ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΡΟΗΣ STOKES ΣΕ ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πρωτοπαπάς Ελευθέριος Επιβλέπουσα καθηγήτρια: Χατζηνικολάου Μαρία ΠΑΤΡΑ Μάιος 9

2 «Εάν θέλεις να φτάσεις έως το άπειρο, γνώρισε το πεπερασμένο σε όλες τις εκφράσεις του.» Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή

3 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 5 Περίληψη... 6 Abstract. 7 Εισαγωγή 8 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Η έννοια του ρευστού. Ιδιότητες των ρευστών... Είδη ρευστών..4 Τύποι ροής. 4.5 Συνθήκη μη ολίσθησης Οριακό στρώμα 6.6 Σύστημα και όγκος ελέγχου Θεμελιώδεις νόμοι της Ρευστομηχανικής. 8.8 Αριθμός Reyolds..9 Ροή Stokes (έρπουσα ροή) Κεφάλαιο ο : Βασικές εξισώσεις κίνησης ρευστών. Θεώρημα μεταφοράς του Reyolds... Εξίσωση συνέχειας 4. Μακροσκοπικό ισοζύγιο γραμμικής ορμής Οι εξισώσεις μεταβολής ενός ιξώδους ρευστού 8.5 Εξίσωση σταθερής ροής Stokes Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες αξονοσυμμετρικών ροών.7 Ο τελεστής Ε. Εισαγωγικές έννοιες Σχέση συνάρτησης ροής και ταχύτητας σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων. 9. Ιδιότητες συνάρτησης ροής Συνιστώσες της ταχύτητας συναρτήσει της συνάρτησης ροής σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων Συνοριακές συνθήκες για τη συνάρτηση ροής Η εξίσωση για τη συνάρτηση ροής στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων.. 5 για τη ροή Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων Η πίεση για τη ροή Stokes. 6.9 Δύναμη που ασκείται πάνω σε σώμα 6 Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

4 Κεφάλαιο 4 ο : Προβλήματα στη ροή Stokes και λύση τους στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων 4. Κίνηση συμπαγούς σφαίρας με σταθερή ταχύτητα μέσα σε άπειρο ακίνητο ρευστό Ροή γύρω από ακίνητη συμπαγή σφαίρα Κίνηση ρευστής σφαίρας με σταθερή ταχύτητα μέσα σε άπειρο ακίνητο ρευστό Ομόκεντρες σφαίρες Η γενική λύση στις σφαιρικές συντεταγμένες.. 8 Κεφάλαιο 5 ο : Προβλήματα στη ροή Stokes και λύση τους σε σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων 5. Ροή γύρω από πεπλατυσμένο σφαιροειδείς Ροή γύρω από επίμηκες σφαιροειδείς Διαχωρισιμότητα του τελεστή Ε και ημιδιαχωρισιμότητα του τελεστή Ε 4 στις επιμήκεις σφαιροειδείς συντεταγμένες 5.4 Γεωμετρικός εκφυλισμός.. 6 Κεφάλαιο 6 ο : Εφαρμογές της μεθόδου της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4 στην επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών σε σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων 6. Ροή Stokes για ρευστό κύτταρο ανάμεσα σε δύο ομοεστιακά επιμήκη σφαιροειδή με συνοριακές συνθήκες τύπου Kuwabara Ροή Stokes για ρευστό κύτταρο ανάμεσα σε δύο ομοεστιακά επιμήκη σφαιροειδή με συνοριακές συνθήκες τύπου Happel 5 Κεφάλαιο 7 ο : Συμπεράσματα Συμπεράσματα Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

5 Παραρτήματα Παράρτημα Α: Βασικές έννοιες Διανυσματικής Ανάλυσης Α. Εσωτερικό Εξωτερικό Μικτό γινόμενο διανυσμάτων 5 Α. Κλίση Απόκλιση Στροβιλισμός Τελεστές και.. 5 Α. Ιδιότητες κλίσης απόκλισης στροβιλισμού τελεστή Παράρτημα Β: Τανυστές Β. Τανυστής Β. Ολικός τανυστής των τάσεων Παράρτημα Γ: Ειδικές συναρτήσεις Γ. Συναρτήσεις Legedre Γ. Συναρτήσεις Gegebauer.. 65 Παράρτημα Δ: Τα θεωρήματα των Gauss και Stokes Δ. Το θεώρημα απόκλισης Gauss.. 7 Δ. Το θεώρημα του Stokes. 7 Παράρτημα E: Καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων Ε. Γενικές έννοιες για τα καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων Ε. Καμπυλόγραμμα εκ περιστροφής συστήματα συντεταγμένων Ε. Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων Ε.4 Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων.. 8 Ε.5 Επίμηκες σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων.. 84 Ε.6 Πεπλατυσμένο σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων. 86 Παράρτημα ΣΤ: Στοιχεία διαφορικών εξισώσεων ΣΤ. Μορφές συνήθων διαφορικών εξισώσεων 88 ΣΤ. Μέθοδος των σειρών στις ΣΔΕ ΣΤ. Μερικές διαφορικές εξισώσεις.. 9 Παράρτημα Ζ: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Ζ. Επίλυση εξίσωσης ου βαθμού Ζ. Πλήρης φασματική αποσύνθεση στις ΜΔΕ.. 95 Παράρτημα Η: Τα πρότυπα Happel και Kuwabara H. Το πρότυπο Kuwabara H. Το πρότυπο Happel.. 98 Σύμβολα και μονάδες μέτρησης Πίνακας σχημάτων. Βασικό αγγλοελληνικό λεξιλόγιο.. Βιβλιογραφία Πηγές... 5 Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 4

6 Ευχαριστίες Προς το Ε.Α.Π., που μου έδωσε την ευκαιρία παρακολούθησης αυτού του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών. Προς την Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Ε.Α.Π κ. Χατζηνικολάου Μαρία, η οποία είχε την επίβλεψη της παρούσας εργασίας και με τις εύστοχες υποδείξεις και παρατηρήσεις της, μου παρείχε ουσιαστική καθοδήγηση, σε όλη τη διάρκεια εκπόνησης της. Προς τον ΣΕΠ του ΕΑΠ, Επίκουρο Καθηγητή του Ε.Μ.Π. κ. Γκιντίδη Δρόσο. Προς την οικογένειά μου για την υποστήριξη και συμπαράσταση που έδειξε κατά τη διάρκεια των σπουδών μου και ιδιαιτέρως την σύζυγό μου Πρωτοψάλτη Δήμητρα, χάρη στην οποία έβρισκα τον απαραίτητο χρόνο για διάβασμα σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Μάιος 9 Πρωτοπαπάς Ελευθέριος Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 5

7 Περίληψη Η παρούσα εργασία αποτελεί μια κριτική παρουσίαση της επίλυσης της ροής Stokes (έρπουσα ροή) σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων με έμφαση στα σφαιρικά και σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Ξεκινώντας από τις βασικές έννοιες και εξισώσεις Ρευστομηχανικής, ορίζεται ο τελεστής Ε και αποδεικνύεται η βασική εξίσωση της ροής Stokes (Ε 4 ψ = ). Στη συνέχεια επιλύονται τέσσερα προβλήματα στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, παράγεται η αντίστοιχη συνάρτηση ροής, τα χαρακτηριστικά μεγέθη της κίνησης, ενώ τελικά δίνεται η γενική λύση με μορφή σειρών σε σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, όπου ο τελεστής Ε 4 χωρίζει μεταβλητές. Περνώντας στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων παρουσιάζονται δύο εφαρμογές της έρπουσας ροής σε κύτταρο, χρησιμοποιώντας τα μοντέλα των Happel και Kuwabara. Ο τελεστής της ροής Ε 4 δεν χωρίζει μεταβλητές στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων, ενώ ο Ε χωρίζει μεταβλητές. Στη συνέχεια, εισάγεται η μέθοδος της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4, με την οποία παράγεται η γενική λύση στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αυτό πραγματοποιείται με τη χρήση της γενικευμένης θεωρίας των ιδιοσυναρτήσεων, εκφράζοντας την λύση σαν άθροισμα δύο συναρτήσεων. Η μία εκφράζεται ως ανάπτυγμα σε ιδιοσυναρτήσεις του KerΕ και η δεύτερη ως ανάπτυγμα γενικευμένων ιδιοσυναρτήσεων του KerΕ. Οι γενικευμένες ιδιοσυναρτήσεις εκφράζονται ως άθροισμα συγκεκριμένων γινομένων συναρτήσεων Gegebauer διαφορετικής τάξης. Στη συνέχεια επαληθεύεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών, καταδεικνύοντας ότι στα σφαιροειδή συστήματα η λύση ανάγεται στην γνωστή λύση του σφαιρικού συστήματος, όταν η ημιεστιακή απόσταση του σφαιροειδούς τείνει στο μηδέν. Ακολούθως, εφαρμόζεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού στην επίλυση των προαναφερθέντων προβλημάτων συνοριακών τιμών στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Το χαρακτηριστικό που εμφανίζεται είναι ότι το σύστημα των σταθερών που προκύπτει μετά την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών έχει μόνο περιμετρική λύση, αφού οι εξισώσεις είναι κατά μία λιγότερη από τους αγνώστους. Επιβάλλεται έτσι μια επιπλέον γεωμετρική συνθήκη που αφορά τον εκφυλισμό του σφαιροειδούς σε σφαίρα όταν η ημιεστιακή του απόσταση τείνει στο μηδέν, που οδηγεί στον προσδιορισμό της παραμέτρου. Τέλος, παρατίθενται τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την παραπάνω μελέτη και συγκρίνονται οι λύσεις ανάμεσα στο σφαιρικό και στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων αναδεικνύοντας τις ιδιαιτερότητές τους. Λέξεις κλειδιά: ροή Stokes, έρπουσα ροή, ημιδιαχωρισιμότητα, ημιχωρισιμότητα, σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων, σφαιροειδές σύστημα συντεταγμένων, αξονοσυμμετρική ροή. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 6

8 Abstract I the preset work we preset a review of the methods used for solvig Stokes flow (creepig flow) i axisymmetric coordiate systems, maily i the spherical ad the spheroidal oes. We start cosiderig fudametal cocepts ad equatios of Fluid Mechaics. Makig physical assumptios we defie the operator Ε ad we prove the basic equatio i Stokes flow (Ε 4 ψ = ). Next we solve four boudary value problems i the spherical coordiate system. The relative stream fuctio ad the characteristics quatities of the flow are derive. Fially the geeral solutio i spherical coordiates is give as a series expasio where the operator Ε 4 separates variables. Cosiderig spheroidal coordiates, we solve the creepig flow i-cell problem by assumig either Happel or Kuwabara boudary coditios. The operator Ε 4 does ot separate variables i spheroidal coordiate systems, while operator Ε does. The, we itroduce the semiseparatio method for the operator Ε 4, through which we obtai the geeral solutio. We arrive to that by usig the theory of the geeralized eigefuctios, ad expressig the solutio as the sum of the two fuctios. The first oe is expressed as a series of eigefuctios of KerΕ ad the secod oe as a series of geeralized eigefuctios of KerΕ. The geeralized eigefuctios are give through fiite sums of specific products of Gegebauer fuctios. I the ext chapter, we verify the semiseparatio results, by showig that the solutio i spheroidal coordiate systems becomes the equivalet solutio i spherical coordiate system as the semifocal legth teds to zero. I the ed we apply the semiseparatio method to solve the above metioed problems i spheroidal geometry. Whe applyig the boudary coditios, the obtaied system of equatios has oe parametric solutio due to the lack of a equatio. We complete the system by assumig a extra asymptotic coditio. This represets the fact that the spheroidal becomes sphere as the semifocal distace teds to zero. Fially the coclusios of this work are preseted ad comparisos of the solutio i the spherical ad i the spheroidal coordiate systems are made. Key words: Stokes flow, creepig flow, semiseparatio, spherical coordiate system, spheroidal coordiate systems, axisymmetric flow. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 7

9 Εισαγωγή Στην παρούσα εργασία μελετήθηκε η Ροή Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων και ειδικά στο σφαιρικό και στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Δίνονται αναλυτικά οι γενικές λύσεις στα δύο αυτά συστήματα συντεταγμένων και συγκρίνονται τα αποτελέσματά τους. Η προσπάθεια που καταβλήθηκε είχε το σκεπτικό η εργασία να είναι αυτάρκης στην ανάγνωση. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικές και απαραίτητες έννοιες της Ρευστομηχανικής, ώστε να είναι σαφής η ορολογία που ακολουθεί. Στο δεύτερο κεφάλαιο παραθέτονται οι διάφορες εξισώσεις που διέπουν την κίνηση ενός ρευστού, ενώ στο τέλος του κεφαλαίου έγινε ο περιορισμός τους στις αντίστοιχες της έρπουσας ροής. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικές έννοιες των αξονοσυμμετρικών ροών. Ορίζονται η έννοια της συνάρτησης ροής, ο τελεστής Ε, η έκφραση του οποίου παράγεται σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται η μελέτη της έρπουσας ροής στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων. Αρχικά λύνονται τέσσερα προβλήματα και στη συνέχεια δίνεται η γενική λύση στις σφαιρικές συντεταγμένες. Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετώνται τα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αρχικά λύνονται δύο προβλήματα με συνοριακές συνθήκες τύπου Happel και Kuwabara στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Ακολούθως αναπτύσσεται η μέθοδος της ημιδιαχωρισιμότητας του τελεστή Ε 4, με σκοπό την εύρεση της γενικής λύσης στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων. Αυτό πραγματοποιείται με τη χρήση της γενικευμένης θεωρίας των ιδιοσυναρτήσεων, εκφράζοντας την λύση σαν άθροισμα δύο συναρτήσεων. Η μία εκφράζεται ως ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων του Ε και η δεύτερη ως ανάπτυγμα γενικευμένων ιδιοσυναρτήσεων του Ε. Οι γενικευμένες ιδιοσυναρτήσεις εκφράζονται σαν πεπερασμένος συνδυασμός γινομένων συναρτήσεων Gegebauer διαφορετικής τάξης. Τέλος, επαληθεύεται ότι η παραχθείσα λύση με τη μέθοδο του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών στα σφαιροειδή συστήματα συντεταγμένων ανάγεται στην γνωστή λύση του σφαιρικού συστήματος όταν η ημιεστιακή απόσταση του σφαιροειδούς τείνει στο μηδέν. Στο έκτο κεφάλαιο εφαρμόζεται η μέθοδος του ημιδιαχωρισμού των μεταβλητών σε συγκεκριμένα προβλήματα συνοριακών τιμών για τα σφαιροειδή συστήματα Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 8

10 συντεταγμένων. Το παράδοξο που ανακύπτει είναι ότι το σύστημα των σταθερών που προκύπτει δεν είναι επιλύσιμο, αφού οι εξισώσεις είναι κατά μία λιγότερη από τους αγνώστους. Επιβάλλεται έτσι μια επιπλέον γεωμετρική συνθήκη, αυτή του εκφυλισμού του σφαιροειδούς όταν η ημιεστιακή του απόσταση τείνει στο μηδέν προκειμένου να συμπληρωθεί το σύστημα των εξισώσεων. Στο έβδομο κεφάλαιο, καταγράφονται τα συμπεράσματα και γίνονται συγκρίσεις των αποτελεσμάτων στα δύο συστήματα συντεταγμένων. Ακολούθως στα παραρτήματα καταγράφονται βασικά εργαλεία των Μαθηματικών που χρησιμοποιούνται στην εργασία, όπως: βασικά στοιχεία της Διανυσματικής Ανάλυσης, Τανυστές, Ειδικές συναρτήσεις, θεωρήματα Gauss και Stokes, καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων, μερικές χρήσιμες διαφορικές εξισώσεις, βασικά στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και τα πρότυπα των Happel και Kuwabara. Τέλος, παραθέτονται τα σύμβολα που χρησιμοποιήθηκαν και οι μονάδες μέτρησής τους, ο πίνακας των σχημάτων, ένα μικρό αγγλοελληνικό λεξικό όρων, το ευρετήριο των όρων και κάποια βασική βιβλιογραφία και πηγές που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπόνηση της εργασίας. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 9

11 Κεφάλαιο ο Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Ρευστομηχανική (ή Μηχανική των Ρευστών) είναι ο κλάδος της Μηχανικής που μελετά την κινηματική και τη δυναμική των ρευστών. Η αλματώδης πρόοδος της Ρευστομηχανικής τα τελευταία χρόνια έχει οδηγήσει στην ανάπτυξη της Αεροδυναμικής, της Υδροδυναμικής, της Αεροθερμοδυναμικής, της Χημικής Μηχανικής, της Μαγνητοϋδροδυναμικής, της Ρεολογίας, της Εμβιορευστομηχανικής κ.τ.λ. Οι αντλίες, οι ανεμιστήρες, οι στρόβιλοι ατμού, αέρα ή νερού, οι κινητήρες των αεροσκαφών και των οχημάτων γενικότερα, η ροή των ποταμών και των υπόγειων ρευμάτων, η πτήση των αεροσκαφών, η πτήση των πυραύλων στην ατμόσφαιρα, η κίνηση των πλοίων και των υποβρυχίων είναι μερικές εφαρμογές της Ρευστομηχανικής.. Η έννοια του ρευστού Ρευστό λέγεται κάθε ουσία που έχει την ιδιότητα να παραμορφώνεται συνεχώς (να ρέει) όταν υφίσταται την επίδραση διατμητικών τάσεων (εφαπτομενικών δυνάμεων ανά μονάδα επιφάνειας του ρευστού) οσοδήποτε μικρή και αν είναι η τάση αυτή. Αυτό σημαίνει ότι τα υγρά και τα αέρια χαρακτηρίζονται ως ρευστά. Διατμητική τάση (τ) ενός ρευστού, ονομάζουμε το πηλίκο της δύναμης που ασκείται στο ρευστό προς την επιφάνεια που ασκείται η δύναμη, δηλαδή, F τ (..) A όπου F η δύναμη που ασκείται στο ρευστό πάνω στην επιφάνεια Α. Για να διακρίνουμε τη διαφορά της στερεής από τη ρευστή κατάσταση, θα συγκρίνουμε τη συμπεριφορά ενός στερεού και ενός ρευστού. Ένα στερεό μπορεί να Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

12 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής παραμορφώνεται κάτω από την επίδραση μιας διατμητικής τάσης, αλλά η παραμόρφωση δεν είναι μόνιμη, ενώ ένα ρευστό υφίσταται μόνιμη παραμόρφωση κάθε χρονική στιγμή. Για να γίνει κατανοητό αυτό θεωρούμε δύο παράλληλες πλάκες, όπου η κάτω δεν κινείται. Ονομάζουμε Α το κομμάτι της άνω πλάκας που έρχεται σε επαφή με το στερεό ή το υγρό. Εφαρμόζοντας δύναμη F στην επιφάνεια Α, έχουμε τη δημιουργία F διατμητικής τάσης τ. A Σε κάθε στερεό σώμα, όσο η διατμητική τάση παραμένει σταθερή (σχήμα..), η παραμόρφωση του στερεού παραμένει σταθερή (δηλαδή, δεν αλλάζει η γωνία παραμόρφωσης φ), ενώ όταν σταματήσει να επιδρά η διατμητική τάση, το στερεό επανέρχεται στην αρχική του μορφή. Σχήμα..: Συμπεριφορά στερεού υπό την επίδραση μιας συνεχούς διατμητικής τάσης Σε κάθε ρευστό όσο η διατμητική τάση παραμένει σταθερή (Σχήμα..), η παραμόρφωση του ρευστού αλλάζει (δηλαδή, αλλάζει η γωνία παραμόρφωσης φ), ενώ όταν σταματήσει να επιδρά η διατμητική τάση, το ρευστό δεν επανέρχεται στην αρχική του μορφή. Σχήμα..: Συμπεριφορά ρευστού υπό την επίδραση μιας συνεχούς διατμητικής τάσης Τα στερεά χωρίζονται σε κρυσταλλικά και άμορφα, ενώ τα ρευστά σε υγρά και αέρια. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν κάποιες ενδιάμεσες καταστάσεις, όπως η οδοντόκρεμα και τα χρώματα βαφής, τα οποία άλλοτε συμπεριφέρονται σαν στερεά (για διατμητική τάση μικρότερη μιας κρίσιμης τιμής) και άλλοτε σαν ρευστά (για διατμητική τάση μεγαλύτερη αυτής της κρίσιμης τιμής). Διεπιφανειακή τάση (γ) ονομάζουμε την εφαπτόμενη δύναμη που ασκείται στην επιφάνεια μεταξύ δύο ρευστών ή μεταξύ ρευστού και στερεού που προκαλείται από τη διαφορά έλξης ανάμεσα στα μόρια κάθε φάσης. Η διεπιφανειακή τάση εκφράζει δύναμη ανά εμβαδό ή ενέργεια ανά εμβαδό. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

13 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Ιδιότητες των ρευστών Η πυκνότητα (ρ) είναι βασικό μέγεθος στα ρευστά. Για να ορίσουμε την πυκνότητα ενός ρευστού, θεωρούμε όγκο δv με αντίστοιχη μάζα δm και για σταθερό χρόνο t πρέπει να υπολογίσουμε τον κρίσιμο όγκο δv *, όπου σταθεροποιείται η τιμή της πυκνότητας και ισχύει: m (x, y, z, t) lim * VV V Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: αν δv << δv * m έχουμε μεγάλες διακυμάνσεις του λόγου και V αν δv δv * δεν έχουμε σχεδόν καμία διακύμανση του λόγου (..) m. V Ιξώδες (ή συνεκτικότητα), που συμβολίζεται με μ, είναι η ιδιότητα των ρευστών που τους δίνει την δυνατότητα να αντιστέκονται σε κάθε προσπάθεια αλλαγής της μορφής τους. Το ιξώδες είναι το ρευστομηχανικό αντίστοιχο της γνωστής τριβής από την Μηχανική. Κινηματικό ιξώδες (ν) λέγεται ο λόγος του ιξώδους μ προς την πυκνότητα του ρευστού ρ, δηλαδή, μ ν= ρ (..) Υπόθεση του συνεχούς μέσου λέγεται η υπόθεση σύμφωνα με την οποία οι ιδιότητες του ρευστού μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο με τρόπο συνεχή. Το μοντέλο αυτό αποτελεί τη βάση της διερεύνησης των προβλημάτων της ροής των ρευστών. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

14 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής. Είδη ρευστών Νευτώνεια και μη Νευτώνεια Ρευστά Νευτώνεια λέγονται τα ρευστά στα οποία η διατμητική τάση (τ) ευθέως ανάλογη της ταχύτητας μεταβολής της γωνιακής παραμόρφωσης (φ), δηλαδή, ισχύει: ή όπου μ είναι το ιξώδες του ρευστού και du dy d τ (..) dt du τ (..) dy η βαθμίδα της ταχύτητας. Τα πιο σπουδαία και τα πιο κοινά ρευστά (νερό, αέρας) είναι Νευτώνεια. Μη Νευτώνεια λέγονται τα ρευστά στα οποία δεν ισχύει ο παραπάνω πειραματικός νόμος του Νεύτωνα (..). Ιδανικό (ανιξώδες) και πραγματικό (ιξώδες) ρευστό Ιδανικό (ή ανιξώδες) λέγεται κάθε ρευστό που έχει ιξώδες ίσο με το μηδέν (μ = ). Στα ιδανικά ρευστά δεν αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις και η μόνη επιφανειακή δύναμη που ενεργεί σε αυτά είναι η πίεση. Πραγματικό (ή ιξώδες) λέγεται κάθε ρευστό που δεν έχει μηδενικό ιξώδες (μ ). Ασυμπίεστο και συμπιεστό ρευστό Ασυμπίεστο λέγεται κάθε ρευστό, στο οποίο οι αλλαγές στον όγκο ή στην πυκνότητα, όταν μεταβάλλεται η πίεση ή η θερμοκρασία είναι αμελητέες. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ένα ρευστό που έχει σταθερή πυκνότητα είναι ασυμπίεστο. Η μαθηματική σχέση που ικανοποιεί ένα ασυμπίεστο ρευστό είναι: v (..4) Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

15 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Επιπλέον, όταν το ρευστό είναι ασυμπίεστο δεν υπάρχει αλλαγή της πυκνότητας ούτε στη μεταβολή του χρόνου, ούτε στη μεταβολή των χωρικών συντεταγμένων, δηλαδή,,,, (..5) t x y z Συμπιεστό λέγεται κάθε ρευστό το οποίο παρουσιάζει ελάχιστη αντίσταση σε κάθε μεταβολή του όγκου. Αυτό σημαίνει ότι το συμπιεστό ρευστό αντιδρά σε αλλαγές της πίεσης προσαρμόζοντας τον όγκο και την πυκνότητά του. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε ότι ένα ρευστό που δεν έχει αμελητέα πυκνότητα είναι συμπιεστό. Ομογενές και μη ομογενές ρευστό Ομογενές λέγεται κάθε ρευστό με ομοιόμορφες ιδιότητες μέσα έξω. Αυτό σημαίνει ότι η μεταβολή της πυκνότητας είναι συνεχής και ότι η κλίση της πυκνότητας του ρευστού είναι μηδέν, δηλαδή, (..6) Μη ομογενές λέγεται κάθε ρευστό το οποίο δεν έχει ομοιόμορφες ιδιότητες μέσα έξω, οπότε η μεταβολή της πυκνότητας δεν είναι συνεχής..4 Τύποι ροής Ροή λέγεται η κίνηση ενός ρευστού σε μια ορισμένη περιοχή του χώρου, που ονομάζεται πεδίο ροής. Ασυμπίεστη και Συμπιεστή Ροή Ασυμπίεστη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, κατά την οποία οι μεταβολές της πυκνότητας σε όλη την έκταση του πεδίου ροής είναι αμελητέες και ισχύει v (.4.) Συμπιεστή ονομάζεται η ροή στην οποία οι μεταβολές της πυκνότητας είναι σημαντικές. Στη μελέτη ασυμπίεστης ροής σε νευτώνεια ρευστά, χρειαζόμαστε μόνο δύο ιδιότητες, την πυκνότητα ρ και το ιξώδες του ρευστού μ. Αντιθέτως για τα μη νευτώνεια ρευστά χρειαζόμαστε πρόσθετες παραμέτρους για να χαρακτηρισθούν επαρκώς. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 4

16 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Για να χαρακτηρίσουμε μια ροή ως συμπιεστή ή ασυμπίεστη χρησιμοποιούμε τον αδιάστατο αριθμό Mach (Ν Ma ), για τον οποίο ισχύει: N Ma U (.4.) C όπου U είναι η χαρακτηριστική ταχύτητα της ροής και C η ταχύτητα του ήχου στο ρευστό. Με τη βοήθεια του αριθμού Mach, έχουμε ότι: Αν N Ma., η ροή χαρακτηρίζεται ως ασυμπίεστη, ενώ Αν N Ma >., η ροή χαρακτηρίζεται ως συμπιεστή. Γραμμική (στρωτή) και Τυρβώδης (στροβιλώδης) Ροή Γραμμική (ή στρωτή) ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, κατά την οποία η κίνηση κάθε στοιβάδας του ρευστού είναι ομαλή σε σχέση με τις διπλανές στοιβάδες. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη στρωτή ροή η μόνη κίνηση που παρατηρείται είναι κατά τη διεύθυνση της ροής, αφού κατά την κάθετη διεύθυνση δεν υπάρχει συνιστώσα ταχύτητας. Τυρβώδης (ή στροβιλώδης) ονομάζεται η ροή ενός ρευστού που χαρακτηρίζεται από την χαώδη κίνηση του ρευστού, οπότε και όλα τα σωματίδια κινούνται σε ακανόνιστες τροχιές. Σταθερή και μεταβαλλόμενη ροή Σταθερή ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, στο οποίο δεν υπάρχουν χρονικά μεταβαλλόμενα πεδία. Μεταβαλλόμενη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, στο οποίο τα πεδία ροής εξελίσσονται με τον χρόνο. Μονοδιάστατη, Δισδιάστατη και Τρισδιάστατη Ροή Μονοδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς μία χωρική μεταβλητή, δηλαδή, u = u(x, t). Δισδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς δύο χωρικές μεταβλητές, δηλαδή, u = u(x, y, t). Τρισδιάστατη ονομάζεται η ροή ενός ρευστού, όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται ως προς τρεις χωρικές μεταβλητές, δηλαδή, u = u(x, y, z, t). Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 5

17 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής u=u(x) u=u(x) u=u(x,y) u=u(x,y) Σχήμα.4.: Μονοδιάσταση ροή ρευστού, Σχήμα.4.4: Δισδιάσταση ροή ρευστού, ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες ανάμεσα σε δύο μη παράλληλες πλάκες Για παράδειγμα οι κινήσεις των αερίων μαζών στην ατμόσφαιρα εξετάζονται στον τρισδιάστατο χώρο, ροές σε κανάλια, ποταμούς κ.τ.λ. θεωρούνται δισδιάστατες, ενώ ροή σε κάθε είδους δίκτυο σωληνώσεων θεωρείται μονοδιάστατη (κατά τη διεύθυνση του άξονα των αγωγών)..5 Συνθήκη μη ολίσθησης Οριακό στρώμα Για τη μελέτη και ανάλυση προβλημάτων ιξώδους ροής, έχουμε μια βασική συνθήκη, τη συνθήκη μη ολίσθησης. Σύμφωνα με αυτή (και κάτω από την υπόθεση του συνεχούς μέσου), η ροή ενός ρευστού επηρεάζεται από την παρουσία στερεών τοιχωμάτων. Το αποτέλεσμα είναι το ρευστό να μην ολισθαίνει πάνω στη στερεή επιφάνεια, δηλαδή, η σχετική ταχύτητα των πραγματικών ρευστών ως προς το στερεό τοίχωμα είναι μηδέν ή ισοδύναμα ότι η εφαπτομενική ταχύτητα κοντά στα τοιχώματα είναι μηδέν. Οριακό στρώμα είναι η στοιχειώδης περιοχή του ρευστού που ακουμπά στην στερεή επιφάνεια και η ροή είναι πιο αργή από ότι στο υπόλοιπο ρευστό. Στο οριακό στρώμα η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται από την τιμή (πάνω στην επιφάνεια) μέχρι την τιμή u που είναι η ταχύτητα του ελεύθερου ρεύματος, όπου η ροή θεωρείται ιδανική. Αλλιώς, είναι το «στρώμα» του ρευστού με ακαθόριστο προφίλ ταχύτητας μέχρι να αποκατασταθεί το αναπτυγμένο. Επιπλέον, πρέπει να γνωρίζουμε ότι καθώς απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια των στερεών τοιχωμάτων, η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται, μέχρι να αποκτήσει μια συγκεκριμένη τιμή, οπότε και παραμένει σταθερή. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 6

18 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.6 Σύστημα και όγκος ελέγχου Σύστημα ελέγχου είναι το μέρος του ρευστού που περικλείεται από μια επιφάνεια, η οποία απαγορεύει την εισροή ή την εκροή μάζας (δηλαδή, η μάζα της δεν μεταβάλλεται), αλλά μεταβάλλει το σχήμα του με την πάροδο του χρόνου. Ο όγκος του συστήματος λέγεται υλικός όγκος και συμβολίζεται με V m (t), ενώ η επιφάνεια του συστήματος λέγεται υλική επιφάνεια και συμβολίζεται με A m (t). Επειδή, όμως το σχήμα του συστήματος αλλάζει, η γεωμετρία του προβλήματος συχνά γίνεται πολύ δύσκολη, οπότε το σύστημα ελέγχου δεν μας εξυπηρετεί. Για αυτό στα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε, θεωρούμε τον όγκο ελέγχου. Όγκος ελέγχου είναι το μέρος του ρευστού (με σχήμα που μας εξυπηρετεί) που περικλείεται από μια επιφάνεια και ανταλλάσσει μάζα και ενέργεια (με τη μορφή θερμότητας ή έργου) με το περιβάλλον. Για να γίνουν πιο κατανοητές οι έννοιες του συστήματος και του όγκου ελέγχου θεωρούμε μια γραμμική ροή μεταξύ παραλλήλων πλακών, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. t = t = To σύστημα και ο όγκος ελέγχου ταυτίζονται t = t > t t = t > t > t σύστημα ελέγχου όγκος ελέγχου Σχήμα.6.: Συμπεριφορά συστήματος και όγκου ελέγχου σε γραμμική ροή εντός παραλλήλων πλακών Προσέξτε ότι ο όγκος ελέγχου ανταλλάσσει ενέργεια (με τη μορφή θερμότητας ή έργου) με το περιβάλλον, ενώ για το σύστημα ελέγχου αυτό εξαρτάται. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 7

19 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Επιπλέον, πρέπει να είναι σαφές ότι το σύστημα ελέγχου είναι το φυσικό μέγεθος που μελετάμε, ενώ ο όγκος ελέγχου είναι το αντίστοιχο μαθηματικό μέγεθος. Θερμικά μονωμένο λέγεται το σύστημα το οποίο δεν ανταλλάσσει θερμότητα με το περιβάλλον, παρόλο που έχει διαφορετική θερμοκρασία από το περιβάλλον. Απομονωμένο λέγεται το θερμικά μονωμένο σύστημα που δεν ανταλλάσσει με το περιβάλλον ούτε έργο. Με βάση τους παραπάνω ορισμούς, ότι ο όγκος ελέγχου δεν είναι θερμικά μονωμένος..7 Θεμελιώδεις νόμοι της Ρευστομηχανικής Αρχή διατήρησης της μάζας Με την κίνηση του ρευστού η μάζα μεταφέρεται με την πάροδο το χρόνου από μια θέση του πεδίου ροής σε άλλη, παραμένει όμως αμετάβλητη. Στα ομογενή ρευστά η αρχή διατήρησης της μάζας οδηγεί στην εξίσωση συνέχειας (σχέση..7), η οποία συνδέει τις μεταβολές, ως προς το χώρο και το χρόνο, της πυκνότητας και της ταχύτητας του ρευστού. Η αρχή διατήρησης της μάζας εκφράζεται από τη σχέση dm (.7.) dt όπου Μ είναι η μάζα του συστήματος Σ. Αρχή διατήρησης της ορμής (αξίωμα κίνησης του Newto) Η παράγωγος της ορμής ενός συστήματος μάζας ως προς το χρόνο, ισούται με την συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό. Η αρχή αυτή, στα ρευστά οδηγεί στις εξισώσεις κίνησης (σχέσεις.4.5,.4.5), οι οποίες συνδέουν την επιτάχυνση με τις δυνάμεις. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 8

20 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Η αρχή διατήρησης της ορμής εκφράζεται από τη σχέση F. dp dt όπου F. είναι η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων και (.7.) P η ορμή του συστήματος Σ. Επιπλέον, όμως ισχύει ότι: F F F,. όπου F είναι η βαρυτική δύναμη και F είναι η συνισταμένη των επιφανειακών δυνάμεων. Συνεπώς η (.7.) δίνει: dp FF dt (.7.) Αρχή διατήρησης της ενέργειας (ο θερμοδυναμικό αξίωμα) Η συνολική ενέργεια (κινητική, δυναμική, έργο, θερμότητα, κ.τ.λ.) ενός ρευστού παραμένει σταθερή. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας εκφράζεται από τη σχέση: dq de dw (.7.4) όπου το σύστημα έχει ολική ενέργεια Ε, στο σύστημα μάζας προσφέρουμε θερμότητα dq, από την οποία ένα μέρος της καταναλώνεται για την παραγωγή ενός έργου dw, όταν το υπόλοιπο μέρος της θερμότητας καταναλώνεται για τη μεταβολή της ενέργειας de του συστήματος. Πολλές φορές όταν το παραγόμενο έργο θεωρείται αρνητικό, γράφουμε: dq de dw (.7.5) Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων 9

21 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.8 Αριθμός Reyolds O Reyolds το 88 για να αναγνωρίσει το χαρακτηριστικό μιας ροής που μεταβάλει μια ροή από τυρβώδη σε στρωτή, εκτέλεσε ένα πείραμα με το οποίο ξεκίνησε ιστορικά την μελέτη ροής ρευστών σε κυλινδρικούς αγωγούς. Σχήμα.8.: Η αρχική διάταξη που χρησιμοποίησε ο Reyolds Για το πείραμα αυτό χρησιμοποίησε μια συσκευή έκχυσης έγχρωμου υγρού μέσα σε νερό και παρατήρησε την εξέλιξη της ροής σε κυλινδρικό σωλήνα. Το πείραμα αυτό επανέλαβε πολλές φορές και με σωλήνες διαφορετικών διαμέτρων, ώστε να βρει, αλλά και να επαληθεύσει το συμπέρασμά του. Σχήμα.8.: Η στρωτή ροή στο πείραμα Reyolds Σχήμα.8.: Η τυρβώδης ροή στο πείραμα Reyolds Ο Reyolds διαπίστωσε ότι το είδος της ροής καθορίζεται από την τιμή που θα έχει ένας αριθμός. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε αριθμός Reyolds (Ν Re ), ο οποίος είναι αδιάστατος και εκφράζει το λόγο των δυνάμεων αδράνειας (ρ U) προς τις ιξώδες δυνάμεις D. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

22 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής Σε ένα κυλινδρικό αγωγό ισχύει ότι: όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, U η ταχύτητα του ρευστού, D η διάμετρος του σωλήνα και μ το ιξώδες του ρευστού. Γενικά ο αριθμός Reyolds ορίζεται ως: N N Re Re UD (.8.4) UL (.8.5) όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, U η χαρακτηριστική βαθμωτή ταχύτητα του ρευστού, L το χαρακτηριστικό βαθμωτό μήκος του ρευστού και μ το ιξώδες του ρευστού. Καλό είναι να γνωρίζουμε ότι αναλόγως της γεωμετρίας του προβλήματος η κρίσιμη τιμή του αριθμού Reyolds διαφέρει. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

23 Κεφάλαιο ο : Βασικές έννοιες Ρευστομηχανικής.9 Ροή Stokes (έρπουσα ροή) Ροή Stokes (ή έρπουσα ροή) λέγεται ο τύπος της ροής που οι δυνάμεις αδράνειας είναι πολύ μικρότερες συγκρινόμενες με το ιξώδες, το οποίο έχει ως αποτέλεσμα ο αριθμός Reyolds να είναι πολύ μικρότερος της μονάδας (N Re <<). Σχήμα.9.: Ροή Stokes γύρω από σφαίρα (N Re <<) Από τον ορισμό της ροής Stokes είναι φανερό ότι οι ιξώδεις δυνάμεις κυριαρχούν και ότι δεν υπάρχει διαχωρισμός της ροής. Επιπλέον, η έρπουσα ροή είναι πάντα γραμμική, αναστρέψιμη και έχει μικρή ορμή. Επειδή, οι ταχύτητες στη ροή Stokes είναι πολύ μικρές και το οριακό στρώμα επηρεάζεται από την ταχύτητα, στη ροή Stokes πρακτικά δεν υπάρχει οριακό στρώμα, αφού λόγω της αργής ροής δεν «κολλούν» μόρια του ρευστού στο στερεό. Σχήμα.9.: Ροή γύρω από κύλινδρο Η τιμή του αριθμού Reyolds που καθορίζει την έρπουσα ροή, εξαρτάται από τη γεωμετρία του προβλήματος. Μελέτη ροής Stokes σε αξονοσυμμετρικά συστήματα συντεταγμένων

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες. Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ρευστoμηχανική Εισαγωγικές έννοιες Διδάσκων: Άλκης Παϊπέτης Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Περιεχόμενα μαθήματος Βασικές έννοιες, συνεχές μέσο, είδη, μονάδες διαστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής

Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών. Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Εργαστήριο Μηχανικής Ρευστών Εργασία 1 η : Πτώση πίεσης σε αγωγό κυκλικής διατομής Ονοματεπώνυμο:Κυρκιμτζής Γιώργος Σ.Τ.Ε.Φ. Οχημάτων - Εξάμηνο Γ Ημερομηνία εκτέλεσης Πειράματος : 12/4/2000 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.

ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/2011 ΚΕΦ. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ 18/11/011 ΚΕΦ. 9 1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΟΡΙΣΜΟΙ Περιστροφική κινηματική: περιγράφει την περιστροφική κίνηση. Στερεό Σώμα: Ιδανικό μοντέλο σώματος που έχει τελείως ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση. Βλιώρα Ευαγγελία ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Πτώση πίεσης σε αγωγό σταθερής διατομής 2η εργαστηριακή άσκηση Βλιώρα Ευαγγελία ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2014 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι ο υπολογισμός της

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής

Άσκηση 9. Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής 1.Σκοπός Άσκηση 9 Προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής υγρών Σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδες) ενός υγρού. Βασικές θεωρητικές γνώσεις.1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή

5 Μετρητές παροχής. 5.1Εισαγωγή 5 Μετρητές παροχής 5.Εισαγωγή Τρεις βασικές συσκευές, με τις οποίες μπορεί να γίνει η μέτρηση της ογκομετρικής παροχής των ρευστών, είναι ο μετρητής Venturi (ή βεντουρίμετρο), ο μετρητής διαφράγματος (ή

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες Νίκος Ν. Αρπατζάνης Παράγωγος ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) x φ y y y = f(x) x φ y y y = f(x) φ x 1 x 1 + х x x 1 x 1 + х x x 1 x tanϕ = y x tanϕ = dy dx

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 11 ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΒΙΛΟΚΙΝΗΤΗΡΩΝ Υπεύθυνος: Επικ. Καθηγητής Δρ. Α. ΦΑΤΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Α. Παϊπέτης. 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ. Α. Παϊπέτης. 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Η κινηματική είναι η μελέτη της κίνησης χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα αίτια που την προκαλούν (δυνάμεις, ροπές) Η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Όταν κατά την κίνηση ενός σώματος η δύναμη είναι μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 10/6/2010 1

ρ. Μ. Βαλαβανίδης, Επικ. Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 10/6/2010 1 Εργαλεία επίλυσης προβληµάτων µονοδιάστατης ασυµπίεστης ροής σε αγωγούς (ανοικτούς ή κλειστούς) Ι. Ισοζύγιο Μάζας (εξίσωση συνέχειας) ΙΙ. Ισοζύγιο Ενέργειας (εξίσωση Bernoull) ΙΙΙ. Ισοζύγιο Γραµµικής Ορµής

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1.1 Θερμοδυναμική και Μετάδοση Θερμότητας 1 1.2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10

ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 18/11/2011 ΚΕΦ. 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1 ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Μέτρο εξωτερικού γινομένου 2 C A B C ABsin διανυσμάτων A και B Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου A B B A εν είναι αντιμεταθετικό.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1

Χειμερινό εξάμηνο 2007 1 Εξαναγκασμένη Συναγωγή Εσωτερική Ροή Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 Ροή σε Σωλήνες (ie and tube flw) Σε αυτή την διάλεξη θα ασχοληθούμε με τους συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Διάκριση των ρευστών

Εισαγωγή Διάκριση των ρευστών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ Εισαγωγή στην Υδραυλική Αντικείμενο Πυκνότητα και ειδικό βάρος σωμάτων Συστήματα μονάδων Ιξώδες ρευστού, επιφανειακή τάση, τριχοειδή φαινόμενα Υδροστατική πίεση Εισαγωγή Ρευστομηχανική = Μηχανικές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ. Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο

ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ. Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος Γ εξάμηνο ΜΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΛΕΚΤΟΡΑΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΟΛΙΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ -Ειδικότητα Υδραυλική Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1 ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Προβλήματα μεταφοράς θερμότητας παρουσιάζονται σε κάθε βήμα του μηχανικού της χημικής βιομηχανίας. Ο υπολογισμός των θερμικών απωλειών, η εξοικονόμηση ενέργειας και ο σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 014 ΘΕΜΑ Α.1 Α1. Να χαρακτηρίσετε με (Σ) τις σωστές και με (Λ) τις λανθασμένες προτάσεις Στην ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση: Α. Η ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Η Παράξενη Συμπεριφορά κάποιων Μη Νευτώνειων Ρευστών

Η Παράξενη Συμπεριφορά κάποιων Μη Νευτώνειων Ρευστών Η Παράξενη Συμπεριφορά κάποιων Μη Νευτώνειων Ρευστών Θεοχαροπούλου Ηλιάνα 1, Μπακιρτζή Δέσποινα 2, Οικονόμου Ευαγγελία, Σαμαρά Κατερίνα 3, Τζάμου Βασιλική 4 1 ο Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Θεσ/νίκης «Μανόλης

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης

Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας. Γιώργος Νικολιδάκης Τροχιές σωμάτων σε πεδίο Βαρύτητας Γιώργος Νικολιδάκης 9/18/2013 1 Κωνικές Τομές Είναι καμπύλες που σχηματίζονται καθώς επίπεδα τέμνουν με διάφορες γωνίες επιφάνειες κώνων. Παραβολή Έλλειψη -κύκλος Υπερβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Το έργο μίας από τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα. α. είναι μηδέν όταν το σώμα είναι ακίνητο β. έχει πρόσημο το οποίο εξαρτάται από τη γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής

Β Γυμνασίου 22/6/2015. Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Οι δείκτες Επιτυχίας και δείκτες Επάρκειας Β Γυμνασίου για το μάθημα της Φυσικής Β Γυμνασίου /6/05 Δείκτες Επιτυχίας (Γνώσεις και υπό έμφαση ικανότητες) Παρεμφερείς Ικανότητες (προϋπάρχουσες

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο. Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Νόμος Gauss, κίνηση σε ηλεκτρικό πεδίο Ι. Γκιάλας Χίος, 28 Φεβρουαρίου 214 Ασκηση συνολικό φορτίο λεκτρικό φορτίο Q είναι κατανεμημένο σε σφαιρικό όγκο ακτίνας R με πυκνότητα ορτίου ανάλογη του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ

ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ Α. Παϊπέτης 6 ο Εξάμηνο Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Εισαγωγή Ρεολογική συμπεριφορά ρευστών Υλική σχέση Νευτωνικά και μη νευτωνικά ρευστά Τανυστής ιξώδους Τάσης και ρυθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ - ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Δυναμική ενέργεια δυο φορτίων Δυναμική ενέργεια τριών ή περισσοτέρων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ( ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ( ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 013-014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ( ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Σε όλες τις κινήσεις που μελετούσαμε μέχρι τώρα, προκειμένου να απλοποιηθεί η μελέτη τους, θεωρούσαμε τα σώματα ως υλικά σημεία. Το υλικό σημείο ορίζεται ως σώμα που έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών η Μεθοδολογία: «Ανυψωτήρας» Το υγρό του δοχείου κλείνεται με δύο έμβολα που βρίσκονται στην ίδια οριζόντιο. Στο έμβολο με επιφάνεια Α ασκείται δύναμη F. ον Η F ασκεί

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα

4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα 4 Τριβές σε Σωλήνες και Εξαρτήματα 4.1 Εισαγωγή 4.1.1 ΜΟΡΙΑΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Ένα ρευστό δεν είναι παρά ένα σύνολο μορίων, τα οποία αφενός κινούνται (έχουν κινητική ενέργεια) και αφετέρου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του;

Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Άσκηση Σωματίδιο μάζας m κινείται στο οριζόντιο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Τι συμπεραίνετε για τη στροφορμή του; Απάντηση Έστω R n η ακτίνα του κύκλου. Αφού η κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε μια διάσταση

Κίνηση σε μια διάσταση Κίνηση σε μια διάσταση Θεωρούμε κίνηση κατά μήκος μιας ευθύγραμμης διαδρομής. Η απόσταση x του κινούμενου σώματος από ένα σημείο του άξονα της κίνησης που παραμένει ακίνητο χρησιμοποιείται ως συντεταγμένη.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Έργο Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1

Έργο Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1 Έργο Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.15 2 Έργο, Κινητική Ενέργεια και Δυναμική Ενέργεια q Βέλος εκτοξεύεται από ένα τόξο: Ø Η δύναμη μεταβάλλεται καθώς το τόξο επανέρχεται στην αρχική του θέση

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θετ.- τεχ. κατεύθυνσης

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θετ.- τεχ. κατεύθυνσης 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θετ.- τεχ. κατεύθυνσης ΘΕΜΑ 1 ο : Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να βρείτε τη μια σωστή απάντηση: 1. Μια ποσότητα ιδανικού αέριου εκτονώνεται ισόθερμα μέχρι τετραπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ

ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Environmental Fluid Mechanics Laboratory University of Cyprus Department Of Civil & Environmental Engineering ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ HM 134 ΣΥΣΚΕΥΗ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΙΞΩΔΟΥΣ ΥΓΡΩΝ Εγχειρίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 15 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Μαΐου 15 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση Δυναμική Μηχανών I 3 2 Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΑ ΤΟ ΝΕΡΟ

ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΡΕΥΣΤΑ ΤΟ ΝΕΡΟ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ είναι ο επιστημονικός κλάδος γνώσεων της μηχανικής των ρευστών, που εξετάζει τα ρευστά που βρίσκονται σε στατική ισορροπία η μεταφέρονται μετατίθενται κινούμενα ως συμπαγή σώματα, χωρίς λόγου

Διαβάστε περισσότερα

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α.

Α) Η επιφάνεια Gauss έχει ακτίνα r μεγαλύτερη ή ίση της ακτίνας του κελύφους, r α. 1. Ένα σφαιρικό κέλυφος που θεωρούμε ότι έχει αμελητέο πάχος έχει ακτίνα α και φέρει φορτίο Q, ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνειά του. Βρείτε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εξωτερικό και στο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα