3.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Transcript

1 .7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 - A Oµάδας. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() +, τις ευθείες, και τον άξονα των Βρίσκουµε το πρόσηµο του τριώνυµου f() + στο διάστηµα [, ] 4 <, άρα f() > για κάθε R. Το ζητούµενο εµβαδόν είναι : Ε ( + )d τ. µ. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα των και τις ευθείες που δίνονται κάθε φορά. i) f(),, 7 ii) f(),, π συν i) Επειδή Ε ii) για κάθε [, 7] το ζητούµενο εµβαδόν είναι 7 7 d d (7) ( ) τ. µ Για κάθε, π είναι συν >, άρα Ε π d [ εφ ] π συν π εφ εφ τ. µ

2 . Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() και τoν άξονα των Τα σηµεία τοµής της εξίσωσης f() C f µε τον άξονα των έχουν τετµηµένες τις λύσεις της ( ) ή. Το διάστηµα ολοκλήρωσης είναι το [, ] Πρόσηµο της f : + f() + + Επειδή f() στο [, ], θα είναι Ε f() d ( + )d τ. µ

3 4. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και g(). Βρίσκω τα σηµεία τοµής των δύο γραφικών παραστάσεων, οι τετµηµένες τους είναι οι λύσεις της εξίσωσης f() g() ιάστηµα ολοκλήρωσης είναι το [, ] Η διαφορά f() g() + ( + ) ( + )( ) + ( + ) ή ή Πρόσηµο της διαφοράς f() g() + f() + + : Εποµένως Ε (f() g())d + ( f() + g())d ( + )d + ( + )d τ. µ 4

4 4. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f() 4 και της ευθείας y. Η εξίσωση της ευθείας γράφεται y g() Οι τετµηµένες των σηµείων τοµής των δύο γραφικών παραστάσεων είναι οι λύσεις της εξίσωσης f() g() ή Το διάστηµα ολοκλήρωσης είναι το [, ] Η διαφορά f() g() Πρόσηµο της διαφοράς f() g() + f() + Ε (f() g ( ))d (4 + )d ( + 6)d τ. µ

5 Β Οµάδας. Έστω η συνάρτηση f() i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο της Α(, ). ii) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη εφαπτοµένη της στο Α και τον άξονα των.. i) f () 6, f() και f () 6 Άρα η εφαπτοµένη στο Α είναι : y 6( ) y 6 ii) Αναζητάµε το εµβαδόν του µικτογράµµου τριγώνου ΟΒΑ, (γκρίζα περιοχή ) όπου το Β είναι το σηµείο τοµής της εφαπτοµένης µε τον άξονα των. Για y, η y 6 ( ), άρα Β, Φέρνουµε ΑΓ, οπότε Γ(, ) C f, την Ζητούµενο εµβαδόν : Ε (Μικτόγραµµο ΟΓΑ) (Τρίγωνο ΒΓΑ) f () d d g() d 6 d d (6 )d ( ) ( ) τ. µ

6 6. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση +, < της f(), τις ευθείες, και τον άξονα των., Το ζητούµενο εµβαδόν είναι η διπλανή γκρίζα περιοχή lim f() lim ( +) + +, lim f() lim, και f(), άρα f συνεχής στο ο, οπότε συνεχής στο [, ] Πρόσηµο του κλάδου + : + > < < < που ισχύει αφού [, ) Πρόσηµο του κλάδου : Προφανώς > αφού [, ] Εποµένως Ε f()d ( + )d+ d τ. µ

7 7. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης + 4, < f() +, και τον άξονα των. Το ζητούµενο εµβαδόν είναι η διπλανή γκρίζα περιοχή lim f() lim ( + 4 ) lim f() lim ( + ) + + f() άρα f συνεχής στο ο Κοινά σηµεία της C f µε τον άξονα : + 4 άρα Α(, ) + ( ) άρα, Πρόσηµο του κλάδου + 4 : + 4 > 4 + < Πρόσηµο του κλάδου + : + < < που ισχύει αφού [, ) αφού η f είναι συνεχής στο ο είναι συνεχής στο [, ] Εποµένως Ε f() d f() d + f() d ( + 4 )d + ( + )d ( 4+ ) 4 τ. µ

8 8 4. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων Κοινό πεδίο ορισµού f () και [, + ) + g() f() - g() + Κοινά σηµεία των C f, C g : f() g() + (+ ) 9 9( ) ( + ) ή Το ζητούµενο εµβαδόν είναι η παραπάνω κόκκινη περιοχή Πρόσηµο της διαφοράς f() g() : f() g() f() g() + + E 9( ) ( + ) (f () g())d + ( )d + d d

9 9 ( ) d (+ )d + ( ) + + ( ) + 4 (4 ) ( + ) 6 τ. µ

10 . i) Να υπολογίσετε το εµβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων e f (), g() ln, τον άξονα των και την ευθεία λ, λ > e. ii) Να βρείτε το όριο lim Ε( λ ) λ + i) Κοινό πεδίο ορισµού το (, + ) Κοινά σηµεία των C, C : f() g() e ln Προφανής ρίζα το e Άρα Β(e, ) f g Το ζητούµενο εµβαδόν είναι η διπλανή κόκκινη περιοχή Έστω h() f() g() e ln µε προφανή ρίζα το e. Ε(λ) Αλλά e h () e λ e ln d+ d e () <, άρα h γν.αύξουσα το e µοναδική ρίζα. e e e e ln d ln d [ ln ] λ e λ και d [ e ln ] e e elnλ e () Ε(λ) elnλ e + τ. µ ii) lim Ε( λ ) lim (e lnλ e+ ) + λ + λ + d (e ) (e )

11 6. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου χωρίου του διπλανού σχήµατος Ε ( )d + ( )d y y y y ln + + ln ln 9 (9 ) ( ) y O ln + 9 ln + τ. µ

12 7. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου χωρίου του διπλανού σχήµατος Η τετµηµένη του σηµείου Α προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης : + Το σηµείο Β έχει τετµηµένη τη θετική λύση της εξίσωσης : Ε ( + )d + ( )d + ( + )d ( + ) τ. µ

13 8. ίνεται η συνάρτηση f() ηµ i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της C f στα σηµεία Ο(, ) και Α(π, ) ii) Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τις παραπάνω εφαπτόµενες. i) f () συν f () και f (π) Εφαπτόµενη στο Ο(, ) : y f() f ()( ) Εφαπτοµένη στο Α( π, ) : ii) y ηµ ( ) y y f(π) f (π)( π) y ηµπ ( π) y + π y + π Σηµείο τοµής Α των εφαπτοµένων : y y +π y π y +π π Α(, π) Το ζητούµενο εµβαδόν είναι η παραπάνω γκρίζα περιοχή Φέρνουµε την κάθετο από το Α στον άξονα, η οποία χωρίζει το ζητούµενο εµβαδόν σε δύο µέρη. π π π Ε ( ηµ )d + ( +π ηµ )d π +συν + +π +συν π π π π π π +συν συν + +π +συνπ+ συν 8 8 π π π τ. µ 4

14 4 9. i) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(), την εφαπτόµενή της στο σηµείο (, ) και τον άξονα των. ii) Να βρείτε την ευθεία α η οποία χωρίζει το χωρίο αυτό σε δύο ισεµβαδικά χωρία. i) f () f () Εξίσωση της εφαπτόµενης στο Α(, ) : y f() f ()( ) y ( ) y + Η εφαπτόµενη στο Α τέµνει τον άξονα των στο σηµείο µε τετµηµένη την λύση της εξίσωσης + Το εµβαδόν που ζητάµε καθορίζεται από την παραπάνω γκρίζα περιοχή Το ζητούµενο εµβαδόν χωρίζεται από τον άξονα των y σε δύο µέρη. Ε ii) + d + + d τ. µ 4 4 Εξετάζουµε αν υπάρχει τιµή του α µε α έτσι ώστε να ισχύει α Ε ( + )d α + 6 α α α 6 + 6α + α Από αυτές, στο διάστηµα [, ] ανήκει η α Άρα η ευθεία ή α χωρίζει το χωρίο σε δύο ισεµβαδικά τµήµατα. + 6 Αναζητώντας ευθεία α µε α φθάνουµε σε αδύνατη εξίσωση, άρα δεν υπάρχει τέτοια ευθεία.

15 . Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() ln, g() ln και την ευθεία y ln. Η συνάρτηση g γράφεται g() ln g() ln ln g() ln Οπότε η γραφική της παράσταση είναι συµµετρική της των. C f ως προς τον άξονα Τετµηµένη του σηµείου τοµής Α της C g µε την ευθεία y ln : ln ln A Τετµηµένη του σηµείου τοµής Β της C f µε την ευθεία y ln : ln ln B Τετµηµένη του σηµείου τοµής Γ των C f, C g : ln ln ln ln Γ. Το ζητούµενο εµβαδόν είναι η παραπάνω γκρίζα περιοχή Οι κάθετες στον άξονα από τα Α, Β ορίζουν τα άκρα ολοκλήρωσης. Η κάθετος στον άξονα από το Γ χωρίζει το ζητούµενο εµβαδόν σε δύο µέρη. Ε (ln + ln )d + (ln ln )d ln d + ln d + ln ( ) ln ln d + + [ ] ln d ln d + ln d ln ln d ln d + d + ln ( ) [ ln ] d + [ ln ln ] ( ) + ln [ln ln] + ( ) ln ln + ln ln + ln + ln ln + τ. µ

16 6. i) Να βρείτε συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σηµείο Α(, ) και η κλίση της στο σηµείο Μ(, f()) είναι. ii) Ποιο είναι το εµβαδόν του χωρίου που ορίζουν η i) Είναι f () Α(, ) C f f() Η () γίνεται f() + ii) f () + c () C f και ο άξονας των ;.+ c c άρα Το ζητούµενο εµβαδόν είναι η διπλανή γκρίζα περιοχή Τα σηµεία τοµής της C f µε τον άξονα των έχουν τετµηµένες τις ρίζες της εξίσωσης : + ή. Το διάστηµα ολοκλήρωσης είναι το [, ], στο οπoίο είναι f(), άρα το ζητούµενο εµβαδόν είναι : Ε + ( )d τ. µ

17 7. Έστω η συνάρτηση f() ( )( ) i) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της γραφικής παράστασης της f στα σηµεία Α, Β που η C f τέµνει τον άξονα των ii) Αν Γ είναι το σηµείο τοµής των εφαπτοµένων, να αποδείξετε ότι η C f χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο χωρία που ο λόγος των εµβαδών τους είναι i) Τα σηµεία τοµής της C f µε τον άξονα των έχουν τετµηµένες τις ρίζες της εξίσωσης f() ( )( ) ή Έστω Α(, ) και Β(, ). Είναι f () 4 f () και f () Εξίσωση της εφαπτοµένης στο Α : y f() f ()( ) y + Εξίσωση της εφαπτοµένης στο Β : y f() f ()( ) ii) Η τετµηµένη του σηµείου τοµής των εφαπτόµενων είναι η ρίζα της εξίσωσης άρα Γ(, ) Τα εµβαδά για τα οποία µιλάµε είναι η γκρίζα και η πράσινη περιοχές Φέρνουµε Γ Ζ y 6 Λόγω συµµετρίας, αρκεί να αποδείξουµε ότι E µικτογρ ά µµου ΑΖ E µικτογρ ά µµου Α Γ E µικτογρ ά µµου ΑΖ E τριγ ώ νου ΑΖΓ Είναι E µικτογρ ά µµου ΑΖ + ( 4 )d ( + 4 )d 4 +

18 8 Είναι Από τις (), () τ. µ () E τριγ ώ νου ΑΖΓ (ΑΖ)(ΖΓ) το ζητούµενο 4 ()