Διζαγωγή. Ζ αλζξώπηλε ζθέςε, ίζσο πνπζελά αιινύ. δελ εθδειώλεηαη κε ηόζε δύλακε θαη. ιακπξόηεηα όζν ζηα καζεκαηηθά. A.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διζαγωγή. Ζ αλζξώπηλε ζθέςε, ίζσο πνπζελά αιινύ. δελ εθδειώλεηαη κε ηόζε δύλακε θαη. ιακπξόηεηα όζν ζηα καζεκαηηθά. A."

Transcript

1 Ζ αλζξώπηλε ζθέςε, ίζσο πνπζελά αιινύ δελ εθδειώλεηαη κε ηόζε δύλακε θαη ιακπξόηεηα όζν ζηα καζεκαηηθά AD Aleksadrov Διζαγωγή ηελ παξνύζα εξγαζία κειεηάκε έλαλ δεύηεξν ηύπν αιγεβξηθώλ δνκώλ ηνπο δαθηπιίνπο Σν πξόηππν απηώλ ησλ δνκώλ είλαη ν δαθηύιηνο ησλ αθεξαίσλ ην νπνίν ζα δνύκε θαη από ηελ άπνςε ησλ κνλνεηδώλ,,0,,, Ζ κειέηε ηνπ από ηελ άπνςε ηνπ δαθηπιίνπ αληηκεησπίδεη απηέο ηηο δύν δνκέο ζπγρξόλσο θαη ηηο ζπζρεηίδεη κε ηνλ επηκεξηζηηθό λόκν Αληίζεηα πξνο ηε ζεσξία νκάδσλ ε ζεσξία ησλ δαθηπιίσλ έρεη ζπλδπαζηεί κ έλα πιήζνο εηδηθώλ ζεσξηώλ Γη απηό ην ιόγν ε πιεηνλόηεηα ησλ παξαδεηγκάησλ, ζπκπεξηιακβαλνκέλσλ πνιιώλ νηθείσλ πξνο ηνλ αλαγλώζηε, θαηαδεηθλύνπλ ην πόζν πινύζηνο είλαη απηόο ν θιάδνο ηεο άιγεβξαο Ξεθηλάκε ηε ζπδήηεζε κε νξηζκνύο θαη παξαδείγκαηα ζε δηάθνξνπο ηύπνπο αληηκεηαζεηηθώλ δαθηπιίσλ ηε ζπλέρεηα κειεηάκε βαζηθέο έλλνηεο ησλ ηδεσδώλ, ησλ δαθηπιίσλ πειίθν, θαη ησλ νκνκνξθηζκώλ δαθηπιίσλ, ηα νπνία είλαη αλάινγα, αληηζηνίρσο, πξνο ηηο θαλνληθέο ππννκάδεο, ηηο νκάδεο πειίθν, θαη ηνπο νκνκνξθηζκνύο νκάδσλ Πεξηνξίδνπκε ηελ πξνζνρή καο θπξίσο ζηνπο αληηκεηαζεηηθνύο δαθηπιίνπο όπσο ζώκαηα θιαζκάησλ αληηκεηαζεηηθώλ πεξηνρώλ, δαθηπιίνπο πνιπσλύκσλ κηαο απξνζδηόξηζηεο, ζηνηρεηώδε ζεσξία παξαγνληνπνίεζεο αληηκεηαζεηηθώλ πεξηνρώλ θαζώο θαη εθαξκνγέο απηώλ

2 Οη αληηκεηαζεηηθνί δαθηύιηνη έρνπλ ηελ πξνέιεπζή ηνπο από ηε ζεσξία αξηζκώλ θαη από ηελ αιγεβξηθή γεσκεηξία ζηνλ 9 ν αηώλα ήκεξα είλαη ηδηαίηεξα ζεκαληηθνί θαη έρνπλ ελδηαθέξνπζα επίδξαζε ζηελ αιγεβξηθή γεσκεηξία θαη ζηελ ζεσξία αξηζκώλ, ρξεζηκνπνηώληαο κεζόδνπο αληηκεηαζεηηθήο άιγεβξαο Δδώ πεξηγξάθνπκε ηηο βαζηθέο κεζόδνπο θαη θάλνπκε ηα πξώηα βήκαηα ζε απηό ην ζέκα ην εμήο όινη νη δαθηύιηνη ζα είλαη αληηκεηαζεηηθνί, εθηόο αλ ζεσξήζνπκε θάηη άιιν Σν θεληξηθό ζέκα ηεο αμησκαηηθήο αλάπηπμεο ηεο γξακκηθήο άιγεβξαο είλαη έλαο δηαλπζκαηηθόο ρώξνο επί ελόο ζώκαηνο Ζ αμησκαηνπνίεζε ηεο γξακκηθήο άιγεβξαο, ε νπνία επηηεύρζεθε ην 920, κνξθνπνηήζεθε ζε κηα κεγάιε έθηαζε, από ηελ επηζπκία λα εηζάγνπκε γεσκεηξηθέο έλλνηεο ζηε κειέηε ζπγθεθξηκέλσλ θιάζεσλ ησλ ζπλαξηήζεσλ ζηελ αλάιπζε Καη αξράο, αζρνιεζήθακε απνθιεηζηηθά κε ηνπο δηαλπζκαηηθνύο ρώξνπο ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ή ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ Ζ έλλνηα ελόο module είλαη κηα άκεζε γελίθεπζε ελόο δηαλπζκαηηθνύ ρώξνπ Ζ γελίθεπζε απηή επηηπγράλεηαη απιά αληηθαζηζηώληαο ην ζώκα ησλ ζπληειεζηώλ δηά ελόο δαθηπιίνπ Ο επθνιόηεξνο ηξόπνο γηα λα νξίζνπκε έλα module κπνξνύκε λα πνύκε όηη είλαη έλα αιγεβξηθό ζύζηεκα ην νπνίν ηθαλνπνηεί ηα ίδηα αμηώκαηα όπσο έλαο δηαλπζκαηηθόο ρώξνο εθηόο ηνπ όηη νη ζπληειεζηέο αλήθνπλ ζ έλα δαθηύιην R κε κνλάδα αληί ελόο ζώκαηνο F Απηή ε θαηλνκεληθά ζεκλή γελίθεπζε νδεγεί ζε κηα αιγεβξηθή δνκή ε νπνία είλαη κεγίζηεο ζεκαζίαο Ηζηνξηθά ν πξώηνο δαθηύιηνο πνπ κειεηήζεθε ήηαλ ν δαθηύιηνο Z ησλ αθεξαίσλ, ν όξνο δαθηύιηνο πξσηνρξεζηκνπνηήζεθε από ηνλ Hlbert (897) ζην Zahlbercht ηνπ γηα έλαλ δαθηύιην αιγεβξηθώλ αθεξαίσλ ην Z θάζε δαθηύιηνο είλαη θύξηνο ηελ πξαγκαηηθόηεηα ηα ηδεώδε είραλ πξώηα εηζαρζεί (από Kummer) σο ηδεώδεηο αξηζκνί ζηνπο δαθηπιίνπο αιγεβξηθώλ αθεξαίσλ νη νπνίνη εζηεξνύλην κνλαδηθήο παξαγνληνληνπνίεζεο (uque factorzato) ην Z κπνξνύκε από δύν αξηζκνύο a,b λα νξίζνπκε ηνλ κέγηζην θνηλό δηαηξέηε (ΜΚΓ) απηώλ, (a,b), ην γηλόκελό ηνπο ab θαη ην ειάρηζην θνηλό πνιιαπιάζην (ΔΚΠ) απηώλ, [a,b] Απηέο νη πξάμεηο αληηζηνηρνύλ ζε πξάμεηο ηδεσδώλ ζε θάζε δαθηύιην Ζ ζεσξία ησλ δηαηηκήζεσλ κπνξεί λα πεξηγξαθεί σο ε κειέηε ηεο δηαηξεηόηεηαο (ζε αληηκεηαζεηηθό δαθηύιην) αιιά δελ ππάξρεη κόλν απηή ε άπνςε Ζ γεληθή δηαηύπσζε νδεγεί ζηνλ νξηζκό ησλ ηνπνινγηθώλ ελλνηώλ όπσο ε ζπκπιήξσζε,ε νπνία απνηειεί πνιύ ρξήζηκν εξγαιείν Δπίζεο ηνλίδεη ηελ παξαιιειία κε ηελ απόιπηε ηηκή ζηνπο πξαγκαηηθνύο θαη ζηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο Μεηά από ηνπο αξρηθνύο απηνύο νξηζκνύο κπνξνύκε λα απνδείμνπκε ηελ κνλαδηθόηεηα ηεο απόιπηεο ηηκήο ζην R θαη ζην C θαη λα πξνρσξήζνπκε ζηελ πεξηγξαθή ησλ p-αδηθώλ αξηζκώλ Οη δαθηύιηνη δηαηηκήζεσο απνηεινύλ έλα εξγαιείν ώζηε κε ηε pull back κέζνδν κπνξεί θάπνηνο λα κειεηήζεη δηαηεηαγκέλεο νκάδεο Οη δαθηύιηνη δηαθξηηήο δηαηίκεζεο εκθαλίδνληαη ζπρλά ζηελ Αιγεβξηθή Θεσξία Αξηζκώλ (ηνπηθνπνηήζεηο ηνπ O k ζε πξώην ηδεώδεο, όπνπ k είλαη αξηζκεηηθό ζώκα) 2

3 θαη ζηελ Αιγεβξηθή Γεσκεηξία (ηνπηθόο δαθηύιηνο κε ηδηάδνπζαο επίπεδεο θακπύιεο) Ζ κειέηε ησλ δηαηηκήζεσλ Krull αθνινπζεί ηελ ίδηα πνξεία όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ησλ θιαζζηθώλ δηαηηκήζεσλ Ηδηαηηέξσο κειεηώληαη επεθηάζεηο ησλ Krull δηαηηκήζεσλ, ησλ ζσκάησλ ηνπ Hesel (ζε ζρέζε κε ηηο Krull δηαηηκήζεηο) Οη ηνπνινγηθέο ζπκπιεξώζεηο ησλ θιαζζηθώλ δηαηηκήζεσλ δελ είλαη πηα θαηάιιειεο γηα ηηο Krull δηαηηκήζεηο θαη ρξεζηκνπνηνύληαη ηα maxmal Krull δηαηηκεκέλα ζώκαηα, ζηε ζέζε ησλ πιήξσλ δηαηηκεκέλσλ ζσκάησλ Οη δηαηηκήζεηο Krull είλαη ζρεηηθέο θαη έρνπλ βξεη εθαξκνγέο ζηελ Αιγεβξηθή Γεσκεηξία, ζηε ζρεηηθή ζεσξία ησλ Αιγεβξηθώλ πλαξηήζεσλ Πνιιώλ Μεηαβιεηώλ, θαη ζηε κειέηε ησλ νινθιεξσηηθά θιεηζηώλ πεξηνρώλ Μηα άιιε ζεκαληηθή παξνπζία ησλ δηαηηκήζεσλ Krull βξίζθεηαη ζηε αιγεβξηθή ζεσξία ηεηξαγσληθώλ κνξθώλ θαη ζηελ αξηζκεηηθή ησλ ζσκάησλ Ζ ηδέα ηεο ηνπηθνπνίεζεο ζ έλαλ πξώην κέζα ζ έλαλ δαθηύιην είλαη έλα εμαηξεηηθά δπλαηό θαη δηαδεδνκέλν εξγαιείν ζηελ άιγεβξα γηα λα κειεηάκε ηε ζπκπεξηθνξά ησλ ηδεσδώλ ζ έλαλ δαθηύιην Πξάγκαηη, κηα από ηηο ζεκαληηθέο εθαξκνγέο (θαη επίζεο κηα από ηνπο γλήζηνπο ζηόρνπο γηα ηελ αλάπηπμε απηήο ηεο ζεσξίαο) ηεο ηερληθήο είλαη λα κεηαθέξνπκε ηέηνηεο ηνπηθέο ηδηόηεηεο ζηε γεσκεηξία ησλ αιγεβξηθώλ ρώξσλ ζε αληίζηνηρεο ηδηόηεηεο ησλ ζπληεηαγκέλσλ δαθηπιίσλ ηνπο To 890 o Hlbert απέδεημε όηη θάζε ηδεώδεο ηνπ πνιπσλπκηθνύ δαθηπιίνπ k x,, x, k ζώκα, είλαη πεπεξαζκέλα παξαγόκελν Ζ κέζνδνο ηνπ δελ ήηαλ θαηαζθεπαζηηθή θαη πξνθάιεζε ηζρπξή εληύπσζε Πεξίπνπ 30 ρξόληα αξγόηεξα ε Emmy Noether αλαγλώξηζε όηη ε ζπλζήθε αύμνπζαο αιπζίδαο ηδεσδώλ ήηαλ ε θξίζηκε ηδηόηεηα ηνπ ππεύζπλε γηα ην γεγνλόο όηη θάζε ηδεώδεο ηνπ είλαη πεπεξαζκέλα παξαγόκελν Γαθηύιηνη πνπ ηθαλνπνηνύλ απηή ηε ζπλζήθε νλνκάδνληαη ζήκεξα δαθηύιηνη ηεο Noether Απνηεινύλ θύξην αληηθείκελν κειέηεο ηεο Μεηαζεηηθήο Άιγεβξαο θαη Αιγεβξηθήο Γεσκεηξίαο θαη εκθαλίδνληαη ζπρλόηεξα ζηελ Αιγεβξηθή Θεσξία Αξηζκώλ Γηα παξάδεηγκα ν δαθηύιηνο ησλ αθεξαίσλ θάζε αξηζκεηηθνύ ζώκαηνο είλαη ηεο Noether Σν θαηλόκελν ηεο κε-κνλνζήκαληεο παξαγνληνπνίεζεο πξώην-αληηκεησπίζηεθε από ηνλ E Kummer ζηελ εξγαζία ηνπ ζην ηειεπηαίν ζεώξεκα Fermat, κηα ζπνπδαία εηθαζία ε νπνία ιέγεη όηη ε ηζόηεηα x y z όπνπ 2 () δελ έρεη ιύζε ζηνπο κε-κεδεληθνύο αθεξαίνπο k x,, x 3 x,y,z Τπνζηεξίρζεθε από ηνλ Fermat ρσξίο απόδεημε θαη δελ ππήξρε απόδεημε κέρξη πξόζθαηα παξά ηηο εληαηηθέο πξνζπάζεηεο πάλσ από 350 ρξόληα Θα έπξεπε λα ζεκεηώζνπκε όηη ε αδπλακία ηεο () απνδείρζεθε γηα έλα πνιύ κεγάιν αξηζκό ηηκώλ ηνπ (ζπγθεθξηκέλα γηα θάζε

4 00000 ) Δπηπιένλ, ν G Faltgs ην 983 έδεημε όηη γηα θάζε 3 ππάξρνπλ ην πνιύ έλαο πεπεξαζκέλνο αξηζκόο ιύζεσλ κε x,y,z πξώηνπο αλά δύν Μηα πξόζθαηε κέζνδνο πξνζέγγηζεο ήηαλ λα παξαγνληνπνηήζνπλ ην αξηζηεξό κέινο ηεο () κέζα ζην δαθηύιην, όπνπ είλαη κηα πξσηαξρηθή ληνζηή ξίδα ηεο κνλάδαο Αλ είλαη κηα UFD, νδεγνύκεζα ζε κηα απόδεημε ηνπ ηειεπηαίνπ ζεσξήκαηνο Fermat γη απηή ηελ ηηκή ηνπ Αιιά ελ γέλεη ν δελ είλαη UFD θαη ζην ζεώξεκα ηνπ Kummer νη έξεπλεο ηέηνησλ δαθηπιίσλ ηνλ νδήγεζαλ ζηε δεκηνπξγία ηεο ζεσξίαο ησλ ιδευδών απιθμών θαη ζπλεπώο ηνλ Dedekd ζηε ζεσξία ηδεσδώλ ηνπ 4

5 ΚΔΦΑΛΑΙΟ Ανηιμεηαθεηικοί δακηύλιοι Ιδεώδη αςηών Οη αληηκεηαζεηηθνί δαθηύιηνη έρνπλ ηελ πξνέιεπζή ηνπο από ηε ζεσξία αξηζκώλ θαη από ηελ αιγεβξηθή γεσκεηξία ζηνλ 9 ν αηώλα ήκεξα είλαη ηδηαίηεξα ζεκαληηθνί θαη έρνπλ ελδηαθέξνπζα επίδξαζε ζηελ αιγεβξηθή γεσκεηξία θαη ζηελ ζεσξία αξηζκώλ, ρξεζηκνπνηώληαο κεζόδνπο αληηκεηαζεηηθήο άιγεβξαο Δδώ πεξηγξάθνπκε ηηο βαζηθέο κεζόδνπο θαη θάλνπκε ηα πξώηα βήκαηα ζε απηό ην ζέκα ην εμήο όινη νη δαθηύιηνη ζα είλαη αληηκεηαζεηηθνί, εθηόο αλ ζεσξήζνπκε θάηη άιιν Οπιζμοί και ιδιόηηηερ δακηςλίων και ιδεωδών Οπιζμόρ Μηα αιγεβξηθή δνκή G,, όπνπ εζσηεξηθή πξάμε ζην G, θαιείηαη ομάδα αλ Ζ πξάμε είλαη πξνζεηαηξηζηηθή egg Ge g g e g g Gg' Gg' g g g' e Αλ ε πξάμε είλαη αληηκεηαζεηηθή, ηόηε ε νκάδα G, θαιείηαη ανηιμεηαθεηική ή αβελιανή Οπιζμόρ 2 Έλα ππνζύλνιν H κηαο νκάδαο G θαιείηαη ςποομάδα ηεο νκάδαο αλ είλαη νκάδα σο πξνο ηελ ίδηα πξάμε Δάλ επηπιένλ ππννκάδα θαιείηαη κανονική aha H, a G ηόηε ε Οπιζμόρ 3 Μηα νκάδα ιέγεηαη απλή αλ δελ έρεη γλήζηεο κε ηεηξηκκέλεο θαλνληθέο ππννκάδεο Οπιζμόρ 4 Έζησ H κηα ππννκάδα κηαο νκάδαο G Σν ζύλνιν ah ah h H ηεο G ιέγεηαη ην απιζηεπό ζύμπλοκο ηεο H πνπ πεξηέρεη ην a, ελώ ην Ha ha h H ηεο G ιέγεηαη ην δεξιό ζύμπλοκο ηεο H πνπ πεξηέρεη ην a 5

6 Οπιζμόρ 5 Μηα αιγεβξηθή δνκή R,,, όπνπ,, είλαη εζσηεξηθέο πξάμεηο ζην R, θαιείηαη δακηύλιορ αλ Ζ δνκή R, είλαη αληηκεηαζεηηθή νκάδα Ο πνιιαπιαζηαζκόο είλαη πξνζεηαηξηζηηθόο Ο πνιιαπιαζηαζκόο είλαη επηκεξηζηηθόο σο πξνο ηελ πξόζζεζε Αλ, επηπιένλ, ν πνιιαπιαζηαζκόο είλαη αληηκεηαζεηηθόο, ν δαθηύιηνο θαιείηαη ανηιμεηαθεηικόρ Αλ ν πνιιαπιαζηαζκόο έρεη κνλαδηαίν ζηνηρείν, δειαδή αλ Ra R a a a, ν δαθηύιηνο θαιείηαη δακηύλιορ με μοναδιαίο ζηοισείο ή μοναδιαίορ δακηύλιορ Οπιζμόρ 6 Σα αληηζηξέςηκα ζηνηρεία ελόο δαθηπιίνπ R θαινύληαη ενάδερ (uts) ηνπ δαθηπιίνπ θαη απνηεινύλ πνιιαπιαζηαζηηθή νκάδα, ηελ UR Σα ππόινηπα ζηνηρεία νλνκάδνληαη μη-ενάδερ Οπιζμόρ 7 Λέκε όηη ν δακηύλιορ R,, δεν έσει διαιπέηερ ηος μηδενόρ αλ R R a b 0 a 0 b 0 Οπιζμόρ 8 Έλαο αληηκεηαζεηηθόο δαθηύιηνο, κε κνλαδηαίν ζηνηρείν, ρσξίο δηαηξέηεο ηνπ κεδελόο, θαιείηαη ακεπαία πεπιοσή 4 Γηα παξάδεηγκα, νη δαθηύιηνη, x, 3 δελ είλαη είλαη αθέξαηεο πεξηνρέο, ελώ ν Οπιζμόρ 9 Έλαο δαθηύιηνο R,, είλαη αληηκεηαζεηηθή νκάδα θαιείηαη ζώμα, ζηνλ νπνίν ηζρύεη όηη ε δνκή R 0, Οπιζμόρ 0 Έλα ππνζύλνιν ελόο δαθηπιίνπ (ελόο ζώκαηνο ) θαιείηαη ςποδακηύλιορ (ςπόζυμα) ηνπ δαθηπιίνπ (ηνπ ζώκαηνο) αλ είλαη δαθηύιηνο (ζώκα ) σο πξνο ηηο ίδηεο πξάμεηο Ωο γλσζηόλ κπνξνύκε λα επεθηείλνπκε νπνηαδήπνηε αθεξαία πεξηνρή D ζε έλα ζώκα F κε ηέηνην ηξόπν, ώζηε θάζε ζηνηρείν ηνπ F λα γξάθεηαη σο πειίθν δύν ζηνηρείσλ ηεο D Έλα ηέηνην ζώκα F ιέγεηαη ζώμα πηλίκο ηεο D 6

7 Ππόηαζη Ο δαθηύιηνο είλαη αθεξαία πεξηνρή αλ ν είλαη πξώηνο Απόδεημε Έζησ πξώηνο Αλ 0 a b ζην, ηόηε ην δηαηξεί ην γηλόκελν ab Δθόζνλ ν είλαη πξώηνο, ζα δηαηξεί έλαλ ηνπιάρηζηνλ από ηνπο a θαη b Άξα a ή b 0, θαη ζπλεπώο ν είλαη αθεξαία πεξηνρή Ππόηαζη 2 Κάζε πεπεξαζκέλε αθεξαία πεξηνρή είλαη ζώκα Απόδεημε Έζησ R πεπεξαζκέλε αθεξαία πεξηνρή θαη a R κε a 0 Θα δείμνπκε R a a2 a όηη ην a είλαη αληηζηξέςηκν Έζησ,,, Θεσξνύκε ηα ζηνηρεία aa, aa2,, aa Απηά είλαη δηαθεθξηκέλα κεηαμύ ηνπο Πξάγκαηη αλ aa aa j a j 0 a a ηόηε θαη αθνύ a 0 θαη R είλαη αθεξαία πεξηνρή, έρνπκε a a Σν πιήζνο ηνπο είλαη θαη άξα θάπνην απ απηά ζα είλαη ην ζηνηρείν R, δειαδή aa γηα θάπνην Άξα ην a είλαη αληηζηξέςηκν R j Πόπιζμα 3 Ο δαθηύιηνο είλαη ζώκα αλ θαη κόλν αλ ν είλαη πξώηνο Απόδεημε Άκεζε από ηηο πξνηάζεηο θαη 2 Οπιζμόρ Μηα απεηθόληζε κηαο νκάδαο G ζε κηα νκάδα G' ιέγεηαη ομομοπθιζμόρ αλ γηα θάζε a,b G ab a b Οπιζμόρ 2 Μηα απεηθόληζε ελόο δαθηπιίνπ R ζ έλαλ δαθηύιην ομομοπθιζμόρ αλ R ' ιέγεηαη θαη a b a b ab a b γηα όια ηα ζηνηρεία a θαη b ηνπ R Οπιζμόρ 3 Έλαο ιζομοπθιζμόρ : G G' είλαη έλαο νκνκνξθηζκόο έλα-πξνοέλα θαη επί ηεο G' πκβνιίδνπκε G G' θαη νη νκάδεο θαινύληαη ηζόκνξθεο 7

8 Οπιζμόρ 4 Ιζομοπθιζμόρ : R R' ιέγεηαη έλαο ηζνκνξθηζκόο πνπ είλαη έλα πξνο έλα θαη επί ηνπ ηζόκνξθνη R ' πκβνιίδνπκε R R ' θαη νη δαθηύιηνη θαινύληαη Οπιζμόρ 5 Έζησ : G G' έλαο νκνκνξθηζκόο νκάδσλ Ζ ππννκάδα e', πνπ απνηειείηαη από όια ηα ζηνηρεία ηεο G ηα νπνία απεηθνλίδνληαη κέζσ ηεο ζην ηαπηνηηθό ζηνηρείν ζπκβνιίδεηαη κε Ker e ' ηεο G ', ιέγεηαη πςπήναρ ηεο, θαη Οπιζμόρ 6 Τπνζέηνπκε όηη ε απεηθόληζε : R R' είλαη νκνκνξθηζκόο δαθηπιίσλ Ο ππνδαθηύιηνο Ker 0' ιέγεηαη πςπήναρ ηνπ, θαη ζπκβνιίδεηαη κε Οπιζμόρ 7 Δάλ νη δνκέο ησλ νκάδσλ ή ησλ δαθηπιίσλ είλαη θαη δηαηεηαγκέλεο, δειαδή R,,,, R',,, ', ηόηε κπνξνύκε λα νξίζνπκε ηνλ order-ιζομοπθιζμό ησλ δαθηπιίσλ σο ηνλ ηζνκνξθηζκό : R R' όπνπ x x', νπνίνο δηαηεξεί ηε δηάηαμε, δειαδή x 0 x' 0 Οπιζμόρ 8 Έλα κε ζηαζεξό πνιπώλπκν f x F x ιέγεηαη ανάγυγο πάνυ από ηο F, αλ δελ κπνξνύκε λα γξάςνπκε ην f x σο γηλόκελν g xhx δύν πνιπσλύκσλ g x θαη κηθξόηεξν ηνπ βαζκνύ ηνπ Οπιζμόρ 9 h x ζηνλ f x Fx, ηα νπνία έρνπλ θαη ηα δύν βαζκό Έλα ζηνηρείν a κνλαδηαίνπ δαθηπιίνπ A ιέγεηαη ανάγυγο αλ a U A θαη δελ έρεη γλήζην δηαηξέηε εληόο ηνπ A Οπιζμόρ 20 Έλα ζηνηρείν p ελόο δαθηπιίνπ A ιέγεηαη ππώηο αλ γηα ηπραία a, b A p ab p a ή pb 2 Ππόηςπα ( modules ) Σν θεληξηθό ζέκα ηεο αμησκαηηθήο αλάπηπμεο ηεο γξακκηθήο άιγεβξαο είλαη έλαο δηαλπζκαηηθόο ρώξνο επί ελόο ζώκαηνο Ζ αμησκαηνπνίεζε ηεο γξακκηθήο άιγεβξαο, ε νπνία επηηεύρζεθε ην 920, κνξθνπνηήζεθε ζε κηα κεγάιε έθηαζε, από ηελ επηζπκία λα εηζάγνπκε γεσκεηξηθέο έλλνηεο ζηε κειέηε ζπγθεθξηκέλσλ θιάζεσλ ησλ ζπλαξηήζεσλ ζηελ αλάιπζε Καη αξράο, αζρνιεζήθακε απνθιεηζηηθά κε ηνπο δηαλπζκαηηθνύο ρώξνπο ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ή ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ Ζ έλλνηα ελόο module είλαη κηα άκεζε γελίθεπζε ελόο δηαλπζκαηηθνύ ρώξνπ Ζ 8

9 γελίθεπζε απηή επηηπγράλεηαη απιά αληηθαζηζηώληαο ην ζώκα ησλ ζπληειεζηώλ δηά ελόο δαθηπιίνπ Ο επθνιόηεξνο ηξόπνο γηα λα νξίζνπκε έλα module κπνξνύκε λα πνύκε όηη είλαη έλα αιγεβξηθό ζύζηεκα ην νπνίν ηθαλνπνηεί ηα ίδηα αμηώκαηα όπσο έλαο δηαλπζκαηηθόο ρώξνο εθηόο ηνπ όηη νη ζπληειεζηέο αλήθνπλ ζ έλα δαθηύιην R κε κνλάδα αληί ελόο ζώκαηνο F Απηή ε θαηλνκεληθά ζεκλή γελίθεπζε νδεγεί ζε κηα αιγεβξηθή δνκή ε νπνία είλαη κεγίζηεο ζεκαζίαο Οπιζμόρ 2 Έζησ R έλαο δαθηύιηνο Μηα αβειηαλή νκάδα M εθνδηαζκέλε κε κηα απεηθόληζε νλνκάδεηαη R ππόηςπο ( () RM : r, m r m M R mod ule ) ή ππόηςπο πάνυ από ηο R αλ ηζρύνπλ r r2 m rr 2 m γηα θάζε r, r 2 R, m M () r r2 m r m r2 m γηα θάζε r, r 2 R, m M r m m2 r m r m2 γηα θάζε r R, m, m2 M () (v) R m m γηα θάζε m M Παξαδείγκαηα ) Κάζε k δηαλπζκαηηθόο ρώξνο, όπνπ ην k είλαη ζώκα, είλαη k mod ule Μάιηζηα νη έλλνηεο k δηαλπζκαηηθόο ρώξνο θαη k mod ule ηαπηίδνληαη όηαλ ην k είλαη ζώκα, όπσο θαίλεηαη από ηε ζύγθξηζε ησλ παξαπάλσ αμησκάησλ κε απηά ζην νξηζκό ηνπ δηαλπζκαηηθνύ ρώξνπ, 2) Κάζε αβειηαλή νκάδα M είλαη mod ule κε εμσηεξηθό πνιιαπιαζηαζκό πνπ νξίδεηαη από ηε ζρέζε όπνπ r θαη m M 3) Κάζε ηδεώδεο I ηνπ R mod ule κε εμσηεξηθό πνιιαπιαζηαζκό ην πνιιαπιαζηαζκό ζηνηρείσλ ηνπ R 4) Έζησ I έλα ηδεώδεο ηνπ δαθηπιίνπ R Ο δαθηύιηνο RI είλαη έλα R mod ule κε εμσηεξηθό πνιιαπιαζηαζκό πνπ νξίδεηαη από ηε ζρέζε r a I ra I, όπνπ r R θαη a I R I Ζ ζρέζε απηή είλαη θαιά νξηζκέλε, γηαηί αλ a I a' I, ηόηε a a' I ra I ra ' I θαη άξα ' m m rέ, r 0 rm 0, r 0 rm, r 0 r a a I πνπ ζεκαίλεη όηη 9

10 5) Έζησ : R S έλαο νκνκνξθηζκόο δαθηπιίσλ Σόηε ν S είλαη R mod ule κε εμσηεξηθό πνιιαπιαζηαζκό πνπ νξίδεηαη από ηε ζρέζε rs r s Αο επαιεζεύνπκε ελδεηθηηθά ην αμίσκα () ηνπ νξηζκνύ Έρνπκε r r s r r s r r s r s r s r s r s Παξαηήξεζε Έζησ M έλα R mod ule Σόηε έρνπκε 0 m 0 γηα θάζε m M R r0 0 γηα r R M M M rm r m rm γηα r R, m M m 0 m 0 m 0 m 0 m από ην Απόδεημε Έρνπκε R R R R R R R R R αμίσκα () ηνπ νξηζκνύ Άξα 0 m 0 m 0 m 0 Από ην λόκν ηεο R R R M δηαγξαθήο πνπ ηζρύεη ζηελ νκάδα M παίξλνπκε 0 m 0 () Έρνπκε R r 0 0 r0 r0 r0 r0 από ην M M M M M M M M M αμίσκα () ηνπ νξηζκνύ Όπσο θαη πξηλ παίξλνπκε r () r m m r M M από ην () πλεπώο rm r m 0 m r m rm Όκνηα r rm 0R 0M rm rm 0 Άξα rm rm M M m m θαη άξα από ην () πλεπώο ην παξαθάησ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηηο ζρέζεηο ηεο Παξαηήξεζεο ρσξίο ηδηαίηεξε κλεία Αμίδεη λα ζεκεησζεί όηη ζ έλα R mod ule M είλαη δπλαηό λα ηζρύεη rm 0 κε r 0 R θαη m 0 M Γηα παξάδεηγκα, ζην module ηζρύεη a 0 a γηα θάζε a Οπιζμόρ 22 Έζησ M έλα R mod ule Έλα ππνζύλνιν N M νλνκάδεηαη R sub mod ule ηνπ M αλ ην N είλαη R mod ule σο πξνο ηελ πξόζζεζε θαη ηνλ εμσηεξηθό πνιιαπιαζηαζκό ηνπ M ηελ πεξίπησζε απηή ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ ζπκβνιηζκό N M Λήμμα 2 Έζησ M έλα R mod ule θαη N M έλα κε-θελό ππνζύλνιν ηνπ M Σόηε ην N είλαη sub mod ule ηνπ M αλ θαη κόλνλ αλ () a, b N a b N () a N, r R ra N 0

11 Απόδεημε Έζησ N M Σόηε ην N είλαη ππννκάδα ηνπ M θαη ζπλεπώο ηζρύεη ε () Ζ ζπλζήθε () έπεηαη άκεζα από ηνλ νξηζκό 2 Αληίζηξνθα, έζησ όηη ηζρύνπλ νη (),() Από ηελ () ζπκπεξαίλνπκε όηη ην N είλαη ππννκάδα ηνπ M Δπεηδή ηώξα ηζρύεη ε (), ζα ηζρύνπλ όια ηα αμηώκαηα ηνπ νξηζκνύ 2 γηα ην N Παξαδείγκαηα () Έζησ R έλαο δαθηύιηνο Σα R sub mod ules ηνπ R είλαη αθξηβώο ηα ηδεώδε ηνπ R () Σα sub mod ules κηαο αβειηαλήο νκάδαο είλαη αθξηβώο νη ππννκάδεο ηεο () Έζησ k ζώκα Σα k sub mod ules ελόο k δηαλπζκαηηθνύ ρώξνπ είλαη αθξηβώο νη ππόρσξνί ηνπ Από ην ιήκκα έπεηαη άκεζα όηη ε ηνκή κηαο (κε θελήο) νηθνγέλεηαο R sub mod ules ελόο R mod ule είλαη πάιη έλα R mod ule Απηό καο νδεγεί ζηνλ επόκελν νξηζκό Οπιζμόρ 23 Έζησ X έλα ππνζύλνιν ηνπ R mod ule M Σν sub mod ule ηνπ M πνπ παξάγεηαη από ην X είλαη ε ηνκή όισλ ησλ sub mod ules ηνπ M πνπ πεξηέρνπλ ην X Απηό ζπκβνιίδεηαη κε X Ππόηαζη 22 Έζησ X έλα ππνζύλνιν ηνπ X r x, r R, x X R mod ule M Σόηε Απόδεημε Έζησ A ην δεμί κέινο ηεο παξαπάλσ ηζόηεηαο Ηζρύεη A X Πξάγκαηη, έζησ N έλα sub mod ule ηνπ M πνπ πεξηέρεη ην X Σόηε x X x N r x N Άξα rx N πλεπώο rx X Ηζρύεη X A Πξάγκαηη ην A είλαη sub mod ule ηνπ M (όπσο ζπκπεξαίλνπκε από ην ιήκκα ) πνπ πεξηέρεη ην X Σν X σο ηνκή ηέηνησλ modules ζα πεξηέρεηαη ζην A Αλ ην X είλαη πεπεξαζκέλν, X x x,, m, ζα ζπκβνιίδνπκε ην X κε x,, x ή Rx Rx θαη ζα ιέκε ην X παξάγεηαη από ηα x,, x Οπιζμόρ 24 () Έλα R mod ule M ιέγεηαη πεπεπαζμένα παπαγόμενο αλ ππάξρεη πεπεξαζκέλν ππνζύλνιν X M κε ηελ ηδηόηεηα X M

12 () Έλα R mod ule M ιέγεηαη κςκλικό αλ παξάγεηαη από θάπνην a M, δειαδή αλ M a Γηα παξαδείγκαηα ηα θπθιηθά k sub mod ules ελόο k δηαλπζκαηηθνύ ρώξνπ ( k ζώκα) είλαη νη ππόρσξνη δηάζηαζεο θαη ν ηεηξηκκέλνο ππόρσξνο σόλιο Όινη νη πξνεγνύκελνη νξηζκνί γεληθεύνπλ θαηά ηξόπν πξνθαλή αληίζηνηρεο ηεο Γξακκηθήο άιγεβξαο Σν ίδην ζα ζπκβεί ζηελ επόκελε παξάγξαθν Αο κε ζεσξεζεί όκσο όηη ε ζεσξία modules είλαη απιντθή γελίθεπζε ηεο Γξακκηθήο Άιγεβξαο Ζ δνκή R mod ules δελ ζπγθξίλεηε σο πξνο ηελ πνιππινθόηεηα θαη ην καζεκαηηθό ελδηαθέξνλ κε ηε δνκή k δηαλπζκαηηθώλ ρώξσλ Οπιζμόρ 25 Έζησ M θαη N δύν R mod ules Μία απεηθόληζε : M N νλνκάδεηαη νκνκνξθηζκόο () m m' m m' () rm rm R mod ules (ή R γξακκηθή) αλ: γηα θάζε m, m' M, θαη γηα θάζε r R, m M Έλαο νκνκνξθηζκόο R mod ules : M N νλνκάδεηαη επιμοπθιζμόρ (αληίζηνηρα μονομοπθιζμόρ ) αλ σο απεηθόληζε ε είλαη επί (αληίζηνηρν ακθηκνλνζήκαληε) Ηζνκνξθηζκόο R mod ules είλαη έλαο νκνκνξθηζκόο πνπ είλαη ηαπηόρξνλα σο απεηθόληζε επί θαη ακθηκνλνζήκαληε πκβνιηζκόο γηα R mod ules M θαη N, γξάθνπκε M N όηαλ ππάξρεη ηζνκνξθηζκόο M N Σόηε απηά ιέγνληαη ιζόμοπθα Παξαδείγκαηα () Αλ M θαη N είλαη R mod ules ε κεδεληθή απεηθόληζε M m 0 N είλαη νκνκνξθηζκόο R mod ules Ζ ηαπηνηηθή απεηθόληζε M : m m M είλαη επίζεο νκνκνξθηζκόο mod () Αλ V θαη W είλαη k δηαλπζκαηηθνί ρώξνη ( k ζώκα), νη νκνκνξθηζκνί k mod ules V W είλαη αθξηβώο νη k γξακκηθέο απεηθνλίζεηο V W () Αλ G θαη H είλαη δύν αβειηαλέο νκάδεο, νη νκνκνξθηζκνί modules G H είλαη αθξηβώο νη νκνκνξθηζκνί νκάδσλ G H (v) Έζησ R δαθηύιηνο θαη a R Ζ απεηθόληζε R x ax R είλαη νκνκνξθηζκόο R mod ules αιιά όρη γεληθά νκνκνξθηζκόο δαθηπιίσλ Έζησ : M N νκνκνξθηζκόο R mod ules Ο ππξήλαο είλαη αβειηαλή νκάδα (γηαηί ν είλαη νκνκνξθηζκόο αβειηαλώλ νκάδσλ) 2 ker am a 0

13 Δπηπιένλ είλαη R sub mod ule ηνπ M γηαηί aker a 0 r a 0 ra 0 ra ker Καηά παξόκνην ηξόπν, ε εηθόλα ηνπ είλαη R sub mod ule ηνπ N Ππόηαζη 23 Έζησ : M N νκνκνξθηζκόο R mod ules Σόηε ν είλαη κνλνκνξθηζκόο αλ θαη κόλνλ αλ Έζησ M έλα ker 0 R mod ule θαη N M Θεσξώληαο απηά σο αβειηαλέο νκάδεο νξίδεηαη ζην πειίθν M N a N a M δνκή νκάδαο κε πξόζζεζε a N b M a b N Δπηπιένλ ηώξα νξίδνπκε δνκή R mod ule ζέηνληαο r a N ra N Δύθνια απνδεηθλύεηαη όηη ε ζρέζε απηή είλαη θαιά νξηζκέλε Πξάγκαηη έρνπκε a N a' N a a' N r a a' ra ra ' N ra N ra ' N Ζ επαιήζεπζε ησλ αμησκάησλ ηνπ νξηζκνύ είλαη άκεζε Καη αλαινγία κε ηνπο δηαλπζκαηηθνύο ρώξνπο, ηηο αβειηαλέο νκάδεο θαη ηα ηδεώδε, ππάξρνπλ θαη εδώ ζεσξήκαηα ηζνκνξθηζκώλ Έζησ M έλα R mod ule θαη AB, sub mod ules ηνπ M Με A Bζπκβνιίδνπκε ην sub mod ule ηνπ M πνπ παξάγεηαη από ην ππνζύλνιν A B Φπζηθά ηζρύεη A B a bm a A, b B Οπιζμόρ 26 Έζησ M έλα R mod ule Σν ζύλνιν A M r R ra 0γηα θάζε r, s a M είλαη ηδεώδεο ηνπ R Πξάγκαηη, () A M αθνύ 0 A M, () A M r sa ra sa 0 γηα θάζε a M θαη άξα r sa M, θαη () x R, r A M xr a xra 0 γηα θάζε a M θαη άξα xr A M Σν ηδεώδεο A M νλνκάδεηαη μηδενιζηήρ ηνπ M Γηα δηαλπζκαηηθνύο ρώξνπο 0 ηζρύεη βέβαηα A V Γηα ην module 3 Ιδεώδη δακηςλίων m ηζρύεη A m Οπιζμόρ 3 Έλαο ππνδαθηύιηνο N ελόο δαθηπιίνπ R πνπ ηθαλνπνηεί ηηο ηδηόηεηεο ιέγεηαη ιδεώδερ ηνπ R an N θαη Nb N γηα θάζε a, b R Οπιζμόρ 32 Maxmal ιδεώδερ ελόο δαθηπιίνπ R θαινύκε έλα ηδεώδεο M ηνπ R, δηάθνξν ηνπ R ην νπνίν δελ πεξηέρεηαη γλήζηα ζε θαλέλα γλήζην ηδεώδεο N απηνύ m 3

14 Οπιζμόρ 33 Έλα ηδεώδεο N ιδεώδερ αλ a brab N a N b N R ζε έλαλ αληηκεηαζεηηθό δαθηύιην R ιέγεηαη ππώηο, Οπιζμόρ 34 Αλ R είλαη έλαο αληηκεηαζεηηθόο δαθηύιηνο κε κνλαδηαίν ζηνηρείν θαη a R ra / r R όισλ ησλ πνιιαπιαζίσλ ηνπ a είλαη ην κύπιο, ηόηε ην ηδεώδεο ιδεώδερ πος παπάγεηαι από ηο a θαη ζπκβνιίδεηαη ιέγεηαη κύπιο ιδεώδερ αλ N a γηα θάπνην a R a Έλα ηδεώδεο N ηνπ R Πόπιζμα 3 Έζησ N έλα ηδεώδεο ελόο δαθηπιίνπ R Σόηε ηα πξνζζεηηθά ζύκπινθα ηνπ N ζρεκαηίδνπλ έλαλ δαθηύιην RN κε ηηο δηκεξείο πξάμεηο πνπ νξίδνληαη από ηηο θαη a N b N a b N a N b N ab N Οπιζμόρ 35 Ο δαθηύιηνο RN ηνπ πνξίζκαηνο 3 ιέγεηαη δακηύλιορ πηλίκο ηνπ R σο πξνο N 4 Ιδιόηηηερ Ιδεωδών Θεώπημα 4 Αλ R είλαη έλαο δαθηύιηνο κε κνλαδηαίν ζηνηρείν, θαη I είλαη έλα ηδεώδεο ηνπ R πνπ πεξηέρεη αληηζηξέςηκν ζηνηρείν, ηόηε I R Απόδεημε Έζησ I έλα ηδεώδεο ηνπ R, θαη αο ππνζέζνπκε όηη u I γηα θάπνην αληηζηξέςηκν ζηνηρείν u ηνπ R Σόηε από ηε ζπλζήθε ri I γηα θάζε r R έπεηαη, αλ πάξνπκε r u θαη u N, όηη ην u u αλήθεη ζην I Αιιά ηόηε, από ηελ ri I γηα θάζε r R, έπεηαη όηη ην r r αλήθεη ζην I γηα θάζε r R, δειαδή I R Πόπιζμα 4 Έλα ζώκα δελ πεξηέρεη γλήζηα κε ηεηξηκκέλα ηδεώδε Απόδεημε Αθνύ θάζε κε-κεδεληθό ζηνηρείν ελόο ζώκαηνο είλαη αληηζηξέςηκν, από ζεώξεκα 4 έπεηαη ακέζσο όηη έλα ηδεώδεο ελόο ζώκαηνο F είλαη είηε ην 0 είηε νιόθιεξν ην F Ππόηαζη 42 Έζησ I ηδεώδεο ηνπ R Σόηε ην I είλαη πξώην αλ θαη κόλν αλ ν δαθηύιηνο πειίθν RI είλαη αθεξαία πεξηνρή Απόδεημε Έζησ I πξώην ηδεώδεο Σόηε I R θαη RI 0 Έζησ a, b R κε ηελ Σόηε ab I I θαη άξα ab I πλεπώο a I ή ηδηόηεηα a I b I 0 RI 4

15 b I δειαδή ai ή bi 0 Αληίζηξνθα, έζησ RI αθεξαία πεξηνρή 0 RI RI Σόηε RI 0 θαη άξα I R Έζησ a, b R κε ab I Σόηε ab I 0R I a I b I 0R I a I 0R I ή b I 0 RI a I ή b I Ππόηαζη 43 Έζησ I έλα ηδεώδεο ηνπ R Σόηε ηo I είλαη maxmal αλ θαη κνλν αλ ν δαθηύιηνο πειίθν RI είλαη ζώκα Απόδεημε Έζησ όηη ην I είλαη maxmal Σόηε I 5 R θαη RI 0 Έζησ a I R I κε ai 0 RI Θα δείμνπκε όηη ην a I είλαη αληηζηξέςηκν Δθόζνλ ai 0 RI ηζρύεη a I Σν ηδεώδεο a έρνπκε a I R Άξα γηα θάπνηα r R θαη b I I πεξηέρεη γλήζηα ην I Αθνύ ην I είλαη maxmal ηζρύεη ra b πλεπώο r a I ra I b I I θαη ην r I είλαη αληηζηξέςηκν Αληίζηξνθα, έζησ όηη ν RI είλαη ζώκα Σόηε RI 0 θαη άξα I R Έζησ J ηδεώδεο κε I J R Θα δείμνπκε όηη J R, νπόηε ην I είλαη maxmal Τπάξρεη a J, a I Άξα a I 0 RI a I b I I θαη, αθνύ ην RI είλαη ζώκα, γηα θάπνην b R Άξα ab I Δθόζνλ I J θαη a J ζπκπεξαίλνπκε όηη J, δειαδή J R Θεώπημα 42 I Έζησ R έλαο αληηκεηαζεηηθόο δαθηύιηνο κε κνλαδηαίν ζηνηρείν, θαη R έλα ηδεώδεο ηνπ R Σόηε RI είλαη αθεξαία πεξηνρή αλ θαη κόλν αλ ην I είλαη πξώην ηδεώδεο Πόπιζμα 44 Έλαο αληηκεηαζεηηθόο δαθηύιηνο κε κνλαδηαίν ζηνηρείν είλαη ζώκα αλ θαη κόλν αλ δελ έρεη γλήζηα κε ηεηξηκκέλα ηδεώδε Απόδεημε Από πόξηζκα 4 θαίλεηαη όηη έλα ζώκα δελ έρεη γλήζηα κε ηεηξηκκέλα ηδεώδε Αληηζηξόθσο, αλ έλαο αληηκεηαζεηηθόο δαθηύιηνο R κε κνλαδηαίν ζηνηρείν δελ έρεη γλήζηα κε ηεηξηκκέλα ηδεώδε, ηόηε ην 0 είλαη maxmal ηδεώδεο θαη ν R 0, νπνίνο είλαη ηζόκνξθνο κε ηνλ R, είλαη ζώκα, βάζεη ηεο πξόηαζεο 4 Πόπιζμα 45 Κάζε maxmal ηδεώδεο ζ έλαλ αληηκεηαζεηηθό δαθηύιην R κε κνλαδηαίν ζηνηρείν είλαη πξώην Απόδεημε Άκεζε από ηηο πξνηάζεηο 44 θαη 45 Θεώπημα 43 Αλ ην F είλαη ζώκα, ηόηε θάζε ηδεώδεο ηνπ Απόδεημε Έζησ I έλα ηδεώδεο ηνπ Fx Αλ όηη 0 Fx είλαη θύξην I, ηόηε I 0 Τπνζέηνπκε I 0, θαη έζησ g x έλα κε-κεδεληθό ζηνηρείν ηνπ I κε ηνλ ειάρηζην δπλαηό βαζκό Αλ ν βαζκόο ηνπ g x είλαη 0, ηόηε g x F θαη είλαη αληηζηξέςηκν

16 ζηνηρείν, νπόηε I F x βαζκόο ηνπ f x g xqx r x, από ην ζεώξεκα 4, δειαδή ην I είλαη θύξην Αλ ν g x είλαη, έζησ f όπνπ (βαζκόο f x I θαη g x x νπνηνδήπνηε ζηνηρείν ηνπ I Σόηε r x ) (βαζκό g x ) Αιιά, αθνύ N έπεηαη όηη f x g xqx r x I από ηνλ νξηζκό ηνπ ηδεώδνπο Αθνύ ην g x είλαη κε-κεδεληθό ζηνηρείν κε ηνλ ειάρηζην δπλαηό βαζκό ζην I, πξέπεη λα έρνπκε rx 0 Άξα f x g xqx θαη I g x Θεώπημα 44 Έλα ηδεώδεο px 0 ηνπ αλ ην p x είλαη αλάγσγν πάλσ από ην F F x είλαη maxmal αλ θαη κόλν Απόδεημε Τπνζέηνπκε όηη px 0 είλαη έλα maxmal ηδεώδεο ηνπ Fx Σόηε px F x, άξα px F Έζησ px f x g x κηα αλάιπζε ηνπ p x ζηνλ Fx Αθνύ ην px είλαη maxmal ηδεώδεο άξα θαη πξώην ηδεώδεο, από ηελ f x g x px έπεηαη όηη f x px ή g x px δειαδή, είηε ην f x είηε ην g x έρεη ην p x σο παξάγνληα Σόηε όκσο δελ κπνξνύκε λα έρνπκε ηνπο βαζκνύο ηόζν ηνπ f x όζν θαη ηνπ g x κηθξόηεξνπο από ην βαζκό ηνπ αλ ην p x Απηό ζεκαίλεη όηη ην p x είλαη αλάγσγν πάλσ από ην F Αληηζηξόθσο, p x είλαη αλάγσγν πάλσ από ην F, αο ππνζέζνπκε όηη I είλαη έλα ηδεώδεο ηέηνην, ώζηε px I F x Από ην ζεώξεκα 43 ην I είλαη θύξην ηδεώδεο, δειαδή I g x γηα θάπνην g x I Σόηε από ηελ px I παίξλνπκε px g xqx γηα θάπνην qx F x Όκσο ην p x είλαη αλάγσγν, ην νπνίν ζεκαίλεη όηη θάπνην από ηα g x, qx έρεη βαζκό 0 Αλ ην g x είλαη βαζκνύ 0, δειαδή, κηα κε-κεδεληθή ζηαζεξά ζην F, ηόηε ην g x είλαη αληηζηξέςηκν ζηνηρείν ηνπ Fx, άξα g x I F x Αλ ην q x είλαη βαζκνύ 0, ηόηε qx c, όπνπ c F, θαη ην g x c px αλήθεη ζην px, άξα I px Δπνκέλσο απνθιείεηαη λα έρνπκε px I F x, θαη ην px είλαη maxmal Ππόηαζη 46 έλαλ αληηκεηαζεηηθό δαθηύιην R θάζε maxmal ηδεώδεο είλαη πξώην Δηδηθόηεξα, θάζε κε-ηεηξηκκέλνο αληηκεηαζεηηθόο δαθηύιηνο έρεη πξώηα ηδεώδε 6

17 εκεηώλνπκε εδώ όηη έλαο κε ηεηξηκκέλνο δαθηύιηνο έρεη maxmal ηδεώδε ζύκθσλα κε ην γλσζηό ζεώξεκα Krull πνπ ιέεη ην εμήο Έζησ R έλαο δαθηύιηνο Κάζε γλήζην δεμηό ηδεώδεο πεξηέρεηαη ζ έλα maxmal δεμηό ηδεώδεο Δηδηθόηεξα, θάζε κε ηεηξηκκέλνο δαθηύιηνο έρεη δεμηό maxmal ηδεώδεο Ηζρύεη ην αληίζηνηρν γηα ηα αξηζηεξά ηδεώδε θαη γηα ηα ακθίπιεπξα ηδεώδε Ππόηαζη 47 Έζησ A έλαο αληηκεηαζεηηθόο δαθηύιηνο θαη I έλα ηδεώδεο ηνπ A Σόηε ππάξρεη maxmal ηδεώδεο ηνπ A πνπ πεξηέρεη ην I Απόδεημε Ζ απόδεημε ηεο πξόηαζεο γίλεηαη κε ηε βνήζεηα ηνπ ιήκκαηνο Zor, πνπ αλαθέξνπκε ρσξίο απόδεημε ( Γηα ηελ απόδεημε παξαπέκπνπκε ζε νπνηνδήπνηε βηβιίν ζεσξίαο ζπλόισλ ) Γίλνπκε πξώηα ηνλ εμήο : Οπιζμόρ 4 Έλα δηαηεηαγκέλν ζύλνιν ιέγεηαη επαγυγικό αλ θάζε ππνζύλνιό ηνπ νιηθά δηαηεηαγκέλν δέρεηαη έλα άλσ θξάγκα Λήμμα 48 ( Zor ) Έζησ E, έλα δηαηεηαγκέλν επαγσγηθό ζύλνιν Σόηε ην E δέρεηαη έλα ζηνηρείν maxmal ( δειαδή έλα ζηνηρείν πνπ δελ θξάζζεηαη απζηεξά από θαλέλα ζηνηρείν ηνπ E ) Δπαλεξρόκαζηε ζηελ απόδεημε ηεο πξόηαζεο Έζησ J ην ζύλνιν ησλ ηδεσδώλ ηνπ A πνπ πεξηέρνπλ ην I θαη είλαη δηάθνξα απ ηνλ A, δηαηεηαγκέλν κε ηε ζρέζε ηνπ πεξηέρεζζαη Αλ I είλαη κηα νηθνγέλεηα ζηνηρείσλ ηνπ J νιηθά δηαηεηαγκέλε,ηόηε ε έλσζε a K I είλαη πξνθαλώο έλα ηδεώδεο ηνπ A πνπ πεξηέρεη ην I, επεηδή δε γηα θάζε a a Ia, έπεηαη όηη K Ia, θαη επνκέλσο K A πλεπώο K J θαη K πεξηέρεη όια ηα I a ύκθσλα κε ην ιήκκα ηνπ Zor, ην J δέρεηαη έλα ζηνηρείν maxmal L Πξνθαλώο ην L είλαη έλα maxmal ηδεώδεο ηνπ A πνπ πεξηέρεη ην I Σν ζεώξεκα Krull έρεη κηα ρξήζηκε γελίθεπζε Καινύκε έλα ππνζύλνιν S ηνπ R πνιιαπιαζηαζηηθό, αλ S θαη x, y S ηόηε xy S Θεώπημα 45 Έζησ R αληηκεηαζεηηθόο δαθηύιηνο, S πνιιαπιαζηαζηηθό ππνζύλνιν θαη a έλα ηδεώδεο ηνπ R μέλν πξνο ην S Σόηε ππάξρεη έλα ηδεώδεο m ζην R ην νπνίν πεξηέρεη ην a, είλαη μέλν πξνο ην S θαη είλαη maxmal ζε ζρέζε κ απηέο ηηο ηδηόηεηεο Κάζε ηέηνην ηδεώδεο m είλαη πξώην Απόδεημε Έζησ A ην ζύλνιν όισλ ησλ ηδεσδώλ a' κε ηελ ηδηόηεηα a' a, a' S Σν A είλαη επαγσγηθό, δηόηη αλ {c ι } αιπζίδα ηδεσδώλ ζην A, ε έλσζε ηνπο c είλαη έλα ηδεώδεο πνπ πεξηέρεη ην a (θπζηθά, αλ ε αιπζίδα είλαη θελή, ηόηε c= 7

18 a ) Αλ c S, έζησ xc S ηόηε xc ι γηα θάπνην ι θαη έηζη c ι S άτοπο Οπόηε ην A είλαη επαγσγηθό άηνπν από ην ιήκκα ηνπ Zor έρεη έλα maxmal ζηνηρείν m θαη απηό είλαη έλα ηδεώδεο κε ηηο απαηηνύκελεο ηδηόηεηεο Έζησ m σο αλσηέξσ θαη ζεσξνύκε b, c m, bc m Από ην γεγνλόο όηη ην m είλαη maxmal, (m +(b)) S, νπόηε s=bu+ x S όπνπ u R, x m θαη νκνίσο t cv y S όπνπ v R, y m Σόηε ην S πεξηέρεη st bu xcv y bcuv xcv y buy m θαη απηό αληηβαίλεη ζην γεγνλόο όηη m S = πλεπώο αλ bc, m συνεπάγεται ότι bc m θαη αθνύ S, ηόηε m Απηό απνδεηθλύεη όηη ην m είλαη πξώην ηδεώδεο Αλ ην S είλαη έλα πνιιαπιαζηαζηηθό ππνζύλνιν ηνπ R ηέηνην ώζηε 0 S ηόηε κπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε ην ζεώξεκα 45 θαη λα θαηαιήμνπκε ζην αθόινπζν πόξηζκα Πόπιζμα 49 Έζησ S πνιιαπιαζηαζηηθό ζύλνιν πνπ δελ πεξηέρεη ην 0 ζ έλαλ αληηκεηαζεηηθό δαθηύιην, ηόηε ππάξρνπλ ηδεώδε ζην R ηα νπνία είλαη maxmal ππνζύλνια μέλα πξνο ην S Ωο παξάδεηγκαηα, πνιιαπιαζηαζηηθώλ ζπλόισλ αλαθέξνπκε () ην πνιιαπιαζηαζηηθό ζύλνιν παξαγόκελν από έλα ζηνηρείν f ηνπ R Παξαδείγκαηνο 2 ράξε, f, f,, () ην ζπκπιήξσκα ελόο πξώηνπ ηδεώδνπο θαη () ην ζύλνιν a aaa, όπνπ a είλαη ηπραίν ηδεώδεο Έλα πνιιαπιαζηαζηηθό ζύλνιν S θαιείηαη θεθνξεζκέλν αλ ab S συνεπάγεται a S Αθνύ ab ba, νκνίσο θαη b S Σν ζπκπιήξσκα θάζε πξώηνπ ηδεώδνπο είλαη πνιιαπιαζηαζηηθό θαη θεθνξεζκέλν Αληίζηξνθα έρνπκε Ππόηαζη 40 Έζησ αληηκεηαζεηηθόο δαθηύιηνο θαη S έλα ππνζύλνιν, ηόηε ην S είλαη πνιιαπιαζηαζηηθό θαη θεθνξεζκέλν αλ θαη κόλν αλ ην ζπκπιήξσκα R\ S είλαη έλσζε πξώησλ ηδεσδώλ Απόδεημε: Πξνθαλώο ην ζπκπιήξσκα θάζε έλσζεο πξώησλ ηδεώδσλ είλαη πνιιαπιαζηαζηηθό θαη θεθνξεζκέλν Αληίζηξνθα αλ S είλαη πνιιαπιαζηαζηηθό θαη a S, έηζη από θεθνξεζκέλν, έζησ a S ηόηε ab S γηα θάζε b R, νπόηε ζεώξεκα 45 ππάξρεη έλα πξώην ηδεώδεο p πνπ πεξηέρεη ην a θαη μέλν πξνο ην S Έπεηαη όηη ε έλσζε όισλ ησλ πξώησλ ηδεσδώλ ησλ μέλσλ πξνο ην S είλαη αθξηβώο ην R\ S Μπνξνύκε πάιη λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ην ζεώξεκα 45 γηα λα πεξηγξάςνπκε ηελ ηνκή όισλ ησλ πξώησλ ηδεσδώλ ελόο δαθηπιίνπ Ππόηαζη 4 έλαλ αληηκεηαζεηηθό δαθηύιην R, ην ζύλνιν R ησλ κεδελνδύλακσλ ζηνηρείσλ είλαη έλα ηδεώδεο, ίζν κε ηελ ηνκή όισλ ησλ πξώησλ ηδεσδώλ 8

19 Απόδεημε: Πξέπεη λ απνδείμνπκε όηη R p () όπνπ ε ηνκή είλαη επί όισλ ησλ πξώησλ ηδεσδώλ ηνπ R Αλ ar ηόηε a 0 γηα θάπνην Σόηε γηα θάζε πξώην ηδεώδεο p, a p νπόηε a p θαη R p, νπόηε 2 Σώξα έζησ a R ηόηε a 0 γηα όια ηα 0, aa,, θαη από ην 2 ζεώξεκα 45 ππάξρεη πξώην ηδεώδεο p μέλν πξνο ην, aa,, Σόηε a p, άξα R p Σν ηδεώδεο πνπ απνηειείηαη από όια ηα κεδελνδύλακα ζηνηρεία ηνπ R θαιείηαη μηδενική ακηίνα (lradcal) ηνπ R Γνζέληνο ελόο ηδεώδνπο a R κπνξνύκε λα νξίζνπκε ηελ αθηίλα ηνπ a ζην R σο a x R x a γηα θάπνηα Οπόηε a είλαη ε αληίζηξνθε εηθόλα ηνπ νκνκνξθηζκνύ R R a ηεο κεδεληθήο αθηίλαο R a Δθαξκόδνληαο ηελ πξόηαζε 4 θαη έρνληαο ππόςηλ όηη ηα πξώηα ηδεώδε ηνπ R a είλαη εηθόλεο πξώησλ ηδεσδώλ ηνπ R θαη από 3 ν ζεώξεκα ηζνκνξθηζκνύ έρνπκε όηη a είλαη ε ηνκή όισλ ησλ πξώησλ ηδεσδώλ πνπ πεξηέρνπλ ην a ε ζρέζε κε ηα πξώηα ηδεώδε ππαξρεη έλα άιιν θξηηήξην γηα ηελ κνλνζήκαληε παξαγνληνπνίεζε 5 Ππάξειρ επί ηων ιδεωδών Ηζηνξηθά ν πξώηνο δαθηύιηνο πνπ κειεηήζεθε ήηαλ ν δαθηύιηνο Z ησλ αθεξαίσλ, ν όξνο δαθηύιηνο πξσηνρξεζηκνπνηήζεθε από ηνλ Hlbert (897) ζην Zahlbercht ηνπ γηα έλαλ δαθηύιην αιγεβξηθώλ αθεξαίσλ ην Z θάζε δαθηύιηνο είλαη θύξηνο ηελ πξαγκαηηθόηεηα ηα ηδεώδε είραλ πξώηα εηζαρζεί (από ηνλ Kummer) σο ηδεώδεηο αξηζκνί ζηνπο δαθηπιίνπο αιγεβξηθώλ αθεξαίσλ νη νπνίνη εζηεξνύλην κνλαδηθήο παξαγνληνληνπνίεζεο (uque factorzato) ην Z κπνξνύκε από δύν αξηζκνύο a,b λα νξίζνπκε ηνλ κέγηζην θνηλό δηαηξέηε (ΜΚΓ) απηώλ, (a,b), ην γηλόκελό ηνπο ab θαη ην ειάρηζην θνηλό πνιιαπιάζην (ΔΚΠ) απηώλ, [a,b] Απηέο νη πξάμεηο αληηζηνηρνύλ ζε πξάμεηο ηδεσδώλ ζε θάζε δαθηύιην Θα ζπκβνιίζνπκε ηα ηδεώδε ζ έλα δαθηύιην R κε κηθξά γνηζηθά γξάκκαηα a,b,c Αλ a είλαη έλα ηδεώδεο ζ έλα αληηκεηαζεηηθό δαθηύιην R, παξαγόκελν από ζηνηρεία α,,α, γξάθνπκε a=(α,,α ) αλ θαη κόλνλ αλ ηα ζηνηρεία ηνπ a είλαη 9

20 γξακκηθνί ζπλδπαζκνί R επνκέλσο (α) απνηειείηαη από όια ηα ζηνηρεία r r R Ηδηαίηεξα όηαλ =, ην a είλαη θύξην, Γνζέλησλ ab, ηδεσδώλ ηνπ R, νξίδνπκε ην άθποιζμά ηνπο a b x y / xa, y b Δίλαη εύθνιν λα δνύκε όηη απηό είλαη έλα ηδεώδεο, ην ειάρηζην ηδεώδεο πνπ πεξηέρεη ηα a θαη b Αλ a,b είλαη θύξηα, έζησ a=(α), b=(β) ηόηε ην άζξνηζκά ηνπο, αλ είλαη θύξην, έρεη ηε κνξθή (d), όπνπ d είλαη ν κέγηζηνο θνηλόο δηαηξέηεο ησλ a,b Παξαδείγκαηνο ράξε ζην Z ηζρύεη (36)+(0)=(2) Δμάιινπ ζην Z[x], (x)+(2)=(x,2) θαη απηό δελ κπνξεί λα απινπνηεζεί Παξόκνηα νξίδεηαη ην γηλόκελν σο ab x y / x a, y b Απηή ε πξάμε είλαη πάιη πξνζεηαηξηζηηθή θαη αληηκεηαζεηηθή, έηζη απηά ηα ηδεώδε νξίδνπλ έλα αληηκεηαζεηηθό κνλνεηδέο σο πξνο ηνλ πνιιαπιαζηαζκό, κε ()=R σο νπδέηεξν ζηνηρείν Μηα ηξίηε πξάμε είλαη ε ηνκή a b, ε νπνία αληηζηνηρεί ζην ειάρηζην θνηλό πνιιαπιάζην,όηαλ όια ηα ηδεώδε είλαη θύξηα Αο ζεκεηώζνπκε ηε κνξθή πνπ παίξλνπλ απηνί νη νξηζκνί γηα πεπεξαζκέλσο παξαγόκελα ηδεώδε Αλ a=(α,,α r ), b=(β,,β s ), ηόηε a+b=(α,,α r,β,,β s ), ελώ ab=(α β,α β 2,,α β s,α 2 β,,α r β s ) Άξα ην άζξνηζκα θαη ην γηλόκελν ησλ πεπεξαζκέλσο παξαγόκελσλ ηδεώδώλ είλαη επίζεο πεπεξαζκέλσο παξαγόκελα ε αληίζεζε δελ ππάξρεη απιή έθθξαζε γηα ηελ ηνκή a b, θαη δελ ρξεηάδεηαη λα είλαη πεπεξαζκέλσο παξαγόκελα όηαλ ηα δύν a θαη b είλαη Αιιά κπνξνύκε λα ζεκεηώζνπκε όηη ππάξρεη κηα κηθξή αθξηβήο αθνινπζία πνπ ζπζρεηίδεη ην a b κε ην a+b : 0 a b a b a+b 0 () Δδώ ην κ νξίδεηαη σο: κ(x,y)=x-y (x a, y b) θαη ker κ a b, πξάγκα ην νπνίν είλαη εύθνιν λα επηβεβαησζεί Τπάξρεη επίζεο κηα κνξθή δηαίξεζεο ησλ ηδεσδώλ Γνζέλησλ δύν ηδεσδώλ ab,,νξίδνπκε a : b x R / xb a Μπνξεί θαλείο λα δείμεη όηη ην : a b απνηειεί ηδεώδεο, αθόκα θαη αλ ην b είλαη ηπραίν ππνζύλνιν ηνπ R, όρη απαξαίηεηα έλα ηδεώδεο Οπόηε γηα θάζε ππνζύλνιν S ηνπ R έρνπκε: 20

21 a : S a : x / x S Ζ πξόζζεζε, ν πνιιαπιαζηαζκόο θαη ε ηνκή ηδεσδώλ είλαη πξνζεηαηξηζηηθέο θαη αληηκεηαζεηηθέο θαη ηθαλνπνηνύλ ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα: a(b+c)=ab+ac Ζ δηαίξεζε ζπλδέεηαη κε ηηο άιιεο πξάμεηο: (a:b) b a a:b, (2) ( a ):b= (a :b), a:( b )= (a:b ), (3) (a:b):c=a: b c (4) Δπί παξαδείγκαηη, γηα λα δείμνπκε ηελ (4) έρνπκε γηα θάζε x R, x(a:b):c x c a:b x bc a xa:bc 2

22 22

23 ΚΔΦΑΛΑΙΟ 2 Δίδη δακηςλίων Κύπιοι δακηύλιοι Οπιζμόρ Έλαο αληηκεηαζεηηθόο δαθηύιηνο ζηνλ νπνίν θάζε ηδεώδεο είλαη θύξην θαη 0 θαιείηαη κύπιορ δακηύλιορ Παξαδείγκαηα ) Οη αθέξαηνη δεκηνπξγνύλ έλα δαθηύιην, ν νπνίνο είλαη αληηκεηαζεηηθόο Έζησ a έλα ηδεώδεο θαη 0 Αλ a, ηόηε a Έζησ d ν κηθξόηεξνο αθέξαηνο 0 ν νπνίνο αλήθεη ζην a Αλ a ηόηε ππάξρνπλ αθέξαηνη qr, κε 0 r d ηέηνηνη ώζηε dq r Δθόζνλ ην a είλαη έλα ηδεώδεο, έπεηαη όηη ην r αλήθεη ζην a, νπόηε r 0 πλεπώο ην a απνηειείηαη απ όια ηα πνιιαπιάζηα qd ηνπ d, κε q, θαη ην είλαη έλαο θύξηνο δαθηύιηνο 2) Έλα παξόκνην παξάδεηγκα είλαη ν δαθηύιηνο πνιπσλύκσλ κηαο κεηαβιεηήο επί ελόο ζώκαηνο ρξεζηκνπνηώληαο επίζεο ηνλ Δπθιείδεην αιγόξηζκν Έζησ R ν δαθηύιηνο αιγεβξηθώλ αθεξαίσλ ζ έλα αξηζκεηηθό ζώκα K Σόηε ν R δελ είλαη απαξαίηεηα θύξηνο, αιιά έζησ p έλα πξώην ηδεώδεο θαη έζησ R p ν δαθηύιηνο όισλ ησλ ζηνηρείσλ ab κε ab, θαη b p Σόηε ζηελ Αιγεβξηθή Θεσξία Αξηζκώλ, απνδεηθλύεηαη όηη ν R p είλαη θύξηνο κε έλα πξώην ηδεώδεο αιιά κε ap m p απνηεινύκελν απ όια ηα ζηνηρεία ab όπσο παξαπάλσ Ππόηαζη ε θάζε θύξην δαθηύιην A θάζε αλάγσγν ζηνηρείν είλαη πξώην Απόδεημε Έζησ p έλα αλάγσγν ζηνηρείν A Τπνζέηνπκε όηη a, b A θαη p a b, pa Θα δείμνπκε όηη pb Σν κεδέλ έρεη γλήζην δηαηξέηε, επνκέλσο p 0 Άξα ππάξρεη έλαο κέγηζηνο θνηλόο δηαηξέηεο d A ησλ pa, Δπεηδή d p έπεηαη όηη d U A ή d p Αλ p d, ηόηε p d a, πξάγκα άηνπν, γηαηί pa πλεπώο d U A Οπόηε έρνπκε d xp ya, όπνπ x, y A Δπνκέλσο θαη d d d xp d ya d x p d y a b bd x p d y ab Δπεηδή ην p p θαη p ab, ζπκπεξαίλνπκε όηη pb Άξα ην ζηνηρείν p είλαη πξώην 23

24 2 Δςκλείδειοι δακηύλιοι Έρνπκε δηαπηζηώζεη όηη νη δαθηύιηνη θαη Fx ( F ζώκα) έρνπλ πνιιέο θνηλέο ηδηόηεηεο Μηα απ απηέο είλαη ε ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο ζπλέπεηα ηεο νπνίαο είλαη όηη νη θαη Fx είλαη πεξηνρέο θπξίσλ ηδεσδώλ Δδώ ζα κειεηήζνπκε πεξηνρέο πνπ έρνπλ κηα ηαπηόηεηα δηαίξεζεο Απηέο νη πεξηνρέο νλνκάδνληαη Δπθιείδεηεο πεξηνρέο Αθξηβέζηεξα έρνπκε: Οπιζμόρ 2 Έλαο δαθηύιηνο A ιέγεηαη εςκλείδειορ αλ: Δίλαη αληηκεηαζεηηθόο θαη δελ έρεη δηαηξέηεο ηνπ κεδελόο 2 Τπάξρεη κηα ζπλάξηεζε d: A*,2, ηέηνηα ώζηε () Ζ ζπλάξηεζε γηα θάζε () γηα θάζε a A θαη θάζε b A* ππάξρνπλ ζηνηρεία, A πνπ Παξαδείγκαηα ηθαλνπνηνύλ ηηο ζρέζεηο a b θαη 0 ή d ιέγεηαη Εςκλείδεια ζςνάπηηζη ) Ο δαθηύιηνο ησλ αθεξαίσλ είλαη Δπθιείδηνο κε Δπθιείδεηα ζπλάξηεζε ηελ a d a Πξάγκαηη, έλαο κνλαδηαίνο δαθηύιηνο, δελ έρεη δηαηξέηεο ηνπ κεδελόο, ηζρύεη a a b γηα ab, 0, θαη ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα ηεο δηαίξεζεο ζην, γηα θάζε δεύγνο αθεξαίσλ ab, κε b 0, ππάξρεη έλα δεύγνο αθεξαίσλ, πνπ ηθαλνπνηεί ηηο ζρέζεηο ab θαη 0 b 2) Ο δαθηύιηνο ησλ πνιπσλύκσλ K x, όπνπ K ζώκα αληηκεηαζεηηθό είλαη Δπθιείδηνο, κε Δπθιείδεηα ζπλάξηεζε 3) Ο δαθηύιηνο ησλ αθεξαίσλ ηνπ Gauss είλαη Δπθιείδηνο d x A d a d ab a, b *, Πξάγκαηη, ζα δείμνπκε όηη ε ζπλάξηεζε xx είλαη Δπθιείδεηα Πξνθαλώο γηα d f d d b f 2 m m, d: 0,, 2, x, y \ 0 d x, d y,2, θαη d xy xyxy xxy y d x d y d x d xy κε ηηκή έρνπκε πλεπώο 24

25 Απνδεηθλύνπκε ηώξα όηη ε έρεη ηελ ηδηόηεηα (2) ηνπ νξηζκνύ Απηό ζα ην δείμνπκε πξώηα γηα a θαη b Έζησ a x y Τπάξρνπλ, 2,, 2 ηέηνηα ώζηε x, y2, 2, Θέηνπκε z, r 2, νπόηε a z r Καη αλ r 0, ηόηε d r 2 d d b Έηζη ζηελ πεξίπησζε απηή ην 4 4 ζπκπέξαζκα απνδείρζεθε Θα ην απνδείμνπκε ηώξα θαη γηα ηπραίν ζηνηρείν ηνπ Έζησ x 0 θαη y ζηνηρεία ηνπ Πξνθαλώο xx ύκθσλα κε ηελ πξνεγνύκελε πεξίπησζε, αλ ηελ εθαξκόζνπκε γηα a yx, Δπεηδή ππάξρνπλ ζηνηρεία z, r ηέηνηα ώζηε yx z xx r, όπνπ Δπνκέλσο Δπεηδή x 0, ην αλήθεη ζην θαη ζπλεπώο Αιιά y zx θαη y zx y zx Καηά ζπλέπεηα, αλ y zx 0, ηόηε δαθηύιηνο \ 0 2 r 0 ή d r d xx d d θαη θαη ε ηδηόηεηα (2,) ηνπ νξηζκνύ πιεξνύληαη Άξα ν είλαη Δπθιείδηνο κε επθιείδεηα ζπλάξηεζε ηελ d b xx, d yx zxx d d xx d yx zxx d y zxd x, έρνπκε d y zxd x d xd x d x d y zx d x d y zx d x Ιδιόηηηερ Δςκλείδειος δακηςλίος Θεώπημα 2 Κάζε ηδεώδεο ελόο Δπθιείδεηνπ δαθηπιίνπ όπνπ a 0 I A έρεη ηε κνξθή I a0 A, Απόδεημε Αλ I 0, ηόηε a0 0 Έζησ I 0 Σν ζύλνιν M d a ai, a 0 είλαη ππνζύλνιν ηνπ θαη επνκέλσο έρεη ειάρηζην ζηνηρείν Έζησ a I ηέηνην ώζηε d a λα είλαη ην ειάρηζην ζηνηρείν ηνπ M Αλ 0 a I, ηόηε aa 0, όπνπ 0 ή d d a 0 Πξνθαλώο a0 I θαη a a 0 Δπνκέλσο, ζύκθσλα κε ηελ ηδηόηεηα ηνπ 0, πξέπεη λα είλαη 0, δειαδή Δπεηδή θαη 0, έπεηαη όηη

26 Πόπιζμα 2 Κάζε Δπθιείδηνο δαθηύιηνο είλαη κνλαδηαίνο Απόδεημε Πξάγκαηη, επεηδή ν δαθηύιηνο είλαη ηδεώδεο, έπεηαη από ην πξνεγνύκελν ζεώξεκα όηη ππάξρεη ηέηνην ώζηε 0 Δπνκέλσο ππάξρεη e A κε ηελ ηδηόηεηα a a e 0 0 Γηα θάζε ζηνηρείν α ηνπ ππάξρεη b A ηέηνην ώζηε a a b Σν ζηνηρείν e είλαη ην κνλαδηαίν ηνπ A αθνύ 0 0 ae ea e a b ea b a e b a b a Πόπιζμα 22 Κάζε Δπθιείδηνο δαθηύιηνο είλαη θύξηνο Απόδεημε Πξάγκαηη, θάζε ηδεώδεο I ηνπ έρεη ηε κνξθή I a0 A, όπνπ a I Δπεηδή ν είλαη αληηκεηαζεηηθόο θαη κνλαδηαίνο (πόξηζκα) έρνπκε a a A πλεπώο ν είλαη θύξηνο Δθαξκνγή Έζησ A θαη a 2 x Σν ζηνηρείν a είλαη πξώην επί ηνπ x (Γη απηό, αξθεί λα δείμνπκε όηη ην a είλαη αλάγσγν Τπνζέηνπκε ην αληίζεην, όηη δειαδή 2 x x x κε, 0, Σόηε θαη 2 ηδεώδεο x είλαη maxmal εληόο ηνπ Κάζε ζηνηρείν ηνπ έρεη ηε κνξθή Δπεηδή ν 2 2 Θα είλαη ζπλεπώο x x x ή 2, πξάγκα άηνπν γηα ) Αξα ην f x I x Σν πειίθν 2 x 2, όπνπ I x x είλαη ζώκα θαη f x x x είλαη Δπθιείδεηνο δαθηύιηνο κε Δπθιείδεηα ζπλάξηεζε d f, ζπλεπώο f x I ax b I έρνπκε f x x 2 x x ζπλάξηεζε x : κε ηηκή x I I f, Ζ 3 Πεπιοσέρ μονοζήμανηηρ Παπαγονηοποίηζηρ Οπιζμόρ 3 Οξίδνπκε σο άηομο (atom) ή ανάγυγο ζηοισείο ζε κηα αθέξαηα πεξηνρή R κηα κε-ελάδα, ε νπνία δελ κπνξεί λα γξαθεί σο γηλόκελν δπν κε-ελάδσλ Οξίδνπκε σο ππώηο (prme) έλα ζηνηρείν p, όρη κεδέλ ή ελάδα, ηέηνην ώζηε γηα θάζε a,b R, p ab ζπλεπάγεηαη pa ή pb Δδώ pa ( p δηαηξεί a ) ζεκαίλεη όηη a pc γηα θάπνην c R Κάζε πξώην ζηνηρείν είλαη απαξαίηεηα έλα άηνκν θαη ζε κηα πεξηνρή κνλνζήκαληεο παξαγνληνπνίεζεο (UFD) ην αληίζηξνθν ηζρύεη 26

27 Οπιζμόρ 32 Έζησ A έλαο δαθηύιηνο ρσξίο δηαηξέηεο ηνπ κεδελόο Θα ιέκε όηη ν A είλαη πεπιοσή μονοζήμανηηρ παπαγονηοποίηζηρ όηαλ ηζρύνπλ ηα παξαθάησ: x A \ U A γξάθεηαη σο γηλόκελν αλαγώγσλ ζηνηρείσλ ηνπ A Κάζε 2 Αλ έλα ζηνηρείν x U A γξάθεηαη ζαλ γηλόκελν αλαγώγσλ ζηνηρείσλ ηνπ A θαηά δύν ηξόπνπο x p p p θαη ' ηόηε m θαη 2 m ' ' ' x pp 2 p p p, γηα θάπνηα κεηάζεζε ηνπ ζπλόινπ,2,, πλεπώο κηα πεξηνρή κνλνζήκαληεο παξαγνληνπνίεζεο (UFD) κπνξεί λα ραξαθηεξηζηεί σο κηα αθέξαηα πεξηνρή κε ηηο ηδηόηεηεο: () κάθε ζηοισείο όσι μηδέν ή ενάδα μποπεί να γπαθεί υρ ένα γινόμενο αηόμυν () κάθε άηομο είναι ππώηο Μηα αθέξαηα πεξηνρή ιέγεηαη αηομική αλ ηθαλνπνηεί ηελ () εκεηώλνπκε όηη κηα UFD κπνξεί επίζεο λα ραξαθηεξηζηεί σο κηα αθέξαηα πεξηνρή ζηελ νπνία θάζε ζηνηρείν όρη κεδέλ ή ελάδα κπνξεί λα γξαθεί σο έλα γηλόκελν πξώησλ Δπηπιένλ κηα αηνκηθή πεξηνρή, ζηελ νπνία ην άζξνηζκα δπν ηπραίσλ θύξησλ ηδεσδώλ είλαη θύξην, είλαη κηα UFD ηε κειέηε ηεο αιγεβξηθήο ζεσξίαο αξηζκώλ βξέζεθε όηη νη δαθηύιηνη αιγεβξηθώλ αθεξαίσλ πάληα ηθαλνπνηνύλ ηελ () αιιά όρη ππνρξεσηηθά ηελ () θαη έηζη απηή κπνξεί λα κελ είλαη UFD Απηόο ήηαλ ν ιόγνο πνπ νδήγεζε ηνπο Kummer θαη Dedekd λ αλαπηύμνπλ ηελ ζεσξία ησλ ηδεσδώλ Δδώ ην αλάινγν ελόο αηόκνπ είλαη έλα maxmal ηδεώδεο δειαδή έλα ηδεώδεο ην νπνίν είλαη maxmal κεηαμύ γλήζησλ ηδεσδώλ Αθόκα πην ζεκαληηθή είλαη ε έλλνηα ηνπ πξώηνπ ηδεώδνπο ε θάζε αληηκεηαζεηηθό δαθηύιην R, έλα πξώην ηδεώδεο είλαη έλα γλήζην ηδεώδεο p ηέηνην ώζηε xy p ζπλεπάγεηαη x p ή y p εκεηώλνπκε όηη ην ίδην ην R δελ είλαη πξώην ηδεώδεο πλεπώο, έλα ζηνηρείν p είλαη πξώην αλ θαη κόλν αλ p είλαη κε κεδεληθό πξώην ηδεώδεο Μηα εηθόλα κε θύξησλ πξώησλ ηδεσδώλ είλαη ε αθόινπζε αιπζίδα ησλ πξώησλ ηδεσδώλ ζην δαθηύιην ησλ πνιπσλύκσλ k x,, x, όπνπ k είλαη ζώκα: 0,,,, x x x2 x x2 x Θεώπημα 3 Μια ακέπαια πεπιοσή είναι πεπιοσή μονοζήμανηηρ παπαγονηοπίηζηρ (uque factorzato doma) αν και μόνο αν κάθε μη-μηδενικό ππώηο ιδεώδερ πεπιέσει ένα ππώηο ζηοισείο Απόδεημε: ε θάζε πεξηνρή R έζησ S ην ζύλνιν όισλ ησλ γηλνκέλσλ ησλ πξώησλ ζηνηρείσλ θαη ησλ ελάδσλ Πξνθαλώο ην S είλαη πνιιαπιαζηαζηηθό, είλαη επίζεο 27

28 θεθνξεζκέλν, δηόηη αλ ab S, έζησ ab p pr (p η πξώηνη) ηόηε p ab νπόηε p a ή p b, έζησ ην πξώην, a pa Σόηε ab p2 pr θαη από επαγσγή ζην r βιέπνπκε όηη a, b S, νπόηε επίζεο a pa S, έηζη ην S είλαη θεθνξεζκέλν Από πξόηαζε 40 ην ζπκπιήξσκά ηνπ είλαη έλσζε πξώησλ ηδεσδώλ αιιά θάζε πξώην ζηνηρείν αλήθεη ζην S, έηζη ηα πξώηα ηδεώδε ηα μέλα πξνο ην S δελ πεξηέρνπλ πξώηα ζηνηρεία Οπόηε αλ ην R ηθαλνπνηεί ηηο ζπλζήθεο ηνπ ζεσξήκαηνο, ηόηε ην S απνηειείηαη από όια ηα κε-κεδεληθά ζηνηρεία θαη ζπλεπώο ην R είλαη κηα UFD (uque factorzato doma) Αληίζηξνθα, έζησ R κηα UFD θαη p έλα κε-κεδεληθό πξώην ηδεώδεοπαίξλνπκε 0 ap Από ηελ UFD έρνπκε a p pr,όπνπ p πξώηνη, r θαη p pr p, νπόηε p p γηα θάπνην, αθνύ p είλαη πξώην ηδεώδεο Απηό απνδεηθλύεη όηη ε ζπλζήθε είλαη αλαγθαία ε κηα UFD θάζε mmal κε-κεδεληθό πξώην ηδεώδεο είλαη θύξην Γηόηη έζησ p έλα mmal κε- κεδεληθό πξώην ηδεώδεο θαη p πξώην ζηνηρείν ηνπ p ηόηε p νπόηε p p 0 p από ηo γεγνλόο όηη είλαη mmal θαη ζπλεπώο ην p είλαη θύξην ηνπο Noethera δαθηπιίνπο ηζρύεη ην αληίζηξνθν Μηα Noethera πεξηνρή ζηελ νπνία θάζε mmal κε-κεδεληθό πξώην ηδεώδεο είλαη θύξην είλαη κηα UFD Παξαδείγκαηα Ο δαθηύιηνο Dedekd 5 a b 5 a, b δελ είλαη UFD Πξάγκαηη, αξθεί λα βξνύκε έλα ζηνηρείν x ηνπ δαθηπιίνπ πνπ δελ είλαη κνλάδα θαη γξάθεηαη θαηά δύν ηξόπνπο ζαλ γηλόκελν αλαγώγσλ ζηνηρείσλ x p p p p, όπνπ ' ' 2 2 p p,2 ' Γηα λα βξνύκε ηηο κνλάδεο απηνύ ηνπ δαθηπιίνπ ρξεζηκνπνηνύκε ηε ζπλάξηεζε d : 50,, 2, d xy κε ηηκή d x xx Αλ xy, ηόηε d θαη d x d y xx y y xy xy d xy Αιιά a b a b xy d x d y a b a b πλεπώο a 2 5b 2 a 2, b 0 Γειαδή κνλάδεο είλαη ηα ζηνηρεία Σα ηζνδύλακα ζηνηρεία ελόο ζηνηρείνπ a είλαη ζπλεπώο ηα a Πξνθαλώο Θα δείμνπκε όηη ηα ζηνηρεία 3,2 5,2 5 είλαη αλάγσγα εληόο ηνπ δαθηπιίνπ 5 Αο ππνζέζνπκε όηη 3 x y κε xy, 5 d 3 d xy, 9 d x d y, ζπλεπώο,3 Σόηε d x ή 9 Γηα x a b 5 28

29 πξέπεη λα είλαη θαη a 2 2 a 5b,3 ή9 κε ab, Απηό ηζρύεη γηα a, b 0 4, b Γειαδή ν παξάγσλ x είλαη κνλάδα ή dx 9 Γηα dx 9 έρνπκε d y θαη επνκέλσο ην y είλαη κνλάδα Σν ζηνηρείν 3 δελ είλαη κνλάδα θαη δελ έρεη γλήζην δηαηξέηε εληόο ηνπ 5, άξα είλαη αλάγσγν Όκνηα απνδεηθλύνπκε όηη ηα ζηνηρεία 2 5, 2 5 είλαη αλάγσγα εληόο ηνπ 5 Δπεηδή 3 2 5, έπεηαη όηη ν δαθηύιηνο Dedekd δελ είλαη UFD 2 Παξαδείγκαηα UFD είλαη νη δαθηύιηνη θαη Kx, όπνπ K ζώκα αληηκεηαζεηηθό Απηό πξνθύπηεη από ην παξαθάησ ζεώξεκα: Θεώπημα 32 Κάζε θύξηνο δαθηύιηνο είλαη UFD Απόδεημε Έζησ έλαο θύξηνο δαθηύιηνο A Θα δείμνπκε θαη αξρήλ όηη θάζε ζηνηρείν a ηνπ A πνπ δελ είλαη κνλάδα παξηζηάηαη ζαλ γηλόκελν αλαγώγσλ ζηνηρείσλ Αλ ην a είλαη αλάγσγν, ηόηε κπνξεί λα ζεσξεζεί ζαλ γηλόκελν κ έλαλ παξάγνληα a αλάγσγν Έζησ ινηπόλ όηη ην a δελ είλαη αλάγσγν Σόηε έρεη έλα γλήζην δηαηξέηε a, δειαδή a ab κε b U A έρεη έλα γλήζην δηαηξέηε a 2, νπόηε a a2b2 Ή ην ζηνηρείν a είλαη αλάγσγν ή κε b U A πλερίδνληαο κε ηνλ ίδην 2 ηξόπν βξίζθνπκε κηα αθνινπζία ζηνηρείσλ a, a2,, a, ηέηνηα ώζηε ν όξνο a λα είλαη γηα θάζε γλήζηνο δηαηξέηεο ηνπ a πλεπώο Έζησ I a a a a a () 2 3 Δπεηδή ην I είλαη ηδεώδεο ηνπ A θαη ν A είλαη θύξηνο έπεηαη όηη I da γηα θάπνην d I Αλ d a, ηόηε I a a a, δειαδή πξάγκα αληίζεην πξνο ηε ζρέζε () Απηό ζεκαίλεη όηη ζηε δηαδηθαζία πνπ αθνινπζήζακε πην πάλσ κπνξνύκε λα θάλνπκε κόλν έλα πεπεξαζκέλν πιήζνο βεκάησλ, πξάγκα πνπ απνδεηθλύεη όηη ηζρύεη ε ζπλζήθε ηνπ νξηζκνύ Θα απνδείμνπκε ηώξα όηη πιεξνύηαη θαη ε ζπλζήθε 2 ηνπ ίδηνπ νξηζκνύ Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ηεο ηέιεηαο επαγσγήο επί ηνπ m Έζησ όπνπ ' j a p p p p p p ' ' ' 2 m 2 m p, p είλαη αλάγσγα ζηνηρεία ηνπ δαθηπιίνπ A Βάζε ηεο πξόηαζεο όηη ζε θάζε θύξην δαθηύιην A θάζε αλάγσγν ζηνηρείν είλαη πξώην, απηά είλαη πξώηα ζηνηρεία Αλ m, ην ζηνηρείν a αλάγσγν θαη θαηά ζπλέπεηα Έζησ m Δπεηδή p a, έπεηαη όηη p p p p Σόηε ην p δηαηξεί έλα ηνπιάρηζηνλ από ηα ' ' ' 2 29

30 p ' Έζησ u U A Σόηε p p, ' όπνπ p up p θαη p '' ' ',2,, Έπεηαη όηη p ' p, δειαδή p p p p p up p p p up p p p ' ' ' ' ' ' ' ' 2 m p p up p p p p p p p ' ' ' ' '' '' '' '' 2 m '' ' j pj p ' up, όπνπ '' Βάζε ηεο ππόζεζεο ηεο επαγσγήο έρνπκε m, θαη pj p j όπνπ Αλ επί ηνπ S θαη κηα κεηάζεζε ηνπ ζπλόινπ S,2,,,,,, ηόηε είλαη κηα κεηάζεζε ηνπ p p p '' ' j j j, 2,, θαη πξνθαλώο m, Θεώπημα 33 Έζησ A έλαο θύξηνο δαθηύιηνο Έλα ηδεώδεο a ηνπ A είλαη maxmal, ηόηε θαη κόλνλ, όηαλ ην a είλαη πξώην ζηνηρείν Απόδεημε Έζησ a ηδεώδεο maxmal Αο ππνζέζνπκε όηη a bc, όπνπ, b c A θαη b, c U A Πξνθαλώο a b, δειαδή a b Θα δείμνπκε όηη a b A Αλ b A, ηόηε b θαη ζπλεπώο xb Απηό όκσο είλαη άηνπν, γηαηί b U A Αλ a b c U A,, ηόηε b a πξάγκα επίζεο άηνπν Άξα αλ ην ηδεώδεο, δειαδή b ay πλεπώο a bc ayc, yc, a είλαη maxmal ηόηε ην a είλαη πξώην ζηνηρείν ηνπ δαθηπιίνπ Αληίζηξνθα, έζησ a πξώην ζηνηρείν ηνπ δαθηπιίνπ A Αλ I έλα ηδεώδεο ηνπ A θαη a I A, ηόηε I u θαη a ux γηα θάπνην x A Δπεηδή ην a είλαη πξώην ζηνηρείν ηνπ A, έπεηαη όηη ην u ή ην x είλαη κνλάδα ηνπ A Αλ ην u είλαη κνλάδα, ηόηε uy γηα θάπνην y A θαη ζπλεπώο u, δειαδή I A Αλ ην x είλαη κνλάδα, ηόηε x A I u a δειαδή I a θαη ε ζρέζε a ux Άξα ην δίλεη u x a a a είλαη maxmal Δπνκέλσο 30

31 4 Bezout πεπιοσέρ Οπιζμόρ 4 Mηα αθεξαία πεξηνρή θαιείηαη Bezout πεξηνρή αλ θάζε ηδεώδεο παξαγόκελν από δύν ζηνηρεία είλαη θύξην ηελ πξαγκαηηθόηεηα κπνξνύλ λα ραξαθηεξηζηνύλ σο νη αθέξαηεο πεξηνρέο ζηηο νπνίεο ππάξρεη ΜΚΓ θάζε δεύγνπο ζηνηρείσλ θαη γξάθεηαη ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο απηώλ Οπόηε έρνπκε: Θεώπημα 4 ε κηα πεξηνρή Bezout, θάζε δύν ζηνηρεία θαη ππάξρνπλ u θαη ηέηνηα ώζηε d au b ab, έρνπλ έλαλ ΜΚΓ d Αληηζηξόθσο, θάζε αθεξαία πεξηνρή κε απηήλ ηελ ηδηόηεηα είλαη κηα πεξηνρή Bezout Δπηπιένλ, ζε κηα πεξηνρή Bezout θάζε πεπεξαζκέλα παξαγόκελν ηδεώδεο είλαη θύξην, ζπγθεθξηκέλα, a,, a, d όπνπ d είλαη έλαο ΜΚΓ ησλ a,, a Καηά ζπλέπεηα θάζε πεπεξαζκέλν ζύλνιν ζηνηρείσλ ηεο R έρεη έλαλ ΜΚΓ, θαη νκνίσο έρεη έλα ΔΚΠ Απόδεημε Σν πξώην είλαη πξνθαλέο, ζ απνδείμνπκε ηε δεύηεξε Απνδεηθλύνπκε πξώηα κε επαγσγή ζην, όηη θάζε ηδεώδεο παξαγόκελν από ζηνηρεία είλαη θύξην Γηα 2 ηζρύεη από ηνλ νξηζκό Έζησ ηώξα 2 θαη ζεσξνύκε όηη θάζε ηδεώδεο γελλεηόξσλ είλαη θύξην Γνζέλησλ a,, a R, έρνπκε a, a b, νπόηε a, a,, a b, a,, a 2 3 θύξην R 2 θαη, από επαγσγή ζην, ην ηειεπηαίν ηδεώδεο είλαη Γνζέλησλ a,,, a όρη όισλ κεδέλ, έζησ d ab, () θαη a da ',, (2) Από ηε ζρέζε (2), ν d είλαη έλαο θνηλόο παξάγνληαο ησλ a,, a θαη από ηελ (), θάζε θνηλόο παξάγνληαο ησλ a είλαη έλαο παξάγνληαο ηνπ d, άξα d είλαη έλαο ΜΚΓ ησλ a,, a Γηα λα βξνύκε ην ΔΚΠ ησλ a,, a ζεσξνύκε όηη θαλέλα από ηα a δελ είλαη κεδέλ (αιιηώο ην ΔΚΠ ζα ήηαλ 0) Γξάθνπκε 3 p aa 2 a, νπόηε κπνξνύκε επίζεο λα γξάςνπκε p aa γηα,, Έζησ c έλα ΔΚΠ ησλ A,,, A έζησ

32 c Au (3) Πξνθαλώο ην c p, ζ απνδείμνπκε όηη ην m p c είλαη ην απαηηνύκελν ΔΚΠ Δμ ππνζέζεσο, c A, νπόηε ca a A p cm, επνκέλσο a m θαη νκνίσο a m γηα 2,, Απηό απνδεηθλύεη όηη ην m είλαη θνηλό πνιιαπιάζην ησλ a, αλ είλαη έλα άιιν θνηλό πνιιαπιάζην, έζησ m',,, ηόηε από ηελ (3), m' c m' Au a Au a ' ', m' c p u cm u, (όπνπ έρνπκε βάιεη m a ζηνλ όξν) Οπόηε απηό απνδεηθλύεη όηη m m ζπλεπώο ην m είλαη πξάγκαηη έλα ειάρηζην θνηλό πνιιαπιάζην, όπσο ηζρπξηζηήθακε m' Τπνζέηνπκε όηη ηα είλαη αλά δύν πξώηα, δειαδή a, a γηα, j,,, j Σόηε ηα A δελ έρνπλ θνηλό παξάγνληα θαη άξα c ζηελ (3) Αληηζηξόθσο, όηαλ c, ηα a πξέπεη λα είλαη κεηαμύ ηνπο πξώηα, θαη θαηά ζπλέπεηα έρνπκε όηη: Πόπιζμα 4 Σν ΔΚΠ θάζε πεπεξαζκέλνπ ζπλόινπ κε-κεδεληθώλ ζηνηρείσλ ζε κηα Bezout πεξηνρή είλαη ην γηλόκελν ηνπο αλ θαη κόλνλ αλ είλαη αλά δύν πξώηα Δίλαη πξνθαλέο όηη θάζε πεξηνρή θπξίσλ ηδεσδώλ είλαη Bezout θαη είλαη εύθνιν λα δώζνπκε παξαδείγκαηα Bezout πεξηνρώλ νη νπνίεο δελ είλαη θύξηεο Θεσξνύκε ηνλ ππνδαθηύιην απνηεινύκελνο από όια ηα πνιπώλπκα κε ζηαζεξό όξν Γελ είλαη δύζθνιν λα επαιεζεύζνπκε όηη είλαη κηα Bezout πεξηνρή, αιιά ην ηδεώδεο παξάγεηαη από x Qx 2 2, x 2, a j δελ είλαη θύξην Απηό ην παξάδεηγκα ππνδεηθλύεη όηη νη Bezout πεξηνρέο δηαθέξνπλ από ηηο πεξηνρέο θπξίσλ ηδεσδώλ κε έρνληαο κηα ζπγθεθξηκέλε ζπλζήθε πεπεξαζκέλνπ Γίλεηαη πξνθαλέο ζηελ επόκελε πεξηγξαθή ησλ πεξηνρώλ θπξίσλ ηδεσδώλ, ην νπνίν είλαη ρξήζηκν σο κηα δνθηκή, θαη ζπγρξόλσο δειώλεη όηη είλαη πεξηνρέο κνλνζήκαληεο παξαγνληνπνίεζεο Καινύκε κηα αθεξαία πεξηνρή αηομική αλ θάζε ζηνηρείν κε-κεδεληθό ή κηα ελάδα δίλαηε λα εθθξαζηεί σο έλα γηλόκελν αηόκσλ Θεώπημα 42 Γηα θάζε δαθηύιην R νη επόκελεο ζπλζήθεο είλαη ηζνδύλακεο () Ο R είλαη πεξηνρή θπξίσλ ηδεσδώλ () Ο R είλαη κηα Bezout πεξηνρή ε νπνία είλαη αηνκηθή () Ο R είλαη Bezout θαη κηα πεξηνρή κνλνζήκαληεο παξαγνληνπνίεζεο Απόδεημε Υξεηάδεηαη κόλν λα δείμνπκε όηη κηα πεξηνρή θπξίσλ ηδεσδώλ είλαη αηνκηθή (αθνύ πξνθαλώο είλαη Bezout) Αξρηθά παξαηεξνύκε όηη θάζε αύμνπζα αιπζίδα ηδεσδώλ ζε κηα πεξηνρή θπξίσλ ηδεσδώλ πξέπεη λα νξίδεηαη σο: 32

33 a a 2 Γηόηη ε έλσζε είλαη έλα ηδεώδεο, παξαγόκελν έζησ από ην b, θαη αλ ba k, ηόηε, a b a δειαδή a k ak Έπεηαη όηη θάζε κε-ελάδα κπνξεί λα δηαηξεζεί από έλα άηνκν Γηόηη αλ κηα κε-ελάδα, είηε ην a είλαη έλα άηνκν είηε έρεη γλήζην παξάγνληα a 2 κε-ελάδα, νκνίσο ην k a είλαη είηε έλα άηνκν είηε έρεη γλήζην παξάγνληα a 3 κε-ελάδα, ζπλερίδνληαο κε απηόλ ηνλ ηξόπν θηηάρλνπκε κηα απζηεξά αύμνπζα αιπζίδα, ε νπνία πξέπεη λα νξηζηεί σο αλσηέξσ, όπσο έρνπκε δεη Αιιά απηό κπνξεί λα ζπκβεί όηαλ βξνύκε έλα άηνκν ην νπνίν λα είλαη έλαο παξάγνληαο ηνπ a a 2 Δπαλαιακβάλνπκε ηώξα ηε δηαδηθαζία, παίξλνληαο άηνκα Οπόηε έρνπκε a p2a2 p2 p3a3, a a, a a, λα είλαη όπνπ ζπκβεί όηαλ ηνπ a, p, p, 2 3 a k είλαη άηνκα Πάιη απηή ε δηαδηθαζία νξίδεηαη θαη κπνξεί κόλν λα είλαη κηα ελάδα, αιιά ηόηε ζα έρνπκε κηα παξαγνληνπνίεζε ζε άηνκα a p2 p3 pkak ηνπ ηελ πξαγκαηηθόηεηα ρξεηάδεηαη κόλν λα δείμνπκε όηη θάζε άηνκν είλαη πξώην, θαη απηό έπεηαη από ηελ εμίζσζε (2) Bezout Έζησ R κηα Bezout πεξηνρή θαη κηα UFD Τπελζπκίδνπκε όηη ζε κηα UFD, θάζε κε-κεδεληθό ζηνηρείν έρεη κήθνο, ην νπνίν είλαη ν αξηζκόο ησλ παξαγόλησλ ζε κηα πιήξε παξαγνληνπνίεζε αηόκσλ Γνζέληνο ελόο ηδεώδνπο a κέζα ζηελ R, πξέπεη λα δείμνπκε όηη ην a είλαη θύξην Δίλαη πξνθαλέο αλ a = 0, δηαθνξεηηθά παίξλνπκε έλα ζηνηρείν κε ειάρηζην κήθνο κέζα ζην a, ηόηε Αλ ε αληζόηεηα είλαη απζηεξή κπνξνύκε λα βξνύκε έλα ζηνηρείν b κέζα ζην a αιιά όρη ζην a, νπόηε a, b d a, άξα d είλαη έλαο γλήζηνο παξάγνληαο ηνπ a θαη ζπλεπώο έρεη κηθξόηεξν κήθνο Αιιά d a θαη ζπλεπώο έρνπκε θηάζεη ζε άηνπν Απηό δείρλεη όηη a= a θαη ηόηε θάζε ηδεώδεο ηεο R είλαη θύξην a a 33

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή

Διαβάστε περισσότερα

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 .1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:

ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ: ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10 ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. (δει. ν n έρεη έλαλ ηνπιάρηζηνλ δηαηξέηε πνπ αλήθεη ζην ζύλνιν 2,..., n 1

ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. (δει. ν n έρεη έλαλ ηνπιάρηζηνλ δηαηξέηε πνπ αλήθεη ζην ζύλνιν 2,..., n 1 ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Οπιζμόρ : Έλαο αθέξαηνο θαιείηαη πξώηνο αλ νη κόλνη ζεηηθνί δηαηξέηεο ηνπ είλαη νη θαη. Αλ ν αθέξαηνο δελ είλαη πξώηνο ηόηε ν θαιείηαη ζύλζεηνο. Παπαηήπηζη : i) Αλ ν αθέξαηνο είλαη ζύλζεηνο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017 α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress. Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x) ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ

Διαβάστε περισσότερα

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12 ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΙΡΔΣΔ ΦΤΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤ Μ.Κ.Γ. ΦΤΙΚΏΝ ΑΡΙΘΜΏΝ

ΓΙΑΙΡΔΣΔ ΦΤΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤ Μ.Κ.Γ. ΦΤΙΚΏΝ ΑΡΙΘΜΏΝ ΓΙΑΙΡΔΣΔ ΦΤΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤ Γηαηξέηεο ελόο θπζηθνύ αξηζκνύ α είλαη νη θπζηθνί αξηζκνί πνπ όηαλ δηαηξεζνύλ κε ην α δίλνπλ αθέξαην πειίθν θαη ππόινηπν 0. Οη παξάγνληεο ελόο αξηζκνύ είλαη θαη δηαηξέηεο ηνπ. Ππώηοι

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

B1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e

B1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e 8 45 38. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα

Διαβάστε περισσότερα

3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα

3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ

Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ Χαξαθηήξεο δηαηξεηόηεηαο ΜΚΓ ΔΚΠ Αλάιπζε αξηζκνύ ζε γηλόκελν πξώησλ παξαγόλησλ Πνιιαπιάζηα ελόο θπζηθνύ αξηζκνύ α είλαη νη αξηζκνί πνπ πξνθύπηνπλ από ηνλ πνιιαπιαζηαζκό ηνπ α κε όινπο ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο.

Διαβάστε περισσότερα

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access) Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πζτρα-Ψαλίδι-Χαρτί Κεξδίδεη ΠΔΣΡΑ ΨΑΛΗΓΗ ΧΑΡΣΗ ΠΔΣΡΑ Ψ Α Ψ ΨΑΛΗΓΗ Ψ Ψ Α ΧΑΡΣΗ Α Ψ Ψ Η ζτέζη Κερδίζει αναπαρίζηαηαι από ηο ζύνολο {(Π,Ψ),(Ψ,Χ),(Χ,Π)}. (Εκεί ποσ γίνεηαι αληθές δηλαδή)

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.

(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ

Διαβάστε περισσότερα

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Σςζηήμαηα αναπαπάζηαζηρ Έλα αξηζκεηηθό ζύζηεκα αλαπαξάζηαζεο δεδνκέλσλ, απνηειείηαη από έλα ζπγθεθξηκέλν αξηζκό ραξαθηήξσλ (π.ρ. ζηελ πεξίπησζε ηνπ δεθαδηθνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ 1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΦΩΡΟΙ. Παραδείγμαηα:

ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΦΩΡΟΙ. Παραδείγμαηα: ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΦΩΡΟΙ Οριζµός: ΈζηωV έλα µε θελό ζύλνιν θαη R ην ζύλνιν ηωλ πξαγµαηηθώλ αξηζµώλ. Εθνδηάδνπµε ηνv: α) µε µηα εζωηεξηθή πξάμε, ηελ νπνία νλνµάδνπµε πξόζζεζε θαη ζπµβνιίδνπµε µε + θαη ε νπνία

Διαβάστε περισσότερα

3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ

3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ 3 ΑΠΙΔ ΑΘΖΔΗ ΘΟΚΟΙΟΓΗΑ ΠΟΤ ΑΛΣΗΚΔΣΩΠΗΕΟΛΣΑΗ ΚΔ ΦΤΗΘΖ ΘΑΗ ΚΑΘΖΚΑΣΗΘΑ ΙΤΘΔΗΟΤ ΘΔΩΡΖΣΗΘΟ ΤΠΟΒΑΘΡΟ: Γηα ηελ ιύζε ηωλ αζθζεωλ πνπ αθνινπζνύλ ζα ρξεηαζζνύκε: 1. Σελ (δηάζεκε) εμίζωζε ηνπ ΔΗΛΣΔΗΛ: E c. Σνλ λόκν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ Οη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο είλαη κία ζεκαληηθή θιάζε ηωλ πξαγκαηηθώλ ζπλαξηήζεωλ κηάο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο Τα βαζηθά ζεωξήκαηα ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ ζε ζπλδπαζκό κε ηε κνλνηνλία, καο βνεζνύλ λα βγάινπκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.

Διαβάστε περισσότερα

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Απλό ηλεκτπικό κύκλυμα Η δηδαζθαιία ηνπ απινύ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο ππάξρεη ζην κάζεκα «Φπζηθά» ηεο Ε ηάμεο ηνπ δεκνηηθνύ θαη επαλαιακβάλεηαη ζην κάζεκα ηεο Φπζηθήο ζηε Γ ηάμε ηνπ Γπκλαζίνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ

ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο

Διαβάστε περισσότερα

Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο.

Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο. . Σρεδίαζε Καηεπζπλόκελωλ Γξαθεκάηωλ (.8.) Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο. Κνξπθέο 0 0 0 0 0 0 0 0. Σρεδίαζε(.8.5) Να ζρεδηαζηεί ην παξαθάηω γξάθεκα

Διαβάστε περισσότερα

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο:

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Πίνακες Σσμβόλων Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Εηζαγσγή ελόο ζηνηρείνπ Αλαδήηεζε ζηνηρείνπ κε δεδνκέλν θιεηδί Άιιεο ρξήζηκεο ιεηηνπξγίεο είλαη: Δηαγξαθή ελόο θαζνξηζκέλνπ ζηνηρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνηηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαέκεηαη δσξεά απνθιεηζηηθά από ην ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η έα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )α.

Διαβάστε περισσότερα

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ. Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο. λήκαηνο κήθνπο L,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην

ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ. Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο. λήκαηνο κήθνπο L,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην ΣΟ ΑΠΛΟ ΕΚΚΡΕΜΕ Σν απιό εθθξεκέο απνηειείηαη από κηα κάδα m ζηελ άθξε αβαξνύο λήκαηνο κήθνπο,ηνπ νπνίνπ ην άιιν άθξν είλαη εμαξηεκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Εθηξέπνληαο θαηά γωλία θ θαη ζηε ζπλέρεηα αθήλνληαο

Διαβάστε περισσότερα

f x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e

f x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e 8 9 6. Θ Ε Μ Α B 4 Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Α,. Ζ πξώηε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : ln ln ln ln e ln ln ln ln e e To πξόζεκν ηεο ', ε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω

Διαβάστε περισσότερα

Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.

Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2. ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Αιγόξηζκνη 2.2.7.4 Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Υ 1 Άζθεζε 34 ζει 53 Έλα ςεθηαθό θσηνγξαθηθό άικπνπκ έρεη απνζεθεπηηθό ρώξν N Mbytes. Να αλαπηύμεηε

Διαβάστε περισσότερα

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)

Διαβάστε περισσότερα

Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ

Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Έλαο από ηνπο βαζηθνύο ζηόρνπο ηεο παιηλδξόκεζεο είλαη ε πξόβιεςε ηεο αλακελόκελεο ηηκήο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ γηα δεδνκέλε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤ ΕΠΙΠΕΔ Άξοναρ Άξονα κε απσή ηο θαη μοναδιαίο διάνςζμα ηο OI i θαη ηνλ ζπκβνιίδνπκε κε νλνκάδνπκε κηα επζεία πάλσ ζηελ νπνία έρνπκε επηιέμεη ζεκεία θαη Ι έηζη ώζηε ην δηάλπζκα OI λα έρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1 ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ηαηηθή ηωλ ξεπζηώλ (Τδξνζηαηηθή) Ση είλαη ηα ξεπζηά - Γεληθά Ππθλόηεηα Πίεζε Μεηαβνιή ηεο πίεζεο ζπλαξηήζεη ηνπ βάζνπο Αξρή ηνπ Pascal Τδξνζηαηηθή πίεζε Αηκνζθαηξηθή πίεζε Απόιπηε &

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΙΚΆ ΣΟΙΧΕΊΑ ΘΕΩΡΊΑ ΑΡΙΘΜΏΝ 27/11/2015 1

ΒΑΙΚΆ ΣΟΙΧΕΊΑ ΘΕΩΡΊΑ ΑΡΙΘΜΏΝ 27/11/2015 1 ΒΑΙΚΆ ΣΟΙΧΕΊΑ ΘΕΩΡΊΑ ΑΡΙΘΜΏΝ 27/11/2015 1 Θεωπία Απιθμών Κιάδνο καζεκαηηθώλ πνπ αζρνιείηαη κε ηνπο αθέξαηνπο θαη ηηο ηδηόηεηέο ηνπο. Πνιιά θαη εμαηξεηηθά δύζθνια πξνβιήκαηα Εηθαζία ηνπ Goldbach 27/11/2015

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλσση παλινδρόμησης

Ανάλσση παλινδρόμησης ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ανάλσση παλινδρόμησης Πειραιάς Το ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης Tο ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο κεηπραίνο παξάγνληαο ηπραίνο

Διαβάστε περισσότερα

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( )

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( ) 1. Άζξνηζκα Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: Θέινπκε λα εθθξάζνπκε ην άζξνηζκα ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ. Δπνκέλσο έρνπκε: 2. Άζξνηζκα Ξεθηλάκε κε δύν

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε

Κβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε Κβαντικοί Υπολογισμοί Πέκπηε Γηάιεμε Kπθισκαηηθό Mνληέιν Έλαο θιαζηθόο ππνινγηζηήο απνηειείηαη από αγσγνύο θαη ινγηθέο πύιεο πνπ απνηεινύλ ηνπο επεμεξγαζηέο. Σηνπο θβαληηθνύο ε πιεξνθνξία βξίζθεηαη κέζα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r 1. Γίλνληαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα και β ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r ηνπ επηπέδνπ απηνύ κπνξεί λα εθθξαζηεί ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ και β ά κνλαδηθό ηξόπν.. Γίλνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Αντισταθμιστική ανάλυση

Αντισταθμιστική ανάλυση Θεσξήζηε έλαλ αιγόξηζκν Α πνπ ρξεζηκνπνηεί κηα δνκή δεδνκέλσλ Γ : Καηά ηε δηάξθεηα εθηέιεζεο ηνπ Α ε Γ πξαγκαηνπνηεί κία αθνινπζία από πξάμεηο. Παξάδεηγκα: Θπκεζείηε ην πξόβιεκα ηεο εύξεζεο-έλσζεο Δίρακε

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Αζκήζεων Απλή Αρμονική Ταλάνηωζη

Μεθοδολογία Αζκήζεων Απλή Αρμονική Ταλάνηωζη Μεθοδολογία Αζκήζεων Απλή Αρμονική Ταλάνηωζη Αξρηθά ζ αζρνιεζνύκε κε απιέο αζθήζεηο θαη ηη πιεξνθνξίεο κπνξνύκε λα εμάγνπκε αλ καο δώζνπλ κία από ηηο ηξεηο βαζηθέο εμηζώζεηο (ζέζεο, ηαρύηεηαο, επηηάρπλζεο).

Διαβάστε περισσότερα