ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα Ασκηση Το διάγραµµα πόλων (X) και µηδενικών (O) µιας συνάρτησης µεταφοράς ϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Να γραφεί η αναλυτική έκφραση της συνάρτησης αν είναι H( 5) 3. Από το διάγραµµα ϕαίνεται ότι η συνάρτηση µεταφοράς έχει ένα µηδενικό z 8 και τρεις πόλους p 3, p 2,3 ± j7. Εποµένως, η γενική µορφή της συνάρτησης µεταφοράς είναι : Για s 5 έχουµε s + 8 K (s + 3)[(s + ) ] K s + 8 (s + 3)(s 2 + 2s + 5) K ( 5 + 3)[( 5) 2 + 2( 5) + 5] K 3 ( 2)(25 + 4) από όπου ϐρίσκουµε την τιµή της σταθεράς Κ3. Η αναλυτική έκφραση της συνάρτησης µεταφοράς εποµένως είναι (s + 3)(s 2 + 2s + 5) Ασκηση 2 Να υπολογιστεί η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση ÿ(t) + ẏ(t) + 5y(t) 2ẋ(t) + x(t)

2 Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα 2 και να ϐρεθεί η τιµή της για s. Ο µετασχηµατισµός Laplace των δυο µελών της διαφορικής εξίσωσης δίνει (s 2 + s + 5)Y (s) (2s + )X(s) από όπου η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι Για s είναι H() 5. Y (s) X(s) 2s + s 2 + s + 5 Ασκηση 3 Το παρακάτω µπλοκ διάγραµµα περιγράφει τη διαδικασία ακουστικής ανάδρασης. Υπολογίστε τη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος αν είναι β. Η έξοδος του συστήµατος ισούται µε y(t) x(t) + βy(t t ) Εστω x(t) δ(t) µε µετασχ. Laplace (s), s Παίρνοντας το µετασχηµατισµό Laplace και των δυο µελών έχουµε + βe st H(s) βe st Ασκηση 4 Για το σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση να ϐρεθεί η έξοδος αν x(t) u(t), y(), y (). dy 2 dt 2 + 3dy + 2y(t) x(t) dt

3 Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα 3 Παίρνοντας το µονόπλευρο µετασχηµατισµό Laplace και των δυο µελών της διαφορικής εξίσωσης έχουµε [s 2 Y (s) sy() y ()] + 3[sY (s) y()] + 2Y (s) X(s) Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες, η έξοδος του συστήµατος προκύπτει ως Y (s) Y zs (s) + Y zi (s) H(s)X(s) + Y zi (s) s X(s) + s + 3 s όπου, επειδή x(t) u(t), είναι X(s) s, R{s} >. Από την παραπάνω έκφραση συµπεραίνουµε ότι η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος είναι η s Με την αντικατάσταση X(s) s ο µετασχηµατισµός Laplace της εξόδου είναι ο Y (s) s2 + 3s + s(s + )() 2 s + s + 2 Η αντιστροφή του µετασχηµατισµού - δεδοµένου ότι το σύστηµα είναι αιτιατό - δίνει y(t) (.5 + e t.5e 2t )u(t) Ασκηση 5 Για το σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση dy 2 dt 2 + 7dy + 2y(t) 2x(t) dt να ϐρεθεί η συνολική λύση της διαφορικής, η έξοδος µηδενικής εισόδου και η έξοδος µηδενικής κατάστασης, η συνάρτηση µεταφοράς, και η κρουστική απόκριση, αν x(t) 2e t u(t), y() 5, y (). Παίρνοντας το µονόπλευρο µετασχηµατισµό Laplace και των δυο µελών της διαφορικής εξίσωσης έχουµε Ο µετασχηµατισµός Laplace της εξόδου προκύπτει ως [s 2 Y (s) 5s] + 7[sY (s) 5] + 2Y (s) 2X(s) (s 2 + 7)Y (s) 2X(s) + 5s + 35 Y (s) Y zs (s) + Y zi (s) συνολική λύση: Αντικαθιστώντας X(s) 2 s+, είναι Y (s) H(s)X(s) + Y zi (s) 2 5s + 35 s 2 X(s) s s 2 + 4s + 59 (s + )(s + 3)() 4 s s από όπου έχουµε y(t) (4 e t + 8e 3t 7e 4t )u(t)

4 Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα 4 έξοδος µηδενικής εισόδου: Η έξοδος µηδενικής εισόδου υπολογίζεται ως y zi (t) L { 5s + 35 } s 2 L { s } (2e 3t 5e 4t )u(t) έξοδος µηδενικής κατάστασης: Η έξοδος µηδενικής κατάστασης υπολογίζεται ως y zs (t) L { } H(s)X(s) L { 24 } (s + )(s 2 + 7) L { 4 s + 2 s } (4e t 2e 3t + 8e 4t )u(t) συνάρτηση µεταφοράς και κρουστική απόκριση: Είναι 2 s 2 + 7) 2 (s + 3)() 2 s Εποµένως, η κρουστική απόκριση του συστήµατος είναι η h(t) (2e 3t 2e 4t )u(t) Ασκηση 6 Ενα ΓΧΑ σύστηµα έχει κρουστική απόκριση h(t) δ(t) 2e t u(t). Πόσες και ποιες διαφορετικές είσοδοι σε αυτό το σύστηµα µπορούν να παράξουν την έξοδο y(t) e 2t u(t); Θα εργαστούµε στο πεδίο της µιγαδικής συχνότητας s. Για το λόγο αυτό ϑα υπολογίσουµε τη συνάρτηση µεταφοράς H(s) του συστήµατος, από το µετασχηµατισµό Laplace της κρουστικής απόκρισης h(t). Είναι : 2 s + s s + µε περιοχή σύγκλισης R{s} >. Ο µετασχηµατισµός Laplace Y (s) της εξόδου y(t) e 2t u(t) είναι Y (s), R{s} > 2 Για να υπολογίσουµε το σήµα εισόδου x(t), ϐρίσκουµε το X(s) από τη σχέση s+2 s s+ X(s) Y (s) s + ()(s ) s Η συνάρτηση X(s) έχει δυο πόλους (s 2 και s ), από τη ϑέση των οποίων προκύπτουν οι πιθανές περιοχές σύγκλισης {R{s} < 2}, { 2 < R{s} < } και {R{s} > }. (αʹ) Για R{s} < 2, αµφότεροι οι όροι είναι αριστερής πλευράς x (t) 3 e 2t u( t) 2 3 et u( t)

