ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΗΣ STOKES ΣΕ ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πρωτοπαπάς Ελευθέριος Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Χατζηνικολάου Μαρία ΠΑΤΡΑ Μάιος 9

2 «Εάν θέλεις να φτάσεις έως το άπειρο, γνώρισε το πεπερασμένο σε όλες τις εκφράσεις του.» Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή

3 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 5 Περίληψη... 6 Abstract. 7 Εισαγωγή 8 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Η έννοια του ρευστού. Ιδιότητες των ρευστών... Είδη ρευστών..4 Τύποι ροής. 4.5 Συνθήκη μη ολίσθησης Οριακό στρώμα 6.6 Σύστημα και όγκος ελέγχου Θεμελιώδεις νόμοι της Ρευστομηχανικής. 8.8 Αριθμός Reyolds..9 Ροή Stokes (έρπουσα ροή) Κεφάλαιο ο : Βασικές εξισώσεις κίνησης ρευστών. Θεώρημα μεταφοράς του Reyolds... Εξίσωση συνέχειας 4. Μακροσκοπικό ισοζύγιο γραμμικής ορμής Οι εξισώσεις μεταβολής ενός ιξώδους ρευστού 8.5 Εξίσωση σταθερής ροής Stokes Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες αξονοσυμμετρικών ροών.7 Ο τελεστής Ε. Εισαγωγικές έννοιες Σχέση συνάρτησης ροής και ταχύτητας σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων. 9. Ιδιότητες συνάρτησης ροής Συνιστώσες της ταχύτητας συναρτήσει της συνάρτησης ροής σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων Συνοριακές συνθήκες για τη συνάρτηση ροής Η εξίσωση για τη συνάρτηση ροής στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων.. 5 για τη ροή Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων Η πίεση για τη ροή Stokes. 6.9 Δύναμη που ασκείται πάνω σε σώμα 6 Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

4 Κεφάλαιο 4 ο : Προβλήματα στη ροή Stokes και λύση τους στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων 4. Κίνηση συμπαγούς σφαίρας με σταθερή ταχύτητα μέσα σε άπειρο ακίνητο ρευστό Ροή γύρω από ακίνητη συμπαγή σφαίρα Κίνηση ρευστής σφαίρας με σταθερή ταχύτητα μέσα σε άπειρο ακίνητο ρευστό Ομόκεντρες σφαίρες Η γενική λύση στις σφαιρικές συντεταγμένες.. 8 Κεφάλαιο 5 ο : Προβλήματα στη ροή Stokes και λύση τους σε σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων 5. Ροή γύρω από πεπλατυσμένο σφαιροειδείς Ροή γύρω από επίμηκες σφαιροειδείς Διαχωρισιμότητα του τελεστή Ε και ημιδιαχωρισιμότητα του τελεστή Ε 4 στις επιμήκεις σφαιροειδείς συντεταγμένες 5.4 Γεωμετρικός εκφυλισμός.. 6 Κεφάλαιο 6 ο : Εφαρμογές της μεθόδου της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4 στην επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών σε σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων 6. Ροή Stokes για ρευστό κύτταρο ανάμεσα σε δύο ομοεστιακά επιμήκη σφαιροειδή με συνοριακές συνθήκες τύπου Kuwabara Ροή Stokes για ρευστό κύτταρο ανάμεσα σε δύο ομοεστιακά επιμήκη σφαιροειδή με συνοριακές συνθήκες τύπου Happel 5 Κεφάλαιο 7 ο : Συμπεράσματα Συμπεράσματα Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

5 Παραρτήματα Παράρτημα Α: Βασικές έννοιες Διανυσματικής Ανάλυσης Α. Εσωτερικό Εξωτερικό Μικτό γινόμενο διανυσμάτων 5 Α. Κλίση Απόκλιση Στροβιλισμός Τελεστές και.. 5 Α. Ιδιότητες κλίσης απόκλισης στροβιλισμού τελεστή Παράρτημα Β: Τανυστές Β. Τανυστής Β. Ολικός τανυστής των τάσεων Παράρτημα Γ: Ειδικές συναρτήσεις Γ. Συναρτήσεις Legedre Γ. Συναρτήσεις Gegebauer.. 65 Παράρτημα Δ: Τα θεωρήματα των Gauss και Stokes Δ. Το θεώρημα απόκλισης Gauss.. 7 Δ. Το θεώρημα του Stokes. 7 Παράρτημα E: Καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων Ε. Γενικές έννοιες για τα καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων Ε. Καμπυλόγραμμα εκ περιστροφής συστήματα συντεταγμένων Ε. Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων Ε.4 Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.. 8 Ε.5 Επίμηκες σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων.. 84 Ε.6 Πεπλατυσμένο σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων. 86 Παράρτημα ΣΤ: Στοιχεία διαφορικών εξισώσεων ΣΤ. Μορφές συνήθων διαφορικών εξισώσεων 88 ΣΤ. Μέθοδος των σειρών στις ΣΔΕ ΣΤ. Μερικές διαφορικές εξισώσεις.. 9 Παράρτημα Ζ: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Ζ. Επίλυση εξίσωσης ου βαθμού Ζ. Πλήρης φασματική αποσύνθεση στις ΜΔΕ.. 95 Παράρτημα Η: Τα πρότυπα Happel και Kuwabara H. Το πρότυπο Kuwabara H. Το πρότυπο Happel.. 98 Σύμβολα και μονάδες μέτρησης Πίνακας σχημάτων. Βασικό αγγλοελληνικό λεξιλόγιο.. Βιβλιογραφία Πηγές... 5 Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 4

6 Ευχαριστίες Προς το Ε.Α.Π., που μου έδωσε την ευκαιρία παρακολούθησης αυτού του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών. Προς την Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Ε.Α.Π κ. Χατζηνικολάου Μαρία, η οποία είχε την επίβλεψη της παρούσας εργασίας και με τις εύστοχες υποδείξεις και παρατηρήσεις της, μου παρείχε ουσιαστική καθοδήγηση, σε όλη τη διάρκεια εκπόνησης της. Προς τον ΣΕΠ του ΕΑΠ, Επίκουρο Καθηγητή του Ε.Μ.Π. κ. Γκιντίδη Δρόσο. Προς την οικογένειά μου για την υποστήριξη και συμπαράσταση που έδειξε κατά τη διάρκεια των σπουδών μου και ιδιαιτέρως την σύζυγό μου Πρωτοψάλτη Δήμητρα, χάρη στην οποία έβρισκα τον απαραίτητο χρόνο για διάβασμα σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Μάιος 9 Πρωτοπαπάς Ελευθέριος Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 5

7 Περίληψη Η παρούσα εργασία αποτελεί μια κριτική παρουσίαση της επίλυσης της ροής Stokes (έρπουσα ροή) σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων με έμφαση στα σφαιρικά και σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Ξεκινώντας από τις βασικές έννοιες και εξισώσεις Ρευστομηχανικής, ορίζεται ο τελεστής Ε και αποδεικνύεται η βασική εξίσωση της ροής Stokes (Ε 4 ψ = ). Στη συνέχεια επιλύονται τέσσερα προβλήματα στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, παράγεται η αντίστοιχη συνάρτηση ροής, τα χαρακτηριστικά μεγέθη της κίνησης, ενώ τελικά δίνεται η γενική λύση με μορφή σειρών σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, όπου ο τελεστής Ε 4 χωρίζει μεταβλητές. Περνώντας στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων παρουσιάζονται δύο εφαρμογές της έρπουσας ροής σε κύτταρο, χρησιμοποιώντας τα μοντέλα των Happel και Kuwabara. Ο τελεστής της ροής Ε 4 δεν χωρίζει μεταβλητές στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων, ενώ ο Ε χωρίζει μεταβλητές. Στη συνέχεια, εισάγεται η μέθοδος της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4, με την οποία παράγεται η γενική λύση στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αυτό πραγματοποιείται με τη χρήση της γενικευμένης θεωρίας των ιδιοσυναρτήσεων, εκφράζοντας την λύση σαν άθροισμα δύο συναρτήσεων. Η μία εκφράζεται ως ανάπτυγμα σε ιδιοσυναρτήσεις του KerΕ και η δεύτερη ως ανάπτυγμα γενικευμένων ιδιοσυναρτήσεων του KerΕ. Οι γενικευμένες ιδιοσυναρτήσεις εκφράζονται ως άθροισμα συγκεκριμένων γινομένων συναρτήσεων Gegebauer διαφορετικής τάξης. Στη συνέχεια επαληθεύεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών, καταδεικνύοντας ότι στα σφαιροειδή συστήματα η λύση ανάγεται στην γνωστή λύση του σφαιρικού συστήματος, όταν η ημιεστιακή απόσταση του σφαιροειδούς τείνει στο μηδέν. Ακολούθως, εφαρμόζεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού στην επίλυση των προαναφερθέντων προβλημάτων συνοριακών τιμών στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Το χαρακτηριστικό που εμφανίζεται είναι ότι το σύστημα των σταθερών που προκύπτει μετά την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών έχει μόνο περιμετρική λύση, αφού οι εξισώσεις είναι κατά μία λιγότερη από τους αγνώστους. Επιβάλλεται έτσι μια επιπλέον γεωμετρική συνθήκη που αφορά τον εκφυλισμό του σφαιροειδούς σε σφαίρα όταν η ημιεστιακή του απόσταση τείνει στο μηδέν, που οδηγεί στον προσδιορισμό της παραμέτρου. Τέλος, παρατίθενται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την παραπάνω μελέτη και συγκρίνονται οι λύσεις ανάμεσα στο σφαιρικό και στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων αναδεικνύοντας τις ιδιαιτερότητές τους. Λέξεις κλειδιά: ροή Stokes, έρπουσα ροή, ημιδιαχωρισιμότητα, ημιχωρισιμότητα, σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων, αξονοσυμμετρική ροή. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 6

8 Abstract I the preset work we preset a review of the methods used for solvig Stokes flow (creepig flow) i axisymmetric coordiate systems, maily i the spherical ad the spheroidal oes. We start cosiderig fudametal cocepts ad equatios of Fluid Mechaics. Makig physical assumptios we defie the operator Ε ad we prove the basic equatio i Stokes flow (Ε 4 ψ = ). Next we solve four boudary value problems i the spherical coordiate system. The relative stream fuctio ad the characteristics quatities of the flow are derive. Fially the geeral solutio i spherical coordiates is give as a series expasio where the operator Ε 4 separates variables. Cosiderig spheroidal coordiates, we solve the creepig flow i-cell problem by assumig either Happel or Kuwabara boudary coditios. The operator Ε 4 does ot separate variables i spheroidal coordiate systems, while operator Ε does. The, we itroduce the semiseparatio method for the operator Ε 4, through which we obtai the geeral solutio. We arrive to that by usig the theory of the geeralized eigefuctios, ad expressig the solutio as the sum of the two fuctios. The first oe is expressed as a series of eigefuctios of KerΕ ad the secod oe as a series of geeralized eigefuctios of KerΕ. The geeralized eigefuctios are give through fiite sums of specific products of Gegebauer fuctios. I the ext chapter, we verify the semiseparatio results, by showig that the solutio i spheroidal coordiate systems becomes the equivalet solutio i spherical coordiate system as the semifocal legth teds to zero. I the ed we apply the semiseparatio method to solve the above metioed problems i spheroidal geometry. Whe applyig the boudary coditios, the obtaied system of equatios has oe parametric solutio due to the lack of a equatio. We complete the system by assumig a extra asymptotic coditio. This represets the fact that the spheroidal becomes sphere as the semifocal distace teds to zero. Fially the coclusios of this work are preseted ad comparisos of the solutio i the spherical ad i the spheroidal coordiate systems are made. Key words: Stokes flow, creepig flow, semiseparatio, spherical coordiate system, spheroidal coordiate systems, axisymmetric flow. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 7

9 Εισαγωγή Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε η Ροή Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων και ειδικά στο σφαιρικό και στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Δίνονται αναλυτικά οι γενικές λύσεις στα δύο αυτά συστήματα συντεταγμένων και συγκρίνονται τα αποτελέσματά τους. Η προσπάθεια που καταβλήθηκε είχε το σκεπτικό η εργασία να είναι αυτάρκης στην ανάγνωση. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικές και απαραίτητες έννοιες της Ρευστομηχανικής, ώστε να είναι σαφής η ορολογία που ακολουθεί. Στο δεύτερο κεφάλαιο παραθέτονται οι διάφορες εξισώσεις που διέπουν την κίνηση ενός ρευστού, ενώ στο τέλος του κεφαλαίου έγινε ο περιορισμός τους στις αντίστοιχες της έρπουσας ροής. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικές έννοιες των αξονοσυμμετρικών ροών. Ορίζονται η έννοια της συνάρτησης ροής, ο τελεστής Ε, η έκφραση του οποίου παράγεται σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται η μελέτη της έρπουσας ροής στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων. Αρχικά λύνονται τέσσερα προβλήματα και στη συνέχεια δίνεται η γενική λύση στις σφαιρικές συντεταγμένες. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετώνται τα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αρχικά λύνονται δύο προβλήματα με συνοριακές συνθήκες τύπου Happel και Kuwabara στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Ακολούθως αναπτύσσεται η μέθοδος της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4, με σκοπό την εύρεση της γενικής λύσης στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αυτό πραγματοποιείται με τη χρήση της γενικευμένης θεωρίας των ιδιοσυναρτήσεων, εκφράζοντας την λύση σαν άθροισμα δύο συναρτήσεων. Η μία εκφράζεται ως ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων του Ε και η δεύτερη ως ανάπτυγμα γενικευμένων ιδιοσυναρτήσεων του Ε. Οι γενικευμένες ιδιοσυναρτήσεις εκφράζονται σαν πεπερασμένος συνδυασμός γινομένων συναρτήσεων Gegebauer διαφορετικής τάξης. Τέλος, επαληθεύεται ότι η παραχθείσα λύση με τη μέθοδο του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων ανάγεται στην γνωστή λύση του σφαιρικού συστήματος όταν η ημιεστιακή απόσταση του σφαιροειδούς τείνει στο μηδέν. Στο έκτο κεφάλαιο εφαρμόζεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών σε συγκεκριμένα προβλήματα συνοριακών τιμών για τα σφαιροειδή συστήματα Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 8

10 συντεταγμένων. Το παράδοξο που ανακύπτει είναι ότι το σύστημα των σταθερών που προκύπτει δεν είναι επιλύσιμο, αφού οι εξισώσεις είναι κατά μία λιγότερη από τους αγνώστους. Επιβάλλεται έτσι μια επιπλέον γεωμετρική συνθήκη, αυτή του εκφυλισμού του σφαιροειδούς όταν η ημιεστιακή του απόσταση τείνει στο μηδέν προκειμένου να συμπληρωθεί το σύστημα των εξισώσεων. Στο έβδομο κεφάλαιο, καταγράφονται τα συμπεράσματα και γίνονται συγκρίσεις των αποτελεσμάτων στα δύο συστήματα συντεταγμένων. Ακολούθως στα παραρτήματα καταγράφονται βασικά εργαλεία των Μαθηματικών που χρησιμοποιούνται στην εργασία, όπως: βασικά στοιχεία της Διανυσματικής Ανάλυσης, Τανυστές, Ειδικές συναρτήσεις, θεωρήματα Gauss και Stokes, καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων, μερικές χρήσιμες διαφορικές εξισώσεις, βασικά στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και τα πρότυπα των Happel και Kuwabara. Τέλος, παραθέτονται τα σύμβολα που χρησιμοποιήθηκαν και οι μονάδες μέτρησής τους, ο πίνακας των σχημάτων, ένα μικρό αγγλοελληνικό λεξικό όρων, το ευρετήριο των όρων και κάποια βασική βιβλιογραφία και πηγές που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπόνηση της εργασίας. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 9

11 Κεφάλαιο ο Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Ρευστομηχανική (ή Μηχανική των Ρευστών) είναι ο κλάδος της Μηχανικής που μελετά την κινηματική και τη δυναμική των ρευστών. Η αλματώδης πρόοδος της Ρευστομηχανικής τα τελευταία χρόνια έχει οδηγήσει στην ανάπτυξη της Αεροδυναμικής, της Υδροδυναμικής, της Αεροθερμοδυναμικής, της Χημικής Μηχανικής, της Μαγνητοϋδροδυναμικής, της Ρεολογίας, της Εμβιορευστομηχανικής κ.τ.λ. Οι αντλίες, οι ανεμιστήρες, οι στρόβιλοι ατμού, αέρα ή νερού, οι κινητήρες των αεροσκαφών και των οχημάτων γενικότερα, η ροή των ποταμών και των υπόγειων ρευμάτων, η πτήση των αεροσκαφών, η πτήση των πυραύλων στην ατμόσφαιρα, η κίνηση των πλοίων και των υποβρυχίων είναι μερικές εφαρμογές της Ρευστομηχανικής.. Η έννοια του ρευστού Ρευστό λέγεται κάθε ουσία που έχει την ιδιότητα να παραμορφώνεται συνεχώς (να ρέει) όταν υφίσταται την επίδραση διατμητικών τάσεων (εφαπτομενικών δυνάμεων ανά μονάδα επιφάνειας του ρευστού) οσοδήποτε μικρή και αν είναι η τάση αυτή. Αυτό σημαίνει ότι τα υγρά και τα αέρια χαρακτηρίζονται ως ρευστά. Διατμητική τάση (τ) ενός ρευστού, ονομάζουμε το πηλίκο της δύναμης που ασκείται στο ρευστό προς την επιφάνεια που ασκείται η δύναμη, δηλαδή, F τ (..) A όπου F η δύναμη που ασκείται στο ρευστό πάνω στην επιφάνεια Α. Για να διακρίνουμε τη διαφορά της στερεής από τη ρευστή κατάσταση, θα συγκρίνουμε τη συμπεριφορά ενός στερεού και ενός ρευστού. Ένα στερεό μπορεί να Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

12 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής παραμορφώνεται κάτω από την επίδραση μιας διατμητικής τάσης, αλλά η παραμόρφωση δεν είναι μόνιμη, ενώ ένα ρευστό υφίσταται μόνιμη παραμόρφωση κάθε χρονική στιγμή. Για να γίνει κατανοητό αυτό θεωρούμε δύο παράλληλες πλάκες, όπου η κάτω δεν κινείται. Ονομάζουμε Α το κομμάτι της άνω πλάκας που έρχεται σε επαφή με το στερεό ή το υγρό. Εφαρμόζοντας δύναμη F στην επιφάνεια Α, έχουμε τη δημιουργία F διατμητικής τάσης τ. A Σε κάθε στερεό σώμα, όσο η διατμητική τάση παραμένει σταθερή (σχήμα..), η παραμόρφωση του στερεού παραμένει σταθερή (δηλαδή, δεν αλλάζει η γωνία παραμόρφωσης φ), ενώ όταν σταματήσει να επιδρά η διατμητική τάση, το στερεό επανέρχεται στην αρχική του μορφή. Σχήμα..: Συμπεριφορά στερεού υπό την επίδραση μιας συνεχούς διατμητικής τάσης Σε κάθε ρευστό όσο η διατμητική τάση παραμένει σταθερή (Σχήμα..), η παραμόρφωση του ρευστού αλλάζει (δηλαδή, αλλάζει η γωνία παραμόρφωσης φ), ενώ όταν σταματήσει να επιδρά η διατμητική τάση, το ρευστό δεν επανέρχεται στην αρχική του μορφή. Σχήμα..: Συμπεριφορά ρευστού υπό την επίδραση μιας συνεχούς διατμητικής τάσης Τα στερεά χωρίζονται σε κρυσταλλικά και άμορφα, ενώ τα ρευστά σε υγρά και αέρια. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν κάποιες ενδιάμεσες καταστάσεις, όπως η οδοντόκρεμα και τα χρώματα βαφής, τα οποία άλλοτε συμπεριφέρονται σαν στερεά (για διατμητική τάση μικρότερη μιας κρίσιμης τιμής) και άλλοτε σαν ρευστά (για διατμητική τάση μεγαλύτερη αυτής της κρίσιμης τιμής). Διεπιφανειακή τάση (γ) ονομάζουμε την εφαπτόμενη δύναμη που ασκείται στην επιφάνεια μεταξύ δύο ρευστών ή μεταξύ ρευστού και στερεού που προκαλείται από τη διαφορά έλξης ανάμεσα στα μόρια κάθε φάσης. Η διεπιφανειακή τάση εκφράζει δύναμη ανά εμβαδό ή ενέργεια ανά εμβαδό. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

13 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Ιδιότητες των ρευστών Η πυκνότητα (ρ) είναι βασικό μέγεθος στα ρευστά. Για να ορίσουμε την πυκνότητα ενός ρευστού, θεωρούμε όγκο δv με αντίστοιχη μάζα δm και για σταθερό χρόνο t πρέπει να υπολογίσουμε τον κρίσιμο όγκο δv *, όπου σταθεροποιείται η τιμή της πυκνότητας και ισχύει: m (x, y, z, t) lim * VV V Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: αν δv << δv * m έχουμε μεγάλες διακυμάνσεις του λόγου και V αν δv δv * δεν έχουμε σχεδόν καμία διακύμανση του λόγου (..) m. V Ιξώδες (ή συνεκτικότητα), που συμβολίζεται με μ, είναι η ιδιότητα των ρευστών που τους δίνει την δυνατότητα να αντιστέκονται σε κάθε προσπάθεια αλλαγής της μορφής τους. Το ιξώδες είναι το ρευστομηχανικό αντίστοιχο της γνωστής τριβής από την Μηχανική. Κινηματικό ιξώδες (ν) λέγεται ο λόγος του ιξώδους μ προς την πυκνότητα του ρευστού ρ, δηλαδή, μ ν= ρ (..) Υπόθεση του συνεχούς μέσου λέγεται η υπόθεση σύμφωνα με την οποία οι ιδιότητες του ρευστού μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο με τρόπο συνεχή. Το μοντέλο αυτό αποτελεί τη βάση της διερεύνησης των προβλημάτων της ροής των ρευστών. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

14 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Είδη ρευστών Νευτώνεια και μη Νευτώνεια Ρευστά Νευτώνεια λέγονται τα ρευστά στα οποία η διατμητική τάση (τ) ευθέως ανάλογη της ταχύτητας μεταβολής της γωνιακής παραμόρφωσης (φ), δηλαδή, ισχύει: ή όπου μ είναι το ιξώδες του ρευστού και du dy d τ (..) dt du τ (..) dy η βαθμίδα της ταχύτητας. Τα πιο σπουδαία και τα πιο κοινά ρευστά (νερό, αέρας) είναι Νευτώνεια. Μη Νευτώνεια λέγονται τα ρευστά στα οποία δεν ισχύει ο παραπάνω πειραματικός νόμος του Νεύτωνα (..). Ιδανικό (ανιξώδες) και πραγματικό (ιξώδες) ρευστό Ιδανικό (ή ανιξώδες) λέγεται κάθε ρευστό που έχει ιξώδες ίσο με το μηδέν (μ = ). Στα ιδανικά ρευστά δεν αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις και η μόνη επιφανειακή δύναμη που ενεργεί σε αυτά είναι η πίεση. Πραγματικό (ή ιξώδες) λέγεται κάθε ρευστό που δεν έχει μηδενικό ιξώδες (μ ). Ασυμπίεστο και συμπιεστό ρευστό Ασυμπίεστο λέγεται κάθε ρευστό, στο οποίο οι αλλαγές στον όγκο ή στην πυκνότητα, όταν μεταβάλλεται η πίεση ή η θερμοκρασία είναι αμελητέες. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ένα ρευστό που έχει σταθερή πυκνότητα είναι ασυμπίεστο. Η μαθηματική σχέση που ικανοποιεί ένα ασυμπίεστο ρευστό είναι: v (..4) Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

15 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Επιπλέον, όταν το ρευστό είναι ασυμπίεστο δεν υπάρχει αλλαγή της πυκνότητας ούτε στη μεταβολή του χρόνου, ούτε στη μεταβολή των χωρικών συντεταγμένων, δηλαδή,,,, (..5) t x y z Συμπιεστό λέγεται κάθε ρευστό το οποίο παρουσιάζει ελάχιστη αντίσταση σε κάθε μεταβολή του όγκου. Αυτό σημαίνει ότι το συμπιεστό ρευστό αντιδρά σε αλλαγές της πίεσης προσαρμόζοντας τον όγκο και την πυκνότητά του. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ένα ρευστό που δεν έχει αμελητέα πυκνότητα είναι συμπιεστό. Ομογενές και μη ομογενές ρευστό Ομογενές λέγεται κάθε ρευστό με ομοιόμορφες ιδιότητες μέσα έξω. Αυτό σημαίνει ότι η μεταβολή της πυκνότητας είναι συνεχής και ότι η κλίση της πυκνότητας του ρευστού είναι μηδέν, δηλαδή, (..6) Μη ομογενές λέγεται κάθε ρευστό το οποίο δεν έχει ομοιόμορφες ιδιότητες μέσα έξω, οπότε η μεταβολή της πυκνότητας δεν είναι συνεχής..4 Τύποι ροής Ροή λέγεται η κίνηση ενός ρευστού σε μια ορισμένη περιοχή του χώρου, που ονομάζεται πεδίο ροής. Ασυμπίεστη και Συμπιεστή Ροή Ασυμπίεστη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, κατά την οποία οι μεταβολές της πυκνότητας σε όλη την έκταση του πεδίου ροής είναι αμελητέες και ισχύει v (.4.) Συμπιεστή ονομάζεται η ροή στην οποία οι μεταβολές της πυκνότητας είναι σημαντικές. Στη μελέτη ασυμπίεστης ροής σε νευτώνεια ρευστά, χρειαζόμαστε μόνο δύο ιδιότητες, την πυκνότητα ρ και το ιξώδες του ρευστού μ. Αντιθέτως για τα μη νευτώνεια ρευστά χρειαζόμαστε πρόσθετες παραμέτρους για να χαρακτηρισθούν επαρκώς. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 4

16 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Για να χαρακτηρίσουμε μια ροή ως συμπιεστή ή ασυμπίεστη χρησιμοποιούμε τον αδιάστατο αριθμό Mach (Ν Ma ), για τον οποίο ισχύει: N Ma U (.4.) C όπου U είναι η χαρακτηριστική ταχύτητα της ροής και C η ταχύτητα του ήχου στο ρευστό. Με τη βοήθεια του αριθμού Mach, έχουμε ότι: Αν N Ma., η ροή χαρακτηρίζεται ως ασυμπίεστη, ενώ Αν N Ma >., η ροή χαρακτηρίζεται ως συμπιεστή. Γραμμική (στρωτή) και Τυρβώδης (στροβιλώδης) Ροή Γραμμική (ή στρωτή) ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, κατά την οποία η κίνηση κάθε στοιβάδας του ρευστού είναι ομαλή σε σχέση με τις διπλανές στοιβάδες. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη στρωτή ροή η μόνη κίνηση που παρατηρείται είναι κατά τη διεύθυνση της ροής, αφού κατά την κάθετη διεύθυνση δεν υπάρχει συνιστώσα ταχύτητας. Τυρβώδης (ή στροβιλώδης) ονομάζεται η ροή ενός ρευστού που χαρακτηρίζεται από την χαώδη κίνηση του ρευστού, οπότε και όλα τα σωματίδια κινούνται σε ακανόνιστες τροχιές. Σταθερή και μεταβαλλόμενη ροή Σταθερή ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, στο οποίο δεν υπάρχουν χρονικά μεταβαλλόμενα πεδία. Μεταβαλλόμενη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, στο οποίο τα πεδία ροής εξελίσσονται με τον χρόνο. Μονοδιάστατη, Δισδιάστατη και Τρισδιάστατη Ροή Μονοδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς μία χωρική μεταβλητή, δηλαδή, u = u(x, t). Δισδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς δύο χωρικές μεταβλητές, δηλαδή, u = u(x, y, t). Τρισδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς τρεις χωρικές μεταβλητές, δηλαδή, u = u(x, y, z, t). Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 5

17 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής u=u(x) u=u(x) u=u(x,y) u=u(x,y) Σχήμα.4.: Μονοδιάσταση ροή ρευστού, Σχήμα.4.4: Δισδιάσταση ροή ρευστού, ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες ανάμεσα σε δύο μη παράλληλες πλάκες Για παράδειγμα οι κινήσεις των αερίων μαζών στην ατμόσφαιρα εξετάζονται στον τρισδιάστατο χώρο, ροές σε κανάλια, ποταμούς κ.τ.λ. θεωρούνται δισδιάστατες, ενώ ροή σε κάθε είδους δίκτυο σωληνώσεων θεωρείται μονοδιάστατη (κατά τη διεύθυνση του άξονα των αγωγών)..5 Συνθήκη μη ολίσθησης Οριακό στρώμα Για τη μελέτη και ανάλυση προβλημάτων ιξώδους ροής, έχουμε μια βασική συνθήκη, τη συνθήκη μη ολίσθησης. Σύμφωνα με αυτή (και κάτω από την υπόθεση του συνεχούς μέσου), η ροή ενός ρευστού επηρεάζεται από την παρουσία στερεών τοιχωμάτων. Το αποτέλεσμα είναι το ρευστό να μην ολισθαίνει πάνω στη στερεή επιφάνεια, δηλαδή, η σχετική ταχύτητα των πραγματικών ρευστών ως προς το στερεό τοίχωμα είναι μηδέν ή ισοδύναμα ότι η εφαπτομενική ταχύτητα κοντά στα τοιχώματα είναι μηδέν. Οριακό στρώμα είναι η στοιχειώδης περιοχή του ρευστού που ακουμπά στην στερεή επιφάνεια και η ροή είναι πιο αργή από ότι στο υπόλοιπο ρευστό. Στο οριακό στρώμα η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται από την τιμή (πάνω στην επιφάνεια) μέχρι την τιμή u που είναι η ταχύτητα του ελεύθερου ρεύματος, όπου η ροή θεωρείται ιδανική. Αλλιώς, είναι το «στρώμα» του ρευστού με ακαθόριστο προφίλ ταχύτητας μέχρι να αποκατασταθεί το αναπτυγμένο. Επιπλέον, πρέπει να γνωρίζουμε ότι καθώς απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια των στερεών τοιχωμάτων, η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται, μέχρι να αποκτήσει μια συγκεκριμένη τιμή, οπότε και παραμένει σταθερή. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 6

18 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.6 Σύστημα και όγκος ελέγχου Σύστημα ελέγχου είναι το μέρος του ρευστού που περικλείεται από μια επιφάνεια, η οποία απαγορεύει την εισροή ή την εκροή μάζας (δηλαδή, η μάζα της δεν μεταβάλλεται), αλλά μεταβάλλει το σχήμα του με την πάροδο του χρόνου. Ο όγκος του συστήματος λέγεται υλικός όγκος και συμβολίζεται με V m (t), ενώ η επιφάνεια του συστήματος λέγεται υλική επιφάνεια και συμβολίζεται με A m (t). Επειδή, όμως το σχήμα του συστήματος αλλάζει, η γεωμετρία του προβλήματος συχνά γίνεται πολύ δύσκολη, οπότε το σύστημα ελέγχου δεν μας εξυπηρετεί. Για αυτό στα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε, θεωρούμε τον όγκο ελέγχου. Όγκος ελέγχου είναι το μέρος του ρευστού (με σχήμα που μας εξυπηρετεί) που περικλείεται από μια επιφάνεια και ανταλλάσσει μάζα και ενέργεια (με τη μορφή θερμότητας ή έργου) με το περιβάλλον. Για να γίνουν πιο κατανοητές οι έννοιες του συστήματος και του όγκου ελέγχου θεωρούμε μια γραμμική ροή μεταξύ παραλλήλων πλακών, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. t = t = To σύστημα και ο όγκος ελέγχου ταυτίζονται t = t > t t = t > t > t σύστημα ελέγχου όγκος ελέγχου Σχήμα.6.: Συμπεριφορά συστήματος και όγκου ελέγχου σε γραμμική ροή εντός παραλλήλων πλακών Προσέξτε ότι ο όγκος ελέγχου ανταλλάσσει ενέργεια (με τη μορφή θερμότητας ή έργου) με το περιβάλλον, ενώ για το σύστημα ελέγχου αυτό εξαρτάται. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 7

19 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Επιπλέον, πρέπει να είναι σαφές ότι το σύστημα ελέγχου είναι το φυσικό μέγεθος που μελετάμε, ενώ ο όγκος ελέγχου είναι το αντίστοιχο μαθηματικό μέγεθος. Θερμικά μονωμένο λέγεται το σύστημα το οποίο δεν ανταλλάσσει θερμότητα με το περιβάλλον, παρόλο που έχει διαφορετική θερμοκρασία από το περιβάλλον. Απομονωμένο λέγεται το θερμικά μονωμένο σύστημα που δεν ανταλλάσσει με το περιβάλλον ούτε έργο. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς, ότι ο όγκος ελέγχου δεν είναι θερμικά μονωμένος..7 Θεμελιώδεις νόμοι της Ρευστομηχανικής Αρχή διατήρησης της μάζας Με την κίνηση του ρευστού η μάζα μεταφέρεται με την πάροδο το χρόνου από μια θέση του πεδίου ροής σε άλλη, παραμένει όμως αμετάβλητη. Στα ομογενή ρευστά η αρχή διατήρησης της μάζας οδηγεί στην εξίσωση συνέχειας (σχέση..7), η οποία συνδέει τις μεταβολές, ως προς το χώρο και το χρόνο, της πυκνότητας και της ταχύτητας του ρευστού. Η αρχή διατήρησης της μάζας εκφράζεται από τη σχέση dm (.7.) dt όπου Μ είναι η μάζα του συστήματος Σ. Αρχή διατήρησης της ορμής (αξίωμα κίνησης του Newto) Η παράγωγος της ορμής ενός συστήματος μάζας ως προς το χρόνο, ισούται με την συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό. Η αρχή αυτή, στα ρευστά οδηγεί στις εξισώσεις κίνησης (σχέσεις.4.5,.4.5), οι οποίες συνδέουν την επιτάχυνση με τις δυνάμεις. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 8

20 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Η αρχή διατήρησης της ορμής εκφράζεται από τη σχέση F. dp dt όπου F. είναι η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων και (.7.) P η ορμή του συστήματος Σ. Επιπλέον, όμως ισχύει ότι: F F F,. όπου F είναι η βαρυτική δύναμη και F είναι η συνισταμένη των επιφανειακών δυνάμεων. Συνεπώς η (.7.) δίνει: dp FF dt (.7.) Αρχή διατήρησης της ενέργειας (ο θερμοδυναμικό αξίωμα) Η συνολική ενέργεια (κινητική, δυναμική, έργο, θερμότητα, κ.τ.λ.) ενός ρευστού παραμένει σταθερή. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας εκφράζεται από τη σχέση: dq de dw (.7.4) όπου το σύστημα έχει ολική ενέργεια Ε, στο σύστημα μάζας προσφέρουμε θερμότητα dq, από την οποία ένα μέρος της καταναλώνεται για την παραγωγή ενός έργου dw, όταν το υπόλοιπο μέρος της θερμότητας καταναλώνεται για τη μεταβολή της ενέργειας de του συστήματος. Πολλές φορές όταν το παραγόμενο έργο θεωρείται αρνητικό, γράφουμε: dq de dw (.7.5) Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 9

21 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.8 Αριθμός Reyolds O Reyolds το 88 για να αναγνωρίσει το χαρακτηριστικό μιας ροής που μεταβάλει μια ροή από τυρβώδη σε στρωτή, εκτέλεσε ένα πείραμα με το οποίο ξεκίνησε ιστορικά την μελέτη ροής ρευστών σε κυλινδρικούς αγωγούς. Σχήμα.8.: Η αρχική διάταξη που χρησιμοποίησε ο Reyolds Για το πείραμα αυτό χρησιμοποίησε μια συσκευή έκχυσης έγχρωμου υγρού μέσα σε νερό και παρατήρησε την εξέλιξη της ροής σε κυλινδρικό σωλήνα. Το πείραμα αυτό επανέλαβε πολλές φορές και με σωλήνες διαφορετικών διαμέτρων, ώστε να βρει, αλλά και να επαληθεύσει το συμπέρασμά του. Σχήμα.8.: Η στρωτή ροή στο πείραμα Reyolds Σχήμα.8.: Η τυρβώδης ροή στο πείραμα Reyolds Ο Reyolds διαπίστωσε ότι το είδος της ροής καθορίζεται από την τιμή που θα έχει ένας αριθμός. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε αριθμός Reyolds (Ν Re ), ο οποίος είναι αδιάστατος και εκφράζει το λόγο των δυνάμεων αδράνειας (ρ U) προς τις ιξώδες δυνάμεις D. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

22 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Σε ένα κυλινδρικό αγωγό ισχύει ότι: όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, U η ταχύτητα του ρευστού, D η διάμετρος του σωλήνα και μ το ιξώδες του ρευστού. Γενικά ο αριθμός Reyolds ορίζεται ως: N N Re Re UD (.8.4) UL (.8.5) όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, U η χαρακτηριστική βαθμωτή ταχύτητα του ρευστού, L το χαρακτηριστικό βαθμωτό μήκος του ρευστού και μ το ιξώδες του ρευστού. Καλό είναι να γνωρίζουμε ότι αναλόγως της γεωμετρίας του προβλήματος η κρίσιμη τιμή του αριθμού Reyolds διαφέρει. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

23 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.9 Ροή Stokes (έρπουσα ροή) Ροή Stokes (ή έρπουσα ροή) λέγεται ο τύπος της ροής που οι δυνάμεις αδράνειας είναι πολύ μικρότερες συγκρινόμενες με το ιξώδες, το οποίο έχει ως αποτέλεσμα ο αριθμός Reyolds να είναι πολύ μικρότερος της μονάδας (N Re <<). Σχήμα.9.: Ροή Stokes γύρω από σφαίρα (N Re <<) Από τον ορισμό της ροής Stokes είναι φανερό ότι οι ιξώδεις δυνάμεις κυριαρχούν και ότι δεν υπάρχει διαχωρισμός της ροής. Επιπλέον, η έρπουσα ροή είναι πάντα γραμμική, αναστρέψιμη και έχει μικρή ορμή. Επειδή, οι ταχύτητες στη ροή Stokes είναι πολύ μικρές και το οριακό στρώμα επηρεάζεται από την ταχύτητα, στη ροή Stokes πρακτικά δεν υπάρχει οριακό στρώμα, αφού λόγω της αργής ροής δεν «κολλούν» μόρια του ρευστού στο στερεό. Σχήμα.9.: Ροή γύρω από κύλινδρο Η τιμή του αριθμού Reyolds που καθορίζει την έρπουσα ροή, εξαρτάται από τη γεωμετρία του προβλήματος. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Μακροσκοπική ανάλυση ροής

Μακροσκοπική ανάλυση ροής Μακροσκοπική ανάλυση ροής Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Μακροσκοπική ανάλυση Όγκος ελέγχου και νόμοι της ρευστομηχανικής Θεώρημα μεταφοράς Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ορμής

Διαβάστε περισσότερα

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Περιεχόμενα μαθήματος Βασικές έννοιες, συνεχές μέσο, είδη, μονάδες διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορική ανάλυση ροής

Διαφορική ανάλυση ροής Διαφορική ανάλυση ροής Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών ΜΕ και ΔΕ ροής: Διαφορές Οριακές και αρχικές συνθήκες Οριακές συνθήκες: Φυσική σημασία αλληλεπίδραση του όγκου ελέγχου με το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Φύση και μορφή δυνάμεων/ ρυθμός παραμόρφωσης Σωματικές δυνάμεις: δυνάμεις σε όγκο ελέγχου που είναι πλήρης ρευστού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ

ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Σημειώσεις. Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σημειώσεις Επιμέλεια: Άγγελος Θ. Παπαϊωάννου, Ομοτ. Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Απρίλιος 13 1. Η Έννοια του Οριακού Στρώματος Το οριακό στρώμα επινοήθηκε για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.1 ΕΙΔΗ ΡΟΩΝ 2.2 ΣΥΣΤΗΜΑ & ΟΓΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ 2.3 ΕΙΔΗ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.1 ΕΙΔΗ ΡΟΩΝ 2.2 ΣΥΣΤΗΜΑ & ΟΓΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ 2.3 ΕΙΔΗ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΑΛΕΞΗΣ 2.1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.1 ΕΙΔΗ ΡΟΩΝ 2.2 ΣΥΣΤΗΜΑ & ΟΓΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ 2.3 ΕΙΔΗ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 2.4 2.4 ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 2.4.1 ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 2.4.2 ΑΡΧΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ρευστά. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός. https://physicscourses.wordpress.com

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ρευστά. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός. https://physicscourses.wordpress.com ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρευστά Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscourses.wordpress.com Βασικές έννοιες Πρώτη φορά συναντήσαμε τη φυσική των ρευστών στη Β Γυμνασίου. Εκεί

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό.

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό. Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 2 η Κατανομή πίεσης σε συγκλίνοντα αποκλίνοντα αγωγό. Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημ/νία παράδοσης Εργασίας: Τετάρτη 24 Μαΐου 2 1 Θεωρητική Εισαγωγή:

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΕΡΕΗ ΣΦΑΙΡΑ ΓΙΑ ΜΙΚΡΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ REYNOLDS

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση Βλιώρα Ευαγγελία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι ο υπολογισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 10 Μηχανική των ρευστών

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 10 Μηχανική των ρευστών Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 10 Μηχανική των ρευστών ΦΥΣ102 1 Πυκνότητα Πυκνότητα είναι η μάζα ανά μονάδα όγκου,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1 Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής 1.Σκοπός Άσκηση 9 Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής υγρών Σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδες) ενός υγρού. Βασικές θεωρητικές γνώσεις.1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση

υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση υδροδυναμική Σταθερή ασυμπίεστη ροή σε αγωγούς υπό πίεση Τεράστια σημασία του ιξώδους: Ύπαρξη διατμητικών τάσεων που δημιουργούν απώλειες ενέργειας Απαραίτητες σε κάθε μελέτη Είδη ροών Στρωτή ή γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης

Διαβάστε περισσότερα

Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού

Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού Αιολική Ενέργεια & Ενέργεια του Νερού Ενότητα : Εισαγωγή στην Αεροδυναμική Γεώργιος Λευθεριώτης, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στις βασικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηγητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

Κινηματική ρευστών. Ροή ρευστού = η κίνηση του ρευστού, μέσα στο περιβάλλον του

Κινηματική ρευστών. Ροή ρευστού = η κίνηση του ρευστού, μέσα στο περιβάλλον του 301 Κινηματική ρευστών Ροή ρευστού = η κίνηση του ρευστού, μέσα στο περιβάλλον του Είδη ροής α) Σταθερή ή μόνιμη = όταν σε κάθε σημείο του χώρου οι συνθήκες ροής, ταχύτητα, θερμοκρασία, πίεση και πυκνότητα,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 17/4/2016 ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7/4/06 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω ερωτήσεις - 7 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράµμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

Διαβάστε περισσότερα

Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα

Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα Υδροδυναμικές Ροές και Ωστικά Κύματα 7 7.1 Εισαγωγή Οι διαδικασίες υψηλών ενεργειών που περιγράφηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια, καθώς και η επιτάχυνση σωματιδίων σε υψηλές ενέργειες η οποία θα περιγραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ορμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής

Ορμή και Δυνάμεις. Θεώρημα Ώθησης Ορμής 501 Ορμή και Δυνάμεις Θεώρημα Ώθησης Ορμής «Η μεταβολή της ορμής ενός σώματος είναι ίση με την ώθηση της δύναμης που ασκήθηκε στο σώμα» = ή Το θεώρημα αυτό εφαρμόζεται διανυσματικά. 502 Θεώρημα Ώθησης

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στις θετικές επιστήμες και στις τεχνολογικές τους εφαρμογές συναντάμε συχνά μεγέθη που χαρακτηρίζονται μόνο από το μέτρο τους: τη μάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 10/6/2010 1

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 10/6/2010 1 Εργαλεία επίλυσης προβληµάτων µονοδιάστατης ασυµπίεστης ροής σε αγωγούς (ανοικτούς ή κλειστούς) Ι. Ισοζύγιο Μάζας (εξίσωση συνέχειας) ΙΙ. Ισοζύγιο Ενέργειας (εξίσωση Bernoull) ΙΙΙ. Ισοζύγιο Γραµµικής Ορµής

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ο νόμος του Gauss Εικόνα: Σε μια επιτραπέζια μπάλα πλάσματος, οι χρωματιστές γραμμές που βγαίνουν από τη σφαίρα αποδεικνύουν την ύπαρξη ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Με το νόμο του Gauss,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

u u u u u u u u u u u x x x x

u u u u u u u u u u u x x x x Βασικοί συµβολισµοί και σχέσεις ϕ ϕ ui & ϕ=, ϕ, i=, ui, j= t x x u1 u1 u1 x1 x2 x u 3 1, 1 ui, j ui, j u1, 1 ui, j ui, j u u u u u u u u u u u i 2 2 2 i, j= = i, j 2, 2 i, j = i, j 2, 2 i, j = x j x1 x2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Α. Παϊπέτης. 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Α. Παϊπέτης. 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Η κινηματική είναι η μελέτη της κίνησης χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα αίτια που την προκαλούν (δυνάμεις, ροπές) Η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/10/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 15/1/1 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε σώμα μάζας m = 1Kg ασκείται η δύναμη F

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική ροή. Εμβαδόν=Α

Ηλεκτρική ροή. Εμβαδόν=Α Ηλεκτρική ροή Hλεκτρική ροή: φυσικό μέγεθος (μονόμετρο) που δηλώνει τον αριθμό των δυναμικών γραμών ενός ηλεκτρικού πεδίου που διαπερνούν μία επιφάνεια. Εμβαδόν=Α Για παράδειγμα, η ηλεκτρική ροή για την

Διαβάστε περισσότερα

6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα

6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα 6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα 6.1 Εισαγωγή Όταν θέτουμε σε κίνηση κάποια μόρια ενός ρευστού μέσω μιας αντλίας ή ενός φυσητήρα, η κίνηση μεταδίδεται και στα υπόλοιπα μόρια του ρευστού μέσω των αλληλεπιδράσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΟ -ΕΝΕΡΓΕΙΑ. Το στοιχειώδες έργο dw δύναμης F που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη στοιχειώδη μετατόπισή του d s είναι η ποσότητα:

ΕΡΓΟ -ΕΝΕΡΓΕΙΑ. Το στοιχειώδες έργο dw δύναμης F που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη στοιχειώδη μετατόπισή του d s είναι η ποσότητα: ΕΡΓΟ -ΕΝΕΡΓΕΙΑ Το στοιχειώδες έργο dw δύναμης F που ασκείται σε ένα σώμα κατά τη στοιχειώδη μετατόπισή του d s είναι η ποσότητα: d F d s Παρατηρήσεις Το έργο εκφράζει την ποσότητα της ενέργειας που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο : Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Υδροδυναμική. Περιγραφή της ροής Μορφές ροών Είδη ροών Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ενέργειας Bernoulli

Υδροδυναμική. Περιγραφή της ροής Μορφές ροών Είδη ροών Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ενέργειας Bernoulli Υδροδυναμική Περιγραφή της ροής Μορφές ροών Είδη ροών Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ενέργειας Bernoulli Υδροδυναμική - γενικά Ρευστά σε κίνηση Τμήματα με διαφορετικές ταχύτητες και επιταχύνσεις Αλλαγή μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Βασική έννοια. Μηχανική ενέργεια.

Βασική έννοια. Μηχανική ενέργεια. Έργο - Ενέργεια Βασική έννοια. Μηχανική, Ηλεκτρομαγνητική, Χημική, Θερμική, Πυρηνική, κ.α. Δυνατότητα μετατροπής της μίας μορφής σε άλλη. Μηχανική ενέργεια. Λύση προβλημάτων μηχανικής. α) ος νόμος Νεύτωνα,

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1.1 Θερμοδυναμική και Μετάδοση Θερμότητας 1 1.2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο Διαγώνισμα Φυσικής B Λυκείου Γενικής Παιδείας

Προτεινόμενο Διαγώνισμα Φυσικής B Λυκείου Γενικής Παιδείας Προτεινόμενο Διαγώνισμα Φυσικής B Λυκείου Γενικής Παιδείας Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Δύο σώματα Α και Β ( ) εκτοξεύονται ταυτόχρονα οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 Εξαναγκασμένη Συναγωγή Εσωτερική Ροή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 Ροή σε Σωλήνες (ie and tube flw) Σε αυτή την διάλεξη θα ασχοληθούμε με τους συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 7: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 7: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 7: ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Ηλεκτρικό Δυναμικό Εικόνα: Οι διαδικασίες που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας προκαλούν μεγάλες διαφορές ηλεκτρικού δυναμικού ανάμεσα στα σύννεφα και στο έδαφος. Το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Δύναμη. Η ιδέα της Δύναμης δίνει μία ποσοτική περιγραφή της αλληλεπίδρασης α) μεταξύ δύο σωμάτων β) μεταξύ ενός σώματος και του περιβάλλοντος του.

1. Δύναμη. Η ιδέα της Δύναμης δίνει μία ποσοτική περιγραφή της αλληλεπίδρασης α) μεταξύ δύο σωμάτων β) μεταξύ ενός σώματος και του περιβάλλοντος του. . Δύναμη Η ιδέα της Δύναμης δίνει μία ποσοτική περιγραφή της αλληλεπίδρασης α) μεταξύ δύο σωμάτων β) μεταξύ ενός σώματος και του περιβάλλοντος του. Υπάρχουν δυνάμεις οι οποίες ασκούνται ακόμη και όταν

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΑΝΟΙΚΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο : Είδη ροής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3A: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συστήματα αξόνων του αεροσκάφους Κίνηση αεροσκάφους στην ατμόσφαιρα Απαιτούνται κατάλληλα συστήματα αξόνων για την περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Ρευστομηχανική. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Ρευστομηχανική. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Ρευστομηχανική Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΚινηματικήκαιΔυναμικήτων Ρευστών 5 ο Μάθημα van Gogh starry night ΔΠΘ-ΜΠΔ Μηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Μητέρα και κόρη απολαμβάνουν την επίδραση της ηλεκτρικής φόρτισης των σωμάτων τους. Κάθε μια ξεχωριστή τρίχα των μαλλιών τους φορτίζεται και προκύπτει μια απωθητική δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Α1.Β Α2.Γ Α3. Α Α4. Α ΙΙ. 1.Σ 2.Σ 3.Λ 4.Σ 5. Λ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Α1.Β Α2.Γ Α3. Α Α4. Α ΙΙ. 1.Σ 2.Σ 3.Λ 4.Σ 5. Λ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Α1.Β Α2.Γ Α3. Α Α4. Α ΙΙ. 1.Σ 2.Σ 3.Λ 4.Σ 5. Λ ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστή η β) Έστω Σ το υλικό σημείο που απέχει d από το άκρο Α. Στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Διάκριση των ρευστών

Εισαγωγή Διάκριση των ρευστών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ Εισαγωγή στην Υδραυλική Αντικείμενο Πυκνότητα και ειδικό βάρος σωμάτων Συστήματα μονάδων Ιξώδες ρευστού, επιφανειακή τάση, τριχοειδή φαινόμενα Υδροστατική πίεση Εισαγωγή Ρευστομηχανική = Μηχανικές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Καθηγητής Δ. Ματαράς

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Καθηγητής Δ. Ματαράς ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής Δ. Ματαράς image url Ludwig Prandtl (1875 1953) 3. ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Δυναμική Ροή Δυναμική Ροή (potential flow): η ροή ιδανικού ρευστού

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις Κίνησης (Equations of Motion)

Εξισώσεις Κίνησης (Equations of Motion) Εξισώσεις Κίνησης (Equations of Motion) Αναλύουμε την απόκριση ενός ρευστού υπό την επίδραση εσωτερικών και εξωτερικών δυνάμεων. Η εφαρμογή της ρευστομηχανικής στην ωκεανογραφία βασίζεται στη Νευτώνεια

Διαβάστε περισσότερα

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα