Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής Τηλ:

2 ΑΣΚΗΣΗ 1: Μια εταιρεία πουλάει εξοπλισμό υψηλής τεχνολογίας για ιατρικά μηχανήματα, παρέχοντας παράλληλα και υπηρεσίες service. Η εταιρεία διαθέτει τμήμα service στο οποίο οι κλήσεις για βλάβες καταφθάνουν με μέσο ρυθμό 3 εργασίες ανά 8ωρο (διαδικασία Poisson) και εξυπηρετούνται με τη σειρά που καταφθάνουν. Το τμήμα service λειτουργεί με μία ομάδα τεχνικών και ο χρόνος εξυπηρέτησης έχει μέση τιμή 2 ώρες ανά πελάτη (εκθετική κατανομή). Το κόστος εξυπηρέτησης ανέρχεται στα 28 ανά ώρα ενώ από οικονομική ανάλυση που έχει προηγηθεί γνωρίζουμε ότι το κόστος για την επιχείρηση από την αναμονή/παραμονή των πελατών στο σύστημα ανέρχεται στα 35 ανά ώρα.

3 i. Αφού εντοπίσετε το κατάλληλο μοντέλο, να υπολογίσετε τους βασικούς δείκτες λειτουργικότητας: μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα, μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά, μέσο πλήθος εργασιών στην ουρά, αν γνωρίζεται ότι ο μέσος αριθμός εργασιών στο σύστημα είναι. Υπολογίστε επίσης τον βαθμό απασχόλησης της ομάδας τεχνικών και την πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης μιας εργασίας. ii. Η διοίκηση παραγωγής και λειτουργιών της εταιρείας σκέφτεται να βελτιώσει τον εξοπλισμό του τεχνικού συνεργείου ενοικιάζοντας ένα ηλεκτρονικό διαγνωστικό σύστημα. Με το σύστημα αυτό ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης θα βελτιωθεί κατά 20%, αλλά το κόστος εξυπηρέτησης θα διπλασιαστεί. Ο διευθυντής οικονομικών υπηρεσιών διαφωνεί με την υιοθέτηση της ιδέας αυτής θεωρώντας ότι ο διπλασιασμός του κόστους εξυπηρέτησης δεν αντισταθμίζεται από τη βελτίωση του χρόνου εξυπηρέτησης. Έχει δίκιο ο διευθυντής οικονομικών υπηρεσιών;

4 ΑΣΚΗΣΗ 2: Ένα ναυπηγείο επισκευής πλοίων έχει δύο συνεργεία επισκευής και χώρο δεξαμενισμού που χωράει δύο πλοία. Για να επισκευάσει ένα πλοίο, το κάθε συνεργείο μεταφέρεται στο χώρο του δεξαμενισμού που βρίσκεται το πλοίο. Ο χρόνος επισκευής ενός πλοίου από το κάθε συνεργείο ακολουθεί εκθετική κατανομή με ρυθμό 1 πλοίο ανά μήνα. Τα πλοία φτάνουν στο ναυπηγείο για επισκευή τυχαία, σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό λ = 1 πλοίο ανά μήνα. Κάθε πλοίο που φτάνει όταν ο χώρος δεξαμενισμού είναι πλήρης δεν εισέρχεται στο ναυπηγείο και επομένως φεύγει για πάντα. Κάθε πλοίο που καταφέρνει να μπει στο χώρο δεξαμενισμού με ρυθμό λ και επισκευάζεται, αποφέρει έσοδα στο ναυπηγείο C r = 2.5εκ.. ανά μήνα. Το κάθε συνεργείο επισκευής κοστίζει στο ναυπηγείο C s = 0.7εκ. ανά μήνα. Επίσης, το ενοίκιο που πληρώνει το ναυπηγείο είναι C M = 0.1εκ. ανά μήνα για κάθε θέση δεξαμενισμού, ενώ το κόστος που επωμίζεται το ναυπηγείο από τη χαμένη εκμετάλλευση των πλοίων που βρίσκονται στο ναυπηγείο (αναμονή) είναι C W = 0.2εκ ανά πλοίο ανά μήνα. i. Χαρακτηρίστε το σύστημα κατά Kendal. Ποια είναι η πιθανότητα ένα πλοίο να μην βρει ελεύθερο χώρο δεξαμενισμού; ii. iii. Ποιά είναι τα μηνιαία κέρδη του ναυπηγείου; Ο διαχειριστής του ναυπηγείου θέλει να εξετάσει αν κρατώντας μόνο το ένα από τα δύο συνεργεία καταφέρει να αυξήσει τα μηνιαία κέρδη του ναυπηγείου. Είναι η λύση αυτή συμφέρουσα;

5 ΑΣΚΗΣΗ 3: Στον έλεγχο διαβατηρίων σε ένα αεροδρόμιο υπάρχουν δύο σημεία από τα οποία περνάνε οι ταξιδιώτες. Από το ένα σημείο περνάνε οι ταξιδιώτες με διακεκριμένη θέση και από το άλλο σημείο περνάνε οι επιβάτες των οικονομικών θέσεων. Οι υπάλληλοι του αεροδρομίου και στα δύο σημεία έχουν την ίδια εμπειρία και έτσι ο μέσος χρόνος που χρειάζεται για τον έλεγχο των διαβατηρίων και στα δυο σημεία είναι 2 λεπτά (εκθετική κατανομή). Οι ταξιδιώτες των οικονομικών θέσεων καταφανούν στον έλεγχο με ρυθμό λ 1 =20 ανά ώρα (διαδικασία Poisson), ενώ οι ταξιδιώτες των διακεκριμένων θέσεων καταφανούν στον έλεγχο με ρυθμό λ 2 =10 ανά ώρα (διαδικασία Poisson). i. Ο υπεύθυνος διευθυντής του ελέγχου των διαβατηρίων έχοντας μελετήσει το παραπάνω σύστημα προτείνει τα δύο σημεία ελέγχου να γίνουν ένα, ανεξάρτητα με τον τύπο του ταξιδιώτη. Καταθέτει αυτήν την πρόταση γιατί υποστηρίζει ότι με αυτόν τον τρόπο θα μειωθεί ο μέσος χρόνος αναμονής κάθε ταξιδιώτη στον έλεγχο διαβατηρίων. Πρέπει η διοίκηση του αεροδρομίου να ακολουθήσει την συμβουλή του; ii. Την πρόταση του υπεύθυνου διευθυντή μελετά ένας υπάλληλος που χειρίζεται οικονομικά θέματα. Ο υπάλληλος μελετά το πρόβλημα την πλευρά του μέσου συνολικού κόστους λειτουργίας του συστήματος ελέγχου διαβατηρίων. Στην μελέτη του έχει σαν δεδομένα ότι το κόστος αναμονής ανά μονάδα χρόνου ενός ταξιδιώτη οικονομικής θέσης είναι 5 /ώρα, το αντίστοιχο κόστος για έναν ταξιδιώτη διακεκριμένης θέσης είναι 10 /ώρα, το κόστος εξυπηρέτησης από έναν υπάλληλο στην μονάδα χρόνου είναι 15 /ώρα ανεξάρτητα με το ποιόν ταξιδιώτη εξυπηρετεί και πόσα σημεία εξυπηρέτησης υπάρχουν και τέλος ότι στην περίπτωση που τελικά γίνει ένα σημείο ελέγχου το συνολικό κόστος αναμονής ανά μονάδα χρόνου ενός ταξιδιώτη θα είναι αθροιστικά 15 /ώρα. Με βάση λοιπόν τα παραπάνω στοιχεία, ο υπάλληλος υποστηρίζει ότι από οικονομικής πλευράς δεν συμφέρει πρόταση του διευθυντή και ότι πρέπει να διατηρηθούν τα δύο σημεία ελέγχου. Έχει δίκιο ο υπάλληλος; Δίνεται ότι στην περίπτωση δύο σημείων ελέγχου ο μέσος αριθμός ταξιδιωτών στο κάθε σημείο είναι, ενώ στην περίπτωση των ενός σημείου ελέγχου ο μέσος χρόνος αναμονής στον έλεγχο είναι (4 )

6 ΑΣΚΗΣΗ 4: Ένα εργοστάσιο που δουλεύει συνεχώς διαθέτει 4 ίδιες μηχανές. Από αυτές, μπορούν να δουλεύουν συγχρόνως μόνον οι δύο. Κάθε μηχανή που δουλεύει παθαίνει βλάβες σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό μία βλάβη ανά 8 ώρες (μια μηχανή μπορεί να πάθει βλάβη μόνο όταν λειτουργεί). Το εργοστάσιο διαθέτει δικό του συνεργείο για να επισκευάζει τις μηχανές, στο οποίο εργάζονται παράλληλα και ανεξάρτητα (κάθε μηχανή μπορεί να επισκευάζεται μόνο από έναν μηχανικό κάθε μηχανικός ασχολείται μόνο με μια μηχανή) δύο μηχανικοί με την ίδια ικανότητα και εμπειρία. Ο χρόνος επισκευής μιας μηχανής από έναν μηχανικό ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 4 ώρες. Το κόστος επισκευής κάθε μηχανής είναι 40 ανά ώρα, ενώ το κόστος απασχόλησης κάθε μηχανικού είναι 10 ανά ώρα. Τα έσοδα του εργοστασίου είναι 350 ανά ημέρα για κάθε μηχανή που δουλεύει. i. Δώστε το διάγραμμα καταστάσεων που περιγράφει τον αριθμό των χαλασμένων μηχανών στο συνεργείο και υπολογίστε τη στάσιμη πιθανότητα για κάθε κατάσταση του συστήματος. ii. Υπολογίστε το μέσο ωριαίο κέρδος (έσοδα κόστη) του εργοστασίου από την εκμετάλλευση και συντήρηση των μηχανών.

7 ΑΣΚΗΣΗ 5: Μια εταιρία ενοικίασης αυτοκινήτων στη Χίο, έχει στη διάθεση της 2 οχήματα για ενοικίαση. Λόγω των συχνών βλαβών που παρουσιάζονται από την κακή χρήση, η εταιρία έχει και ένα δικό της συνεργείο στο οποίο απασχολεί έναν μηχανικό. Από δεδομένα των προηγούμενων χρόνων έχει παρατηρηθεί ότι κάθε αυτοκίνητο μπαίνει στο συνεργείο για επισκευές σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό 1 φορά κάθε 7 ημέρες. Η διάρκεια της επισκευής ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέσο χρόνο επισκευής την 1 ημέρα. i. Χαρακτηρίστε το σύστημα κατά Kendal και δώστε το διάγραμμα καταστάσεων. Να βρεθεί η πιθανότητα ο μηχανικός να είναι απασχολημένος. ii. Η εταιρία αγοράζει 1 ακόμα όχημα όμοιο με τα προηγούμενα. Υποθέστε ότι επειδή το νέο όχημα αγοράστηκε μεταχειρισμένο, ο ρυθμός με τον οποίον μπαίνει και αυτό στο συνεργείο είναι ίδιος με των προηγούμενων οχημάτων. Για να επισκευάζονται έγκαιρα τα οχήματα όμως προσλαμβάνει άλλον ένα μηχανικό με τις ίδιες ακριβώς ικανότητες με τον πρώτο. Ποια είναι τώρα η πιθανότητα ο ένας ή και οι δύο μηχανικοί να είναι απασχολημένοι; Συγκρίνετε την πιθανότητα αυτή με την αντίστοιχη πιθανότητα του ερωτήματος (i) και πείτε σε ποια περίπτωση είναι μεγαλύτερη η πιθανότητα.

8 ΑΣΚΗΣΗ 6: Ένας σταθμός εξυπηρέτησης έχει 2 θέσεις εξυπηρέτησης και χώρο αναμονής που χωράει 2 πελάτες. Οι πελάτες καταφθάνουν σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson με ρυθμό 12 πελάτες ανά ώρα. Όταν ο χώρος αναμονής είναι γεμάτος, οι πελάτες που καταφθάνουν στο σταθμό δεν εισέρχονται σε αυτόν και χάνονται. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 5 λεπτά. i. Χαρακτηρίστε το σύστημα κατά Kendal, δώστε το αντίστοιχο διάγραμμα καταστάσεων και υπολογίστε τη στάσιμη κατανομή πιθανότητας. ii. Τα έσοδα του σταθμού από κάθε πελάτη που καταφέρνει να μπει στο σύστημα είναι 23. Το κόστος λειτουργίας κάθε θέσης εξυπηρέτησης όταν αυτή εξυπηρετεί είναι 69 ανά ώρα, ενώ το κόστος του σταθμού από την αναμονή των πελατών ανέρχεται στα 345 ανά ώρα αναμονής για κάθε πελάτη που περιμένει στην ουρά. Υπολογίστε το κέρδος τους σταθμού