Ανασκόπηση-Μάθημα 24, 25 Διπλό ολοκλήρωμα

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανασκόπηση-Μάθημα 24, 25 Διπλό ολοκλήρωμα"

Άφροδίτη Καλλιγάς
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος Ανασκόπηση-Μάθημα 4, 5 Διπλό ολοκλήρωμα Στο μαθήματα 4 και 5 ( //8, 6 //8 ), μιλήσαμε για το διπλό ολοκλήρωμα. (Ενότητα σελ. 943). Γράφω μαζί για τα δύο μαθήματα, επειδή στο μάθημα 5 κάναμε στο μεγαλύτερο μέρος επανάληψη του μαθήματος 4. Ορισμός και ιδιότητες διπλού ολοκληρώματος Ξεκινήσαμε με τον ορισμό του διπλού ολοκλήρωματος (δείτε βιβλίο για σχήμα) για μία πραγματική συνάρτηση f που ορίζεται σε ένα ορθογώνιο του, όπου = {(x, y) a x b, c y d}. Ορισμός. Έστω f πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο ορθογώνιο. Διαμερίζουμε το σε μικρά ορθογώνια, με εμβαδό ΔA, ΔA,, ΔA n, όπου ΔA k = Δx k Δy k για κάθε k {,,, n}. Επιλέγουμε σε καθένα από αυτά τυχαία ένα σημείο (x k, y k ) και σχηματίζουμε το άθροισμα S n = n k= f (x k, y k )ΔA k. Αν η f είναι συνεχής, τότε καθώς πυκνώνουμε την παραπάνω διαμέριση (δηλ για Δx, Δy ), υπάρχει όριο lim n + S n και ισούται με έναν πραγματικό αριθμό L. Το όριο αυτό το όριο, το καλούμε διπλό ολοκλήρωμα της f στο και το συμβολίζουμε με f (x, y) da ή f (x, y) dy. Παρατήρηση. Το παραπάνω όριο είναι ανεξάρτητο της διαμέρισης που πήραμε. Επίσης, η συνέχεια της f, είναι ικανή, αλλά όχι αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη του διπλού ολοκληρώματος. Στη συνέχεια έιδαμε τις βασικές ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος. Ιδιότητες: Έστω και f, g ώστε να υπάρχουν τα ολοκληρώματα των f, g στο. Τότε ισχύουν οι ιδιότητες

2 f (x, y) + g(x, y) da = f (x, y) da + g(x, y) da. λf (x, y) da = λ f (x, y) da, λ. Αν f (x, y), τότε f (x, y) da. Αν f (x, y) g(x, y), τότε f (x, y) da g(x, y) da. Αν =, όπου τα, δεν αλληλοεπικαλύπτονται, τότε f (x, y) da = f (x, y) da + f (x, y) da. Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος σε ορθογώνια Θεώρημα (Fubini). Έστω f συνεχής, όπου = {(x, y) a x b, c y d}. Τότε ισχύει b f (x, y) da = a d c d f (x, y) dy = c b f (x, y) dy. a Παρατήρηση. Όπως είπαμε και στο μάθημα, το Θεώρημα Fubini, μας επιτρέπει να ολοκληρώνουμε με οποια σειρά επιθυμούμε. Είδαμε τα παραδείγματα. Παράδειγμα. Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα της f (x, y) = 4 x y, στο ορθογώνιο χωρίο = {(x, y) x, y }. Από το Θεώρημα Fubini, έχουμε

3 f (x, y) da = (4 x y) dy = 4 y x y y = (7/ x) = 7 x x = 5. Ακριβώς όμοια δείξαμε ότι Όμοια ακριβώς δουλέψαμε για το παράδειγμα (4 x y) dy = 5. Παράδειγμα. Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα της f (x, y) = x y, στο ορθογώνιο χωρίο = {(x, y) x, y }. Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος σε φραγμένα μη ορθογώνια χωρία Στη συνέχεια είδαμε το παρακάτω Θεώρημα που μας επιτρέπει να ολοκληρώνουμε σε πιο σύνθετα χωρία. Θεώρημα. Έστω f συνεχής στο φραγμένο χωρίο. Tο καλείται τύπου I, αν είναι της μορφής = {(x, y) a x b, g (x) y g (x)}, όπου g, g συνεχείς στο [a, b]. Τότε ισχύει b f (x, y) da = a Tο καλείται τύπου II, αν είναι της μορφής g (x) f (x, y) dy. g (x) = {(x, y) c y d, h (y) y h (y)}, όπου h, h συνεχείς στο [c, d]. Τότε ισχύει d f (x, y) da = c h (y) f (x, y) dy. h (y) Tο καλείται τύπου IIΙ, αν είναι τύπου I και τύπου II. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης. 3

4 Παρατήρηση. Το βιβλίο δεν ανεφέρει την ορολογία Τύπου Ι, Τύπου ΙΙ, Τύπου ΙΙΙ και το παραπάνω Θεώρημα το καλεί Υσχυρή μορφή του Θεωρήματος Fubini. Είδαμε τα παραδείγματα Παράδειγμα 3. Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωμα Ι = e e x+y dy. e x Εδώ το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το = {(x, y) x, e x y e}, το οποίο είναι τύπου Ι. Όμως αν δοιμάσουμε να ξεκινήσουμε την ολοκλήρωση ως προς x, γρήγορα θα συναντήσουμε εμπόδια. Για το λόγο αυτό βλέπουμε το χωρίο ως τύπου ΙΙ, όπου = {(x, y) y e, x ln y}. Οπότε, τώρα έχουμε y I = ln y e x+y y dy = e y [e x ln y ] y = e y y = = e e (e ) + e. (από παραγοντική ολοκλήρωση) Παράδειγμα 4. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = κάνοντας αλλαγή στη σειρά ολοκλήρωσης. 4 x xe y 4 y dy, Εδώ το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το = {(x, y) x, y 4 x }, το οποίο είναι τύπου Ι. Για να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης, γράφουμε το ως τύπου II. = {(x, y) y 4, x 4 y}. Οπότε, τώρα έχουμε 4

5 4 I = 4 y xe y 4 y dy = 4 e y 4 y x 4 y 4 e y = dy = 4 ey 4 = 4 (e8 ). Στη συνέχεια είδαμε τα παραδείγματα 3, 4 του βιβλίου στη σελίδα 95 (Δείτε τα)!. Παρατήρηση. Όπως είπαμε και στο μάθημα, αν f (x, y) στο, τότε το διπλό ολοκλήρωμα f (x, y)da, δίνει τον όγκο του στερεού που φράσσεται από πάνω από το γράφημα της f και έχει βάση το. Παράδειγμα 5. Βρείτε τον όγκο του χωρίου που φράσσεται από το παραβολοειδές z = x + y και έχει ως βάση το τρίγωνο του x y-επιπέδου που ορίζουν οι ευθείες y = x, x =, y = x +. Εδώ το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το = {(x, y) x, x y x + }, το οποίο είναι τύπου Ι, αλλά όχι τύπου II. Έχουμε I = x+ x x + y dy = x y + y3 3 x+ x = x ( x + ) + 3 [( x + )3 x 3 ] = Στη συνέχεια είδαμε το παράδειγμα στη σελίδα 949. Για το σπίτι είχατε H/W: Να γίνουν οι παρακάτω ασκήσεις του βιβλίου στη σελίδα 95, 4, 5, 7, 8,, 6, 7, 3, 3, 4. Ορισμός. Αν συμπαγές χωρίο, τότε το εμβαδόν A = A() του δίνεται από το διπλό ολοκλήρωμα. Δηλαδή ισχύει A = A() = 5 da.

6 Αλλαγή μεταβλητών στο διπλό ολοκλήρωμα-πολικές συντεταγμένες Στη συνέχεια μιλήσαμε για αλλαγή μεταβλητών στο διπλό ολοκλήρωμα. Θεώρημα (Αλλαγή μεταβλητών). Έστω,, συμπαγή και Φ, -, επί, παραγωγίσιμη με συνεχείς μερικές παραγώγους, ώστε Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)). Ορίζουμε την Ιακωβιανή ορίζουσα της Φ ως Τότε ισχύει (x, y) (u, v) = u u v v. (x, y) f (x, y) dy = f (x(u, v), y(u, v) (u, v) dudv. Πολικές συντεταγμένες: Έστω το σημείο του επιπέδου (x, y). Οι πολικές συντεταγμένες του (x, y), δίνονται από τη σχέση x = r cos(θ), y = r sin(θ), x + y = r, ενώ η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι (x, y) (r, θ) = r r θ θ cos(θ) = sin(θ) r sin(θ) r cos(θ) = r. [ Εδώ Φ(r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ)) = (r cos(θ), r sin(θ)) ]. Παράδειγμα 6. Αν f (x, y) = x + y να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = κάνοντας αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες. x f (x, y) dy, Εδώ το χωρίο ολοκλήρωσης (κάντε σχήμα!!!) είναι το = {(x, y) x, y x }, 6

7 που είναι το τεταρτοκύκλιο στο πρώτο τεταρτημόριο του μοναδιαίου κύκλου. Το χωρίο που προκύπτει με αλλαγή σε πολικές συντεταγμένες είναι = {(r, θ) r, θ π/}. Επίσης η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι ίση με r, οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται π/ I = r 3 π/ drdθ = r4 4 dθ = 4 π/ dθ = π 8. Παρατήρηση. Η σειρά ολοκλήρωσης στο τελευταίο ολοκλήρωμα δεν παίζει κανένα ρόλο, καθώς το είναι ορθογώνιο χωρίο. 7

Σχετικά έγγραφα

Ανασκόπηση-Μάθημα 14 Όρια και Συνέχεια συναρτήσεων στο R 2

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 14 Όρια και Συνέχεια συναρτήσεων στο R 2 Στο δέκατο τέταρτο μάθημα (30/10/2018), ασχοληθήκαμε