Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);"

Transcript

1 Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον άνδρας. Απάντηση: Έστω το γεγονός Α={Ένας τουλάχιστον άνδρας σε κάθε τριμελή ομάδα} Θα υπολογιστεί η πιθανότητα Ρ(Αc) = 1-Ρ(Α). Το γεγονός Αc είναι ισοδύναμο με το γεγονός Βc={δεν σχηματίζεται ομάδα με αποκλειστική συμμετοχή γυναικών}., 4,83 ΛΑΘΟΣ

2 Σε ένα κουτί, που περιέχει n σφαίρες βάζουμε μια άσπρη σφαίρα, μετά εξάγουμε τυχαία μια σφαίρα.βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου η εξαγόμενη σφαίρα να είναι άσπρη, αν είναι ισοπίθανες όλες οι υποθέσεις για το χρώμα των σφαιρών που περιείχε αρχικά το κουτί. Λύση Έστω Ρ τα ενδεχόμενα για τα χρώματα των αρχικών σφαιρών, τα οποία παρουσιάζονται παρακάτω: Χ1: στο κουτί αρχικά, δεν περιέχεται καμία άσπρη σφαίρα Χ2: στο κουτί αρχικά, περιέχεται μια άσπρη σφαίρα Χ3: στο κουτί αρχικά, περιέχονται δύο άσπρες σφαίρες Χ4: στο κουτί αρχικά, περιέχονται τρεις άσπρες σφαίρες... Χn+1: στο κουτί αρχικά, περιέχονται n άσπρες σφαίρες Επειδή τα παραπάνω ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, λόγω υποθέσεως, και το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με τη μονάδα, δηλαδή: Ρ(Χ1)+Ρ(Χ2)+Ρ(Χ3)+Ρ(Χ4)+ +Ρ(Χn+1)=1 συμπεραίνουμε ότι τελικά οι παραπάνω πιθανότητες θα είναι: Ρ(Χ1)=Ρ(Χ2)=Ρ(Χ3)=Ρ(Χ4)= =Ρ(Χn+1)= 1/(n+1) Έστω Ε το ενδεχόμενο να πάρουμε μια άσπρη σφαίρα από το κουτί ( αφού φυσικά έχουμε βάλει την άσπρη σφαίρα της εκφώνησης). Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, σύμφωνα με το ενδεχόμενο Χ1, είναι: Ρ(Ε/Χ1)= 1/(n+1) Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, σύμφωνα με το ενδεχόμενο Χ2, είναι: Ρ(Ε/Χ2)= 2/(n+1) Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, σύμφωνα με το ενδεχόμενο Χ3, είναι: Ρ(Ε/Χ3)= 3/(n+1) Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, σύμφωνα με το ενδεχόμενο Χ4, είναι: Ρ(Ε/Χ4)= 4/(n+1)... Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρουμε άσπρη σφαίρα, σύμφωνα με το ενδεχόμενο Χn+1, είναι: Ρ(Ε/Χn+1)= (n+1)/(n+1)=1 Τελικά, η ολική πιθανότητα να πάρουμε μια άσπρη σφαίρα, δίνεται από τον τύπο: Ρ(Ε)=Ρ(Χ1)Ρ(Ε/Χ1)+Ρ(Χ2)Ρ(Ε/Χ2)+Ρ(Χ3)Ρ(Ε/Χ3)+Ρ(Χ4)Ρ(Ε/Χ4)+ +Ρ(Χn+1)Ρ(Ε/Χn+1)= =1/(n+1) 1/(n+1)+1/(n+1) 2/(n+1)+1/(n+1) 3/(n+1)+1/(n+1) 4/(n+1)+...+1/(n+1) 1= = 1/(n+1)2 [ n+(n+1)]= =1/(n+1)2 [ (n+2)(n+1)/2]= =(n+2)/2(n+1) Άρα Ρ(Ε)=(n+2)/2(n+1)

3 Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β); Απάντηση: Από τον πολλαπλασιαστικό τύπο (ή νόμο του γινομένου ή νόμο των συνθέτων πιθανοτήτων) είναι: P (A/B)*P (B) =P (B/A)*P (A) όπου P (A), P (B)>0. Έτσι,P (A/B) = P (B/A)* P(A) / P(B). Χρησιμοποιώντας την τελευταία σχέση έχουμε: Εάν P (A/B) >P(A) => P (B/A)* P(A) / P(B) > P(A) => P(B/A) > P(B).

4 Μια συσκευή αποτελείται από 1000 εξαρτήματα, που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η πιθανότητα να χαλάσει κάποιο από τα εξαρτήματα αυτά σε χρόνο Τ είναι 0,002. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου σε χρόνο Τ να χαλάσουν ακριβώς 3 εξαρτήματα. Η πιθανότητα Ρ(Α) να χαλάσει ένα εξάρτημα σε χρόνο Τ είναι Ρ(Α) = 2/1000 Οπόταν η πιθανότητα Ρ(Β) να χαλάσουν τρία εξαρτήματα σε χρόνο Τ είναι : Ρ(Β) = Ρ(Α) * Ρ(Α) * Ρ(Α) <=> Ρ(Β) = 0,

5 Η πιθανότητα κέρδους για κάθε λαχνό είναι 0,02. Ποια η πιθανότητα τουλάχιστον ενός κέρδους για 10 λαχνούς; Θα λύσουμε το πρόβλημα για n=10. Επειδή, κάθε λαχνός μπορεί να κερδίσει παράλληλα με άλλους λαχνούς που κερδίζουν άλλα ποσά, =10x0,02-0,182+ = 0,182927

6 Ένα εργοστάσιο φτιάχνει τηλεοράσεις. Η πιθανότητα του ενδεχομένου η παραγόμενη τηλεόραση να είναι ελαττωματική είναι 0,01. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου ανάμεσα σε 200 τηλεοράσεις να υπάρχουν ακριβώς 4 ελαττωματικές. Απάντηση: Για την λύση της άσκησης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της σχέσης Bernoulli που βρίσκεται στο βιβλίο στην σελίδα 64. (1) Όπου για την επίλυση του παίρνουμε τον τύπο: (2) Για την άσκηση θέτουμε: p = Πιθανότητα να υπάρχει ελαττωματική τηλεόραση 1% q = Υπόλοιπο της πιθανότητας,δηλαδή οι μη ελαττωματικές τηλεοράσεις 99% n = Το σύνολο των παραγόμενων τηλεοράσεων 200 κ = Οι ελαττωματικές τηλεοράσεις 4 Χρησιμοποιούμε τον τύπο (2) και παίρνουμε: 200! / [4!/196!] = (197*198*199*200)/(1*2*3*4) (Μετά απο απλοποίηση) Το αποτέλεσμα των πράξεων είναι = Το αποτέλεσμα αυτό το χρησιμοποιούμε στον αρχικό τύπο (1) και παίρνουμε: f(k) = x (1/100)4 x (99/100)196 = x 10-8 x = Άρα η πιθανότητα να έχουμε ακριβώς 4 ελαττωματικές τηλεοράσεις σε 200 παραγόμενες είναι περίπου 9%

7 Ένα παντοπωλείο αγόρασε 1000 μπουκάλια κρασί. Η πιθανότητα του ενδεχομένου να σπάσει το μπουκάλι κατά τη διάρκεια της μεταφοράς είναι 0,003. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου το παντοπωλείο να πάρει σπασμένα μπουκάλια : α)ακριβώς 2 β)το πολύ 2, γ) τουλάχιστον 2, δ) τουλάχιστον 1. Λύση Έστω Αι ={ σπάει το i μπουκάλι}, όπου i =1,2,, 1000 P(Ai) = 0,003 Μπορεί να συμβεί είτε το γεγονός Α1 Α2 Αc3 Αc1000, είτε οποιοδήποτε άλλο Αc1 Α2 Αc3 Α1000. Συνολικά υπάρχουν 1000 ανά 2 συνδυασμοί των καταστάσεων του συγκεκριμένου αριθμού μπουκαλιών. Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Ρ( 2 ακριβώς σπασμένα στα 1000)= (0,003)2(0,997)998=0,22 Με ανάλογο τρόπο θα απαντήσετε στα λοιπά ερωτήματα.

8 Τρεις κυνηγοί ταυτόχρονα πυροβολήσανε σε μια αρκούδα, η οποία σκοτώθηκε από μια μόνο σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι η αρκούδα σκοτώθηκε από τον πρώτο, δεύτερο ή τρίτο κυνηγό, αν οι πιθανότητες ευστοχίας για τους τρεις κυνηγούς είναι 0,2 0,4 0,6 αντίστοιχα. Λύση Έστω Α,Β,Γ τα γεγονότα κατά τα οποία ο 1ος ή ο 2ος ή ο 3ος κυνηγός αντίστοιχα σκότωσε την αρκούδα. Επειδή όμως η αρκούδα σκοτώθηκε από έναν κυνηγό (μόνο μια σφαίρα) οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι τα γεγονότα Α, Β, Γ είναι ανα δύο ξένα. Άρα για τον 1ο κυνηγό έχουμε: Η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από έναν εκ των άλλων δύο κυνηγών είναι Ρ(Β Γ) επομένως η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από τον πρώτο κυνηγό είναι Ρ( (Β Γ) ) = 1 - Ρ(Β Γ) =1 - Ρ(Β)-Ρ(Γ) + Ρ(Β Γ), όμως επειδή τα Β και Γ είναι ξένα: Β Γ = άρα Ρ(Β Γ) =0 και επομένως Ρ( (Β Γ) ) = 1 - Ρ(Β)-Ρ(Γ)=0 Ομοίως για τον 2ο κυνηγό: Η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από έναν εκ των άλλων δύο κυνηγών είναι Ρ(A Γ) επομένως η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από τον δεύτερο κυνηγό είναι Ρ( (A Γ) ) = 1 - Ρ(A Γ) =1 Ρ(A)-Ρ(Γ) + Ρ(A Γ), όμως επειδή τα A και Γ είναι ξένα: A Γ = άρα Ρ(Α Γ) = 0 και επομένως Ρ( (Α Γ) ) = 1 - Ρ(Α)-Ρ(Γ)=0,2 Ομοίως για τον 3ο κυνηγό: Η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από έναν εκ των άλλων δύο κυνηγών είναι Ρ(A Β) επομένως η πιθανότητα η αρκούδα να χτυπήθηκε από τον τρίτο κυνηγό είναι Ρ( (A Β) ) = 1 - Ρ(A Β) =1 Ρ(A)-Ρ(Β) + Ρ(A Β), όμως επειδή τα A και Β είναι ξένα: A Β = άρα Ρ(Α Β) = 0 και επομένως Ρ( (Α Β) ) = 1 - Ρ(Α)-Ρ(Β)=0,4 Σημείωση: όπου (Β Γ) το συμπληρωματικό του (Β Γ) όπου (Α Γ) το συμπληρωματικό του (Α Γ) όπου (Α Β) το συμπληρωματικό του (Α Β)

9 Το 1/3 μιας από τις τρεις παρτίδες εξαρτημάτων είναι ελαττωματικά. Ένα εξάρτημα που πήραμε από μια παρτίδα ήτανε κανονικό. Να βρεθεί η πιθανότητα ότι το εξάρτημα που πήραμε ήτανε από την παρτίδα που έχει ελαττωματικά κομμάτια; Επίσης να βρεθεί η ίδια πιθανότητα έχοντας υπόψη ότι ένα δεύτερο εξάρτημα που πήραμε από την ίδια παρτίδα πάλι ήτανε κανονικό, και αν το πρώτο εξάρτημα μετά από έλεγχο επιστράφηκε πάλι στη παρτίδα; Απάντηση: Έχουμε ότι Κ1=(εξάρτημα από το δοχείο με τα ελαττωματικά εξαρτήματα) Κ2=(εξάρτημα από το δοχείο με τα μη ελαττωματικά εξαρτήματα) Κ3=(εξάρτημα από το δοχείο με τα μη ελαττωματικά εξαρτήματα) Α=(Το πρώτο εξάρτημα μη ελαττωματικό) Σύμφωνα με τα δεδομένα Ρ(Κ1)=Ρ(Κ2)=Ρ(Κ3)=1/3 Ρ(Α/Κ1)=2/3 ΚΑΙ Ρ(Α/Κ2)=Ρ(Α/Κ3)=1 Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα τις ολικής πιθανότητας Ρ(Α)=1/3(2/3+1+1)=8/9 Μετά το πρώτο πείραμα η πιθανότητα πως το δοχείο περιέχει ελαττωματικά εξαρτήματα είναι : Ρ(Κ1/Α)=Ρ(Κ1) Ρ(Α/Κ1)/Ρ(Α)=(1/3*2/3)/8/9 =1/4 Η πιθανότητα ότι το δοχείο έχει καλά εξαρτήματα είναι : ¾ Β=(δεύτερο εξάρτημα μη ελαττωματικό) Τότε Ρ(Β/Κ1)=2/3 Ρ(Β/Κ2)=0 Ρ(Β/Κ3)=0 Όποτε Ρ(Β)=1/4*2/3=1/6

10 Να βρεθεί η πιθανότητα ότι ο αριθμός κυκλοφορίας πρώτου τυχαίου αυτοκίνητου δεν περιέχει: α) τον αριθμό 5, β) 2 και περισσότερα πεντάρια, γ) ακριβώς 2 πεντάρια; Το πλήθος των πινακίδων στην Ελλάδα ανεξάρτητα τα γράμματα που προηγούνται είναι: Ν(Ω)=9*10*10*10=9000 Επιπλέον, το πλήθος των πινακίδων που δεν περιέχουν πεντάρια είναι: Ν(Α)=8*9*9*9=5832 Άρα, η πιθανότητα μια πινακίδα να μην περιέχει πεντάρια είναι: Ρ(Α)=Ν(Α)/Ν(Ω)=0.648 Το πλήθος των πινακίδων που δεν περιέχουν δύο ή περισσότερα πεντάρια προκύπτει αν από όλες αφαιρέσουμε αυτές που έχουν ένα (έστω Ν(Β)) ή και κανένα πεντάρι (Ν(Α)). Δηλαδή: Ν(Β)=8*9*9*1+1*9*9*9=1377 Άρα, η πιθανότητα μια πινακίδα να μην περιέχει δύο ή και περισσότερα πεντάρια είναι: Ρ(Γ)=[Ν(Α)+Ν(Β)]/Ν(Ω)=( )/9000=0.801 Αυτές που περιέχουν ακριβώς δύο πεντάρια είναι: Ν(Δ)=8*9*1*1+1*9*9*1=153 Και η πιθανότητα να προκύψει μία από αυτές είναι: Ρ(Δ)= Ν(Δ)/Ν(Ω)=0.017

11 Η πιθανότητα κέρδους για κάθε λαχνό είναι 0,02. Ποια η πιθανότητα τουλάχιστον ενός κέρδους για n λαχνούς αν n=1, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100; Απάντηση: Εχουμε πεπερασμένο σύνολο με ισοπίθανα ενδεχόμενα. Άρα ο δειγματικός χώρος είναι 1/0.02= 50 λαχνοί ( πχ.αριθμοί). Αν n = 1 έχουμε P(A)= 1/50= 0.02 Aν n =10 έχουμε P(A) = 10/50 = 0.2 Aν n =20 έχουμε P(A) = 20/50 = 0.4 Aν n =30 έχουμε P(A) = 30/50 = 0.6 Aν n =40 έχουμε P(A) = 40/50 = 0.8 Aν n =50 έχουμε P(A) = 50/50 = 1 Δεν είναι δυνατό να διατεθούν περισσότεροι των 50 λαχνών.

12 Δυο μπασκετμπολίστες κάνουν 3 βολές με στατιστικά ανεξάρτητο τρόπο. Οι πιθανότητες ευστοχίας σε κάθε βολή είναι 0,6 και 0,7 αντίστοιχα. Να βρείτε τις πιθανότητες ότι: α) και οι δυο θα έχουν ίδιο αριθμό ευστοχίας, β) ο πρώτος μπασκετμπολίστας θα περισσότερες ευστοχίες από τον δεύτερο. Απάντηση: α) ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΟ ΤΟΝ ΙΔΙΟ ΑΡΙΘΜΟ ΕΥΣΤΟΧΙΑΣ: Εδώ διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1)και οι δυο από καμία εύστοχη βολή 2)και οι δυο από 1 εύστοχη βολή 3)και οι δυο από 2 εύστοχες βολές 4)και οι δυο από 3 εύστοχες βολές οι οποίες αντιστοιχούνται στα ενδεχόμενα Α1,Α2,Α3,Α4 των οποίων τις πιθανότητες θα βρούμε: 1)Η πιθανότητα του πρώτου μπασκετμπολίστα να μην βάλει καμία βολή θα είναι: P(H1)=0,4*0,4*0,4=0,064 (ισχύει ότι P(H1) =1-P(H1)) Ομοίως για τον δεύτερο θα έχουμε ότι: P(H2)=0,3*0,3*0,3=0,027 Αρα : P(A1)=0,064*0,027=0, (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ) 2)Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 1 εύστοχη(και τις υπόλοιπες 2 βέβαια άστοχες) βολή θα είναι:p(h1)=0,6*0,4*0,4=0,096 Ομοίως για τον δεύτερο θα έχουμε ότι: P(H2)=0,7*0,3*0,3=0,063 Αρα: P(A2)=3*0,096*3*0,063=0, εύστοχος ο παίχτης) (πολ/με με 3 γιατί δεν γνωρίζουμε σε ποια ακριβώς βολή θα είναι 3) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 2 εύστοχες θα είναι:p(h1)=0,6*0,6*0,4=0,144 Ομοίως για τον δεύτερο θα έχουμε ότι:p(h2)=0,7*0,7*0,3=0,147 Αρα: P(A3)=3*0,144*3*0,147=0, (για τον ίδιο λόγο) 4) πιθανότητα του πρώτου να βάλει 3 εύστοχες θα είναι:p(h1)=0,6*0,6*0,6=0,216 Ομοίως για τον δεύτερο θα έχουμε ότι:p(h2)=0,7*0,7*0,7=0,343 Αρα: P(A4)=0,216*0,343=0, Οποτε και η ολική πιθανότητα θα είναι: P=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0,32076<1 ΚΑΙ ΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΝΑΙ ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ) (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ

13 Δυο μπασκετμπολίστες κάνουν 3 βολές με στατιστικά ανεξάρτητο τρόπο. Οι πιθανότητες ευστοχίας σε κάθε βολή είναι 0,6 και 0,7 αντίστοιχα. Να βρείτε τις πιθανότητες ότι: α) και οι δυο θα έχουν ίδιο αριθμό ευστοχίας, β) ο πρώτος μπασκετμπολίστας θα περισσότερες ευστοχίες από τον δεύτερο. β)ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΕΥΣΤΟΧΙΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΔΕΥΤΕΡΟ Εδώ διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1)ο πρώτος 1 εύστοχη και ο δεύτερος 0 2)>> >> 2 >> >> >> 0 3)>> >> 3 >> >> >> 0 4)>> >> 2 >> >> >> 1 5)>> >> 3 >> >> >> 1 6)>> >> 3 >> >> >> 2 που αντιστοιχούνται στα ενδεχόμενα Α1,Α2,Α3,Α4,Α5,Α6 των οποίων τις πιθανότητες θα βρούμε: 1)Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 1 εύστοχη βολή θα είναι:p(h1)=0,096 Η πιθανότητα του δεύτερου να μην βάλει καμία θα είναι:p(h2)=0,027 Αρα: P(A1)=3*0,096*0,027=0, ) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 2 εύστοχες βολές θα είναι:p(h1)=0,144. Η πιθανότητα του δεύτερου να μην βάλει καμία θα είναι:p(h2)=0,027 Aρα: P(A2)=3*0,144*0,027=0, ) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 3 εύστοχες βολές θα είναι:p(h1)=0,216. Η πιθανότητα του δεύτερου να μην βάλει καμία θα είναι:p(h2)=0,027 Αρα: P(A3)=0,216*0,027=0, ) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 2 εύστοχες θα είναι:p(h1)=0,144 ενώ του δευτέρου για 1 εύστοχη θα είναι:p(h2)=0,063 Αρα: P(A4)=3*0,144*3*0,063=0, ) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 3 εύστοχες βολές θα είναι:p(h1)=0,216 ενώ του δευτέρου για 1 εύστοχη θα είναι:p(h2)=0,063 Αρα: P(A5)=0,216*3*0,063=0, ) Η πιθανότητα του πρώτου να βάλει 3 εύστοχες βολές θα είναι:p(h1)=0,216 ενώ του δευτέρου για 2 εύστοχες βολές θα είναι:p(h2)=0,147 Αρα: P(A6)=0,216*3*0,147=0, Oπότε και η ολική πιθανότητα θα είναι: P=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)=0,243<1 (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΝΑΙ ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ)

