ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΗΣ STOKES ΣΕ ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πρωτοπαπάς Ελευθέριος Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Χατζηνικολάου Μαρία ΠΑΤΡΑ Μάιος 9

2 «Εάν θέλεις να φτάσεις έως το άπειρο, γνώρισε το πεπερασμένο σε όλες τις εκφράσεις του.» Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή

3 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 5 Περίληψη... 6 Abstract. 7 Εισαγωγή 8 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Η έννοια του ρευστού. Ιδιότητες των ρευστών... Είδη ρευστών..4 Τύποι ροής. 4.5 Συνθήκη μη ολίσθησης Οριακό στρώμα 6.6 Σύστημα και όγκος ελέγχου Θεμελιώδεις νόμοι της Ρευστομηχανικής. 8.8 Αριθμός Reyolds..9 Ροή Stokes (έρπουσα ροή) Κεφάλαιο ο : Βασικές εξισώσεις κίνησης ρευστών. Θεώρημα μεταφοράς του Reyolds... Εξίσωση συνέχειας 4. Μακροσκοπικό ισοζύγιο γραμμικής ορμής Οι εξισώσεις μεταβολής ενός ιξώδους ρευστού 8.5 Εξίσωση σταθερής ροής Stokes Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες αξονοσυμμετρικών ροών.7 Ο τελεστής Ε. Εισαγωγικές έννοιες Σχέση συνάρτησης ροής και ταχύτητας σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων. 9. Ιδιότητες συνάρτησης ροής Συνιστώσες της ταχύτητας συναρτήσει της συνάρτησης ροής σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων Συνοριακές συνθήκες για τη συνάρτηση ροής Η εξίσωση για τη συνάρτηση ροής στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων.. 5 για τη ροή Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων Η πίεση για τη ροή Stokes. 6.9 Δύναμη που ασκείται πάνω σε σώμα 6 Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

4 Κεφάλαιο 4 ο : Προβλήματα στη ροή Stokes και λύση τους στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων 4. Κίνηση συμπαγούς σφαίρας με σταθερή ταχύτητα μέσα σε άπειρο ακίνητο ρευστό Ροή γύρω από ακίνητη συμπαγή σφαίρα Κίνηση ρευστής σφαίρας με σταθερή ταχύτητα μέσα σε άπειρο ακίνητο ρευστό Ομόκεντρες σφαίρες Η γενική λύση στις σφαιρικές συντεταγμένες.. 8 Κεφάλαιο 5 ο : Προβλήματα στη ροή Stokes και λύση τους σε σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων 5. Ροή γύρω από πεπλατυσμένο σφαιροειδείς Ροή γύρω από επίμηκες σφαιροειδείς Διαχωρισιμότητα του τελεστή Ε και ημιδιαχωρισιμότητα του τελεστή Ε 4 στις επιμήκεις σφαιροειδείς συντεταγμένες 5.4 Γεωμετρικός εκφυλισμός.. 6 Κεφάλαιο 6 ο : Εφαρμογές της μεθόδου της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4 στην επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών σε σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων 6. Ροή Stokes για ρευστό κύτταρο ανάμεσα σε δύο ομοεστιακά επιμήκη σφαιροειδή με συνοριακές συνθήκες τύπου Kuwabara Ροή Stokes για ρευστό κύτταρο ανάμεσα σε δύο ομοεστιακά επιμήκη σφαιροειδή με συνοριακές συνθήκες τύπου Happel 5 Κεφάλαιο 7 ο : Συμπεράσματα Συμπεράσματα Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

5 Παραρτήματα Παράρτημα Α: Βασικές έννοιες Διανυσματικής Ανάλυσης Α. Εσωτερικό Εξωτερικό Μικτό γινόμενο διανυσμάτων 5 Α. Κλίση Απόκλιση Στροβιλισμός Τελεστές και.. 5 Α. Ιδιότητες κλίσης απόκλισης στροβιλισμού τελεστή Παράρτημα Β: Τανυστές Β. Τανυστής Β. Ολικός τανυστής των τάσεων Παράρτημα Γ: Ειδικές συναρτήσεις Γ. Συναρτήσεις Legedre Γ. Συναρτήσεις Gegebauer.. 65 Παράρτημα Δ: Τα θεωρήματα των Gauss και Stokes Δ. Το θεώρημα απόκλισης Gauss.. 7 Δ. Το θεώρημα του Stokes. 7 Παράρτημα E: Καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων Ε. Γενικές έννοιες για τα καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων Ε. Καμπυλόγραμμα εκ περιστροφής συστήματα συντεταγμένων Ε. Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων Ε.4 Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.. 8 Ε.5 Επίμηκες σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων.. 84 Ε.6 Πεπλατυσμένο σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων. 86 Παράρτημα ΣΤ: Στοιχεία διαφορικών εξισώσεων ΣΤ. Μορφές συνήθων διαφορικών εξισώσεων 88 ΣΤ. Μέθοδος των σειρών στις ΣΔΕ ΣΤ. Μερικές διαφορικές εξισώσεις.. 9 Παράρτημα Ζ: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Ζ. Επίλυση εξίσωσης ου βαθμού Ζ. Πλήρης φασματική αποσύνθεση στις ΜΔΕ.. 95 Παράρτημα Η: Τα πρότυπα Happel και Kuwabara H. Το πρότυπο Kuwabara H. Το πρότυπο Happel.. 98 Σύμβολα και μονάδες μέτρησης Πίνακας σχημάτων. Βασικό αγγλοελληνικό λεξιλόγιο.. Βιβλιογραφία Πηγές... 5 Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 4

6 Ευχαριστίες Προς το Ε.Α.Π., που μου έδωσε την ευκαιρία παρακολούθησης αυτού του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών. Προς την Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Ε.Α.Π κ. Χατζηνικολάου Μαρία, η οποία είχε την επίβλεψη της παρούσας εργασίας και με τις εύστοχες υποδείξεις και παρατηρήσεις της, μου παρείχε ουσιαστική καθοδήγηση, σε όλη τη διάρκεια εκπόνησης της. Προς τον ΣΕΠ του ΕΑΠ, Επίκουρο Καθηγητή του Ε.Μ.Π. κ. Γκιντίδη Δρόσο. Προς την οικογένειά μου για την υποστήριξη και συμπαράσταση που έδειξε κατά τη διάρκεια των σπουδών μου και ιδιαιτέρως την σύζυγό μου Πρωτοψάλτη Δήμητρα, χάρη στην οποία έβρισκα τον απαραίτητο χρόνο για διάβασμα σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Μάιος 9 Πρωτοπαπάς Ελευθέριος Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 5

7 Περίληψη Η παρούσα εργασία αποτελεί μια κριτική παρουσίαση της επίλυσης της ροής Stokes (έρπουσα ροή) σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων με έμφαση στα σφαιρικά και σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Ξεκινώντας από τις βασικές έννοιες και εξισώσεις Ρευστομηχανικής, ορίζεται ο τελεστής Ε και αποδεικνύεται η βασική εξίσωση της ροής Stokes (Ε 4 ψ = ). Στη συνέχεια επιλύονται τέσσερα προβλήματα στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, παράγεται η αντίστοιχη συνάρτηση ροής, τα χαρακτηριστικά μεγέθη της κίνησης, ενώ τελικά δίνεται η γενική λύση με μορφή σειρών σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, όπου ο τελεστής Ε 4 χωρίζει μεταβλητές. Περνώντας στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων παρουσιάζονται δύο εφαρμογές της έρπουσας ροής σε κύτταρο, χρησιμοποιώντας τα μοντέλα των Happel και Kuwabara. Ο τελεστής της ροής Ε 4 δεν χωρίζει μεταβλητές στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων, ενώ ο Ε χωρίζει μεταβλητές. Στη συνέχεια, εισάγεται η μέθοδος της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4, με την οποία παράγεται η γενική λύση στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αυτό πραγματοποιείται με τη χρήση της γενικευμένης θεωρίας των ιδιοσυναρτήσεων, εκφράζοντας την λύση σαν άθροισμα δύο συναρτήσεων. Η μία εκφράζεται ως ανάπτυγμα σε ιδιοσυναρτήσεις του KerΕ και η δεύτερη ως ανάπτυγμα γενικευμένων ιδιοσυναρτήσεων του KerΕ. Οι γενικευμένες ιδιοσυναρτήσεις εκφράζονται ως άθροισμα συγκεκριμένων γινομένων συναρτήσεων Gegebauer διαφορετικής τάξης. Στη συνέχεια επαληθεύεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών, καταδεικνύοντας ότι στα σφαιροειδή συστήματα η λύση ανάγεται στην γνωστή λύση του σφαιρικού συστήματος, όταν η ημιεστιακή απόσταση του σφαιροειδούς τείνει στο μηδέν. Ακολούθως, εφαρμόζεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού στην επίλυση των προαναφερθέντων προβλημάτων συνοριακών τιμών στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Το χαρακτηριστικό που εμφανίζεται είναι ότι το σύστημα των σταθερών που προκύπτει μετά την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών έχει μόνο περιμετρική λύση, αφού οι εξισώσεις είναι κατά μία λιγότερη από τους αγνώστους. Επιβάλλεται έτσι μια επιπλέον γεωμετρική συνθήκη που αφορά τον εκφυλισμό του σφαιροειδούς σε σφαίρα όταν η ημιεστιακή του απόσταση τείνει στο μηδέν, που οδηγεί στον προσδιορισμό της παραμέτρου. Τέλος, παρατίθενται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την παραπάνω μελέτη και συγκρίνονται οι λύσεις ανάμεσα στο σφαιρικό και στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων αναδεικνύοντας τις ιδιαιτερότητές τους. Λέξεις κλειδιά: ροή Stokes, έρπουσα ροή, ημιδιαχωρισιμότητα, ημιχωρισιμότητα, σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων, αξονοσυμμετρική ροή. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 6

8 Abstract I the preset work we preset a review of the methods used for solvig Stokes flow (creepig flow) i axisymmetric coordiate systems, maily i the spherical ad the spheroidal oes. We start cosiderig fudametal cocepts ad equatios of Fluid Mechaics. Makig physical assumptios we defie the operator Ε ad we prove the basic equatio i Stokes flow (Ε 4 ψ = ). Next we solve four boudary value problems i the spherical coordiate system. The relative stream fuctio ad the characteristics quatities of the flow are derive. Fially the geeral solutio i spherical coordiates is give as a series expasio where the operator Ε 4 separates variables. Cosiderig spheroidal coordiates, we solve the creepig flow i-cell problem by assumig either Happel or Kuwabara boudary coditios. The operator Ε 4 does ot separate variables i spheroidal coordiate systems, while operator Ε does. The, we itroduce the semiseparatio method for the operator Ε 4, through which we obtai the geeral solutio. We arrive to that by usig the theory of the geeralized eigefuctios, ad expressig the solutio as the sum of the two fuctios. The first oe is expressed as a series of eigefuctios of KerΕ ad the secod oe as a series of geeralized eigefuctios of KerΕ. The geeralized eigefuctios are give through fiite sums of specific products of Gegebauer fuctios. I the ext chapter, we verify the semiseparatio results, by showig that the solutio i spheroidal coordiate systems becomes the equivalet solutio i spherical coordiate system as the semifocal legth teds to zero. I the ed we apply the semiseparatio method to solve the above metioed problems i spheroidal geometry. Whe applyig the boudary coditios, the obtaied system of equatios has oe parametric solutio due to the lack of a equatio. We complete the system by assumig a extra asymptotic coditio. This represets the fact that the spheroidal becomes sphere as the semifocal distace teds to zero. Fially the coclusios of this work are preseted ad comparisos of the solutio i the spherical ad i the spheroidal coordiate systems are made. Key words: Stokes flow, creepig flow, semiseparatio, spherical coordiate system, spheroidal coordiate systems, axisymmetric flow. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 7

9 Εισαγωγή Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε η Ροή Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων και ειδικά στο σφαιρικό και στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Δίνονται αναλυτικά οι γενικές λύσεις στα δύο αυτά συστήματα συντεταγμένων και συγκρίνονται τα αποτελέσματά τους. Η προσπάθεια που καταβλήθηκε είχε το σκεπτικό η εργασία να είναι αυτάρκης στην ανάγνωση. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικές και απαραίτητες έννοιες της Ρευστομηχανικής, ώστε να είναι σαφής η ορολογία που ακολουθεί. Στο δεύτερο κεφάλαιο παραθέτονται οι διάφορες εξισώσεις που διέπουν την κίνηση ενός ρευστού, ενώ στο τέλος του κεφαλαίου έγινε ο περιορισμός τους στις αντίστοιχες της έρπουσας ροής. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικές έννοιες των αξονοσυμμετρικών ροών. Ορίζονται η έννοια της συνάρτησης ροής, ο τελεστής Ε, η έκφραση του οποίου παράγεται σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται η μελέτη της έρπουσας ροής στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων. Αρχικά λύνονται τέσσερα προβλήματα και στη συνέχεια δίνεται η γενική λύση στις σφαιρικές συντεταγμένες. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετώνται τα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αρχικά λύνονται δύο προβλήματα με συνοριακές συνθήκες τύπου Happel και Kuwabara στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Ακολούθως αναπτύσσεται η μέθοδος της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4, με σκοπό την εύρεση της γενικής λύσης στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αυτό πραγματοποιείται με τη χρήση της γενικευμένης θεωρίας των ιδιοσυναρτήσεων, εκφράζοντας την λύση σαν άθροισμα δύο συναρτήσεων. Η μία εκφράζεται ως ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων του Ε και η δεύτερη ως ανάπτυγμα γενικευμένων ιδιοσυναρτήσεων του Ε. Οι γενικευμένες ιδιοσυναρτήσεις εκφράζονται σαν πεπερασμένος συνδυασμός γινομένων συναρτήσεων Gegebauer διαφορετικής τάξης. Τέλος, επαληθεύεται ότι η παραχθείσα λύση με τη μέθοδο του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων ανάγεται στην γνωστή λύση του σφαιρικού συστήματος όταν η ημιεστιακή απόσταση του σφαιροειδούς τείνει στο μηδέν. Στο έκτο κεφάλαιο εφαρμόζεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών σε συγκεκριμένα προβλήματα συνοριακών τιμών για τα σφαιροειδή συστήματα Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 8

10 συντεταγμένων. Το παράδοξο που ανακύπτει είναι ότι το σύστημα των σταθερών που προκύπτει δεν είναι επιλύσιμο, αφού οι εξισώσεις είναι κατά μία λιγότερη από τους αγνώστους. Επιβάλλεται έτσι μια επιπλέον γεωμετρική συνθήκη, αυτή του εκφυλισμού του σφαιροειδούς όταν η ημιεστιακή του απόσταση τείνει στο μηδέν προκειμένου να συμπληρωθεί το σύστημα των εξισώσεων. Στο έβδομο κεφάλαιο, καταγράφονται τα συμπεράσματα και γίνονται συγκρίσεις των αποτελεσμάτων στα δύο συστήματα συντεταγμένων. Ακολούθως στα παραρτήματα καταγράφονται βασικά εργαλεία των Μαθηματικών που χρησιμοποιούνται στην εργασία, όπως: βασικά στοιχεία της Διανυσματικής Ανάλυσης, Τανυστές, Ειδικές συναρτήσεις, θεωρήματα Gauss και Stokes, καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων, μερικές χρήσιμες διαφορικές εξισώσεις, βασικά στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και τα πρότυπα των Happel και Kuwabara. Τέλος, παραθέτονται τα σύμβολα που χρησιμοποιήθηκαν και οι μονάδες μέτρησής τους, ο πίνακας των σχημάτων, ένα μικρό αγγλοελληνικό λεξικό όρων, το ευρετήριο των όρων και κάποια βασική βιβλιογραφία και πηγές που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπόνηση της εργασίας. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 9

11 Κεφάλαιο ο Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Ρευστομηχανική (ή Μηχανική των Ρευστών) είναι ο κλάδος της Μηχανικής που μελετά την κινηματική και τη δυναμική των ρευστών. Η αλματώδης πρόοδος της Ρευστομηχανικής τα τελευταία χρόνια έχει οδηγήσει στην ανάπτυξη της Αεροδυναμικής, της Υδροδυναμικής, της Αεροθερμοδυναμικής, της Χημικής Μηχανικής, της Μαγνητοϋδροδυναμικής, της Ρεολογίας, της Εμβιορευστομηχανικής κ.τ.λ. Οι αντλίες, οι ανεμιστήρες, οι στρόβιλοι ατμού, αέρα ή νερού, οι κινητήρες των αεροσκαφών και των οχημάτων γενικότερα, η ροή των ποταμών και των υπόγειων ρευμάτων, η πτήση των αεροσκαφών, η πτήση των πυραύλων στην ατμόσφαιρα, η κίνηση των πλοίων και των υποβρυχίων είναι μερικές εφαρμογές της Ρευστομηχανικής.. Η έννοια του ρευστού Ρευστό λέγεται κάθε ουσία που έχει την ιδιότητα να παραμορφώνεται συνεχώς (να ρέει) όταν υφίσταται την επίδραση διατμητικών τάσεων (εφαπτομενικών δυνάμεων ανά μονάδα επιφάνειας του ρευστού) οσοδήποτε μικρή και αν είναι η τάση αυτή. Αυτό σημαίνει ότι τα υγρά και τα αέρια χαρακτηρίζονται ως ρευστά. Διατμητική τάση (τ) ενός ρευστού, ονομάζουμε το πηλίκο της δύναμης που ασκείται στο ρευστό προς την επιφάνεια που ασκείται η δύναμη, δηλαδή, F τ (..) A όπου F η δύναμη που ασκείται στο ρευστό πάνω στην επιφάνεια Α. Για να διακρίνουμε τη διαφορά της στερεής από τη ρευστή κατάσταση, θα συγκρίνουμε τη συμπεριφορά ενός στερεού και ενός ρευστού. Ένα στερεό μπορεί να Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

12 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής παραμορφώνεται κάτω από την επίδραση μιας διατμητικής τάσης, αλλά η παραμόρφωση δεν είναι μόνιμη, ενώ ένα ρευστό υφίσταται μόνιμη παραμόρφωση κάθε χρονική στιγμή. Για να γίνει κατανοητό αυτό θεωρούμε δύο παράλληλες πλάκες, όπου η κάτω δεν κινείται. Ονομάζουμε Α το κομμάτι της άνω πλάκας που έρχεται σε επαφή με το στερεό ή το υγρό. Εφαρμόζοντας δύναμη F στην επιφάνεια Α, έχουμε τη δημιουργία F διατμητικής τάσης τ. A Σε κάθε στερεό σώμα, όσο η διατμητική τάση παραμένει σταθερή (σχήμα..), η παραμόρφωση του στερεού παραμένει σταθερή (δηλαδή, δεν αλλάζει η γωνία παραμόρφωσης φ), ενώ όταν σταματήσει να επιδρά η διατμητική τάση, το στερεό επανέρχεται στην αρχική του μορφή. Σχήμα..: Συμπεριφορά στερεού υπό την επίδραση μιας συνεχούς διατμητικής τάσης Σε κάθε ρευστό όσο η διατμητική τάση παραμένει σταθερή (Σχήμα..), η παραμόρφωση του ρευστού αλλάζει (δηλαδή, αλλάζει η γωνία παραμόρφωσης φ), ενώ όταν σταματήσει να επιδρά η διατμητική τάση, το ρευστό δεν επανέρχεται στην αρχική του μορφή. Σχήμα..: Συμπεριφορά ρευστού υπό την επίδραση μιας συνεχούς διατμητικής τάσης Τα στερεά χωρίζονται σε κρυσταλλικά και άμορφα, ενώ τα ρευστά σε υγρά και αέρια. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν κάποιες ενδιάμεσες καταστάσεις, όπως η οδοντόκρεμα και τα χρώματα βαφής, τα οποία άλλοτε συμπεριφέρονται σαν στερεά (για διατμητική τάση μικρότερη μιας κρίσιμης τιμής) και άλλοτε σαν ρευστά (για διατμητική τάση μεγαλύτερη αυτής της κρίσιμης τιμής). Διεπιφανειακή τάση (γ) ονομάζουμε την εφαπτόμενη δύναμη που ασκείται στην επιφάνεια μεταξύ δύο ρευστών ή μεταξύ ρευστού και στερεού που προκαλείται από τη διαφορά έλξης ανάμεσα στα μόρια κάθε φάσης. Η διεπιφανειακή τάση εκφράζει δύναμη ανά εμβαδό ή ενέργεια ανά εμβαδό. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

13 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Ιδιότητες των ρευστών Η πυκνότητα (ρ) είναι βασικό μέγεθος στα ρευστά. Για να ορίσουμε την πυκνότητα ενός ρευστού, θεωρούμε όγκο δv με αντίστοιχη μάζα δm και για σταθερό χρόνο t πρέπει να υπολογίσουμε τον κρίσιμο όγκο δv *, όπου σταθεροποιείται η τιμή της πυκνότητας και ισχύει: m (x, y, z, t) lim * VV V Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: αν δv << δv * m έχουμε μεγάλες διακυμάνσεις του λόγου και V αν δv δv * δεν έχουμε σχεδόν καμία διακύμανση του λόγου (..) m. V Ιξώδες (ή συνεκτικότητα), που συμβολίζεται με μ, είναι η ιδιότητα των ρευστών που τους δίνει την δυνατότητα να αντιστέκονται σε κάθε προσπάθεια αλλαγής της μορφής τους. Το ιξώδες είναι το ρευστομηχανικό αντίστοιχο της γνωστής τριβής από την Μηχανική. Κινηματικό ιξώδες (ν) λέγεται ο λόγος του ιξώδους μ προς την πυκνότητα του ρευστού ρ, δηλαδή, μ ν= ρ (..) Υπόθεση του συνεχούς μέσου λέγεται η υπόθεση σύμφωνα με την οποία οι ιδιότητες του ρευστού μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο με τρόπο συνεχή. Το μοντέλο αυτό αποτελεί τη βάση της διερεύνησης των προβλημάτων της ροής των ρευστών. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

14 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Είδη ρευστών Νευτώνεια και μη Νευτώνεια Ρευστά Νευτώνεια λέγονται τα ρευστά στα οποία η διατμητική τάση (τ) ευθέως ανάλογη της ταχύτητας μεταβολής της γωνιακής παραμόρφωσης (φ), δηλαδή, ισχύει: ή όπου μ είναι το ιξώδες του ρευστού και du dy d τ (..) dt du τ (..) dy η βαθμίδα της ταχύτητας. Τα πιο σπουδαία και τα πιο κοινά ρευστά (νερό, αέρας) είναι Νευτώνεια. Μη Νευτώνεια λέγονται τα ρευστά στα οποία δεν ισχύει ο παραπάνω πειραματικός νόμος του Νεύτωνα (..). Ιδανικό (ανιξώδες) και πραγματικό (ιξώδες) ρευστό Ιδανικό (ή ανιξώδες) λέγεται κάθε ρευστό που έχει ιξώδες ίσο με το μηδέν (μ = ). Στα ιδανικά ρευστά δεν αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις και η μόνη επιφανειακή δύναμη που ενεργεί σε αυτά είναι η πίεση. Πραγματικό (ή ιξώδες) λέγεται κάθε ρευστό που δεν έχει μηδενικό ιξώδες (μ ). Ασυμπίεστο και συμπιεστό ρευστό Ασυμπίεστο λέγεται κάθε ρευστό, στο οποίο οι αλλαγές στον όγκο ή στην πυκνότητα, όταν μεταβάλλεται η πίεση ή η θερμοκρασία είναι αμελητέες. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ένα ρευστό που έχει σταθερή πυκνότητα είναι ασυμπίεστο. Η μαθηματική σχέση που ικανοποιεί ένα ασυμπίεστο ρευστό είναι: v (..4) Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

15 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Επιπλέον, όταν το ρευστό είναι ασυμπίεστο δεν υπάρχει αλλαγή της πυκνότητας ούτε στη μεταβολή του χρόνου, ούτε στη μεταβολή των χωρικών συντεταγμένων, δηλαδή,,,, (..5) t x y z Συμπιεστό λέγεται κάθε ρευστό το οποίο παρουσιάζει ελάχιστη αντίσταση σε κάθε μεταβολή του όγκου. Αυτό σημαίνει ότι το συμπιεστό ρευστό αντιδρά σε αλλαγές της πίεσης προσαρμόζοντας τον όγκο και την πυκνότητά του. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ένα ρευστό που δεν έχει αμελητέα πυκνότητα είναι συμπιεστό. Ομογενές και μη ομογενές ρευστό Ομογενές λέγεται κάθε ρευστό με ομοιόμορφες ιδιότητες μέσα έξω. Αυτό σημαίνει ότι η μεταβολή της πυκνότητας είναι συνεχής και ότι η κλίση της πυκνότητας του ρευστού είναι μηδέν, δηλαδή, (..6) Μη ομογενές λέγεται κάθε ρευστό το οποίο δεν έχει ομοιόμορφες ιδιότητες μέσα έξω, οπότε η μεταβολή της πυκνότητας δεν είναι συνεχής..4 Τύποι ροής Ροή λέγεται η κίνηση ενός ρευστού σε μια ορισμένη περιοχή του χώρου, που ονομάζεται πεδίο ροής. Ασυμπίεστη και Συμπιεστή Ροή Ασυμπίεστη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, κατά την οποία οι μεταβολές της πυκνότητας σε όλη την έκταση του πεδίου ροής είναι αμελητέες και ισχύει v (.4.) Συμπιεστή ονομάζεται η ροή στην οποία οι μεταβολές της πυκνότητας είναι σημαντικές. Στη μελέτη ασυμπίεστης ροής σε νευτώνεια ρευστά, χρειαζόμαστε μόνο δύο ιδιότητες, την πυκνότητα ρ και το ιξώδες του ρευστού μ. Αντιθέτως για τα μη νευτώνεια ρευστά χρειαζόμαστε πρόσθετες παραμέτρους για να χαρακτηρισθούν επαρκώς. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 4

16 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Για να χαρακτηρίσουμε μια ροή ως συμπιεστή ή ασυμπίεστη χρησιμοποιούμε τον αδιάστατο αριθμό Mach (Ν Ma ), για τον οποίο ισχύει: N Ma U (.4.) C όπου U είναι η χαρακτηριστική ταχύτητα της ροής και C η ταχύτητα του ήχου στο ρευστό. Με τη βοήθεια του αριθμού Mach, έχουμε ότι: Αν N Ma., η ροή χαρακτηρίζεται ως ασυμπίεστη, ενώ Αν N Ma >., η ροή χαρακτηρίζεται ως συμπιεστή. Γραμμική (στρωτή) και Τυρβώδης (στροβιλώδης) Ροή Γραμμική (ή στρωτή) ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, κατά την οποία η κίνηση κάθε στοιβάδας του ρευστού είναι ομαλή σε σχέση με τις διπλανές στοιβάδες. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη στρωτή ροή η μόνη κίνηση που παρατηρείται είναι κατά τη διεύθυνση της ροής, αφού κατά την κάθετη διεύθυνση δεν υπάρχει συνιστώσα ταχύτητας. Τυρβώδης (ή στροβιλώδης) ονομάζεται η ροή ενός ρευστού που χαρακτηρίζεται από την χαώδη κίνηση του ρευστού, οπότε και όλα τα σωματίδια κινούνται σε ακανόνιστες τροχιές. Σταθερή και μεταβαλλόμενη ροή Σταθερή ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, στο οποίο δεν υπάρχουν χρονικά μεταβαλλόμενα πεδία. Μεταβαλλόμενη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, στο οποίο τα πεδία ροής εξελίσσονται με τον χρόνο. Μονοδιάστατη, Δισδιάστατη και Τρισδιάστατη Ροή Μονοδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς μία χωρική μεταβλητή, δηλαδή, u = u(x, t). Δισδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς δύο χωρικές μεταβλητές, δηλαδή, u = u(x, y, t). Τρισδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς τρεις χωρικές μεταβλητές, δηλαδή, u = u(x, y, z, t). Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 5

17 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής u=u(x) u=u(x) u=u(x,y) u=u(x,y) Σχήμα.4.: Μονοδιάσταση ροή ρευστού, Σχήμα.4.4: Δισδιάσταση ροή ρευστού, ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες ανάμεσα σε δύο μη παράλληλες πλάκες Για παράδειγμα οι κινήσεις των αερίων μαζών στην ατμόσφαιρα εξετάζονται στον τρισδιάστατο χώρο, ροές σε κανάλια, ποταμούς κ.τ.λ. θεωρούνται δισδιάστατες, ενώ ροή σε κάθε είδους δίκτυο σωληνώσεων θεωρείται μονοδιάστατη (κατά τη διεύθυνση του άξονα των αγωγών)..5 Συνθήκη μη ολίσθησης Οριακό στρώμα Για τη μελέτη και ανάλυση προβλημάτων ιξώδους ροής, έχουμε μια βασική συνθήκη, τη συνθήκη μη ολίσθησης. Σύμφωνα με αυτή (και κάτω από την υπόθεση του συνεχούς μέσου), η ροή ενός ρευστού επηρεάζεται από την παρουσία στερεών τοιχωμάτων. Το αποτέλεσμα είναι το ρευστό να μην ολισθαίνει πάνω στη στερεή επιφάνεια, δηλαδή, η σχετική ταχύτητα των πραγματικών ρευστών ως προς το στερεό τοίχωμα είναι μηδέν ή ισοδύναμα ότι η εφαπτομενική ταχύτητα κοντά στα τοιχώματα είναι μηδέν. Οριακό στρώμα είναι η στοιχειώδης περιοχή του ρευστού που ακουμπά στην στερεή επιφάνεια και η ροή είναι πιο αργή από ότι στο υπόλοιπο ρευστό. Στο οριακό στρώμα η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται από την τιμή (πάνω στην επιφάνεια) μέχρι την τιμή u που είναι η ταχύτητα του ελεύθερου ρεύματος, όπου η ροή θεωρείται ιδανική. Αλλιώς, είναι το «στρώμα» του ρευστού με ακαθόριστο προφίλ ταχύτητας μέχρι να αποκατασταθεί το αναπτυγμένο. Επιπλέον, πρέπει να γνωρίζουμε ότι καθώς απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια των στερεών τοιχωμάτων, η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται, μέχρι να αποκτήσει μια συγκεκριμένη τιμή, οπότε και παραμένει σταθερή. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 6

18 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.6 Σύστημα και όγκος ελέγχου Σύστημα ελέγχου είναι το μέρος του ρευστού που περικλείεται από μια επιφάνεια, η οποία απαγορεύει την εισροή ή την εκροή μάζας (δηλαδή, η μάζα της δεν μεταβάλλεται), αλλά μεταβάλλει το σχήμα του με την πάροδο του χρόνου. Ο όγκος του συστήματος λέγεται υλικός όγκος και συμβολίζεται με V m (t), ενώ η επιφάνεια του συστήματος λέγεται υλική επιφάνεια και συμβολίζεται με A m (t). Επειδή, όμως το σχήμα του συστήματος αλλάζει, η γεωμετρία του προβλήματος συχνά γίνεται πολύ δύσκολη, οπότε το σύστημα ελέγχου δεν μας εξυπηρετεί. Για αυτό στα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε, θεωρούμε τον όγκο ελέγχου. Όγκος ελέγχου είναι το μέρος του ρευστού (με σχήμα που μας εξυπηρετεί) που περικλείεται από μια επιφάνεια και ανταλλάσσει μάζα και ενέργεια (με τη μορφή θερμότητας ή έργου) με το περιβάλλον. Για να γίνουν πιο κατανοητές οι έννοιες του συστήματος και του όγκου ελέγχου θεωρούμε μια γραμμική ροή μεταξύ παραλλήλων πλακών, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. t = t = To σύστημα και ο όγκος ελέγχου ταυτίζονται t = t > t t = t > t > t σύστημα ελέγχου όγκος ελέγχου Σχήμα.6.: Συμπεριφορά συστήματος και όγκου ελέγχου σε γραμμική ροή εντός παραλλήλων πλακών Προσέξτε ότι ο όγκος ελέγχου ανταλλάσσει ενέργεια (με τη μορφή θερμότητας ή έργου) με το περιβάλλον, ενώ για το σύστημα ελέγχου αυτό εξαρτάται. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 7

19 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Επιπλέον, πρέπει να είναι σαφές ότι το σύστημα ελέγχου είναι το φυσικό μέγεθος που μελετάμε, ενώ ο όγκος ελέγχου είναι το αντίστοιχο μαθηματικό μέγεθος. Θερμικά μονωμένο λέγεται το σύστημα το οποίο δεν ανταλλάσσει θερμότητα με το περιβάλλον, παρόλο που έχει διαφορετική θερμοκρασία από το περιβάλλον. Απομονωμένο λέγεται το θερμικά μονωμένο σύστημα που δεν ανταλλάσσει με το περιβάλλον ούτε έργο. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς, ότι ο όγκος ελέγχου δεν είναι θερμικά μονωμένος..7 Θεμελιώδεις νόμοι της Ρευστομηχανικής Αρχή διατήρησης της μάζας Με την κίνηση του ρευστού η μάζα μεταφέρεται με την πάροδο το χρόνου από μια θέση του πεδίου ροής σε άλλη, παραμένει όμως αμετάβλητη. Στα ομογενή ρευστά η αρχή διατήρησης της μάζας οδηγεί στην εξίσωση συνέχειας (σχέση..7), η οποία συνδέει τις μεταβολές, ως προς το χώρο και το χρόνο, της πυκνότητας και της ταχύτητας του ρευστού. Η αρχή διατήρησης της μάζας εκφράζεται από τη σχέση dm (.7.) dt όπου Μ είναι η μάζα του συστήματος Σ. Αρχή διατήρησης της ορμής (αξίωμα κίνησης του Newto) Η παράγωγος της ορμής ενός συστήματος μάζας ως προς το χρόνο, ισούται με την συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό. Η αρχή αυτή, στα ρευστά οδηγεί στις εξισώσεις κίνησης (σχέσεις.4.5,.4.5), οι οποίες συνδέουν την επιτάχυνση με τις δυνάμεις. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 8

20 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Η αρχή διατήρησης της ορμής εκφράζεται από τη σχέση F. dp dt όπου F. είναι η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων και (.7.) P η ορμή του συστήματος Σ. Επιπλέον, όμως ισχύει ότι: F F F,. όπου F είναι η βαρυτική δύναμη και F είναι η συνισταμένη των επιφανειακών δυνάμεων. Συνεπώς η (.7.) δίνει: dp FF dt (.7.) Αρχή διατήρησης της ενέργειας (ο θερμοδυναμικό αξίωμα) Η συνολική ενέργεια (κινητική, δυναμική, έργο, θερμότητα, κ.τ.λ.) ενός ρευστού παραμένει σταθερή. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας εκφράζεται από τη σχέση: dq de dw (.7.4) όπου το σύστημα έχει ολική ενέργεια Ε, στο σύστημα μάζας προσφέρουμε θερμότητα dq, από την οποία ένα μέρος της καταναλώνεται για την παραγωγή ενός έργου dw, όταν το υπόλοιπο μέρος της θερμότητας καταναλώνεται για τη μεταβολή της ενέργειας de του συστήματος. Πολλές φορές όταν το παραγόμενο έργο θεωρείται αρνητικό, γράφουμε: dq de dw (.7.5) Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 9

21 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.8 Αριθμός Reyolds O Reyolds το 88 για να αναγνωρίσει το χαρακτηριστικό μιας ροής που μεταβάλει μια ροή από τυρβώδη σε στρωτή, εκτέλεσε ένα πείραμα με το οποίο ξεκίνησε ιστορικά την μελέτη ροής ρευστών σε κυλινδρικούς αγωγούς. Σχήμα.8.: Η αρχική διάταξη που χρησιμοποίησε ο Reyolds Για το πείραμα αυτό χρησιμοποίησε μια συσκευή έκχυσης έγχρωμου υγρού μέσα σε νερό και παρατήρησε την εξέλιξη της ροής σε κυλινδρικό σωλήνα. Το πείραμα αυτό επανέλαβε πολλές φορές και με σωλήνες διαφορετικών διαμέτρων, ώστε να βρει, αλλά και να επαληθεύσει το συμπέρασμά του. Σχήμα.8.: Η στρωτή ροή στο πείραμα Reyolds Σχήμα.8.: Η τυρβώδης ροή στο πείραμα Reyolds Ο Reyolds διαπίστωσε ότι το είδος της ροής καθορίζεται από την τιμή που θα έχει ένας αριθμός. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε αριθμός Reyolds (Ν Re ), ο οποίος είναι αδιάστατος και εκφράζει το λόγο των δυνάμεων αδράνειας (ρ U) προς τις ιξώδες δυνάμεις D. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

22 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Σε ένα κυλινδρικό αγωγό ισχύει ότι: όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, U η ταχύτητα του ρευστού, D η διάμετρος του σωλήνα και μ το ιξώδες του ρευστού. Γενικά ο αριθμός Reyolds ορίζεται ως: N N Re Re UD (.8.4) UL (.8.5) όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, U η χαρακτηριστική βαθμωτή ταχύτητα του ρευστού, L το χαρακτηριστικό βαθμωτό μήκος του ρευστού και μ το ιξώδες του ρευστού. Καλό είναι να γνωρίζουμε ότι αναλόγως της γεωμετρίας του προβλήματος η κρίσιμη τιμή του αριθμού Reyolds διαφέρει. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

23 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.9 Ροή Stokes (έρπουσα ροή) Ροή Stokes (ή έρπουσα ροή) λέγεται ο τύπος της ροής που οι δυνάμεις αδράνειας είναι πολύ μικρότερες συγκρινόμενες με το ιξώδες, το οποίο έχει ως αποτέλεσμα ο αριθμός Reyolds να είναι πολύ μικρότερος της μονάδας (N Re <<). Σχήμα.9.: Ροή Stokes γύρω από σφαίρα (N Re <<) Από τον ορισμό της ροής Stokes είναι φανερό ότι οι ιξώδεις δυνάμεις κυριαρχούν και ότι δεν υπάρχει διαχωρισμός της ροής. Επιπλέον, η έρπουσα ροή είναι πάντα γραμμική, αναστρέψιμη και έχει μικρή ορμή. Επειδή, οι ταχύτητες στη ροή Stokes είναι πολύ μικρές και το οριακό στρώμα επηρεάζεται από την ταχύτητα, στη ροή Stokes πρακτικά δεν υπάρχει οριακό στρώμα, αφού λόγω της αργής ροής δεν «κολλούν» μόρια του ρευστού στο στερεό. Σχήμα.9.: Ροή γύρω από κύλινδρο Η τιμή του αριθμού Reyolds που καθορίζει την έρπουσα ροή, εξαρτάται από τη γεωμετρία του προβλήματος. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Μακροσκοπική ανάλυση ροής

Μακροσκοπική ανάλυση ροής Μακροσκοπική ανάλυση ροής Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Μακροσκοπική ανάλυση Όγκος ελέγχου και νόμοι της ρευστομηχανικής Θεώρημα μεταφοράς Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ορμής

Διαβάστε περισσότερα

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Περιεχόμενα μαθήματος Βασικές έννοιες, συνεχές μέσο, είδη, μονάδες διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορική ανάλυση ροής

Διαφορική ανάλυση ροής Διαφορική ανάλυση ροής Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών ΜΕ και ΔΕ ροής: Διαφορές Οριακές και αρχικές συνθήκες Οριακές συνθήκες: Φυσική σημασία αλληλεπίδραση του όγκου ελέγχου με το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Απρίλιος 13 1. Η Έννοια του Οριακού Στρώματος Το οριακό στρώμα επινοήθηκε για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Φύση και μορφή δυνάμεων/ ρυθμός παραμόρφωσης Σωματικές δυνάμεις: δυνάμεις σε όγκο ελέγχου που είναι πλήρης ρευστού

Διαβάστε περισσότερα

Αστροφυσική. Ενότητα # 1 (Εισαγωγική): Εισαγωγή στη Ρευστομηχανική. Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Αστροφυσική. Ενότητα # 1 (Εισαγωγική): Εισαγωγή στη Ρευστομηχανική. Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αστροφυσική Ενότητα # 1 (Εισαγωγική): Εισαγωγή στη Ρευστομηχανική Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 166 Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΤΥΠΟΥ: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 1. Να αναφέρεται παραδείγματα φαινομένων που μπορούν να ερμηνευτούν με την μελέτη των ρευστών σε ισορροπία. 2. Ποια σώματα ονομάζονται ρευστά;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ Θεώρημα της Μεταφοράς Rols Taspo To Μετατρέπει τη διατύπωση ενός θεμελιώδη νόμου ενός κλειστού συστήματος σ αυτήν για έναν όγκο ελέγχου Ο ρυθμός της εκτατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.1 ΕΙΔΗ ΡΟΩΝ 2.2 ΣΥΣΤΗΜΑ & ΟΓΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ 2.3 ΕΙΔΗ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.1 ΕΙΔΗ ΡΟΩΝ 2.2 ΣΥΣΤΗΜΑ & ΟΓΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ 2.3 ΕΙΔΗ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΑΛΕΞΗΣ 2.1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.1 ΕΙΔΗ ΡΟΩΝ 2.2 ΣΥΣΤΗΜΑ & ΟΓΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ 2.3 ΕΙΔΗ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 2.4 2.4 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 2.4.1 ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 2.4.2 ΑΡΧΗ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 09 Ροπή Αδρανείας Στροφορμή ΦΥΣ102 1 Υπολογισμός Ροπών Αδράνειας Η Ροπή αδράνειας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ρευστά. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός. https://physicscourses.wordpress.com

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ρευστά. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός. https://physicscourses.wordpress.com ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρευστά Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscourses.wordpress.com Βασικές έννοιες Πρώτη φορά συναντήσαμε τη φυσική των ρευστών στη Β Γυμνασίου. Εκεί

Διαβάστε περισσότερα

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου

β) Από τον νόμο του Νεύτωνα για την μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας έχουμε: Επομένως το κέντρο μάζας αποκτάει αρνητική επιτάχυνση σταθερού μέτρου ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ 1) Συμπαγής κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R δέχεται μια αρχική μεγάλη και στιγμιαία ώθηση προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ και μετά αφήνεται ελεύθερος. Κατά την παύση της ώθησης,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Νόμος Gauss Ο νόµος του Gauss εκφράζει τη σχέση μεταξύ της συνολικής ηλεκτρικής ροής που διέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια και του φορτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση Βλιώρα Ευαγγελία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι ο υπολογισμός της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Αγγελίδης Π., Αναπλ. καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΑΧΥΣΗ Α ΡΑΝΩΝ ΡΥΠΩΝ ΙΑΧΥΣΗ Α ΡΑΝΩΝ ΡΥΠΩΝ Στην αρχική περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό.

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό. Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό. Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημ/νία παράδοσης Εργασίας: Τετάρτη 24 Μαΐου 2 1 Θεωρητική Εισαγωγή:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΕΡΕΗ ΣΦΑΙΡΑ ΓΙΑ ΜΙΚΡΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ REYNOLDS

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής 1.Σκοπός Άσκηση 9 Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής υγρών Σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδες) ενός υγρού. Βασικές θεωρητικές γνώσεις.1

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΡΕΥΣΤΑ. Φυσική Θετικού Προσανατολισμου Γ' Λυκείου

ΡΕΥΣΤΑ. Φυσική Θετικού Προσανατολισμου Γ' Λυκείου ΡΕΥΣΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ρευστά Με τον όρο ρευστά εννοούμε τα ΥΓΡΑ και τα ΑΕΡΙΑ τα οποία, αντίθετα από τα στερεά, δεν έχουν καθορισμένο όγκο ούτε σχήμα. Τα υγρά είναι ασυμπίεστα και τα αέρια συμπιεστά. Τα υγρά

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση Τεράστια σημασία του ιξώδους: Ύπαρξη διατμητικών τάσεων που δημιουργούν απώλειες ενέργειας Απαραίτητες σε κάθε μελέτη Είδη ροών Στρωτή ή γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 10 Μηχανική των ρευστών

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 10 Μηχανική των ρευστών Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 10 Μηχανική των ρευστών ΦΥΣ102 1 Πυκνότητα Πυκνότητα είναι η μάζα ανά μονάδα όγκου,

Διαβάστε περισσότερα

Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού

Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού Ενότητα : Εισαγωγή στην Αεροδυναμική Γεώργιος Λευθεριώτης, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στις βασικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1 Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 07 Ορμή Κρούσεις ΦΥΣ102 1 Ορμή και Δύναμη Η ορμή p είναι διάνυσμα που ορίζεται από

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

3. Τριβή στα ρευστά. Ερωτήσεις Θεωρίας

3. Τριβή στα ρευστά. Ερωτήσεις Θεωρίας 3. Τριβή στα ρευστά Ερωτήσεις Θεωρίας Θ3.1 Να συμπληρωθούν τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Η εσωτερική τριβή σε ένα ρευστό ονομάζεται. β. Η λίπανση των τμημάτων μιας μηχανής οφείλεται στις δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

16. Να γίνει µετατροπή µονάδων και να συµπληρωθούν τα κενά των προτάσεων: α. οι τρεις ώρες είναι... λεπτά β. τα 400cm είναι...

16. Να γίνει µετατροπή µονάδων και να συµπληρωθούν τα κενά των προτάσεων: α. οι τρεις ώρες είναι... λεπτά β. τα 400cm είναι... 1. Ο νόµος του Hooke υποστηρίζει ότι οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι.των...που τις προκαλούν. 2. Ο τρίτος νόµος του Νεύτωνα υποστηρίζει ότι οι δυνάµεις που αναφέρονται στο νόµο αυτό έχουν... µέτρα,......

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7/4/06 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις - 7 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράµμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Κεφάλαιο 5 ο : Το οριακό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim

Διαβάστε περισσότερα

Κινηματική ρευστών. Ροή ρευστού = η κίνηση του ρευστού, μέσα στο περιβάλλον του

Κινηματική ρευστών. Ροή ρευστού = η κίνηση του ρευστού, μέσα στο περιβάλλον του 301 Κινηματική ρευστών Ροή ρευστού = η κίνηση του ρευστού, μέσα στο περιβάλλον του Είδη ροής α) Σταθερή ή μόνιμη = όταν σε κάθε σημείο του χώρου οι συνθήκες ροής, ταχύτητα, θερμοκρασία, πίεση και πυκνότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης. Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομο Βιογραφικό... - v - Πρόλογος...- vii - Μετατροπές Μονάδων.. - x - Συμβολισμοί... - xii - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΈΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Σύντομο Βιογραφικό... - v - Πρόλογος...- vii - Μετατροπές Μονάδων.. - x - Συμβολισμοί... - xii - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΈΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύντομο Βιογραφικό.... - v - Πρόλογος.....- vii - Μετατροπές Μονάδων.. - x - Συμβολισμοί..... - xii - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΈΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1.1 ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ (Equations of Motion)

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ (Equations of Motion) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ (Equations of Motion) Με τις Εξισώσεις Κίνησης αναλύουμε την απόκριση ενός ρευστού υπό την επίδραση εσωτερικών και εξωτερικών δυνάμεων. Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 Ιξώδες Ταχύτητα διάτμησης Αριθμός Reynolds Διδάσκων Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος (Επίκουρος

Διαβάστε περισσότερα

1 O ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ 2015 ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΨΩΜΑΘΙΑΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ

1 O ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ 2015 ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΨΩΜΑΘΙΑΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ 1 O ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ 2015 ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΨΩΜΑΘΙΑΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΔΥΝΑΜΗ Τις δυνάμεις τις διακρίνουμε βασικά με δύο τρόπους: Συντηρητικές Μη συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Μηχανική. Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων.

Κλασσική Μηχανική. Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων. Κλασσική Μηχανική Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων. Χωρίζεται σε: (α) Κινηματική: το μέρος της μηχανικής που ασχολείται αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ ΡΕΟΛΟΓΙΑ. (συνέχεια) Περιστροφικά ιξωδόμετρα μεγάλου διάκενου.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ ΡΕΟΛΟΓΙΑ. (συνέχεια) Περιστροφικά ιξωδόμετρα μεγάλου διάκενου. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ ΡΕΟΛΟΓΙΑ (συνέχεια) Περιστροφικά ιξωδόμετρα μεγάλου διάκενου. Στα ιξωδόμετρα αυτά ένας μικρός σε διάμετρο κύλινδρος περιστρέφεται μέσα σε μια μεγάλη μάζα του ρευστού. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/02/17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/02/17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/02/7 ΕΠΙΜΕΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ

ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έργο και Ενέργεια ΕΡΓΟ ΠΟΥ ΠΑΡΑΓΕΙ ΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗ ΥΝΑΜΗ Έστω ένα σωμάτιο πάνω στο οποίο εξασκείται μια σταθερή δύναμη F. Έστω ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη κατά την διεύθυνση του διανύσματος F. Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική. Ενότητα 5: Έργο, ενέργεια. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών

Γενική Φυσική. Ενότητα 5: Έργο, ενέργεια. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Γενική Φυσική Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Έργο - Ενέργεια Βασική έννοια. Μηχανική, Ηλεκτρομαγνητική, Χημική, Θερμική, Πυρηνική, κ.α. Δυνατότητα μετατροπής της μίας μορφής

Διαβάστε περισσότερα

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται κάποιες ιδιότητες της ύλης. Για να περιγράψουμε αυτές τις ιδιότητες χρησιμοποιούμε τα φυσικά μεγέθη. Τέτοια είναι η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. Στις ερωτήσεις Α1-Α4, να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. Στις ερωτήσεις Α1-Α4, να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Α & Β ΑΡΣΑΚΕΙΩΝ ΤΟΣΙΤΣΕΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΡΙΤΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

13 Γενική Μηχανική 2 Δυνάμεις Nόμοι του Newton 15/9/2014

13 Γενική Μηχανική 2 Δυνάμεις Nόμοι του Newton 15/9/2014 3 Γενική Μηχανική Δυνάμεις Nόμοι του Newton 5/9/04 Η Φυσική της Α Λυκείου σε 8.00 sec. Η έννοια της Δύναμης Οι νόμοι της κίνησης Η έννοια της δύναμης Όταν ένα αντικείμενο αλλάζει την ταχύτητά του (είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηγητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων

Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων Λύσεις 1ης σειράς ασκήσεων 1-13 Άσκηση 1 η : Μετατρέπουμε τα δεδομένα από το αγγλοσαξονικό σύστημα στο SI: Διάμετρος άξονα: Dax 3 ice 3i.5 c i 7.6 c.76 Πλάτος περιβλήματος: Wi 6 ice 6i.5 c i 15. c.15 Διάκενο

Διαβάστε περισσότερα

13 Γενική Μηχανική 2 Δυνάμεις Nόμοι του Newton 15/9/2014

13 Γενική Μηχανική 2 Δυνάμεις Nόμοι του Newton 15/9/2014 13 Γενική Μηχανική Δυνάμεις Nόμοι του Newton 15/9/014 Η Φυσική της Α Λυκείου σε 8.100 sec. Η έννοια της Δύναμης Οι νόμοι της κίνησης Η έννοια της δύναμης Όταν ένα αντικείμενο αλλάζει την ταχύτητά του (είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 206-207 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 9/03/207 (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

P H Y S I C S S O L V E R ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι. Σχολή Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ

P H Y S I C S S O L V E R ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι. Σχολή Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ P H Y S I C S S O L V E R ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι Σχολή Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών (Σ.Α.Τ.Μ. ΕΜΠ) ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΟΔΟΙ 00-0-0 ΘΕΜΑ Ο ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι Σχολή Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

Ορμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής

Ορμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής 501 Ορμή και Δυνάμεις Θεώρημα Ώθησης Ορμής «Η μεταβολή της ορμής ενός σώματος είναι ίση με την ώθηση της δύναμης που ασκήθηκε στο σώμα» = ή Το θεώρημα αυτό εφαρμόζεται διανυσματικά. 502 Θεώρημα Ώθησης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός

Μιχαήλ Π. Μιχαήλ Φυσικός 3. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ - Ρευστά σε κίνηση Είδη ροής - Ρευµατικές γραµµές και εξίσωση συνέχειας - Διατήρηση ενέργειας, εξίσωση Bernoulli - Πραγµατικά ρευστά Εσωτερική τριβή ιξώδες, Νόµος Poiseuille 3.

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 4.9.

Πρόβλημα 4.9. Πρόβλημα 4.9. Να βρεθεί το δυναμικό V() παντού στο χώρο ενός θετικά φορτισμένου φύλλου απείρων διαστάσεων με επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Πάρτε τον άξονα κάθετα στο φύλλο και θεωρήστε ότι το φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 9: Ασκήσεις. Άδειες Χρήσης

Ενότητα 9: Ασκήσεις. Άδειες Χρήσης Μηχανική των Ρευστών Ενότητα 9: Ασκήσεις Βασίλειος Λουκόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα