ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΟΡΙΣΜΟΣ. Η χρυσή τομή φ ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών όταν ισχύει

Transcript

1 ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Ίσως όλοι έχουμε την εντύπωση πως αυτό που λέγεται λόγος χρυσής τομής, είναι μία έμπνευση των αρχαίων Ελλήνων την οποία εκμεταλλεύτηκαν για να κατασκευάσουν κτίσματα ή να δημιουργήσουν μορφές με τέτοιες αναλογίες που προκαλούν έντονα την αίσθηση της αρμονίας και του ωραίου. Ένα ιδιαίτερα γνωστό κτίσμα της αρχαιότητας φημισμένο για την αρμονία των αναλογιών του είναι ο Παρθενώνας. Αν και αρκετά ασαφής για την ουσία της χρυσής τομής, η εντύπωση αυτή είναι σχεδόν σωστή. Χρειάζεται να αφιερώσουμε λίγο χρόνο ώστε να καταλάβουμε τι είναι ακριβώς αυτό που πρώτοι οι αρχαίοι Έλληνες ονόμασαν χρυσή τομή. Ίσως τότε διαπιστώσουμε πως και οι Αιγύπτιοι χρησιμοποίησαν αυτή την αναλογία για την κατασκευή της πυραμίδας της Γκίζας, αλλά κυρίως πως είναι μία αναλογία που πεισματικά τηρείται στη φύση και επομένως δεν αποτελεί κατασκεύασμα της ανθρώπινης φαντασίας. Αν η ανθρωπότητα δικαίως συνδέει το όνομα χρυσή τομή με τον Παρθενώνα και τους αρχαίους Έλληνες είναι γιατί αυτοί πρώτοι τη μελέτησαν και εμπλούτισαν τη γεωμετρία με άφθονες εφαρμογές της. Σ αυτό το κεφάλαιο θα επιχειρήσουμε να δούμε τον γεωμετρικό ορισμό της χρυσής τομής, πως γίνεται η κατασκευή της, ποια γεωμετρικά αντικείμενα συνδέονται με αυτήν, αλλά κυρίως πού συναντάται στη φύση και την αρχιτεκτονική. ΟΡΙΣΜΟΣ α Η χρυσή τομή φ ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών όταν ισχύει β α α + β = που ισούται περίπου με 1,618. Θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες και β α για το λόγο αυτό έχει χρησιμοποιηθεί στην αρχιτεκτονική και τη ζωγραφική, τόσο κατά

2 την αρχαία Ελλάδα όσο και κατά την Αναγέννηση. Τη χρυσή τομή εισήγαγε και υπολόγισε ο Πυθαγόρας, ( π.χ.) που γεννήθηκε στη Σάμο, και ίδρυσε σημαντικότατη φιλοσοφική σχολή στον Κρότωνα της Μεγάλης Ελλάδας (Κάτω Ιταλία). Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το γράμμα φ προς τιμήν του Φειδία, του γνωστότερου ίσως γλύπτη της ελληνικής αρχαιότητας, και του σημαντικότερου της κλασικής περιόδου. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ Η χρυσή τομή δίνει το σημείο που πρέπει να διαιρεθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα, ώστε ο λόγος του ως προς το μεγαλύτερο τμήμα να ισούται με το λόγο του μεγαλύτερου τμήματος ως προς το μικρότερο. α + b α α = b = φ Από το (2)=(3) έχουμεα = bφ και αντικαθιστώντας στο (1)=(3) προκύπτει φ 2 φ 1= Η εξίσωση αυτή έχει μόνο μία θετική ρίζα, τηνφ = = 1, ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 1 Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτειφ = 1+ σύμφωνα με την οποία φ μπορούμε να εκφράσουμε το ως άπειρο διαδοχικό κλάσμαφ = 1+ = 1+ = L = 1+ φ φ 1 1+ L Το φ αποτελεί το όριο του πηλίκου δύο διαδοχικών αριθμών Φιμπονάτσι. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΔΙΑΒΗΤΗ 1. Κατασκευάζουμε τετράγωνο πλευράς 1 (κόκκινο).

3 2. Φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη μια βάση και χωρίζουμε το τετράγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια (πλευρών 1 και 1/2) και φέρνουμε μία διαγώνιο (γκρι). 3. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το μέσο της μίας πλευράς του τετραγώνου και ακτίνα τη διαγώνιο του ορθογωνίου. 4. Προεκτείνουμε την πλευρά του τετραγώνου πάνω στην οποία βρίσκεται το κέντρο του κύκλου ως τον κύκλο (μπλε). 1) Το ευθύγραμμο τμήμα που αποτελείται από την πλευρά του τετραγώνου μαζί με την προέκταση έχει μήκος φ. ΙΣΤΟΡΙΑ Το σήμα των Πυθαγορείων μαζί με την επισήμανση του χρυσού λόγου Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. Στο μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού. Με βάση το χρυσό λόγο δημιουργήθηκαν πολλά έργα της κλασσικής εποχής, όπως ο Παρθενώνας, και της αναγεννησιακής εποχής, όπως είναι ζωγραφικά έργα του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Ακόμη και σήμερα χρησιμοποιείται για την απόδοση της αρμονίας σε έργα, ή στην πλαστική χειρουργική για την ωραιοποίηση του ανθρώπινου προσώπου.ο χρυσός λόγος εντοπίζεται και στη φύση. Για παράδειγμα στον ναυτίλο, ο λόγος των ακτίνων του κάθε θαλάμου με τον προηγούμενο ισούται με το χρυσό λόγο. Στο ανθρώπινο σώμα ο χρυσός λόγος εντοπίζεται σε πολλές ανατομικές αναλογίες, τις οποίες παρατήρησε και κατέγραψε ο Λεονάρντο ντα Βίντσι στον βιτρούβιο άντρα. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ Είναι όργανο ρυθμισμένο έτσι ώστε να αντιστοιχεί στην αρχή "χρυσής αναλογίας" (1:1.618) και είναι χρήσιμο για να έχουμε αισθητικά αποτελέσματα.

4 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Παρθενώνας Η χρυσή τομή είναι η ειδική αναλογία που ξεκίνησε κατά τη διάρκεια του 5ου αιώνα, γνωστή και ως Χρυσός αιώνας της Ελλάδος. Κατά τη διάρκεια αυτού του αιώνα οι Έλληνες έγιναν ευρέως γνωστοί για τα πανέμορφες δημιουργίας στην τέχνη και την αρχιτεκτονική. Παρθενώνας «Χρυσή τομή» ονομάζουμε και τη σχέση 4:9 που κυριαρχεί στον Παρθενώνα. Για παράδειγμα το πλάτος του στυλοβάτη προς το μήκος του, η διάμετρος των κιόνων προς το μεταξόνιο (1,905μ:4,296μ), το ύψος του ναού προς το πλάτος του (13,72μ:30,88=4:9), το πλάτος του κυρίως ναού προς το μήκος του. ενώ το πλάτος του ναού προς το ύψος έχουν μια σχέση 16:81, δηλ. 42:92.H χρυσή τομή έχει χρησιμοποιηθεί στο σχέδιο του Παρθενώνα, που βρίσκεται στην Αθήνα. Η πρόσοψη του Παρθενώνα είχε φτιαχτεί χρησιμοποιώντας δύο μεγάλα ορθογώνια πλευράς ρίζας πέντε και τέσσερα μικρότερο. Η αναλογία του μήκους του κτηρίου προς το ύψος της πρόσοψης είναι φ, η χρυσή τομή. Υπάρχει ένας άρτιος αριθμός στυλοβατών κατά μήκος του μετώπου, οι οποίοι είναι οκτώ, και ένας περιττός αριθμός κατά μήκος των πλευρών, που είναι δεκαεπτά. Ο Παρθενώνας για αυτούς τους λόγους, έχει γίνει για να μαθευτεί ως "τέλειο κτήριο" Η ΠΥΡΑΜΙΔΑ ΤΟΥ ΧΕΟΠΟΣ Η αναλογία της κοινής εξωτερικής περιοχής της πυραμίδας στον τομέα της βάσης του είναι ίσος με τη "χρυσή αναλογία".

5 Αυτό είναι το κύριο γεωμετρικό μυστικό της πυραμίδας Χέοπος: Χρυσό ορθό τρίγωνο Οι μεσαιωνικοί οικοδόμοι των εκκλησιών και των καθεδρικών ναών πλησίασαν πολύ με το σχέδιο των κτηρίων τους αυτά των τους Έλληνες. Μια καλή γεωμετρική δομή ήταν ο στόχος τους. Μέσα και έξω, τα κτήρια τους ήταν περίπλοκες κατασκευές βασισμένες στη χρυσή τομή.

6 Εικόνα 1 Ο Θόλος του Άγιου Παύλου Εικόνα 2 Το παράθυρο της Αναγέννησης Εικονα 3 Το κάστρο του Windsor Λονδίνου

7 ΤΕΧΝΗ Ο συμβολισμός του λόγου χρυσής τομής με το γράμμα έγινε προς τιμήν του αρχαίου Έλληνα γλύπτη Φειδία, ο οποίος έκανε χρήση του λόγου αυτού στα γλυπτά του. Οι χρυσές αναλογίες συναντάμε ακόμα και στις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος. Κατά τον Μεσαίωνα, ενώ το ενδιαφέρον για τη χρυσή τομή ήταν αμείωτο στην αρχιτεκτονική, στη ζωγραφική και τις άλλες τέχνες έμοιαζε πως χάθηκε. Τον 16 ο αιώνα ο Luca Pacioli ( ) γεωμέτρης και φίλος ενός μεγάλου αναγεννησιακού ζωγράφου, «ξαναανακάλυψε» την χρυσή τομή. Το βιβλίο του, όπου μελετούσε τον αριθμό, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη Leonardo da Vinci. Ο Καρυάτιδες: Ερεχθείο Ακρόπολη Leonardo για αρκετό καιρό έδειξε ένα διακαές ενδιαφέρον για τα μαθηματικά στην τέχνη και την φύση και επιδόθηκε σε συστηματικές μελέτες. Μελέτησε τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος και ειδικότερα τις αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο. Mona Lisa Στην τέχνη χρησιμοποιούνται γεωμετρικές πρόοδοι με ακέραιους αριθμούς, άρρητους, όπως 1, 2, 2, 2. 2, 4,... υπάρχει η συσχετιζόμενη πρόοδος με βάση τον αριθμό Θ ως λόγο. Μια ειδική περίπτωση γεωμετρικής προόδου είναι και η «θεία αναλογία» ή «χρυσή τομή»..

8 Τέλος, οι αρχαίοι Έλληνες είχαν κάποια σχετική δυσκολία στο να χειριστούν τους άρρητους αριθμούς. Γι αυτό και το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί σταθμό στη μαθηματική σκέψη. Ονόμαζαν λοιπόν τους ρητούς αριθμούς (τα κλάσματα φυσικών) σύμμετρα μεγέθη, ενώ τους άρρητους όταν πλέον τους αποδέχτηκαν τους ονόμασαν ασύμμετρα μεγέθη. Μία πρώτη διαπίστωση που μπορεί να κάνει και ένας μαθητής Γυμνασίου, είναι ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε τους άρρητους με ρητούς αρκετά ικανοποιητικά. Άλλωστε και οι υπολογιστικές μηχανές χρησιμοποιούν μόνο ρητούς, αφού η οθόνη τους περιέχει πεπερασμένα δεκαδικά ψηφία. Υπάρχει όμως ένα θεώρημα της θεωρίας αριθμών, το θεώρημα του Hurwitz, που εξηγεί πόσο «καλά» μπορούν οι ρητοί να προσεγγίσουν έναν άρρητο. Και εκεί υπάρχει ένας περιορισμός: Η συγκεκριμένη προσέγγιση δεν μπορεί να γίνει καλύτερη για τον αριθμό φ. Με άλλα λόγια, ο αριθμός προσεγγίζεται κατά τον χειρότερο τρόπο από τους ρητούς, είναι δηλαδή «ο πιο άρρητος από τους άρρητους»! Είναι πραγματικά τόσο έντονη η παρουσία της χρυσής τομής στη φύση που πρώτος ο Leonardo da Vinci της απέδωσε τον όρο θεία αναλογία. Θα επαναλάβουμε και εδώ το ερώτημα που θέσαμε και στο κεφάλαιο για τους αριθμούς Fibonacci: Γιατί η φύση δείχνει τέτοια προτίμηση σ αυτή την αναλογία; Ποιοι είναι αυτοί οι φυσικοί νόμοι που επιβάλλουν να καθορίζεται ο ρυθμός ανάπτυξης κάθε οργανισμού από τον λόγο χρυσής τομής; Γιατί αυτός ο «τόσο άρρητος» αριθμός, εμφανίζεται ξανά και ξανά στην φύση και μάλιστα είναι ο παράγοντας που καθορίζει την αρμονία και την ομορφιά στον κόσμο μας;

9 ΟΝΟΜΑ : ΠΟΛΥΤΙΜΗ ΓΚΟΥΡΛΙΑ ΤΑΞΗ:Β ΤΜΗΜΑ:1 ο ΜΑΘΗΜΑ:ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