Θέμα [2] Γεωμετρία: ΣΤΕΡΕΑ: [Ονοματολογία Συμβολισμός] Η έννοια της μεταβλητής -Απλές εξισώσεις. [ο προγραμματισμός]
|
|
- Άλκηστις Μαυρίδης
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θέμα [2] 1 Γεωμετρία: ΣΤΕΡΕΑ: [Ονοματολογία Συμβολισμός] Η έννοια της μεταβλητής -Απλές εξισώσεις Ενδεικτική πορεία διδασκαλίας [ο προγραμματισμός] Α. Δίνουμε στους εκπαιδευομένους διάφορα στερεά (κατασκευασμένα)-πολύεδρα (πρίσματα και πυραμίδες) και στερεά εκ περιστροφής. Ονομάζουμε τα στερεά, τα χαρακτηριστικά των στερεών (έδρες, κορυφές, ακμές) και των πολυγωνικών σχημάτων από τα οποία περικλείονται(πλευρές, γωνίες). Β. Διακρίνουμε στον περιβάλλοντα χώρο αντικείμενα που μας δίνουν την έννοια του πολυέδρου, της επίπεδης επιφάνειας, των στερεών εκ περιστροφής και εντοπίζουμε τα χαρακτηριστικά τους. Γ. Δίνουμε στους εκπαιδευομένους (κατασκευασμένα) τα πέντε κανονικά πολύεδρα. [Τετράεδρο, κύβος, εικοσάεδρο, οκτάεδρο,... δωδεκάεδρο]. Ιστορική αναδρομή (πλατωνικά ή κοσμικά στερεά) [φωτιά, γη, νερό, αέρας,...σύμπαν]. Αναφορά στα κανονικά πολύγωνα. Δ. Ζωγραφική. Ε. Για τα (κυρτά) πολύεδρα διαπιστώνουμε ότι ισχύει το Θεώρημα (Descartes) Euler: Κ + Ε = Α + 2 ΣΤ. Εισαγωγή στις απλές εξισώσεις (με τη βοήθεια του Θ. Euler)
2 Μέσα-Υλικά 2 Κατασκευασμένα στερεά: Διάφορα πρίσματα ( κύβος, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, εξαγωνικό), Πυραμίδες (τριγωνική-τετραπλευρική εξαγωνική κόλουρη), στερεά εκ περιστροφής (κύλινδρος, κώνος), τα πέντε πλατωνικά στερεά (κανονικό τετράεδρο, οκτάεδρο, εικοσάεδρο, κύβος, δωδεκάεδρο)... και δύο από τα δεκατρία ημικανονικά αρχιμήδεια στερεά [το κόλουρο εικοσάεδρο : 12 πεντάγωνα + 20 εξάγωνα και το ρομβοεικοσιδωδεκάεδρο:12 πεντάγωνα + 30 τετράγωνα + 20 τρίγωνα ]. Σκοποί- Στόχοι Επιδιώξεις Να διακρίνουν οι εκπαιδευόμενοι και να ονομάζουν στον περιβάλλοντα χώρο τα διάφορα στερεά και επίπεδα σχήματα. Να διακρίνουν και να ονομάζουν τα χαρακτηριστικά των στερεών σωμάτων (έδρες, κορυφές, ακμές) και των επίπεδων σχημάτων (πλευρές, γωνίες). Ζωγραφική των στερεών[μη μαθηματική απόδοση των χαρακτηριστικών των στερεών] Να λύνουν απλές εξισώσεις [μια πρώτη προσπάθεια για το πέρασμα από την Αριθμητική στην Άλγεβρα] Ενδεικτικός χρόνος 10 ώρες: (γράμμα "ενδεικτικής πορείας", αριθμός ωρών) (Α, 1) (Β, 1) (Γ, 1) (Δ, 4) Κοινή Παρουσίαση (Ε, 2) (ΣΤ, 4) [(Δ, 4): Μια ώρα για κάθε κατηγορία: πρίσματα, πυραμίδες, στερεά εκ περιστροφής, πλατωνικά]
3 Ειδικές παρατηρήσεις 3 Η σύνδεση των στερεών με την Πλατωνική Φιλοσοφία, όπως και η σύνδεσή τους με τον περιβάλλοντα χώρο εντάσσονται στο project ως κίνητρα μάθησης. Πιθανή συνεργασία με φιλόλογο για τα ιστορικά στοιχεία (Πλάτωνος, Τίμαιος: 1 ώρα) Ελπίζω ότι οι εκπαιδευόμενοι θα ενδιαφερθούν... και για την κατασκευή των στερεών, οπότε θα εισαχθούν ομαλά στη χρήση χάρακα, γνώμονα, διαβήτη και στη μαθηματική σχεδίαση των στερεών, με την βοήθεια τετραγωνισμένου χαρτιού (επόμενες θεματικές ενότητες). Στο δεύτερο χρόνο εκπαίδευσης μπορούμε να επαναφέρουμε το θέμα της κατασκευής και να ασχοληθούμε περισσότερο μ' αυτήν. Με τη βοήθεια του Θ. Euler και των απλών εξισώσεων μπορούμε να λύσουμε μεγάλη κατηγορία προβλημάτων, εισάγοντας τους εκπαιδευομένους σε γενικές μεθόδους (Άλγεβρα).
4 Η...ΠΡΑΞΗ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ [Τι ακριβώς έγινε] 4 1 ο δίωρο: Παρουσίαση των κατασκευασμένων στερεών - Ονοματολογία Οι εκπαιδευόμενοι βλέπουν και περιεργάζονται τα "συνηθισμένα" στερεά... και αρκετά ασυνήθιστα [πλατωνικά, αρχιμήδεια: μπάλα-κόλουρο εικοσάεδρο]. Αναφορά στην κοσμοθεωρία των Αιγυπτίων και του Πλάτωνα. Εντυπωσιάστηκαν από την πληροφορία για την συσχέτιση του δωδεκαέδρου με το ημερολόγιο. [...Ακολουθώντας το δωδεκάεδρο, οι Αιγύπτιοι διαίρεσαν το έτος σε 12 μήνες( οι 12 έδρες του δωδεκαέδρου), τον ένα μήνα σε 30 μέρες (οι 30 ακμές του δωδεκαέδρου)......τα παραπάνω αποτελούν μια αρκετά καλή εξήγηση του γιατί οι Βαβυλώνιοι διάλεξαν τον "παράξενο" αριθμό 60 ως βάση του αριθμητικού τους συστήματος (οι 60 επίπεδες γωνίες του δωδεκαέδρου)...,ιερή Γεωμετρία, σελ.153] Αναφορά στην ιδιοφυΐα του Αρχιμήδη. Ζήτησαν επιπλέον πληροφορίες για τους αρχαίους λαούς. Οπτικός γραμματισμός Ελεύθερη σχεδίαση από τον Τρανό Τριαντάφυλλο [πρίσματα]
5 5 Τα στερεά, οι εκπαιδευόμενοι, οι (φαλακροί) δάσκαλοι, και η διευθύντρια του σχολείου.
6 Η προεργασία που έκανε ο Τριαντάφυλλος πριν τις κοινές ώρες. 6
7 7 Η σχεδίαση από τον Τριαντάφυλλο κατά το πρώτο κοινό δίωρο.
8 8 Μια φανταστική μηχανή σχεδιασμένη από τον Τριαντάφυλλο
9 2 o δίωρο : Ελεύθερη σχεδίαση από τον Τριαντάφυλλο [στερεά εκ περιστροφής]- Ονοματολογία Ιστορικά στοιχεία- Αιγυπτιακοί αριθμοί [απόρροια της συζήτησης κατά το πρώτο δίωρο] 9
10 10 Η... ΠΡΑΞΗ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ [Από τον Τρανό Τριαντάφυλλο] Μετά από ιδέα και πρόταση του Σωκράτη Ντριάνκου οργανώσαμε ένα τετράωρο κοινής εργασίας με θέμα «Η... ΠΡΑΞΗ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ». Στο πρώτο δίωρο παρουσιάστηκε από το Σωκράτη μια πλήρης σειρά κατασκευασμένων στερεών. Παράλληλα μοιράστηκαν στους εκπαιδευομένους φωτοτυπίες με ελεύθερα σχεδιασμένα πρίσματα, όπως τα συναντούμε στο αστικό περιβάλλον (π.χ. περίπτερα, κτίρια, οχήματα κλπ.) και ζητήθηκε από τους εκπαιδευομένους να συμπληρώσουν ελεύθερα μέρη του σχεδίου. Συμπληρωματικά, παρουσιάστηκε η χιουμοριστική ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΗ που συναπαρτίζεται από ένα πλήθος πρισμάτων και στερεών εκ περιστροφής και είναι σχεδιασμένη με χαλαρή διάταξη των μερών και ασαφή λειτουργικότητα. Στο δεύτερο δίωρο μοιράστηκαν φωτοτυπίες τονικού σχεδίου που εικονίζει ένα φανταστικό κοσμοδρόμιο με νυχτερινούς προβολείς και ζητήθηκε από τους εκπαιδευόμενους να επεξεργαστούν τονικά διάφορα στερεά, αφού πρώτα εξηγήθηκαν η λειτουργία της τονικής κλίμακας και η τεχνική της φωτοσκίασης. Στόχος της δραστηριότητας ήταν να εξοικειωθούν οι εκπαιδευόμενοι με την ελεύθερη σχεδίαση των στερεών, την ονοματολογία τους και την ανίχνευση των στερεών στο καθημερινό περιβάλλον. Στη διάρκεια της δραστηριότητας καταβλήθηκε συνειδητή προσπάθεια και από τους δυο μας ώστε να απαλλαγούν οι εκπαιδευόμενοι από το φόβο του λάθους που συνδέεται με την αυστηρή μαθηματική σχεδίαση στο ίδιο πνεύμα έγινε ο σχολιασμός των μαθηματικών ιδιοτήτων από το Σωκράτη και η ελεύθερη σχεδίαση στερεών στον πίνακα από τον υποφαινόμενο. Τριαντάφυλλος Τρανός Οπτικός Γραμματισμός
11 Αιγυπτιακοί αριθμοί από "Smile" 11 ΣΔΕ Νεάπολης
12 12 Η παρουσία και του ζωγράφου, Τρανού Τριαντάφυλλου, κατά τις 4 πρώτες ώρες διδασκαλίας, η πολύ καλή επιλογή των σχεδίων και η απαλλαγμένη από μαθηματική αυστηρότητα σχεδίαση, δημιούργησαν πάρα πολύ καλό παιδαγωγικό κλίμα στην τάξη. Τα στερεά απαλλάχτηκαν από τη στείρα και "ψυχρή" παρουσίαση των μαθηματικών ιδιοτήτων τους. Τα..σοφά του σχέδια έδειξαν στους εκπαιδευομένους ότι μπορούν να ανακαλύψουν τα μαθηματικά παντού γύρω τους.
13 13 5 η ώρα: Ρωμαϊκή γραφή των αριθμών Ονοματολογία επίπεδων σχημάτων Τους δόθηκαν δυο σχέδια ανθρώπινων μορφών κατασκευασμένα από πολύγωνα. Επίσης, τους δόθηκε το ανάπτυγμα του κόλουρου εικοσάεδρου (μπάλας) με αφορμή ερώτηση σχετική με την κατασκευή των στερεών.
14 14
15 Ρωμαϊκή γραφή των αριθμών [Smile] 15
16 16 Το ανάπτυγμα του κόλουρου εικοσάεδρου
17 17 6 η και 7 η ώρα: Με τη βοήθεια των φύλλων εργασίας και των κατασκευασμένων στερεών παρουσίασα το θεώρημα του Euler. Αναγκάσθηκαν να χρησιμοποιήσουν το Θεώρημα όταν τους ζήτησα να υπολογίσουν κορυφές, έδρες και ακμές των Πλατωνικών και Αρχιμήδειων (ημικανονικων) στερεών. Στην προσπάθεια υπολογισμού των ακμων του δωδεκαεδρου η συζήτηση που αναπτύχθηκε ήταν ακριβώς αυτή που έγινε μεταξύ Σωκράτη και Ιπποκράτη στον διάλογο για την χρησιμότητα των Μαθηματικών. Εντυπωσιάστηκαν όταν έκαναν αυτή την διαπίστωση [τους δόθηκε φωτοτυπία με το (μεταφρασμένο) κείμενο ]. Συζήτηση για τα Μαθηματικά. "Το κύριον στοιχείων των Μαθηματικών είναι ότι ταύτα προωθούνται δια της μεθόδου της συνεχούς προσαυξήσεως:νεαι θεωριαι παρατίθενται εις τας παλαιάς... Η διάρκεια του έργου του Μαθηματικού αδιαφορεί προς τον χρονον, μη επηρεαζομένη από την παροδον των αιώνων..." Θ.Βαροπουλος. Πρώτη αναφορά στις εξισώσεις.
18 18 Τα στερεά σε ώρα διαλείμματος
19 19 Διαπίστωση του Θεωρήματος Euler ΠΟΛΥΕΔΡΑ ΚορυφέςΈδρες Κορυφες+Εδρες Ακμές ΠΡΙΣΜΑΤΑ κύβος Κ=8 Ε=6 Κ+Ε=14 12 Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο Κ= Ε= Κ+Ε= Τριγωνικό Πρίσμα 5 Πενταγωνικό Πρίσμα Εξαγωνικό Πρίσμα 12 Οκταγωνικό Πρίσμα ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ Τριγωνική Πυραμίδα 4 Τετραπλευρικη Πυραμίδα 5 Πενταγωνική Πυραμίδα Εξαγωνική Κόλουρη τετραπλευρικη 8 6 ΚΟΡΥΦΕΣ + ΕΔΡΕΣ... // Κ + Ε ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ Τετράεδρο Εξάεδρο Οκτάεδρο 6 Δωδεκαεδρο 12 Εικοσαεδρο Αρχιμήδεια ρομβοεικοσιδωδεκαεδρο κόλουρο εικοσαεδρο 60 32
20 20... Πάντα δημιουργούνται συμπάθειες μεταξύ δασκάλου, μαθητών...και πλατωνικών στερεών.
21 21 Η διαχρονικότητα
22 22 7 η - 8 η -9 η 10 η ώρα: Κάποιες εξισώσεις και...σπαζοκεφαλιές από "Smile".
23 23
24 24
25 25
26 11 η ώρα 26 Ανακεφαλαιώνοντας, προσπάθησα να περάσω από την Αριθμητική στην Άλγεβρα με την βοήθεια του Θ.Euler και του "πακέτου" Smile [Σπαζοκεφαλιές Α και Β]. Ηττήθηκα όμως. Παρά την επιμονή μου...στον άγνωστο χ,...την ζυγαριά και τα βαρίδια, οι εκπαιδευόμενοι έλυσαν όλα τα προβλήματα [εκτός το 5 από την Σπαζοκεφαλιά Β] με πρακτική Αριθμητική. Για άλλη μία φορά φάνηκε το τεράστιο άλμα που έκαναν οι Έλληνες όταν ξέφυγαν από την πρακτικότητα των Βαβυλωνίων και Αιγυπτίων και έδωσαν τις πρώτες Θεωρητικές Αποδείξεις. "Ο πρώτος που απέδειξε ότι οι γωνίες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους (είτε Θαλής λεγόταν είτε όπως αλλιώς) είχε μιαν αναλαμπή" Εμ.Καντ.
27 27 ισορροπία ζυγαριάς ***το τριγωνικό βαριδιο είναι η μονάδα βάρους π.χ. 1 κιλό το άγνωστο βάρος του τετραγωνικού βαριδιου το συμβολίζω με χ 2χ + 4 = 8 2χ + 4 = 8 2χ +4 4 = 8-4 2χ = 8-4 2χ = 4 2χ =4 2x 4 2x 4 = = χ = 2 χ = 2 Βασική ιδέα είναι να απομονωθεί στο ένα μέλος (δίσκο της ζυγαριάς) το άγνωστο βαριδιο και στο άλλο μέλος τα τριγωνικά βαρίδια, τα οποία και θα μας φανερώσουν το άγνωστο βάρος. Τελικά οι εξισώσεις αναβλήθηκαν, ίσως για την Δεύτερη τάξη. Το "κέρδος" από την προσπάθεια αυτή είναι ότι έγινε εκτενής αναφορά στις ιδιότητες των πράξεων [με την βοήθεια των οποίων λύθηκαν τελικά τα απλά προβλήματα των φύλλων εργασίας]
28 12 η ώρα: Ανακεφαλαίωση και επανάληψη της ονοματολογίας με φύλλο εργασίας
29 Β. 1. Γράψτε πάνω σε κάθε σχέδιο ένα γράμμα που θα διαλέξετε από τους πίνακες: 29 Α Β Γ Δ Ε Ζ ευθύγραμμο τμήμα τρίγωνο κύκλος ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ρόμβος τραπέζιο Η Θ Ι Κ Λ Μ πεντάγωνο εξάγωνο οκτάγωνο έλλειψη κύβος ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Ν Ξ Ο Π Ρ τριγωνική πυραμίδα τετραπλευρικη πυραμίδα κύλινδρος σφαίρα εξαγωνική πυραμίδα Σ Τ Υ Φ Χ κώνος τετράγωνο παράλληλες ευθείες κάθετες ευθείες τεμνόμενες ευθείες Οι σελίδες 27 και 28 δόθηκαν μαζί.
30 30 Βιβλιογραφία 1. Βιβλία Μαθηματικών Ο.Ε.Δ.Β. [Δημοτικου-Γυμνασιου-Λυκειου] 2. Τόγκα, Π., Θεωρητική Γεωμετρία, εκδ.τογκα, Αθήνα Κανελλου, Σπ., Στερεομετρία, εκδ.παπαδημητρόπουλου, Αθήνα Ευαγγελοπουλος, Δημ., Ιερή Γεωμετρία, εκδ. Αρχέτυπο, Σακωνιδης, Χ., Κλωθου, Α., Βαρναβα -Σκουρα. Τ.,"Smile" [Πιλοτικά Προγρ. Ενισχ. Διδασκαλίας] Δ.Π.Θ., Κέντρο Καινοτόμων Εκπαιδευτικών Προγραμμάτων 6. Βαροπουλου, Θ., Γενικά Μαθηματικά, εκδ.εστιας, Αθήνα Πλάτωνα, Τίμαιος, σχ.βασίλης Κάλφας, εκδ.πόλις, Sir Thomas L. Heath, Ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών, Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ., Αθήνα, Renyi Α, Διάλογοι για τα Μαθηματικά, εκδ. Διογένης, Ghyka, M., The Geometry of Art and Life, Dover, Pappas,Τ., The Joy of Mathematics- Discovering Mathematics All Around You, Wide World Publishing/Tetra, Wenninger, J., Polyhedron Models, Cambridge University Press, David Baker, Peter Bland, Paul Hogan, Barbara Holt, Barbara Job, Renie Verity, Graham Wills, KEY MATHS, Stanley Thornes(Publishers) Ltd, 2000.
31 31 Ευχαριστίες Ευχαριστώ πολύ τον Τόμπρο Νίκο ΣΔΕ Περιστερίου, για την πολύ ενδιαφέρουσα "Ιερή Γεωμετρία", τον Δημήτρη Λίβα-ΣΔΕ Περιστερίου, που φωτοτύπησε και μου έδωσε το πακέτο "Smile", την ύπαρξη του οποίου αγνοούσα. τον επιστημονικό υπεύθυνο του Αριθμητικού Γραμματισμου, Λεμονιδη Χαράλαμπο-καθηγητή του Α.Π.Θ., που είχε την διάθεση και την υπομονή να παρακολουθήσει ένα δίωρο μάθημα (Θ.Euler) και με τις σωστές υποδείξεις του να με επαναφέρει από τον κόσμο των ιδεών στις πραγματικές ανάγκες των εκπαιδευομενων. τον Δρόσο Γιώργο ΣΔΕ Νεάπολης, για την πολύτιμη βοήθειά του στην ηλεκτρονική επεξεργασία των φωτογραφιών,των φωτοτυπιών και των σχεδίων. την Αρετή Ντριάγκου-τριτοετή φοιτήτρια του τμήματος προσχολικής Αγωγής και Εκπαίδευσης για την βοήθειά της στην κατασκευή των στερεών. την Καραστρατίδου Μεταξένια, του Α1, για τις φωτογραφίες τους εκπαιδευόμενους του ΣΔΕ Νεάπολης, που με τις απορίες και παρατηρήσεις τους με βοήθησαν να ξεφύγω από τα καθαρως μαθηματικά κριτήρια και...οδήγησαν τα στερεά σε μία σφαιρικότερη παρουσίαση και, φυσικά, ιδιαίτερες ευχαριστίες, στον φίλο και συνάδελφο Τρανό Τριαντάφυλλο, για την πολύ καλή συνεργασία στις 4 ώρες της κοινής παρουσίασης. Ντριάνκος Σωκράτης Αριθμητικός Γραμματισμός ΣΔΕ Νεάπολης Ιανουάριος 2003
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ. Κεφάλαιο 13: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
Κεφάλαιο 13: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Θεωρούµε ένα επίπεδο p, µια κλειστή πολυγωνική γραµµή του p και µια ευθεία ε που έχει µε το p ένα µόνο κοινό σηµείο. Από κάθε σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Β Κεφάλαιο 4ο Γεωμετρικά Στερεά Χρύσα Παπαγεωργίου Μαθηματικός - Πληροφορικός Το ορθό πρίσμα και τα στοιχεία του Κάθε ορθό πρίσμα έχει: Δύο έδρες παράλληλες, που είναι ίσα
Διαβάστε περισσότεραΘέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + 2). Την εποχή της Στερεομετρίας.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Παράρτημα Κέρκυρας Χαράλαμπος Δημητριάδης Μαθηματικός Θέμα: «Κωνσταντίνος και Ελένη. Ήσαν Άγιοι και οι δύο.» (Κ + Ε = Α + ). Την εποχή της Στερεομετρίας. Μέγιστο γινόμενο,
Διαβάστε περισσότεραΠρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης
Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 2: Απόδειξη Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Η ΔΙΑΧΥΣΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ
Διαβάστε περισσότερα1. * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α. ισοσκελές. Β. ισόπλευρο. Γ. ορθογώνιο.. αµβλυγώνιο. Ε. τυχόν.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1 * Η κάθετη τοµή ορθού κανονικού τριγωνικού πρίσµατος είναι τρίγωνο Α ισοσκελές Β ισόπλευρο Γ ορθογώνιο αµβλυγώνιο Ε τυχόν * Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει ακµές Α Β 6 Γ 8 10 Ε
Διαβάστε περισσότερα1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Θέμα Γραφικές παραστάσεις Ραβδόγραμμα - Ιστόγραμμα -Κυκλικό διάγραμμα Πίνακες-Σχετικές Συχνοτητες-Ποσοστα-Κλασματα Ενδεικτική πορεία διδασκαλίας Α. Δίνουμε στους εκπαιδευόμενους
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 7. Σημείωση: Για τη διδασκαλία της ενότητας είναι πολύ σημαντική η χρήση των εποπτικών μέσων (στερεών και αναπτυγμάτων των στερεών).
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση σχημάτων και χώρου Γ2.6 Ονομάζουν, περιγράφουν και ταξινομούν τρισδιάστατα σχήματα (κύβο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, πυραμίδα, σφαίρα, κύλινδρο, κώνο),
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
Διαβάστε περισσότεραΑνθή Μαρία Κουρνιάτη. Νίκος Κουρνιάτης
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Τομέας III : Αρχιτεκτονικής Γλώσσας, Επικοινωνίας & Σχεδιασμού ntua ACADEMIC OPEN COURSES Ανθή Μαρία Κουρνιάτη Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων
Διαβάστε περισσότεραΛίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια Στερεά
Λίγα λόγια για τα Πλατωνικά και Αρχιµήδεια τερεά (Κανονικά και Ηµικανονικά Πολύεδρα) Λίγα Ιστορικά στοιχεία ηµ. Μπουνάκης χ. ύµβουλος Μαθηµατικών dimitrmp@sch.gr Ιούνιος 2011 Κανονικό Πολύεδρο είναι το
Διαβάστε περισσότεραεγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].
εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Υπενθύμιση Β μέρος ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ. Παράλληλες: Τι θα πρέπει να. Ποιες είναι οι παράλληλες ευθείες;
ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Υπενθύμιση Β μέρος ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Παράλληλες: Τι θα πρέπει να θυμόμαστε από την γεωμετρία; Ποιες είναι οι παράλληλες ευθείες; Ποιες είναι οι κάθετες ευθείες;
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Γεωμετρία της Β Λυκείου παρουσιάζονται θεωρήματα και προβλήματα που έχουν μεγάλη ιστορική και μαθηματική αξία. Αξιοποιείται η αναλυτικήσυνθετική μέθοδος και επιχειρείται μία πρώτη επαφή με
Διαβάστε περισσότεραMAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος
B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2
Διαβάστε περισσότεραΝα αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.
Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 17 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 25 Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί 26 Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών 27 Η αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΤο επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του
ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού
Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Α+Β Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 1.1 Αριθμοί 1-1000 Γραφή, Ανάγνωση, Απαγγελία, Απαρίθμηση, Σύγκριση, Συμπλήρωση (κατά αύξουσα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΑπό το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)
Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Επίπεδα και Ευθείες Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:...
Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 13 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Επίπεδα και Ευθείες Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Όλες οι εφαρμογές που καλείσθε να χρησιμοποιήσετε είναι
Διαβάστε περισσότεραΣχέδιο μαθήματος στα μαθηματικά
Σχέδιο μαθήματος στα μαθηματικά Τάξη Δ 2 Ενότητα 7: Μάθημα 5: Αναπτύγματα γεωμετρικών στερεών Εκπαιδευτικός: Νεοκλής Χαραλάμπους Διάρκεια: 80 Ημερ/νία: 14/03/18 Α Δημοτικό Σχολείο Γεροσκήπου Δείκτες επιτυχίας:
Διαβάστε περισσότερα4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ
1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται
Διαβάστε περισσότερατ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.
ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφία Γεωμορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 13: Ογκομετρήσεις Δρ. Γρηγόριος Βάρρας
Τοπογραφία Γεωμορφολογία (Εργαστήριο) Ενότητα 13: Ογκομετρήσεις Δρ. Γρηγόριος Βάρρας 1.1. ΟΓΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ 1.1.1. ΟΓΚΟΣ ΤΕΤΡΑΕΔΡΟΥ Τετράεδρο είναι κάθε στερεό το οποίο έχει τέσσερες έδρες (Σχήμα
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος
Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 6 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Κάντε κλικ στο URL https://www.geogebra.org/m/msrbdbc5.
Διαβάστε περισσότεραΑρβανίτη Μαρία Ελένη Κρυσταλλίδης Περικλής. Μάθημα : «Θέμα» Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία ΣΕΜΦΕ
Αρβανίτη Μαρία Ελένη Κρυσταλλίδης Περικλής Μάθημα : «Θέμα» Επιβλέπουσα : Λαμπροπούλου Σοφία ΣΕΜΦΕ 2016-2017 ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ Εισαγωγή Τα Πλατωνικά στερεά Τα Πλατωνικά στερεά και τα στοιχεία της φύσης Η
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου Διδακτικό Έτος 2018-2019 Ι. Διδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου. Κεφ. 1 ο :
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (A = 90 ) και πλευρές ΑΓ = 3 cm, ΒΓ = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ορθό τριγωνικό πρίσµα µε βάση ορθογώνιο τρίγωνο (A = 90 ) και πλευρές = 3 cm, = 5 cm, η παράπλευρη ακµή του είναι 7 cm. Να βρείτε: α) Το εµβαδό Ε Π της παράπλευρης επιφάνειας.
Διαβάστε περισσότεραMATHematics.mousoulides.com
ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Ενδεικτικές Επαναληπτικές Δραστηριότητες 1 1. Να χαρακτηρίσετε με ΟΡΘΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Ο κύλινδρος είναι πολύεδρο. ΟΡΘΟ /
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους
Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των
Διαβάστε περισσότεραΑ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και
Διαβάστε περισσότεραραστηριότητες στο Επίπεδο 0.
ραστηριότητες στο Επίπεδο 0. Σε αυτό το επίπεδο περιλαµβάνονται δραστηριότητες ταξινόµησης, αναγνώρισης και περιγραφής διαφόρων σχηµάτων. Είναι σηµαντικό να χρησιµοποιούνται πολλά διαφορετικά και ποικίλα
Διαβάστε περισσότεραΈνα παιχνίδι των πολυγώνων
Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Το παιγνίδι αυτό, αναπτύχθηκε στα πλαίσια του μαθήματος πληροφορικής της Γ τάξης, στην ενότητα που αφορά στο σχεδιασμό πολυγώνων, απ όλα τα παιδιά, της Γ τάξης του σχολείου μας.
Διαβάστε περισσότεραΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ
Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΚΟΣΜΩΝ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όπως διατυπώθηκε στην κοσμοθεωρία μας ΤΟ ΙΔΙΟΝ, ο κόσμος μας, το σύμπαν μας είναι μία ολογραφία, περίπου ένα επίπεδο τετράγωνο. Υπάρχουν έξι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16 / 6 / 2014 Αριθμητικά :.... ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Γ Ολογράφως:......
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος
Διδακτική των Μαθηματικών με Τ.Π.Ε Σελίδα 1 από 6 Ενδεικτικό Φύλλο Εργασίας 1. Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο - Κύβος Ονοματεπώνυμο:... Τάξη Τμήμα:... Ημερομηνία:... Όλες οι εφαρμογές που καλείσθε να χρησιμοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος. Ενότητα 8. β τεύχος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ 46 Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος Ενότητα 8 β τεύχος Γεωμετρικά σχήματα-η περίμετρος 46 1η Άσκηση Να κυκλώσεις όλα τα κανονικά πολύγωνα: 60 ο 108 ο 108 ο 120
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε
Διαβάστε περισσότερα5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ
5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο
Διαβάστε περισσότεραεύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.
εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Διαβάστε περισσότεραΝα υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:
Διαβάστε περισσότεραΚανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος
Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν
Διαβάστε περισσότερατέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή
Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο. Ενότητα 2.1: Στοιχεία Γεωμετρίας του Χώρου. Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τεχνικό Σχέδιο Ενότητα 2.1: Στοιχεία Γεωμετρίας του Χώρου Σταματίνα Γ. Μαλικούτη Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά A Γυμνασίου
Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1
Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων E Τάξη Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1 Αρ3.1 Απαγγέλουν, διαβάζουν, γράφουν και αναγνωρίζουν ποσότητες αριθμών μέχρι το 1 000 000 000 8 Επανάληψη
Διαβάστε περισσότεραMAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ
ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων
Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε
Διαβάστε περισσότεραΕαρινό Εξάμηνο 2011. 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ
Εαρινό εξάμηνο 2011 23.02.11 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Υπολογισμός (ακρίβεια έως 5 δεκαδικά) Yale Babylonian collection, 1800 π.χ. 24 51 10 1+ + + = 1.41421296 2 3 60 60 60 Τετραγωνική ρίζα του 2 Ποια είναι η
Διαβάστε περισσότεραΑ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.
Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι
Διαβάστε περισσότερα2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου
Διαβάστε περισσότερα3, ( 4), ( 3),( 2), 2017
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΣκοπεύουμε να επιδιορθώσουμε έναν παλιό φράχτη σε ένα αγρόκτημα και για την καταγραφή των υλικών μετράμε τις αποστάσεις ανάμεσα στους πασσάλους.
ΜΑΘΗΜΑ 6Ο Σκοπεύουμε να επιδιορθώσουμε έναν παλιό φράχτη σε ένα αγρόκτημα και για την καταγραφή των υλικών μετράμε τις αποστάσεις ανάμεσα στους πασσάλους. Αυτές οι μετρήσεις αποκαλύπτουν ότι οι πάσσαλοι
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ
ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει
Διαβάστε περισσότερα9. Από τη θεωρία στην πράξη: Η διδασκαλία των Μαθηματικών (ΟΔΥΣΣΕΑΣ 2003)
Από τη θεωρία στην πράξη: ΟΔΥΣΣΕΑΣ 2000-2004 9. Από τη θεωρία στην πράξη: Η διδασκαλία των Μαθηματικών (ΟΔΥΣΣΕΑΣ 2003) 9.1 Εισαγωγή Στα πλαίσια του προγράμματος ΟΔΥΣΣΕΑΣ κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους
Διαβάστε περισσότεραιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Ιούνιος 14
ΟΓΚΟΣ ΣΤΕΓΗΣ ιαχειριστής Έργου ΣΟΥΓΑΡΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Περιεχόμενα 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 I. ΠΥΡΑΜΙΔΑ 4 II. ΤΕΤΡΑΕΔΡΟ 5 III. ΟΓΚΟΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ 5 2. ΜΟΡΦΕΣ ΙΣΟΚΛΙΝΟΥΣ ΣΤΕΓΗΣ 6 I. ΔΥΡΙΧΤΗ 6 II. ΤΕΤΡΑΡΙΧΤΗΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΗ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Γεωμετρικά Στερεά
Κεφάλαιο 6 Γεωμετρικά Στερεά Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 6.1 Συστήματα Συντεταγμένων... 3 6.2 Δίεδρες γωνίες... 8 6.3 Τρίεδρες γωνίες... 9 6.4 Πρίσμα... 9 6.5 Κύλινδρος...
Διαβάστε περισσότεραραστηριότητες στο Επίπεδο 1.
ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε
Διαβάστε περισσότεραΒ Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων
υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx
Διαβάστε περισσότερα4.1 Εύρεση του Συνόλου των ιεργασιών Συμμετρίας ενός Μορίου
4. Ομάδες Σημείου ιδακτικοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της μελέτης του κεφαλαίου αυτού θα μπορείτε να... o ορίζετε την έννοια της ομάδας σημείου ενός μορίου o διακρίνετε τις βασικές κατηγορίες ομάδων σημείου
Διαβάστε περισσότεραΧωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση
Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία
Διαβάστε περισσότεραΙδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις /
Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Οι παρακάτω πίνακες καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης του αναλυτικού προγράμματος σπουδών της Γεωμετρίας.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων
9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραεπινόηση ιδεατών αντικειμένων και οργάνωσή τους σε έννοιες (κατηγορίες ομοειδών αντικειμένων)
επινόηση ιδεατών αντικειμένων και οργάνωσή τους σε έννοιες (κατηγορίες ομοειδών αντικειμένων) Μαθηματικά αντικείμενα Έννοιες Ιδιότητες (θεωρήματα, πορίσματα) Σχέσεις Ενέργειες Διαδικασίες Αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 06 07 Βαθμός αριθμητικά:..... / 00 =.... / 0 Ολογράφως:...... / 0 Υπογραφή Καθηγητή/τριας:..... ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
Διαβάστε περισσότεραΠρολογος Κατασκευαστικές οδηγίες Η διασκέδαση αρχίζει Ρομβο-κυβο-οκταεδρο Μεγάλο ρομβο-κυβο-οκταεδρο... 9
Προλογος... 2 Κατασκευαστικές οδηγίες... 3 Η διασκέδαση αρχίζει... 4 Ρομβο-κυβο-οκταεδρο... 6 Μεγάλο ρομβο-κυβο-οκταεδρο... 9 Κόλουρο εικοσάεδρο... 12 Καταιγισμός στερεών... 14 Θεωρητικά... 17 1 Προλογος
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2018 2019 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΜΑΘΗΜΑ : Μαθηματικά ΤΑΞΗ : Γ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 5 / 6 / 2019 ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Βαθμός : Ολογράφως
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηματικός Ο τύπος του Euler για τα πολύεδρα
1. Πολύεδρα Στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο θεωρούμε ένα σύστημα πολυγώνων, τα οποία είναι διατεταγμένα κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να πληρούνται οι εξής δύο συνθήκες: α) Κάθε πλευρά των πολυγώνων του συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών
ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει
Διαβάστε περισσότεραμαθηματικά β γυμνασίου
μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ
ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Παναγιώτης Βλάμος Παναγιώτης ρούτσας Γεώργιος Πρέσβης Κωνσταντίνος Ρεκούμης
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Παναγιώτης Βλάμος Παναγιώτης ρούτσας Γεώργιος Πρέσβης Κωνσταντίνος Ρεκούμης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΜΕΡΟΣ Β Τόμος 3ος Μαθηματικά Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. I. Εισαγωγή
I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ Ενότητα 2: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) 2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΧ. ΧΡ. 015-016 Ενότητα : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α) χ - 4 = (β) 3χ + = (γ) 3 χ + = (δ) 3 χ - 3 = (ε) χ - ψχ + ψ = (στ) 4χ - 3ψ = (ζ) αβ-γαβ+γ = (η) (x-3ω
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n
Διαβάστε περισσότερασυµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου.
συµµετρίες που αντιστοιχούν σε έναν από τους άξονες συµµετρίας του τετράεδρου. Σε κάθε άξονα αντιστοιχούν 3 κατοπτρισµοί, οπότε έχουµε 4 * 3 = 12 κατοπτρισµούς συνολικά. Συνολικά, η οµάδα των συµµετριών
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 04-05 ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /06/05 ΤΑΞΗ: Γ ΧΡΟΝΟΣ: ώρες (07:45 09:45) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.. ΑΡ: ΒΑΘΜΟΣ:.. ΒΑΘΜΟΣ ΟΛΟΓΡΑΦΩΣ:..
Διαβάστε περισσότεραΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.
ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα
Διαβάστε περισσότερα