5 Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα 5 (ϐʹ) Για 2 < R{s} <, ο πρώτος όρος είναι δεξιάς πλευράς και ο δεύτερος ειναι αριστερής πλευράς x 2 (t) 3 e 2t u(t) 2 3 et u( t) (γʹ) Για R{s} >, αµφότεροι οι όροι είναι δεξιάς πλευράς x 3 (t) 3 e 2t u(t) et u(t) Για να καθορίσουµε ποια από τα παραπάνω σήµατα ϑα µπορούσε να είχε παράγει τη δοθείσα έξοδο, πρέπει να λάβουµε υπόψη µας τις περιοχές σύγκλισης. Το σύστηµα H(s) συγκλίνει για R{s} >. Αφού η συνάρτηση X (s) συγκλίνει µόνο για R{s} < 2, δεν υπάρχει κοινή επικαλυπτόµενη περιοχή σύγκλισης, άρα αποκλείεται το σήµα από τις πιθανές λύσεις. Η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης X 2 (s) είναι 2 < R{s} <, η οποία τέµνεται µε την περιοχή σύγκλισης της H(s). Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ο µετασχ. Laplace της εξόδου αλλά πρέπει να είναι τέτοιος ώστε να δίνει αιτιατό y(t), όπως στην εκφώνηση. Είναι Y (s) H(s)X(s) s s + s + ()(s ) µε R Y { 2 < R{s} < } {R{s} > } { < R{s} < }. Οµως το Y (s) έχει µόνο έναν πόλο, στη ϑέση s 2, και το πεδίο σύγκλισης της εξόδου, {R{s} > 2}, είναι πράγµατι υπερσύνολο του { < R{s} < }, οπότε πράγµατι η είσοδος x 2 (t) µπορεί να είναι έγκυρη είσοδος. Η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης X 3 (s) είναι R{s} >, η οποία επίσης τέµνεται µε την περιοχή σύγκλισης της H(s), µε παρόµοιο σκεπτικό µε το προηγούµενο ερώτηµα. Για το λόγο αυτό, και το σήµα x 3 (t) µπορεί να είναι είσοδος. Εποµένως αποδεκτές είσοδοι είναι τα σήµατα x 2 (t) και x 3 (t). Ασκηση 7 ίνεται ένα ΓΧΑ σύστηµα µε κρουστική απόκριση h(t) e 2t u(t), το οποίο δέχεται ως είσοδο το σήµα x(t) e t u(t). Να προσδιοριστούν (αʹ) Οι µετασχηµατισµοί Laplace H(s) και X(s). (ϐʹ) Ο µετασχηµατισµός Laplace Y (s) εξόδου y(t). (γʹ) Η έξοδος y(t) µε χρήση του αντίστροφου µετασχηµατισµού Laplace του Y (s). (δʹ) Η έξοδος y(t) χρήση της συνέλιξης y(t) h(t) x(t) επαληθεύοντας έτσι το αποτέλεσµα του προηγούµενου ερωτήµατος. (αʹ) Από τον ορισµό του µετασχηµατισµού Laplace, έχουµε και X(s) h(t)e st dt x(t)e st dt µε περιοχές σύγκλισης {R{s} > 2 και {R{s} >. [ e e (s+2)t (s+2)t u(t)dt () [ e e (s+)t (s+)t u(t)dt (s + ) ] ] s +

6 Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα 6 (ϐʹ) Η έξοδος του συστήµατος δίνεται από τη συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης µε το εισόδου, δηλ. y(t) h(t) x(t). Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα της συνέλιξης του µετασχηµατισµού Laplace έχουµε Y (s) H(s)X(s) (s + )() µε περιοχή σύγκλισης {R{s} >, που είναι η τοµή των περιοχών σύγκλισης των µετασχηµατισµών H(s) και X(s). (γʹ) Εφαρµόζοντας τη µέθοδο της ανάλυσης της συνάρτησης Y (s) σε άθροισµα µερικών κλασµάτων, έχουµε Y (s) (s + )() s + και ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace είναι το άθροισµα των αντίστροφων µετασχηµατισµών κάθε επιµέρους κλάσµατος, δηλ. y(t) (e t e 2t )u(t) εφόσον τα επιµέρους πεδία σύγκλισης είναι δεξιόπλευρα. (δʹ) Χρησιµοποιώντας τη σχέση της συνέλιξης έχουµε y(t) h(t) x(t) t h(t τ)x(τ)dτ e 2(t τ) u(t τ)e t u(τ)dτ t e 2t e 2τ e τ dτ e 2t e τ dτ e 2t [e τ ] t e 2t (e t ) (e t e 2t )u(t) καταλήγουµε έτσι στο ίδιο αποτέλεσµα του ερωτήµατος (γ ).