Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Πεπερασμένες διαφορές: Παραδείγματα και ασκήσεις Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής Νικόλαος Θεοδοσίου ΑΠΘ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πεπερασμένες διαφορές: Παραδείγματα και ασκήσεις

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (/6) Σχήμα : Κόμβοι του δικτύου. Πηγή: Δημ. Τολίκας, Υπόγεια Υδραυλική, εκδ. Παρατηρητής, 997, σελ

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (/6) Εξίσωση κόμβου Φ Α =-Κh, Φ Β =Φ 6

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (3/6) Εξίσωση κόμβου (ανάλογη είναι η εξίσωση του κόμβου 3): Φ Γ =-Κh 7

8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (4/6) Εξίσωση κόμβου 4 Φ Δ = Φ 4 8

9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (5/6) Εξίσωση κόμβου 5 (παρόμοια εξίσωση ισχύει στον κόμβο 6) Φ E = Φ 5, Φ Z = Φ 5 9

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (6/6) Εξίσωση κόμβου 7 (παρόμοια εξίσωση ισχύει στον κόμβο 8) Φ Η =0 0

11 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (7/6) Εξίσωση κόμβου 9 Φ Κ = Φ 9, Φ Θ = 0

12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (8/6) Εξίσωση κόμβου 0 (παρόμοιες εξισώσεις ισχύουν στους κόμβους 8 και 7) Φ Λ = Φ 0

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (9/6) Εξίσωση κόμβου Παρόμοιες:, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 4, 5, 6 3

14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (0/6) Εξίσωση κόμβου 9 Φ Μ = Φ Ν Φ Ξ = Φ 9 4

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (/6) Εξίσωση κόμβου 0 Παρόμοιες:,, 9, 30, 3 Φ Π = Φ Ο = 0,8 Φ + 0,8 Φ 0 5

16 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (/6) Εξίσωση κόμβου 3 Φ Φ = Φ Χ = 0,8 Φ Ψ + 0,8 Φ 3 Φ Ψ = Φ 3 6

17 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (3/6) Επίλυση συστήματος 7

18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (4/6) Αριθμητικά αποτελέσματα από την επίλυση του συστήματος 8

19 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (5/6) Τιμές δυναμικού στους κόμβους

20 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΠΟΓΕΙΑΣ ΡΟΗΣ (6/6) Ισοδυναμικές γραμμές Σχήμα : Ισοδυναμικές γραμμές Πηγή: αρχείο κ. Δημ. Τολίκα.

21 ΑΣΚΗΣΗ η (/3) Υπολογισμός παροχής που διέρχεται από μια διατομή Αναγνωρίζονται τρεις θεωρητικοί «σωλήνες» ροής: - [ ] - [ ] - [ ]

22 ΑΣΚΗΣΗ η (/3) Υπολογισμός παροχής που διέρχεται από μια διατομή

23 ΑΣΚΗΣΗ η (3/3) Υπολογισμός παροχής που διέρχεται από μια διατομή

24 ΑΣΚΗΣΗ η (/4) Ένας ημιάπειρος υπόγειος υδροφορέας γειτνιάζει με αδιαπέρατο όριο στον πυθμένα του. Δίνονται τιμές του δυναμικού σε χαρακτηριστικές θέσεις (με δείκτη i, j) του δικτύου διακριτοποίησης του οποίου η ισοδιάσταση κατά τη διεύθυνση j είναι ίση με 50m. Ζητείται να υπολογιστούν οι τιμές του δυναμικού στις θέσεις (3, 3) και (4, 3). (j) Φ (,4) = 36 Φ (,3) = 39 Φ (,4) = 38 Φ (3,) = 43 Φ (3,4) = 4 Φ (4,) = 45 Φ (,5) = 35 Φ (5,) = (i) 4

25 ΑΣΚΗΣΗ η (/4) Φ (,4) = 36 Φ (,3) = 39 Φ (,4) = 38 Φ (3,) = 43 Φ (3,4) = 4 Φ (4,) = 45 Φ (,5) = 35 Φ (5,) = 48 5

26 ), ( ), ( ), ( ), ( j i j i j i j i h x ), ( ), ( ), ( ), ( j i j i j i j i k y 0 ) r ( ) ( r j i, i,j i,j,j i,j i k h r ΑΣΚΗΣΗ η (3/4) 6

27 ΑΣΚΗΣΗ η (4/4) ο : Εφαρμογή της εξίσωσης στον κόμβο (,4) για τον υπολογισμό της ισοδιάστασης κατά τη διεύθυνση j ο : Λόγω αδιαπέρατου ορίου, Φ(4,) = Φ(4,) 3 ο : Εφαρμογή της εξίσωσης στον κόμβο (4,) για τον υπολογισμό του Φ(4,3) 4 ο : Εφαρμογή της εξίσωσης στον κόμβο (3,3) για τον υπολογισμό του Φ(3,3)

28 ΑΣΚΗΣΗ 3 η (/5) Στην υπόγεια ροή του σχήματος οι τιμές του δυναμικού Φ στους κόμβους A,, C, D, E και F είναι: Φ A =0,5034 Φ =0,4997 Φ C =0,5036 Φ D =0,505 Φ E =0,500 Φ F =0,508 Να υπολογίσετε τις τιμές του δυναμικού στούς κόμβους,, 3 και 4. 8

29 ΑΣΚΗΣΗ 3 η (/5) r k h Κόμβος F E P 3 F F G F h tan8 h o 0,0703 G P G 0,0703,5703 F 0,5 E 0, ,997 F 9

30 ΑΣΚΗΣΗ 3 η (3/5) Κόμβος C 0 0 D 4 A 3 C,5703 F 0,5 E 0, 303 Από τις δύο αυτές εξισώσεις υπολογίζονται τα Φ και Φ

31 ΑΣΚΗΣΗ 3 η (4/5) Κόμβος C F 0 4 C F 3

32 ΑΣΚΗΣΗ 3 η (5/5) Κόμβος 3 R 4 N N F F C N 3 4 4C 43 0, ,906 0,7805 3, R h 0,997 tan8 h 3 o 0, , F C 3

33 ΑΣΚΗΣΗ 4 η (/) Σε μια υπόγεια ροή, οι γειτονικοί κόμβοι A,,C,D και Ε, είναι διατεταγμένοι κατά την οριζόντια (A,E,) και κατακόρυφη (C,E,D) διεύθυνση x και y, όπως στο σχήμα. Στον κόμβο Ε είναι γνωστές οι ταχύτητες διήθησης v xe = m/day, v ye =86 m/day, το δυναμικό Φ Ε =-0,5 m /sec και η υδροστατική πίεση =90m, ενώ στον κόμβο Α είναι γνωστό το δυναμικό Φ A =-0,59 m /sec. Να υπολογίσετε τις υδροστατικές πιέσεις στους κόμβους A,,C και D, όταν ο συντελεστής σχετικής διαπερατότητας είναι Κ=0,05 m/sec. 33

34 ό Z Z g P K E E E E ό x V A E xe x50 ), ( 5 x C D C D E ye ύ έ y V ), ( C D E D C A ύ έ ό g P Z g P K A A A A ό g P Z g P K ό g P Z g P K C C C C ό g P Z g P K D D D D ΑΣΚΗΣΗ 4 η (/) 34

35 ΑΣΚΗΣΗ 5 η (/3) Αν γνωρίζετε από την αναλυτική λύση τις τιμές του δυναμικού στις θέσεις,, 3 και 4, να αποδείξετε ότι ο τύπος των 5 σημείων της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών δίνει με απόλυτη ακρίβεια την τιμή του δυναμικού στον κόμβο Α. Σχήμα 3: σχήμα άσκησης. Πηγή: αρχείο κ. Δημ. Τολίκα. 35

36 H y H x H y x H K A 4 H y H h x H y h x H K 4 H h y H x H h y x H K 4 H y H h x H y h x H K 4 3 H h y H x H h y x H K 4 4 A H y H x H y x H K H y H x H y x 4 ) ( ) ( 4η ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 5 η (/3) 36

37 4η ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 5 η (3/3) ΔΙΑΦΟΡΕΣ ( x x y H ) ( H 4H ος τρόπος Από την αναλυτική λύση προκύπτει ότι όλες οι παράγωγοι ως προς x και y τρίτου ή μεγαλύτερου βαθμού είναι μηδενικές. Επομένως οι δεύτερες παράγωγοι ως προς x και y προσεγγίζονται με απόλυτη ακρίβεια με τις πεπερασμένες διαφορές (σχ. 7.4 και 7.5 του βιβλίου) y) 37

38 5η ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΙΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 6 η ΔΙΑΦΟΡΕΣ (/0) Για την προσομοίωση της ροής σε έναν υπόγειο υδροφορέα καταστρώνεται ορθογωνικό δίκτυο διακριτοποίησης όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο υδροφορέας βρίσκεται κάτω από ποτάμι με μεταβλητή στάθμη. Στο σχήμα φαίνεται το βάθος ροής του ποταμού σε δύο χαρακτηριστικά σημεία. Δίνεται το δυναμικό στους κόμβους A,, C, D, E και F και ζητείται να υπολογιστεί το δυναμικό στους κόμβους,, 3 και 4 θεωρώντας ως επίπεδο αναφοράς την επιφάνεια του εδάφους. Ο συντελεστής διαπερατότητας Κ=x0 - m/s 38

39 ΑΣΚΗΣΗ 6η (/0) H=0m H=0m Έδαφος A C D 3 E 4 F Φ Α = m Φ = m Φ C = -0.5 m Φ D = m Φ E = m Φ F = m 39

40 ΑΣΚΗΣΗ 6η (3/0) A Έδαφος Γ Δ 40

41 Εξίσωση κόμβου 3: ΑΣΚΗΣΗ 6η (4/0) E D h k ( ) ( h / k ) 0 / F 3 3 E D h ( / k ( h / k ) F ) 4

42 Εξίσωση κόμβου : O k y ) ( 3 ) ( A h x 0 h/k ) ( h/k 3 O A O A 3 h/k ) ( h/k ΑΣΚΗΣΗ 6η (5/0) 4

43 ΑΣΚΗΣΗ 6η (6/0) Εξίσωση κόμβου : h/k ) ( h/k O Εξίσωση κόμβου : 0 h/k ) ( h/k 4 O C O C 4 ) ( h/k h/k 43

44 ΑΣΚΗΣΗ 6η (7/0) Δυναμικό στους κόμβους πάνω από τα σημεία: P/pg Z θ Φ AΟ = m Φ ΒΟ = m Φ Ο = m Φ Ο = m Φ CΟ = m Στάθμη ποταμού με κλίση: Επιφάνεια εδάφους με κλίση: ΌΧΙ ΌΧΙ ΑΟ O O O CO Α C D 3 E 4 F

45 ΑΣΚΗΣΗ 6η (8/0) Δυναμικό στους κόμβους πάνω από τα σημεία: P/pg Z θ Φ AΟ = m Φ ΒΟ = m Φ Ο = m Φ Ο = m Φ CΟ = -0.0 m Στάθμη ποταμού με κλίση: Επιφάνεια εδάφους με κλίση: ΝΑΙ ΌΧΙ ΑΟ O O O CO Α C D 3 E 4 F

46 ΑΣΚΗΣΗ 6η (9/0) Στάθμη ποταμού με κλίση: Επιφάνεια εδάφους με κλίση: ΌΧΙ ΝΑΙ Δυναμικό στους κόμβους πάνω από τα σημεία: P/pg Z θ Φ AΟ = m Φ ΒΟ = m Φ Ο = m Φ Ο = m Φ CΟ = -0.0 m ΑΟ O O O CO Α C D 3 E 4 F

47 ΑΣΚΗΣΗ 6η (0/0) Δυναμικό στους κόμβους πάνω από τα σημεία: P/pg Z θ Φ AΟ = m Φ ΒΟ = m Φ Ο = -0.0 m Φ Ο = m Φ CΟ = m Στάθμη ποταμού με κλίση: Επιφάνεια εδάφους με κλίση: ΝΑΙ ΝΑΙ ΑΟ O O O CO Α C D 3 E 4 F

48 ΑΣΚΗΣΗ 7 η (/6) Υδροφορέας άπειρων διαστάσεων αναπτύσσεται κάτω από ποτάμι σύνθετης διατομής. Ο υδροφορέας βρίσκεται σε άμεση υδραυλική επικοινωνία με το ποτάμι, εγκάρσια διατομή του οποίου φαίνεται στο σχήμα. Για την προσομοίωση της ροής στον υδροφορέα καταστρώνεται ορθογωνικό δίκτυο διακριτοποίησης με ισοδιάσταση κατά Χ ίση με 40m και κατά Υ ίση με 0m. Εάν υποτεθεί ότι η διατομή του ποταμού είναι πλήρης με νερό η στάθμη του οποίου παραμένει σταθερή και η κλίση των πρανών του είναι 45 ο, ζητείται να υπολογιστεί η τιμή του δυναμικού στους κόμβους 5, 8,, 3, 5 και 8. A L C D I J K 5 8 E F G H

49 ΑΣΚΗΣΗ 7η (/6) Δίνονται οι τιμές του δυναμικού, συναρτήσει του συντελεστή διαπερατότητας Κ, στους ακόλουθους κόμβους, θεωρώντας ως επίπεδο αναφοράς τον άξονα E-H: Φ 3 Φ 4 Φ 6 Φ 7 Φ 9 Φ 0 Φ -35Κ -3Κ -34Κ -3Κ -30Κ -8Κ -3Κ Φ 4 Φ 6 Φ 7 Φ 9 Φ 0 Φ 3 Φ 4-3Κ -30Κ -8Κ -34Κ -3Κ -35Κ -3Κ A L C D I J K 5 8 E F G H

50 ΑΣΚΗΣΗ 7η (3/6) A L C D I J K 5 8 E F G H εξίσωση κόμβου 6 Φ3 Φ9 r Φ5 Φ7 ( r )Φ6 0 Φ5 = Κ ( r )Φ6 - Φ3 - Φ9 - Φ7 Φ5 r 50

51 ΑΣΚΗΣΗ 7η (4/6) A L C D I J K 5 8 E F G H εξίσωση κόμβου 8 0.5( 0.5) Φ8 = Κ E 5 8 r (ΦD - Φ8 Φ9) r D 9 E /(4 r ) 5

52 ΑΣΚΗΣΗ 7η (5/6) εξίσωση κόμβου Φ9 Φ3 Φ = Κ r ΦF Φ ( r )Φ 0 Φ9 r ΦF Φ Φ ( r ) 5

53 ΑΣΚΗΣΗ 7η (6/6) A Β C D 5 8 E F Β E

54 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Δημήτριος Τολίκας, Νικόλαος Θεοδοσίου. «Υπόγεια Υδραυλική. Ενότητα 5. Πεπερασμένες διαφορές: Παραδείγματα και ασκήσεις». Έκδοση:.0. Θεσσαλονίκη 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

55 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. []

56 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενότητας Επεξεργασία: Ιωάννης Αυγολούπης Θεσσαλονίκη, <Εαρινό Εξάμηνο 0-03>

57 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα

58 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.