ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο"

Ἡλί Παπαδάκης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 14 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο _18997 ΘΕΜΑ Β Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνω στη ράµπα του παρακάτω σχήµατος. α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος y, που απέχει το κουτί από το έδαφος κάθε χρονική στιγµή, ισχύει ότι y= s 4 όπου s το µήκος που έχει διανύσει το κουτί πάνω στη ράµπα. (Μονάδες 1) β) Όταν το κουτί απέχει από το έδαφος m, να βρείτε: i. Το µήκος s που έχει διανύσει το κουτί στη ράµπα. (Μονάδες 3) ii. Την απόσταση του σηµείου από την άκρη της ράµπας Α. (Μονάδες 7) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΜΑΡΜΑΡΙΝΟΥ) α) Έστω Κ το σηµείο του κουτιού. Συγκρίνουµε τα τρίγωνα Α Κ,ΑΒΓ τα οποία έχουν: ˆΑ : κοινή ˆ ˆ Α Κ =ΑΒΚ =9 Άρα τα τρίγωνα Α Κ ΑΒΓ ΑΚ Α Κ = = ΑΓ ΑΒ ΒΓ. ΑΚ Κ Άρα = ΑΓ ΒΓ s = y y= s y= s y= s 4 s α για y= = s= 8m 4 Το τρίγωνο Α Κ είναι ορθογώνιο. Εφαρµόζουµε ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ και έχουµε: β) i) από ( ) ii) ΑΚ = Κ +Α 8 = +Α 64= 4+Α. _191 ΘΕΜΑ Β Τα µήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι α=8, β=6 και γ=. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο. (Μονάδες 11) β) Να υπολογίσετε τις προβολές της πλευράς ΑΒ στις πλευρές ΑΓ και ΒΓ. (Μονάδες 14) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΤΣΙΤΙΜΑΚΗΣ ΓΑΜΒΡΙΝΟΣ) α)επειδη α η µεγαλύτερη πλευρά παρατηρούµε ότι Άρα αµβλυγώνιο µε Α> ˆ 9 1

(Μονάδες 1) β) Όταν το κουτί απέχει από το έδαφος m, να βρείτε: i. Το µήκος s που έχει διανύσει το κουτί στη ράµπα. (Μονάδες 3) ii. Την απόσταση του σηµείου από την άκρη της ράµπας Α.

2 14 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΛ. β) Εφαρµόζουµε επέκταση Πυθαγορείου θεωρήµατος για την Β ˆ < 9 κι έχουµε: β =α +γ αβε ή 36= ΒΖ ή 16ΒΕ=3 οπότε ΒΕ= Οµοίως για την Α> ˆ 9 και α =β +γ βα ή 64=36++1Α οπότε 1Α =3 και Α =. _198 ΘΕΜΑ Β α) Ποιες από τις παρακάτω τριάδες θετικών αριθµών µπορούν να θεωρηθούν µήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. i. 3, 4, ii. 3λ, 4λ, λ ( λ>) iii. 4,, 6 (Μονάδες18) β) Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο να αποδείξετε ότι, το µήκος x είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 4. (Μονάδες 7) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΙΜΑΚΗΣ ΓΑΜΒΡΙΝΟΣ) α) i) Είναι ορθογώνιο γιατί ισχύει = = 16+ 9= ii) Είναι ορθογώνιο γιατί ισχύει ( λ ) = λ = 16λ + 9λ = ( 4λ ) + ( 3 λ) iii) εν είναι γιατί 6 = = 4 + β) Ισχύει ότι ( )( ) άρα x=68= 8 = 1 + x x = 8 1 x = x = = άρα ακέραιο πολλαπλάσιο του 4

_198 ΘΕΜΑ Β α) Ποιες από τις παρακάτω τριάδες θετικών αριθµών µπορούν να θεωρηθούν µήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. i. 3, 4, ii. 3λ, 4λ, λ ( λ>) iii.

3 14 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. _1941 ΘΕΜΑ Β ˆ 9 µε ύψος Α και ΑΓ = 8, Γ= 3. Να υπολογίσετε τα µήκη των παρακάτω τµηµάτων: α) ΒΓ (Μονάδες 9) β) ΑΒ (Μονάδες 8) γ) Α (Μονάδες 8) ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α= ) 3 Γ = α) Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: άρα. β) Από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα στο ΑΒΓ ισχύει: άρα δηλαδή άρα. γ) άρα. Ισχύει: δηλαδή _194 ΘΕΜΑ Β ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α = 7, β = 4 και µ β = 33 α) Να αποδείξετε ότι γ=. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 1) 3

ΑΒΓ ( Α= ) 3 Γ = α) Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: άρα. β) Από το Πυθαγόρειο Θεώρηµα στο ΑΒΓ ισχύει: άρα δηλαδή άρα. γ) άρα.

4 14 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΛ. α) Ισχύει ότι Άρα άρα. β) Για το τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει,,. Η µεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου είναι η. άρα εποµένως άρα τρίγωνο αµβλυγώνιο. _1943 ΘΕΜΑ Β ˆ 9 µε ΑΓ = 4 και ύψος Α = 1 α) Να υπολογίσετε το µήκος του τµήµατος Γ. (Μονάδες 1) ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α= ) β) Να αποδείξετε ότι Β= 9 (Μονάδες 1) γ) Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες ) Γ A B α) Πυθαγόρειο θεώρηµα στο τρίγωνο ΑΓ άρα β) Ισχύει: 4

_1943 ΘΕΜΑ Β ˆ 9 µε ΑΓ = 4 και ύψος Α = 1 α) Να υπολογίσετε το µήκος του τµήµατος Γ.

5 14 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. γ) άρα _194 ΘΕΜΑ Β ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές ΑΒ = 6, ΒΓ = 9 και Β= ˆ 6 α) Να αποδείξετε ότι ΑΓ = 3 7. (Μονάδες 8) β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 8) γ) Να υπολογίσετε την προβολή της ΑΒ πάνω στη ΒΓ. (Μονάδες 9) α) Από νόµο συνηµιτόνων β) Η µεγαλύτερη πλευρά του ΑΒΓ είναι άρα και άρα δηλαδή και αφού η µεγαλύτερη γωνία του τριγώνου (αφού είναι απέναντι από την µεγαλύτερη πλευρά) είναι οξεία το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. γ) Από Θεώρηµα οξείας γωνίας για το ΑΒΓ (Β η προβολή του ΒΑ στην ΒΓ). Ισχύει: 4_19 ΘΕΜΑ Κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο. Οι διαγώνιοί του ΑΓ και Β τέµνονται στο σηµείο Μ, το οποίο είναι το µέσο της διαγωνίου Β. Να αποδείξετε ότι: α) Β = 4 ΜΑ ΜΓ (Μονάδες 7) β) ΑΒ +Α = ΑΜ ΑΓ (Μονάδες 9) γ) ΑΒ +ΒΓ +Γ +Α = ΑΓ (Μονάδες 9) ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΒΑΣΙΛΗΣ ΖΩΓΡΑΦΟΣ)

(Μονάδες 9) 6 3 7 6 9 α) Από νόµο συνηµιτόνων β) Η µεγαλύτερη πλευρά του ΑΒΓ είναι άρα και άρα δηλαδή και αφού η µεγαλύτερη γωνία του τριγώνου (αφού είναι απέναντι από την µεγαλύτερη πλευρά) είναι

6 14 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΛ. α) Οι χορδές Β και ΑΓ τέµνονται στο Μ συνεπώς Β Β ΜΒ Μ =ΜΑ ΜΓ =ΜΑ ΜΓ Β = 4ΜΑ ΜΓ (1) β) Από 1ο θεώρηµα διαµέσων στο ΑΒ τρίγωνο έχουµε Β ΑΒ +Α = ΑΜ + () Από τις (1) και () προκύπτει: 4ΜΑ ΜΓ ΑΒ +Α = ΑΜ + ΑΒ +Α = ΑΜ + ΜΑ ΑΒ +Α = ΜΑ ΜΑ+ΜΓ ΑΒ +Α = ΜΑ ΑΓ ( ) γ) Από ο ερώτηµα ισχύει ότιαβ +Α = ΜΑ ΑΓ όµοια προκύπτει από το 1ο θεώρηµα διαµέσων στο ΓΒ τρίγωνο Γ +ΒΓ = ΓΜ ΑΓπροσθέτοντας αυτές τις σχέσεις Προκύπτει ΑΒ +Α +Γ +ΒΓ = ΜΑ ΑΓ+ ΓΜ ΑΓ ΑΒ +Α +Γ +ΒΓ = ΑΓ 6

τρίγωνο έχουµε Β ΑΒ +Α = ΑΜ + () Από τις (1) και () προκύπτει: 4ΜΑ ΜΓ ΑΒ +Α = ΑΜ + ΑΒ +Α = ΑΜ + ΜΑ ΑΒ +Α = ΜΑ ΜΑ+ΜΓ

Σχετικά έγγραφα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις