Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Transcript

1 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

2 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel): Απόκριση σε Πλήγμα Ορθογωνικής Μορφής Δ14- Ζητείται η απόκριση μονοβάθμιου ταλαντωτή που υπόκειται στη δράση του ορθογωνικού πλήγματος που φαίνεται στο σχήμα Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση είναι p t t mu + ku = p() t = t t (1) με αρχικές συνθήκες στην κατάσταση ηρεμίας u() = u () =

3 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel): Απόκριση σε Πλήγμα Ορθογωνικής Μορφής (...) Ο υπολογισμός της απόκρισης του συστήματος απαιτεί τη διάκριση δύο χρονικών φάσεων: Δ14-3 Φάση Ι Η πρώτη φάση αφορά στο χρονικό διάστημα δράσης του πλήγματος, t t, όπου έχουμε εξαναγκασμένη ταλάντωση. Σ αυτήν την περίπτωση η απόκριση ταυτίζεται με την απόκριση σε σταθερή φόρτιση (εξίσωση (11-1)), ut () π t = 1 cosωnt = 1 cos, t t ( u ) T st n () Φάση ΙΙ Η δεύτερη φάση αφορά στο χρονικό διάστημα που ακολουθεί, t t, όπου έχουμε ελεύθερη ταλάντωση με αρχικέςσυνθήκεςίσεςμετημετατόπισηκαιταχύτητατου συστήματος κατά το τέλος της πρώτης φάσης, ut ( ) και ut ( ).

4 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel): Απόκριση σε Πλήγμα Ορθογωνικής Μορφής (...) Δ14-4 Στην περίπτωση αυτή, η απόκριση προκύπτει από την εξίσωση (5-4a) καιέχειτημορφή όπου Άρα, ut ( ) ut () = ut ( )cosω t t + sin t t ω ( ) ω ( ) n n n ( ) ut ( ) = ( u ) 1 cos ω t και ut ( ) = ( u ) ω sinω t st n st n n ut () ( u ) st ( ) = 1 cos ω t cos ω ( t t ) + sinω t sin ω ( t t ) n n n n = cos ω ( t t ) cosω t n n πt t 1 t = sin sin π -, t t Tn Tn Tn (3)

5 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel): Απόκριση σε Πλήγμα Ορθογωνικής Μορφής (...) Δ14-5 Η απόκριση ut ()/( u st ) εξαρτάται μόνοαπότολόγοτηςδιάρκειας του πλήγματος t προς την ιδιοπερίοδο του συστήματος. Στο σχήμα φαίνεται η απόκριση για διάφορες τιμές του λόγου t / Tn. Φαίνεται επίσης η στατική απόκριση του συστήματος u. st()/( t ust ) Παρατηρούμε ότι η μορφή της απόκρισης διαφέρει κατά πολύ για διαφορετικές τιμές της διάρκειας του πλήγματος t. Παρόλα αυτά, ανεξάρτητα από τη διάρκεια του πλήγματος, ηδυναμικήαπόκριση διαφέρει από τη στατική, επειδή η δύναμη δρα αιφνιδιαστικά. T n

6 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Πλήγμα Ορθογωνικής Μορφής (...) Δ14-6 Το φάσμα απόκρισης για πλήγμα ορθογωνικής μορφής για εξαναγκασμένη και ελεύθερη ταλάντωση ξεχωριστά φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα Στην ολότητα της η μέγιστη απόκριση φαίνεται πιο κάτω

7 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel): Απόκριση σε Πλήγμα Ημιτονοειδούς Μορφής Δ14-7 Ζητείται η απόκριση μονοβάθμιου ταλαντωτή που υπόκειται στη δράση του ημιτονοειδούς πλήγματος που φαίνεται στο σχήμα Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση είναι psin( ωt), t t mu + ku = p() t =, t t όπου π π π ω = = = T t t (4) με αρχικές συνθήκες στην κατάσταση ηρεμίας u() = u () =

8 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel): Απόκριση σε Πλήγμα Ημιτονοειδούς Μορφής (...) Δ14-8 Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση που ω ω n (ή t /T n ½). Ο υπολογισμός της απόκρισης του συστήματος απαιτεί τη διάκριση δύο χρονικών φάσεων: Φάση Ι Η πρώτη φάση αφορά στο χρονικό διάστημα δράσης του πλήγματος t t, όπου έχουμε εξαναγκασμένη ταλάντωση. H απόκριση δίνεται από τη σχέση (8-6) για αρμονική δύναμη p(t)=p sinωt, όπου ω=π/t και ω n =π/t n. ut () 1 πt T πt = sin sin, t n ( ust ) 1 ( Tn / t) t t Tn t (5a) Φάση ΙΙ Η δεύτερη φάση αφορά στο χρονικό διάστημα που ακολουθεί, t t, όπου έχουμε ελεύθερη ταλάντωση με αρχικέςσυνθήκεςίσεςμετημετατόπισηκαιταχύτητατου

9 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel): Απόκριση σε Πλήγμα Ημιτονοειδούς Μορφής (...) Δ14-9 συστήματος κατά το τέλος της πρώτης φάσης T n πt cos ut () t T t 1t = sin π -, t 1 t n ( ust ) T Tn Tn n t (5b) Στην περίπτωση που ω=ω n (ή t /T n = ½), H απόκριση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης, πρώτη φάση, δίνεται από τη σχέση (8-1) ut () 1 = ωnt cosωnt sinωnt ( u ) st 1 πt πt πt = sin - cos, Tn Tn Tn t t (6a)

10 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-1 Απόκριση σε Πλήγμα Ημιτονοειδούς Μορφής (...) H απόκριση της ελεύθερης ταλάντωσης με αρχικές συνθήκες ίσες με τη μετατόπιση και ταχύτητα του συστήματος κατά το τέλος της πρώτης φάσης που ισούνται με π ut ( ) = ( ust) και ut ( ) = δίνεται από τη σχέση ut () π t 1 = cos π -, t ( ust ) Tn t (6b)

11 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-11 Απόκριση σε Πλήγμα Ημιτονοειδούς Μορφής (...) Στο σχήμα φαίνεται η απόκριση ut ()/( u st ) για διάφορες τιμές του λόγου t / Tn. Φαίνεται επίσης η στατική απόκριση του συστήματος ust()/( t ust ). Παρατηρούμε ότι η μορφή της απόκρισης διαφέρει κατά πολύ για διαφορετικές τιμές της διάρκειας του πλήγματος t. Στην περίπτωση που t / T n = 3 η δυναμική απόκριση πλησιάζει πολύ τη στατική, επειδή η δύναμη μεταβάλλεται αργά σε σχέση με την ιδιοπερίοδο T n του συστήματος. Όπως δείξαμε και στην περίπτωση του ορθογωνικού πλήγματος, για t >Τ n / το μέγιστο συμβαίνει κατά τη διάρκεια του πλήγματος και για t <Τ n / το μέγιστο συμβαίνει μετά το πλήγμα.

12 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-1 Απόκριση σε Πλήγμα Ημιτονοειδούς Μορφής (...) Το φάσμα απόκρισης για πλήγμα ημιτονοειδούς μορφής για εξαναγκασμένη και ελεύθερη ταλάντωση ξεχωριστά φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα Στην ολότητα της η μέγιστη απόκριση φαίνεται πιο κάτω

13 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-13 Απόκριση σε Πλήγμα Τριγωνικής Μορφής Ζητείται η απόκριση μονοβάθμιου ταλαντωτή που υπόκειται στη δράση του τριγωνικού πλήγματος που φαίνεται στο σχήμα Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση είναι p t t, t t t t mu + ku = p() t = p(1- ), t t t, t t (7) με αρχικές συνθήκες στην κατάσταση ηρεμίας u() = u () =

14 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-14 Απόκριση σε Πλήγμα Τριγωνικής Μορφής (...) Ο υπολογισμός της απόκρισης του συστήματος απαιτεί τη διάκριση τριών χρονικών φάσεων: t t /, t / t t και t t. Οι δύο πρώτες φάσεις αφορούν εξαναγκασμένες ταλαντώσεις ενώ η τελευταία φάση αφορά ελεύθερη ταλάντωση. Η απόκριση του συστήματος για τις τρεις φάσεις δίνεται πιο κάτω t Tn t t sin π, t t π t Tn ut () t T n π t t t = 1 + sin t sin π, t t ( ust ) t π t T n Tn T n π t π t sin t sin ( t t ) sinπ π t T n t t Tn Tn, (8)

15 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-15 Απόκριση σε Πλήγμα Τριγωνικής Μορφής (...) Στο σχήμα φαίνεται η απόκριση ut ()/( u st ) για διάφορες τιμές του λόγου t / Tn, καθώςεπίσηςκαιη στατική απόκριση του συστήματος ust()/( t ust ). Παρατηρούμε ότι όταν το t Τ n η δυναμική απόκριση πλησιάζει πολύ τη στατική. Όπως δείξαμε για τις άλλες μορφές πλήγματος, για t >Τ n / το μέγιστο συμβαίνει κατά τη διάρκεια του πλήγματος (εξαναγκασμένη ταλάντωση) και για t <Τ n / το μέγιστο συμβαίνει μετά το πλήγμα (ελεύθερη ταλάντωση).

16 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-16 Απόκριση σε Πλήγμα Τριγωνικής Μορφής (...) Το φάσμα απόκρισης για πλήγμα τριγωνικής μορφής για εξαναγκασμένη και ελεύθερη ταλάντωση ξεχωριστά φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα Συνολικά, το φάσμα απόκρισης για πλήγμα τριγωνικής μορφής φαίνεται πιο κάτω

17 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-17 Επιρροή της Μορφής Πλήγματος στη Μέγιστη Απόκριση Τα φάσματα απόκρισης για πλήγμα ορθογωνικής, ημιτονοειδούς (half-sine) και τριγωνικής μορφής με ίδια μέγιστη δύναμη p και διάρκεια t φαίνονται στο σχήμα: R = πa(t /T n ) α = 1 α = α = π 1 Impulsive Force Response Controlle by Free Vibration (Phase II) Response Controlle by Force Vibration (Phase I)

18 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-18 Επιρροή της Μορφής Πλήγματος στη Μέγιστη Απόκριση... Περίπτωση Ι: t >Τ n / Όταν t >Τ n / η μέγιστη απόκριση συμβαίνει κατά την εξαναγκασμένη ταλάντωση (=1η φάση) και η μορφή του πλήγματος έχει καθοριστική σημασία. Η τιμή της μέγιστης απόκρισης εξαρτάται από το πόσο ξαφνικά επιβάλλεται η φόρτιση (μέγιστη δύναμη p ). Έτσι, το ορθογωνικό πλήγμα επειδή δρα ακαριαία δίνει τις μεγαλύτερες μετατοπίσεις συγκριτικά με τα άλλα δυο πλήγματα. Περίπτωση ΙΙ: t <Τ n / Όταν t <Τ n / η μέγιστη απόκριση συμβαίνει κατά την ελεύθερη ταλάντωση (=ηφάση) και το εμβαδόν του πλήγματος έχει καθοριστική σημασία. Έτσι, το ορθογωνικό πλήγμα επιφέρει μεγαλύτερη μετατόπιση από το το ημιτονοειδές, κι αυτό από το τριγωνικό, αφού τα αντίστοιχα εμβαδά είναι: 1 pt > p t > p t π

19 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-19 Επιρροή της Μορφής Πλήγματος στη Μέγιστη Απόκριση... Η περίπτωση ΙΙ (για t <Τ n /) μπορεί να διερευνηθεί για την οριακή κατάσταση όπου t / T Όταν η διάρκεια του πλήγματος γίνει εξαιρετικά μικρή συγκριτικά με την ιδιοπερίοδο Τ n του συστήματος, τότε έχουμε ένα αμιγώς ωστικό φορτίο (impulsive force) με μέγεθος n t I = p() t t = Εμβαδόν κάτω από την καμπύλη P() t = αpt όπου 1 για ορθογωνικό πλήγμα για ημιτονοειδές πλήγμα α = π 1 για τριγωνικό πλήγμα

20 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14- Επιρροή της Μορφής Πλήγματος στη Μέγιστη Απόκριση... Το αποτέλεσμα του ωστικού φορτίου, είναι να προσδώσει ακαριαία μια μεταβολή στην ταχύτητα του συστήματος, χωρίς αντίστοιχη μεταβολή στην μετατόπιση, θέτοντας το σύστημα σε ελεύθερη ταλάντωση. Η ταχύτηταv που προσδίδει το ωστικό φορτίο στο σύστημα, προκύπτει από τη σχέση Ώθησης Δύναμης - Μεταβολής της Ορμής [Ι=ΔJ], που είναι μια ισοδύναμηέκφρασητουου νόμου του Νεύτωνα: t p() t = ( mv) p() t t = m v = mv t v Άρα v t ptt () I α pt = = = m m m

21 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14-1 Επιρροή της Μορφής Πλήγματος στη Μέγιστη Απόκριση... Η απόκριση σε ελεύθερη ταλάντωση (που έπεται του ωστικού φορτίου) είναι με μέγιστο u () v ut u t t t () = ()cosω n + sinωn = sinωn ωn ωn u = v = αp t = παp t = t πα ( u ) st ωn mωn ktn Tn Αρα R u t πα = = ( ust ) Tn Άρα όταν t η μέγιστη απόκριση εξαρτάται από το << Tn εμβαδόν του πλήγματος και όχι από τη μορφή του.

22 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel):Δ14- Επιρροή της Μορφής Πλήγματος στη Μέγιστη Απόκριση... Περίπτωση ΙΙb: t <Τ n /4 Η προηγούμενη ανάλυση ισχύει προσεγγιστικά για t <Τ n /4 όπου η μέγιστη απόκριση μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση R u t πα = = ( ust ) Tn όπου 1 για ορθογωνικό πλήγμα για ημιτονοειδές πλήγμα α = π 1 για τριγωνικό πλήγμα