο (X = ) είναι a (ή { a}00%) φορές μικρότερη της ίδιας σχετικής πιθανότητας όταν δεν εκτεθεί στον κίνδυνο (X = 2).

18 Σύγκριση Σχετικών Πιθανοτήτων Στην στατιστική πολλές φορές χρησιμοποιούμε και το λογάριθμο του ΛΣΠ. Ο λόγος είναι ότι μπορούμε να εξετάσουμε την κατανομή του πιο εύκολα. Επιπλέον ο λογάριθμος είναι αυτός που επίσης χρησιμοποιείται στα μοντέλα λογιστικής παλινδρόμησης. Η 0 : log ΟR = 0 έναντι της εναλλακτικής Η : log ΟR 0.

19 Σχέση Σχετικού Κινδύνου και ΛΣΠ ο ΛΣΠ είναι ασυμπτωτικά ίσος με το σχετικό κίνδυνο όταν η πιθανότητα εμφάνισης της νόσου είναι μικρή δηλαδή στις σπάνιες αρρώστιες. Odds Odds( X ) j / j 2 j j 2 2 RR(Y ) OR. Odds Odds( X 2) / RR(Y 2) j 2 j 2 2 j 2 j 2 Αν το γεγονός που εξετάζουμε έχει πιθανότητα εμφάνισης πολύ μικρή (για παράδειγμα μια σπάνια ασθένεια) τότε π j=2 και π j=2 2 άρα και RR(Y = 2) καταλήγοντας στο αποτέλεσμα OR RR(Y = ).

20 Σχέση Σχετικού Κινδύνου και ΛΣΠ / / OR OR / / i 2 i 22 i. i i i 2 2 i 2 2 i i 2 2. i 2. i 2 i 2 Συνεπώς ο ΛΣΠ ορίζεται επαρκώς αν αντί για τις δεσμευμένες πιθανότητες π j= i για i =, 2 γνωρίζουμε τις πιθανότητες π i j= για i =, 2 οι οποίες μπορούν να εκτιμηθούν από μια μελέτη μαρτύρων-ασθενών.

21 Παράδειγμα Σε μια προοπτική μελέτη κατά την οποία εξετάσθηκαν 368 άνδρες καπνιστές ηλικίας κάτω των 60 ετών οι οποίοι έπαθαν μια καρδιακή ανακοπή και επιβίωσαν. Μετά από 2 έτη εξετάσθηκαν πόσοι από αυτούς είχαν επιβιώσει και τους χωρίσαμε ανάλογα εάν είχαν κόψει το τσιγάρο ή όχι. Έτσι εδώ μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε αν το σταμάτημα του καπνίσματος (X) είχε ευνοϊκή επίδραση στην επιβίωση μετά από δύο έτη (Y). Τα δεδομένα δίνονται στον 2 2 Πίνακα που ακολουθεί: Χ: Υ: Επιβίωση σε 2 χρόνια Συνέχισαν το κάπνισμα : Πεθαμένος 2: Ζωντανός Σύνολο : Ναι 9 (2.3%) 35 (87.7%) 54 (4.8%) 2: Όχι 5 (7.0%) 99 (93.0%) 24 (58.2%) Σύνολο 34 (9.2%) 334 (90.8%) 368

22 αποδιδόμενος κίνδυνος Παράδειγμα Συνεπώς οι ασθενείς που συνέχισαν να καπνίζουν μετά το καρδιακό επεισόδιο παρουσιάζουν αυξημένη πιθανότητα θανάτου, σε σχέση με της που διέκοψαν το κάπνισμα, κατά 5.3 ποσοστιαίες μονάδες. Αυτή η διαφορά αποδίδεται στο σταμάτημα του καπνίσματος. Το πλεονέκτημα του αποδιδόμενου κινδύνου είναι ότι δίνει τη διαφορά σε ποσοστιαίες μονάδες κάτι που δε φαίνεται στο σχετικό κίνδυνο

23 Παράδειγμα σχετικός κίνδυνος Αυτό σημαίνει ότι ο κίνδυνος θανάτου για της ασθενείς που συνέχισαν το κάπνισμα είναι ίσος με.76 φορές (ή 76% μεγαλύτερος από) τον ίδιο κίνδυνο των ασθενών που σταμάτησαν το κάπνισμα.

24 Παράδειγμα Ο ποσοστιαίος αποδιδόμενος κίνδυνος είναι ίσος με 0.053/0.23 = 43.%. Αυτό σημαίνει ότι το 43% του κινδύνου θανάτου που διατρέχει της ασθενής που συνέχισε το κάπνισμα μπορεί να αποδοθεί στο γεγονός ότι δε σταμάτησε το κάπνισμα. Συνεπώς, το 43% των θανάτων (2 χρόνια μετά το πρώτο καρδιακό επεισόδιο) των ασθενών που συνέχισαν να καπνίζουν θα μπορούσε να είχε αποφευχθεί αν είχαμε μπορέσει να της πείσουμε να κόψουν το κάπνισμα (δηλαδή περίπου 8 άτομα, = 8.).

25 Παράδειγμα ΛΣΠ είναι ίσος Δηλαδή η σχετική πιθανότητα θανάτου για της ασθενείς που συνέχισαν το κάπνισμα είναι 86% μεγαλύτερη από την πιθανότητα θανάτου των ασθενών που σταμάτησαν το κάπνισμα. Βλέπουμε εδώ, ότι παρόλο που η πιθανότητα θανάτου είναι λίγο μεγαλύτερη του 0% για τη μία ομάδα, ο ΛΣΠ πλησιάζει αρκετά το σχετικό κίνδυνο.

26 Συμπερασματολογία Αποδιδόμενος Κίνδυνος Γενική Προσέγγιση: Της υποθέσουμε ότι έχουμε δύο ομάδες με διαφορετική έκθεση στον κίνδυνο και και ότι η μεταβλητή απόκρισης Y είναι της δίτιμη: έχει ή όχι τη νόσο (A και A ). Σε αυτή την περίπτωση της ενδιαφέρει να ελέγξουμε κατά πόσο η πιθανότητα εμφάνισης της νόσου είναι ίδια της δύο ομάδες. H 0 : P( A ) P( A ) έ ή H 0 : P( A ) P( A ) H 0 : P( A ) P( A ) 0 έ ή H 0 : P( A ) P( A ) 0

27 Συμπερασματολογία Αποδιδόμενος Κίνδυνος H 0 : έ ή H 0 : H 0 : 0 έ ή H 0 : 0 H : AR έ ή H : AR 0

28 Συμπερασματολογία Αποδιδόμενος Κίνδυνος Συνεπώς μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο αριθμός των ατόμων που έχουν τη νόσο σε κάθε ομάδα έκθεσης ακολουθεί διωνυμική κατανομή οπότε Y ~ Bin, n Y ~ Bin, n Επιπλέον μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το κεντρικό οριακό θεώρημα και να φτιάξουμε ένα z test. Αν οι αναμενόμενες τιμές n π, n ( π ), n και είναι μεγαλύτερες του πέντε τότε n ( ) p ~ N, n p ~ N, n

29 Συμπερασματολογία Αποδιδόμενος Κίνδυνος Συνεπώς Συνάρτηση ελέγχου 0, ~ N n n AR AR z n n N p p AR, ~

30 Συμπερασματολογία Αποδιδόμενος Κίνδυνος Αν ισχύει η Η 0 τότε Συνάρτηση ελέγχου 0, ~ N n n p p p p n n p p AR z

31 Συμπερασματολογία Αποδιδόμενος Κίνδυνος μπορούμε να φτιάξουμε 00( α)% διαστήματα εμπιστοσύνης για τον αποδιδόμενο κίνδυνο το οποίο θα δίνεται από τον τύπο

32 Συμπερασματολογία Αποδιδόμενος Κίνδυνος για πίνακες 2x2 ο αποδιδόμενος κίνδυνος δίνεται από τον τύπο: και εκτιμάται AR 2

33 Συμπερασματολογία Αποδιδόμενος Κίνδυνος για πίνακες 2x2 τυπικό σφάλμα του αποδιδόμενου κινδύνου, εάν η Η 0 ισχύει n n n n n n n n se( AR ) p p n n n n n n n n nn n

34 Συμπερασματολογία Αποδιδόμενος Κίνδυνος για πίνακες 2x2 συνάρτηση ελέγχου z n n2 nn 22 n2n2 n n2 n2 n 22 nn. 2. ( nn 22 n2n 2 ) n n n n n n n n n n n n n n n

35 Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος Γενική Προσέγγιση: ο σχετικός κίνδυνος ορίζεται ως ο λόγος των πιθανοτήτων εμφάνισης κινδύνου για της δύο ομάδες διαφορετικής έκθεσης στον κίνδυνο. Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με την κατανομή δειγματοληψίας του δειγματικού σχετικού κινδύνου την οποία μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης και ελέγχων υποθέσεων.

36 Για αρκετά μεγάλο δείγμα (πιο συγκεκριμένα για n p 5 και n ( p ) 5) μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κατανομή του p προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή με μέσο και διακύμανση που δίνονται από την παραπάνω εξίσωση. Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος Γνωρίζουμε ότι n p ~ Bin, n n p ~ Bin, n

37 Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος Επιπλέον μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το κεντρικό οριακό θεώρημα και να φτιάξουμε ένα z test. n N p, ~ n N p, ~

38 Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος Σειρά Taylor k 2 3 ( k ) ( x a ) ( x a ) ( x a ) h( x ) h ( a ) h( a ) h ( a )( x a ) h ( a ) h ( a )... k0 k! 2 6 ( k ) h ( x ) παράγωγος k τάξης της συνάρτησης h(x). Έστω λοιπόν ότι X είναι τυχαία μεταβλητή και α = (X) = μ τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω έκφραση για να υπολογίσουμε ασυμπτωτικά τη μέση τιμή και τη διακύμανση μιας συνάρτησης της Χ.

39 Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος

40 Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος θέτοντας Χ = p, h(x) = log(p ), (X) = π και V(X) = π Ε (-π Ε )/n το οποίο για μεγάλο n γίνεται ίσο με log π Ε. Συνεπώς το log p είναι ασυμπτωτικά αμερόληπτος εκτιμητής του log π Ε.

41 Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος n N p n p n 0, ~ log log n N p, log ~ log n N p, log ~ log n n RR N p p RR, log ~ log log log

42 Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος Εκτίμηση σφάλματος r r και είναι ο παρατηρούμενος αριθμός των ασθενών με ή χωρίς έκθεση στον κίνδυνο αντίστοιχα.

43 Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος Ένα 00( α)% διάστημα εμπιστοσύνης για το λογάριθμο του σχετικού κινδύνου θα δίνεται από της τιμές:

44 Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος Η 0 : log RR = 0 Η : log RR 0. έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης συνάρτηση ελέγχου z r log n AR ~ N0, r n Αν z < Ζ -α/2 τότε δεν απορρίπτουμε την υπόθεση της ανεξαρτησίας σε επίπεδο σημαντικότητας 00α % αλλιώς απορρίπτουμε την H 0.

45 Συμπερασματολογία Σχετικός Κίνδυνος για πίνακες 2x2 Τυπικό σφάλμα

46 Συμπερασματολογία Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων Γενική Προσέγγιση: λόγος σχετικών πιθανοτήτων (ΛΣΠ ή Odds Ratio ή OR) δίνεται από τον τύπο: και εκτιμάται από Odds OR Odds p p p p OR p p p p

47 Συμπερασματολογία Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων Παίρνοντας τον log έχουμε: p p log OR log log p p Με βάση την διωνυμική κατανομή βρίσκουμε ότι:

48 Συμπερασματολογία Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων Από τον ασυμπτωτικό τύπο εφόσον h(x)=log x log(-x), h (x)=x - + ( x) - = /[x(-x)] και h (x) = -x -2 + ( x) -2.

49 Συμπερασματολογία Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων Επιπλέον για n μεγάλο έχουμε Όσον αφορά τη διακύμανση έχουμε r n

50 Συμπερασματολογία Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων Άρα: log OR ~ N log OR, r n r r n r Ένα 00( α)% διάστημα εμπιστοσύνης για το λογάριθμο του ΛΣΠ θα δίνεται από της τιμές:

51 Συμπερασματολογία Λόγος Σχετικών Πιθανοτήτων Αντίστοιχα για το ΛΣΠ το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης προκύπτει από της τιμές: Η 0 : log ΟR = 0 έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η : log ΟR 0. log OR z ~ συνάρτηση ελέγχου r n r r n r Αν z < Ζ -α/2 τότε δεν απορρίπτουμε την υπόθεση της ανεξαρτησίας σε επίπεδο σημαντικότητας 00 α % αλλιώς απορρίπτουμε την H 0. N 0,

52 Συμπερασματολογία Λόγος πιθανοτήτων για πίνακες 2x2 log OR ~ N log OR, Στην περίπτωση που ένα κελί είναι ίσο με μηδέν τότε ο ΛΣΠ θα είναι ίσος με μηδέν ή θα απειρίζεται. n n 2 n 2 n 22

53 Παράδειγμα Σε μια προοπτική μελέτη κατά την οποία εξετάσθηκαν 368 άνδρες καπνιστές ηλικίας κάτω των 60 ετών οι οποίοι έπαθαν μια καρδιακή ανακοπή και επιβίωσαν. Μετά από 2 έτη εξετάσθηκαν πόσοι από αυτούς είχαν επιβιώσει και τους χωρίσαμε ανάλογα εάν είχαν κόψει το τσιγάρο ή όχι. Έτσι εδώ μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε αν το σταμάτημα του καπνίσματος (X) είχε ευνοϊκή επίδραση στην επιβίωση μετά από δύο έτη (Y). Τα δεδομένα δίνονται στον 2 2 Πίνακα που ακολουθεί: Χ: Υ: Επιβίωση σε 2 χρόνια Συνέχισαν το κάπνισμα : Πεθαμένος 2: Ζωντανός Σύνολο : Ναι 9 (2.3%) 35 (87.7%) 54 (4.8%) 2: Όχι 5 (7.0%) 99 (93.0%) 24 (58.2%) Σύνολο 34 (9.2%) 334 (90.8%) 368

54 α) Αποδιδόμενος Κίνδυνος Παράδειγμα Επιθυμούμε να δούμε αν αυτή η διαφορά θνησιμότητας είναι στατιστικά σημαντική, συνεπώς θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση: Η 0 : AR = 0, έναντι της εναλλακτικής Η : AR 0. τυπικό σφάλμα του αποδιδόμενου κινδύνου, εάν η Η 0 ισχύει

55 α) Αποδιδόμενος Κίνδυνος Παράδειγμα Επιθυμούμε να δούμε αν αυτή η διαφορά θνησιμότητας είναι στατιστικά σημαντική, συνεπώς θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση: Η 0 : AR = 0, έναντι της εναλλακτικής Η : AR 0. τυπικό σφάλμα του αποδιδόμενου κινδύνου, εάν η Η 0 ισχύει δεν απορρίπτουμε την Η 0 δεν υπάρχει στατιστική διαφορά της θνησιμότητας ανάλογα αν ο ασθενής συνεχίσει ή όχι το κάπνισμα

56 α) Αποδιδόμενος Κίνδυνος 95% διάστημα εμπιστοσύνης Παράδειγμα

57 Παράδειγμα α) Σχετικός Κίνδυνος 95% διάστημα εμπιστοσύνης του λογαρίθμου

58 Παράδειγμα Η 0 : RR = Η : RR. έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η 0 : log RR = 0 Η : log RR 0. έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης δεν απορρίπτουμε την Η 0 τα ποσοστά θνησιμότητας δεν αλλάζουν για τα άτομα που συνέχισαν να καπνίζουν σε σχέση με τα άτομα που σταμάτησαν το κάπνισμα

59 α) Λόγος πιθανοτήτων Παράδειγμα 95% διάστημα εμπιστοσύνης του λογαρίθμου

60 Παράδειγμα Η 0 : ΟR = Η : ΟR. έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η 0 : log ΟR = 0 Η : log ΟR 0. έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης δεν απορρίπτουμε την Η 0 η σχετική πιθανότητα θανάτου δεν διαφοροποιείται σημαντικά για τα άτομα που συνέχισαν να καπνίζουν σε σχέση με τα άτομα που σταμάτησαν το κάπνισμα

61 Παράδειγμα Πριν μερικά χρόνια υπήρχαν υποψίες ότι ο καρκίνος του στήθους στις γυναίκες σχετίζεται με την ηλικία της ης γέννας. Η υπόθεση αυτή αναφέρει ότι ο καρκίνος αυξάνεται όσο μεγαλώνει η ηλικία που η γυναίκα γεννάει το ο παιδί. Άρα με βάση την θεωρία αυτή ένας σημαντικός παράγοντας κινδύνου είναι η ηλικία της γυναίκας στη η γέννα. Αυτή η θεωρία εξηγεί κ γιατί ο καρκίνος του στήθους είναι σημαντικά αυξημένος σε ομάδες με αυξημένο κοινωνικό, οικονομικό κ εκπαιδευτικό επίπεδο, αφού ζευγάρια που ανήκουν σε αυτές τις ομάδες γεννούν συνειδητά σε μεγάλες ηλικίες. Το 970 έγινε μια διεθνής πολυκεντρική μελέτη με την συμμετοχική των 6 χωρών. Περιπτώσεις καρκινοπαθών επιλέχτηκαν από τα ίδια νοσοκομεία, έτσι ώστε να είναι συγκρίσιμοι ηλικίας ως προς τον καρκίνο κ άλλα νοσήματα. Όλες οι γυναίκες χωρίστηκαν σε 2 ομάδες κινδύνου ανάλογα αν η ηλικία της ης γέννας ήταν μικρότερη ή μεγαλύτερη από των 30 χρόνων(ασθενείς και placebo). Ο πίνακας διπλής εισόδου είναι:

62 Παράδειγμα Ηλικία ης γέννας >=30 <=29 Ασθενής Μάρτυρας

63 Παράδειγμα Αποδιδόμενος κίνδυνος(ar) Άρα εκείνες οι γυναίκες που ασθενούν (έχουν παρουσιάσει καρκίνο) έχουν πιθανότητα κατά 6.6% να ήταν πάνω από 30 ετών όταν γέννησαν το ο τους παιδί

64 Παράδειγμα Άρα 9.04>.96, απορρίπτω την Ηο σε α=5%. Η διαφορά ήταν στατιστικά σημαντική ο καρκίνος για την γυναίκα αν έκανε το ο της παιδί άνω των 30 ετών, άρα αν το πρώτο παιδί γίνεται όταν είναι άνω των 30 επηρεάζει το ενδεχόμενο να εμφανίσει καρκίνο του μαστού.

65 Παράδειγμα 00(-α)% διάστημα εμπιστοσύνης

66 Σχετικός κίνδυνος (RR) Παράδειγμα άρα ο κίνδυνος εμφάνισης καρκίνου για τις γυναίκες που έκαναν το ο παιδί άνω των 30 ετών είναι ίσος με.452 (45.2% μεγαλύτερος κίνδυνος) από εκείνες που έκαναν το πρώτο παιδί κάτω των 29 ετών.

67 Παράδειγμα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το logrr

68 έλεγχο υπόθεσης : Η ο : RR=, εναλλακτική Η : RR Παράδειγμα άρα είναι στατιστικά σημαντικό, τα ποσοστά των γυναικών που έκαναν παιδί το ο άνω των 30 ετών σχετίζεται με την εμφάνιση καρκίνου μαστού

69 Λόγος υπεροχής (OR) Παράδειγμα άρα η σχετική πιθανότητα των γυναικών που έκαναν το ο παιδί άνω των 30 ετών και έπαθαν καρκίνο του μαστού είναι (57.%) μεγαλύτερη από την πιθανότητα των γυναικών που έκαναν παιδί κάτω των 29 ετών και δεν έπαθαν καρκίνο.

70 Παράδειγμα log OR log se log OR % διάστημα εμπιστοσύνης για το logοr log OR.96se log OR ,0.37

71 Παράδειγμα έλεγχο υπόθεσης : Η ο : ΟR=, εναλλακτική Η : ΟR z log OR se log OR απορρίπτω την μηδενική υπόθεση Εδώ η σχετική πιθανότητα εμφάνισης καρκίνου για τις γυναίκες που έκαναν το ο παιδί άνω των 30 ετών διαφοροποιείται σημαντικά σε σχέση με τα άτομα που δεν εμφάνισαν καρκίνο και έκαναν παιδί κάτω των 29 ετών.

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson

Έλεγχος Ανεξαρτησίας x2 του Pearson x2 του Pearson Έλεγχος Ανεξαρτησίας x του Parso Έστω ότι λαμβάνουμε δείγμα μεγέθους. Η πιθανότητα π εμφάνισης ενός χαρακτηριστικού να βρεθεί στο κελί (i,j) κάτω από την υπόθεση Η 0 της ανεξαρτησίας δίνεται από την σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ 1 Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 3 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. StatXact. ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ StatXact

StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. StatXact. ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ StatXact ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο StatXact ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 - συνέχεια ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ

ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ. Βιοστατική ΙΙ Κεφάλαιο 3: είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα Κινδύνου και ιαγνωστικού Ελέγχου 42 ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ Βιοστατική ΙΙ Ενότητα 3 είκτες Νοσηρότητας, Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του μαθήματος. Έλεγχος μηδενικής υπόθεσης OR-RR. Έλεγχος μηδενικής υπόθεσης. Σφάλαμα τύπου Ι -Σφάλμα τύπου ΙΙ 20/4/2013

Σκοπός του μαθήματος. Έλεγχος μηδενικής υπόθεσης OR-RR. Έλεγχος μηδενικής υπόθεσης. Σφάλαμα τύπου Ι -Σφάλμα τύπου ΙΙ 20/4/2013 Σκοπός του μαθήματος Έλεγχος μηδενικής υπόθεσης OR-RR Μαρία Γκριζιώτη Μsc Ιατρικής Ερευνητικής Μεθοδολογίας Μηδενική υπόθεση p value 95% Διαστήματα Εμπιστοσύνης Odds Ratio Relative Risk Έλεγχος μηδενικής

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική Επιδηµιολογία

Κλινική Επιδηµιολογία Κλινική Επιδηµιολογία Ρυθµιστικοί παράγοντες Συγχυτικοί παράγοντες Ενδιάµεσοι παράγοντες Πρέπει να πιστέψουµε τις µετρήσεις µας; Κάπνισµα Καρκίνος Πνεύµονα OR = 9.1 Πραγµατική σχέση αιτιολογική µη-αιτιολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρα σχέσης. Ιωάννα Τζουλάκη Λέκτορας Επιδημιολογίας Υγιεινή και Επιδημιολογία

Μέτρα σχέσης. Ιωάννα Τζουλάκη Λέκτορας Επιδημιολογίας Υγιεινή και Επιδημιολογία Μέτρα σχέσης Ιωάννα Τζουλάκη Λέκτορας Επιδημιολογίας Υγιεινή και Επιδημιολογία Στο τέλος...(learning outcomes) Να γνωρίζετε τα κυριότερα μέτρα σχέσης που χρησιμοποιούνται για μετρήσουμε μια συσχέτηση μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική Επιδηµιολογία. Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση

Κλινική Επιδηµιολογία. Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση Κλινική Επιδηµιολογία Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση Μέτρα κινδύνου Αιτιολογική συσχέτιση Σύγκριση µεταξύ διαφορετικών πληθυσµών ως προς την έκθεση (exposure) Σύγκριση της κατανοµής της συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ. Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ

Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ. Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ Τεκµηριωµένη Ιατρική 2011-12 ΒΛΑΒΗ Βασίλης Κ. Λιακόπουλος Λέκτορας Νεφρολογίας ΑΠΘ Αναλογία Λόγος Πηλίκο Αναλογία Proportion Αναλογία (Proportion) Ο αριθµητής ΣΥΜΠΕΡΙΛΑΜΒΑΝΕΤΑΙ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΣ στον παρανοµαστή

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1

Πρόλογος... xv. Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 Πρόλογος... xv Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Έννοιες... 1 1.1.Ιστορική Αναδρομή... 1 1.2.Βασικές Έννοιες... 5 1.3.Πλαίσιο ειγματοληψίας (Sampling Frame)... 9 1.4.Κατηγορίες Ιατρικών Μελετών.... 11 1.4.1.Πειραµατικές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 2 ου κεφαλαίου Σταύρος Χατζόπουλος 20/02/2017, 06/03/2017, 13/03/2017 1 Κεφάλαιο 2. Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Τα προβλήματα ελέγχου υποθέσεων απορρέουν από παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τις τεχνικές εκτίμησης παραμέτρων για ένα πληθυσμό όπως: τον Μέσο µ και το ποσοστό p Θα συνεχίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας

Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας Κριτήρια επιλογής μέτρων συνάφειας Ο όρος συνάφεια προέρχεται από τον Pearso (1904) όπου ορίζεται για ένα πίνακα IJ ως ένα μέτρο της συνολικής απόκλισης της ταξινόμησης από την ανεξάρτητη πιθανότητα. Από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Ας θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό από στοιχεία της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας ότι οι τιμές χοληστερίνης στον πληθυσμό έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού

Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Μέθοδοι δειγματοληψίας, καθορισμός μεγέθους δείγματος, τύποι σφαλμάτων, κριτήρια εισαγωγής και αποκλεισμού Γεσθημανή Μηντζιώρη MD, MSc, PhD Μονάδα Ενδοκρινολογίας της Αναπαραγωγής, Α Μαιευτική και Γυναικολογική

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων Βασίλης Αγγελής Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας

Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα. Είδη δειγματοληψίας Δειγματοληψία στην εκπαιδευτική έρευνα Είδη δειγματοληψίας Γνωρίζουμε ότι: Με τη στατιστική τα δεδομένα γίνονται πληροφορίες Στατιστική Δεδομένα Πληροφορία Αλλά από πού προέρχονται τα δεδομένα; Πώς τα

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

(X1 X 2 ) 2}. ( ) f 1 (x i ; θ) = θ x i. (1 θ) n x i. x i log. i=1. i=1 t2 i

(X1 X 2 ) 2}. ( ) f 1 (x i ; θ) = θ x i. (1 θ) n x i. x i log. i=1. i=1 t2 i ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I: ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ 8 Ιουνίου 005 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 005 ΘΕΜΑΤΑ Εστω X = (X,, X n ), n, τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoull B(, θ), θ Θ = (0, ) (α) (0 µονάδες) Να δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μπεττίνα Χάιδιτς. Επίκουρη Καθηγήτρια Υγιεινής Ιατρικής Στατιστικής e mail:

Μπεττίνα Χάιδιτς. Επίκουρη Καθηγήτρια Υγιεινής Ιατρικής Στατιστικής e mail: Μπεττίνα Χάιδιτς Επίκουρη Καθηγήτρια Υγιεινής Ιατρικής Στατιστικής e mail: haidich@med.auth.gr Υπολογισμός μεγέθους δείγματος Πιο πολλές επιδημιολογικές μελέτες έχουν ως στόχο να εκτιμηθεί κάποιο χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

τα πάντα είναι σχετικά

τα πάντα είναι σχετικά τα πάντα είναι σχετικά Συνολικά λίτρα κατανάλωσης μπύρας, το 2010 (απόλυτες συχνότητες) Σειρά κατάταξης Χώρα Λίτρα κατανάλωσης μπύρας (x 10 6 ) 1 Κίνα 44.683 2 ΗΠΑ 24.138 5 Γερμανία 8.787 16 Τσεχία 1.708

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

(Confounders) Δύο κύρια θέματα. Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες

(Confounders) Δύο κύρια θέματα. Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες Θα πρέπει να πιστέψω το αποτέλεσμα της μελέτης μου; Συγχυτικοί και τροποποιητικοί παράγοντες Κάπνισμα = 11,6 Καρκίνος παγκρέατος Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και διερεύνηση επιδημιών

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική

Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ιατρικά Μαθηματικά & Βιοστατιστική Στατιστικοί έλεγχοι για συνεχή και κατηγορικά δεδομένα Διδάσκοντες: Ευάγγελος Ευαγγέλου, Kωνσταντίνος Τσιλίδης, Ιωάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 4ο Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ονομάζουμε συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και συμβολίζεται με τα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών

ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πιθανότητες - Κατανομές ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ: ΦΡ. ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ ΤΜΗΜΑ: Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Φραγκίσκος Κουτελιέρης Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Τα συστηματικά σφάλματα στις επιδημιολογικές μελέτες Κάθε επιδημιολογική μελέτη πρέπει να θεωρείται ως μια άσκηση μέτρησης

Τα συστηματικά σφάλματα στις επιδημιολογικές μελέτες Κάθε επιδημιολογική μελέτη πρέπει να θεωρείται ως μια άσκηση μέτρησης Τα συστηματικά σφάλματα στις επιδημιολογικές μελέτες Κάθε επιδημιολογική μελέτη πρέπει να θεωρείται ως μια άσκηση μέτρησης Kenneth J. Rothman, 2002 Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

MEΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

MEΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ MEΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΕΣ- ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ Β. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗ 17/2/2015 Β. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗ 1 ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός (population). Eίναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 11 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο των επιδημιολογικών μελετών

Αντικείμενο των επιδημιολογικών μελετών Αντικείμενο των επιδημιολογικών μελετών Εάν το αντικείμενο μιας μελέτης είναι ο υπολογισμός του λόγου των επιπτώσεων-πυκνοτήτων του καρκίνου του πνεύμονα στους καπνιστές σε σχέση με τους μη καπνιστές,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτες αναλυτικής επιδημιολογίας στηδιερεύνησηεπιδημιών

Μελέτες αναλυτικής επιδημιολογίας στηδιερεύνησηεπιδημιών Μελέτες αναλυτικής επιδημιολογίας στηδιερεύνησηεπιδημιών Μελέτες ασθενών-μαρτύρων (case-control studies) Πρόγραμμα εκπαίδευσης στην επιδημιολογική επιτήρηση και διερεύνηση επιδημιών ΕΣΔΥ ΚΕΕΛΠΝΟ, 2010

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα