ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi, R α) Να αποδείξετε ότι: 4 8 4ν z z z z * * Im(z ), νν,r ν 4ν ± iz iz iz i z β) Να βρείτε τους μιγαδικούς που έχουν την παραπάνω μορφή και επαληθεύουν την εξίσωση: z z z i γ) Αν z, z οι λύσεις της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι: i) z z 4 4 ii) z z z z z z iii) z z i 4 4 ΛΥΣΗ α) Είναι: 5 4+ i i i, 9 4 i i i,.., 4ν 4(ν)+ i i i και οπότε έχουμε: z (i) i i 4 8 4ν z z z z iz i z i z i z ν 4ν 6 4ν z z z z z i z z z z 6 4ν z i i i Im(z ) -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 β) Είναι: οπότε έχουμε: z zz (i) i i ) ) z z z i ( i i ( i i ( ) ( ) i ( ) ( ) Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι: z (i) και z (i) γ) i) Είναι: οπότε έχουμε: ii) Είναι: iii) Είναι: 4 z (z ) (i) (i ) 4i z (i) z () z z ) z () z z z z z z z z z z z z () z z z ) z ) z z ) z z z z z z z () z z z z z z 5 () και οπότε έχουμε: (i) (i ) i i () () z z ) z i z z ( i)+( i) i 4 4 () -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : α) Να λύσετε την εξίσωση 4w w, w C Θεωρούμε επιπλέον τους μιγαδικούς αριθμούς z, z οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z z z () και 4 () z z β) Να αποδείξετε ότι z γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που έχει κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών, z και z είναι ορθογώνιο. δ) Να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του παραπάνω τριγώνου. ΛΥΣΗ α) Η εξίσωση 4w w έχει διακρίνουσα 44 και οι λύσεις της είναι: w i 4 4 z β) Θέτουμε w z. Επειδή z θα είναι z, άρα w, οπότε η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: z 4w 4w w w i i w 4 4 z 4 4 z z Άρα i, επομένως z z 4 4 z γ) Αν Ο, Α και Β είναι οι εικόνες των, z και z, τότε έχουμε: (OΑ) z, Επίσης είναι: Οπότε: Παρατηρούμε ότι: (OB) z 4 4z z zz (z z ) z z z z z z (ΑΒ) (ΑΒ) (OB) (OΑ) (ΑB), οπότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο. δ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ OBA και AOB 6 OΑΒ =9 είναι (OB) (OA), οπότε θα έχουμε -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : α) Για δύο οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς w και w να αποδείξετε ότι ισχύει w w w w w w β) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση zi ΛΥΣΗ i) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z ii) Αν z, z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου για τους οποίους ισχύει z z, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης z z 4i α) Είναι: w w w w w w w w w w w w w ww w w ww w ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww w w β) i) Έστω z yi,,y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M(, y) Είναι zi zi (ΜΚ), όπου Μ(z) η εικόνα του z και Κ(,) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z απέχει από το σταθερό σημείο Κ(,) σταθερή απόσταση Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(,) και ακτίνα ρ, που έχει εξίσωση zi ii) Επειδή οι μιγαδικοί z, z ικανοποιούν τη σχέση zi, θα ισχύει: z i και z i Θέτοντας w z i και w z i στην ισότητα του (α) ερωτήματος διαδοχικά έχουμε: z i z i z i z i z i z i z z 4i z z = z z 4i 4 zz 4i -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 4ο : Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z,w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z i i z 6 () και w zi () α) Να αποδείξετε ότι z β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός γ) Να αποδείξετε ότι 48 u 4 4 uz είναι πραγματικός. z δ) Αν w,w είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση (), τότε να ΛΥΣΗ αποδείξετε ότι ww 8 α) Από τη σχέση () έχουμε: β) Είναι: z i i z 6 z i iz 6 z i iz 6 z i iz 6 z i z i iz 6iz 6 9 z 6iz 6iz 4 z 6iz 6iz 6 8z z 4 z 4 z z 4zz 4 z () z Οπότε αν z yi με,y R, τότε έχουμε: Επομένως u R 4 () u z (z z) (yi) z ( y) i ( y) i ( y) R γ) Είναι: Άρα: 4 () 4 u z (zz) zz z z 4 z 48 u ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 δ) Είναι w zi και w zi, όπου οι μιγαδικοί αριθμοί z, z ικανοποιούν τη σχέση (), οπότε θα ισχύει ότι z z. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z,z ανήκουν στον κύκλο με κέντρο το σημείο (,) και ακτίνα, οπότε ισχύει zz 4 Είναι: w w ziz i i z z i z z z z z z 4 8 ΘΕΜΑ 5ο : α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z που ικανοποιούν τη σχέση z zi z z i είναι ο κύκλος C: y β) Έστω z ένας μιγαδικός αριθμός του οποίου η εικόνα ανήκει στον κύκλο C. Να αποδείξετε ότι: i) w z w 5z για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό w ii) z z 4 γ) Έστω u, v δύο μιγαδικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μιγαδικός αριθμός z o με εικόνα στον κύκλο C, ώστε να ισχύει ΛΥΣΗ α) Είναι: o z uz v z zi z z i z zi z zi o αφού zi z zi zi z z i z z z z i z (), Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Ο(, ) και ακτίνα C: y β) i) Για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό w έχουμε: 5 w z w 5z w z w z 5 5 wz w z (wz) (w z) z Επομένως wz w5z -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

7 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ii) Είναι: z z z z 4 οπότε απομένει να αποδείξουμε το αριστερό μέλος της ζητούμενης ανισοτικής σχέσης. Ισχύει: z z zz z(z ) z z () Επειδή z από τη σχέση () προκύπτει ότι Είναι προφανές ότι z z z (4) με,y, Αν z yi τότε έχουμε: z z y (5) () z z z () z () y y () (6) z () y y () (7) Από τις σχέσεις () και (6) προκύπτει ότι: z z (8) Από τις σχέσεις (4) και (7) προκύπτει ότι : z z (9) Αν, από τη σχέση (8) έχουμε: z z Αν, από τη σχέση (9) έχουμε: Επομένως είναι: z z z z 4 γ) Έστω ότι για κάθε z C με z ισχύει: z uz v () Αν στη σχέση () θέσουμε διαδοχικά z και z έχουμε: uv και uv οπότε uv uv ( uv) ( uv) v v v () Αν στη σχέση () θέσουμε διαδοχικά z i και z i έχουμε: uiv και uiv οπότε (5) (5) uiv uiv ( uiv) ( uiv) v v v () Από τις σχέσεις () και () συμπεραίνουμε ότι: v v (v ) (v ) που είναι άτοπο. Άρα υπάρχει zo C με z o, ώστε να ισχύει z uz v o o -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 6ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύει: i zi 5 και wi iz i α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z. Στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του Re(z) β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w γ) Για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w των ερωτημάτων (α) και (β) να αποδείξετε ότι: z w και 6 z w 6 δ) Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς z, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός k z z z i z i είναι πραγματικός και ισχύει k 4 ΛΥΣΗ α) Είναι: οπότε i i 5 i i zi zi 5 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ, και ακτίνα ρ Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z ισχύει Re( z) κέντρου του κύκλου Κ, ρ και ρ Είναι: Re(z) κ ρ κ ρ Re(z) κ ρ Re(z) Re(z) 5 ρ 5, όπου κ η τετμημένη του Άρα η ελάχιστη τιμή του Re( z) είναι το και προκύπτει αν z i, ενώ η μέγιστη τιμή του είναι το 5 και προκύπτει αν z 5 i Σημείωση: Είναι: οπότε z yi ( ) (y ) z i Άρα η ελάχιστη τιμή του Re( z) είναι το και προκύπτει αν z i, ενώ η μέγιστη τιμή του είναι το 5 και προκύπτει αν z 5 i -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

9 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 β) Είναι: w i iz i (w i) i(z i) α) w i i z i w i w i w ( i) Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το Κ, και ακτίνα σημείο γ) ος τρόπος: Για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w των ερωτημάτων (α) και (β) έχουμε: zw z (i) w (i) u v όπου u z ( i) και v w ( i) με u και v Ισχύει: z w u v u v και z w u v u v Άρα z w ος τρόπος: Γεωμετρικά (Υπόδειξη) Μπορούμε να αποδείξουμε την παραπάνω ανισότητα και γεωμετρικά μέσω της τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο ΚΜΝ του παρακάτω σχήματος. ος τρόπος: Είναι: z w Ισχύει: και Άρα z ( i) w ( i) 6 i u v 6( i) z w u v 6( i) u v 6( i) 6 6 zw uv6(i) 6(i) uv 6(i) u v z w 6-5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

10 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ος τρόπος : Γεωμετρικά (Υπόδειξη) Είναι: z w z ( w) (MN) ( Δ) 6 και Άρα z w z ( w) (MN) 6 δ) Θέτουμε u z ( i), τότε έχουμε: u z ( i) () και Αν 4, διότι u u 4 uu 4 u () u z,z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς z, τότε: k z z z i z i ziz i zi z i () 4 4 u u u u u u 4 u u uuuu uuuu u u Άρα ο αριθμός k είναι πραγματικός και ισχύει: k uu και 4 () k uu u u () Δηλαδή k 4 ΘΕΜΑ 7ο : Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: iz 8 iz α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(, ) και ακτίνα ρ β) Αν οι εικόνες των μιγαδικών z, z είναι σημεία του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου και ισχύει zz για κάθε R, να αποδείξετε ότι Re(zz ) γ) Έστω πραγματικός αριθμός α με α (,). Αν z μιγαδικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει: 4 z αz 8αz6 () να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού z: i) Ανήκει στο γεωμετρικό τόπο του (α) ερωτήματος ii) Δεν ανήκει στους άξονες και yy -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

11 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ α) Είναι: iz 8 iz iz 8 4 iz (iz 8) ( iz 8) 4(iz ) ( iz ) (iz 8)( i z 8) 4(iz )( i z ) z iziz6 z iziz 5 z 6 z 4 z Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(, ) και ακτίνα ρ β) Είναι: οπότε έχουμε: z και z z z z z z z z z z z z z z z z zz z 4 (zz zz 4 zz zz 4 Re(z z, για κάθε R Επομένως για τη διακρίνουσα του τριωνύμου 4 Re(zz ισχύει: Δ < 4 Re(z z 6 Re(z z 4 Re(z z γ) i) ος τρόπος: ( Αν z μιγαδικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει η σχέση (), τότε έχουμε: Άρα 4 z αz 8αz 6 z zα) 8(αz ) z zα 8 αz () Αν υποθέσουμε ότι z, τότε Επειδή α (,) το z 8 και από τη σχέση () έχουμε: zα αz zα αz ) ) z α) z α αz ) αz z α) z α) αz ) α z ) z αzαz 4α α z αzαz 4 α ) z 4α ) α ) z 4) () α και από τη σχέση () προκύπτει ότι: z 4 z 4 z, που είναι άτοπο, αφού z -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

12 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Αν υποθέσουμε ότι z, τότε ομοίως προκύπτει z, που είναι επίσης άτοπο. Επομένως υποχρεωτικά ισχύει ότι z, άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, για τους οποίους ισχύει η σχέση () ανήκουν στο κύκλο C: y 4, δηλαδή στο γεωμετρικό τόπο του (α) ερωτήματος. ος τρόπος: Αν υποθέσουμε ότι z, τότε από την () έχουμε 6, που είναι άτοπο. Για z έχουμε: z 4 8α z αz 8αz 6 z αz z z (4) z z z z 4 Αν θέσουμε z u (5), τότε έχουμε: z z u z z u z u 8, z z z z οπότε η (4) ισοδύναμα γράφεται: (u 8) u u u 8 (6) Είναι: 4α 4(α 8) Οπότε οι ρίζες της εξίσωσης (6) είναι: α 8 u α 8 Επομένως η εξίσωση (5) ισοδύναμα γράφεται: Είναι: (7) (7) z uz4 z α 8 z4 (8) α 8 6 α α 8 α 8 6 α 4 α 8 Από τη σχέση < α < έχουμε: οπότε και α <4α 4< α 8<α α 8< α 8 α 8< α α 8< α 8 α 4 α 8 α 8 α 4 α 8 α 8 Άρα σε κάθε περίπτωση είναι Οπότε οι ρίζες z, z της εξίσωσης (8) είναι μιγαδικοί συζυγείς με z z 4 Επομένως έχουμε: z z 4z z 4 z 4 z Άρα για κάθε ρίζα z της εξίσωσης ισχύει ότι z, οπότε οι εικόνες όλων των μιγαδικών z, για τους οποίους ισχύει η σχέση () ανήκουν στο κύκλο C: y 4, δηλαδή στο γεωμετρικό τόπο του (α) ερωτήματος. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ii) Αν y, τότε zi R (πραγματικός αριθμός) και επειδή z z Για z έχω: 4 α 8α 6α, που είναι άτοπο, αφού α (,) Για z έχω: 4 α 8α ( ) 6α, που είναι άτοπο, αφού α (,) Άρα y Αν, τότε z yi yi I (φανταστικός αριθμός) και επειδή z z i Για z Για z i έχω: 4 (i) α (i) 8α i i α i 8α i 6 6 6αi6αi 6, που είναι άτοπο. i έχω: 4 ( i) α ( i) 8α ( i) i α i 8α i 6 6 6αi6αi 6, που είναι άτοπο. Άρα Επομένως οι μιγαδικοί που ικανοποιούν τη σχέση () είναι της μορφής yi με y ΘΕΜΑ 8ο : Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα, με f() και f(). Θεωρούμε επίσης τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση zi z. Να αποδείξετε ότι: α) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο επίπεδο είναι η ευθεία y β) Υπάρχει ακριβώς μια τιμή του Re(z) τέτοια, ώστε ο αριθμός wz z να είναι πραγματικός. γ) f( z ) Re(z),, αν ΛΥΣΗ α) Έστω z yi,, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M (, y). Είναι: zi z yii yi (y)i yi (y ) y (y ) y y 4y4 y 4y4 4y 4 y -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

14 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 β) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z είναι σημεία της ευθείας y, άρα είναι z i, R Είναι: i w z z ( i) ( i) i ( i)( i) Είναι: i i i wr () Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση () έχει μια ακριβώς ρίζα ως προς στο R, αφού Re(z) Θεωρούμε τη συνάρτηση Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη με Για κάθε R Έχουμε: είναι g() g(), R g () 6, R, οπότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο R g συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R lim g() lim lim και lim g() lim lim Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι g(r) R g( ξ ) και μάλιστα είναι μοναδικό, αφού η g είναι γνησίως αύξουσα., οπότε υπάρχει ένα ξ R τέτοιο, ώστε γ) Έχουμε z, οπότε αρκεί να δείξουμε ότι f Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο, με f() f(), επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, Από υπόθεση γνωρίζουμε ότι Re(z),, οπότε έχουμε: f f() f f() f ΘΕΜΑ 9ο : I) Να αποδείξετε ότι για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς z,w ισχύει η σχέση: zw z w Re(zw) II) Δίνονται: η γνησίως μονότονη συνάρτηση f:r R με f(r) R και οι μιγαδικοί αριθμοί z f()i και w f () i -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Αν ισχύει z w Re(zw), τότε να αποδείξετε ότι: α) z w β) Οι συναρτήσεις f και g με g() f( f()), R, είναι γνησίως φθίνουσες. γ) Ισχύει η ισοδυναμία: f () f () g(), R δ) Αν επιπλέον η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ (, 4) και ξ (, ) τέτοια, ώστε f (ξ ) g (ξ ) ΛΥΣΗ I) Είναι: II) α) Είναι: zw zw zw zw zw zzzwzwww z w zwzw) z w zwzw z w Re zw) () z w Rezw) z w Rezw) zw zw zw z w β) Είναι: f() f() z w f ()i f () i f () f() Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, επομένως ή θα είναι γνησίως αύξουσα ή θα είναι γνησίως φθίνουσα. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε: f f() f() που είναι άτοπο. Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. f Για τυχαία, Rμε < f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Είναι: f < < f ( ) f f f f f f f f f Είναι: f f f f Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Για κάθε R έχουμε: () f f f f g > g f () f () f f () f f () g() δ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, επομένως ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα, 4, οπότε θα υπάρχει ξ (, 4) τέτοιο, ώστε -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

16 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 f(4) f() f(4) f() f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ) f(4) f() 4 Για κάθε R είναι: g() f f () Η συνάρτηση f() είναι παραγωγίσιμη στο R, ως διαφορά παραγωγισίμων συναρτήσεων, οπότε η συνάρτηση f f() είναι παραγωγίσιμη στο R, ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R, ως διαφορά παραγωγισίμων συναρτήσεων. Επομένως η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα,, οπότε θα υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε Για Για g() g() g( ξ ) g( ξ ) g() g() είναι g() f f() f(4) f(), οπότε f () g() (4) είναι g() f f () f (6) f (4), οπότε f(4) g() (5) Αν αφαιρέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε: f ( ξ ) g( ξ ) f (4) f () g() g() (4),(5) f ξ g ξ f (4) g() f () g() f ( ξ ) g( ξ ) f( ξ ) g( ξ ) () () ΘΕΜΑ ο : α) Να λύσετε την εξίσωση z 6συνθz + 5συν θ 4, όπου θ R β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών z, z της εξίσωσης κινούνται πάνω στην έλλειψη y για τις διάφορες τιμές του θ R 9 4 γ) Για, 4 να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z z δ) Αν και z η ρίζα της εξίσωσης με Im(z ), να βρείτε τιμές του ν N, ώστε ε) Αν A(, ) και C το τμήμα της έλλειψης που ορίζεται από τα σημεία (,y ) με, και y, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της C, που απέχει από το Α ελάχιστη απόσταση και ένα τουλάχιστον σημείο της C που απέχει από το Α μέγιστη απόσταση ν z R -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

17 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ α) Έχουμε: Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι: 6 i4 z, i β) Αν z, yi,, y R Είναι:, τότε: y y () y 9 4 Επομένως οι εικόνες των ριζών z, z της εξίσωσης κινούνται πάνω στην έλλειψη για τις διάφορες τιμές του R () y, 9 4 γ) Έχουμε: Είναι: Άρα z z 4i 4, 4 4 zz, οπότε η μέγιστη τιμή του z z είναι 4 δ) Για Για Για Για Για έχουμε z i, άρα z * 4, N έχουμε * 4, N έχουμε * 4, N έχουμε i z R z i R z R * 4, N έχουμε z i R Άρα ε) Έχουμε: *, N 49 y y y 6 y y y ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

18 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Αν M,y σημείο του C,τότε: d, y 9 f() 9 Η συνάρτηση είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων, άρα από το Θεώρημα Μέγιστης Ελάχιστης Τιμής θα υπάρχουν,, τέτοια, ώστε: m f( ) και M f( ), με m f M Άρα υπάρχουν σημεία του C, που απέχουν ελάχιστη και μέγιστη απόσταση από το σημείο Α. ΘΕΜΑ ο : Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z Rez () w wi 8 () wu () α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι η παραβολή με εξίσωση y 4 β) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι η ευθεία (ε) με εξίσωση y γ) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u είναι ο κύκλος με κέντρο Κ, και ακτίνα ρ, με εξαίρεση το σημείο του O(,) δ) Να βρείτε σημείο της παραβολής, το οποίο απέχει ελάχιστη απόσταση από την ευθεία (ε) ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός z με z u Im z ΛΥΣΗ και α) Θέτουμε z yi με,y R και από τη σχέση () ισοδύναμα έχουμε: yi () y () y y y 4, Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι η παραβολή με εξίσωση β) Θέτουμε w α βi με α,β R και από τη σχέση () ισοδύναμα έχουμε: αβi αβii 8 (α ) β α (β ) 8 α 4α 4 β α β 4β 484α 4β 8αβ y 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι η ευθεία με εξίσωση y -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

19 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 γ) Θέτουμε u yi με,y R και από τη σχέση () ισοδύναμα έχουμε: u ( yi) y w αβi αβi α και β u yi y y y Όμως αβ, άρα έχουμε: y y y y y y y y Για y επαληθεύεται η εξίσωση, όμως τότε u, άτοπο. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών u είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο με εξαίρεση το σημείο του O(,) δ) ος τρόπος: Αν K, και ακτίνα ρ, Μ,y σημείο της παραβολής,τότε η εξίσωση εφαπτομένης της στο Μ είναι: yy yy με λεφ y Αν η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) τότε: λεφ y και y Άρα το σημείο M,, απέχει ελάχιστη απόσταση από την ευθεία (ε), (απόσταση παραλλήλων ευθειών). ος τρόπος: Αν Μ,y είναι σημείο της παραβολής, τότε: dm,ε y y y 4y 8 y 4 y 4y8 4 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση f(y) y 4y8, y R. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε y R έχουμε: f(y) y 4 Είναι: f(y) y4 y f(y) y4 y Το πρόσημο της f(y) καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. + f (y) + f(y) ελαχ. Η συνάρτηση f παίρνει ελάχιστη τιμή για y. Για y είναι απέχει ελάχιστη απόσταση από την ευθεία (ε)., οπότε το σημείο M, -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

20 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ε) Λύνουμε το σύστημα: y 4 y 4 y y y y y (4) 5 (5) Επειδή y από τη σχέση (4) συμπεραίνουμε ότι Για η σχέση (5) ισοδύναμα γράφεται: 5 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση g() 5, Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, με Είναι: για κάθε, g() Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Α, Έχουμε: και lim g lim 5 lim g lim 5 Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι g(α), 5 g(), Το g(α) και η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Α, οπότε η εξίσωση g() έχει μοναδική ρίζα στο A, Συνεπώς υπάρχει μοναδικός μιγαδικός z με z w και Imz ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η συνάρτηση f() α β γ όπου α, β, γ R για τους οποίους ισχύει β αγ α) Να αποδείξετε ότι η f() έχει δύο μιγαδικές ρίζες z, z z z β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w είναι πραγματικός και μικρότερος της μονάδας. z z γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() e,. Να αποδείξετε ότι: i) Υπάρχει μοναδικό o ( ) τέτοιος, ώστε να ισχύει f()g() o o α g()f( ii) Η συνάρτηση o) α h() είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα του πεδίου f( o)( o) ορισμού της. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

21 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ α) Είναι α, διότι αν ήταν α, τότε από τη σχέση β αγ προκύπτει β που είναι άτοπο, αφού β R. Άρα το f() είναι τριώνυμο ου βαθμού, για τη διακρίνουσα Δ του οποίου έχουμε: οπότε Δβ 4αγ και β αγ Δ αγ 4αγ Δ αγ Δ αφού β αγ αγ αγ Επομένως η εξίσωση έχει δύο μιγαδικές (συζυγείς) ρίζες z, z β) Ισχύουν: Επίσης οπότε Επιπλέον οπότε β γ zz και z z α α β γ z z (z z ) z z α α β γ z z z z α α β αγ w R z γ z zz αγ α β αγ αγ αγ αγ w αγ αγ αγ w γ) i) Είναι: f () g() α (α β γ)e α β γ α β γ αe e α α β γ Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση e έχει μοναδική θετική λύση o. α α β γ Θεωρούμε τη συνάρτηση φ() e, α α Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο [, ) και παραγωγίσιμη στο (, ) με β γ φ () e α α β γ Η διακρίνουσα Δ του τριωνύμου α α είναι: β γ 4 Δ 4 (β αγ) α α α και επειδή ο συντελεστής του, στο τριώνυμο, είναι θετικός έχουμε: β γ α α για κάθε -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

22 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Επιπλέον e για κάθε, οπότε φ () στο (, ). Άρα η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και φ() αφού lim φ() lim e + + β α γ α β γ α α lim lim + + και lim e + Επομένως για το σύνολο τιμών της φ έχουμε φ [, ) [, ). Το ανήκει στο σύνολο τιμών της φ και φ() μάλιστα μοναδικό, αφού η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα, ώστε, οπότε θα υπάρχει o (, ) και ( o) Δηλαδή θα υπάρχει μοναδικό o (, ) τέτοιος, ώστε f( o) g( o) () ii) Το πεδίο ορισμού της h είναι Α h (, o) ( o, ). Η συνάρτηση h της οποίας ο τύπος γράφεται () g()f( o) α g()f() o g()f() o o g() g() o h() = = = f()() f()() o o o o o είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της με g ()( o) g() g( o) g() g( o) h() g() ( o) o o Έστω o, τότε στο διάστημα o, η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του g() g( o) Θ.Μ.Τ. Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( o, ) τέτοιο, ώστε g(ξ ) () o Από τις σχέσεις () και () έχουμε: Η g είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με g() e e e και h () g () g (ξ ) g () e e () e για κάθε o o Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για κάθε έχουμε g () g (ξ ) και κατά συνέπεια h() (g() g(ξ )) για κάθε o Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα o ( o, ) Έστω o, τότε στο διάστημα, o η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του g() g( o) Θ.Μ.Τ. Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, o) τέτοιο, ώστε g(ξ ) (4) () o -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Από τις σχέσεις () και (4) έχουμε: Η g είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με g() e e e και h () g () g (ξ ) g () e e () e για κάθε o) o Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα, οπότε για κάθε έχουμε g() g(ξ ) και κατά συνέπεια h() (g() g(ξ )) για κάθε o) Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα o (, o) ΘΕΜΑ ο : Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: zw i z w α) Να αποδείξετε ότι Im(zw) β) Να αποδείξετε ότι z w Re(zw) γ) Αν z w Re(z w), να αποδείξετε ότι z w z w δ) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης z w Re(zw) ΛΥΣΗ α) ος τρόπος: Είναι: zw i z w zw i z w (zw i) zw i z w (zw i) zw i z w (zw i) z w i z w z w i z w i zw 4 z w i (zw zw) 4 i zw zw 4 i i Im(zw) 4 4Im(zw) 4 Im(zw) -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

24 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ος τρόπος: Είναι: zw i z w zw i z w zwu z w i zw u i u u i) u i) Άρα η εικόνα του μιγαδικού u κινείται στη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΟA με Ο(,) και A(,), δηλαδή στην ευθεία με εξίσωση y, οπότε Im(u) Im(zw) β) Είναι: Im(zw) Άρα: zw i με R () Από τη σχέση () και επειδή z έχουμε i w με R, οπότε είναι: z Άρα έχουμε: i i w w w () z z z () z w Re(zw) z z 4 z z z 4 y z z z y y () Η παράσταση y y Δ είναι τριώνυμο ως προς y με διακρίνουσα: ( ) ( ) Άρα η ανισότητα () αληθεύει για κάθε,y R, οπότε ισχύει z w Re(z w) γ) Αν υποθέσουμε ότι Δ, τότε από το (β) ερώτημα προκύπτει ότι που είναι άτοπο, άρα υποχρεωτικά είναι Δ z w Re(z w), -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

25 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Έχουμε: Είναι: Δ ( ) (4) z w Re(zw) y y και δεδομένου ότι Δ, προκύπτει ότι: (4) y z y y y z (5) Από τη σχέση () έχουμε: w (),(5) w w w z (6) Από τις σχέσεις (5) και (6) έχουμε: δ) Είναι: z w z w z w z w Re(zw) z w Re(zw) () zw zw Re(zw) Θεωρούμε συνάρτηση Για κάθε Rείναι: f(), R Είναι: ( ) f() ( ) ( ) f() f() ή Επίσης έχουμε: f f() lim f () lim lim -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

26 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Το πρόσημο της f() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. f() + + f() μεγ. ελαχ. Η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο με τιμή f και ελάχιστο στο με ελάχιστη τιμή f(), άρα για κάθε R είναι f() z w Άρα η ελάχιστη τιμή της παράστασης είναι και η μέγιστη τιμή της είναι z w Re(zw) ΘΕΜΑ 4ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: z 4i z 4i 58 α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος με εξίσωση y 9 και να βρείτε τα κοινά σημεία του με τον άξονα yy 9 β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός wz είναι πραγματικός και για κάθε w ισχύει 6w 6 z γ) Αν z, z και z είναι τρεις από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να αποδείξετε ότι: zz zz zz zz z δ) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί v, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: vσυνθ iημθ =z(w z) z(wz) z w, π όπου θ R και θκπ, κ Z i) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών v ανήκουν στην υπερβολή C: y 9 ii) Να βρείτε τα σημεία της υπερβολής ΛΥΣΗ το σημείο Α(,) Έστω z yi με,y R α) Έχουμε: z4i z4i 58, που απέχουν ελάχιστη απόσταση από 9 C: y -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

27 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 yi4i yi4i 58 (y 4)i (y 4)i 58 y 4) (y 4) y 8y y 8y 6 58 y 8 y 9 C: y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(,) και ακτίνα ρ Για έχουμε: y y y ή y Οπότε τα κοινά σημεία του γεωμετρικού τόπου με τον άξονα yy είναι τα A(,) και B(, ) β) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(,) και ακτίνα ρ, άρα ισχύει: 9 9 z z 9 zz 9 z ή z z z () Ισχύει: () 9 9 w z z w z z Άρα ο w είναι πραγματικός αριθμός. Επίσης έχουμε: () 9 w z zz Re(z) () z () Ισχύει z, οπότε Re(z) 6 Re(z) 6 6 w 6 γ) Για τους μιγαδικούς z,z και z ισχύουν οι σχέσεις: Είναι: zz 9 z, zz 9 z και zz 9 z z z z zz z zz z zz z z z z zz zz zz zzzz zz z z z z z z z z z Δείξαμε ότι: Άρα έχουμε: 9 z z z z z z z z z z z z z z z zz zz zz zz zz zz zz z -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

28 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 δ) i) Έχουμε: v i z(w z) z(w z) z w v i z w z z z w z z z z w v i z w z w w v i z w z w w w v i w (z z w) v i ( ) v i v i () π Επειδή θ R και θ κπ+, κ Z συμπεραίνουμε ότι, οπότε διαιρώντας και τα δύο μέλη της σχέσης () με ισοδύναμα έχουμε: v i v i Αν θέσουμε v i με α, β R, τότε έχουμε: και Ισχύει: Οπότε έχουμε:, θ R με π θ κπ+, κ Z 9 9 Άρα οι εικόνες των μιγαδικών v ανήκουν στην υπερβολή C: y 9 ii) Έστω M(, ) σημείο της υπερβολής C: y 9 Η απόσταση του σημείου (,) από το σημείο M(, ) είναι: d(a,m) d 6 9 (4) Επειδή το σημείο M(, ) C έχουμε: Με αντικατάσταση του στη σχέση (4) έχουμε: d Θεωρούμε τη συνάρτηση d 6 8, β R -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

29 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Για κάθε βr είναι: ( 68) 6 d( ) Είναι: d d Το πρόσημο της d( ) καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης d φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. β d d( ) Ελάχιστο Η συνάρτηση d παρουσιάζει ελάχιστο για β Βρίσκουμε τις τετμημένες των σημείων της υπερβολής με τεταγμένη β Έχουμε: Οπότε τα σημεία της υπερβολής που έχουν την ελάχιστη απόσταση από το σημείο A(,) είναι: 9, και 9, ΘΕΜΑ 5ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z,w και τη συνάρτηση f(z) z i που ικανοποιούν τις σχέσεις: iw5 5 f(z) f(z) α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών w β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z γ) Αν οι εικόνες των μιγαδικών w και z ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Κ, και ακτίνα R και στην ευθεία y αντιστοίχως, τότε: i) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί αριθμοί w και z για τους οποίους ισχύει z w ii) Να βρείτε τους w, που είναι πραγματικοί αριθμοί. iii) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του μέτρου w 5 6i -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

30 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 δ) Έστω M(, y) η εικόνα ενός μιγαδικού αριθμού z με Re(z), η οποία κινείται στην ευθεία y. Αν το σημείο M απομακρύνεται από τον άξονα yy και ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με cm / s, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας, την οποία σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού z με τον άξονα, τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο M διέρχεται από το σημείο, ΛΥΣΗ α) Είναι: 5 ( i)w 5 5 ( i) w 5 i 5( i) i w 5 w (i) 5 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο Κ, και ακτίνα R β) Είναι: zyi f (z) f (z) z i z i z z i yi i y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση y γ) i) Ο παραπάνω κύκλος και η ευθεία y εφάπτονται, αφού d(, ) R. Άρα υπάρχουν μοναδικοί αριθμοί w και z για τους οποίους ισχύει z w ii) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w yi στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο Κ, και ακτίνα R, που έχει εξίσωση Για y από την εξίσωση του κύκλου προκύπτει: 5 5 ή 5 Επομένως οι αριθμοί w, που είναι πραγματικοί αριθμοί είναι: iii) Το μέτρο w (5 6i) (y ) 9 w 5 i 5 και w 5 i 5 ισούται με την απόσταση της εικόνας του w από το σημείο που είναι η εικόνα του μιγαδικού 5 6i Άρα η μέγιστη τιμή του μέτρου w (5 6i) είναι: ma w 56i (K ) R (5) ( 6) , 6, δ) Έστω η γωνία που σχηματίζει η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού αριθμού z με τον άξονα, τότε: y y, -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

31 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Επειδή η τετμημένη μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t είναι: (t) (t) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη ως προς t έχουμε: (t) (t) () (t) (t) Όμως: (t) (t) () Η σχέση () με βάση τη σχέση () γράφεται: (t) (t) (t) () (t) Έστω t o η χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο M διέρχεται από το σημείο (,), τότε για t t o από τη σχέση () έχουμε: (t o ) (t o) (t o) (4) (t o ) Επίσης έχουμε: (t o), (t o) και (t o) (t) o 9 9 Αντικαθιστώντας στη σχέση (4) έχουμε: (t o) (t o) rad / s 9 9 Δηλαδή καθώς το σημείο M απομακρύνεται από τον άξονα yy η γωνία της διανυσματικής ακτίνας του z με τον άξονα μειώνεται. -5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

32 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 6ο : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:r R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: 5 f() συν, για κάθε R α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε R είναι f () ημ δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F() f() αντιστρέφεται και να ορίσετε την ΛΥΣΗ F α) Για είναι: συν ημ f () Επειδή η f είναι συνεχής στο έχουμε: Επομένως: ημ ημ f () lim f () lim lim( ) lim ημ, f(), β) Από υπόθεση η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, άρα και στο διάστημα,π f() f(π) ) π ) π Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα,π, άρα η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, π), δηλαδή μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

33 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 γ) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση h() f(), R, τότε: ημ ημ h() Είναι γνωστό ότι για κάθε R ισχύει: και η ισότητα ισχύει μόνον για Η συνάρτηση h όμως έχει πεδίο ορισμού το R, για κάθε R, δηλαδή επομένως, άρα h() f() f() για κάθε R δ) Η συνάρτηση f ορίζεται στο R και η συνάρτηση συνάρτηση F ορίζεται στο R ημ ορίζεται στο R, επομένως η Για κάθε R είναι: Έστω, ημ ημ ημ F() f() με F F, τότε έχουμε: R Άρα η F είναι, οπότε αντιστρέφεται. Για να βρούμε τον τύπο της F λύνουμε την y F() ως προς στο R Είναι: y y y y F() y, y, y F y y y, y, y Άρα F :R R με F (),, ΘΕΜΑ 7ο : Έστω συνάρτηση f:r R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: α) f() ημ για κάθε R β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο f() γ) lim f () f() ημ () 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

34 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ α) Για κάθε R είναι: Από τη σχέση () έχουμε ότι: που σημαίνει ότι: οπότε από () προκύπτει ότι: f () f () f () f () f() () f () f () f() Άρα f () ( ) f() () Από τις σχέσεις () και () έχουμε ότι: f() (4) β) Για από τη σχέση (4) έχουμε: Επίσης είναι: f() f() (5) lim και lim Άρα από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε Από τις σχέσεις (5) και (6) έχουμε γ) Από τη σχέση (4) για R έχουμε: Επίσης είναι: lim f () (6) f() lim και lim f () f (), οπότε η f είναι συνεχής στο lim lim Άρα από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε f() lim 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

35 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 8ο : Έστω συνεχής συνάρτηση f:,8 R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση για κάθε,8. Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) f 8 γ) Η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε τη συνάρτηση δ) Οι γραφικές παραστάσεις C f και C f των συναρτήσεων f και ένα ακριβώς κοινό σημείο και να βρείτε τις συντεταγμένες του. f () f () () f f αντίστοιχα, έχουν ΛΥΣΗ α) ος τρόπος: Έστω,,8 με, τότε Είναι: f () f() f f Αφαιρούμε κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, οπότε έχουμε: f f f f f f f ff f f f f( ) f f ( ) ff f ( ) f( ) f f f( ) Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. ος τρόπος: Έστω ότι η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε θα υπάρχουν,,8 με που είναι άτοπο. τέτοια, ώστε f( ) f( ), άρα και f f, οπότε (),() f () f() f f, Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα,8, οπότε το σύνολο τιμών της είναι f f(),f(8). Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε τις τιμές f() και f(8) Για από τη σχέση () έχουμε f () f () f () f () () 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

36 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner /// η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται f() f () f() f() Για 8 από τη σχέση () έχουμε Χρησιμοποιώντας το σχήμα Horner Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι: f, f (8) f (8) f (8) f (8) () β) Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα, 8 και f() f(8), οπότε σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών η f θα παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f() και f(8), δηλαδή θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ο (,8) τέτοιο, ώστε f( ο) Για /// 4 5 ο από τη σχέση () έχουμε: f ( ο) f( ο) ο ο ο ο ο γ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, 8, άρα είναι και στο διάστημα αυτό, οπότε αντιστρέφεται. Επομένως ορίζεται η συνάρτηση ορισμού το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, δηλαδή, Επίσης για κάθε, 8 έχουμε: f() y f (y) οπότε η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: Επομένως: f y yf (y) f (y) y y, y, f :, R με η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται f (8) f (8) f (8) 5 f (8) f () δ) Για να βρούμε το κοινό σημείο των C f και C f λύνουμε το σύστημα: y f() f (y) f f() f (y) y y : y f () y f () y f () y Αφαιρούμε κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, οπότε έχουμε: y y y y (y ) f, η οποία έχει πεδίο 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

37 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 (y )(y y ) (y ) (y )(y y ) y y Το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το y y y y : (,y) (, ) y Άρα οι C f και f C έχουν μοναδικό κοινό σημείο το, ΘΕΜΑ 9ο : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:r R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(, e ). Δίνονται επίσης οι μιγαδικοί z f() f()i και z ( e ) () w f() f ()i με α) Nα αποδείξετε ότι f() ( e ) β) Nα αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το (, ) γ) Nα βρείτε το είδος της γραμμής που διαγράφουν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο. δ) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με g() Re(zw) δεν έχει τοπικά ακρότατα. ΛΥΣΗ α) Για κάθε R είναι: z f () f () f () f() και λόγω της () έχουμε ότι f() e, που σημαίνει ότι f() για κάθε R Η συνάρτηση f είναι συνεχής και δε μηδενίζεται στο R, οπότε ότι διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R. Είναι f() e άρα f(), για κάθε R. Επομένως β) Για κάθε R είναι: f () e οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Eίναι: lim ( e ) lim e και lim ( e ) Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το (, ) γ) Aν z κ λi, με κ, λ R θα είναι : κ f() λ f(), oπότε λ κ, με κ, λ R f() e, R Όμως από το (β) ερώτημα έχουμε ότι f() κ, που σημαίνει ότι η εικόνα του z ανήκει στην ημιευθεία y με, (εξαιρείται η αρχή της) 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

38 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 δ) Έχουμε: Eίναι: zw f() f() i f() f () i f () f () f () f () i Rez w f () f (), οπότε g() f () f (), R Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R, ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγισίμων συναρτήσεων με g() f()f() f() ( e )( e ) ( e ) e ( e ) e, R Οπότε η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R, άρα δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα. ΘΕΜΑ o : Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : R α) Να αποδείξετε ότι: i) f () 5 και ii) f () 6 R για την οποία ισχύει f 5 lim 6 f() β) Να υπολογίσετε το όριο lim ημ( ) γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης h() f() 7συν, R, τέμνει τον άξονα τουλάχιστον σε ένα σημείο. δ) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση g:r R, για την οποία ισχύει g () f (), για 6 κάθε R. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g(), έχει το πολύ μία ρίζα μεγαλύτερη του. ΛΥΣΗ f() 5 α) i) Για, θέτουμε w() Είναι: lim w() 6 και f ( ) w() 5 Επομένως: lim f ( ) lim w() 5 5 Η συνάρτηση f είναι συνεχής, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, οπότε έχουμε: lim f f f () οπότε: f () 5 f() f() ii) Αρκεί να δείξουμε ότι για κοντά στο είναι lim 6 o Αν θέσουμε u τότε όταν το u, οπότε έχουμε: f () f () f (u ) f () f (u ) 5 lim lim lim 6 u u u u 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

39 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Επομένως: f () 6 β) Για κοντά στο είναι: o f() f() 55 f() lim lim lim ημ( ) ημ() ημ() f () 5 f () f () f () lim lim 6 5, γιατί ημ() ημ() ημ() u ημu f () f () lim lim και lim f () u u Σχόλιο: Δεν μπορούμε να εργαστούμε με τον κανόνα De L Hospital γιατί δεν γνωρίζουμε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα της μορφής (α,) (,β) γ) Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο R, άρα και στο διάστημα,, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων. Επίσης ισχύουν: h() 7 και h() f () 9 7συν597συν67συν, π αφού και στο ο τεταρτημόριο το συνημίτονο είναι αρνητικός αριθμός. Επομένως h() h() Άρα η συνάρτηση h ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα,, οπότε η εξίσωση h() έχει μία τουλάχιστον λύση στο (,), δηλαδή η γραφική παράσταση της h τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο. δ) Έστω ότι η εξίσωση 6 g() έχει δύο τουλάχιστον λύσεις και με Θεωρούμε τη συνάρτηση φ() g() 6,,. Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο,, παραγωγίσιμη στο (, ) με παράγωγο 5 φ () g () 6 και ισχύει φ( ) φ Άρα η συνάρτηση φ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο διάστημα,, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε φ (ξ) Είναι: Όμως: Άρα: φ (ξ) g (ξ) 6ξ g (ξ) 6ξ g(ξ) f () g (ξ) ξ 6 ξ ξ που είναι άτοπο, αφού ξ Επομένως η εξίσωση 6 g(), έχει το πολύ μία ρίζα μεγαλύτερη του 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

40 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ o : Έστω συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση f() για κάθε R και η συνάρτηση g : R R με g () lnf () Αν οι πραγματικοί αριθμοί αβ γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με αβ γ και οι f(α) f(β) f(γ) με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε να αποδείξετε ότι: Ι) Υπάρχουν, R, ώστε να ισχύει: ΙΙ) Υπάρχει ξ R, ώστε να ισχύει: ΛΥΣΗ f()f() f()f() f(ξ) f (ξ) f (ξ) Ι) Οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ με α β γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Αν ονομάσουμε ω τη διαφορά της προόδου, τότε έχουμε: βαγβαγα ω () με ω Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί f(α),f(β),f(γ) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Αν ονομάσουμε λ το λόγο της προόδου, τότε έχουμε: f(β) f(γ) f (β) f(α) f(γ) λ f(α) f(β) () με λ Από τη σχέση () έχουμε f(β) ln f(α) f(γ) ln () f(β) Η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής σε καθένα από τα f() διαστήματα α,β και β,γ, αφού είναι παραγωγίσιμη στο R, με g(), οπότε υπάρχουν: f() α, β τέτοιο, ώστε β, γ τέτοιο, ώστε () g β g(α) ln f (β) lnf(α) f(β) g( ) ln β α ω ω f(α) () g γ g(β) ln f (γ) lnf(β) f(γ) g( ) ln γ β ω ω f(β) (4) (5) Από τις σχέσεις (), (4), (5) έχουμε: f f g( ) g( ) f f f f f( ) f( ) 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

41 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΙΙ) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, με : g () f() f () f () f() f() f () και g( ) g( ), επομένως η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle στο διάστημα,, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε g(ξ) Οπότε από τη σχέση (6) έχουμε: f (ξ) f(ξ) f (ξ) f(ξ) f (ξ) f(ξ) f (ξ) f (ξ) f(ξ) f (ξ) (6) ΘΕΜΑ o : Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R με g() e, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση: y f() f( y) g() g(y) e e για κάθε,y R () α) Να αποδείξετε ότι: f() e e και g() e e β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις f g και f g γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C f, έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο. δ) Να λύσετε την ανίσωση: 4e 4e e e ΛΥΣΗ α) Για y από τη σχέση () έχουμε: f () f e () Αν στη σχέση () θέσουμε όπου το έχουμε: f f () () e Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων () και () e e f () f e f () f e C g των συναρτήσεων f g αντίστοιχα, f () f 4f () f 6 6 Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε: f () 6e e f () e e (4) 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

42 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Για y από τη σχέση () έχουμε: Είναι: f () f () g() g() e 4 4e e f () g() g() e 4 f () e g() οπότε έχουμε: g() e e β) Για κάθε R έχουμε: f () e e e e, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R g() e e () e e, οπότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R Επίσης για κάθε R είναι: f g () f () g() e e e e 4e e και e e e e (4) fg () 4 () 4, οπότε η f g είναι γνησίως αύξουσα στο R Επομένως οι συναρτήσεις f,g και f g δεν παρουσιάζουν ακρότατα. γ) Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f () g() f () g() 4e e έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() f () g() 4e e, R Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο R, άρα και στο διάστημα,, h() h() e) 4e 4) e ) Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο διάστημα,, οπότε η εξίσωση h() f () g() έχει μια πραγματική ρίζα o (,) R και μάλιστα μοναδική, αφού η συνάρτηση hf g είναι γνησίως αύξουσα. Άρα οι γραφικές παραστάσεις κοινό σημείο. C f, C g των συναρτήσεων f,g αντίστοιχα, έχουν ένα ακριβώς δ) Είναι: 4e 4e e e 4e e 4e e 4e e 4e e h h (, ) 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

43 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : Έστω η συνάρτηση f:r R με f() (α ) α, α α) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f, για τις διάφορες τιμές του R β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα στο διάστημα, γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f y y δ) Να λύσετε το σύστημα 9 ΛΥΣΗ α) Είναι: Οπότε: α α Για είναι (α ) α (α ) α f () Άρα f() για κάθε (, ) Για είναι (α ) α (α ) α f () Άρα f() για κάθε (, ) Για είναι Άρα f() για f() (α ) α β) Για κάθε R είναι: f() α ) lnα ) α lnα και Για κάθε (, ) είναι: f () α ) ln α ) α ln α f() α ) α () Επειδή α είναι: ln(α ) lnα () και ln (α ) ln α () οπότε: με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των ανισοτήτων () και () βρίσκουμε ότι: α ) ln(α ) α lnα α) ln(α ) α lnα f() με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των ανισοτήτων () και () βρίσκουμε ότι: α ) ln (α ) α ln αα) ln (α ) α ln α f () Δεδομένου ότι συνάρτηση f είναι και συνεχής στο ο, συμπεραίνουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο, 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

44 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 γ) Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, η C f δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Για (, ) είναι: lim f () lim α ) α οπότε η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο Για (, ) είναι: lim f () lim α ) α lim α α f() lim lim f () lim α D.L.H ) ln(α ) α lnα διότι lim α ln(α ) ln α α Άρα η lim α, lim ln (α ) α C f δεν έχει ασύμπτωτη στο και lim ln α ln α δ) ος τρόπος: y Αν ένας τουλάχιστον από τους,y είναι αρνητικός, τότε ο αριθμός δεν είναι ακέραιος. Επομένως, αναζητούμε μη αρνητικές λύσεις του συστήματος. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(), που προκύπτει από την παραπάνω συνάρτηση για α Είναι: y y y y y y y Ομοίως y y y Επομένως, το σύστημα δεν έχει λύσεις (, y) με y Για y είναι: f: 9 f () f () οπότε το σύστημα έχει τη μοναδική λύση (, y) (, ) ος τρόπος: Από τις δοσμένες σχέσεις παίρνουμε: y y y y g() g( y) (4) όπου g(), R Για κάθε R είναι: g() ln ln 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

45 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε είναι και Επομένως από τη σχέση (4) έχουμε y Για y το σύστημα γίνεται 9 f () f () (5), όπου f() Στο διάστημα (,) όμως η συνάρτηση είναι αρνητική, οπότε δεν έχουμε αρνητική ρίζα. Επίσης είναι f() 9, οπότε ούτε το είναι ρίζα. Στο διάστημα (, ), με βάση το ερώτημα (β) για η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η σχέση (5) δίνει τη μοναδική λύση Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση την (,y) (,) ΘΕΜΑ 4ο : Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f() και f (), για κάθε (,) α) Να αποδείξετε ότι f() ln,, β) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε: i) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ii) το όριο lim f (), και παραγωγίσιμη στο διάστημα γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής Μ o,f( o) με o (,) δ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις C f αντιστοίχως στο ίδιο σύστημα αξόνων. ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Άρα για κάθε (,) είναι: f () f() f() ln f() ln c Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o, οπότε και,, η C f των συναρτήσεων f και f, και για κάθε (,), έχουμε: limf () f () 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

46 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Επειδή f() έχουμε: Επομένως: lim ln c c ln, f(), f() ln,, β) Για τη συνάρτηση f έχουμε: είναι συνεχής στο διάστημα, και f(), για κάθε (,) Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,, οπότε είναι και. Άρα η συνάρτηση f αντιστρέφεται. f είναι f i) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης A f, Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, θα είναι: f, lim f(), f(),, + γιατί: lim f () lim + + ln f(), αφού Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης + lim (ln) f είναι: f A, και + lim ii) Είναι: A f, και f, Α f, Επομένως για κάθε, ισχύει: f () f () και lim lim Άρα από το κριτήριο παρεμβολής, συμπεραίνουμε ότι lim f () γ) Για κάθε, έχουμε: f() και f () 4() () f () 8() 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

47 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (,)και επειδή είναι και συνεχής στο (, ), το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι: f, lim f (), limf (),, γιατί: lim f () lim, αφού lim 4( ) και lim 4() 4 limf () lim 4( ), αφού lim 4( ) και lim Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (,) επομένως είναι και και επειδή το θα υπάρχει ένα ακριβώς, f, ο τέτοιο, ώστε f ( ο) Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (,) θα ισχύει: για ο f () f ( ο) f () και για ο f ( ο) f () f () Άρα το σημείο M,f() με, C της συνάρτησης f f ο ο ο είναι το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης δ) Έχουμε: f Α, και lim f () + άρα η ευθεία (ε ): είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f Συμπληρώνουμε τον πίνακα μεταβολών της συνάρτησης f και σχεδιάζουμε την C f 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

48 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 5ο : Έστω η συνάρτηση,, τότε: f:, R με f(), η οποία είναι συνεχής στο, και κυρτή στο f() α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() είναι γνησίως αύξουσα στο, β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (9)f(6) (7 )f(), έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (4, 5) f() 6 Αν επιπλέον ισχύει lim 6 γ) i) Να βρείτε τις τιμές των f() και f () ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (, ), οπότε είναι παραγωγίσιμη με f γνησίως αύξουσα στο f () f() (, ), άρα η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και g() () Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο (, ), οπότε ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο, ώστε: f() f() f() f() Είναι: f f f () f() f() f()( ) f() Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι g() για κάθε (, ), οπότε η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο, β) Θεωρούμε τη συνάρτηση h() ( 9)f ( 6) (7 )f (), 4, 5 Η h συνεχής στο 4, 5 ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Είναι: h(4) f () 4f (4) 8g() 8g(4) 8 g(4) g() Για Για g 4 g(4) g() g(4) g() (), άρα h(4) h (5) f () f (5) 9g () g(5) 9g () g(5) g 5 g(5) g() g() g(5) Συνεπώς h(4) h(5), άρα h(5) 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

49 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Βolzano, άρα η εξίσωση: h() ( 9)f( 6) (7 )f() έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (4, 5) γ) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση: f() 6 () Είναι: lim () 6 Για κοντά στο o έχουμε: Είναι: Επομένως: f() ()() 6, για κοντά στο o lim ()( ) lim f () Όμως η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, οπότε f() Για κοντά στο o έχουμε: f() f() () () 6 6 lim lim lim () 69 lim () lim () 6 6 Άρα f() lim () lim () ii) Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (, ), άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ), οπότε έχουμε: Για Για f f () f () f () f f () f () f () Το πρόσημο της f() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. f() + f() τοπ. μεγ. ελάχ. 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

50 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Επομένως: Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και f() για κάθε (,), οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και f() για κάθε (, ), οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o με ελάχιστη τιμή f() Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο με τιμή f() iii) Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο 4,f(4) είναι: y f (4) f (4)( 4) y f (4)( 4) f (4) Η f κυρτή στο, άρα f () y f () f (4)( 4) f (4) Έχουμε f(4) lim f (4)( 4) f (4), άρα οπότε και lim f () Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο,, οπότε f, Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,, οπότε f, Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι: f f f, Αν f() g() και lim g(), τότε θα είναι f() g(), οπότε f() g() Είναι: lim lim g() Από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε: lim και επειδή f() f() συμπεραίνουμε ότι: lim f () ΘΕΜΑ 6ο : Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f() για κάθε R f () f () f (), για κάθε f() και f() 4 α) Να αποδείξετε ότι f(), R β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της C f γ) Να λύσετε την εξίσωση f() f() f() f(5) f () δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση h() ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι f() α β f f(α)f(β) για α β 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

51 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f() για κάθε R,άρα η f διατηρεί πρόσημο στο R και επειδή f(), συμπεραίνουμε ότι f() για κάθε R Για έχουμε: f () f () f () Για έχουμε: Για έχουμε: Είναι: Επομένως: f ()f () f () f () f ()f () f () f () f () f () f ()f () f() f () f() f () c f () f () c f() f () c f () f () c lim f () lim f () c και lim f () lim f () c lim f () Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o ισχύει Άρα: f () c, f(), f () c, f() limf() Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o και ισχύει: f() f() f() f() f () lim lim () Για έχουμε: f() f() f() f () c lim lim lim lim f () c f () c 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

52 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Για έχουμε: f() f() f() f () c lim lim lim lim f () c f () c Από τη σχέση () έχουμε: f() f() f() f() lim lim f () c f () c c c Για έχουμε: f () f () c c c 4, οπότε και c Άρα: f (), f(), f() f (),R f (), Για κάθε R είναι: f () f () f ()f () f ()f () f ()f () Για έχουμε: Άρα: f () ( ) c f () c c c f () β) Για κάθε R είναι: f() f () f() f () f(), R f () Όμως f() για κάθε R, οπότε: f() f() Το πρόσημο της f() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. f() f() μέγιστο 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

53 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Επομένως: Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και f() συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, για κάθε,, οπότε η Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και f() για κάθε (, ), οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο o με μέγιστη τιμή f() Για κάθε R είναι: f () f () f ()f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () Όμως f() για κάθε R, οπότε: f () f () ή Το πρόσημο της f () καθώς η κυρτότητα και τα σημεία καμπής της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Επομένως: f () f() 6 Σ.Κ. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, οπότε η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα, 6 Σ.Κ. και f () για κάθε,, Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, οπότε η συνάρτηση f είναι κοίλη στο διάστημα, και f () για κάθε,, 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

54 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, και f () για κάθε,, οπότε η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα, Η f μηδενίζεται στο και εκατέρωθεν αυτού αλλάζει πρόσημο, άρα το σημείο 6 A, είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f Η f μηδενίζεται στο και εκατέρωθεν αυτού αλλάζει πρόσημο, άρα το σημείο 6 B, είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f γ) Προφανής λύση η Για έχουμε: f f() f() f() f() f() f(5) 5 f () f (5) Για έχουμε: f f() f() f() f() f() f(5) 5 f () f (5) Άρα η είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης. δ) Για κάθε R είναι: f () f () h() f () f() f() Οπότε: () h() f (), R Όμως f() για κάθε R, οπότε: h() h() ή Το πρόσημο της h() καθώς η μονοτονία της συνάρτησης h φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. h() h() 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

55 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Επομένως: Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο, και h() συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο, και h() συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο, και h() συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Θεωρούμε τη συνάρτηση () nf(),, Για κάθε (, ) είναι: f () () h() f() Η συνάρτηση είναι: συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα,,, για κάθε, για κάθε, για κάθε,, οπότε η, οπότε η, οπότε η παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα,,, Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, οπότε θα υπάρχουν:, τέτοιο, ώστε, τέτοιο, ώστε Είναι: nf nf nf nf nff f f( )f( ) 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

56 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 7ο : Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :(, ) R f () α, α και α f f () f(y) α αy y y α) Να αποδείξετε ότι f() nα,, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: για κάθε,y () β) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σημείο της Ae,f(e) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του α για την οποία ισχύει f(), για κάθε (, ) α δ) Αν g() f e, R, α α, να βρείτε τη τιμή του α ώστε η ελάχιστη τιμή της g να γίνεται μέγιστη. ΛΥΣΗ α) Αν παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της σχέσης () ως προς y, θεωρώντας το σταθερά, έχουμε: α f f() f(y) α αy y y f f (y) α α, y y y y Για y έχουμε: f()( ) f() αα f () ααα f () α f () α f() nα f() nαc, () Για y από τη σχέση () έχουμε: f() f() f() ααα f() α () Για από τη σχέση () έχουμε: Επομένως: f() nα c ααcc f() nα, 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

57 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 β) Για κάθε (, έχουμε: f() nα α Οπότε: f(e) α e Άρα η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης A e, f(e) είναι: C f της συνάρτησης f στο σημείο της y f (e) f (e) e yαe αe e y α e η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων O(,), αφού επαληθεύεται για και y γ) Για κάθε (, έχουμε: α f() α Είναι: f() f() Το πρόσημο της f() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. f() f() n μέγιστο Η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο o με μέγιστη τιμή f n n, επομένως έχουμε: f() nα για κάθε (, Για να ισχύει f() για κάθε (, πρέπει και αρκεί nα nα nα ne α e Άρα η ελάχιστη τιμή του α ώστε να ισχύει f() για κάθε (, είναι α e 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

58 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 δ) Για κάθε R είναι: α α α α α g() f ( e ) ( ne αe ) ( α αe ) e α α α α α g() e αe Είναι: g () e e ne n n n g() e e ne n n n Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. n g() g() Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο o nα α ελάχιστο n με ελάχιστη τιμή nα α α nα nα α α α α α nα nα nα nα nα g e e e Θεωρούμε τη συνάρτηση: n h, Για κάθε (, ) είναι: Είναι: h(α) nααnα α nα nα α α n h( ) n n h( ) n 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

59 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Το πρόσημο της h( ) καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης h φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. h( ) h( ) μέγιστο Παρατηρούμε λοιπόν ότι η συνάρτηση h παίρνει μέγιστη τιμή όταν α, οπότε η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g γίνεται μέγιστη όταν α ΘΕΜΑ 8 ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R R, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R και ικανοποιεί τη σχέση: e f() f() για κάθε R Να αποδείξετε ότι: e, α) f(), β) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o και ότι η ευθεία (ε) με εξίσωση y εφάπτεται της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο κοινό της σημείο με τον άξονα yy γ) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R δ) Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R ΛΥΣΗ α) Για κάθε R είναι: e f() f () f () f() e e c, f() (e ) f() e c, Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, άρα είναι συνεχής και στο o, οπότε: lim f () lim f () f () Είναι: lim f () lim e c f () c c lim f() lim e c f() c c 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

60 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Άρα για κάθε R έχουμε: e f() e f() Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o, άρα: Επομένως: e e e d(e ) f() lim lim d e, f(), () β) Για κάθε κοντά στο o είναι: e f() f() e Έχουμε: lim lim lim D.L.H f() f() e e () e lim Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και στο o με f() Το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f με τον άξονα yy είναι το Α,f(), δηλαδή σημείο Α, Η εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο A έχει εξίσωση: (ε): y f () f () y y γ) Για κάθε R είναι: e e (e ) e e g() f(), όπου g() e e, R Για κάθε R είναι: g() e e e e e e Είναι: g() e g() e 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

61 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. g() g() Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο Έχουμε: Για g ελάχιστο o με ελάχιστη τιμή g() g() g() g() e e Για g g() g() g() Οπότε είναι: Επειδή g() f () για κάθε R f() συμπεραίνουμε ότι: f() για κάθε R Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R δ) Για κάθε R είναι: e e ( e e ) ( e e ) ( ) f () 4 όπου h() e e e, R e e e e e ( ) ( ) 4 e e e e e e h(), 4 Για κάθε R είναι: h() e e e e e e e e e Άρα h() για κάθε R και η συνάρτηση h είναι συνεχής στο o γνησίως αύξουσα στο R Όμως έχουμε:, οπότε η h είναι h() e e e και η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε Για Για h h() h() h() h h() h() h() 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

62 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Επομένως Άρα Είναι: Αν τότε f (), αφού h() και Αν τότε f (), αφού h() και f () για κάθε R D.L.H e e e e e e lim f () lim lim lim f () Οπότε η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o Αφού f () για κάθε R και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R ΘΕΜΑ 9ο : n Έστω οι συναρτήσεις f() α n α και g(), όπου α α α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική πραγματική ρίζα ρ ρ β) Να αποδείξετε ότι g() για κάθε α γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g έχει ένα μόνο σημείο καμπής. δ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λ R ΛΥΣΗ α n λ λ, για τις διάφορες τιμές του α) Για κάθε (, ) είναι: α f() Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) και επειδή είναι και συνεχής, το σύνολο τιμών της είναι: Είναι: f( ) limf(), lim f() lim f () lim α n α, αφού lim ( n) και lim α α lim f () lim n, αφού lim ( n) και lim Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι f (, ) R Το f(α) R επομένως θα υπάρχει ρ Α (, ) και μάλιστα μοναδικό, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) τέτοιο, ώστε f(ρ) 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

63 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 β) Είναι: A g (, ), αφού α για κάθε Για κάθε (, ) έχουμε: n ( n )(α) n αn α f() g() α ( α) (α) (α) () Από το (α) ερώτημα γνωρίζουμε ότι υπάρχει μοναδικό ρ (, ) τέτοιο, ώστε f(ρ) και η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), οπότε: Για Για f f() f f() f f () f f () Από τη σχέση () και επειδή ( α) για κάθε Ag, έχουμε: g() f() ρ g() f() ρ g() f() ρ Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. ρ g() g() ρnρ ρ α ελάχιστο Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο o με ελάχιστη τιμή Άρα για κάθε (, ) έχουμε: g() g(ρ) g() ρ nρ ρ α Όμως ρ ρίζα της εξίσωσης f(), οπότε ισχύει Η σχέση () με βάση τη σχέση () γράφεται: () g(ρ) ρ nρ ρ α ρα αnρρα nρ () α ρ α ρ α ρ g() g() ρ α α, (, ) 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

64 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 γ) Για κάθε (, ) είναι: όπου α ( α) ( α)(α n α) α n α g () 4 ( α) (α) ( α) (αn α) α αn h() ( α) (α) (α) h() α α n, (4) Για κάθε (, ) είναι: Είναι: h() αn α (α n α) f() h () f() f() h() f() f() Το πρόσημο της h() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης h φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Είναι: Αφού μέγιστο lim h () lim α α n α n D.L.H lim ( n) lim lim lim (5) Η συνάρτηση h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ,ρ Άρα για κάθε Δ,ρ Επίσης είναι: h(δ ) lim h(), h(ρ) α,h(ρ) είναι: h(ρ) h() α (6) h() h() α h( ) lim h () lim α α n Η συνάρτηση h είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ ρ, h(δ ) lim h(), h(ρ), h(ρ), επομένως:, επομένως: 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

65 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Το h(δ ) επομένως θα υπάρχει o Δ ρ, γνησίως φθίνουσα στο Δ ρ, Έχουμε: και μάλιστα μοναδικό, αφού η h είναι τέτοιο, ώστε h( o) h Για h() h h() Για o o h Από τις σχέσεις (6) και (7) για κάθε Από τη σχέση (8) για κάθε Αφού α h() h h() (4) h() g () (, o) έχουμε:, αφού (, ) έχουμε: o (4) h() g (), αφού o o (7) (8) α για κάθε A g (, ) α για κάθε A g (, ) για κάθε A g (, ) Το πρόσημο της g () καθώς η κυρτότητα και τα σημεία καμπής της συνάρτησης g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. o g () g() g( o ) Σ.Κ. Επομένως η συνάρτηση g έχει ένα μόνο σημείο καμπής το Μ,g() δ) Έχουμε: n λ λ (9) α n λ λ α n λ α g() α α α Οι ρίζες της εξίσωσης (9) είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης λ C g της συνάρτησης g και της ευθείας y, η οποία είναι παράλληλη στον άξονα α Από (β) ερώτημα έχουμε: o o Είναι: + g() g() ρ α ελάχιστο (5) n lim g() lim α α n n n α α α lim g() lim lim lim g() n 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

66 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν λ ρ α λ ρ, τότε η εξίσωση (9) είναι αδύνατη. α α Αν λ ρ λ ρ, τότε η εξίσωση (9) έχει μια μόνο ρίζα ρ ρ α α Αν ρ λ ρ λ α α, τότε η εξίσωση (9) έχει δύο ρίζες ρ,ρ Αν λ λ α, τότε η εξίσωση (9) έχει μια μόνο ρίζα ρ Αν ΘΕΜΑ o : λ α λ, τότε η εξίσωση (9) έχει μια μόνο ρίζα ρ α Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f() f() για κάθε R και ρ ρ, f () ( e )f () f() για κάθε R α) Να αποδείξετε ότι f() e, R β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g() f, R α β αβ e e γ) Να αποδείξετε ότι ln για κάθε α,β R με α β δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση ΛΥΣΗ της συνάρτησης f, την παραβολή y και την ευθεία α) Για κάθε R είναι: e f() f () f () f () e f () f() f() f () f ()f () e lnf() f() e f() f() lnf() f() e c, c R Για έχουμε : lnf () f () e c ln c c 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

67 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Άρα lnf() f() e lnf() f() e lnf() f() lnee lnf() f() lne e f () ln f () e ln e, R () Θεωρούμε τη συνάρτηση h με h(t) t lnt, t, που είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με h(t) t, άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) οπότε είναι και Η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: h:- h f() h(e ) f() e, R β) Είναι: g f e, R * Έχουμε: u u e e e lim g() lim e lim lim lim u u D.L.H u u Άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C g Επίσης u g() e u lim lim lim e lim e λ και u lim g() lim e lim e u u u u e e e e de lim lim lim e β u u u u du u Άρα η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C g στο και στο γ) Είναι: α β α αβ α β α β α αβ β α β που ισχύει. α β β α β Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και στο α,β με f() e, οπότε ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον: α β α, και α β,β, 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

68 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 α β ξ α, τέτοιο, ώστε f ξ α β α β f f(α) f f(α) α β (β α) α α β τέτοιο, ώστε fξ ξ, β α β αβ f βf fβf α β βα β Για κάθε R έχουμε οπότε για f () e, άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, α β α β f f(α) fβ f ξ ξ f ξ f ξ (β α) β α αβ αβ αβ f f(α) fβf f f(α) f(β) αβ α β α β α β f(α) f(β) e e α β e e f e ln δ) Σχηματίζουμε τη διαφορά Δ() e, R Η συνάρτηση Δ είναι παραγωγίσιμη στο R με Επίσης Δ () e, R Δ () e, R Παρατηρούμε ότι Δ () e ln επομένως ο πίνακας μονοτονίας ακροτάτων είναι ο παρακάτω: ln Δ () - + Δ () ln Άρα Δ () Δln Δ(), R Ελάχιστο Δ ln e ln ln ln (εφόσον elneln ln), οπότε η συνάρτηση Δ είναι γνησίως αύξουσα στο R. Είναι Δ() e. Άρα η είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης Δ() και ισχύει: Δ, Δ(), Δ(), e, άρα Δ(), ln για κάθε 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

69 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Άρα το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από τον τύπο: Δ() E Δ() d e d e 7 e e e e τ.μ. 6- ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

70 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ o : Έστω f:[,] f() f() f() Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση R μια συνάρτηση δυο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν: g() f() α) Αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης C g της συνάρτησης g στα σημεία της με τετμημένες και τέμνονται στο σημείο με τετμημένη ότι: i) g() ii) Υπάρχει ξ (, ) ώστε g(ξ) ξ β) Να αποδείξετε ότι: i) f ()d ( )f d ii) Υπάρχει o [,], ώστε ΛΥΣΗ )= o f ( f()d, με g() f (), οπότε g () f () και g () f () α) i) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Επίσης: g() f () και g() f () () οπότε οι εφαπτόμενες της C g στα σημεία, g() και, g() εξισώσεις: ε y g() g ()( ) y και Α : Β :, τότε να αποδείξετε έχουν αντίστοιχα ε y g() g ()() y f () () y f () -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

71 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Το σημείο Μ,y Επομένως έχουμε: o είναι το σημείο τομής των εφαπτόμενων εα y o και yo f() και ε Β, οπότε έχουμε: f () f () () g() ii) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με f () g () Είναι f() και f(), οπότε f() f(), δηλαδή ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle. Επομένως θα υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f(ξ) Επιπλέον β) i) Είναι: f(ξ) g(ξ) ξ g(ξ) ξ () f() f ()d () f() d ()f() ()f ()d ( )f () d (6) ii) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] ως παραγωγίσιμη, άρα παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. Αν m, M είναι αντίστοιχα η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της στο,, τότε έχουμε: Επειδή έχουμε: m f () M ()m ()f () ()M Είναι: οπότε έχουμε: Παρατηρούμε ότι ο αριθμός m ()d ()f ()dm ()d υπάρχει o [,] τέτοιο, ώστε d (6) m f ()d M m f()d M f()d ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης f, άρα o f() f()d -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

72 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:(,) R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση ft f() e dt για κάθε (, ) α) Να αποδείξετε ότι f () ln, β) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f γ) Να υπολογίσετε το εμβαδό Ε(t) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f, την εφαπτομένη της C f στην αρχή των αξόνων και την ευθεία με εξίσωση t, όπου t και στη συνέχεια να υπολογίσετε το lim E(t) δ) Να αποδείξετε ότι: α α4 f (t)dt f (t)dt, όπου α α α ΛΥΣΗ α) Θέτουμε t u, οπότε du dt. Όταν t το u και όταν t το u Άρα έχουμε: Η συνάρτηση οπότε η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (,) f(t) f(u) f(t) f () e dt e ( du) e dt f(t) e είναι συνεχής στο (,), ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων το (,), f(t) e dt είναι παραγωγίσιμη στο (,) οπότε και η συνάρτηση f είναι Για κάθε (,) είναι: f() f() f() f() f () e f ()e f ()e ( e ) ( ) Άρα έχουμε: f() e c, (,) Για έχουμε f t f() e dt, οπότε f e c c Επομένως για κάθε (,) είναι: f() e f() ln() f() ln, (,) β) Έχουμε: u lim f () lim ln lim ln u, u άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f f() ln ( ) lim lim lim lim και D.L.H lim f () lim ln( ) Επομένως η C f δεν έχει οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη. -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

73 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 γ) Για κάθε,) έχουμε : f ln( ) ( ) f () Επομένως η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (,), οπότε η C f βρίσκεται «πάνω» από την εφαπτομένη ε της C f στο σημείο της Ο(,) Επειδή f() και f() ln(), η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση : y f () f '() y Άρα f() yf() για κάθε (,) Επομένως το εμβαδό Ε(t) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f, την εφαπτομένη της C f στην αρχή των αξόνων και την ευθεία με εξίσωση t, όπου t, είναι: Έχουμε : t t t και E(t) ln( ) d ln( )d d t t t t t () lnd ln d t t t t tln(t) d tln(t) d t t t t t t ln( t) d t ln( t) d d t t ln( t) (t ) ' d t t t t tln( t) t ln tln( t) t ln( t) t ( t) ( t) ln( t) t ( t) ln( t), t (,) u t lim E(t) lim ( t) ln( t) lim u ln u t t u ( t) u, γιατί ln u u u lim (u ln u) lim lim lim lim u D.L.H u u u u u u u u -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

74 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 δ) Η δοθείσα ανίσωση ισοδύναμα γράφεται : 4 4 f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt, Θεωρούμε τη συνάρτηση : () f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt, που είναι παραγωγίσιμη στο,, με () f() f f f() για κάθε,) Για κάθε,) είναι στο,), οπότε ισχύει: f(), επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα f f () f f () (), για κάθε,) Άρα η συνάρτηση Φ είναι γνησίως φθίνουσα στο,) Επομένως έχουμε: δηλαδή, για κάθε,, 4 f (t)dt f (t)dt ΘΕΜΑ o : Έστω συνεχής συνάρτηση f:r R με f() για κάθε R, για την οποία ισχύει: fημ ( ) lim 4 και οι συναρτήσεις g() f (t)dt και h() f( + t)dt,,t R. 4 Αν Ε(Ω ), Ε(Ω ) είναι τα εμβαδά των χωρίων Ω και Ω που περικλείονται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις, και, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) f για κάθε R β) g() 4 γ) Υπάρχει μοναδικό ξ (, ) τέτοιο, ώστε g(ξ) δ) Υπάρχουν θ, θ (, ) τέτοια, ώστε ε) Ισχύει h() g g(), R στ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον f(θ ) f(θ ) f(θ )f(θ ) 5 ρ (,) τέτοιο, ώστε f(ρ ) f(ρ) -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

75 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ f()ημ α) Έστω φ() για κοντά στο, οπότε lim φ() 4 Για κοντά στο έχουμε: φ() ( ) φ() f () f () f () φ() ημ ημ() ( ) ημ( ) Είναι: ημ u ημu lim lim u u οπότε lim f () lim φ() 4 ημ Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o ισχύει f() limf() Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και για κάθε R είναι f(), οπότε η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο στο R. Επειδή f() συμπεραίνουμε ότι f() για κάθε R. β) Είναι: οπότε γ) Είναι: 4 Ε(Ω ) = f ()d και Ε(Ω ) = f ()d = 4 4 g() f (t)dt f (t)dt f (t)d 4 g() f (t)dt και g() 4 f (t)dt Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, οπότε η συνάρτηση g() f (t)dt είναι παραγωγίσιμη στο R με g () f () >, άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο R. Έχουμε: η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, g() g() 4 4 g(),g(), Επομένως από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών θα υπάρχει ξ (,) και μάλιστα μοναδικό, αφού η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα τέτοιο, ώστε g(ξ) δ) Η g είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και σε καθένα από τα διαστήματα,ξ και ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ, επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον: ξ,, οπότε -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

76 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ g(ξ) g() θ (, ξ) τέτοιο, ώστε g(θ ) f(θ ) ξ ξ ξ f(θ ) 4 5 g() g(ξ) θ (ξ,) τέτοιο, ώστε g(θ ) f(θ ) ξ ξ ξ f(θ ) Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε: 5 5 f(θ ) f(θ ) f(θ ) f(θ ) 5 f(θ ) f(θ ) f(θ )f (θ ) 5 ε) Για κάθε R είναι: + + +tu h() f ( + t)dt f (u)du f (u)du f (u)du dtdu + f (u)du f (u)du g( +) g() στ) Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη στο, με h () g( +) g() g ( +)( +) g () g ( +) g () f ( +) f () () και Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ρ (,) h() h() τέτοιο, ώστε h(ρ) f(ρ +) f(ρ) h() h() Όμως h() g() g() και h() g() g() 4 6 Οπότε f(ρ +) f(ρ) ΘΕΜΑ 4o : Έστω f:r R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f() f() για κάθε R f() α) Να αποδείξετε ότι f() e, R β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή. γ) Να αποδείξετε ότι e για κάθε R 4 δ) Να λύσετε στο διάστημα (, ) την εξίσωση e ε) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f (t)dt, R - i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. ii) Να αποδείξετε ότι 4 f ()d f ()d 4 4 () -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

77 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ α) Για κάθε R έχουμε: και f(), οπότε c Επομένως f () f () f () f () f ()e e )f() e e e f ()e e )f() e e f()e e ( )f() e ( )e ( ) f ()e e f ()e e c f()e e, οπότε f() e, R β) Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με Για κάθε R ισχύει: f() e και Άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R γ) Είναι: f () e 4 e ( ) e f () e f() e και f () e Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη o είναι: y f () f () y ( e) (e) y (e) e Επειδή η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R, η εφαπτομένης της o βρίσκεται από την Άρα για κάθε Rισχύει: δ) Στο διάστημα (, ) έχουμε: C f και κάτω. f() (e) e e e e e e ( ) e e e e e 4 e e e e e 4 4 e e e e f f () () C f στο σημείο της με τετμημένη Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα άρα και, οπότε από τη σχέση () έχουμε: -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

78 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ε) i) Η συνάρτηση g γράφεται g() f(t)dt f(t)dt και είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, ως διαφορά συναρτήσεων που είναι δυο φορές παραγωγίσιμες, με: g () f (t)dt f(t) dt f () f f () f Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη (σύνθεση και άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με: g () f () f ( ) Δεδομένου ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R έχουμε: g () f () f g () f () f g() Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο διάστημα [, ), κοίλη στο διάστημα (, ] και παρουσιάζει καμπή στο σημείο με τετμημένη ο. Το σημείο καμπής της γραφικής της παράστασης της συνάρτησης g είναι το, g(), δηλαδή το,, αφού g() f(t)dt ii) Στο ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους της σχέσης που θέλουμε να αποδείξουμε, αν θέσουμε u τότε, έχουμε: d du, u και u οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι: f(u)du f()d g g() Δεδομένου ότι g() η αποδεικτέα σχέση μπορεί να λάβει τη μορφή g g() g() Η συνάρτηση g σε καθένα από τα διαστήματα,,, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, οπότε υπάρχουν: g g() g() ξ, τέτοιο, ώστε g(ξ ) g (ξ ) g, () g() g ξ, τέτοιο, ώστε g(ξ ) g(ξ ) g() g, () -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

79 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, και, οπότε g(ξ ) g(ξ ) Επομένως έχουμε: () g(ξ ) g (ξ ) g g() g g g() () που είναι το ζητούμενο. ΘΕΜΑ 5o : Δίνονται: Η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R με f και f() για κάθε R και ln Η συνάρτηση g(), α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση g Αν επιπλέον ισχύουν οι σχέσεις: (e )f () e f() e g(t)dt (e )f () f (), για κάθε R και f() β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f γ) Αν f e, τότε: i) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d f() ii) Να βρείτε το lim f(εφ) f (ημ) εφ ημ iii) Aν μια συνάρτηση h είναι συνεχής στο ΛΥΣΗ,, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, h()fd = h(ξ) fd α) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με: ln ln ln g() Το πρόσημο της συνάρτησης g εξαρτάται μόνο από το πρόσημο του αριθμητή. Θεωρούμε λοιπόν τη συνάρτηση G() ln, Η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με G() 6 Άρα η συνάρτηση G είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Εξάλλου G(), οπότε για έχουμε G() G() G(), οπότε g() και για έχουμε G() G() G(), οπότε g(), ώστε -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

80 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Το πρόσημο της g () καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. g () g () Ελάχιστο Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Επίσης η συνάρτηση g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για το g() β) Είναι: ( e )f () e f() e g(t)dt (e )f () f () (+e )f () e f() e g(t)dt e (e )f () f () (+e )f () g(t)dt (e )f () e f () e f() e f() (+e )f () g(t)dt (e )f () e f () (+e )f () e f() t (e +)f () ef() (+e )f () g(t)dt [g(t) ]dt e f() Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει o R τέτοιο, ώστε o o e f( o) ( e )f ( o) o τότε στο διάστημα που σχηματίζουν οι αριθμοί e o f και ( e )f, η συνάρτηση g(t), όπως προκύπτει από το ερώτημα (α), λαμβάνει θετικές τιμές για κάθε t, οπότε που είναι άτοπο. (+e o )f ( o ) e of( o ) o [g(t) +]dt Άρα για κάθε R ισχύει: e f() (e )f () e f() (e )f () (e ) e (e )f () e f() f() f() c(e ) και με δεδομένο ότι f(), βρίσκουμε ότι c Επομένως έχουμε: f() e, R o -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

81 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 γ) i) Έχουμε: Αν θέσουμε + + f() e I d d u τότε, έχουμε d du, u, u και οπότε Άρα ii) Είναι: + ( +)e I d d e + e + ( +)(e ) 8 e + I d d 4 I εφ ημ f(εφ) f (ημ) e e e (e ) lim lim lim εφ ημ εφ ημ διότι: e lim και e e lim lim DLH ( ) iii) Η συνάρτηση h, ως συνεχής στο διάστημα, λαμβάνει μέγιστη τιμή Μ και ελάχιστη τιμή m. Επίσης f( ), οπότε έχουμε: m h() M mf h()f Mf Επομένως, ο αριθμός m f d h()f dm f d h()f f ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης h. Άρα υπάρχει [, ] τέτοιο, ώστε που είναι το ζητούμενο. h d d h()f d f d h()f d h f d -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

82 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 6o : Έστω η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f :(, ) R και η συνάρτηση g() f() Αν E(t) tlnt t, t είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα ' και τις ευθείες και t, τότε: α) Να αποδείξετε ότι f(t) lnt, t β) Αν η ευθεία y α, με α, τέμνει τη γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g στα σημεία A και B, να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της C g στα σημεία A και B είναι κάθετες. γ) Με τη βοήθεια της ανισότητας lnt t που ισχύει για κάθε t, να αποδείξετε ότι: i) lnt t για κάθε t t ii) lim dt ln και f(t) ΛΥΣΗ iii) α) Για t είναι f(t) lim dt t t E(t) f() d, δηλαδή t f() d tlnt t Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() f(), τότε η προηγούμενη σχέση γράφεται: t g()d tlnt t και αν παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της, έχουμε: ' t g()d (tlnt t ) ' g(t) lnt, t Επειδή η συνάρτηση g είναι συνεχής ως απόλυτη τιμή συνεχούς συνάρτησης θα ισχύει: g() lim g() g() f () f () Από την υπόθεση έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε έχουμε: Για t είναι f(t) f() f(t) Για t είναι f(t) f() f(t) Επομένως για t είναι: Επειδή f() έχουμε τελικά: g(t) f (t) lnt f (t) lnt f(t) lnt, t -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

83 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Αν t είναι: Παραγωγίζοντας προκύπτει ότι: Επομένως είναι: t f () d tlnt t g()d tlnt t t f(t) g(t) lnt f(t) lnt f(t) lnt f (t) lnt, t β) Θα βρούμε τα κοινά σημεία της ευθείας y α και της γραφικής παράστασης C g της συνάρτησης g() f () Έχουμε: g() ln (ln ή ln ) ( e ή e ), Επομένως για τους συντελεστές διεύθυνσης των εφαπτομένων της γραφική παράσταση συνάρτησης g() f() στα σημεία Α και Β, έχουμε: Επομένως οι εφαπτόμενες της g' g' e e C g στα σημεία Α και Β είναι κάθετες. C g της γ) i) Αν στην ανισότητα ln t t, t (), θέσουμε όπου t το t έχουμε: t lnt lnt, t () t t ii) Συνδυάζοντας τις ανισότητες () και () έχουμε: t ln t t, t t Για t είναι: t t lnt t και για προκύπτει ότι: t dt dt dt t ln t t t dt dt dt t lnt t dt dt dt t lnt t [ ln(t ) ] dt t ln(t ) [ ] ln t -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

84 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Είναι: [ ln(t ) ] dt t ln(t ) [ ] ln t ln ln dt ln ln lnt ln dt ln lnt ln dt ln ln t lim ln ln lim ln ln Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε lim dt ln f(t) iii) ος τρόπος: Ισχύει: Για t είναι: t ln t t, t t lnt t t και για προκύπτει ότι: ln t dt dt dt t t ln t dt ( [ lnt] ) t ln t ln ln dt t ln t ln dt t -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

85 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Είναι: lim ln ln lim Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε Για t είναι: lnt t t και για προκύπτει ότι: ln t lim dt () t lnt dt dt dt t t ln t [ lnt] dt ( ) t ln t lnln dt t ln t ln dt t Είναι: ln t ln dt t lim ln ln lim Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε Από () και (4) έχουμε lim ln t dt t ln t lim dt (4) t ος τρόπος: Έχουμε: f(t) lnt Llim dt lim dt t t -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

86 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Θεωρούμε τη συνάρτηση: ln t, t h(t) t, t Η συνάρτηση h είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (,) και (, ) Επίσης είναι: lnt lnt ln d(lnt) lim h(t) lim lim h() t t dt Άρα η συνάρτηση h είναι συνεχής και στο to Επομένως η συνάρτηση h είναι συνεχής, οπότε έχει αρχική. Έστω H μια αρχική συνάρτηση της h στο διάστημα (, ), τότε έχουμε: t f(t) lnt, L lim dt lim dt lim H H() H() H() t t διότι η συνάρτηση H είναι συνεχής, ως παραγωγίσιμη. ΘΕΜΑ 7ο : Θεωρούμε τη συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f( y) f(f() y) f(f()) y για κάθε,y R Να αποδείξετε ότι: α) 4 f (), R και β) f(), R γ) f() d e ΛΥΣΗ α) ος τρόπος f() f, R Για κάθε,y R είναι: f( y) f(f() y) f(f()) y () Αν στη σχέση () θέσουμε y έχουμε: 4 f() f(f() ) f(f()) () Αν στη σχέση () θέσουμε y f() έχουμε: f( f()) f() f(f()) f () () Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι: 4 f (f ()) f (f ()) f () 4 f () (4) -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

87 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Για από τη σχέση (4) έχουμε: f () f() Αν στη σχέση () θέσουμε έχουμε: f(y) f(f() y) f(f()) y f(y) f( y) y Επομένως ισχύει: ος τρόπος Για y από την αρχική σχέση έχουμε: f() f, R (5) f() f(f()) f(f()) f(f()) f() (6) Για και y f() από την αρχική σχέση έχουμε: Για από την αρχική σχέση έχουμε: Επομένως ισχύει: Για Για y f (f ()) f (f () f ()) f (f ()) f () (6) f () f (f ()) f () f () f () f() f(y) f(f() y) f(f()) y f (y) f ( y) y, y R f() f, R y από την αρχική σχέση έχουμε: 4 f( ) f(f() ) f(f()) f() 4 f() f(f() ) f(f()) 4 f(f() ) f(f()) (7) f() από την αρχική σχέση έχουμε: f( f()) f(f() f()) f(f()) f () Από τις σχέσεις (7) και (8) προκύπτει ότι: f() f( f()) f() f(f()) f () f(f() ) f(f()) f () (8) 4 4 f () f () β) ος τρόπος Έστω R, τότε από τη σχέση (4) έχουμε: f f ή 4 f (9) Υποθέτουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε f R -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

88 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Από τη σχέση (5) έχουμε: f f( ) f( ) f( ) Αν υψώσουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης έχουμε: f( ) 9 9 9, που είναι άτοπο. Άρα από τη σχέση (9) προκύπτει ότι για κάθε είναι Όμως f(), οπότε f(), για κάθε R f() Η συνάρτηση αυτή είναι δεκτή, διότι επαληθεύει τη δοσμένη συνθήκη. ος τρόπος Αν στη σχέση (4) θέσουμε όπου το έχουμε: 4 4 f f, R Άρα για κάθε R είναι: 4 f () f Επομένως για κάθε R είναι: f() f, R Από τις σχέσεις (5) και () προκύπτει ότι: (5) f() f f() f f() f f() f( ) () f() f(), R () Από τη σχέση () και δεδομένου ότι f() έχουμε τελικά: γ) Έστω f(), R f(). Αν θέσουμε u e e I d d, τότε d ( u) du du Για είναι u και για είναι u, οπότε έχουμε: Είναι: u ( u) u u u e e u u u u e e e e e I ( du) du du du d J I J και e e ( e ) I J d d d d d e e e e Επομένως έχουμε: I, οπότε I -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

89 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 8ο : Έστω συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύουν: y f( y) e f() e f(y), για κάθε, y R () f () lim () Θεωρούμε επίσης και την παραγωγίσιμη συνάρτηση g e, για κάθε R () και g:r R για την οποία ισχύουν: g() f() (4) Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με f () f() e, για κάθε R β) f() e, R γ) f g δ) e f f dt, για κάθε (, ) f(t) ε) Η εξίσωση α F(t ) F(t ) dt = dt F( α),, t t όπου ΛΥΣΗ α) Έστω o Θέτουμε F() dt f(t), (, ) και α, έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα. f() f( o) R. Για κοντά στο θεωρούμε το λόγο μεταβολών λ() h o, δηλαδή o h, όπου h, διότι o Έτσι έχουμε: () h o f(o h) f( o) e f( o) e f(h) f( o) λ() h h Είναι: Άρα: lim h f( h o h o ) e e f(h) e f(h) o f( o) e h h h f (h) h () και h h t t t e e e d(e ) h h t t dt t lim lim (5) () (5) h f() f( o) e f(h) o lim limf ( o) e o h o h h o o f( o) e f( o) e R o Δηλαδή, η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο τυχαίο o R με f ( o) f( o) e Επομένως η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με f () f () e, για κάθε R o -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

90 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 β) Για κάθε R έχουμε: f () f() e f () f() e e e f() f() e f() () Άρα e f() c, c R Για έχουμε: e f() cc, διότι από τη σχέση () για y έχουμε ότι f() Επομένως: e f() f() e, R γ) Για κάθε R είναι: g e Θέτουμε t, t R και έχουμε: t g(t) ( t)e, για κάθε t R Για κάθε R είναι: Οπότε f () ( )e f () g(), για κάθε R Άρα για κάθε R είναι: f() g() c, c R Από υπόθεση είναι f () g(), οπότε c Δηλαδή είναι: Επομένως f () f g g(), για κάθε R δ) Για κάθε (, ) είναι: () f() () e, οπότε: e f f dt f (t) ος τρόπος: (με Θ.Μ.Τ.) Η σχέση (6) ισοδύναμα γράφεται: e F F(), f() όπου F() dt, (, ) f(t) είναι μια αρχική της συνεχούς συνάρτησης e dt (6) f (t) f ( f (t) ) στο διάστημα (, ) -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

91 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Για κάθε, η συνάρτηση F ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα,. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε: F F() F F(ξ), δηλαδή F( ) (7) Είναι: και Έχουμε: F() dt, f(t) f() F() f() e e Η συνάρτηση F είναι συνεχής στο [, ) F() για κάθε (, ), Επομένως η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) Έχουμε: F ξ F() F(ξ) F e f() F (, ) (7) e F e dt f f(t) f και λόγω της (6) προκύπτει ότι: e f f dt, για κάθε (, ) f (t) Σημείωση: Η σχέση (6) μπορεί να αποδειχθεί επίσης: Με τη βοήθεια των ακροτάτων της συνεχούς συνάρτησης στο διάστημα f (t) [, ], και στη συνέχεια ολοκληρώνοντας ( ος τρόπος), ή Με τη μέθοδο της μονοτονίας για κάθε ανισότητα χωριστά ( ος τρόπος). ε) Έστω F(t ) Φ() dt, (, ) t μια αρχική της συνεχούς συνάρτησης όπου F(t ) t F() dt, (, ) f(t) στο διάστημα (, ), -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

92 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Η εξίσωση α F(t ) F(t ) dt dtf()(α), t t γράφεται ισοδύναμα Φ() Φ(α) Φ()( α), (8) Θεωρούμε συνάρτηση Κ() Φ() Φ(α) Φ()( α),, Για κάθε είναι: Κ() Φ()( α) F f() Όμως Φ(), για κάθε, λόγω του ερωτήματος (γ), οπότε: Κ() α α Κ() α α Το πρόσημο της Κ() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης Κ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Έχουμε: Άρα Για Για α Κ() Κ() Κ μέγιστο Κ() Κ(α) Κ() Κ Κ() Κ(α) Κ() Κ() για κάθε (, α) (α, ) και Κ() μόνο για Επομένως η εξίσωση (8), οπότε και η αρχική εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα το α. ( ος τρόπος) Υπόδειξη: Προφανής ρίζα της εξίσωσης (8) είναι το Για με Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση Φ προκύπτει ότι Φ() Φ(α) Φ()( α). Άρα... ΘΕΜΑ 9ο : Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:r R με f(), για την οποία ισχύουν: f(), για κάθε R () f() f(y) y, για κάθε,y R () f(y) y α) Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύουν: i) f () f() ii) f() e -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

93 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του α, ώστε να ισχύει: f() α για κάθε R, όπου α γ) Αν z f() if(ln) e και, να αποδείξετε ότι z e e H() tf(t) t dt, R να αποδείξετε ότι H() e e για κάθε R δ) i) Αν ii) Να βρείτε συνάρτηση G, η οποία να είναι συνεχής στο R, παραγωγίσιμη στο R και για την οποία ισχύει: G() f() G() για κάθε R Είναι η συνάρτηση G παραγωγίσιμη στο ο ; ΛΥΣΗ α) i) Για y από τη σχέση () έχουμε: () f() f() f() () f() Αν παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της σχέσης () ως προς y, θεωρώντας το σταθερά, έχουμε: f() f (y) f(y) y f(y)( ) f() f (y) f(y) y f(y) Για y από την τελευταία σχέση έχουμε: ii) Για κάθε R είναι: f() f () f() () f() f() f() f () f(), για κάθε R f () f() f () f() f () f() f() ce Για από τη σχέση (4) έχουμε: () f() ce c (4) Για c από τη σχέση (4) έχουμε: f() e f() e, για κάθε R -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

94 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 β) Για α και για κάθε R είναι: όπου f() α e α e αg() (5), g() e α, R και α Για κάθε R είναι: g() e α, όπου α Έχουμε: g() e α e α ln( α) g() e α e α ln( α) Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. ln(+α) g() - + g() Η συνάρτηση g παίρνει ελάχιστη τιμή: ln(α) ελάχιστο gln(α) e ln(α) αln( α) Άρα για κάθε R είναι: g() ( α) ln( α) ( α) (α)ln(α) ( α) ln(α) Για να είναι g() για κάθε R, αρκεί να ισχύει: Έχουμε: ( α) ln(α), όπου α α ( α) ln(α) ln(α) Άρα η μέγιστη τιμή του α είναι α e ln( α) ln(α) lneα e α e γ) Είναι: Άρα z f () i f (ln) e ln z e i e lne z e i e ln, z e e ln Θεωρούμε τη συνάρτηση φ() e e ln, -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

95 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Για έχουμε: φ () e e ln e ln e e e ln e e ln Θεωρούμε τη συνάρτηση Για κάθε έχουμε: h () e ln e, h () e e Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ) Είναι: h() e lne Οπότε έχουμε: για h() h() h() και για h() h() h() Επειδή: έχουμε: h() φ () e e ln φ () h () φ () h () Το πρόσημο της φ () καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης φ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. φ () φ() e e ελάχιστο Η συνάρτηση φ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για το Άρα για κάθε (, ) είναι: δ) i) Για κάθε R είναι: φ () z φ() φ() z e e t t 4 φ() e e e e H() t f (t) t dt t (e t) t dt t e dt -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

96 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ii) Για κάθε R είναι: t t t o t t (e ) dt t e (t) e dt e e e dt t o e e e (e e e e G() f() G() G () G() f() (6) Η συνάρτηση H είναι παραγωγίσιμη στο R, ως αρχική της συνεχούς στο R συνάρτησης tf(t) t με: H() f() (7) Από τις σχέσεις (6) και (7) έχουμε: G () G() H () G() Για κάθε (,) είναι: Για κάθε (, ) είναι: H (), R G() H() c G() e e c (8) G() H() c G() e e c (9) Επειδή η συνάρτηση G είναι συνεχής στο o θα ισχύει: lim G() lim G() G() Είναι: lim G() lim ( e e c G() c c lim G() lim ( e e c G() c c Άρα για κάθε R είναι: e e G() e e G(), Επομένως για κάθε R είναι: e e, G() G(), Η συνάρτηση G είναι συνεχής στο o, οπότε: D.L.H e e e e e e e G() limg() lim lim lim lim -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

97 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Άρα: Για έχουμε: γιατί G() e e,, e e G() G() e e lim lim lim D.L.H e e e e (e ) lim lim lim e e lim lim, e e e e d(e ) lim lim d Άρα η συνάρτηση G είναι παραγωγίσιμη στο o με ΘΕΜΑ 4ο : G() Έστω δύο πραγματικοί αριθμοί α β με α β, μία συνεχής συνάρτηση f:r R με f() για κάθε R και η συνάρτηση g :R R με τύπο Αν ισχύει: τότε: α) i) Να αποδείξετε ότι f()d e β α β α β t g() f dt e + α f()d, για κάθε R, ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της iii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g() έχει μοναδική θετική ρίζα, o για την οποία ισχύει: 6 β) Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση o o o e t h() f dt + παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στη θέση ο, τότε να αποδείξετε ότι: f ()d f -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

98 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ β α) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση φ :R R, φ() f()d α Παρατηρούμε ότι φ () φ (), για κάθε R, οπότε η συνάρτηση φ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της. Επίσης η συνάρτηση φ είναι παραγωγίσιμη ως πράξη μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: β β φ () f()d ln f()d α α Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Fermat, οπότε έχουμε: t β β φ () f ()d ln f ()d α α β β () ln f()d f()d e α α ii) Θέτουμε u t )u dt )du Για t α ) u α, ενώ για Για κάθε R είναι: t β ) u β, οπότε έχουμε: g() f(u) )du e () ) f(u)due ) e e, R g () e () e e ) e e e e e Για κάθε R είναι: με το «ίσον» να ισχύει μόνο για με το «ίσον» να ισχύει μόνο για Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε () Επίσης είναι: e e e () Για, αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις σχέσεις () και () έχουμε: e ( e) e e e g(), -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

99 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Για προφανώς ισχύει g(). Άρα g() για κάθε R Επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R Η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο R, άρα το σύνολο τιμών της είναι: Είναι: g(r) lim g(), lim g() e e lim g() lim e e e lim e, διότι e lim lim e D.L.H lim g() lim e e e Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτηση g είναι το g(r) R iii) Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R και έχει σύνολο τιμών το R, άρα θα υπάρχει μοναδικό o τέτοιο, ώστε g( o) g Για o g() g( o) g() g Για o g() g( o) g() Το πρόσημο της συνάρτησης g φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: o g() Επειδή g() e, συμπεραίνουμε ότι (, o) Για κάθε, o είναι g() o. Άρα o με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν o, επομένως o g() d e e e d o o o e d ed e d o o o e e e d o o o e e e ο e ο eo e e ο ο ο 6o ο o e e -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

100 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 β) Θέτουμε t u t )u dt )du Για t u, ενώ για t u, οπότε έχουμε: h() f (u)du f (u)du Η συνάρτηση h έχει πεδίο ορισμού το R και παρουσιάζει ακρότατο στη θέση ο, επίσης είναι παραγωγίσιμη στο R, με: h () f (u)du f h () f (u)du f Άρα είναι παραγωγίσιμη στο ο, με: h() f(u)duf Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Fermat, οπότε έχουμε: Είναι: h () f (u)du f f (u)du f (4) (4) f ()d f f ()d f ()d f ()d f ()d d f ()d f ()d d f () f () d f () d το οποίο είναι αληθές, διότι f() για κάθε R και Επομένως ισχύει: f ()d f -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

101 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 4ο : Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z με z και z, για τους οποίους ισχύει z z () t Επιπλέον θεωρούμε τη συνάρτηση f:, R με f() z e dt α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z f() β) Να βρείτε σημείο του γεωμετρικού τόπου των εικόνων των μιγαδικών z, αν lim γ) Να αποδείξετε ότι 8 z z δ) Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ z 4 8 d ln z 5 α) Aν τα σημεία, και είναι αντίστοιχα οι εικόνες των μιγαδικών z, i και i τότε έχουμε: z z Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, εκτός των άκρων του Α και Β, αφού από υπόθεση είναι z και z β) Έχουμε: f() f () lim lim lim z e z DLH Όμως: f lim Άρα: z z Οπότε από τη σχέση () προκύπτει ότι και z Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το μέσο του ΑΒ, δηλαδή το σημείο γ) ος τρόπος:, Έστω zr, Στο (α) ερώτημα αποδείξαμε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, όπου (, ) και (, ) με εξαίρεση τα σημεία του Α και Β, αφού από υπόθεση είναι z και z Επομένως ισχύει: Είναι: g(), z z με -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

102 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Για κάθε (, ) έχουμε: g() g() g() Επομένως ο πίνακας μονοτονίας ακροτάτων για τη συνάρτηση g είναι ο παρακάτω: g + g 8 Η συνάρτηση g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για ελάχιστο το g 8 Άρα για κάθε (,) είναι g() g 8 z z ος τρόπος: * y Γνωρίζουμε ότι για,y R με y y Αν λοιπόν θέσουμε: z και y z, τότε από τη σχέση () προκύπτει ότι: y και έχουμε: ( y) ( y) y y y y z z y y y y y y y 8 y y y y -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

103 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ος τρόπος: Η ισότητα z z σε συνδυασμό με τις z και z μας δίνει τη δυνατότητα να θέσουμε: z και z,, Z και έχουμε: ( ) ( ) z z δ) Θέτουμε z, τότε έχουμε: z 4 4 d d ln z ln ln h 4 Για κάθε α (,) έχουμε: h( ) Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,), οπότε 5 8 Για h h() h lnln h ln 4 5 Επομένως: z 8 d ln z 5 4 ΘΕΜΑ 4ο : Δίνεται η περιττή συνάρτηση f :R R, με f(α) f(β) α β για κάθε, R α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση γ) Να αποδείξετε ότι f(t)dt F() f(t) t dt είναι κοίλη στο R δ) Να αποδείξετε ότι F( ) F() F () F() F( ) για ε) Αν lim F() R να βρείτε το lim F () 4-45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

104 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ α) Για o Είναι: R έχουμε: f() f( o) o o f() f( o) o f f() f o o o o o lim o f ( o) f ( o) lim o f ( o) f ( o) o Επομένως από Κριτήριο Παρεμβολής είναι και lim f () f, δηλαδή η συνάρτηση f είναι o συνεχής στο τυχαίο o R, άρα η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R β) Η συνάρτηση h(t) f(t) t είναι συνεχής στο R, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Επομένως η συνάρτηση F ορίζεται και είναι παραγωγίσιμη στο R, ως αρχική της συνεχούς συνάρτησης h Είναι: F () f(), για κάθε R o Για έχουμε: F() F f() f f( ) f f( ) f Όμως: f( ) f f( ) f f( ) f Επομένως: f( ) f F ( ) F ( ) F F Άρα η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα στο R, οπότε η συνάρτηση F είναι κοίλη στο R γ) Η συνάρτηση f είναι περιττή στο R, άρα για κάθε R είναι: R και f f() Για έχουμε: f () f () f () f () Είναι: F() f (t) t dt και F () f () -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

105 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Η εξίσωση της εφαπτομένης της C F στο σημείο της,f() είναι: y F() F () y Η συνάρτηση F είναι κοίλη στο R, άρα για κάθε R είναι: F() y F() f(t) t dt f(t)dt tdt t f(t)dt f(t)dt δ) Η συνάρτηση F είναι: συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα,,, παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα (, ), (, ) Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, οπότε θα υπάρχουν: F() F (, ) τέτοιο, ώστε F F() F () F() F() (, ) τέτοιο, ώστε F( ) F() F() Είναι: Η συνάρτηση Fείναι γνησίως φθίνουσα στο,, οπότε έχουμε: FF () F F() F F () F F() F F() F () F() F( ) ε) Είναι: Οπότε: Άρα lim F(), R u lim F( ) lim F(u) και u u lim F( ) lim F(u) lim F F() και lim F() F Επομένως από Κριτήριο Παρεμβολής αξιοποιώντας το ερώτημα (δ) είναι και lim F () -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

106 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 4ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f() e για κάθε R () και η συνάρτηση t F() e e f(t)dt dt, R n n με F( n8) n α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Cf της συνάρτησης f στο σημείο της O,f() β) Να υπολογίσετε το lim γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(t) e dt 4 e f(t)dt έχει ακριβώς μία ρίζα στο, δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την C f, τον άξονα και τις ευθείες n, n8 ΛΥΣΗ α) Για από τη σχέση () έχουμε f(), άρα f() Για έχουμε: f() f() f() Για κάθε R είναι: f() e f() e () Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν τότε από τη σχέση () έχουμε Είναι: lim e e e d(e ) lim lim d f() e f() Επομένως από Κριτήριο Παρεμβολής είναι και lim Αν τότε από τη σχέση () έχουμε Είναι: lim f() e e e e d(e ) lim lim d f() Επομένως από Κριτήριο Παρεμβολής είναι και lim -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

107 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Είναι: f() f() lim lim Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο o με f() Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης σημείο της O, f() είναι: β) Είναι: lim y f () f () y y f (t) e dt f (t)dt e dt lim f (t)dt e f (t)dt e lim lim D.L.H f(t)dt e f() e e lim lim f() e lim γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g() e f(t)dt,, Cf της συνάρτησης f στο 4 Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Είναι: 4 4 g() e Όμως Οπότε 4 g() e f(t)dt f() e άρα 4 g() f()d e d f()d ee f()d Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε η εξίσωση g() έχει μία ρίζα στο, Για κάθε, είναι οπότε η ρίζα αυτή είναι και μοναδική. g () e f (), επομένως η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

108 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 δ) Επειδή f() γραφική παράσταση και Έχουμε: Άρα είναι: Έστω: Θέτουμε: Οπότε: n8 είναι: για κάθε n, n8, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις n n8 E f()d n n8 n8 n8 t F( n8) e e f (t)dt dt n n n8 n t n8 e 8E dt 8E e dt n n n n F( n8) E n8 n8 t t 8 e dt 8 e dt n8 n I e dt t t t u e u e t udu e dt dt n u u Για t n είναι u e και για t n8 είναι u e Έχουμε: u u I u du du du u u u Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς A, έτσι, ώστε για κάθε u, να ισχύει: Άρα: t n8 A B AuBu u u u A A (A )u B A I du du du u u u (u)du (u)du u u -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

109 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 (u)du (u)du u u n u n u n Οπότε: n E E 8 8 n ΘΕΜΑ 44ο : Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f() f και f() 6 f() για κάθε R α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () f() e είναι σταθερή στο R β) Να αποδείξετε ότι f()d γ) Αν επιπλέον ισχύει f(), να αποδείξετε ότι f() e e, R δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και την αντίστροφη συνάρτηση της f ε) Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ 6 n d n 4 α) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα και η συνάρτηση 6 f () είναι παραγωγίσιμη στο R Από υπόθεση είναι f () 6 f () για κάθε R, οπότε η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, άρα η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με: f ()f () f ()f () f () f () 6 f f() Άρα: Η συνάρτηση f () f() για κάθε R () g() f () f() e, R είναι παραγωγίσιμη στο R, ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ παραγωγισίμων συναρτήσεων. -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

110 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Για κάθε R είναι: g () f () f () e f () f() e Άρα η συνάρτηση g είναι σταθερή στο R () e f () f () f () f() e f () f() β) Έχουμε: () f ()d f ()d f () f () f - f () f 6 f () 6 f 6 f () 6 f f() f f() f 6 f () 6 f, αφού f() f γ) Η συνάρτηση g είναι σταθερή στο R, άρα για κάθε R Είναι: είναι: g() c f () f() e c f () f() ce () f () και f () 6 f () 6 4 Για από τη σχέση () έχουμε: f () f () ce 4 c c 4 Οπότε από τη σχέση () έχουμε: f () f() 4e, R () Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της σχέσης () με Για από τη σχέση (4) έχουμε: Οπότε από τη σχέση (4) έχουμε: e, οπότε έχουμε: f ()e f()e 4e f()e e f()e e c f() e ce, R (4) f () e c e c c f () e e f () e e, R δ) Για κάθε R είναι: f() e e, R Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R και επειδή είναι και συνεχής, το σύνολο τιμών της είναι: f( ) lim f(), lim f() -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

111 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Είναι: lim f () lim ( e e ) lim f () lim ( e e ), αφού lim e και lim e t t lim e t t t t, αφού και lim e lim e Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι f (, ) R Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, θα είναι και "", οπότε αντιστρέφεται. Αν θέσουμε f() y y( e e ) ye e e ye e y y 6 e 4 y y 6 n, y R 4 Άρα: 6 f :R R με f () n 4 ε) Είναι: 6 I n d f () d 4 Θέτουμε: Για είναι Για είναι Είναι: u f () f(u), οπότε d f (u)du 6 u f () u n n 4 96 u f () u n n 4 n n n n u u I uf (u)du uf(u) f(u)du nf n e e du n u u nf n e e αφού: n nf ne 4 n e, n 4 4 n n f n e n e -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

112 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ 45ο : Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτησηf :R R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: 4 ( f (t) ) dt f ()f() f () e, για κάθε R () f(), για κάθε R () f() e () e α) Να αποδείξετε ότι f() e, R β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, και (,e) με για τα οποία ισχύει : f ( ) (e)f ( ) f () f f(e) γ) Να υπολογίσετε το όριο: t ef (t)dt lim ( )f() δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει: ΛΥΣΗ f(t)dt e α) H συνάρτηση f είναι συνεχής και f() για κάθε R, άρα η f διατηρεί πρόσημο στο R Είναι f() e, άρα f() για κάθε R Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, οπότε η συνάρτηση: ( f(t) ) dt είναι παραγωγίσιμη στο R, ως αρχική της συνεχούς συνάρτησης f()f() είναι παραγωγίσιμη στο R, ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων f () είναι παραγωγίσιμη στο R, ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων ( f(t) ) Επομένως οι συναρτήσεις και στα δύο μέλη της σχέσης () είναι παραγωγίσιμες στο R, οπότε παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης αυτής έχουμε: 4( f ()) f ()f() f ()f () f()f () 4( f ()) f ()f() ( f ()) f()f () ( f ()) f ()f() f()f () ( f ()) f ()f() f()f () () f()f () f ()f() ( f ()) f () f ()f() ( f ()) f() f () f () f () f () ce, f() f() f() R (4) -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

113 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Για από τη σχέση () έχουμε: 4 ( f (t) ) dt f ()f () f () e () () f()e e e f()e e f() e (5) Για από τη σχέση (4) έχουμε: (),(5) f() e ce c c f() e Επομένως, με αντικατάσταση του c, η σχέση (4) γράφεται: f() e nf() (e ) nf() e c f() Για από τη σχέση (6) έχουμε:, R () nf() e c ne c c Επομένως, με αντικατάσταση του c, η σχέση (6) γράφεται: e nf() e f() e, R είναι: β) Για κάθε R e e e f() e e (e) e e e e e Για τη συνάρτηση f() e στο διάστημα [,] ισχύουν: Η f είναι συνεχής στο [,] Η f είναι παραγώγισιμη στο (,) (6) Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα [,], άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) τέτοιο, ώστε: f() f() e f( ) f( ) e e e Για τη συνάρτηση f() e στο διάστημα [, e] ισχύουν: Η f είναι συνεχής στο [,e] Η f είναι παραγώγισιμη στο (, e) Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα [, e], άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα (, e) τέτοιο, ώστε: ee f(e) f() e f( e ) f( ) e e e Για τη συνάρτηση f() e στο διάστημα [,] ισχύουν: Η f είναι συνεχής στο [,] Η f είναι παραγώγισιμη στο (,) Ικανοποιούνται λοιπόν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα [,], άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) τέτοιο, ώστε: f() f() e f f e e e -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 44

114 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Είναι: f ( ) (e)f ( ) f () f f(e) ee e e e e e e ee e e (e) e e ee e e ee e e e ee e ee e e e ee, αληθές Άρα αληθής είναι και η προς απόδειξη σχέση. γ) Υπολογίζουμε καταρχάς το ολοκλήρωμα Έχουμε: Θέτουμε: Για t είναι t ef (t)dt t t t e t t et t ef (t)dtee dt ee edt (7) t u e, οπότε u e Για t είναι u e Οπότε από τη σχέση (7) έχουμε: Υπολογίζουμε το όριο: du e dt t e e e t t et t u u u e u e f (t)dt e e e dt ue du u e du ue (u) e du e u e u u e u e e e ue e du ue e e e e e e e e e ee ee e e (e ) t ef (t)dt e lim lim e lim e (e ) e f() e D.L.H lim e lim e D.L.H δ) Θα αποδείξουμε καταρχάς ότι για κάθε R ισχύει Θεωρούμε τη συνάρτηση: Για κάθε R είναι: Έχουμε: g() e, R g() e e g() e e e e g() e e e e -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 45

115 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Το πρόσημο της g() καθώς η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. g() Ελάχιστο Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο στο o με ελάχιστη τιμή Άρα για κάθε R είναι: g() g() e e (8) Αν στη σχέση (8) θέσουμε Για κάθε ισχύει t e έχουμε: g() e et t et t t e e e dt (e )dt f (t)dt e dt dt t f (t)dt e f (t)dt e e f(t)dte f(t)dte, R (9) () Αν στη σχέση () θέσουμε όπου το e έχουμε: e e e e () Από τις σχέσεις (9) και () έχουμε: g() f(t)dt e e e e f (t)dt f (t)dt, R -45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 46

116 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με Re(z ) = και Re(z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = και f(i ) = 64 8i, τότε να αποδείξετε ότι: α) f( i) = 64+ 8i β) ( )( ) + z + z + z + z = 46 γ) z = και z = 7 ΛΥΣΗ α) Είναι: f (i) = i z i z i z i z f( i) i z i z i z i z = = = ( i z )( i z )( i z )( i z ) = = ( i z )( i z )( i z )( i z ) = = ( i z )( i z )( i z )( i z ) = = ( i z )( i z )( i z )( i z ) = = f (i) = 64 8i = i β) Είναι: + z + z + z + z = = z i z i z i z i = = z i z + i z i z + i z i z + i z i z + i = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

117 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ = z i z i z i z i z + i z + i z + i z + i = = i z i z i z i z i z i z i z i z = ( ) = f (i)f ( i) = 64 8i i = = = 46 γ) Είναι: z + z = Re(z ) = ( ) = 4 () Έχουμε: z + z = Re(z ) = = 4 () f (i) i z i z i z i z = = = ( i z )( i z ) ( i z )( i z ) = Όμως: (),() = i( z + z ) z i( z + z ) z = + + = z + 4i z 4i = = z + 4i z 4i = ( )( ) ( ) ( ) ( z )( z ) 6 4 z 4 z i = z z 6 4 z 4 z + + i = = + + f(i) = 64 8i Άρα έχουμε: ( )( ) ( )( ) z z + 6 = 64 z z = 48 4z 4z = 8 z z = 4 z z 48 + = z = 48 z z = z + = z + 4 z = 7 z = 49 z = 7 z z z = z + = 9 = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

118 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Δίνεται η παράσταση f(z) = ( + i) z z + i z i. Να αποδείξετε ότι: α) Το ευρύτερο υποσύνολο του C στο οποίο ορίζεται η παράσταση f(z) είναι το C R β) z + i z i z γ) f(z) δ) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z, για τους οποίους ισχύει f(z) = 6 z, είναι υπερβολή, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. ΛΥΣΗ α) Έστω z= + yi,,y R και M(, y) η εικόνα του στο επίπεδο. Για να ορίζεται η παράσταση f αρκεί z + i z i Εξετάζουμε λοιπόν για ποιους μιγαδικούς αριθμούς z ισχύει z + i z i = Είναι: z + i z i = z + i = z i + (y + )i = + (y )i + (y+ ) = + (y ) + y + y + = + y y + y = y 4y = y = Άρα, για να ορίζεται η παράσταση f αρκεί y, δηλαδή z C R β) Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z + z για κάθε z, z οπότε για z = z + i και z = z i έχουμε: C, z + i z i (z + i) +( z i) = z = z γ) Για κάθε z C είναι: z + i z i z οπότε για κάθε z C R είναι: z + i z i z () Έχουμε λοιπόν: ( + i)z ( + i)z + i z f(z) = = = = z + i z i z + i z i z + i z i - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

119 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ z () = z z z + i z i = z + i z i z = δ) Είναι: ( + i)z + i z f(z) = z = z = z 6 z + i z i 6 z + i z i 6 z (α) = z z z + i z i = z z + i z i = z + i z i 6 Είναι: z + i z i = z ( i ) z ( + i ) = (ΜΕ) (ΜΕ) =, όπου Μ η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z, Ε(, ) και Ε(, ) Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = σταθερή και μικρότερη του (ΕΕ) =. Επομένως, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε(, ) και Ε(,), άρα γ = Επιπλέον είναι α = α = 6, οπότε β = γ α β = 6 β = 64 β = 8 και η εξίσωση της υπερβολής είναι: y y α β = 6 64 = ΘΕΜΑ ο : Δίνονται τρεις μιγαδικοί αριθμοί z,w,u με z =, w = 4, u = 5 και z+ w+ u =, οι οποίοι έχουν εικόνες τα σημεία Α, Β, Γ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι 6z + 9w = β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. γ) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών z,w,u ΛΥΣΗ α) Από την υπόθεση έχουμε: 9 z = z = 9 z z = 9 z = z () 6 w = 4 w = 6 ww = 6 w = w () 5 u = 5 u = 5 uu = 5 u = u () - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

120 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επίσης έχουμε: Είναι: u = (z + w ) (4) z+ w+ u = z+ w+ u = (5) Η σχέση (5) με βάση τις σχέσεις (), () και () γράφεται: = + = z w u z w z+w 9w(z + w) + 6z(z + w) 5zw = 9wz + 9w + 6z + 6zw 5zw = 6z + 9w = (6) β) Αρκεί να αποδείξουμε ότι: (OA) + (OB) = (AB) z + w = z w Είναι όμως: z w = (z w)(z w) = zz + ww (zw + zw) = (6) = 6z 9w 6z 9w ( AB) w + z = + zw = = Επομένως έχουμε: ( AB) = z w = 5 Είναι: (OA) + (OB) = z + w = = 5 = z w = ( Α B) οπότε το τρίγωνο OABείναι ορθογώνιο. γ) Αρκεί να βρούμε ακόμα τους αριθμούς z u και w u, που είναι αντίστοιχα τα μήκη των πλευρών ΑΓ και ΒΓ, αφού ήδη έχουμε αποδείξει ότι (AB) = z w = 5 Είναι: (4) z u = z+ w = (z+ w)(z+ w) = = 4zz + ww + (zw + wz) = 4 z + w + (zw + wz) = (6) = 9w 6z 6z 9w z + w = zw = Επομένως έχουμε: ( A Γ ) = z u = 5 = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

121 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (4) w u = z+ w = (z+ w)(z+ w) = = zz + 4ww + (zw + wz) = z + 4 w + (zw + wz) = = 9w 6z 6z 9w z + w = zw = Επομένως έχουμε: ( ΒΓ ) = w u = 7 ΘΕΜΑ 4ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: z i = α z i () α w(z i) zi α = (), όπου α R και < α α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός v = z w με w z + w z, είναι φανταστικός δ) Αν z,z είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί με εικόνες αντίστοιχα στο επίπεδο τα σημεία Α,Β, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση () και w είναι ένας μιγαδικός αριθμός με εικόνα στο επίπεδο το σημείο Γ, ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση (), τότε να αποδείξετε ότι: ΛΥΣΗ α) Είναι: (ΓΑ) (ΓΒ) z i z i z α i α z i z α i α α z i α = = = ( z α )( i z α i) α ( z i)( z i) ( z α i)( z α i) α ( z i)( z i) = + = zz + α zi α zi α i = α zz+ α zi α zi α i z α i = α z α i 4 z α z α α = α < α z = α α z = α z = α () Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο (,) και ακτίνα ρ= α β) Έχουμε: z i () zi + α w(z i) zi α = w(z i) = zi + α w = zi z z i zz z (z i) w = + w = + w = + z i z i z i Είναι z i, γιατί αν z = i από τη σχέση () προκύπτει (4) α = άτοπο. z i - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

122 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Από τη σχέση (4) έχουμε: z (z+ i) z (z+ i) z z+ i z z i w = w = w = w = z i z i z i z i z z i () w = w = z w = α z i Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w ανήκουν στον κύκλο, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Ο (,) και ακτίνα ρ = α γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι v = v Από τις σχέσεις () και (5) έχουμε: α z = α zz = α z = 4α w = 4α ww = 4α w = w Είναι: v = = = = = = Άρα ο αριθμός z α 4α α z w z w z w z w z w z + w z + w z + w α 4α α + + z w z w (5) w z z w zw w z z w = = = = = v + w+ z w+ z z+ w z w zw v = z w z + w είναι φανταστικός δ) Είναι: (ΓΑ) = w z και (ΓΒ) = w z Για τους μιγαδικούς αριθμούς w, z από τριγωνική ανισότητα έχουμε: w z w+ z w + z (6) Αν στη σχέση (6) θέσουμε, όπου z το z έχουμε: z = z w z w+( z ) w + z w z w z w + z α α w z α+ α α (ΓΑ) α (7) Ομοίως για τους μιγαδικούς αριθμούς w, z έχουμε: α w z α α (ΓΒ) α, οπότε α (ΓΒ) α (8) - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7

123 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (7) και (8) έχουμε: α (ΓΑ) α (ΓΑ) α (ΓΒ) α (ΓΒ) ΘΕΜΑ 5ο : Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς w και z, για τους οποίους ισχύει ότι: 5 w = 8 + 5w 6 i Οι εικόνες Κ(z) των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι τα κέντρα των κύκλων εκείνων που εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου C :( Ε,4 ), όπου διέρχονται από το σημείο Ε(,) Ε, και Να βρείτε: α) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο. β) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο. γ) Την ελάχιστη τιμή του μέτρου z w δ) Τους μιγαδικούς z, z, z, z 4 από τους μιγαδικούς αριθμούς z, που οι εικόνες τους είναι κορυφές τετραγώνου με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες και yy ΛΥΣΗ α) Έστω w=+ yi,, y R, τότε έχουμε: 5 w = 8 + 5w 6 i 5 + yi = 8 + 5( + yi) 6 i 5 + yi = y i 5( y ) y + = y = y y y 6 = + y 6 = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία ε :+ y 6= β) Αν Δ είναι το σημείο επαφής ενός κύκλου κέντρου Κ(z) με τον κύκλο C, τότε ισχύει: ΚΔ < 4 ( ΚΕ) 4 ( ΚΔ) = (), με Επειδή (ΚΔ) = (ΚΕ) η σχέση () ισοδύναμα γράφεται: ( ΚΕ) = 4 ( ΚΕ ) ( ΚΕ) + ( ΚΕ) = 4 και ΕΕ = < 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Κ, που είναι οι εικόνες των μιγαδικών z στο επίπεδο είναι έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε(,), Ε(,) και μεγάλο άξονα ΑΑ με (ΑΑ) = α = 4, οπότε α = Είναι: γ= ( ΕΕ) = γ = και β = α γ β = - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8

124 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επομένως η εξίσωση της έλλειψης είναι y C: + = 4 γ) Έστω Κ(z) και Μ(w) οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, w στο μιγαδικό επίπεδο, τότε είναι z w = (KM) (KH) (ΓΖ), όπου ΚΗ (ε) και Γ εκείνο το σημείο της έλλειψης C, στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη προς την ευθεία ε και απέχει από αυτή τη μικρότερη απόσταση. Εύρεση του Γ: Έστω Γ(, y ) σημείο της έλλειψης C, τότε ισχύει: y + = () 4 Η εξίσωση της εφαπτομένης ε στο σημείο Γ είναι: yy ε : + = 4 Είναι: y ε//ε λε = λ ε = y= () 4y Από την () έχουμε: = = =± 4 Για = είναι y =, άρα Γ, - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9

125 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Για = είναι y =, άρα Γ, Οι εφαπτόμενες της έλλειψης C, στα σημεία της Γ και Γ είναι παράλληλες προς την ευθεία ε και d( Γ, ε) = = = d( Γ, ε) = = = Δηλαδή d( Γ, ε) < d( Γ,ε), άρα το ζητούμενο σημείο Γ είναι το Γ Είναι: 5 z w = (KM) (KH) (ΓΖ) = d( Γ,ε) = 5 Άρα η ελάχιστη τιμή του μέτρου z w είναι 5 5 δ) Έστω τα σημεία Μ, Μ, Μ, Μ 4 της έλλειψης C, που είναι οι εικόνες των μιγαδικών z,z,z,z 4 αντίστοιχα, με z = + yi,, y >, ώστε το τετράπλευρο Μ Μ Μ Μ 4 να είναι τετράγωνο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες και yy Λόγω των συμμετριών ισχύει: z = z, z = z και z = z 4 Είναι: z z z z 4 ΜΜ = ΜΜ = 4,y > z z = z z y i = y = () y + = (4), γιατί το σημείο Μ (C) 4 Από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων () και (4) προκύπτει ότι: = y =, γιατί, y > 7 Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί αριθμοί είναι: z i 7 = ( + ), z = ( i), z = ( i) και z = ( + i) ΘΕΜΑ 6ο : Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: R R, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση: f () + g () = f () + g (), για κάθε R () και οι μιγαδικοί αριθμοί z = f()+g()i - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