ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. Δ. Α. Γεωργίου. Μάθημα 1ο

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Δ. Α. Γεωργίου 1

2 Εισαγωγή Μαθηματική Θεωρία Μέτρου Εισάγει το μέτρο της αβεβαιότητας για την εξέλιξη των φυσικών φαινομένων Διαισθητική αντίληψη της έννοιας. Τι εννοεί ο μη ειδήμων όταν αναφέρεται στην έννοια της πιθανότητας; 2

3 Πρόγραμμα εργασιών Θα αναφερθούμε στην αξιωματική θεμελίωση της πιθανότητας (τρεις εβδομάδες Θα εισάγουμε τις στοιχειώδεις στατιστικές παραμέτρους και τις κατανομές των πιθανοτήτων (πέντε εβδομάδες) Θα αναφέρουμε στοιχεία της θεωρίας εκτιμήσεων και της στατιστικής συμπερασματολογίας (δυο εβδομάδες) Τέλος θα εισάγουμε μερικές τεχνικές από τον στατιστικό έλεγχο υποθέσεων (τρεις εβδομάδες) 3

4 Επισκόπηση Αιτιοκρατία εναντίον Πιθανοκρατίας Άλγεβρα Συνόλων Θεωρία Συνόλων Συνδυαστική Ανάλυση Λογισμός Πιθανότητας Έλεγχος Υποθέσεων Θεωρία Πιθανοτήτων Κατανομές Πιθανότητας Τεχνικές Δειγματοληψίας Συμπερασματο λογία 4

5 Λεξιλόγιο Γλωσσάρια ορολογίας Καθορισμός των όρων που χρησιμοποιούνται σε αυτό το θέμα 5

6 Πρώτο θέμα: Δειγματοχώρος Η σημασία του δειγματοχώρου στη θεμελίωση του μοντέλου Παράδειγμα πεπερασμένων δειγματοχώρων Παράδειγμα αριθμήσιμων δειγματοχώρων Παράδειγμα μη αριθμήσιμων δειγματοχώρων Βελόνα του Baffon Παράδοξο του Bertrand Aσκήσεις 6

7 Δεύτερο θέμα: Αξιωματική Θεμελίωση Μια συνάρτηση Ρ: R λέγεται πιθανότητα αν ισχύει (α) Ρ(Α) 0, για κάθε A (β) Ρ(Ω)=1 (γ) Ρ(A n ) =Ρ(A n ), για κάθε ακολουθία ασυμβίβαστων γεγονότων. Παράδειγμα 3 Παράδειγμα 4 Άσκηση 7

8 Τρίτο θέμα: Ανάπτυξη Θεωρίας (δ) Ρ(Α) = l-p(ac), A (ε) 0 P(A) l, A (στ) Ρ( ) = 0 (ζ) P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β), A,Β. (η) αν A,Β, και A B τότε P(A) P(B) και Ρ(Β-Α)=Ρ(Β)-Ρ(Α) (θ) αν A 1, A 2,..., A n, τότε Ρ(A k ) =Ρ(A k ), 8

9 Τέταρτο θέμα: Υπό συνθήκη πιθανότητα P(B/Γ c )=P(B Γ c )/P(Γ c ) Παράδειγμα Θεώρημα Για οποιαδήποτε γεγονότα Α 1, Α 2,..., Α n, τέτοια ώστε Ρ(Α 1 Α 2 Α n-1 )>0, ισχύει ότι Ρ(Α 1 Α 2 Α n )= Ρ(Α 1 )Ρ(Α 2 /Α 1 )Ρ(Α 3 / Α 1 Α 2 )... Ρ(Α n /Α 1 Α 2 Α n-1 ). Α Γ Β Γ c Παράδειγμα 9

10 Πέμπτο θέμα: Στατιστική Ανεξαρτησία Ρ(Α Β) = Ρ(Α)Ρ(Β) Στατιστικά Ανεξάρτητα Παράδειγμα Παράδειγμα Παράδειγμα Μια πεπερασμένη ακολουθία γεγονότων γεγονότα A1,A2,, An. λέγεται στατιστικά ανεξάρτητη αν για κάθε σύνολο ακεραίων I1, I2,, In, τέτοιο ώστε 1 I1, I2, In n, έχουμε Ρ(Α Α Α) = Ρ(Α)Ρ( Α) Ρ( Α) 10

11 Έκτο θέμα: Κανόνας Ολικής Πιθανότητας Έστωσαν Ε1, Ε2, Εκ, ένας πεπερασμένος διαμελισμός του δειγματικού χώρου και Β ένα γεγονός σε αυτόν. Ισχύει ότι Ρ(Β) = Ρ(Β/ Ε1)Ρ(Ε1) + Ρ(Β/ Ε2) + + Ρ(Β/ Εκ) Παράδειγμα 11

12 Ο νόμος του Bayes Για ένα γεγονός B που πραγματοποιήθηκε πριν από ένα άλλο γεγονός Α (του οποίου όμως την πιθανότητα πραγματοποίησης γνωρίζουμε), ισχύεί ότι: P(Β/Α)=Ρ(Α Β)/Ρ(Α) = Ρ(Α/Β)Ρ(Β)/Ρ(Α) 12

13 Παράδειγμα 1 Η προμήθεια προγραμματιζόμενων PLC ελεγκτών για μια εταιρεία κατασκευής γραμμών μεταφοράς, γίνεται από τους προμηθευτές Α και Β. Ο Α προμηθεύει 600 PLCs, από τα οποία 3% είναι προς απόρριψη. Ο Β προμηθεύει 400 PLCs, από τα οποία 1% είναι προς απόρριψη. Ποια πιθανότητα ένα PLC να προέρχεται από τον Α; P(A)=600/1000 = 0,6 13

14 Παράδειγμα 1 (συνέχεια) Ποια η πιθανότητα ότι το συγκεκριμένο PLC είναι απορριπτέο; Ρ(Ε) = Ρ(Ε/Α)Ρ(Α)+Ρ(Ε/Α c )Ρ(Α c ) = =0,03x0,6+0,01x0,4 = 0,022 14

15 Παράδειγμα 1 (συνέχεια) Αν το συγκεκριμένο PLC είναι απορριπτέο ποια η πιθανότητα ότι η προμήθεια του έγινε από τον Α; Τα ελαττωματικά είναι 600x0,03+400x0,01 =22 Αν Ε={ελαττωματικό PLC} Άρα, Ρ(Α/Ε)= 600x0,03/ (600x0,03+400x0,01) = 18/22 15

16 ΣΥΝΕΧΕΙΣ Δ.Χ. / ΧΡΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ Το τραίνο Χ φθάνει σε ένα σταθμό στο χρονικό διάστημα [0,Τ] και κάνει στάση α λεπτά. Το τραίνο Υ φθάνει στον ίδιο σταθμό στο χρονικό διάστημα [0,Τ] και κάνει στάση β λεπτά. Ποιος ο Δ.Χ. άφιξης των δυο τραίνων; Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων Α={το τραίνο Χ φθάνει πριν από το Υ} Β={τα δύο τραίνα συναντώνται στο σταθμό} Γ={Όταν τα τραίνα συναντώνται το Χ να φτάνει πριν από το Υ} Ποιες είναι οι δυνατότητες λύσης του προβλήματος αν θεωρήσουμε διαμερισμό του διαστήματος (0,Τ] σε n ίσα χρονικά υποδιαστήματά του; ΑΠΑΝΤΗΣΗ 16

17 Σύνοψη Αναφέρετε τι έχει διδαχτεί Καθορίστε τρόπους εφαρμογής της εκπαίδευσης Ζητήστε σχόλια για την περίοδο εκπαίδευσης 17

18 Πού θα λάβετε περισσότερες πληροφορίες Άλλες περίοδοι εκπαίδευσης Λίστα με βιβλία, άρθρα, ηλεκτρονικές πηγές Ιστοθέσεις 18