_Σχήµα 2_. Σελίδα 1 από 5. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση. Άξονας περιστροφής τροχού. Άξονας γύρω από. τον οποίο γίνεται η µεταπτωτική κίνηση

Transcript

1 ιονύσης Μηρόπουλος Κίνηση σερεού Παραηρήσεις ση µεαπωική κίνηση ενός σρεφόµενου ροχού Η ανάρηση αυή έγινε µε αφορµή: 1) Την πολύ καλή και ενδιαφέρουσα ανάρηση ου συναδέλφου Νίκου αµαόπουλου µε ίλο «Μεαπωική κίνηση ροχού σον αέρα» (Ε Ω). 2) ύο παλαιόερες αναρήσεις µου, από ις οποίες η µία παραπέµπει απλώς σε µία από αυές ις όµορφες διαλέξεις ου καθηγηή Walte ewin από ο ΜΙΤ µε θέµα η σροφορµή, η διαήρησή ης και ις µεαπωικές κινήσεις (Ε Ω), και η άλλη ασχολείαι µε ην «Αλλαγή προσαναολισµού ου άξονα περισροφής ενός ροχού» (Ε Ω). Το κοινό θέµα ήαν η συµπεριφορά ενός σρεφόµενου ροχού, αν ασκηθεί κάθεα σον άξονά ου ένα ζεύγος δυνάµεων. Ας υποθέσουµε όι ο ροχός σρέφεαι σε καακόρυφο επίπεδο, ώσε ο άξονάς ου να είναι οριζόνιος και κάθεος σο εν λόγω επίπεδο (χήµαα 1 και 2). ον οποίο γίνεαι η µεαπωική κίνηση Άξονας περισροφής ροχού ον οποίο γίνεαι η µεαπωική κίνηση _χήµα 1 χήµα 2_ ο χήµα 1 κραάµε ον σρεφόµενο ροχό µε α χέρια µας εξουδεερώνονας ο βάρος ου. Κάποια σιγµή µεαβάλλουµε ις δύο δυνάµεις ων χεριών µας καά ώσε να δηµιουργήσουµε ένα καακόρυφο ζεύγος δυνάµεων. Η ροπή ου ζεύγους αυού έχει µέρο και είναι οριζόνια και κάθεη σον άξονα. ελίδα 1 από 5

2 ιονύσης Μηρόπουλος Κίνηση σερεού ο χήµα 2 κρεµάµε ον σρεφόµενο ροχό, µέσω καακόρυφου νήµαος σερεωµένου σο σηµείο, από ην άκρη Ο ου άξονα. Η άση Τ ώρα ου νήµαος µαζί µε ο βάρος ου ροχού δηµιουργούν ο καακόρυφο ζεύγος δυνάµεων, εξαιίας ου οποίου αναπύσσεαι πάλι σον ροχό, όπως και πριν, η ροπή. Και σις δύο περιπώσεις, η ροπή ου ασκούµενου ζεύγους δυνάµεων (ανί όπως ίσως θα περίµενε κανείς, να σρέψει ον άξονα ου ροχού πάνω σο επίπεδο ου ζεύγους και ανίθεα από η φορά ου ρολογιού) αναγκάζει ον άξονα ου ροχού να αρχίσει να σρέφεαι πάνω σο οριζόνιο επίπεδο και συγκεκριµένα σο επίπεδο που ορίζεαι από η σροφορµή ου ροχού και η ροπή ου ζεύγους. Όπως αναφέρει και ο Walte ewin η σροφορµή ου ροχού φαίνεαι να «κααδιώκει» η ροπή ζεύγους, που σρέφεαι και αυή ώσε να παραµένει κάθεη σον άξονα. Ο άξονας ου ροχού σρέφεαι έσι διαρκώς πάνω σο οριζόνιο αυό επίπεδο και α δύο διανύσµαα, παραµένουν συνεχώς κάθεα µεαξύ ους. Η µεάπωση αυή ου ροχού, η περισροφή ου δηλαδή γύρω από ένα νέο καακόρυφο άξονα γίνεαι µε γωνιακή αχύηα ω µε., η οποία µάλισα παραµένει σαθερή, αν η ασκούµενη ροπή ζεύγους έχει σαθερό µέρο. Πράγµαι, όπως αποδείχηκε και σις αναρήσεις που αναφέρθηκαν σην αρχή, d ξεκινώνας από ον γενικευµένο νόµο ου Νεύωνα = µπορούµε να κααλήξουµε dt ση σχέση: ω µε. = ή αλλιώς ω µε. = Ι ω Βλέπουµε δηλαδή όι η γωνιακή αχύηα ης µεάπωσης είναι ανισρόφως ανάλογη µε η γωνιακή αχύηα περισροφής ου ροχού: Όσο πιο γρήγορα σρέφεαι ο ροχός όσο πιο αργά γίνεαι η µεάπωση. Το 1 ο ΘΕΜΑ που αξίζει να σχολιάσουµε σο σηµείο αυό, είναι ο εξής: Το φαινόµενο αυό ης µεάπωσης ου ροχού συµβαίνει σην πραγµαικόηα έσι όπως ο περιγράψαµε µόνο όαν ισχύει: ω µε. << ω. Η συνθήκη αυή αναφέρεαι ση βιβλιογραφία, ονίζεαι και από ον Walte ewin ση διάλεξή ου, αλλά και σην πράξη αν προσπαθήσουµε να κάνουµε ο πείραµα µε ένα ροχό που δεν περισρέφεαι αρκεά γρήγορα (δηλ. σχεικά µικρή ω) όε η µεάπωση είναι γρήγορη και άσαη. ην περίπωση ου χήµαος 2, θα διαπισώσουµε όι ο άξονας ου ροχού «πέφει» γρήγορα είνονας να γίνει καακόρυφος, ενώ σην περίπωση ου χήµαος 1 κινείαι ακανόνισα και κινδυνεύει να µας φύγει από α χέρια. ελίδα 2 από 5

3 ιονύσης Μηρόπουλος Κίνηση σερεού Θα προσπαθήσουµε να δώσουµε µια ποιοική ερµηνεία σο γιαί πρέπει να ικανοποιείαι η συνθήκη ω µε. <<ω αν θέλουµε να έχουµε µια οµαλή µεαπωική κίνηση: ο διπλανό χήµα 3 φαίνεαι µια διαφορεική προοπική ου ροχού ου χήµαος 1. d Από ο νόµο ου Νεύωνα = φαίνεαι όι dt d= dt. ηλαδή ο γινόµενο dt (ώθηση ροπής) εκφράζει η σροφορµή d που µεαφέρεαι σε χρόνο dt σον ροχό. Αν ώρα ισχύει ω µε. <<ω όε µπορούµε χωρίς σφάλµα να θεωρήσουµε ασήµανη η σροφορµή µε. ου ροχού λόγω ης µεάπωσής ου. Έσι η συνολική σροφορµή ου είναι η οριζόνια λόγω ης περισροφής ου. Επειδή η µεαβολή d= dtείναι κι αυή οριζόνια και κάθεη σην, ελικά η µεάπωση γίνεαι γύρω από ον καακόρυφο άξονα 1. Αν όµως δεν ικανοποιείαι η συνθήκη ω µε. <<ω όε δεν µπορεί να αγνοηθεί η σροφορµή και η µεάπωση γίνεαι γύρω από άλλο σιγµιαίο άξονα 2, κάθεο σα µε. διανύσµαα ολ και. Αυός ο νέος άξονας όµως δεν έχει σαθερό προσαναολισµό, µε αποέλεσµα να µην έχουµε πλέον οµαλή µεάπωση αλλά ην ακανόνιση κίνηση ή ο «πέσιµο» ου ροχού. ολ Άξονας 1 µε Άξονας 2 χήµα 3 Το επόµενο θέµα σχείζεαι µε ην περίπωση ου χήµαος 2, όπου έχουµε εξαρήσει µόνο ο ένα άκρο Ο ου άξονα ου σρεφόµενου ροχού σο κάω άκρο ου καακόρυφου νήµαος. ην περίπωση αυή, όπως φαίνεαι σο χήµα 2, η µεάπωση ου ροχού γίνεαι γύρω από καακόρυφο άξονα που διέρχεαι από εκείνο ο σηµείο σήριξης που είναι αναγκασµένο να παραµείνει ακίνηο και όχι γύρω από άξονα που περνάει από ο κένρο µάζας Κ ου ροχού. ην περίπωση αυή ο κένρο µάζας ου ροχού κινείαι µεαφορικά διαγράφονας κυκλική ροχιά. Είναι εποµένως απαραίηο να εµφανισεί κάποια ακινική δύναµη που να καευθύνεαι προς ο κένρο ης ροχιάς, ώσε να παίξει ο ρόλο ης απαραίηης κενροµόλου δύναµης. (Α) Αν είχαµε σηρίξει ο άκρο Ο σε µια ακλόνηη άρθρωση (που να επιρέπει βέβαια ην περισροφή περί ο Ο), όε η ανίδραση ης άρθρωσης θα µπορούσε να εµφανίσει ην απαραίηη ακινική συνισώσα. (Β) Το καακόρυφο νήµα όµως δεν µπορεί να κάνει κάι έοιο. ελίδα 3 από 5

4 ιονύσης Μηρόπουλος Κίνηση σερεού ην περίπωση αυή, όπως πολύ σωσά παραηρεί ο συνάδελφος Νίκος και αναλύει διεξοδικά σην ανάρησή ου, ο ροχός µε ην αδράνειά ου αναγκάζει ο νήµα να πάρει κλίση. ον οποίο γίνεαι η µεαπωική κίνηση Όπως φαίνεαι και σο χήµα 4, η άση ου νήµαος δίνει ώρα ακινική συνισώσα, η οποία παίζει ρόλο κενροµόλου δύναµης. Ο καακόρυφος άξονας ης µεαπωικής κίνησης διέρχεαι ώρα από ο επάνω σηµείο πρόσδεσης ου νήµαος και ο νήµα διαγράφει µια κωνική επιφάνεια που ο άξονάς ης συµπίπει µε ον άξονα µεάπωσης. Τροχιά ου Ο χήµα 4 Και σις δύο αυές περιπώσεις όµως (Α) και (Β), ίθεαι ο ερώηµα: Ποια δύναµη ανάγκασε ο κένρο µάζας ου ροχού να κινείαι µεαφορικά; Αυό ακριβώς είναι ο 2 ο ΘΕΜΑ σο οποίο θα προσπαθήσουµε να δώσουµε µια ποιοική ερµηνεία. Ας δούµε πρώα ην περίπωση (Β) µε ο νήµα. Μόλις κρεµάσουµε ον σρεφόµενο ροχό σο καακόρυφο νήµα (σηµείο Ο), η άση Τ ου νήµαος µαζί µε ο βάρος ου ροχού δηµιουργούν όπως είπαµε ένα ζεύγος δυνάµεων, η ροπή ου οποίου είναι ελεύθερο διάνυσµα. Ο ροχός λοιπόν θα προσπαθήσει κα αρχήν να κάνει µεάπωση γύρω από άξονα ελάχισης ροπής αδράνειας, άξονα δηλαδή που να περνάει από ο κένρο µάζας ου ροχού (Άξονας 1 όπως και σην περίπωση ου χήµαος 1). Το κρεµασµένο άκρο Ο θα µεαοπισεί όε προς σιγµήν ση θέση Ο όπως φαίνεαι σο διπλανό χήµα 5, πάνω σο Άξονας 1 Άξονας 2 χήµα 5 (Ε) ελίδα 4 από 5

5 ιονύσης Μηρόπουλος Κίνηση σερεού επίπεδο (Ε) που είναι κάθεο σον άξονα ου ροχού. Έσι, η άση Τ ου νήµαος θα αποκήσει οριζόνια συνισώσα κάθεη αρχικά σον άξονα ου ροχού. Η συνισώσα αυή είναι που θα προσδώσει µεαφορική αχύηα σο κένρο µάζας, για να περάσουµε ση συνέχεια σην ελική καάσαση ου χήµαος 4 και ο κένρο µάζας να διαγράφει ην κυκλική ου ροχιά. Τι γίνεαι όµως σην (Α) περίπωση που ο άκρο Ο είναι σερεωµένο σε µια ακλόνηη άρθρωση; Άξονας 1 Άξονας 2 ον οποίο γίνεαι η µεαπωική κίνηση Ο ροχός θα προσπαθήσει πάλι µε ην επίδραση ου ζεύγους ων δυνάµεων Ν και να κάνει αρχικά µεάπωση γύρω από άξονα ελάχισης ροπής αδράνειας, που να περνάει από ο κένρο µάζας (Άξονας 1). Αυό θα προκαλέσει ην ανίδραση ης άρθρωσης µε µία συνισώσα F 1 οριζόνια και κάθεη σην άξονα ου ροχού, η οποία θα προκαλέσει όπως και πριν η µεαφορική κίνηση ου κένρου µάζας. αδιακά η συνισώσα αυή θα σραφεί ακινικά (F 2 ) ώσε να παίζει ρόλο κενροµόλου δύναµης. N F 1 F 2 χήµα 6 ΠΑΡΑΤΗΡΗΗ: Το φαινόµενο αυό καά η διάρκεια ου οποίου αναπύσσεαι η δύναµη F 1 από ην άρθρωση είναι µία περίπωση «ήπιας κρούσης» µεαξύ ου άκρου µιας σρεφόµενης ράβδου µε ένα ακίνηο σώµα πολύ µεγάλης µάζας. (ην περίπωσή µας ου άκρου Ο ου άξονα µε ην ακλόνηη άρθρωση µπορείε να δείε αν σας ενδιαφέρει και ην επόµενη ανάρησή µου µε θέµα: «Ελασική κρούση σρεφόµενης ράβδου µε ακίνηο σώµα»). ελίδα 5 από 5