n+1 v x x 3 u2 1 + u2 2 1 ) + 1 (u 1, u 2 ) = 1 v2 1 ) (v 1, v 2 ) =

Transcript

1 Κεφάλαιο 2 Λείες πολλαπλότητες Σύνοψη Παρουσιάζουμε τον ορισμό μιας λείας (διαφορικής) πολλαπλότητας και αναλύουμε δύο βασικά παραδείγματα, τη μοναδιαία σφαίρα και τον προβολικό χώρο. Στη συνέχεια, μελετάμε την έννοια της διαφορισιμότητας μιας συνάρτησης μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων και το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης για πολλαπλότητες. Οι βασικές αναφορές είναι τα βιβλία [1], [7] και [15]. Προαπαιτούμενη γνώση Διαφορικός λογισμός μιας και πολλών μεταβλητών, βασική γραμμική άλγεβρα, γενική τοπολογία. 2.1 Λείες πολλαπλότητες Μια λεία πολλαπλότητα είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο με την ιδιότητα σε κάθε σημείο του να υπάρχει μια περιοχή (που θα ονομάζεται χάρτης) ομοιομορφική με ένα ανοικτό υποσύνολο του R n. Οι πολλαπλότητες αποτελούν γενίκευση των καμπυλών και επιφανειών σε μεγαλύτερες διαστάσεις. Χρειάστηκαν αρκετά χρόνια μέχρι η έννοια της πολλαπλότητας να πάρει τη σημερινή της μορφή. Οι πρώτοι σπόροι της ιδέας βρίσκονται στην εργασία του C. F. Gauss: Disquisitiones generales circa superficies curvas (General Investigations of Curves Surfaces), Commentat. Soc. Göttingensis VI (1827). Στη συνέχεια, ο B. Riemann στην περίφημη ομιλία του στο Göttengen με τίτλο Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (On the hypotheses that underlie geometry), Habilitation-schrift 1854; Gött. Abh. Ges. Wiss. 13 (1867) (μεταφρ. Θ. Χριστακόπουλος Επί των Σχετικών με τη Γεωμετρία Υποθέσεων, Εκδ. Τροχαλία 1999), έθεσε το θέμα της διαφορικής γεωμετρίας για οποιαδήποτε διάσταση. Ο Riemann χρησιμοποίησε τη λέξη Mannigfaltigkeit (manifold), για να περιγράψει τα αντικείμενα μελέτης του, όρο που διατήρησε ο H. Poincaré κατά την ανάπτυξη της θεωρίας ομολογίας στο τέλος του 19ου αιώνα. Ο σύγχρονος ορισμός της πολλαπλότητας, χρησιμοποιώντας όρους συνολοθεωρητικής τοπολογίας και συναρτήσεις αλλαγής συντεταγμένων, δόθηκε από τους O. Veblen και J.H.C. Whitehead A set of axioms of differential qeometry, Proceedings of the National Academy of Sciences 17(10)(1931) (βλ. και των ιδίων The Foundations of Differential Geometry, Cambridge Univ. Press, 1932). Μερικοί λόγοι για τους οποίους χρειαζόμαστε την έννοια της πολλαπλότητας είναι οι εξής: 1. Οπως αναφέραμε παραπάνω, πολλά γνωστά μας γεωμετρικά αντικείμενα είναι πολλαπλότητες, π.χ.

2 2 Λείες πολλαπλότητες η σφαίρα, ο δακτύλιος (torus) κ.ά.. Γενικά μια κανονική επιφάνεια στον R 3 είναι μια πολλαπλότητα διάστασης Η ακριβής περιγραφή των χώρων φάσεων φυσικών αντικειμένων απαιτεί τη χρήση πολλαπλοτήτων. Για παράδειγμα, οι δυνατές θέσεις ενός αεροσκάφους περιγράφονται από πέντε αριθμούς, τρείς για τις συντεταγμένες θέσης του και δύο (γωνίες του Euler) για τον προσανατολισμό του. Οριζεται έτσι μια πολλαπλότητα διάστασης Το πεδίο ορισμού της λύσης μιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης είναι πολλές φορές μια πολλαπλότητα. Για παράδειγμα, το πεδίο ορισμού μιας εκ των λύσεων μιας μιγαδικής συνήθους διαφορικής εξίσωσης είναι μια επιφάνεια Riemann (πολλαπλότητα διάστασης 2). 4. Πολλές γεωμετρικές έννοιες έχουν δομή πολλαπλότητας. Για παράδειγμα, η ομάδα των στροφών (ως μετασχηματισμός) του R 3 είναι μια πολλαπλότητα διάστασης 3. Χρειαζόμαστε δύο παραμέτρους για τον καθορισμό του άξονα περιστροφής και μια παράμετρο για τη γωνία περιστροφής Υπάρχουν διάφορα ήδη πολλαπλοτήτων, όπως τοπολογικές πολλαπλότητες, πολλαπλότητες κλάσης C k, αναλυτικές πολλαπλότητες, μιγαδικές πολλαπλότητες. Στο βιβλίο αυτό ενδιαφερόμαστε για τις λείες ή διαφορικές πολλαπλότητες, οι οποίες είναι τοπολογικές πολλαπλότητες εφοδιασμένες με έναν μεγιστικό λείο άτλαντα. Ορισμός 2.1. Εστω M ένας τοπολογικός χώρος Hausdorff με αριθμήσιμη βάση 1. Ο M ονομάζεται τοπολογική πολλαπλότητα (topological manifold) διάστασης n, αν για κάθε σημείο p στον M υπάρχει μια ανοικτή περιοχή U του σημείου p και ένας ομοιομορφισμός ϕ : U ϕ(u) R n, τέτοιος ώστε το ϕ(u) να είναι ανοικτό υποσύνολο του R n. Τότε λέμε ότι ο τοπολογικός χώρος είναι τοπικά Ευκλείδειος (τοπικά Ευκλείδεια δομή). Το ζεύγος (U, ϕ) ονομάζεται τοπικός χάρτης (local chart) ή τοπικό σύστημα συντεταγμένων (local coordinate system) στο p. Σχήμα 2.1: Τοπικός χάρτης (U, ϕ) της πολλαπλότητας M στο σημείο p M. 1 Ικανοποιεί το δεύτερο αξίωμα αριθμησιμότητας.

3 Λείες πολλαπλότητες 3 Η συνθήκη της τοπικά Ευκλείδειας δομής είναι απαραίτητη προκειμένου να ορίσουμε διαφορισιμότητα συναρτήσεων ορισμένων σε μια πολλαπλότητα. Αυτό θα γίνει χρησιμοποιώντας τη διαφορισιμότητα συναρτήσεων μεταξύ ανοικτών υποσυνόλων του R n (όπως την γνωρίζουμε από τον απειροστικό λογισμό). Αν π i : R n R είναι οι κανονικές προβολές (i = 1,..., n) τότε οι συναρτήσεις x i = π i ϕ : U M ϕ(u) R n ονομάζονται τοπικές συντεταγμένες στο p U. Προκειμένου η διάσταση μιας τοπολογικής πολλαπλότητας να είναι καλώς ορισμένη, πρέπει να ισχύει ότι αν n m, τότε κάθε ανοικτό υποσύνολο του R n δεν είναι ομοιομορφικό με ένα ανοικτό υποσύνολο του R m. Αυτό είναι ένα δύσκολο αποτέλεσμα, γνωστό ως θεώρημα του αναλλοίωτου της διάστασης. Ενα ανάλογο αποτέλεσμα όμως για λείες πολλαπλότητες είναι πιο εύκολο να αποδειχθεί (και θα το δούμε αργότερα). Ορισμός 2.2. Εστω M μια τοπολογική πολλαπλότητα και A = {(U α, ϕ α ) : α I} μια συλλογή χαρτών. Η A ονομάζεται (λείος) άτλαντας, εάν ισχύουν τα παρακάτω: 1. Η ένωση όλων των ανοικτών συνόλων U α καλύπτουν τη M, δηλαδή M = α I U α. 2. Για κάθε α, β I, η απεικόνιση ϕ β ϕ 1 α : ϕ α (U α U β ) ϕ β (U α U β ), καθώς και η αντίστροφή της ϕ α ϕ 1 β : ϕ β (U α U β ) ϕ α (U α U β ) είναι λείες απεικονίσεις μεταξύ ανοικτών υποσυνόλων του R n. Η Ιδιότητα 2 αναφέρεται ως η λεία συμβατότητα των χαρτών (U α, ϕ α ) και (U β, ϕ β ). Οι συναρτήσεις ϕ α ϕ 1 β, ϕ β ϕ 1 α ονομάζονται συναρτήσεις αλλαγής συντεταγμένων. Σχήμα 2.2: Συναρτήσεις αλλαγής συντεταγμένων ϕ α ϕ 1 β των χαρτων (U α, ϕ α ) και (U β, ϕ β ). Η σχέση συμβατότητας μεταξύ δύο χαρτών είναι προφανώς ανακλαστική και συμμετρική, αλλά δεν είναι μεταβατική. Παρ όλα αυτά, αν ορίσουμε ένας χάρτης (U, ϕ) να είναι συμβατός με έναν άτλαντα {(U α, ϕ α )}, εάν είναι συμβατός με όλους τους χάρτες (U α, ϕ α ) του άτλαντα, τότε ισχύει το εξής: Λήμμα 2.1. Εστω {(U α, ϕ α )} ένας άτλαντας σε έναν τοπικά Ευκλείδειο χώρο. Εάν δύο χάρτες (U, ϕ) και (V, ψ) είναι συμβατοί με τον άτλαντα {(U α, ϕ α )}, τότε είναι συμβατοί και μεταξύ τους.

4 4 Λείες πολλαπλότητες Απόδειξη. Άσκηση. Ενας άτλαντας A σε έναν τοπικά Ευκλείδειο χώρο ονομάζεται μεγιστικός άτλαντας (maximal atlas) εάν δεν περιέχεται σε κάποιον μεγαλύτερο άτλαντα. Δηλαδή, αν B είναι ένας άλλος άτλαντας που περιέχει τον A, τότε A = B. Ορισμός 2.3. Μια λεία ή διαφορική πολλαπλότητα (smooth/differential manifold) είναι μια τοπολογική πολλαπλότητα M εφοδιασμένη με έναν λείο άτλαντα A. Ο μεγιστικός άτλαντας ονομάζεται διαφορική δομή της M. Μια πολλαπλότητα έχει διάσταση n, εάν όλες οι συνεκτικές συνιστώσες της M έχουν διάσταση n. Μια λεία πολλαπλότητα διάστασης 1 ονομάζεται λεία καμπύλη και μια πολλαπλότητα διάστασης 2 λεία επιφάνεια. Οταν θα γράφουμε πολλαπλότητα θα εννοούμε λεία πολλαπλότητα. Θα αποδείξουμε αργότερα ότι, αν ένα ανοικτό υποσύνολο U του R n είναι αμφιδιαφορικό με ένα ανοικτό V R m τότε m = n, συνεπώς η διάσταση μιας λείας πολλαπλότητας είναι καλώς ορισμένη. Για να αποδείξουμε ότι μια τοπολογική πολλαπλότητα M είναι μια λεία πολλαπλότητα, αρκεί να κατασκευάσουμε κάποιον άτλαντα και όχι απαραίτητα έναν μεγιστικό άτλαντα. Πράγματι, ισχύει το εξής: Πρόταση 2.1. Κάθε άτλαντας A = {(U α, ϕ α )} σε έναν τοπικά Ευκλείδειο χώρο περιέχεται σε έναν μοναδικό μεγιστικό άτλαντα. Παραδείγματα. 1. Ο Ευκλείδειος χώρος R n καλύπτεται με έναν μόνο χάρτη U = R n, ϕ = Id R n, άρα είναι μια πολλαπλότητα διάστασης n. 2. Εστω M μια πολλαπλότητα διάστασης n με άτλαντα { (U α, ϕ α ) : α I } και έστω V ένα ανοικτό υποσύνολο της M. Τότε και το V είναι λεία πολλαπλότητα διάστασης n, αφού μπορούμε να ορίσουμε στο V έναν άτλαντα με περιορισμό των χαρτών (U α, ϕ α ) στο V, δηλαδή { (V U α, ϕ α V Uα ) }. 3. Σε μια πολλαπλότητα διάστασης μηδέν κάθε μονοσύνολο είναι ομοιομορφικό με τον R 0, άρα είναι ανοικτό. Συνεπώς, μια τέτοια πολλαπλότητα είναι ένα διακριτό σύνολο και λόγω του δεύτερου αξιώματος αριθμησιμότητας, το διακριτό αυτό σύνολο είναι αριθμήσιμο. n+1 4. Η σφαίρα S n = {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 : i=1 x2 i = 1} είναι μια λεία πολλαπλότητα διάστασης n. Ας δούμε για ευκολία την σφαίρα S 2 = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x x2 2 + x2 3 = 1}. Εστω N = {(0, 0, 1)} και S = {(0, 0, 1)} ο βόρειος και νότιος πόλος αντίστοιχα. Ορίζουμε δύο χάρτες (U, ϕ), (V, ψ) της S 2 ως εξής: U = S 2 \ {N}, V = S 2 \ {S} και ( ) ϕ : U R 2 x1 x 2, ϕ(x 1, x 2, x 3 ) =, 1 x 3 1 x 3 ( ) ψ : V R 2 x1 x 2, ψ(x 1, x 2, x 3 ) =, 1 + x x 3 οι στερεογραφικές προβολές. Οι απεικονίσεις ϕ, ψ είναι 1 1 με αντίστροφες τις ( ϕ 1 2u 1 2u 2 (u 1, u 2 ) = u2 1 + u2 2 1 ) u u , u u , u u2 2 ( + 1 ψ 1 2v 1 2v 2 (v 1, v 2 ) = 1 v2 1 ) v2 2 v1 2 + v , v1 2 + v , v1 2 + v

5 Λείες πολλαπλότητες 5 Σχήμα 2.3: Στερεογραφική προβολή ϕ(p) του σημείου p S 2 του άνω ημισφαιρίου. Είναι U V = S 2 και η S 2 έχει την επαγόμενη τοπολογία του R 3. Οι απεικονίσεις ϕ, ψ είναι ομοιομορφισμοί και η σύνθεση ψ ϕ 1 (u 1, u 2 ) = ( u1 είναι διαφορίσιμη στο ανοικτό ϕ(u V ) = {(u 1, u 2 ) R 2 u 2 1 +, u2 2 ϕ ψ 1 (v 1, v 2 ) = ( v 1 v1 2 +, v2 2 u 2 u u2 2 ) : (u 1, u 2 ) (0, 0)}. Αντίστοιχα, v 2 v v2 2 Άρα ο A = {(U, ϕ), (V, ψ)} είναι ένας λείος άτλαντας της S 2, συνεπώς η σφαίρα S 2 είναι μια λεία πολλαπλότητα διάστασης Το καρτεσιανό γινόμενο M N δύο πολλαπλοτήτων M και N είναι λεία πολλαπλότητα. Ως αποτέλεσμα, ο δακτύλιος (torus) S 1 S 1 = T 2 και ο κύλινδρος S 1 R είναι λείες πολλαπλότητες. ). Σχήμα 2.4: Ο δακτύλιος T 2 = S 1 S 1 R Το σύνολο M m n (R) όλων των m n πραγματικών πινάκων είναι ένας διανυσματικός χώρος διάστασης mn. Ως τοπολογικός χώρος είναι ομοιομορφικός με τον R mn, άρα σύμφωνα με το Παράδειγμα 1 είναι πολλαπλότητα διάστασης mn. 7. Το σύνολο Gl n R = {A M n n (R) : det(a) 0} = det 1 (R \ {0}) είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του M n n (R) = M n R, άρα σύμφωνα με το Παράδειγμα 2. είναι πολλαπλότητα διάστασης n 2. Το σύνολο Gl n R

6 6 Λείες πολλαπλότητες είναι επιπλέον μια ομάδα (με πράξη το γινόμενο πινάκων) και ονομάζεται γενική γραμμική ομάδα (general linear group). Παρόμοια ορίζεται η μιγαδική γενική γραμμική ομάδα Gl n C η οποία είναι μια πολλαπλότητα διάστασης 2n Το σύνολο SO(n) = {A M n R : AA t = I n, deta = 1} ονομάζεται ειδική ορθογώνια ομάδα (special linear group). Αποδεικνύεται ότι το σύνολο SO(n) είναι μια λεία πολλαπλότητα διάστασης n(n 1)/2. Θα το εξηγήσουμε αυτό αργότερα χωρίς την αναλυτική περιγραφή χαρτών. Προτρέπουμε τον αναγνώστη να αναζητήσει στη βιβλιογραφία την ονομαζόμενη παραμετρικοποίηση του Cayley της ορθογώνιας ομάδας O(n) = {A M n R : AA t = I n }. Μπορούμε να δούμε κάποιες απλές περιπτώσεις: α) n = 1. Το σύνολο SO(1) = {1} είναι πολλαπλότητα διάστασης 0. β) n = 2. Με απλό υπολογισμό προκύπτει ότι SO(2) = = { ( A = { ( A = a c a c b d b d ) ) } : a = d, b = c, ad bc = 1 } {( : a 2 + b 2 = 1 = cos θ sin θ sin θ cos θ ) : θ [0, 2π] }, συνεπώς η ομάδα SO(2) είναι ομοιομορφική με τον κύκλο S 1, άρα είναι πολλαπλότητα διάστασης 1. γ) n = 3. Η ομάδα SO(3) είναι πιο περίπλοκη στην περιγραφή. Γεωμετρικά κάθε στοιχείο της SO(3) παριστά μια στροφή στον R 3 κατά γωνία θ περί μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή. Επειδή η ευθεία αυτή καθορίζεται από δύο γωνίες ϕ και ψ, μπορούμε κάπως διαισθητικά να πούμε ότι η SO(3) είναι μια πολλαπλότητα διάστασης 3. Οι γωνίες θ, ϕ και ψ είναι γνωστές και ως γωνίες Euler. 9. Εστω A R n και μια συνάρτηση f : A R m. Το γράφημα της f είναι το υποσύνολο του A R m, Γ(f) = {(x, f(x)) : x A}. Αν U είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του R n και f : U R n μια λεία συνάρτηση, τότε οι απεικονίσεις φ : Γ(f) U, (x, f(x)) x και (1, f) : U Γ(f), x (x, f(x)), είναι συνεχείς και η μία είναι η αντίστροφη της άλλης, συνεπώς είναι ομοιομορφισμοί. Το γράφημα Γ(f) μιας λείας συνάρτησης f : U R m καλύπτεται από έναν άτλαντα που αποτελείται από έναν μόνο χάρτη (Γ(f), φ), συνεπώς είναι μια λεία πολλαπλότητα διάστασης n. Με τον τρόπο αυτό πολλές επιφάνειες, γνωστές από τον στοιχειώδη λογισμό, όπως το υπερβολικό παραβολοειδές, ελλειπτικό παραβολοειδές κ.ά. είναι πολλαπλότητες. Το επόμενο παράδειγμα είναι ιδιαίτερα σημαντικό, γιαυτό θα το εξετάσουμε χωριστά.

7 Λείες πολλαπλότητες Ο πραγματικός προβολικός χώρος Υπενθυμίζουμε κάποια θέματα από τη γενική τοπολογία, για τα οποία παραπέμπουμε στα βιβλία [3], [10] και [16]. Εστω μια σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο M. Η κλάση ισοδυναμίας [x] του x M αποτελείται από όλα τα στοιχεία του M που είναι ισοδύναμα με το x. Μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο M διαμερίζει το M σε κλάσεις ισοδυναμίας ξένες μεταξύ τους. Το σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας συμβολίζεται με M/ και ονομάζεται σύνολο πηλίκο του M μέσω της σχέσης ισοδυναμίας. Η απεικόνιση π : M M/, x [x], ονομάζεται κανονική προβολή. Υποθέτουμε τώρα ότι το M είναι ένας τοπολογικός χώρος και έστω μια σχέση ισοδυναμίας στον M. Η τοπολογία πηλίκο (quotient topology) στο M/ ορίζεται ως η τοπολογία για την οποία ένα σύνολο U στο M/ είναι ανοικτό, εάν και μόνο εάν το π 1 (U) είναι ανοικτό στον M. Ο τοπολογικός χώρος M/ ονομάζεται χώρος πηλίκο (quotient space) και η προβολή π : M M/ γίνεται αυτομάτως συνεχής απεικόνιση. Μια σχέση ισοδυναμίας σε έναν τοπολογικό χώρο M ονομάζεται ανοικτή, εάν η προβολή π : M M/ είναι ανοικτή απεικόνιση. 2 Το γράφημα μιας σχέσης ιδοσυναμίας στον M είναι το υποσύνολο R = {(x, y) M M : x y} του M M. Ισχύουν τα εξής: Πρόταση Εστω μια ανοικτή σχέση ισοδυναμίας στον τοπολογικό χώρο M. Τότε ο χώρος πηλίκο M/ είναι χώρος Hausdorff εάν και μόνο εάν το γράφημα R της είναι ένα κλειστό υποσύνολο του M M. 2. Ενας τοπολογικός χώρος M είναι χώρος Hausdorff εάν και μόνο εάν η διαγώνιος = {(x, x) M M} είναι κλειστό υποσύνολο του M M. 3. Εστω μια ανοικτή σχέση ισοδυναμίας σε έναν τοπολογικό χώρο M, με αριθμήσιμη βάση. Τότε ο χώρος πηλίκο έχει αριθμήσιμη βάση. Ερχόμαστε τώρα στον ορισμό του προβολικού χώρου. Ορίζουμε στο σύνολο R n+1 \ {0} μια σχέση ισοδυναμίας ως εξής: Για x, y R n+1 \ {0} x y y = tx για κάποιον μη μηδενικό πραγματικό αριθμό t. Ο πραγματικός προβολικός χώρος RP n είναι ο χώρος πηλίκο (R n+1 \ {0})/. Η κλάση ισοδυναμίας ενός σημείου (a 0,..., a n ) R n+1 \ {0} συμβολίζεται με [a 0,..., a n ] (ομογενείς συντεταγμένες του RP n ). Γεωμετρικά, δύο μη μηδενικά σημεία του R n+1 είναι ισοδύναμα εάν και μόνο εάν ανήκουν στην ίδια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, συνεπώς ο προβολικός χώρος μπορεί να θεωρηθεί ως το σύνολο όλων των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων του R n+1. Κάθε τέτοια ευθεία τέμνει τη μοναδιαία σφαίρα S n σε ένα ζεύγος αντιποδικών σημείων. Αντίστροφα, κάθε ζεύγος αντιποδικών σημείων της S n ορίζει μία και μοναδική ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων του R n+1. Ορίζοντας μια σχέση ισοδυναμίας στην S n ταυτοποιώντας αντιποδικά της σημεία ως x y x = ±y, x, y S n, προκύπτει μια 1 1 και επί αντιστοιχία μεταξύ του RP n με την σφαίρα S n. 2 Μια απεικόνιση μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων ονομάζεται ανοικτή, εάν η εικόνα ενός ανοικτού συνόλου είναι ανοικτό σύνολο.

8 8 Λείες πολλαπλότητες Σχήμα 2.5: Μια ευθεία που διέρχεται από το 0 R 3 ορίζει ένα ζεύγος αντιποδικών σημείων στην S 2. Λόγω της Πρότασης 2.2 ο πραγματικός προβολικός χώρος είναι χώρος Hausdorff και έχει αριθμήσιμη βάση. Θα ορίσουμε τώρα σε αυτόν έναν λείο άτλαντα. Εστω U 0 = {[a 0,..., a n ] RP n : a 0 0}. Η συνθήκη a 0 0 δεν εξαρτάται από τον αντιπρόσωπο της κλάσης [a 0,..., a n ]. Παρόμοια, για i = 1,..., n ορίζουμε Εστω U i = {[a 0,..., a n ] RP n : a i 0}. ϕ 0 : U 0 R n, ( a [a 0,..., a n 1 ] a 0,..., an a 0 Η απεικόνιση αυτή είναι συνεχής (αποδείξτε το) με αντίστροφη την (b 1,..., b n ) [1, b 1,..., b n ], η οποία είναι και αυτή συνεχής, άρα είναι ομοιομορφισμός. Παρόμοια, ορίζονται οι ομοιομορφισμοί ( ) ϕ i : U i R n, [a 0,..., a n a 0 ] a i,..., âi a i,..., an a i, όπου το σύμβολο σημαίνει ότι ο όρος παραλείπεται. Μέχρι στιγμής έχουμε δείξει ότι ο RP n είναι τοπικά Ευκλείδειος και ότι τα ζεύγη (U i, ϕ i ) είναι χάρτες του. Στην τομή U 0 U 1 είναι a 0 0 και a 1 0, άρα ορίζονται δύο συστήματα συντεταγμένων ( ) [a 0, a 1, a 2..., a n ] ϕ 0 a 1 a 0, a2 a 0,..., an a 0 και ( ) [a 0, a 1, a 2..., a n ] ϕ 1 a 0 a 1, a2 a 1,..., an a 1. Συμβολίζουμε τις συναρτήσεις συντεταγμένων στο U 0 με x 1,..., x n και τις συναρτήσεις συντεταγμέων στο U 1 με y 1,..., y n. Συνεπώς θα έχουμε ότι ). x i = ai a 0 στο U 0, y i = ai a 1 στο U 1, (i = 1,..., n).

9 Λείες απεικονίσεις 9 Τότε στην τομή U 0 U 1 θα είναι άρα y 1 = 1 x 1, yi = xi, (i = 2,..., n), x1 ( ) 1 (ϕ 1 ϕ 1 0 )(x) = x 1, x2 x 1, x3 x 1,..., xn x 1. Η παραπάνω συνάρτηση είναι λεία επειδή x 1 0 στο ϕ 0 (U 0 U 1 ). Παρόμοιες εκφράσεις ισχύουν και για τις άλλες τομές U i U j, συνεπώς η συλλογή {(U i, ϕ i )} i=0,...,n αποτελεί έναν λείο άτλαντα του προβολικού χώρου RP n που ονομάζεται κανονικός άτλαντας. Άρα ο RP n είναι μια λεία πολλαπλότητα διάστασης n. 2.2 Λείες απεικονίσεις Η έννοια της διαφορισιμότητας μιας απεικόνισης μεταξύ Ευκλειδείων χώρων μπορεί να επεκταθεί σε πολλαπλότητες. Ορισμός 2.4. Εστω M μια λεία πολλαπλότητα, f : M R μια συνάρτηση και p M. (1) Η f ονομάζεται λεία (smooth) ή C στο p, εάν υπάρχει χάρτης (U, ϕ) στο p, ώστε η συνάρτηση f ϕ 1 : ϕ(u) R n R να είναι λεία στο ϕ(p) (ως απεικόνιση μεταξύ Ευκλειδείων χώρων). (2) Η f ονομάζεται λεία ή C, εάν είναι λεία σε κάθε σημείο p M. Παρατηρήσεις. 1. Ο παραπάνω ορισμός δεν εξαρτάται από την επιλογή του χάρτη (U, ϕ). Πράγματι, εάν (V, ψ) είναι ένας άλλος χάρτης στο p M, τότε στο σύνολο ψ(u V ) θα έχουμε ότι f ψ 1 = (f ϕ 1 ) (ϕ ψ 1 ), η οποία είναι διαφορίσιμη στο ψ(p). 2. Μια λεία συνάρτηση f : M R στο p είναι και συνεχής στο p. Πράγματι, επειδή η f ϕ 1 : ϕ(u) R είναι διαφορίσιμη στο ϕ(p) το οποίο ανήκει σε ένα ανοικτό υποσύνολο του R n, θα είναι και συνεχής στο ϕ(p). Συνεπώς, η f = (f ϕ 1 ) ϕ θα είναι συνεχής στο p ως σύνθεση συνεχών απεικονίσεων. Η παρακάτω πρόταση δείχνει ότι για να αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι λεία αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τους χάρτες ενός μόνο άτλαντα. Πρόταση 2.3. Εστω M μια λεία πολλαπλότητα διάστασης n και έστω f : M R μια λεία συνάρτηση. Τότε τα εξής είναι ισοδύναμα: (i) Η f : M R είναι λεία. (ii) Η πολλαπλότητα M έχει έναν άτλαντα τέτοιον ώστε, για κάθε χάρτη (U, ϕ) του άτλαντα αυτού, η συνάρτηση f ϕ 1 : ϕ(u) R είναι λεία (ϕ(u) R n ). (iii) Για κάθε χάρτη (V, ψ) της M η συνάρτηση f ψ 1 : ψ(v ) R είναι λεία (ψ(v ) R n ).

10 10 Λείες Πολλαπλότητες Απόδειξη. (ii) (i). Προκύπτει από τον ορισμό της λείας συνάρτησης. (i) (iii). Εστω (V, ψ) ένας τυχαίος χάρτης της M και έστω p V. Τότε λόγω της Παρατήρησης 1. παραπάνω, η συνάρτηση f ψ 1 είναι λεία στο ψ(p). Επειδή το σημείο p έιναι τυχαίο στο V, η συνάρτηση f ψ 1 θα είναι διαφορίσιμη στο ψ(v ). (iii) (ii). Άμεσο. Ερχόμαστε τώρα στον ορισμό μια λείας συνάρτησης μεταξύ δύο πολλαπλοτήτων. Ορισμός 2.5. Εστω M και N πολλαπλότητες διάστασης m και n αντίστοιχα, f : M N μια συνεχής απεικόνιση και p M. (1) Η f ονομάζεται λεία στο p (ή C ), εάν υπάρχουν χάρτες (U, ϕ) του p και (V, ψ) του f(p) ώστε η τοπική αναπαράσταση της f ψ f ϕ 1 : ϕ(f 1 (V ) U) R m R n να είναι διαφορίσιμη στο ϕ(p) (ως απεικόνιση μεταξύ Ευκλειδείων χώρων). (2) Η f ονομάζεται λεία (ή C ) εάν είναι λεία σε κάθε p M. Σχήμα 2.6: Τοπική αναπαράσταση ψ f ϕ 1 της απεικόνισης f : M N μεταξύ πολλαπλοτήτων. Οπως και για την περίπτωση μιας πραγματικής συνάρτησης f : M R, ο ορισμός δεν εξαρτάται από την επιλογή των χαρτών (άσκηση). Γενικεύοντας την Πρόταση 2.3 προκύπτει ο εξής χαρακτηρισμός λείων συναρτήσεων: Πρόταση 2.4. Εστω M και N λείες πολλαπλότητες διάστασης m και n αντίστοιχα και έστω f : M N μια συνεχής απεικόνιση. Τότε τα εξής είναι ισοδύναμα: (i) Η f : M N είναι λεία.

11 Λείες απεικονίσεις 11 (ii) Οι πολλαπλότητες M και N έχουν άτλαντες A και B αντίστοιχα, τέτοιοι ώστε, για κάθε χάρτη (U, ϕ) στον A και για κάθε χάρτη (V, ψ) στον B η απεικόνιση ψ f ϕ 1 : ϕ(u f 1 (V )) R n να είναι λεία. (iii) Για κάθε χάρτη (U, ϕ) της M και (V, ψ) της N η συνάρτηση ψ f ϕ 1 : ϕ(u f 1 (V )) R n είναι λεία. Πρόταση 2.5. Αν f : M N και g : N P είναι λείες απεικονίσεις μεταξύ πολλαπλοτήτων, τότε η σύνθεση g f : M P είναι λεία. Ορισμός 2.6. Μια λεία απεικόνιση f : M N μεταξύ πολλαπλοτήτων ονομάζεται αμφιδιαφόριση (diffeomorphism) εάν είναι 1-1, επί και η αντίστροφή της f 1 είναι λεία. Στην περίπτωση αυτή οι πολλαπλότητες M και N ονομάζονται αμφιδιαφορικές. Αφήνουμε ως ασκήσεις τις παρακάτω προτάσεις. Πρόταση 2.6. Εστω M μια πολλαπλότητα διάστασης n και (U, ϕ) ένας χάρτης της. Τότε η συνάρτηση συντεταγμένων ϕ : U ϕ(u) R n είναι αμφιδιαφόριση. Πρόταση 2.7. Εστω U ένα ανοικτό υποσύνολο μιας πολλαπλότητας M διάστασης n. Αν f : U f(u) R n είναι μια αμφιδιαφόριση και το f(u) είναι ανοικτό υποσύνολο του R n, τότε το ζεύγος (U, f) είναι ένας χάρτης που ανήκει στη διαφορική δομή της M. Παραδείγματα. 1. Εστω f : S 2 R, f(x, y, z) = z η συνάρτηση ύψους (height function). Θα δείξουμε ότι αυτή είναι λεία. Χρησιμοποιούμε τους χάρτες (U, ϕ) και (V, ψ) της στερεογραφικής προβολής και πρέπει να δείξουμε ότι οι απεικονίσεις f ϕ 1 και f ψ 1 είναι λείες. Πράγματι, ( f ϕ 1 2u 1 2u 2 (u 1, u 2 ) = f u2 1 + u2 2 1 ) u u , u u , u u = u2 1 + u2 2 1 u u , η οποία είναι λεία στο πεδίο ορισμού ϕ(u) = R 2. Παρόμοια, προκύπτει ότι η συνάρτηση είναι λεία στο ψ(v ) = R 2, συνεπώς η f είναι λεία. f ψ 1 (v 1, v 2 ) = 1 v2 1 v2 2 v v Εστω M και N δύο πολλαπλότητες και π : M N M, π(p, q) = p η προβολή στον πρώτο παράγοντα του γινομένου. Τότε η π είναι λεία. Πράγματι, έστω (p, q) M N ένα τυχαίο σημείο και έστω (U, ϕ = (x 1,..., x m )), (V, ψ = (y 1,..., y n )) συστήματα συντεταγμέων στα p και q αντίστοιχα. Τότε λόγω της Άσκησης 3 το ζεύγος (U V, ϕ ψ) = (U V ; x 1,..., x m, y 1,..., y n ) είναι ένα σύστημα συντεταγμένων στο σημείο (p, q). Η τοπική αναπαράσταση της π είναι ϕ π (ϕ ψ) 1 : (ϕ ψ)(u V ) ϕ(u) R m και δίνεται ως (ϕ π (ϕ ψ) 1 )(a 1,..., a m, b 1,..., b n ) = (a 1,..., a m ), η οποία είναι λεία. Συνεπώς η π είναι λεία στο (p, q) και επειδή το σημείο (p, q) ήταν τυχαίο, η π είναι λεία.

12 12 Λείες Πολλαπλότητες 3. Μια ομάδα Lie είναι μια λεία πολλαπλότητα G που είναι επιλέον ομάδα, τέτοια ώστε οι πράξεις µ : G G G του πολλαπλασιασμού και i : G G, i(x) = x 1 της αντιστροφής να είναι λείες. Μερικά παραδείγματα ομάδων Lie είναι ο Ευκλείδειος χώρος R n με πράξη την πρόσθεση, το σύνολο C των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών με πράξη τον πολλαπλασιασμό, ο μοναδιαίος κύκλος S 1 C, καθώς και η γενική γραμμική ομάδα Gl n R όλων των n n πραγματικών αντιστρέψιμων πινάκων. Θα μελετήσουμε τη σημαντική αυτή κατηγορία πολλαπλοτήτων στο Κεφάλαιο 7. Γενικεύοντας την Άσκηση 1 στη μοναδιαία σφαίρα S n R n, μπορούμε να ορίσουμε σε αυτήν μια διαφορική δομή, η οποία ονομάζεται κανονική διαφορική δομή. Ενα από τα πιο αναπάντεχα αποτελέσματα της τοπολογίας ήταν η ανακάλυψη το 1956 από τον John Milnor ([9]) κάποιων λείων πολλαπλοτήτων, οι οποίες είναι ομοιομορφικές, αλλά δεν είναι αμφιδιαφορικές με την σφαίρα S 7, εφοδιασμένη με την κανονική διαφορική δομή. Οι σφαίρες αυτές ονομάζονται εξωτικές σφαίρες (exotic spheres). Το 1963 οι Michel Kervaire και John Milnor ([5]) απέδειξαν ότι υπάρχουν ακριβώς 28 διαφορικές δομές στη σφαίρα S 7, οι οποίες δεν είναι αμφιδιαφορικές μεταξύ τους. Επίσης, ο Michel Kervaire απέδειξε ότι υπάρχουν τοπολογικές πολλαπλότητες που δεν επιδέχονται καμμία διαφορική δομή ([4]). Αποδεικνύεται ότι για διαστάσεις μικρότερες του 4 κάθε τοπολογική πολλαπλότητα επιδέχεται μια και μοναδική διαφορική δομή. Για διαστάσεις μεγαλύτερες του 4 κάθε συμπαγής τοπολογική πολλαπλότητα επιδέχεται έναν πεπερασμένο αριθμό διαφορικών δομών. Η διάσταση 4 παραμένει ένα μυστήριο. Για παράδειγμα, δεν είναι γνωστό κατά πόσον η σφαίρα S 4 επιδέχεται έναν πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό διαφορικών δομών. Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως η λεία εικασία του Poincaré. Παρεμπιπτόντως, η εικασία του Poincaré, η οποία απεδείχθη από τον Grigori Perelman σε τρεις εργασίες το 2002 και 2003 ([11], [12], [13]), αναφέρει ότι κάθε κλειστή, απλά συνεκτική πολλαπλότητα διάστασης 3 είναι ομοιομορφική με την σφαίρα S Το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης Θα μεταφέρουμε την έννοια της μερικής παραγαγώγου από έναν Ευκλείδειο χώρο σε ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων μιας πολλαπλότητας, ώστε να γενικεύσουμε το κλασικό θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αυτό θα μπορούμε να δώσουμε ένα απλό κριτήριο πότε ένα σύνολο λείων (πραγματικών) απεικονίσεων αποτελούν ένα σύστημα συντεταγμένων στην περιοχή ενός σημείου της πολλαπλότητας. Επιπλέον, σε αρκετές περιπτώσεις, θα μπορούμε να αποδεικνύουμε ευκολότερα ότι ένα σύνολο είναι μια λεία πολλαπλότητα. Εστω f μια λεία (πραγματική) συνάρτηση ορισμένη σε έναν χάρτη (U, ϕ = (x 1,..., x n )) μιας πολλαπλότητας M και έστω p U. Συμβολίζουμε με u 1,..., u n τις συντεταγμένες του R n. Τότε η συνάρτηση f ϕ 1 : (u 1,..., u n ) f(ϕ 1 (u 1,..., u n )) ορίζεται στο ανοικτό ϕ(u) που περιέχει το ϕ(p), άρα ορίζονται οι συνήθεις περικές παράγωγοι u 1 (f ϕ 1 ),..., ϕ(p) u n (f ϕ 1 ) ϕ(p) τις οποίες συμβολίζουμε με f x 1,..., p f x n. p

13 Λείες απεικονίσεις 13 Αυτές ονομάζονται μερικές παράγωγοι της f ως προς x i στο σημείο p, όπου x i = u i ϕ. Οι συναρτήσεις αυτές είναι λείες στο U, επειδή οι συναρτήσεις f x i ϕ 1 είναι λείες στο ϕ(u). Οι μερικές παράγωγοι σε μια πολλαπλότητα ικανοποιούν την εξής ιδιότητα, αντίστοιχη των μερικών παραγώγων των συναρτήσεων συντεταγμένων του R n. Πρόταση 2.8. Εστω (U; x 1,..., x n ) ένας τοπικός χάρτης μιας πολλαπλότητας. Τότε ισχύει xi x j = δi j. Απόδειξη. Εστω p U. Τότε εξ ορισμού της μερικής παραγώγου έχουμε ότι x i x j (p) = (xi ϕ 1 ) u j (ϕ(p)) = (ui ϕ ϕ 1 ) u j (ϕ(p)) = ui u j (ϕ(p)) = δi j. Ορισμός 2.7. Εστω f : M N μια λεία απεικόνιση και έστω (U, ϕ) = (U; x 1,..., x m ), (V, ψ) = (V, y 1,..., y n ) δύο χάρτες στις πολλαπλότητες M και N αντίστοιχα, τέτοιοι ώστε f(u) V. Συμβολίζουμε με f i την απεικόνιση ( ) y i f = u i ψ f : U R, δηλαδή την i-συντεταγμένη της f στον χάρτη (V, ψ). f i Ο πίνακας x j ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας της f ως προς τους χάρτες (U, ϕ) και (V, ψ). Εάν οι πολλαπλότητες έχουν την ίδια διάσταση, τότε η ορίζουσα του Ιακωβιανού πίνακα ονομάζεται Ιακωβιανή ορίζουσα ως προς τους δύο χάρτες. Μερικές φορές η Ιακωβιανή ορίζουσα συμβολίζεται και ως (f 1,..., f n ) (x 1,..., x n ). Μια λεία απεικόνιση f : M N ονομάζεται τοπικά αντιστρέψιμη ή τοπική αμφιδιαφόριση σε ένα σημείο p M, εάν υπάρχει μια περιοχή του p, στην οποία η απεικόνιση f U : U f(u) να είναι αμφιδιαφόριση. Το κλασικό θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης αναφέρει το εξής ([8], [14]): Θεώρημα 2.1. (Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης στον R n ). Εστω f : A R n μια λεία απεικόνιση ορισμένη σε ένα ανοικτό υποσύνολο A του R( n και έστω ) p A. Τότε η f είναι τοπικά αντιστρέψιμη στο p εάν και μόνο εάν η Ιακωβιανή ορίζουσα det f i (p) είναι μη μηδενική. u j Λόγω του τοπικού χαρακτήρα το θεώρημα γενικεύεται εύκολα σε πολλαπλότητες. Θεώρημα 2.2. (Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης για πολλαπλότητες). Εστω f : M N μια λεία απεικόνιση μεταξύ πολλαπλοτήτων ίδιας διάστασης και έστω p M. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν χάρτες (U, ϕ) = (U; x 1,..., x n ) στο p και (V, ψ) = (U; y 1,..., y n ) στο f(p) N έτσι ώστε f(u) V (. Εστω) f i = y i f. Τότε η f είναι τοπικά αντιστρέψιμη στο p εάν και μόνο εάν η Ιακωβιανή ορίζουσα det f i (p) x j είναι μη μηδενική. Απόδειξη. Ο Ιακωβιανός πίνακας της f ως προς τους χάρτες (U, ϕ) και (V, ψ) είναι ( ) ( f i (u i ) ( x j (p) ψ f) (u i ψ f ϕ 1 ) ) = x j (p) = u j (ϕ(p)), ο οποίος είναι ο Ιακωβιανός πίνακας στο σημείο ϕ(p), της απεικόνισης ψ f ϕ 1 : R n ϕ(u) ψ(v ) R n, μεταξύ ανοικτών υποσυνόλων του R n. Λόγω του θεωρήματος της αντίστροφης απεικόνισης στον R n, θα ισχύει ( ) ( f i (u i det x j (p) ψ f ϕ 1 ) ) = det u j (ϕ(p)) 0

14 14 Λείες Πολλαπλότητες εάν και μόνο εάν η ψ f ϕ 1 είναι τοπικά αντιστρέψιμη στο ϕ(p). Επειδή οι συναρτήσεις ϕ και ψ είναι αμφιδιαφορίσεις, το τελευταίο συμπέρασμα ισοδυναμεί με το ότι η f είναι τοπικά αντιστρέψιμη στο p. Η βασική εφαρμογή του παραπάνω θεωρήματος στην περίπτωση των πολλαπλοτήτων είναι στο να αποφασίσουμε κατά πόσον ένα σύνολο που περιέχει n λείες συναρτήσεις f 1,..., f n σε μια περιοχή ενός σημείου p μιας πολλαπλότητας M διάστασης n, αποτελούν ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων στο p, ενδεχομένως σε μια μικρότερη περιοχή. Πόρισμα 2.1. Εστω M μια πολλαπλότητα διάστασης n. Ενα σύνολο από n λείες συναρτήσεις f 1,..., f n ορισμένες σε μια περιοχή συντεταγμένων (U; x 1,..., x n ) ενός σημείου ( ) p M αποτελεί ένα σύστημα συντεταγμένων στο p εάν και μόνο εάν η Ιακωβιανή ορίζουσα det f i (p) είναι μη μηδενική. x j Απόδειξη. Θεωρούμε τη συνάρτηση f = (f 1,..(., f n ) : ) U R n. Από το θεώρημα αντίστροφης απεικόνισης για πολλαπλότητες, η Ιακωβιανή ορίζουσα det f i (p) είναι μη μηδενική εάν και μόνο εάν η f : U R n x j είναι τοπικά αντιστρέψιμη στο p. Αυτό ισοδυναμεί με το ότι υπάρχει μια περιοχή W του p στην M ώστε η f : W f(w ) να είναι μια αμφιδιαφόριση (από τον ορισμό της τοπικής αντιστρεψιμότητας). Χρησιμοποιώντας την Πρόταση 2.7 η τελευταία διατύπωση ισοδυναμεί με το ότι το σύνολο (W ; f 1,..., f n ) αποτελεί έναν τοπικό χάρτη στο p, ο οποίος ανήκει στη διαφορική δομή της M. Παράδειγμα 2.1. Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R 2 R 2, f(x, y) = (x 2 + y 2 1, x). Λόγω του θεωρήματος αντίστροφης απεικόνισης, η f είναι μια τοπική αμφιδιαφόριση στο p = (x, y) εάν και μόνο εάν ( ) (f 1, f 2 ) 2x 2y = det = 2y 0. (x, y) 1 0 Συνεπώς, οι συναρτησεις f 1 = x 2 + y 2 1 και f 2 = x είναι δυνατόν να αποτελέσουν ένα σύστημα συντεταγμένων για οποιοδήποτε σημείο p R 2, εκτός των σημείων που βρίσκονται στον άξονα x. 2.3 Ασκήσεις 1. Θεωρούμε την σφαίρα S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} και ορίζουμε έξι χάρτες σε αυτήν που αντιστοιχούν στα έξι ημισφαίρια (μπρος, πίσω, άνω, κάτω, δεξιά αριστερά) ως εξής: U 1 = {(x, y, z) S 2 : x > 0}, ϕ 1 (x, y, z) = (y, z) U 2 = {(x, y, z) S 2 : x < 0}, ϕ 2 (x, y, z) = (y, z). U 6 = {(x, y, z) S 2 : z > 0}, ϕ 6 (x, y, z) = (x, y). Αποδείξτε ότι ο άτλαντας {(U 1, ϕ 1 ),..., (U 6, ϕ 6 )} εφοδιάζει τη σφαίρα S 2 με δομή λείας πολλαπλότητας διάστασης 2. Προσαρμόστε το παράδειγμα αυτό για την περίπτωση του κύκλου S 1 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1}. 2. Χρησιμοποιήστε το Λήμμα 2.1 και αποδείξτε την Πρόταση 2.1.

15 Ασκήσεις 15 Σχήμα 2.7: Εξι χάρτες της μοναδιαίας σφαίρας S Εστω M και N λείες πολλαπλότητες. Είναι γνωστό από τη γενική τοπολογία ότι το καρτεσιανό γινόμενο M N εφοδιασμένο με την τοπολογία γινόμενο είναι χώρος Hausdorff και έχει αριθμήσιμη βάση. Κατασκευάστε έναν άτλαντα στον M N ως εξής: Για δύο απεικονίσεις f : X X και g : Y Y ορίζουμε το γινόμενό τους ως f g : X Y X Y, (f g)(x, y) = (f(x), g(y)). Εστω ότι οι M και N είναι πολλαπλότητες διάστασης m και n αντίστοιχα, με αντίστοιχους λείους άτλαντες {(U α, ϕ α )} και {(V β, ψ β )}. Αποδείξτε ότι η συλλογή {(U α V β, ϕ α ψ β : U α V β R m R n )} είναι ένας λείος άτλαντας του M N. Συνεπώς, το σύνολο M N είναι μια πολλαπλότητα διάστασης m + n. 4. Αποδείξτε τις Προτάσεις 2.6 και Θεωρούμε τους παρακάτω δύο χάρτες του μοναδιαίου κύκλου S 1 = {e it : t [0, 2π]} C: U 1 = {e it C : π < t < π}, φ 1 : U 1 R, φ 1 (e it ) = t, U 2 = {e it C : 0 < t < 2π}, φ 2 : U 2 R, φ 2 (e it ) = t. Αποδείξτε ότι οι χάρτες (U 1, φ 1 ) και (U 2, φ 2 ) είναι συμβατοί. Υπόδειξη: Βρείτε την τομή U 1 U 2 (αποτελείται από δύο συνεκτικές συνιστώσες), τις εικόνες φ 1 (U 1 U 2 ), φ 2 (U 1 U 2 ) (αποτελούνται από ένωση δύο διαστημάτων), καθώς και τις συναρτήσεις φ 2 φ 1 1, φ 1 φ 1 2.

16 16 Λείες Πολλαπλότητες Σχήμα 2.8: Οι χάρτες (ϕ 1, U 1 ), (ϕ 2, U 2 ) του κύκλου S 1 C. 6. Εστω x = (x 1,..., x n ) R n και x = i (xi ) 2. Αποδείξτε ότι η απεικόνιση f : R n+1 \ {0} S n, f(x) = x x επάγει έναν ομοιομορφισμό f : RP n S n /. Με βάση αυτό, αποδείξτε ότι ο RP 1 είναι ομοιομορφικός με τον κύκλο S 1. Στη συνέχεια, αποδείξτε τους ομοιομορφισμούς RP 2 = S 2 / = H 2 / = D 2 /, Σχήμα 2.9: Ο πραγματικός προβολικός χώρος RP 2 ως χώρος πηλίκο του κλειστού μοναδιαίου δίσκου D 2. όπου H = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0} και D 2 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. Στο σύνολο H η σχέση ισοδυναμίας ορίζεται ταυτίζοντας τα αντιποδικά σημεία στον ισημερινό και στο D 2 η σχέση ισοδυναμίας ορίζεται ταυτίζοντας αντιποδικά σημεία στο σύνορο του κύκλου. Ο πραγματικός προβολικός χώρος RP n δεν εμφυτεύεται ως υποπολλαπλότητα του R 3, εκτός εάν επιτρέψουμε να έχει αυτοτομές (self-intersections), οπότε τότε απλώς εμβαπτίζεται στον R 3 και η επιφάνεια που προκύπτει ονομάζεται επιφάνεια του Werner Boy ([2], [6]), (πρόβλημα που του είχε τεθεί από τον David Hilbert). 7. Είναι δυνατόν να καλυφθεί η σφαίρα S 2 με έναν μόνο χάρτη;

17 Ασκήσεις 17 Σχήμα 2.10: Ο πραγματικός προβολικός χώρος RP 2 εμβαπτισμένος στον R 3 με αυτοτομές. 8. Αποδείξτε ότι ο πραγματικός προβολικός χώρος RP n είναι συμπαγής τοπολογικός χώρος. 9. Εστω f : M N μια λεία συνάρτηση και έστω p M. Αν (U, ϕ) είναι ένας χάρτης στο p και (V, ψ) είναι ένας χάρτης στο f(p) N, αποδείξτε ότι η τοπική αναπαράσταση ψ f ϕ 1 της f είναι διαφορίσιμη στο σημείο ϕ(p). 10. Θεωρούμε την πραγματική ευθεία R με δύο μεγιστικούς άτλαντες, τον (R, ϕ = Id : R R) και τον (R, ψ : R R), όπου ψ(x) = x 1/3. Δείξτε ότι οι δύο διαφορικές δομές είναι διαφορετικές μεταξύ τους, δηλαδή ότι η ταυτοτική απεικόνιση Id : (R, ϕ) (R, ψ) δεν είναι αμφιδιαφόριση. Παρόλα αυτά, αποδείξτε ότι οι πολλαπλότητες (R, ϕ) και (R, ψ) είναι αμφιδιαφορικές. 11. Αποδείξτε ότι η απεικόνιση f : S 2 S 2, f(x, y, z) = ( x, y, z) είναι λεία. 12. Αποδείξτε ότι οι πολλαπλότητες S 1 και RP 1 είναι αμφιδιαφορικές.

18 18 Λείες Πολλαπλότητες

19 Βιβλιογραφία [1] D. Barden and C. Thomas, An Introduction to Differential Manifolds, Imperial College Press, London, [2] D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, AMS Chelsea Publishing, 1952/1999. [3] K. Jänice, Topology, Springer, New York, [4] M. Kervaire, A manifold which does not admit any differentiable structure, Comment. Math. Helv. 34 (1960) [5] M. Kervaire and J. Milnor, Groups of homotopy spheres: I, Ann. of Math. 77 (1963) [6] R. Kirby, What is Boy s surface?, Notices of the Amer. Math. Soc. 54 (10) (2007) [7] J.M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, New York, [8] J.E. Marsden and M.J. Hoffman, Elementary Classical Analysis, 2nd ed., W.H. Freeman, New York, [9] J. Milnor, On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, Ann. of Math. 64 (1956) [10] J. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, New Jersey, [11] G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Available: arxiv:math/ [12] G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds, Available: arxiv:math/ [13] G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, Available: arxiv:math/ [14] M. Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam Μετάφραση: Λογισμός σε Πολλαπλότητες, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, [15] L. Tu, An Introduction to Manifolds, 2nd ed., Springer, New York, [16] S. Willard, General Topology, Dover, New York,