3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

Transcript

1 . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται» η κατανομή της τ.μ. Χ. Ας ονομάσουμε την τιμή αυτή «μέση τιμή» της τ.μ. Χ. Ένας ιδανικός ορισμός είναι αυτός που θέτει ως «μέση τιμή» μιας κατανομής το «κέντρο βάρους» της κατανομής αυτής θεωρώντας ότι η συνοική πιθανότητα είναι μάζα που έχει κατανεμηθεί είτε στον R σε σημεία η σε διάστημα.

2 Για παράδειγμα, αν μία τ.μ. Χ παίρνει τιμές, και με πιθανότητες / και / και / αντίστοιχα, τότε η σ.π. της σχηματικά θα είναι / / / Θεωρώντας τώρα ότι στα σημείο,, υπάρχει μάζα πιθανότητας μεγέθους /, / και / αντίστοιχα, τότε το κέντρο βάρους θα είναι το Συνεπώς, θα θεωρούμε ότι η μέση τιμή αυτής της τ.μ. θα είναι το 5/: / / 5/ /

3 Έστω μία διακριτή τ.μ. με τιμές στο {α,α,...} και σ.π. f. Η ποσότητα a f a a a P Ω f υπό τον όρο ότι η παραπάνω σειρά συγκίνει απόυτα δη. < a f a θα καείται μέση ή αναμενόμενη τιμή ή πηθυσμιακός μέσος της τ.μ. Χ. Αν Χ {,,,...} τότε f P.

4 Παράδειγμα. Ένας παίκτης ρουέτας χρησιμοποιεί το ακόουθο σύστημα. Ποντάρει στο κόκκινο χι και αν κερδίσει αποχωρεί. Αν χάσει, ποντάρει ξανά στο κόκκινο αυτή τη φορά χι και ανεξάρτητα με το αποτέεσμα αποχωρεί. Θεωρώντας ότι η πιθανότητα να έρθει κόκκινο είναι ½, να βρείτε το μέσο κέρδος του παίκτη. Ο δειγματικός χώρος του συγκεκριμένου πειράματος μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ο Ω{Κ,Κ,Κ,Μ,Μ,Κ,Μ,Μ} Έστω Χ η τ.μ. που εκφράζει το κέρδος του παίκτη. Θα έχουμε ότι στοιχ. ενδεχ. Χ K,K πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ, κέρδισε και αποχώρησε K,M πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ, κέρδισε και αποχώρησε M,K + πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ, έχασε και ξαναπόνταρε στο Κ και κέρδισε M,M πόνταρε την πρώτη φορά στο Κ, έχασε και ξαναπόνταρε στο Κ και ξαναέχασε. Επομένως, P /, P / και ap a a P P.

5 Άσκηση. Να βρεθεί η μέση τιμή της τ.μ. Χ με σ.π. f,,,..., v v v + Λύση v v Y a f a f v v + v v + v v + v + 6 Άσκηση Η κατανομή των κερδών σε μία σειρά αχείων «Ξυστό» είναι: v + Κατηγορία κέρδους δρχ Κερδίζοντα αχεία Κατηγορία κέρδους δρχ Κερδίζοντα αχεία Σύνοο Λαχεία έκδοσης: 8.6. δρχ. η τιμή του κάθε δετίου Αν Χ είναι το κέρδος από την αγορά ενός τυχαία επιεγμένου αχείου,

6 6 Σε αρκετές περιπτώσεις, ζητείται ο υποογισμός της μέσης τιμής μιας τ.μ. Y g που είναι συνάρτηση του. Πρόταση Έστω Χ μία διακριτή τ.μ. με τιμές στο {α,α,...} και σ.π. f. Αν Υ g, τότε a f a g g Y. Π.χ. αν Χ {,,, }, f P

7 Άσκηση.. α Να βρεθεί η μέση τιμή ΕΧ, όπου η τ.μ. Χ έχει την κατανομή f.5... β Ποιά είναι η μέση τιμή των τ.μ., 5 +, ; Λύση. α Η μέση τιμή της τ.μ. Χ θα είναι P Y P + P + P + P P P + Z P... 8 P + P W P P 7

8 Μέση τιμή συνεχών τυχαίων μεταβητών κατανομών Η θεωρία που αντιστοιχεί στις συνεχείς τ.μ. είναι ανάογη με τη θεωρία που αφορά διακριτές τ.μ. όπου στις διακριτές κατανομές εμφανίζεται άθροισμα, στις συνεχείς κατανομές εμφανίζεται οοκήρωμα Ορισμός Έστω μία συνεχής τ.μ. με σ.π.π. f. Η ποσότητα f d υπό τον όρο ότι f < θα καείται μέση ή αναμενόμενη τιμή ή πηθυσμιακός μέσος της τ.μ. Χ. Ο παραπάνω ορισμός της μέσης τιμής συμπίπτει και πάι με τον ορισμό του κέντρου βάρους μιας μάζας πιθανότητας κατανεμημένης στον άξονα των πραγματικών με πυκνότητα στο σημείο ίση με f, R. 8

9 Άσκηση. Να βρεθεί η μέση τιμή της τ.μ. Χ με σ.π.π. f, [, ], Σύμφωνα με τον ορισμό θα είναι f d d d ln ln ln ln f /.5 ln 9

10 Σε αρκετές περιπτώσεις ζητείται ο υποογισμός της μέσης τιμής μιας τ.μ. Y g Πρόταση Αν Υ g και Χ είναι μία συνεχής τ.μ. με σ.π.π. f τότε Y g g f d. Π.χ. f d

11 Γενικότερος Ορισμός Μέσης Τιμής - Οοκήρωμα Lebesgue Για οποιαδήποτε μη αρνητική τ.μ. Χ όχι κατ ανάγκη διακριτή ή συνεχής αποδεικνύεται εύκοα ότι μπορεί να κατασκευασθεί μια αύξουσα ακοουθία μη αρνητικών διακριτών τ.μ. Χ, Χ, αμβάνουν πεπερασμένο πήθος τιμών η οποία συγκίνει στην Χ, δηαδή, n ω ω για κάθε ω Το οοκήρωμα Lebesgue της μη αρνητικής τ.μ. Χ ως προς την πιθανότητα P συμβ. με dp και ορίζεται ως το όριο dp lm P n n Το όριο αυτό υπάρχει < ή διότι πρόκειται για όριο αύξουσας ακοουθίας, και είναι μοναδικό. Ως οοκήρωμα Lebesgue μιας τ.μ. με τιμές στο R ως προς την P ορίζεται dp dp. + dp όπου + ma{, } και ma{, } αρκεί να είναι < τα παραπάνω οοκηρώματα

12 Μέση τιμή τώρα μιας τ.μ. πού απά καείται το οοκήρωμα Lebesgue: dp. Ορίζεται όταν ΕΧ +, ΕΧ - < ή ισοδύναμα όταν Ε Χ < Αν η Χ είναι διακριτή τότε αποδεικνύεται ότι dp P ενώ αν η Χ είναι συνεχής τότε αποδεικνύεται ότι dp f d

13 Ιδιότητες μέσης τιμής: Για την μέση τιμή αποδεικνύονται τα ακόουθα: a a, a + b a + b + Y + Y. Αν Χ Υ τότε Y. 5 Θεώρημα μονότονης σύγκισης Αν Χ Χ είναι μία ακοουθία μη αρνητικών τ.μ. που συγκίνει στην τ.μ. Χ τότε lm δηαδή, lm lm n n n n n n 6 Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκισης Αν Χ, Χ, είναι μία ακοουθία τ.μ. που συγκίνει στην τ.μ. Χ και Χ n < Y για κάποια τ.μ. Υ με Y < τότε n n lm δηαδή, lm lm n n n n

14 Διακύμανση ή διασπορά διακριτής τ.μ. Υπάρχουν κατανομές που ενώ έχουν ίσες μέσες τιμές, είναι μεταξύ τους αρκετά διαφορετικές. Π.χ. / / - 5 f / / / - 5 / / / /8 / f Y

15 Θα ήταν οιπόν αρκετά χρήσιμο αν μπορούσαμε να ποσοτικοποιήσουμε τη «διασπορά» αυτή των τιμών της τ.μ. Χ ορίζοντας κάποια νέα παράμετρο της κατανομής F. Έστω Χ μία διακριτή τ.μ. Η ποσότητα V [ ], καείται διασπορά ή διακύμανση της τ.μ. Χ ή της κατανομής της. Η διασπορά ορίζεται όταν ΕΧ <. Η μέση τιμή και η διασπορά μιας τ.μ. Χ συμβοίζονται συνήθως και με μ,σ. Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς σ V καείται τυπική απόκιση της τ.μ. Χ Χ Πρόταση V. V a, V a + b a V. 5

16 Άσκηση Να βρεθεί η διασπορά της κατανομής που περιγράφεται από τον πίνακα f.5... Ποιά είναι η διασπορά των τυχαίων μεταβητών Λύση. Από παραπάνω άσκηση βρήκαμε ότι, ;,., 5 + 8,. 697 α Προκύπτει άμεσα ότι V.. β Επίσης, V V Y Y Y όπου P και άρα V γ V V W W W. 5 6

17 7 Άσκηση Να βρεθούν οι ΕΧ, VΧ της τ.μ. Χ με σ.π.π.,, > > e f Λύση. d e d f. Επίσης, d e e d e d e d f ' ' d e d e και τεικά, V.

18 8 Τυποποιημένες τ.μ. ή κατανομές Μια τ.μ. η οποία έχει μέση τιμή και διασπορά καείται τυπική κατανομή. Είναι ενδιαφέρουσα η παρατήρηση ότι κάθε τ.μ. Χ μπορεί να μετασχηματισθεί έτσι ώστε να είναι τυπική. Συγκεκριμένα, η μετασχηματισμένη τ.μ. σ μ V Y Χ Χ παρατηρούμε ότι έχει σ σ μ, σ μ V Y V Y Χ Χ Χ Χ Για το όγο αυτό η τ.μ. V καείται και τυποποιημένη τ.μ.

19 Μικτές κατανομές Υπάρχουν όμως τ.μ. αντ. κατανομές οι οποίες δεν είναι ούτε συνεχείς ούτε διακριτές, αά μικτές. Στις μικτές κατανομές, η συνοική πιθανότητα μπορεί να θεωρηθεί ότι χωρίζεται σε δύο μέρη, ένα διακριτό και ένα συνεχές. Το ένα μέρος της συνοικής πιθανότητας κατανέμεται σε κάποια σημεία αριθμήσιμου πήθους του R διακριτό μέρος και το υπόοιπο «απώνεται» σε ένα συνεχές διάστημα του R συνεχές μέρος. Μία μικτή τ.μ. W θα έχει σ.κ. της μορφής F W cf + c F όπου F είναι η σ.κ. μιας συνεχούς τ.μ. έστω W, F είναι η σ.κ. μιας διακριτής τ.μ. έστω W και c [,] Για την μέση τιμή της W ισχύει ότι W c W + c. W 9