Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 8 Νοεμβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση 3 η (//04)

2 Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 353 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_3078 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_308 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_3084 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_3085 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_3086 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_3088 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_3090 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_309 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_3093 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_30 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_307 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_355 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_356 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_358 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_9364 ΓΗ_Α_ΑΛΓ_4_0330 που προστέθηκα έως τις 9 Νοεμβρίου 04 Οι απατήσεις και οι λύσεις είαι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς μελώ του Δικτυακού Τόπου mathematica.gr με βάση υλικό που ααρτήθηκε στο mathematica Συεργάστηκα οι: Γιώργος Βισβίκης, Κώστας Ζυγούρης, Γιώργης Καλαθάκης Κλεάθης Μαωλόπουλος, Θαάσης Παπασταθόπουλος, Γιώργος Ρίζος, Σωτήρης Στόγιας, Grosrouvre Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα από το δικτυακό τόπο mathematica.gr

3 Θέματα ης Ομάδας GI_A_ALG 480 Έα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτω και κάθε σειρά έχει κ καθίσματα περισσότερα από τη προηγούμεη. Η 7 η σειρά έχει 36 καθίσματα και το πλήθος τω καθισμάτω του σταδίου είαι 300. α) Αποτελού τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. (Μοάδες ) β) Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά; (Μοάδες 3) α) Αφού ο αριθμός τω καθισμάτω κάθε σειράς του γηπέδου διαφέρει από τη προηγούμεη κατά σταθερό αριθμό κ, σχηματίζεται αριθμητική πρόοδος με διαφορά κ. α + 9κ β) Είαι α7 = 36 α + 6κ= 36 και S0 = = 300 α + 9κ= 60. α + 6κ= 36 Λύουμε το σύστημα και βρίσκουμε α =, κ= 4 α + 9 κ= 60 Οπότε οι δέκα σειρές έχου τους εξής αριθμούς καθισμάτω: α =, α = 6, α 3 = 0, α 4 = 4, α 5 = 8, α 6 = 3, α 7 = 36, α 8 = 40, α 9 = 44, α 0 = 48 ΣΧΟΛΙΟ: Οι αριθμοί τω καθισμάτω κάθε σειράς κι όχι τα καθίσματα αποτελού όρους αριθμητικής προόδου. Η λεκτική διατύπωση της εκφώησης είαι μάλλο ατυχής. GI_A_ALG 3073 Το πάτωμα του εργαστήριου της πληροφορικής εός σχολείου είαι σχήματος ορθογωίου με διαστάσεις (x + ) μέτρα και x μέτρα. α) Να γράψετε με τη βοήθεια του x τη περίμετρο και το εμβαδό του πατώματος. (Μοάδες 0) β) Α το εμβαδό του πατώματος του εργαστηρίου είαι 90 τετραγωικά μέτρα, α βρείτε τις διαστάσεις του. (Μοάδες 5) α) Έστω P(x) η περίμετρος και E(x) το εμβαδό του πατώματος. P(x) = (x + ) + x P(x) = 4x +, x > 0 β) E(x) = x(x + ) E(x) = x + x, x > 0 E(x) = 90 x + x 90 = 0 x = 9 ή x = 0 που απορρίπτεται. Άρα οι διαστάσεις του ορθογωίου είαι 9 μέτρα και 0 μέτρα. 3

4 GI_A_ALG 3096 α) Α ΑΒΓ,, είαι τρία εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω εός πειράματος τύχης, α διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω εδεχόμεα: i) A B ii) B Γ iii) (A B) Γ iv) A (Μοάδες ) β) Στο παρακάτω σχήμα παριστάοται με διάγραμμα Venn ο παραπάω δειγματικός χώρος Ω και τα τρία εδεχόμεα Α, Β και Γ αυτού. Να υπολογίσετε τη πιθαότητα πραγματοποίησης τω εδεχομέω του (α) ερωτήματος. (Μοάδες 3) α) i. A Β : πραγματοποιείται τουλάχιστο έα από τα εδεχόμεα Α και Β. (ή πραγματοποιείται το εδεχόμεο Α ή το εδεχόμεο Β). ii. Β Γ : πραγματοποιούται συγχρόως τα εδεχόμεα Β και Γ. (ή πραγματοποιούται το εδεχόμεο Α και το εδεχόμεο Β). iii. ( Α Β) Γ: πραγματοποιούται συγχρόως τα εδεχόμεα Α, Β και Γ. iv. Α : δε πραγματοποιείται το εδεχόμεο Α. β) Είαι A B= {-,-5,-,0,,,7,8} με ( ) Γ= { } με Ν( Β Γ ) = B,8 { } με ( ) ( A B) Γ= N A B = 8 N A B Γ = A = {,0,3,4,6,7,8,0,} με Ν ( A ) = 9 Ακόμη είαι Ω= {-, -5, -,, 0,,, 3,4,6, 7, 8,0, } με ( ) Επομέως εφαρμόζοτας το κλασικό ορισμό της πιθαότητας: N( A B) 8 i. P( A B) = = ii. P( B ) N( Ω) 4 N ( A B) iii. P ( A B Γ ) Γ = = iv. P( A ) N( Ω) 4 N Ω = 4 ( Γ) N( Ω) N B Γ = = 4 ( ) ( Ω) N A 9 = = N 4 4

5 GI_A_ALG 35 α) Δίοται οι παραστάσεις: K = α +β και Λ = αβ, όπου α, β α) Να δείξετε ότι: K Λ, για κάθε τιμή τω α, β. (Μοάδες ) β) Για ποιες τιμές τω αβ, ισχύει η ισότητα K= Λ ; Να αιτιολογήσετε τη απάτησή σας. (Μοάδες 3) K Λ=α +α +β αβ=α + ( α β) 0 K Λ β) K =Λ α= 0 α β= 0 α=β= 0 GI_A_ALG 353 Δίεται το τριώυμο: x κx, με κ. α) Να αποδείξετε ότι Δ> 0 για κάθε κ, όπου Δ η διακρίουσα του τριωύμου. (Μοάδες 0) β) Α x,x είαι οι ρίζες της εξίσωσης x 3x = 0 (), i) α βρείτε το άθροισμα S= x+ x και το γιόμεο P= x x τω ριζώ της () (Μοάδες 6) o ii) α κατασκευάσετε εξίσωση υ βαθμού που α έχει ρίζες ρ, ρ, όπου ρ = x και ρ = x. (Μοάδες 9) α) Για τη διακρίουσα του δοθέτος τριωύμου, έχουμε ότι: Δ =κ 4 ( ) =κ > 0 για κάθε κ. βi) ii) Από τους τύπους Vieta για το άθροισμα και το γιόμεο τω ριζώ της εξισωσης (), έχουμε: 3 S= x+ x = = 3 και P= x x = =. Το άθροισμα τω ριζώ της υπό κατασκευή εξίσωσης, θα είαι: και το ατίστοιχο γιόμεο: Επομέως, η ζητούμεη εξίσωση δηλαδή η: ( ) S = x + x = x + x = S= 6 P = x x = 4x x = 4P= 8. o υ βαθμού, θα είαι η: + = x Sx P 0 x 6x 8= 0 5

6 Θέματα 4 ης Ομάδας GI_A_ALG_4_3078 Δίεται η εξίσωση (8 λ)x ( λ )x + = 0, με παράμετρο λ. α) Να βρείτε τη τιμή του λ ώστε η εξίσωση α είαι ου βαθμού. (Μοάδες 5 ) β) Α η εξίσωση είαι ου βαθμού, α βρείτε τις τιμές του λ ώστε αυτή α έχει μια διπλή ρίζα. Για τις τιμές του λ που βρήκατε, α προσδιορίσετε τη διπλή ρίζα της εξίσωσης. (Μοάδες 0) γ) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο ερώτημα (β), α δείξετε ότι το τριώυμο (8 λ)x ( λ )x + είαι μη αρητικό, για κάθε πραγματικό αριθμό x. (Μοάδες 0) α) Για α είαι η εξίσωση ου βαθμού πρέπει 8 λ= 0 λ= 8 β) Είαι λ 8 και Για λ= 4 η εξίσωση γράφεται: Για λ= η εξίσωση γράφεται: Δ= 0 4( λ ) 4(8 λ ) = 0 λ 4λ+ 4 8+λ= 0 λ λ = λ= λ= x 4x + = 0 (x ) = 0 x = 9x + 6x + = 0 (3x + ) = 0 x = 3 λ= το τριώυμο γράφεται ατίστοιχα: γ) Όπως είδαμε στο β) ερώτημα, για τις τιμές λ = 4, (x ) 0 και (3x + ) 0, για κάθε x 6

7 GI_A_ALG_4_308 Δίεται το τριώυμο: x α+ ( )x+ 4 +α, x α) Να αποδείξετε ότι η διακρίουσα του τριωύμου είαι Δ = ( α ) 6. (Μοάδες 5 ) β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α το τριώυμο έχει ρίζες πραγματικές και άισες. (Μοάδες 0) γ) Α το τριώυμο έχει ρίζες x,x, τότε: i) Nα εκφράσετε το άθροισμα S= x+ x συαρτήσει του a και α βρείτε τη τιμή του γιομέου P= xx τω ριζώ του. (Μοάδες ) ii) Nα αποδείξετε ότι: d(x,) d(x,) = 4 (Μοάδες 8 ) α) Δ= ( α+ ) 4(4 +α ) =α + α+ 6 4 α= ( α α+ ) 6 β) Πρέπει τω αριθμώ εκτός τω ριζώ του τριωύμου. Οι ρίζες του είαι α = 3, α= 5. Άρα: α (, 3) (5, + ) Δ= ( α ) 6 ( α ) 6> 0 α α 5> 0, που αληθεύει ότα το α βρίσκεται στο άξοα ΑΛΛΗ ( α ) > 6 α > 4 α (, 3) (5, + ) γ i) S= x+ x =α+, Είαι P = xx = 4 +α ii) d(x,) d(x,) = x x = xx (x+ x ) + = = 4 +α ( α+ ) + = 4 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η διατύπωση του (γi) ερωτήματος έπρεπε α είαι: "Nα εκφράσετε το άθροισμα S= x+ x και το γιόμεο P= xx τω ριζώ του συαρτήσει του α". Έτσι όπως είαι διατυπωμέο, μπορεί α μπερδέψει του μαθητές και α ομίζου ότι πρέπει α βρου συγκεκριμέη τιμή στο γιόμεο τω ριζώ. 7

8 GI_A_ALG_4_3084 Δίεται συάρτηση g( x) ( x )( x 4) = x +κ x+λ α) Να βρείτε τις τιμές τω κ και λ. (Mοάδες 9), η οποία έχει πεδίο ορισμού το {,} β) Για κ= και λ =, i ) α απλοποιήσετε το τύπο της g. (Μοάδες 9) ii) α δείξετε ότι: g( 3) g( ) α+ > α ότα (, ) (, ) α. (Μοάδες 7) ΣΧΟΛΙΟ: Οι ασκήσεις GI_A_ALG_4_3084 και GI_A_ALG_4_3085 έχου λάθος στη εκφώηση. Η γώση του πεδίου ορισμού τους δε μπορεί α προσδιορίσει τις τιμές τω κ, λ. Χρειάζεται η συμπλήρωση της εκφώησης με τη φράση: ( x )( x 4) g x =, η οποία έχει ως ευρύτερο δυατό πεδίο ορισμού Δίεται συάρτηση ( ) το R {,}. x +κ x+λ Δίχως αυτό το περιορισμό, για οποιαδήποτε συάρτηση G( x) ορισμού που περιέχει το {,}, μπορεί α οριστεί μια συάρτηση ( ) g x = Οπότε, α) Α είαι ( x )( x 4) x +κ x+λ, περιορισμός της G(x) στο {,} = ( x )( x 4) x +κ x+λ με πεδίο κ 4λ< 0 ο παροομαστής είαι διάφορος του μηδεός για κάθε x, οπότε μπορούμε α θεωρήσουμε μια συάρτηση g( x) {,}. Α κ λ= κ, λ. Α 4 0 = ( x )( x 4) x + κ x+λ με πεδίο ορισμού το κ κ 4 0, το x + κx+ = x+ 4 έχει ρίζα x κ =, οπότε αρκεί κ 4, λ 4 και κ λ>, για α έχει πεδίο ορισμού το R {,} πρέπει α είαι μηδέ ο παροομαστής του μόο ότα είαι x =, x =. Είαι ( ) ( ) +κ +λ= 0 κ λ= 4 κ= +κ +λ= 0 κ +λ= λ= Τότε ο παροομαστής του κλάσματος γράφεται x x ( x )( x ) + = + που έχει μοαδικές 8

9 ρίζες τα x, x = =, οπότε το πεδίο ορισμού της g(x) είαι το x {,} βi) Για κ= και λ= ( x )( x+ )( x )( x+ ) g( x) = = x+ x x x+ ( )( ) ( )( ), με x {,} x = + = x x με ρίζες το και. Για το τριώυμο x x έχουμε το παρακάτω πίακα προσήμω ii) Είαι g( ) ( x )( x ) x - + x x + + Επομέως το πρόσημο της συάρτησης g στο πεδίο ορισμού της είαι: x - - α α g( x ) Άρα ότα α (, ) (, ), δηλαδή <α< τότε < α+ 3. Έτσι όπως φαίεται στο παραπάω πίακα είαι g( α + 3) > 0 και ( ) g( α+ 3) > g( α ). g α < 0 δηλαδή ΣΧΟΛΙΟ: Υπάρχει κακή διατύπωση στη εκφώηση στο (βii). Α ζητού τη συεπαγωγή α (, ) (, ) g ( α+3) > g ( α ), η εκφώηση πρέπει α γραφτεί "α α (, ) (, ) τότε α δείξετε ότι g( α + 3) > g( α ) " Ειδάλως, το Σύολο Αλήθειας της αισότητας είαι το (, ) (, + ), που περιέχει το (, ) (, ) ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΑΛΗΘΕΙΑΣ της ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ g( α) g( β) > 0 Τα α, α+ 3 αήκου στο πεδίο ορισμού της g(x), α α+ 3 άρα πρέπει α είαι, δηλαδή α α+ 3 Για αυτά τα α, έχουμε α α α 5 g( α+ 3) > g( α) ( α+ 3+ )( α+ 3 ) > ( α+ )( α ) α + 5α+ 4>α α 6α+ 6> 0 α>, οπότε με βάση τους περιορισμούς είαι α (, ) (, + ) 9

10 GI_A_ALG_4_3085 Δίεται συάρτηση g( x) ( x )( x 4), η οποία έχει πεδίο ορισμού το {,} = x +κ x+λ α) Να βρείτε τις τιμές τω κ και λ. (Mοάδες 9) β) Για κ= και λ =, i ) α απλοποιήσετε το τύπο της g. (Μοάδες 9) ii) α δείξετε ότι: g( ) g( β) 0 α > ότα, (,) (,) αβ. (Μοάδες 7) ΣΧΟΛΙΟ: Για το ερώτημα (α) ισχύει ότι γράψαμε στη προηγούμεη άσκηση GI_A_ALG_4_3084 βi) Για κ= και λ=, ( x )( x+ )( x )( x+ ) Τότε g( x) = = x+ x x x+ ( )( ) ii) Θα δείξουμε ότι α αβ, (,) (,), τότε ( ) ( ) ( )( ), με x {,} g α g β > 0. Πράγματι, είαι <α α+ > 0, α< α < 0 και <β β+ > 0, β< β < 0, οπότε g ( α) g ( β) = ( α+ )( α )( β + )( β ) > 0 ΣΧΟΛΙΟ: Όπως και στη 4_3804 πιστεύουμε ότι υπάρχει κακή διατύπωση στη εκφώηση στο (βii). Α ήθελα οι θεματοδότες α ζητήσου τη συεπαγωγή α, β (,) (,) g( α) g( β ) > 0, θα έπρεπε α το διατυπώσου σαφέστερα με τη διατύπωση: ii) α αβ, (,) (,), τότε α δείξετε ότι: ( ) ( ) g α g β > 0. (Μοάδες 7) Σε μια συεπαγωγή συηθίζουμε α γράφουμε πρώτα τη υπόθεση και κατόπι τη απόδειξη. Έτσι όπως διατυπώεται οδηγεί τους μαθητές στη ααζήτηση όλω τω τιμώ τω αβ, για τις οποίες ισχύει η αισότητα, κάτι που είαι αρκετά δύσκολο για μαθητές Α Λυκείου. ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΑΛΗΘΕΙΑΣ της ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ g( α) g( β) > 0 Τα α, β αήκου στο πεδίο ορισμού της g(x) άρα πρέπει α είαι α, β α, β 0

11 Για αυτά τα αβ,, έχουμε g( α) g( β ) > 0 ( α+ )( α )( β + )( β ) > 0 Η αισότητα αυτή ισχύει ότα είαι αβ, (, ) (, ) ή αβ, (,) (,) ή α, β (, + ) ή (, ) (, ) (, ) α β + ή (, ) (, ) (, ) β α + GI_A_ALG_4_3086 Δίεται το τριώυμο: λx ( λ + )x +λ, λ { 0} α) Να βρείτε τη διακρίουσα Δ του τριωύμου και α αποδείξετε ότι το τριώυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ { 0}. (Μοάδες 9 ) β) Για ποιες τιμές του λ το παραπάω τριώυμο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μοάδες 6 ) γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε λx λ+ ( )x+λ 0, για κάθε x. (Μοάδες 0) Δ= ( λ + ) 4λ = λ + λ λ + + λ Δ= ( λ ) ( λ+ ) 0. α) ( )( ) Άρα το τριώυμο έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ R { 0}. β) Για α έχει το τριώυμο ίσες ρίζες θα πρέπει Δ= 0 λ = 0 λ+ = 0 λ= λ= γ) Πρέπει λ< 0 και Δ 0. Αλλά είαι 0 λ 0. Οπότε λ< 0 και Δ = 0, δηλαδή λ =. Δ, για κάθε { }

12 GI_A_ALG_4_3088 Εξαιτίας εός ατυχήματος σε διυλιστήριο πετρελαίου, διαρρέει στη θάλασσα πετρέλαιο που στο τέλος της ης ημέρας καλύπτει 3 τετραγωικά μίλια (τ.μ), στο τέλος της ης ημέρας καλύπτει 6 τ.μ, στο τέλος της 3 ης ημέρας καλύπτει τ.μ. και γεικά εξαπλώεται έτσι, ώστε στο τέλος κάθε ημέρας α καλύπτει επιφάεια διπλάσια από αυτή που κάλυπτε τη προηγούμεη. α) Να βρείτε τη επιφάεια της θάλασσας που θα καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος της 5 ης ημέρας μετά το ατύχημα. (Μοάδες 7 ) β) Πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος το πετρέλαιο θα καλύπτει 768 τ.μ.; (Μοάδες 9 ) γ) Στο τέλος της 9 ης ημέρας επεμβαίει ο κρατικός μηχαισμός και αυτομάτως σταματάει η εξάπλωση του πετρελαίου. Στο τέλος της επόμεης ημέρας η επιφάεια που καλύπτει το πετρέλαιο έχει μειωθεί κατά 6 τ.μ. και συεχίζει α μειώεται κατά 6 τ.μ. τη ημέρα. Να βρείτε πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα τ.μ. (Μοάδες 9) α) Η εξάπλωση του πετρελαίου στη επιφάεια της θάλασσας αά ημέρα, αυξάεται με γεωμετρική πρόοδο α, όπου ο πρώτος όρος είαι α * = 3 και ο λόγος λ=., Στο τέλος της 5 ης ημέρας θα καλύπτει επιφάεια ίση με β) Ααζητούμε το ώστε α = α 5 = 3 = 48 τ. μ = 3λ λ = 56 = = 9. Άρα, 9 ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος το πετρέλαιο θα καλύπτει 768 τ.μ. * γ) Το πετρέλαιο στη επιφάεια της θάλασσας μειώεται με αριθμητική πρόοδο β,, όπου ο πρώτος όρος, τη επόμεη μέρα της επέμβασης, είαι β = = 76, η διαφορά της προόδου ω= 6 και ο ιοστός όρος β =. Έχουμε λοιπό: 76 = 76 6( ) = = 6 6 Άρα σε 6 ημέρες από τη στιγμή που επεέβη ο κρατικός μηχαισμός, δηλαδή σε 35 ημέρες από τη στιγμή του ατυχήματος, η θαλάσσια επιφάεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα τ.μ.

13 GI_A_ALG_4_3090 Δίοται οι συαρτήσεις f(x) = x + 3x+ και g(x) = x +,x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω f,g έχου έα μόο κοιό σημείο, το οποίο στη συέχεια α προσδιορίσετε. (Μοάδες 0) β) Δίεται η συάρτηση h(x) = x +α. Να δείξετε ότι: i) α α>, τότε οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω f,h έχου δύο κοιά σημεία. ii) α α<, τότε οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω f,h δε έχου κοιά σημεία. (Μοάδες 5) α) f(x) = g(x) x + 3x+ = x+ x + x+ = 0 (x+ ) = 0 x=, απ' όπου προκύπτει f ( ) = g( ) = 0. Άρα οι γραφικές παραστάσεις τω δύο συαρτήσεω έχου έα μόο κοιό σημείο, το A(,0). β) Από το πλήθος τω ριζώ της εξίσωσης f(x) = h(x) x + 3x + = x +α x + x + α= 0, θα προσδιορίσουμε και το πλήθος τω σημείω τομής τω γραφικώ τους παραστάσεω. Είαι Δ= α Δ= 4( α ) i) Α α>, τότε Δ > 0, οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άισες. Άρα οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω f,h έχου δύο κοιά σημεία. ii) Α α<, τότε Δ < 0, οπότε η εξίσωση δε έχει πραγματικές ρίζες. Άρα οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω f,h δε έχου κοιά σημεία. 3

14 GI_A_ALG_4_309 Σε έα οργαισμό, αρχικά υπάρχου βακτήρια. Μετά από ώρα υπάρχου 0400 βακτήρια, μετά από ώρες 500 βακτήρια, και γεικά ο αριθμός τω βακτηρίω υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχου μετά από 6 ώρες; (Μοάδες 6) β) Τη χροική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήτα 300, ο οργαισμός παρουσίασε ξαφική επιδείωση. Ο αριθμός τω βακτηρίω άρχισε πάλι α αυξάεται ώστε κάθε μια ώρα α τριπλασιάζεται. Το φαιόμεο αυτό διήρκεσε για 5 ώρες. Συμβολίζουμε με β το πλήθος τω βακτηρίω ώρες μετά από τη στιγμή της επιδείωσης (v 5). i) Να δείξετε ότι η ακολουθία (β) είαι γεωμετρική πρόοδος, και α βρείτε το πρώτο όρο και το λόγο της. ii) Να εκφράσετε το πλήθος β τω βακτηρίω συαρτήσει του. (Μοάδες ) iii) Πόσα βακτήρια θα υπάρχου στο οργαισμό 3 ώρες μετά από τη στιγμή της επιδείωσης; (Μοάδες 7) α) Αφού «γεικά ο αριθμός τω βακτηρίω υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα» (δηλαδή ο αριθμός τους γίεται 0400, 500, 5600,... ) σύμφωα με το ορισμό της γεωμετρικής προόδου, τα πλήθη τω βακτηρίω μετά από ώρες αποτελού διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου α, * με λόγο Ο γεικός τύπος θα είαι λ= και πρώτο όρο α = α =αλ α = Επομέως, μετά από 6 ώρες, (για = 6 ), θα υπάρχου: 5 α 6 = 0400 = 0400 = 300 βακτήρια. 3 β) Σύμφωα με τη εξέλιξη του φαιομέου, μετά τη έκτη ώρα ο αριθμός τω βακτηρίω τριπλασιάζεται ύστερα από κάθε μια ώρα (δηλαδή γίεται : 9600, 8800, 86400,... ) Επομέως τα πλήθη τω βακτηρίω ώρες μετά από τη επιδείωση αποτελού διαδοχικούς * όρους γεωμετρικής προόδου β,, 5 με λόγο λ = 3 και πρώτο όρο β = Ο γεικός τύπος είαι β =βλ β = Το πλήθος τω βακτηρίω που θα υπάρχου στο οργαισμό 3 ώρες μετά από τη στιγμή της επιδείωσης θα δίοται από το γεικό τύπο για = 3. Επομέως β 3 = = = βακτήρια. 4

15 GI_A_ALG_4_3093 Ο ιδιοκτήτης εός ταξιδιωτικού γραφείου εκτιμά ότι, ότα για μια συγκεκριμέη διαδρομή διαθέτει τα εισιτήρια στη καοική τιμή τω αά εισιτήριο, τότε πουλά κατά μέσο όρο 30 μόο εισιτήρια, εώ το λεωφορείο έχει5 θέσεις. Θέλοτας α αυξήσει τη πελατεία του, κάει τη ακόλουθη προσφορά: Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει 3 και κάθε επόμεος επιβάτης θα πληρώει 0,5 περισσότερο από το προηγούμεο. α) Να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης. (Μοάδες 4) β) Α, για κάθε 5 ο αριθμός α εκφράζει το ποσό που θα πληρώσει ο -οστός επιβάτης, α δείξετε ότι οι αριθμοί α, α,..., α 5 είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και α βρείτε τη διαφορά ω αυτής της προόδου. (Μοάδες 6 ) γ) Α το λεωφορείο γεμίσει, α βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο 5ος επιβάτης. (Μοάδες 7 ) δ) Να βρείτε πόσα τουλάχιστο εισιτήρια θα πρέπει α πουληθού ώστε η είσπραξη του γραφείου με αυτή τη προσφορά α ξεπερά τη είσπραξη που θα έκαε α πουλούσε 30 εισιτήρια στη τιμή τω αά εισιτήριο. (Δίεται ότι: 00 = 0) (Μοάδες 8 ) α) Ο δεύτερος ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης θα πληρώσου ατίστοιχα, 3,5, 4, 4,5 β) Οι αριθμοί α, α,..., α 5 είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου γιατί ο καθέας (μετά το α ) προκύπτει από το προηγούμεο με πρόσθεση του ίδιου αριθμού ω= 0,5, που είαι και η διαφορά της προόδου. γ) Ο 5ος επιβάτης θα πληρώσει α 5 = α+ 50ω= 3+ 5 = 8 δ) Για α συμβεί αυτό θα πρέπει: S > 30, όπου S το άθροισμα τω πρώτω όρω της αριθμητικής προόδου. [ α+ ( ) ω ] > > > 0 > 45 Θα πρέπει λοιπό α πουληθού τουλάχιστο 46 εισιτήρια. 5

16 GI_A_ALG_4_30 Δίεται η εξίσωση: x λ x+ 4λ+ 5= 0, με παράμετρο λ α) Να αποδείξετε ότι α λ = 5 η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα. (Μοάδες 5) β) Να εξετάσετε α υπάρχει και άλλη τιμή του λ, ώστε η εξίσωση α έχει διπλή ρίζα. (Μοάδες 5) γ) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση α έχει δύο ρίζες άισες. (Μοάδες 0) δ) Α λ 4λ 5 = 4λ λ + 5, λ {,5}, α δείξετε ότι η εξίσωση δε έχει ρίζες. (Μοάδες 5) α) Για λ = 5 η εξίσωση γίεται x 0x = με Δ = 0, οπότε η εξίσωση έχει διπλή ρίζα. β) Για α εξετάσουμε α υπάρχει άλλη τιμή του λ ώστε α έχει η εξίσωση διπλή ρίζα αρκεί α βρούμε α υπάρχει άλλη τιμή του λ ώστε Δ = 0. λ 4 4λ+ 5 = 4λ 6λ 0. Είαι Δ = ( ) ( ) Οπότε Δ = 0 λ = 5 ή λ =. γ) Για α έχει η δευτεροβάθμια εξίσωση δύο ρίζες άισες πρέπει και αρκεί Δ > λ, 5, + λ λ > 0 ( ) ( ) δ) Από τη δοθείσα σχέση έχουμε ότι (,5) λ λ < λ για τις τιμές τις οποίες η διακρίουσα της αρχικής εξίσωσης είαι αρητική και επομέως δε έχει πραγματικές ρίζες. 6

17 GI_A_ALG_4_307 Δίεται το τριώυμο: λx ( λ + )x +λ, λ { 0} α) Να βρείτε τη διακρίουσα Δ του τριωύμου και α αποδείξετε ότι το τριώυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ { 0}. (Μοάδες 9 ) β) Α x,x είαι οι ρίζες του τριωύμου, α εκφράσετε το άθροισμα S= x+ x συαρτήσει του λ 0 και α βρείτε τη τιμή του γιομέου P= xx τω ριζώ. (Μοάδες 5) γ) Α λ> 0 το παραπάω τριώυμο έχει ρίζες θετικές ή αρητικές; Να αιτιολογήσετε τη απάτησή σας. (Μοάδες 6 ) δ) Α 0<λ και x,x, με x < x, είαι οι ρίζες του παραπάω τριωύμου, τότε α βρείτε το πρόσημο του γιομέου f (0) f ( κ) f ( μ ), όπου κ, μ είαι αριθμοί τέτοιοι ώστε x <κ< x <μ. (Μοάδες 6 ) α) 4 Δ= ( λ + ) 4λ =λ λ + = ( λ ) 0. Άρα το τριώυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ { 0}. β) S x x λ + λ = + =, P= xx = P= λ λ γ) Οι ρίζες είαι θετικές γιατί έχου άθροισμα και γιόμεο θετικό. δ) Για 0<λ, το τριώυμο γράφεται: f(x) = λ(x x )(x x ) f (0) f ( κ) f ( μ ) = λ 3 ( κ x )( κ x )( μ x )( μ x ) Από τη υπόθεση όμως έχουμε: λ> 0, κ x > 0, κ x < 0, μ x > 0, μ x > 0. Άρα, f (0) f ( κ) f ( μ ) < 0 7

18 GI_A_ALG_4_355 Δίοται οι συαρτήσεις f ( x) = 4x+ και ( ) g x = x 9 με πεδίο ορισμού το. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συάρτησης g με το άξοα x x. (Μοάδες 6) β) Να εξετάσετε α η γραφική παράσταση της f τέμει τους άξοες σε κάποιο από τα σημεία (3, 0) και (-3, 0). (Μοάδες 4) γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω f, g δε έχου κοιό σημείο πάω σε κάποιο από τους άξοες. (Μοάδες 8) δ) Να βρείτε συάρτηση h της οποίας η γραφική παράσταση είαι ευθεία, διέρχεται από το A(0, 3) και τέμει τη γραφική παράσταση της g σε σημείο του ημιάξοα Οx. (Μοάδες 7) α) Η γραφική παράσταση της g(x) τέμει το άξοα x x σε σημεία τω οποίω η τετμημέη επα- ληθεύει τη εξίσωση g( x) = 0 x 9= 0 x = 3 x = 3, δηλαδή στα σημεία B( 3,0 ), Γ( 3, 0) f x = 0 4x+ = 0 x =, οπότε η γραφική παράσταση της f(x) δε τέμει το άξοα x x στα B, Γ. β) Είαι ( ) γ) Όπως είπαμε παραπάω οι γραφικές παραστάσεις f(x) και g(x) δε τέμοται στο άξοα x x. Επίσης είαι f ( 0) = και ( ) g 0 = 9άρα ούτε στο άξοα y y τέμοται. δ) Η γραφική παράσταση της g τέμει το ημιάξοα Οx στο σημείο Γ( 3, 0 ). Οπότε η συάρτηση h(x) έχει γραφική παράσταση που είαι πλάγια ευθεία της μορφής y=α x+β και διέρχεται από τα σημεία Α( 0, 3 ), Γ ( 3, 0). Άρα είαι 3= 0 α+β 0 = 3 α+ 3 οπότε α=, β= 3, άρα h( x) = x+ 3 8

19 GI_A_ALG_4_356 Δίεται μια αριθμητική πρόοδος ( α ), όπου *. Α οι τρεις πρώτοι όροι της προόδου είαι: α = x, α = x 3x 4, α3 = x, όπου x τότε, α) α αποδειχθεί ότι x = 3. (Μοάδες 0) β) α βρεθεί ο -οστός όρος της προόδου και α αποδειχθεί ότι δε υπάρχει όρος της προόδου που α ισούται με 04. (Μοάδες 8) γ) α υπολογιστεί το άθροισμα S = α +α 3+α α 5. (Μοάδες 7) α) Αφού η ( α ) είαι αριθμητική πρόοδος, τότε α α =α3 α x 4x 4 = x + 3x + 3x 7x 6 = 0, όπου x 7 ± 7 ± H εξίσωση έχει ρίζες x, = = x = 3,x =, άρα η ακέραιη ρίζα είαι x = 3 β) Τότε α 3, = α = = άρα ω =α α =, οπότε ( ) α = 3+ = + Η εξίσωση α = 04 γράφεται 03 + = 04 = Ν, άρα είαι αδύατη. γ) Σχηματίζουμε τη ακολουθία α, α3, α 5,... που είαι επίσης αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο β = 3 και διαφορά ω= 4, άρα β = 3+ 4( ) β = 4 β +β Τότε α 5 = 3, άρα β = 3 4 = 3 = 8. Οπότε S = 8 = 8 = 36 ΣΧΟΛΙΟ: Γεικότερα, μπορούμε α αποδείξουμε ότι ισχύει: β =α αφού είαι β = 4 = ( ) + =α 9

20 GI_A_ALG_ 4_358 Δυο φίλοι αποφάσισα α κάου το χόμπι τους δουλειά. Τους άρεσε α ζωγραφίζου μπλουζάκια και έστησα μια μικρή επιχείρηση για α τα πουλήσου μέσω διαδικτύου. Σε διάστημα εός μηός τα έξοδα κατασκευής (σε ευρώ) για x μπλουζάκια δίοται από τη συάρτηση K( x) =,5x+ 0 και τα έσοδα από τη πώλησή τους (σε ευρώ), από τη συάρτηση E( x) = 5,5x. α) Α η επιχείρηση κάποιο μήα δε κατασκευάσει μπλουζάκια, έχει έξοδα; Να αιτιολογήσετε τη απάτησή σας. (Μοάδες 6) β) Τι εκφράζει ο αριθμός,5 και τι ο αριθμός 5,5 στο πλαίσιο του προβλήματος; (Μοάδες 4) γ) Να βρείτε πόσα μπλουζάκια πρέπει α πουλήσου ώστε α έχου έσοδα όσα και έξοδα (δηλαδή α μη «μπαίει μέσα» η επιχείρηση) (Μοάδες 6) δ) Α πουλήσου 60 μπλουζάκια θα έχου κέρδος; Να αιτιολογήσετε τη απάτησή σας. (Μοάδες 9) α) Α η επιχείρηση κάποιο μήα δε κατασκευάσει μπλουζάκια, τότε από τη συάρτηση τω εξόδω κατασκευής, για x = 0 μας παίρουμε K(0) =, = 0 ευρώ. Δηλαδή η επιχείρηση έχει πάγια έξοδα (αεξάρτητα από το ύψος της παραγωγής) 0 ευρώ το μήα. β) Ο συτελεστής,5 στη συάρτηση τω εξόδω κατασκευής, εκφράζει τη αύξηση τω εξόδω για κάθε έα μπλουζάκι που κατασκευάζεται, (το κόστος που έχει το κάθε μπλουζάκι). Π.χ. για x = 0, K(0) = 0, για x =, K) ( = 3, 5, για x =, K() = 45 κλπ. Όμοια ο συτελεστής 5,5 στη συάρτηση τω εσόδω εκφράζει τη τιμή πώλησης για το κάθε μπλουζάκι που πουλιέται. Π.χ. x = 0, K(0) = 0, για x =, K() = 5, 5, για x =, K() = 3 κλπ. γ) Θα πρέπει K( x) = E( x) 5,5x =,5x + 0 5,5x,5x = 0 3x = 0 x = 40 Επομέως για α μη «μπαίει μέσα» η επιχείρηση πρέπει α πουλήσου 40 μπλουζάκια. δ) Α πουλήσου 60 μπλουζάκια, τότε θα έχου έσοδα E(60) = 5,5 60 = 930 και έξοδα K(60) =, = 870, επομέως θα έχου κέρδος : = 60 ευρώ. ΑΛΛΗ Η συάρτηση του κέρδους είαι ( ) P(x) =Ε( x) Κ( x) = 5,5 x,5 x + 0 = 3 x 0 με x 0 Για x = 60 θα είαι P(60) = = 80 0 = 60. Αφού είαι P(60) = 60 > 0 θα έχου κέρδος 60 ευρώ. 0

21 GI_A_ALG_ 4_9364 Δίεται το τριώυμο: ( ) x α + x+ 4+ α,α. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίουσα του τριωύμου είαι: Δ= ( α ) 6 (Μοάδες 5) β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α το τριώυμο έχει ρίζες πραγματικές και άισες. (Μοάδες 0) γ) Α το τριώυμο έχει ρίζες x,x, τότε: i. Να εκφράσετε το άθροισμα S= x+ x και το γιόμεο P= x x τω ριζώ του συαρτήσει του α. (Μοάδες ) ii. Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) d x, d x, = 4. (Μοάδες 8) α) Από το τύπο της διακρίουσας έχουμε: ( ( )) ( ) ( ) ( ) Δ β 4αγ α 4 4 α α 6 4α = = + + = + = α α 6 4α α α 6 α 6 = + + = + = β) Το τριώυμό μας έχει πραγματικές ρίζες και άισες μεταξύ τους ότα Δ > 0. α τρόπος Άρα έχουμε: α > 6 α > 4 α > 5 ( α ) 6> 0 ( α ) > 6 ή ή ή α 6 α 4 < < α < 3 α, 3 5, + ( ) ( ) Οπότε ότα α (, 3) ( 5, + ) το τριώυμό μας έχει ρίζες πραγματικές και άισες. β τρόπος ( ) Οπότε οι ρίζες είαι: α 6> 0 α α + 6> 0 α α 5 > 0 ( ) ( ) Δ = 4 5 = = 64

22 α, α = = = 5 β± Δ ( ) ± 64 ± 8 = = = = α 8 6 α = = = 3 Από το πίακα προσήμω του τριωύμου έχουμε: α α α α < 3 α > 5 Άρα: ή α (, 3) ( 5, + ), διότι θέλουμε το τριώυμό μας α είαι θετικό. Οπότε ότα α (, 3) ( 5, + ) το τριώυμό μας έχει ρίζες πραγματικές και άισες. γi) ii) Από τους τύπου Vieta έχουμε: ( α ) β + S= x+ x = = = α + α και γ 4 + α P= x x = = = α + 4 α Από το τύπο της απόστασής δύο σημείω, αλλά και από τους τύπους Vieta του προηγούμεου ερωτήματος έχουμε: ( ) ( ) = = ( ) ( ) = ( ) ( ) d x, d x, x x x x = x x x x + = x x x + x + = P S+ = = α + 4 α + + = α + 4 α + = 4 = 4

23 GI_A_ALG_4_0330 Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος y(σε m) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χροική στιγμή t (σε sec ) μετά τη εκτόξευση, δίεται από τη σχέση: y= 60t 5t α) Μετά από πόσο χρόο η σφαίρα θα επαέλθει στο έδαφος; β) Ποιες χροικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος y = 75m ; (Μοάδες 8) (Μοάδες 8) γ) Να βρεθεί το χροικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από 00m. (Μοάδες 9) α) Προφαώς είαι t 0. Ακόμα: y 0 60t 5t 0 t(60 5t) t 0 (αφού t 0), οπότε 60 5t 0 t, άρα είαι 0 t Η σφαίρα είαι στο έδαφος ότα y= 0 Οπότε y = 0 60t 5t = 0 t(60 5t) = 0 t = 0, (κατά τη εκτόξευση) ή 60 5t = 0 t = Επομέως μετά από sec θα επαέλθει στο έδαφος β) y = 75 60t 5t = 75 5t 60t + 75 = 0 t t + 35 = 0 t = 5 ή t = 7, που είαι δεκτές. γ) Είαι y > 00 60t 5t > 00 5t 60t + 00 < 0 t t + 0 < 0 Το τριώυμο έχει Δ = 44 80= 64> 0 και επομέως έχει δυο λύσεις, τις : + 8 t = = 0 ± 64 t, = = 8 t = = κι αφού α = > 0, το τριώυμο είαι αρητικό στο διάστημα αάμεσα στις ρίζες, δηλαδή ότα < t < 0 Επομέως η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από 00 m στο (αοιχτό) χροικό διάστημα από έως 0 sec. 3