(x) = δ(x) π(x) + υ(x)

Transcript

1 Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς αντίστοιχα κ, ν µε κ ν, τότε υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π ( χ), υ( χ ) τέτοια ώστε να ισχύει: ( χ) = δ ( χ) π ( χ) + υ( χ). Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης (x) = δ(x) π(x) + υ(x) ( ιαιρετέος = ιαιρέτης επί πηλίκο συν υπόλοιπο) Παρατηρήσεις. 1. Το (χ) είναι ο διαιρετέος, το δ(χ) ο διαιρέτης, το π(χ) το πηλίκο και το υ(χ) το υπόλοιπο της ευκλείδιας διαίρεσης. 2. Το πολυώνυµο υ(χ), είτε είναι το µηδενικό πολυώνυµο, είτε έχει βαθµό µικρότερο από το ν (δηλαδή από το βαθµό του δ(χ)). 3. Από το προηγούµενο προκύπτει ότι: Η διαίρεση τελειώνει, όταν το υπόλοιπο γίνει 0, ή όταν ο βαθµός του γίνει µικρότερος από το βαθµό του διαιρέτη (και όχι νωρίτερα). ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 128

2 4. Αν υ(χ)=0 (µηδενικό πολυώνυµο), αν δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0, τότε η διαίρεση είναι τέλεια. Προφανώς, σε αυτήν την περίπτωση, η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται ( χ) = δ ( χ) π ( χ) και τότε λέµε ότι το δ(χ) διαιρεί το (χ), ή ότι το δ(χ) είναι παράγοντας του (χ), ή ότι το δ(χ) είναι διαιρέτης του (χ). 5. Ο βαθµός του πηλίκου π(χ) είναι ίσος µε τη διαφορά των βαθµών του (χ) και του δ(χ). ιαίρεση µε διαιρέτη το χ-ρ Θεώρηµα 1 Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου (χ) µε το χ-ρ, είναι ο αριθµός (ρ), δηλαδή η αριθµητική τιµή του πολυωνύµου (χ) (του διαιρετέου) για χ=ρ. Proof Ειδικά στην περίπτωση όπου ο διαιρέτης δ(χ) είναι δ(χ)=χ-ρ, η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: (χ)=(χ-ρ)π(χ)+υ(χ) (1). Επειδή όµως ο διαιρέτης είναι 1 ου βαθµού και το υπόλοιπο πρέπει να είναι µικρότερου βαθµού, έχουµε υ(χ)=υ (σταθερός αριθµός), οπότε η (1) γίνεται (χ)=(χ-ρ)π(χ)+υ (2). Αν θέσουµε τώρα στην (2) χ=ρ έχουµε: (ρ)=υ. Θεώρηµα 2 Ένα πολυώνυµο (χ) έχει παράγοντα το χ-ρ, αν και µόνο αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα του (χ), δηλαδή αν ισχύει (ρ)=0. Proof Έστω ότι το χ-ρ είναι παράγοντας του P(χ). Τότε θα ισχύει: P(χ)=(χ-ρ)π(χ). Για χ=ρ στη διπλανή σχέση παίρνουµε: Ρ(ρ)=(ρ-ρ)π(ρ)=0 που σηµαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ). Αντίστροφα ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 129

3 Έστω ότι ρ είναι ρίζα του Ρ(χ), δηλαδή έστω ότι ισχύει Ρ(ρ) = 0. Τότε από τη σχέση: Ρ(χ)=(χ-ρ)π(χ)+Ρ(ρ) παίρνουµε ότι Ρ(χ)=(χ-ρ)π(χ), που σηµαίνει ότι το χ-ρ είναι παράγοντας του Ρ(χ). Προσοχή: Οι επόµενες 6 προτάσεις είναι ισοδύναµες (δηλαδή σηµαίνουν ακριβώς το ίδιο πράγµα). Έτσι, η µετάβασή µας από τη µια στην άλλη γίνεται αυτόµατα, µε κριτήριο πάντα τα δεδοµένα και τα ζητούµενα της κάθε άσκησης. Οι 6 ισοδύναµες προτάσεις «κλειδιά» 1. Το χ-ρ διαιρεί το (χ). 2. Το χ-ρ είναι παράγοντας του (χ). 3. Η διαίρεση (χ):(χ-ρ) είναι τέλεια. 4. Το υπόλοιπο της διαίρεσης (χ):(χ-ρ) είναι Το ρ είναι ρίζα του (χ). 6. Ισχύει (ρ)=0. Το σχήµα Horner Το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (χ):(χ-ρ), ή και µια οποιαδήποτε αριθµητική τιµή (ρ) ενός πολυωνύµου (χ), µπορούµε να τα βρούµε και µε την εφαρµογή µιας διαδικασίας η οποία είναι γνωστή ως σχήµα Horner. Παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να βρούµε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( χ 2χ 1) : ( χ 2). Εφαρµόζουµε τα επόµενα βήµατα: 1. Γράφω, τον ένα δίπλα στον άλλο, τους συντελεστές και το σταθερό όρο του διαιρετέου (αν το πολυώνυµο δεν είναι πλήρες, συµπληρώνω µε 0) και, πιο δίπλα, το «Κατεβάζω» στην µεθεπόµενη (3 η ) γραµµή το συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου (δηλαδή το 1). ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 130

4 3. Πολλαπλασιάζω το 1 µε το ρ=2 και γράφω το αποτέλεσµα στη 2 η γραµµή, κάτω από το 2 ο συντελεστή του πολυωνύµου. 4. Προσθέτω (κατακόρυφα) και γράφω το αποτέλεσµα στην 3 η γραµµή, δίπλα από το 1 που έχω γράψει εκεί από το 2 ο βήµα. 5. Επαναλαµβάνω τα βήµατα 3 και 4, όσες φορές χρειάζεται. 6. Με την ολοκλήρωση της διαδικασίας, στην τελευταία (3 η ) γραµµή, βλέπω τους συντελεστές του πηλίκου και (στην τελευταία δεξιά θέση) το υπόλοιπο της διαίρεσης. Το σχήµα Horner για το παράδειγµά µας επόµενο πίνακα: χ χ χ φαίνεται στον ( 2 1) : ( 2) Συντελεστές ιαιρετέου ρ Συντελεστές Πηλίκου Υπόλοιπο Άρα η διαίρεση χ χ χ δίνει (δευτεροβάθµιο) πηλίκο ( 2 1) : ( 2) 2 2 x + 0x+ 0= x και υπόλοιπο 1. Με άλλα λόγια, ισχύει: 2 x 2x 1 = ( x 2) x 1. Λυµένες Ασκήσεις 1. Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner, να δείξετε ότι το πολυώνυµο 4 p( x) = 2x 6x + 5x 3x+ 2 διαιρείται µε το ( x 1)( x 2) και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης. Λύση Εφαρµόζω το σχήµα Horner, για το p(x) και για ρ=1: Άρα x x + x x+ = x x x + x (1) ( 1)(2 4 2) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 131

5 Τώρα, εφαρµόζω σχήµα Horner για το x x + x και για ρ=2: Άρα, x x + x = x x + (2) ( 2)(2 1) Από (1), (2) έχω: x x + x x+ = x x x ( 1)( 2)(2 1) 4 Άρα, το 2x 6x + 5x 3x+ 2 διαιρείται µε το (χ-1)(χ-2) και το πηλίκο της 2 διαίρεσης είναι το 2x k 2k 2. Να δείξετε ότι το πολυώνυµο p( x) = ( x+ 1) x 2x 1, k 0, έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του 2x + 3x + x. Λύση Αρχικά, βρίσκουµε τους παράγοντες του 2x 3x x : 2x + 3 x + x= x(2x + 3x+ 1) = 2 x( x+ 1)( x+ ). 2 Άρα, για να δείξουµε το ζητούµενο, αρκεί να δείξουµε ότι το p(x) έχει ρίζες το 0, το 1 και το 1/2. 2k 2k Είναι: p(0) = 1 1= 0, p( 1) = ( 1) 2( 1) 1= = 0 και 1 2k 1 2k 1 p( 1/ 2) = ( ) ( ) 2 ( ) 1= 0, άρα, πράγµατι, ισχύει το ζητούµενο Να υπολογίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς α και β αν είναι γνωστό ότι το πολυώνυµο f ( x) = x + α x + β x+ 4 διαιρείται ακριβώς µε το χ 2 και επιπλέον ισχύει f (1) = 8 Λύση Αρχικά, επειδή το πολυώνυµο f ( x ) διαιρείται ακριβώς µε το χ 2, θα ισχύει ότι f (2) = 0. Άρα από τις ισότητες f (1) = 8, f (2) = 0, αναλυτικά έχουµε: f a β α β (1) = = 8 + = 3 f (2) = a 2 + β 2+ 4= 0 2α + β = 6 Από τις παραπάνω 2 εξισώσεις του συστήµατος έχουµε σαν λύσεις α = -9 και β = 12. Άρα το πολυώνυµο θα είναι το f ( x) = x 9x + 12x + 4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 132

6 4. Το πολυώνυµο P( x) έχει παράγοντα το χ 5. Να αποδείξετε ότι το P(2x 3) έχει παράγοντα το χ 4. Λύση Αφού το P( x ) έχει παράγοντα το χ 5 θα ισχύει P (5) = 0. Για να έχει το P(2x 3) παράγοντα το χ 4 πρέπει P(2 4 3) = 0 P ( 5) = 0 που πράγµατι ισχύει. Ερωτήσεις τύπου «Σωστού ή Λάθους» 1. Το µηδενικό πολυώνυµο διαιρείται από κάθε µη µηδενικό πολυώνυµο 2. Αν το f( x) 0 διαιρεί τα P( x ) και Q( x ), τότε διαιρεί και τα P( x) ± Q( x) Σ Λ Σ Λ 3. Αν το f( x) 0 διαιρεί το P( x ), τότε το f( x) διαιρεί και το P( x) Q( x) για κάθε πολυώνυµο Q( x ) Σ Λ 4. Αν P( x ) πολυώνυµο 4 ου βαθµού και P( 2) = 5, τότε ( ) P x =π ( x) + 5 x 2 x 2, όπου π ( x) πολυώνυµο 3 ου βαθµού Σ Λ 5. Αν το P( x) έχει παράγοντα το χ ρ, τότε θα έχει παράγοντα και το ρ χ Σ Λ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 133

7 Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 1. Αν το πολυώνυµο P( x) έχει ρίζα το Α. x 1 Β. 1 x Γ. 2x 1 2. Αν το πολυώνυµο ( ) 1, τότε διαιρείται µε το διώνυµο: 2. 2x+ 1 Ε. x+ 1 P x έχει παράγοντα το x 5, τότε το P( 2x 3) παράγοντα το: Α. x+ 4 Β. x 4 Γ. 2x 3. 2x 4 Ε. x Αν το πολυώνυµο P( x 1) + έχει παράγοντα το x 1 έχει, τότε το P( 6 2x) παράγοντα το: Α. x+ 2 Β. x+ 1 Γ. x 2. x 3 Ε. x Αν το P( x ) είναι 6 ου βαθµού και διαιρείται µε ένα ( ) έχει Q x 4 ου βαθµού, τότε το πηλίκο της διαίρεσης είναι: Α. Τουλάχιστον 2 ου βαθµού Β. Το πολύ 2 ου βαθµού Γ. 2ου. Τουλάχιστον 4 ου βαθµού Ε. 4ου 5. Έστω P( x ) ένα πολυώνυµο και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π ( x) είναι το πηλίκο και υ ( x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( ) τότε το υπόλοιπό υ( x) είναι: Α. Πάντοτε πολυώνυµο ίδιου βαθµού µε το P( x ) Β. Πολυώνυµο 1 ου βαθµού Γ. Σταθερό πολυώνυµο. Πάντοτε το µηδενικό πολυώνυµο 6. Έστω το πολυώνυµο ( ) 2 P x x 3 x x 1 P x µε το x ρ, =κ κ +κ +, όπου κ πραγµατικός αριθµός. Για ποια από τις παρακάτω τιµές του κ το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) µε το x 1, είναι ίσο µε το µηδέν: Α. κ= 0 Β. κ= 1 Γ. κ= 1. κ= 2 Ε. κ= 2 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 134

8 Άλυτες ασκήσεις Να γράψετε τις ταυτότητες των επόµενων διαιρέσεων: 1. (3x + 6x 17x+ 20) : ( x+ 3) 4 2. ( x 81) : ( x 3) (24x + 20x 16x 15) : (6x + 5) (2x + 4x 5x + 3x 2) : ( x + 2x 3) x : ( x 1) ( x + 7) : ( x 1) 3 7. ( x + 75x 250) : ( x+ 10) 3 8. ( x + 512) : ( x+ 8) 5 9. ( x + 1) : ( x 1) x : ( x 2) 11. (4x + 16x 23x 15) : ( x+ ) (3x 2ax 8 a ) : ( x 2 a) ( x + ax a x a ) : ( x+ a) 14. Χωρίς να κάνετε τη διαίρεση διαίρεση είναι τέλεια. 4 2 ( x 25x 144) : ( x 3) + +, εξετάστε αν η 15. Όµοια για την (16 x 8x + 9x + 14x 4) : ( x ) Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (18x 6x + 4x 2) : ( x+ 1) 17. Βρείτε τον αριθµό κ, ώστε το χ-1 να είναι παράγοντας του πολυωνύµου P x = k x + 3kx 4 ( ) Βρείτε τον αριθµό κ, ώστε το χ-1 να είναι παράγοντας του πολυωνύµου P x = x + κ 1 x 7x+ 6κ ( ) ( ) 19. Βρείτε τον αριθµό κ, ώστε το πολυώνυµο 4 P x = x κ x + 3k+ 7 x κ x+ 3 όταν διαιρείται µε το χ + 1 να αφήνει ( ) ( ) υπόλοιπο Να προσδιοριστούν οι πραγµατικοί αριθµοί κ και λ,ώστε το πολυώνυµο p( x) = x x + 1 x+ 5 x 1 x + 2 κ ( λ ) να έχει παράγοντα το ( )( ) 21. Αν p( x) = 2x 2x x+ 2409, βρείτε το p(-11). ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 135

9 22. Αν κ άρτιος θετικός ακέραιος, δείξτε ότι το x+y είναι παράγοντας του k k x y. 23. είξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου p(x) µε το ax+b 3 είναι το p(-b/a). Μετά, βρείτε τις συνθήκες, ώστε το ax + b να διαιρείται µε το ax+b. 24. Βρείτε τα a, b, ώστε το k+ 1 k p( x) = ax bx + 1, να έχει παράγοντα το 2 ( x 1). 25. είξτε ότι το 4 2 4x 7x δεν έχει παράγοντα της µορφής χ-ρ. 26. είξτε ότι, αν κ περιττός θετικός ακέραιος, το χ+1 είναι παράγοντας του k k x + 1. Γράψτε την ταυτότητα της διαίρεσης ( x + 1) : ( x+ 1). Extra Άλυτες ασκήσεις 1) Να κάνετε τη διαίρεση: (2x 4 7x 3 +18x+2) : (x 2-3x+1). Στη συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 2) Ένα πολυώνυµο (x), όταν διαιρεθεί µε το δ(x)= x 2-2x δίνει πηλίκο π(x)= x 3-3x α) Να βρείτε τον βαθµό του (x). β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης είναι υ(x)=-3x+5, τότε να βρείτε το (x). 3) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= 2x 3 +x 2-22x+24. α) Να αποδείξετε ότι το 2x-3 είναι παράγοντας του P(x). β) Να παραγοντοποιήσετε το P(x). 4) Να κάνετε τη διαίρεση (x 3-5x+3): (x+2). 5) Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner, να αποδείξετε ότι το πολυώνυµο: P(x)= x +4-2x 3 -x 2 +8x-12 διαιρείται ακριβώς µε το x 2-4 και να βρείτε το πηλίκο. 6) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης: (x v +x v-1-1): (x-1) 7) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= x 4-3x 3 +αx 2-3x+2α-6. α) Να κάνετε τη διαίρεση P(x):(x 2 +1) β) Αν η παραπάνω διαίρεση είναι τέλεια, να βρείτε τον αριθµό α. 8) ίνεται πολυώνυµο P(x) για το οποίο ισχύει P(-2)=-7 και P(4)=5. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το (x+2)(x-4). 9) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= (x+3) 10 -(x+1) 9 +(3x+5) 8. Nα βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x): (x+2). 10) ίνεται το πολυώνυµο P(x)=x 8-2x 7 +x 3-3x-2. Να εξετάσετε αν τα πολυώνυµα x-2 και x+1 είναι παράγοντες του P(x). ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 136

10 11) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= x 3 +αx 2-12x+β. To x-3 είναι παράγοντας του P(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το x+1 είναι 28. Να βρείτε τις τιµές των α, β R. 12) α) Να αποδείξετε ότι το P(x) έχει παράγοντα το (x-α)(x-β), µε α β, αν και µόνο αν το P(x) έχει παράγοντες το x-α και το x-β. β) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= x 3 +4x 2 +αx+β. Να βρείτε τις τιµές των α, β R, ώστε το P(x) να έχει παράγοντα το x 2 +2x-3. 13) ίνεται το πολυώνυµο P(x)=x 3 +αx 2 +β. Να βρείτε για ποιες τιµές των α, β R, το P(x) έχει παράγοντα το x 2-4x+4. 14) ίνονται τα πολυώνυµα P(x)= (x-2) 2ν -(4-3x) v +(x-x 2 ) v & Q(x)=x 3-3x 2 +2x. Να αποδείξετε ότι το P(x) έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του Q(x). 15) α) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P(x) β µε το αx+β, όπου α 0, είναι υ = P -. α β) ίνεται το πολυώνυµο P(x)= 8x 3-16x +κx+λ. Να βρείτε τις τιµές των κ, λ R, ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x): (2x+1) να είναι -12 και το 2x-3 να είναι παράγοντας του P(x). γ) Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner, να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x): (2x-1). 16) To υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το x-2 είναι 1 και µε το x+3 είναι -14. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το x 2 +x-6. 17) To υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το x 2-3x-10 είναι - 2x+7. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το x+2 και της διαίρεσης του P(x) µε το x-5. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 137