Δείκτες Poincaré και Θεώρημα Frommer

Transcript

1 Δείκτες Poinaré και Θεώρημα Frommer Ζαφειράκογλου Απόστολος 1 Θεωρητική εισαγωγή Στη διαφορική γεωμετρία, ως απόλυτη καμπυλότητα ορίζουμε το ολοκλήρωμα μια επίπεδης καμπύλης, θεωρώντας απειροστή διαμέριση κατά μήκος ενός τόξου της σε φυσικό μήκος. ˆ b a k(s) ds Προφανώς, για κλειστή καμπύλη, το αποτέλεσμα θα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του. Το ακέραιο αυτό μέρος, το ονομάζουμε winding number, ή αλλιώς index της καμπύλης. Στα μαθηματικά λοιπόν winding number μιας κλειστής καμπύλης στο επίπεδο, γύρω από ένα σημείο, ονομάζουμε τον ακέραιο που αναπαριστά το πλήθος των περιελίξεων της καμπύλης γύρω από αυτό το σημείο σε μία περίοδο. Θετική φορά θεωρείται κατά τα γνωστά η φορά που είναι αντίθετη με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ενώ η άλλη θεωρείται αρνητική 1 Ο συνολικός αριθμός στροφών της καμπύλης που προσδιορίζει το winding number, είναι το άθροισμα των θετικών περιστροφών, μείον το άθροισμα των αρνητικών περιστροφών. Τα winding numbers είναι θεμελιώδους σημασίας για την αλγεβρική τοπολογία, την γεωμετρική τοπολογία, την διαφορική γεωμετρία, και την φυσική, ιδιαίτερα την θεωρία των χορδών. 1 η φορά διαγραφής του τόπου από έναν περιπατητή που ακολουθεί την φορά του δρόμου, πρέπει να αφήνει πάντα τον τόπο στα αριστερά του 1

2 ΠΜΣ Υπολογιστικη ς Φυσικη ς 1 Θεωρητικη εισαγωγη Διάγραμμα 1.1: Γύρω από σημείο Έστω οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης x = x(t), y = y(t) για 0 t 1. Υποθέτουμε ότι στον χρόνο αυτό, η καμπύλη ξαναβρίσκεται στις ίδιες ακριβώς συνθήκες, δηλαδή ότι x(0) = x(1) και y(0) = y(1), και άρα είναι περιοδική. Για να υπολογίσουμε το index της καμπύλης, αρκεί να βρούμε το μήκος του τόξου που διέγραψε η καμπύλη, και να το διαιρέσουμε με. Προφανώς το πρόβλημα γίνεται απλούστερο αν χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες r = r(t), θ=θ(t). Προφανώς winding number = θ(1) θ(0) Ορισμός 1. Στη διαφορική γεωμετρία, μπορεί ισοδύναμα να οριστεί από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα Ind = 1 x dy x 2 + y 2 y dx x 2 + y 2 (1.1) Αν θεωρήσουμε το επίπεδο μιγαδικό, τότε κάθε σημείο του επιπέδου παριστάνει ένα μιγαδικό αριθμό z = x + iy. Η πολική μορφή του μιγαδικού είναι z = re iθ. Λογαριθμίζοντας και διαφορίζοντας παίρνουμε: z =re iθ ln(z) =ln(re iθ ) ln(z) =ln(r) + ln(e iθ ) 2

3 ΠΜΣ Υπολογιστικη ς Φυσικη ς 2 Μαθηματικο υπο βαθρο ln(z) =ln(r) + iθ d (ln(z)) =d (ln(r) + iθ) dz z =dr r + idθ θ Ορισμός 2. Σε ένα τόπο D, που ορίζεται από μια καμπύλη C 2, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα θα έχει την μορφή (γύρω από την αρχή συντεταγμένων): 1 dz i z (1.2) Κατά αναλογία, αν θέλουμε να υπολογίσουμε το ίδιο ολοκλήρωμα γύρω από ένα άλλο σημείο z 0, αρκεί να μετατοπίσουμε τον τόπο ολοκλήρωσης: 2 Μαθηματικό υπόβαθρο 1 dz (1.3) i z z 0 Πριν περάσουμε όμως στην απόδειξη των λημμάτων Poinare, είναι χρήσιμο και αναγκαίο να αναφέρουμε χωρίς απόδειξη κάποια θεωρήματα τα οποία θα επικαλεστούμε στην αποδεικτική διαδικασία. Θεώρημα 1 (Green (Kelvin-Stokes για δύο διαστάσεις)). Ας είναι C μια κλειστή, λεία καμπύλη ορισμένη κατά τη θετική φορά, και ας είναι P = P(x, y) και Q = Q(x, y) δύο συναρτήσεις που ορίζονται σε τόπο που εμπεριέχει τον τόπο D που ορίζει η C, παραγωγίσιμες, με συνεχείς τις πρώτες παραγώγους στον ίδιο τόπο. Τότε θα ισχύει: P dx + Q dy = D ( Q x P ) dxdy y Θεώρημα 2 (Θεώρημα υπολοίπων). Αν C είναι ένας κλειστός δρόμος και f(z) μια συνάρτηση που είναι αναλυτική στο δρόμο C και στο εσωτερικό του, εκτός από ένα πεπερασμένο αριθμό αριθμό απομονωμένων ανώμαλων σημείων εσωτερικών του C, τότε: C f(z) dz = i Res (f(z n )) (2.1) 2 ο ορισμός αυτός μπορεί να γίνει και αντίστροφα, θεωρώντας δηλαδή πρώτα το σύνολο/τόπο D και έπειτα το σύνορο D = C 3

4 ΠΜΣ Υπολογιστικη ς Φυσικη ς 3 Δει κτες Poinare lim z z0 ((z z 0 )f(z)) όπου Res (f(z n )) = 1 (m 1)! lim d m 1 z z 0 dz ((z z 0)f(z)) m 1 αν το σημείο είναι πόλος τάξης m Ορισμός 3. Υπόλοιπο μιας συνάρτησης f(z), που είναι αναλυτική για z (R, ), στο σημείο σημείο z λέγεται ο συντελεστής b 1, δηλαδή ο αντίθετος του συντελεστή 1 στο κατά Laurent ανάπτυγμα της f(z) στην περιοχή του απείρου. z Είναι δε: Res (f( )) b 1 = 1 f(z) dz = 1 f(z) dz (2.2) i C z z 0 i C + z z 0 Θεώρημα 3 (Τύπος του Cauhy). Αν f(z) είναι μια αναλυτική συνάρτηση πάνω σε ένα κλειστό δρόμο C και κάθε σημείο του τόπου που περικλείεται από το δρόμο αυτό, και z 0 ένα εσωτερικό σημείο του δρόμου C, τότε: f(z 0 ) = 1 f(z) dz (2.3) i C z z 0 Από τα δύο παραπάνω θεωρήματα μπορούν να προκύψουν τα ακόλουθα πορίσματα: Πόρισμα 1. Το ολοκλήρωμα C D dz z z 0 = i f(z 0 ) = i, αφού f(z) = 1 z Πόρισμα 2. Το ίδιο ολοκλήρωμα στην περιοχή του απείρου είναι σύμφωνα με τον ορισμό: C dz = i f(z 0 ) = i, αφού f(z) = 1 z D z z 0 Πόρισμα 3. Αν μια συνάρτηση είναι αναλυτική παντού στον τόπο, τότε C f(z) dz z z 0 =0. 3 Δείκτες Poinaré Η υπόθεση της άσκησης μας ζητάει να αποδείξουμε τα παρακάτω λήμματα, που είναι γνωστά ως δείκτες Poinaré. Για τόπο D ο οποίος περατώνεται από το σύνορο/κλειστή καμπύλη γ, θα θεωρούμε ότι η συνάρτηση ορίζεται παντού, εκτός ίσως από πεπερασμένο αριθμό σημείων. Τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα: Λήμμα 1. Ο δείκτης μιας κλειστής καμπύλης γύρω από ένα ομαλό σημείο είναι Ind γ z 0 = 0 4

5 ΠΜΣ Υπολογιστικη ς Φυσικη ς 3 Δει κτες Poinare Διάγραμμα 3.1: Στην περιοχή ομαλού σημείου Απόδειξη. Η συνάρτηση είναι παντού ορισμένη στον τόπο, και συνεπώς μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Green στον ορισμό του δείκτη. Έτσι για P(x, y) = x x 2, και Q(x, y) = y + y2 x 2 + y 2 : x dy x 2 + y 2 y dx x 2 + y ( ( 2 y x 2 + y 2 Ind γ z 0 = 1 = 1 x = 1 ( = 1 (0) dxdy =0 ) y y 2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 ( )) x x 2 + y 2 dxdy ) dxdy (Το λήμμα αυτό μπορεί επίσης να αποδειχτεί με την χρήση του Πορίσματος 3, για τον μιγαδικό ορισμό του δείκτη) Λήμμα 2. Ο δείκτης μιας κλειστής καμπύλης γύρω από μία εστία ή κέντρο είναι Ind γ z 0 = 1 Διάγραμμα 3.2: Στην περιοχή κέντρου/εστίας Απόδειξη. Αν στον τόπο D περιέχεται ένα κέντρο ή μια εστία, η συνάρτηση πα- 5

6 ΠΜΣ Υπολογιστικη ς Φυσικη ς 3 Δει κτες Poinare ρουσιάζει ένα ανώμαλο σημείο. Συνεπώς δεν μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα Green. Όπως όμως παρατηρήσαμε από την απόδειξη του προηγούμενου λήμματος, P y = Q x = y2 x 2. Άρα μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα (x 2 + y 2 2 ) ακολουθώντας ένα οποιονδήποτε δρόμο C που περιέχει το z 0. Επιλέγωντας ένα κύκλο ακτίνας α, η παραμετροποίηση γίνεται x = a os(t) και y = a sin(t): Ind γ z 0 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 =1 x dy x 2 + y 2 y dx x 2 + y 2 (a os(t)) d (a sin(t)) (a sin(t)) d (a os(t)) (a os(t)) (a sin(t)) (a os(t)) 2 + (a sin(t)) 2 a 2 os 2 (t) a 2 os 2 (t) + a 2 sin 2 (t) + a 2 sin 2 (t) a 2 os 2 (t) + a 2 sin 2 (t) a 2 a 2 dxdy dxdy (Το λήμμα αυτό μπορεί επίσης να αποδειχτεί με την χρήση του Πορίσματος 1, για τον μιγαδικό ορισμό του δείκτη) Λήμμα 3. Ο δείκτης γύρω από ένα σάγμα είναι Ind γ z 0 = 1 Διάγραμμα 3.3: Στην περιοχή σάγματος Απόδειξη. Για την απόδειξη αυτού του λήμματος, θα χρησιμοποιήσουμε την μιγαδική μορφή του ορισμού του δείκτη. Επικαλούμαστε το Πόρισμα 2. 6

7 ΠΜΣ Υπολογιστικη ς Φυσικη ς 4 Θεω ρημα Frommer Ind γ z 0 = 1 i = 1 ( ) = 1 dz z z 0 Λήμμα 4. Ο δείκτης μιας κλειστής καμπύλης ένα τόπο, είναι ίσος με το άθροισμα των δείκτων των αντίστοιχων σημείων, αν ο τόπος περικλείει περισσότερα από ένα από τα παραπάνω σημεία (singularities) Ind γ z 0 = Ind γ z i Απόδειξη. Η απόδειξη αυτού του λήμματος είναι απλά μία εφαρμογή του θεωρήματος Cauhy, στον πολλαπλά συνεκτικό τόπο που ορίζεται η συνάρτηση. Η απόδειξη είναι εύκολη, αρκεί κάποιος να απομονώσει τα σημεία, και να χωρίσει τον τόπο σε μικρότερους τόπους. Τότε: C f(z) dz f(z) dz f(z) dz = + + z z 0 C 1 z z 0 C 2 z z 0 Διάγραμμα 3.4: Τύπος Cauhy Στους τόπους που η συνάρτηση είναι αναλυτική, τα ολοκληρώματα θα παίρνουν την τιμή 0, οπότε θα απομένουν μόνο τα ολοκληρώματα στα οποία η συνάρτηση δεν είναι αναλυτική. 4 Θεώρημα Frommer Το δεύτερο κομμάτι της άσκησης αφορούσε την αποδείξη του θεωρήματος Frommer, το οποίο διατυπώνεται ως εξής: Θεώρημα 4 (Frommer). Έστω το μη γραμμικό σύστημα 7

8 ΠΜΣ Υπολογιστικη ς Φυσικη ς 4 Θεω ρημα Frommer dx = P(x, y) dt dy = Q(x, y) dt όπου P(x, y) και Q(x, y) ομογενείς πολυωνυμικές εξισώσεις περιττού βαθμού. Αν θέσουμε y = ux, τότε P(1, u) = (u) και Q(1, u) = q(u). Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει το σύστημα οριακό κύκλο είναι το ολοκλήρωμα: I = ˆ+ du q u = 0 (4.1) Απόδειξη. Ας είναι P(x, y) = i x k iy n k i και Q(x, y) = j x k jy n k j ομογενείς βαθμού n = k + 1, k Z dy dx P(x, y) = Q(x, y) i x k iy n k i = j x k jy n k j i x k i (ux) n k i = j x k j (ux) n k j i x k i (x) n k i (u) n k i = j x k j (x) n k j (u) n k j i x n u n k i = j x n u n k j = xn i u n k i x n j u n k j i u n k i = j u n k j = (u) q(u) Για τη αλλαγή μεταβλητής y = ux, παίρνουμε διαφορίζοντας: 8

9 ΠΜΣ Υπολογιστικη ς Φυσικη ς 4 Θεω ρημα Frommer y =ux dy =d (ux) dy =x du + u dx dy dx =xdu dx + u q u =xdu dx q u =x du dx q u =1 dx x du q u du =1 x dx Ολοκληρώνοντας κατά μέλη προκύπτει: ˆ ˆ ˆ ˆ 1 q u du = x dx du = ln x + ln C q u du = ln Cx (4.2) q u Προκειμένου να ολοκληρώσουμε την απόδειξη θεωρούμε τα σημεία x 1, x 2 για τα οποία y = u 1 x, άρα ˆ + lncx 1 lncx 2 = ln x 1 x 2 =2 u 1 ˆ + q u du + q u du ˆ u1 ˆ + q u du + q u du Όμως αν το σύστημα είναι περιοδικό, τότε υποχρεωτικά x 1 = x 2, και άρα το ολοκλήρωμα θα μηδενίζει. 9

10 ΠΜΣ Υπολογιστικη ς Φυσικη ς 5 Εφαρμογη του θεωρη ματος Frommer 5 Εφαρμογή του θεωρήματος Frommer Για το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων: dx dt = ax3 + bx 2 y + xy 2 y 3 dy dt = x3 + ax 2 y + bxy 2 + y 3 i. Να αποδειχθεί ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει το σύστημα κλειστή καμπύλη είναι a + = 0 ii. Να επιβεβαιωθεί το αποτέλεσμα για a = 1, = 1, b = 2 και για αρχικές συνθήκες x(0) = y(0) = 1 για t [0, 50] Λύση Το ολοκλήρωμα (4.1) παίρνει τη μορφή: ˆ a + bu + u 2 u 3 I = 1 + u 4 du ( 2 u 2 =(a ) 2 ln + ) ( ) 2u u u 2 (a + ) 2u tan 1 u b ( 2 tan 1 u 2) ln ( u ) Το ολοκλήρωμα ( δεν συγκλίνει στις περιοχές του απειρου εξ αιτίας του όρου (a + ) ) 2 2u 4 tan 1 u 2. Άρα αρκεί να μηδενιστεί ο όρος με κατάλληλη εκλογή 1 των σταθερών, και συνεπώς a + = 0 Για τις δεδομένες αρχικές συνθήκες και τιμές των σταθερών το φασικό διάγραμμα προκύπτει: 10

11 ΠΜΣ Υπολογιστικη ς Φυσικη ς Αναφορε ς Διάγραμμα 5.1: Φασικό διάγραμμα Ο κώδικας που χρησιμοποιήθηκε ήταν: a = 1; = 1; b = 2 deq1 = x'[t] == a x[t]^3 + b x[t]^2 y[t] + x[t] y[t ]^2 y[t]^3; deq2 = y'[t] == x[t]^3 + a x[t]^2 y[t] + b x[t] y[t]^2 + y[t]^3; IVP = {deq1, deq2, x[0] == 1, y[0] == 1}; sol = NDSolve[IVP, {x, y}, {t, 0, 50}]; xt1[t_] = x[t] /. sol[[1]]; xt2[t_] = y[t] /. sol [[1]]; ParametriPlot[{xt1[t], xt2[t]}, {t, 0, 50}, PlotRange > {{ 3, 3}, { 3, 3}}] Αναφορές [1] MGuire G. Enns R. Nonlinear Physis with Mathematia for Sientists and Engineers. Birkhauser, [2] Davis H. Introdution to Nonlinear Differential and Integral Equations. Dover ubliation, [3] Henle M. A ombinatorial introdution to toology. Dover ubliation, New York, [4] Μάσεν Σ. Γρυπαίος Μ. Μαθηματικές Μέθοδοι Φυσικής Ι - Μιγαδικές και ειδικές συναρτήσεις. Α.Π.Θ.,