14 Από κουτί, όπου υπάρχουν 20 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες, n φορές παίρνουμε από μια μπάλα, και μετά από κάθε φορά την επιστρέφουμε πίσω στο κουτί. Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός n, για τον οποίον η πιθανότητα να πάρουμε τουλάχιστον μια μαύρη μπάλα να είναι πάνω από μισό. Λύση Ο δειγματοχώρος περιέχει 22 σφαίρες Α={Εξαγωγή μαύρης σφαίρας} Ρ(Α)=1/11 Β={εξάγεται τουλάχιστον μία μαύρη σφαίρα σε n δοκιμές} Ρ(Β)=1-Ρ(Βc)=1-(1-Ρ(Α))n(Ρ(Α))n-n= 1-(1-Ρ(Α))n Άρα 1-(1-Ρ(Α))n > 1/2 ½ > (1-Ρ(Α))n n ( log2) / log(10/11) = 7,27 Άρα: Ν = 8 ( ο μικρότερος αριθμός επανάληψης του πειράματος για να προκύψει η επιθυμητή πιθανότητα) Λύση 2η Πρόκειται για άγνωστο αριθμό ν δοκιμών Bernoulli me p=2/22 ή1/11. Η πιθανότητα να πάροθμε μία τουλάχιστον μαύρη σφαίρα είναι : 1-( ν ανά 0)*( 1/11)0*( 10/11)ν Είναι ( ν ανά 0) =1 και ( 1/11)0 =1 οπότε έχουμε : 1-(10/11)ν>0.5 (10/11)ν<0.5 ν(log10-log11)<log ν<-0.3 ν>7.142 ν=8

15 Ένας διαγωνισμός σκακιού αποτελείται από 100 παρτίδες. Να βρεθεί η πιθανότητα να τελειώσει ο διαγωνισμός με αποτέλεσμα 12:8, αν η πιθανότητα νίκης σε οποιαδήποτε παρτίδα για κάθε παίκτη είναι 0,2; Αν Ω ο δειγματικός χώρος που περιλαμβάνει τις 20 παρτίδες τότε έχω τα εξής ενδεχόμενα: {Ο αγώνας λήγει με 0:20 } {Ο αγώνας λήγει με 1:19 } {Ο αγώνας λήγει με 2:18 }... {Ο αγώνας λήγει με 20: 0 } που είναι συνολικά 21 ενδεχόμενα. Τα ευνοϊκά για τον πρώτο παίκτη ενδεχόμενα, μέσα στα οποία ανήκει και το 12:8 είναι 10. Άρα η πιθανότητα ένα αποτέλεσμα να είναι ευνοϊκό για τον πρώτο είναι 10/21. Επίσης η πιθανότητα να κερδίσει ο πρώτος οποιοδήποτε ματς είναι 0,2. Αν Α το ενδεχόμενο {ο πρώτος κερδίζει} και Β το ενδεχόμενο {ένα αποτέλεσμα είναι ένα από τα 10 ευνοϊκα για τον πρώτο} τότε Τα Α και Β είναι στατιστικά ανεξάρτητα. Επίσης Ρ(Α)=0,2 και Ρ(Β)=1/10 αφού τα 10 ευνοϊκα είναι ισοπίθανα Άρα το ενδεχομένο {ο πρώτος κερδίζει και το αποτέλεσμα έρχεται 12:8 που έιναι ένα από τα 10 ευνοϊκα για τον πρώτο} είναι η τομή των Α και Β και η πιθανότητά του δίνεται από τον τύπο: Ρ(Α Β) = Ρ(Α)*Ρ(Β) = 0,2*1/10 = 0,02 που είναι και το ζητούμενο.

16 Αεροπλάνο, το οποίο αποτελεί στόχο της αεράμυνας, αποτελείται από 3 ευάλωτα μέρη: 1) το πιλοτήριο και ο κινητήρας, 2) δοχεία με καύσιμα και, 3) η ουρά του. Για την κατάρριψη του αρκεί: μια εύστοχη βολή στο πρώτο μέρος ή δυο εύστοχες βολές στο δεύτερο μέρος ή τρεις εύστοχες βολές στο τρίτο μέρος. Σε μια εύστοχη βολή στο αεροπλάνο η πιθανότητα ευστοχίας στο πρώτο μέρος είναι p1, στο δεύτερο μέρος p2, στο τρίτο μέρος p3. Οι εύστοχες βολές κατανέμονται κατά μέρη του αεροπλάνου ανεξάρτητα ένα από το άλλο. Αν ξέρουμε ότι είχαμε m εύστοχες βολές κατά του αεροπλάνου, να βρείτε την πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου P(A m) για m = 1, 2, 3, 4. Για m=1. Η δεσμευμένη πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου, αν χτυπήσουμε το πρώτο μέρος, είναι 1. Ενώ οι αντίστοιχες δεσμευμένες πιθανότητες αν χτυπήσουμε τα μέρη 2 και 3 είναι 0, αφού δεν καταρρίπτεται το αεροπλάνο με μία μόνο βολή σε αυτά. Άρα: P(A M1) = 1, P(A M2) = 0, P(A M3) = 0, όπου Μ1, Μ2, Μ3 τα μέρη 1, 2 και 3. Άρα η πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου με μία εύστοχη βολή είναι: P(A) = p1* P(A M1) + p2* P(A M2) + p3* P(A M3)= p1*1=> P(A)= p1. Για m=2. Παρομοίως η δεσμευμένη πιθανότητα κατάρριψης, αν χτυπήσουμε το πρώτο μέρος, είναι 1. Αν χτυπήσουμε το δεύτερο μέρος είναι 0.5, αφού θα το χτυπήσουμε δύο ή μία ή καμία φορά. Αν χτυπήσουμε το τρίτο μέρος η δεσμευμένη πιθανότητα είναι 0, αφού το αεροπλάνο δεν θα πέσει ακόμα και αν χτυπήσουμε και τις δύο φορές στο τρίτο μέρος. Άρα: P(A M1) = 1, P(A M2) = 0.5, P(A M3) = 0, Έτσι η πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου με δύο εύστοχες βολές είναι: P(A) = p1* P(A M1) + p2* P(A M2) + p3* P(A M3)= p1*1 + p2*0.5 => P(A)= p1 +0.5*p2. Για m=3. Συνεχίζοντας με την ίδια λογική όπως και παραπάνω, η δεσμευμένη πιθανότητα κατάρριψης αν χτυπήσουμε το πρώτο μέρος είναι 1, το δεύτερο μέρος είναι 2/3 και το τρίτο είναι 1/3. Άρα: P(A M1) = 1, P(A M2) = 2/3, P(A M3) = 1/3, Έτσι η πιθανότητα κατάρριψης του αεροπλάνου με τρεις εύστοχες βολές είναι: P(A) = p1* P(A M1) + p2* P(A M2) + p3* P(A M3)= p1*1 + p2*2/3 + p3*1/3 => P(A)= p1 +2/3*p2 + 1/3*p3. Για m=4. Στην περίπτωση που ρίχνουμε 4 εύστοχες βολές, η πιθανότητα κατάρριψης είναι 1. Αυτό συμβαίνει διότι οποιοσδήποτε και να είναι ο συνδυασμός των μερών τα οποία θα χτυπηθούν ικανοποιείται μία από τις συνθήκες κατάρριψης του αεροπλάνου. Σε αυτήν την περίπτωση δηλαδή είναι: P(A) =1.

17 Ανάμεσα στα 64 τετράγωνα του σκακιού διαλέγονται τυχαία 2 διαφορετικά τετράγωνα και βάζουν σε αυτά 2 όμοια κομμάτια άσπρου και μαύρου χρώματος. Ποια είναι η πιθανότητα ότι τα κομμάτια αυτά δε θα χτυπούν ένα το άλλο, αν έχουν τοποθετηθεί 2 πύργοι? 2 αξιωματικοί? 2 ίπποι? 2 βασίλισσες? Η ζητούμενη πιθανότητα θα υπολογιστεί υπό τη συνθήκη ότι ήδη έχει καταληφθεί μία θέση στη σκακιέρα από το πρώτο πιόνι που τοποθετείται από τα δύο του προβλήματος. Ο δειγματικός χώρος μειώνεται κατά μία θέση κάθε φορά. έκαστος πύργος ελέγχει 14 τετράγωνα. Ο έτερος πύργος πρέπει να τοποθετηθεί σε ένα από τα εναπομένοντα τετράγωνα. Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 49/63. έκαστος αξιωματικός ελέγχει 7 ή 9 ή 11 ή 13 τετράγωνα. Ο αντίπαλος αξιωματικός, που κινείται στο ίδιο χρώμα των τετραγώνων της σκακιέρας, θα πρέπει να τοποθετηθεί σε 31-7 ή 31-9, ή 31-11, ή τετράγωνα. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι 24/31, 22/31, 20/31, ή 19/31 έκαστος ίππος ελέγχει 2 ή 4 ή 8 θέσεις. Ο αντίπαλος ίππος μπορεί να τοποθετηθεί σε 63-2, ή 63-4, ή 63-8 θέσεις με πιθανότητα 61/63, 59/63 ή 55/63. έκαστη βασίλισσα ελέγχει 21, ή 23, ή 25, ή 27 θέσεις και η αντίπαλη βασίλισσα μπορεί να τοποθετηθεί σε 63-21, 63-23, 63-25, 63-27,

18 Σε ποια περίπτωση ισχύει η παρακάτω ισότητα: Ρ(Α)=Ρ(Α/Β)+Ρ(Α/Β ) Λύση Έστω ότι Β και Β Ω. Επειδή από το θεώρημα ολικής πιθανότητας Ρ(Α) = Ρ(Α/Β)Ρ(Β) + Ρ(Α/Β )Ρ(Β ) = Ρ(Α/Β)(1- Ρ(Β )) + Ρ(Α/Β )(1-Ρ(Β)) = = Ρ(Α/Β)+Ρ(Α/Β ) [(Ρ(Α/Β)Ρ(Β ) + Ρ(Α/Β )Ρ(Β)] Συνεπώς η προς απόδειξη σχέση ισχύει αν [(Ρ(Α/Β)Ρ(Β ) + Ρ(Α/Β )Ρ(Β)] = 0 Από όπου ισχύει ότι ή Ρ(Α/Β)=0 ή Ρ(Α/Β )=0. Αυτό ισχύει όταν Ρ(Α Β)=0 (δηλαδή Α Β= ) ή όταν Ρ(Α Β )=0 (δηλαδή Α Β = ).

19 Το τραίνο Χ φθάνει σε ένα σταθμό μέσα στο χρονικό διάστημα [Τ,0] και παραμένει εκεί α λεπτά της ώρας. Το τραίνο Υ φθάνει στο σταθμό μέσα στο ίδιο χρονικό διάστημα και μένει εκεί β λεπτά της ώρας. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος των αφίξεων των δύο τραίνων; Ποιες οι πιθανότητες των γεγονότων, Α={Το Χ φθάνει πριν από το Υ}, Β= {τα δύο τραίνα συναντώνται στο σταθμό}, και Γ={όταν τα τραίνα συναντώνται, το Χ φθάνει πριν από το Υ}. Λύση Υ Κ(0,Τ) Σ(0,β) Υ(Τ-β,Τ) Ν(Τ,Τ) Φ(Τ,Τ+α) Ω=[0,Τ]Χ[0,Τ] Α={το Χ φθάνει πριν από το Υ}, Ρ(Α)=Ε(ΛΝΚ)/Ε(ΛΜΝΚ)=1/2 Β={Τα τραίνα συναντώνται στο σταθμό}, Ρ(Β)=Ε(ΛΖΦΝΥΣ)/Ε(ΛΜΝΚ)= ={(α+β)/τα}-{(α2 +β2)/2τ2 Ρ(Α/Β)=Ε(ΣΥΝΛ)/Ε(ΚΝΛ)=β((2Τ-β) Λ(0,0) Ζ(α,0) Μ(Τ,0) Χ

20 Σε μια παρτίδα 100 ημιαγωγικών διατάξεων, είναι γνωστό ότι 20 είναι ελαττωματικές. Επιλέγονται δύο με τυχαία διαδικασία, χωρίς επανατοποθέτηση στην παρτίδα. Με τη βοήθεια του θεωρήματος Ολικής Πιθανότητας, να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι η δεύτερη κατά σειρά επιλεγόμενη διάταξη θα είναι ελαττωματική. Έστω Β ενδεχόμενο να πάρουμε την δεύτερη κατά σειρά επιλεγόμενη διάταξη ελαττωματική Β 1 - ενδεχόμενο πρώτη διάταξη ελαττωματική Β 2 -ενδεχόμενο πρώτη διάταξη μη ελαττωματική Ρ(Β 1 ) =20/100=1/5 Ρ(Β Β 1 ) =19/99 Ρ(Β 2 ) =80/100= 4/5 Ρ(Β Β 2 ) = 20/99 Ρ(Β)= Ρ(Β Β 1 ) Ρ(Β 1 ) + Ρ(Β Β 2 ) Ρ(Β 2 ) =(19/99)(1/5) + (20/99)(4/5) = 19/ /495 = = 99/495

21

22 940 πλακέτες ημιαγωγού παράγονται σε μια διαδικασία, όπου παρατηρούνται παράγοντες μόλυνσης σύμφωνα με τις εγγραφές του ως άνω πίνακα. Έστω Α το γεγονός ότι μια σε μια πλακέτα παρατηρείται υψηλό επίπεδο μόλυνσης, Β το γεγονός ότι μια πλακέτα βρίσκεται κοντά σε εστία μόλυνσης και Ε το γεγονός ότι μια πλακέτα δεν έχει μολυνθεί και δεν βρίσκεται κοντά σε εστία μόλυνσης. Υποθέτουμε ότι η πιθανότητα ότι ένα chip που έχει υψηλό επίπεδο μόλυνσης, προκαλεί αστοχία σε ένα μία διάταξη στην οποία έχει τοποθετηθεί είναι 0,1 η πιθανότητα ότι ένα chip που έχει μέτριο επίπεδο μόλυνσης, προκαλεί αστοχία σε ένα μία διάταξη στην οποία έχει τοποθετηθεί είναι 0,01 και η πιθανότητα ότι ένα chip με χαμηλό επίπεδο μόλυνσης προκαλεί αστοχία της διάταξης με πιθανότητα 0,001 Σε μια παραγωγική διαδικασία, 20% του παραγόμενου προϊόντος υπόκεινται σε υψηλό επίπεδο μόλυνσης, 30% υπόκειται σε μέσο επίπεδο και 50% σε χαμηλό επίπεδο. Ποια η πιθανότητα ότι μία διάταξη που χρησιμοποιεί ένα από τα παραγόμενα chps θα αστοχήσει; Θεωρώ Δ το γεγονός ότι η διάταξη που χρησιμοποιεί ένα από τα παραγόμενα chips να αστοχήσει. Θεωρώ τα γεγονότα : Α-20% των πλακετών υπόκεινται σε υψηλό επίπεδο μόλυνσης (188) Α-30% των πλακετών υπόκεινται σε μέσο επίπεδο μόλυνσης (282) Α-50% των πλακετών υπόκεινται σε χαμηλό επίπεδο μόλυνσης (470) Ρ(Α1) =188/940 = 1/5 = 0,2 Ρ(Δ Α1) =0,1 Ρ(Α2) = 282/940 = 3/10 = 0,3 Ρ(Δ Α2) =0,01 Ρ(Α3) = 470/940 = 1/2 = 0,5 Ρ(Δ Α3) = 0,001 Ο τύπος της ολικής πιθανότητας είναι : Ρ(Δ) = Ρ(Α1) Ρ(Δ Α1) + Ρ(Α2) Ρ(Δ Α2) + Ρ(Α3) Ρ(Δ Α3) = =(0,2)(0,1) + (0,3)(0,01) + (0,5)(0,001) = 0,02 + 0, ,0005 = = 0,0235

23 Μια laser οπτική διάταξη αποθήκευσης πληροφορίας (CD drive) χρησιμοποιεί μια διαδικασία διόρθωσης σφάλματος, που απαιτεί άμεση αναδραστική ανάγνωση οποιασδήποτε πληροφορίας καταγράφεται. Αν η αναδραστική ανάγνωση δεν είναι ικανοποιητική μετά από τρεις αναγνώσεις, ο συγκεκριμένος σέκτορας του δίσκου αποβάλλεται από τα περιεχόμενα, με τον χαρακτηρισμό μη αποδεκτός για αποθήκευση δεδομένων. Σε ένα αποδεκτό μέρος του δίσκου η πιθανότητα ικανοποιητικής αναδραστικής ανάγνωσης είναι 0,98. Υποθέστε στατιστική ανεξαρτησία μεταξύ των αναδραστικών αναγνώσεων. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα αποδεκτό μέρος του δίσκου αποβάλλεται ως μη αποδεκτό για αποθήκευση δεδομένων; Θεωρώ τα γεγονότα : Α1 : «πρώτη ανάγνωση» Α2 : «δεύτερη ανάγνωση» Α3 : «τρίτη ανάγνωση» Δ : «πιθανότητα ικανοποιητικής αναδραστικής ανάγνωσης» Γ1 : «πιθανότητα ικανοποιητικής αναδραστικής ανάγνωσης μετά από 3 αναγνώσεις» Ρ(Α1)=0.333, Ρ(Α2)=0.333, Ρ(Α3)=0.333, Ρ(Δ)=0.98 Τα γεγονότα Α1, Α2, Α3 μπορούν να αντικατασταθούν με ένα στοιχείο Α : Ρ(Α)=Ρ(Α1 Α2 Α3)=Ρ(Α1)+ Ρ(Α2) +Ρ(Α3)- Ρ(Α1Α2)- Ρ(Α1Α3)- -Ρ(Α2Α3)+Ρ(Α1Α2Α3) Και επειδή υπάρχει στατιστική ανεξαρτησία : Ρ(Α)= Ρ(Α1)+ Ρ(Α2) +Ρ(Α3)- Ρ(Α1)P(Α2)- Ρ(Α1)P(Α3)- -Ρ(Α2)P(Α3)+Ρ(Α1)P(Α2)P(Α3)= =0.999 δηλαδή η πιθανότητα μετά από 3 αναγνώσεις για ικανοποιητική αναδραστική ανάγνωση είναι : Ρ(Γ1)= Ρ(Α) Ρ(Δ) = = Το Γ1 είναι το ζητούμενο: Άρα Ρ(Γ1 )= 1-Ρ(Γ1)= =0.021

Από μια τράπουλα 52 φύλλων παίρνουμε ένα φύλλο. Ποια η πιθανότητα το φύλλο να είναι σπαθί; Απάντηση: 0,25

Από μια τράπουλα 52 φύλλων παίρνουμε ένα φύλλο. Ποια η πιθανότητα το φύλλο να είναι σπαθί; Απάντηση: 0,25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.10.1 Παίρνουμε τυχαία 2 θετικούς αριθμούς χ και ψ, οι αριθμοί αυτοί είναι μικρότεροι ή ίσοι με 2. Βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου το γινόμενο χψ να είναι μικρότερο του 1 και το πηλίκο

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Δ. Α. Γεωργίου 1 Εισαγωγή Μαθηματική Θεωρία Μέτρου Εισάγει το μέτρο της αβεβαιότητας για την εξέλιξη των φυσικών φαινομένων Διαισθητική αντίληψη της έννοιας. Τι εννοεί ο μη ειδήμων όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2015-16 ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) Να γεννηθούν δύο κορίτσια και ένα αγόρι σε τρεις

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 5η Εργασία ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ακαδημαϊκό Έτος : 2013-2014 ΞΑΝΘΗ 15/3/2014 Ασκήσεις: 1. Να δείξετε ότι η μέση τιμή Τ.Μ. που υπακούει στη διωνυμική κατανομή, είναι ίση np. Επειδή η Τ.Μ. που

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Παρατήρηση: Μόνο σε αυτό το μάθημα όταν λέμε κομμάτι εννοούμε κομμάτι ή πιόνι και όταν λέμε κομμάτια εννοούμε κομμάτια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (.,.2) Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ).. Αν Ω είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης,

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ Σ.Τ.Ε.Φ Τ.Ε.Ι. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ 008 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ I. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016

Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016 Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πράξεις ενδεχομένων-γλωσσική περιγραφή 1) Να γράψετε με τη βοήθεια των συνόλων Α,Β,Γ,Α,Β,Γ τα ενδεχόμενα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. (15 μονάδες) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: (ii) (i)

Άσκηση 1. (15 μονάδες) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: (ii) (i) http://larn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις 5 ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: + (i) d (ii) cos( ) + + d (iii) + + d Υπόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 01 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή 1/5/01 8:00

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

β. Αν το διαγώνισμα αποτελείται από 2 τέτοιες ερωτήσεις, ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά και στις 2 ερωτήσεις;

β. Αν το διαγώνισμα αποτελείται από 2 τέτοιες ερωτήσεις, ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά και στις 2 ερωτήσεις; ΘΕΜΑ 1 ο Ένας φοιτητής απαντά σε ερωτήσεις ενός διαγωνίσματος πολλαπλής επιλογής με 4 απαντήσεις ανά ερώτηση, εκ των οποίων μόνο η μία είναι σωστή κάθε φορά. Η πιθανότητα να γνωρίζει ο φοιτητής την σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Στόχοι- Υποστόχοι- Δραστηριότητες Ασημίνα Ασβεστά, Κωνσταντίνα Ζαχαροπούλου, Σοφία Αιζενμπαχ Πείραμα Τύχης Πιθανότητα Ενδεχομένου ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ Α Β Γ Δ

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. Γεωμετρικής Κατανομής με p=0, Αριθμός επιτυχιών μέχρι την πρώτη επιτυχία

σ.π.π. Γεωμετρικής Κατανομής με p=0, Αριθμός επιτυχιών μέχρι την πρώτη επιτυχία Ν(n) 2.11 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αν αντί της ερώτησης "πόσες επιτυχίες σημειώνονται σε n δοκιμές Bernoulli;" ενδιαφέρει η ερώτηση "πόσες δοκιμές απαιτούνται μέχρι να σημειωθεί η πρώτη επιτυχία;", οδηγούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

http://lisari.blogspot.com .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα