ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιωμάτων ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο των Blk nd ol 6.. Το Μοντέλο των Blk ol ή Blk ol Mon Έτω μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [ ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε με Ω το ύνολο των δυνατών κατατάεων της αγοράς το χρονικό αυτό διάτημα και με το χώρο ενδεχομένων του. Υποθέτουμε ότι το χώρο Ω ορίζεται μια τυπική κίνηη Bown W [ ] με το φυικό της φιλτράριμα W [ ]. O χώρος Ω είναι εφοδιαμένος και με ένα μέτρο πιθανότητας P. Θεωρούμε ότι την αγορά αυτή διατίθενται οι παρακάτω τίτλοι : Ο τίτλος ikl. Ένα ομόλογο επί μιας χρηματικής μονάδας το χρόνο με ταθερό επιτόκιο. Η αξία του το χρόνο είναι. Με βάη αυτό η παρούα προεξοφλημένη αξία μιας χρηματικής μονάδας το χρόνο θα είναι. Ο τίτλος iky. Μια μετοχή π.χ. ΑΑΑ η οποία το χρόνο έχει αξία. Σύμφωνα και με όα έχουμε εκθέει ε προηγούμενη παράγραφο θεωρούμε ότι η τοχατική ανέλιξη [] είναι μία γεωμετρική κίνηη Bown με αρχική τιμή δηλαδή W μ όπου W [] ~ ΒΜ και μ dif voliliy κάποιες ταθερές παράμετροι. Από το λήμμα του Iô είδαμε Εφαρμογή 5.6. ότι η ικανοποιεί την τοχατική διαφορική εξίωη d dw μ d. Ο τίτλος 3 diviv. Ένα απλό παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρωπαικού τύπου με χρόνο λήξης Τ επί της μετοχής ΑΑΑ. Ανάλογα και με το μοντέλο διακριτού χρόνου ως ένα τέτοιο παράγωγο πολύ απλά θεωρείται μία τ.μ. που είναι Τ μετρήιμη η τ.μ. εκφράζει την αξία του παραγώγου το χρόνο Τ. Προοχή το μοντέλο αυτό έχουμε υποθέει ότι η μελλοντική ιτορία [ ] είναι το φυικό φιλτράριμα της W []. Επομένως το γεγονός ότι απαιτείται η να είναι Τ μετρήιμη υπονοεί ότι η «τυχαιότητα» της τιμής της θα πρέπει να εξαρτάται μόνο από την διαδρομή της W [] και όχι από κάποιο άλλο τυχαίο παράγοντα. Το πρόβλημα που καλούματε τώρα να αντιμετωπίουμε είναι η εύρεη της αξίας του παραγώγου ε χρόνο [ ]. Το παραπάνω μοντέλο προτάθηκε και μελετήθηκε αρχικά από τους. Blk M. ol και από τον R. Mon το έτος 973 και για αυτό είναι γνωτό με το όνομά τους. Οι υγκεκριμένοι ερευνητές τιμήθηκαν με το βραβείο Nol το έτος 997 για την Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 87

2 εργαία τους αυτή. Αξίζει να αναφέρουμε όμως ότι η μέθοδος που θα χρηιμοποιήουμε για να λύουμε το πρόβλημα θεωρία mingl είναι διαφορετική από αυτήν που χρηιμοποίηαν οι υγκεκριμένοι ερευνητές θεωρία διαφορικών εξιώεων με μερικές παραγώγους ενώ φυικά προκύπτει το ίδιο τελικό αποτέλεμα. Όπως έχει αναφερθεί και παραπάνω θα ακολουθήουμε την ίδια αποδεικτική οδό με το μοντέλο αγοράς διακριτού χρόνου. Συγκεκριμένα θα κατακευάουμε ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο χαρτοφυλάκιο εξαφάλιης με τελική αξία ίη με την αξία του παραγώγου το χρόνο εξάκηης Τ η οποία είναι γνωτή. Π.χ. για το δικαίωμα αγοράς είναι γνωτό ότι. Για να μην υπάρχει δυνατότητα για ig την αγορά θα πρέπει το παράγωγο προϊόν να έχει την ίδια αξία με το χαρτοφυλάκιο εξαφάλιης για κάθε [ ]. Έτω λοιπόν ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο που το χρόνο αποτελείται από ψ ομόλογα και Δ μετοχές δηλαδή ψ Δ. Συμβολίζουμε με ψ Δ την αξία του το χρόνο [ ]. Εφόον το χαρτοφυλάκιο είναι αυτοχρηματοδοτούμενο θα ιχύει επίης ότι βλ. Παράδειγμα 5.3. d ψ d Δd δηλαδή η απειροτή μεταβολή της αξίας του χαρτοφυλακίου το [ d] οφείλεται αποκλειτικά την μεταβολή της αξίας του ομολόγου d d και της μετοχής d τεμάχια των ο- ποίων απαρτίζουν το χαρτοφυλάκιο. Δεν προτίθεται κανένα εξωτερικό ποό ούτε αφαιρείται κανένα ποό από το χαρτοφυλάκιο. H παραπάνω τοχατική διαφορική εξίωη είναι ανάλογη της εξίωης διαφορών i i i ψ i i i i i i Δ i i που είδαμε το Παράδειγμα 5.3. ότι ιχύει ε διακριτό χρόνο. Στο εξής θα υμβολίζουμε με και με την παρούα προεξοφλημένη αξία του χαρτοφυλακίου και της υποκείμενης μετοχής το χρόνο αντίτοιχα. Το επόμενο ενδιάμεο αποτέλεμα θα μας βοηθήει την απόδειξη του κεντρικού αποτελέματος της παραγράφου. Λήμμα 6... Η προεξοφλημένη αξία του αυτοχρηματοδοτούμενου χαρτοφυλακίου το χρόνο μπορεί να αναπαραταθεί ως εξής όπου W W Θ με μ Θ. Δ dw Απόδειξη. Χρηιμοποιώντας τις προαναφερθείες χέεις d ψ d Δ d Δ και το γεγονός ότι d - - θα έχουμε i i i i d d d d ψ d Δd ψ Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς dd ψ d Δd ψ Δ d d Δ d Δ d d Δ d. 88

3 Από την χέη τώρα d dw μ d προκύπτει ότι d d d dw μ d μ dw d dw και επομένως d Δ d Δ dw από όπου ολοκληρώνοντας προκύπτει η ζητούμενη χέη. Αν τώρα υπήρχε ένα μέτρο πιθανότητας το χώρο Ω υπό το οποίο η W είναι κίνηη Bown BM υπό το μέτρο P προφανώς δεν είναι BM τότε η θα είναι - mingl διότι γράφεται αν ολοκλήρωμα Iô ως προς την W βλ iv. Επομένως θα ίχυε ότι και άρα d []. Αν επιπλέον μπορούαμε να κατακευάουμε το αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο ώτε να έχει τελική τιμή ίη με την αξία του παραγώγου το χρόνο τότε θα είχαμε εξαγάγει έναν τύπο για την αξία του χαρτοφυλακίου το χρόνο υναρτήει του που θα είναι η ζητούμενη no-ig αξία του παραγώγου προϊόντος. Στο ακόλουθο θεώρημα επιβεβαιώνεται ότι πράγματι υπάρχει ένα μέτρο όπως το που ζητάμε και επίης ότι μπορεί να κατακευαθεί το αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο εξαφάλιης που μας χρειάζεται. Το πρώτο αποτέλεμα βαίζεται το Θεώρημα του Ginov ενώ το δεύτερο βαίζεται το θεώρημα αναπαράταης mingl. Θεώρημα 6... ik nul piing fomul Στο μοντέλο Blk-ol-Mon: α Αν ένα απλό παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρωπαϊκού τύπου με χρόνο λήξης έχει τελική αξία τότε το χρόνο θα έχει no-ig αξία [] όπου το μέτρο πιθανότητας είναι τέτοιο ώτε d Z Τ dp με Z p ΘW Θ δηλαδή Α Z I A. P A β Υπό το μέτρο πιθανότητας η ανέλιξη της τιμής της μετοχής [] είναι μία γεωμετρική κίνηη Bown με παραμέτρους / και GBM /. Απόδειξη. α Από το Θεώρημα Ginov η ανέλιξη Iô Θ Θ μ W W W d όπου Θ είναι κίνηη Bown - ΒΜ ως προς το μέτρο πιθανότητας που περιγράφεται από το ίδιο Θεώρημα: ε κάθε Α του αντιτοιχεί το Α Z I με Z p ΘW Θ. Επομένως η ανέλιξη βλ. Λήμμα 6.. P A Δ dw [] Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 89

4 Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 9 είναι ίη με υν ένα ολοκλήρωμα Iô ως προς την W η οποία είναι ΒΜ υπό το μέτρο. Από παραπάνω αποτέλεμα Πρόταη 5.5..iv η θα είναι - mingl και επομένως από όπου προκύπτει ότι []. Αν τώρα το αυτοχρηματοδοτούμενο αυτό χαρτοφυλάκιο μπορεί να κατακευαθεί έτι ώτε να έχει τελική τιμή Τ την αξία του παραγώγου προϊόντος το χρόνο τότε προκύπτει ο τύπος του θεωρήματος. Στη υνέχεια θα αποδείξουμε ότι πράγματι υπάρχει ένα τέτοιο χαρτοφυλάκιο. Ορίζουμε την ανέλιξη [ ]. Θα δείξουμε ότι μπορούμε να κατακευάουμε το αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο με αξία το χρόνο έτι ώτε [ ] και επομένως και. Είναι χεδόν άμεο να διαπιτώουμε ότι η ανέλιξη [] είναι - mingl ως προς την ιτορία [Τ]. Πράγματι για < <. Το φιλτράριμα [Τ] είναι το φυικό φιλτράριμα και της ανέλιξης W διότι διαφέρει από την W μόνο κατά μια μη τυχαία ποότητα. Επίης η W υπό το είναι BM. Επομένως από το Θεώρημα αναπαράταης mingl θα υπάρχει μία προαρμομένη ανέλιξη G [Τ] τέτοια ώτε ] [ dw G. Αν τώρα κατακευάουμε το αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο έτι ώτε να έχει αρχική αξία ίη με ενώ το χρόνο [Τ] να περιέχει G Δ μετοχές τότε θα έχει παρούα αξία το χρόνο G dw dw G dw Δ [Τ]. και επομένως [ ] η ανέλιξη ψ καθορίζεται από την Δ και το διότι το χαρτοφυλάκιο είναι αυτοχρηματοδοτούμενο. Άρα το παράγωγο έχει την ίδια αξία με το υγκεκριμένο δυναμικό χαρτοφυλάκιο το χρόνο Τ λήξης του και επομένως το παράγωγο προϊόν θα έχει την ίδια no-ig αξία με το χαρτοφυλάκιο αυτό για κάθε [Τ]. Διαφορετικά υπάρχει μια τρατηγική αγοραπωληιών που οδηγεί ε ίγουρο κέρδος ig: αγοράζουμε το χρόνο όποιο είναι φθηνότερο το χαρτοφυλάκιο ή το παράγωγο και πωλούμε ανοικτά το ακριβότερο κλείνοντας την ανοικτή μας θέη το χρόνο. β Χρηιμοποιώντας τη χέη W W Θ η τιμή της μετοχής το χρόνο θα είναι

5 W W W W μ Θ μ Θ μ όπου η W W Θ είναι ΒΜ ως προς το μέτρο πιθανότητας. Επομένως υπό το η [ ] είναι μια γεωμετρική κίνηη Bown με μεταβλητότητα και τάη /. Η [] ~ GBM / και επομένως [ ] δηλαδή υπό το η μέη απόδοη της μετοχής είναι ίη με την απόδοη του ομολόγου. Όπως αιτιολογήαμε και το μοντέλο διακριτού χρόνου αυτό δεν μπορεί να υμβαίνει το «πραγματικό κόμο» διότι τότε δεν θα υπήρχε κανένα κίνητρο να επενδύει κανείς ε μετοχές αφού αντίθετα από τις μετοχές η επένδυη ε ομόλογα είναι χωρίς κίνδυνο. Ιότητα θα ίχυε μόνο αν οι επενδυτές δεν ενδιαφέρονταν για τον κίνδυνο που αναλαμβάνουν δηλαδή ήταν «ουδέτεροι» απέναντι τον κίνδυνο. Για αυτό και το μέτρο P αναφέρεται και ως μέτρο πιθανότητας τον «πραγματικό κόμο» ενώ το αναφέρεται ως μέτρο πιθανότητας ε ένα «κόμο ουδετέρου ρίκου» ik nul poiliy mu. Το μέτρο πιθανότητας είναι εικονικό και χρηιμοποιείται μόνο για να εκφράουμε με απλούτερο τρόπο την τιμή ενός παραγώγου. Συνοψίζοντας μπορούμε να πούμε ότι η no-ig αξία ενός παραγώγου είναι ίη με την παρούα αξία του αναμενόμενου κέρδους από την χρήη του ε έναν κόμο ουδέτερου ρίκου. Αν πάρουμε τώρα υγκεκριμένα παράγωγα χρηματοοικονομικά προϊόντα μπορούμε να βρούμε έναν κλειτό τύπο για τη no-ig αξία τους. Ξεκινάμε με ένα δικαίωμα αγοράς. Θεώρημα 6... Ο τύπος των Blk nd ol Στο μοντέλο Blk-ol-Mon η no-ig τιμή ενός δικαιώματος αγοράς ll opion ευρωπαϊκού τύπου με ημερομηνία λήξης Τ τιμή εξάκηης Κ το χρόνο είναι ίη με Φ ω Φ ω / ln / όπου ω Φ είναι η υνάρτηη κατανομής της N η μεταβλητότητα voliliy της τιμής της υποκείμενης μετοχής και το επιτόκιο των ομολόγων της αγοράς. Απόδειξη. Από το προηγούμενο θεώρημα και από το γεγονός ότι ένα δικαίωμα αγοράς έχει αξία τη λήξη του ίη με θα είναι όπου υπό το μέτρο πιθανότητας η [] ακολουθεί GBM /. Επίης οι ανελίξεις W και έχουν το ίδιο φυικό φιλτράριμα αν γνωρίζουμε την διαδρομή της μιας ξέρουμε και την διαδρομή της άλλης δηλαδή W. Άρα. Η τελευταία ιότητα ιχύει διότι ως γεωμετρική κίνηη Bown η ανέλιξη έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα. Το γεγονός αυτό προκύπτει από το ότι οι τ.μ. u / u είναι ανεξάρτητες ιδιότητα της GBM και επομένως η τιμή της / εξαρτάται μόνο από την και την Τ / που είναι ανεξάρτητη της διαδρομής. Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 9

6 Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 9 Η παραπάνω μέη τιμή υπολογίζεται επακριβώς αφού [] ~ GBM / και επομένως η τ.μ. ln / ~ N /. Πράγματι αν είματε το χρόνο με τότε χρηιμοποιώντας και το ότι η τ.μ. / είναι ανεξάρτητη της Z όπου με Z υμβολίζουμε μια τ.μ. που ακολουθεί την N. Αν τώρα θέουμε Iα > β αν α > β και αν β α θα ιχύει γενικά για οποιαδήποτε ότι I Z Z Z > I I Z Z Z > > ln ln Z Z P Z I > > ενώ > y z y z z z Z dy dz dz Z I / / π π π / / Φ Φ όπου Φ είναι η.κ. της Ν και άρα ln ln / Z Φ Φ. Με βάη τον παραπάνω γενικό τύπο προκύπτει τώρα άμεα ότι Z ln ln / Φ Φ ln ln Φ Φ που ουιατικά αποτελεί τη ζητούμενη χέη. Ο παραπάνω τύπος είναι γνωτός ως ο τύπος των Blk nd ol B- και δόθηκε το 973 από τους i Blk και Myon ol. Το παραπάνω μοντέλο που αναπτύχθηκε από τους υγκεκριμένους ερευνητές αποτελεί την κλαική μέθοδο αποτίμηης δικαιωμάτων προαίρεης. Ένα μεγάλο του πλεονέκτημα είναι ότι δεν χρειάζεται να υπολογιτεί η παράμετρος μ της διότι δεν περιέχεται τον τελικό τύπο. Παρατήρηη 6... Εύρεη της no-ig αξίας ενός δικαιώματος πώληης. Ένα δικαίωμα πώληης pu opion Ευρωπαϊκού τύπου έχει αξία το χρόνο λήξης του ίη με Κ. Συνεπώς από το Θεώρημα 6.. η no-ig τιμή του το χρόνο θα είναι ~ ] [ GBM pu. Παρατηρώντας τώρα ότι για οποιοδήποτε ιχύει m m θα είναι και. Επομένως pu ll ll

7 όπου ll η no-ig τιμή ενός ll opion από τον τύπο των B-. Η τελευταία ιότητα προκύπτει από το ότι η ανέλιξη [] είναι -mingl. Παρατήρηη 6... Εύρεη της αξίας οποιουδήποτε παραγώγου Ευρωπαϊκού τύπου Από την απόδειξη του Θεωρήματος 6.. είναι φανερό ότι αν ένα παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρωπαϊκού τύπου έχει αξία το χρόνο λήξης του ίη με g όπου g είναι κάποια υνάρτηη τότε θα έχει no-ig αξία το χρόνο με g g g g ln / N όπου η τ.μ. N ln / ~ Ν /. Γενικότερα αν ένα παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν έχει αξία το χρόνο λήξης του ίη με g [] δηλαδή η τιμή του το εξαρτάται από όλη την διαδρομή της τιμής της μετοχής το [Τ] π.χ. βλ. τα oi opion ε επόμενη παράγραφο τότε όμοια θα έχει no-ig αξία το { g [ ]} g [ ] όπου υπό το μέτρο πιθανότητας η [] ακολουθεί GBM /. Παρατήρηη Εύρεη της αξίας ll opion Αμερικανικού τύπου. H no-ig τιμή ενός δικαιώματος αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου είναι ίη με την no-ig τιμή ενός δικαιώματος αγοράς Αμερικανικού τύπου. Αυτό υμβαίνει διότι η βέλτιτη τρατηγική που μπορεί να ακολουθήει ο κάτοχος ενός δικαιώματος αγοράς Αμερικανικού τύπου είναι να το ακήει κατά την ημερομηνία λήξης του. Πράγματι αν αποφαίει να το ακήει ε χρόνο < Τ τότε θα έχει κέρδος. Αντίθετα αν το ίδιο χρόνο πωλήει ανοιχτά την υποκείμενη μετοχή την τιμή και κλείει την ανοιχτή του θέη τον χρόνο με κότος min{ Τ } είτε α- κεί το δικαίωμα είτε αγοράζει την μετοχή από την αγορά τότε θα έχει κέρδος min{ }. Παρατήρηη Η αξία ενός pu opion Αμερικανικού τύπου. Αντίθετα με το δικαίωμα αγοράς Αμερικανικού τύπου η εξάκηη ενός δικαιώματος πώληης Αμερικανικού τύπου πριν την ημερομηνία λήξης του μπορεί να αποβεί ε όφελος. Συνεπώς το δικαίωμα πώληης Αμερικανικού τύπου θα αξίζει περιότερο από το αντίτοιχο Ευρωπαϊκού τύπου. Η αξία αυτή δεν είναι εύκολο να δοθεί μέα από έναν κλειτό τύπο. Για τον προεγγιτικό προδιοριμό του υνήθως χρηιμοποιούνται κατάλληλοι αναδρομικοί τύποι ε αυτό το ειαγωγικό ύγγραμμα δεν παρουιάζονται. 6.. Εφαρμογή του τύπου των Blk-ol την πράξη. Στην πράξη μπορεί κανείς να υπολογίει την τιμή ενός δικαιώματος αγοράς ή πώληης το χρόνο από τους τύπους που δόθηκαν παραπάνω χρηιμοποιώντας τις ακόλουθες παραμέτρους: α Η είναι η τρέχουα τιμή της υποκείμενου τίτλου π.χ. μετοχής. Αφού βρικόματε το χρόνο είναι γνωτή π.χ. μπορεί να βρεθεί ε εφημερίδες ή καλύτερα το διαδίκτυο. β H τιμή εξάκηης Κ και ο χρόνος λήξης ε έτη είναι εκ των προτέρων καθοριμένα και γνωτά. Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 93

8 γ Το επιτόκιο των ομολόγων της αγοράς υνήθως υπολογίζεται με βάη τις τιμές των εντόκων γραμματίων του Δημοίου με χρόνο λήξης περίπου ίο με το χρόνο λήξης του παραγώγου αν υπάρχουν δυο διαφορετικές τιμές πώληης και αγοράς μπορεί να ληφθεί ο μέος όρος τους. Αν π.χ. έχουμε ένα γραμμάτιο που λήγει μετά από 3 μήνες 9 ημέρες με τιμή 98 ευρώ και ονοματική αξία ευρώ τότε θα πρέπει 9/ ln Εναλλακτικά μπορούμε να πάρουμε ως το μέο όρο των διατραπεζικών επιτοκίων της αγοράς. δ Η μεταβλητότητα voliliy της τιμής της μετοχής μπορεί να εκτιμηθεί με διαφόρους τρόπους μερικοί από τους οποίους είναι οι παρακάτω: i Εκτίμηη από ιτορικά δεδομένα. Καταγράφονται οι τιμές κλειίματος της υποκείμενης μετοχής έτω n τις n τελευταίες ημέρες υναλλαγών. Το n δεν πρέπει να είναι ούτε πολύ μεγάλο γιατί τότε μπορεί να μην παραμένει ταθερό το ούτε πολύ μικρό γιατί τότε μπορεί να έχουμε μεγάλο φάλμα την εκτίμηη. Συνήθως λαμβάνεται n 3 με 8 η- μέρες. Σύμφωνα με το μοντέλο B- οι τ.μ. ln Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς X i i i i n είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν την Ντμτ όπου τ /6 γίνονται περίπου 6 υνεδριάεις το έτος. Επομένως πολύ απλά εκτιμούμε το από την δειγματική διαπορά των X X X n- : n i X i X. τ n ii Εκτίμηη από ταθμιμένα ιτορικά δεδομένα. Όπως και το i καταγράφονται οι τιμές κλειίματος της υποκείμενης μετοχής τις n τελευταίες ημέρες υναλλαγών. Τώρα όμως δεν θεωρείται ότι έχουν όλες το ίδιο βάρος την εκτίμηη του διότι αυτό μπορεί να μεταβάλλεται ελαφρά κατά τις n τελευταίες ημέρες και έτι οι τιμές που είναι πιο πρόφατες αντιτοιχούν ε που είναι πιο κοντά το ζητούμενο ημερινό. Τα βάρη μπορούν να εκλεγούν με διαφόρους τρόπους π.χ. γραμμικά ή εκθετικά μεταβαλλόμενα. iii Εκτίμηη από τις τιμές των παραγώγων που διατίθενται ήδη την αγορά τεκμαρτή μεταβλητότητα implid voliliy. Κατά την ημέρα που θέλουμε να εκτιμήουμε το θα διατίθενται ήδη την αγορά παραγώγων και κάποια παράγωγα προϊόντα π.χ. δικαιώματα αγοράς επί της μετοχής της οποίας θέλουμε να εκτιμήουμε το τα οποία θα έχουν γνωτή τιμή. Η τιμή αυτή υνήθως καθορίζεται με βάη παλαιότερη εκτίμηη του αλλά πολύ ημαντικότερα από την προφορά και την ζήτηη του υγκεκριμένου δικαιώματος την αγορά. Η τιμή επομένως διαμορφώνεται όχι μόνο με βάη τα ιτορικά δεδομένα αλλά κυρίως από τις προδοκίες των επενδυτών που αντικατοπτρίζουν πολύ μεγαλύτερη πληροφορία για την μελλοντική κίνηη της τιμής της μετοχής. Αφού λοιπόν είναι γνωτή η τιμή ενός δικαιώματος την αγορά μπορούμε αντίτροφα από τον τύπο των B- να βρούμε το που αντιτοιχεί ε αυτή την τιμή. Η εκτίμηη του με αυτό τον τρόπο καλείται τεκμαρτή μεταβλητότητα implid voliliy. Μια δυκολία εδώ είναι η αντιτροφή του τύπου των B- η οποία μπορεί να γίνει χρηιμοποιώντας μια επαναληπτική προεγγιτική μέθοδο π.χ. Nwon Rpon. Ένα άλλο πρόβλημα που παρουιάζεται είναι 94

9 ότι διαφορετικοί τύποι παραγώγων επί της υγκεκριμένης μετοχής μπορεί να οδηγούν ε διαφορετικό implid voliliy. Ένας απλός τρόπος αντιμετώπιης αυτού είναι να πάρουμε το μέο όρο απλό ή κατάλληλα ταθμιμένο των διαφορετικών εκτιμήεων του. Αξίζει να ημειωθεί ότι έχουν προταθεί και άλλοι τρόποι εκτίμηης του που βαίζονται και ε ιτορικά δεδομένα ή τρέχουες τιμές παραγώγων ή και τα δύο μαζί. Παράδειγμα 6... Έτω ότι ήμερα Ιανουάριος ε μια αγορά παραγώγων γίνεται διαπραγμάτευη δικαιωμάτων αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου επί της μετοχής ΑΑΑ θεωρούμε πάντα ότι η μετοχή δεν αποδίδει μέριμα μέχρι την λήξη του παραγώγου. Η μετοχή ΑΑΑ έχει ημερινή αξία την αγορά ίη με ευρώ. Συγκεκριμένα διατίθενται δικαιώματα αγοράς με ημερομηνία λήξης τον Μάρτιο 8/365 τον Μάιο 4/365 και τον Ιούλιο /365 με ik piz Κ 8 9 ευρώ το καθένα δηλαδή διαφορετικά είδη. Αν το επιτόκιο της αγοράς είναι ίο με.5 και η μεταβλητότητα voliliy της μετοχής έχει εκτιμηθεί ότι είναι.. τότε ύμφωνα με τον τύπο των B- οι no-ig τιμές των δικαιωμάτων αυτών θα είναι ε ευρώ για υμβόλαια π.χ. μετοχών θα πρέπει να πολλαπλαιατούν επί Μήνας Παράδοης ik pi Κ Μάρτιος Μάιος Ιούλιος Παρατήρηη 6... Κλείνοντας αξίζει να υπογραμμίζουμε κάτι που έχει ήδη υπονοηθεί και παραπάνω το δ-iii. Η τιμή διάθεης ενός παραγώγου την αγορά μπορεί να είναι διαφορετική από την no-ig τιμή του που καθορίζεται από τον τύπο των B- έχοντας εκτιμήει τα. Αυτό μπορεί να υμβαίνει για τους κάτωθι λόγους: α Για μικρές διαφορές της τιμής διάθεης ενός δικαιώματος από την αντίτοιχη noig τιμή αν και θεωρητικά μπορεί να εφαρμοτεί τρατηγική που οδηγεί ε ίγουρο κέρδος ig πρακτικά κάτι τέτοιο δεν εφικτό. Η εφαρμογή μιας τέτοιας τρατηγικής την πράξη είναι ανέφικτη διότι όπως έχουμε ήδη αναφέρει αφορά έναν εξιδανικευμένο παίκτη ο οποίος μπορεί να κάνει τιγμιαία υναλλαγές χωρίς κότος. β Πολλοί επενδυτές μπορεί να μην υμφωνούν με την εκτίμηη του ή να προδοκούν αλλαγή της τιμής του το άμεο μέλλον. γ Η no ig τιμή του παραγώγου προκύπτει υποθέτοντας ότι η ανέλιξη [ Τ] είναι μία γεωμετρική κίνηη Bown κάτι που τις περιότερες περιπτώεις αποτελεί προέγγιη αλλά όχι ακριβή περιγραφή της πραγματικότητας. Γενικά η τιμή ενός δικαιώματος την αγορά εξαρτάται και από ποιοτικούς παράγοντες π.χ. υγχωνεύεις εξαγορές και νέα τρατηγικά χέδια εταιριών ρευτότητα της αγοράς τους υγκεκριμένους τίτλους ψυχολογία της αγοράς απόδοη της αγοράς το ύνολό της κ.α.. Παρόλα αυτά η no-ig τιμή που δίνεται από τον τύπο των B- αποτελεί ένα πολύ χρήιμο εργαλείο που δείχνει που περίπου μπορεί να κινηθεί η τιμή του παραγώγου την αγορά. Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 95

10 Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς Ιδιότητες της τιμής ενός δικαιώματος από τον τύπο των B- Είδαμε παραπάνω ότι ο η no-ig τιμή ενός δικαιώματος αγοράς το χρόνο δίνεται από τον τύπο των Blk nd ol: N Φ Φ ω ω όπου ω / ln / ενώ αντίτοιχα ενός δικαιώματος πώληης N pu. με N ~ Ν /. Έχει ενδιαφέρον να εξετάουμε πως διαμορφώνεται η παραπάνω τιμή ενός δικαιώματος αγοράς ή πώληης όταν μεταβάλλονται οι διάφορες παράμετροι του μοντέλου. α Όταν αυξάνεται η τιμή της μετοχής το χρόνο τότε η αυξάνεται ενώ αντίθετα η pu μειώνεται. Μάλιτα η παράγωγος του ως προς καλείται παράμετρος Δέλτα και είναι ίη με / ln / Dl Φ Φ ω. Όπως θα δούμε παρακάτω η τιμή της παραμέτρου Δέλτα χρηιμοποιείται για την κατακευή ενός χαρτοφυλακίου αντιτάθμιης αντιτάθμιη Δέλτα. Η δεύτερη παράγωγος της τιμής του δικαιώματος αγοράς ως προς καλείται παράμετρος Γάμμα και είναι ίη με ω φ Gmm φ Φ. Όπως φαίνεται είναι θετική και επομένως η είναι κυρτή ως προς. β Όταν αυξάνεται η τιμή εξάκηης Κ του δικαιώματος τότε η μειώνεται ενώ αντίθετα η pu αυξάνεται. γ Όταν αυξάνεται ο χρόνος τότε η μειώνεται. Μάλιτα η παράγωγος της τιμής του δικαιώματος αγοράς ως προς υπολογίζεται εύκολα ότι είναι ίη με ω φ ω Φ φ Φ. Η ποότητα αυτή καλείται παράμετρος Θήτα και όπως φαίνεται είναι πάντοτε αρνητική. δ Όταν αυξάνεται το επιτόκιο τότε η αυξάνεται. Η παράγωγος της τιμής του δικαιώματος αγοράς ως προς καλείται Ro Φ ω και αποτελεί ένα μέτρο ευαιθηίας της τιμής του δικαιώματος ως προς ενδεχόμενες αλλαγές του επιτοκίου της αγοράς. ε Όταν αυξάνεται το voliliy τότε η αυξάνεται. Η παράγωγος της τιμής του δικαιώματος αγοράς ως προς καλείται

11 g φ ω και αποτελεί ένα μέτρο ευαιθηίας της τιμής του δικαιώματος ως προς ενδεχόμενες αλλαγές του. Οι παράμετροι Dl Gmm Ro g που εκφράζουν την ευαιθηία της τιμής ενός δικαιώματος ως προς τις ποότητες από τις οποίες αυτή εξαρτάται είναι γνωτές τη διεθνή βιβλιογραφία ως «Gk». Φυικά ορίζονται όχι μόνο για τα δικαιώματα αγοράς αλλά γενικότερα για οποιοδήποτε παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν. Στο παρακάτω χήμα δίνεται το γράφημα του για.5. Κ. Συγκεκριμένα απεικονίζεται το γράφημα της τιμής για από 8 έως και για 6 επτά «καμπύλες» μία για κάθε. 8 5/365 3/ / / / / Παρατηρούμε ότι όο το πληιάζει προς το η τιμή του δικαιώματος αγοράς μειώνεται και πληιάζει την τελική τιμή τον χρόνο λήξης:. Επίης παρατηρούμε ότι το αυξάνεται όο αυξάνεται η τιμή της υποκείμενης μετοχής. Για τιμές της μετοχής in--mony > το δικαίωμα αγοράς είναι «ακριβότερο» ενώ αντίθετα όταν είναι ou-of--mony < τότε το δικαίωμα αγοράς είναι «φθηνότερο» Στρατηγική εξαφάλιης Δέλτα Dl Hdging Παραπάνω βρήκαμε την no-ig τιμή ενός παραγώγου κατακευάζοντας ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο εξαφάλιης που το χρόνο αποτελείται από Δ μετοχές και ψ ομόλογα. Αν το ψ είναι θετικό έχουμε δανείει επενδύει ε ομόλογα αν είναι αρνητικό έχουμε δανειτεί εκδώει ομόλογα το ποό αυτό με επιτόκιο το χρόνο τα ψ ομόλογα έχουν αξία ψ. Το χαρτοφυλάκιο αυτό έχει κάθε χρονική τιγμή την ίδια αξία με το εξεταζόμενο παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν δηλαδή Δ ψ Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς όπου η τιμή μετοχής το χρόνο. Χρηιμοποιώντας το Θεώρημα αναπαράταης mingl αποδείχθηκε ότι μπορεί πράγματι να κατακευαθεί ένα τέτοιο χαρτοφυλάκιο χωρίς όμως να καθορίζουμε επακριβώς τη δυναμική ύνθεή του δηλαδή τα Δ ψ για κάθε. Μπορεί όμως 97

12 να αποδειχθεί ότι η ύνθεη αυτού του χαρτοφυλακίου την χρονική τιγμή θα πρέπει να περιέχει ln Δ Φ μετοχές δηλαδή το Δ θα πρέπει να είναι ίο με την παράμετρο Dl την χρονική τιγμή προφανώς η τιμή της θα είναι γνωτή το χρόνο δηλ. είναι μετρήιμη. Η τιμή του ψ προκύπτει εύκολα από τον τύπο ψ Δ. Το παραπάνω γεγονός υνάδει και με το αντίτοιχο αποτέλεμα που αποδείξαμε το διωνυμικό μοντέλο n περιόδων. Συγκεκριμένα είχαμε βρει ότι το χρόνο k το χαρτοφυλάκιο ε- ξαφάλιης θα πρέπει να αποτελείται από βλ. Παρατήρηη 4... και αν πάρουμε k Δ k v k k v k k k k Δ v lim v v v lim Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς dv d μετοχές όπου v είναι η αξία του παραγώγου όταν βρικόματε τον χρόνο και είναι γνωτό ότι. Επίης το ίδιο αποτέλεμα μπορεί να προκύψει και διαιθητικά αναλογιζόμενοι το εξής. Έτω ότι έχουμε την κατοχή μας ένα δικαίωμα αγοράς long ll το χρόνο και έτω ότι μετά από μικρό χρονικό διάτημα δ η τιμή της υποκείμενης μετοχής αυξάνεται μειώνεται κατά δ με υνέπεια να αυξηθεί μειωθεί και η τιμή του δικαιώματος κατά δ. Επομένως μετά από χρόνο δ θα έχουμε κέρδος ζημία δ. Επειδή ιχύει ότι δ Δ δ το κέρδος ζημία που θα έχουμε είναι περίπου ίη με δ Δ δ. Επομένως αν το χρόνο από το χαρτοφυλάκιο μας είχαν πωληθεί Δ το πλήθος μετοχές τότε θα είχαμε αντιταθμίει πλήρως το κέρδος ζημία που θα είχαμε από το δικαίωμα long poiion το ll απαιτεί o poiion την μετοχή. Αντίθετα αν είχαμε λάβει μία θέη o ll τότε θα έπρεπε το χρόνο να είχαμε την κατοχή μας Δ το πλήθος μετοχές o poiion το ll απαιτεί long poiion την μετοχή. Επομένως αν ένας επενδυτής έχει λάβει κάποια θέη long ή o χετικά με ένα δικαίωμα αγοράς ή πώληης τότε μπορεί να αντιταθμίει αυτή του τη θέη κατακευάζοντας ένα χαρτοφυλάκιο εξαφάλιης. Όπως είδαμε παραπάνω το χαρτοφυλάκιο αυτό είναι δυναμικό δηλαδή θα πρέπει η ύνθεη του να αναπροαρμόζεται κάθε χρονική τιγμή ώτε να είναι ίη με Δ ψ το χρόνο []. Στην πράξη αυτό δεν είναι εφικτό αλλά μπορεί η αναπροαρμογή να γίνεται κατά όο το δυνατόν μικρότερα τακτά χρονικά διατήματα οδηγώντας ε προεγγιτικό χαρτοφυλάκιο εξαφάλιης. Αλλά ας δούμε πως μπορούμε την πράξη να κατακευάουμε ένα προεγγιτικό χαρτοφυλάκιο εξαφάλιης για ένα o ll. Χωρίζουμε το [] ε n χρονικά διατήματα μήκους 98

13 /n και αναπροαρμόζουμε το χαρτοφυλάκιο έτι ώτε το χρόνο i να αποτελείται από ψ i ομόλογα και Δ i μετοχές. Όπως αναφέραμε θα πρέπει Δ i Dl που δίνεται από τον παραπάνω τύπο. Αφού πρόκειται για αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο θα πρέπει επίης να ιχύει ότι ψ i i Δ i i ψ i- i Δ i- i προκύπτει από τη γνωτή χέη i i i i που είδαμε ε μοντέλα διακριτού χρόνου και άρα το ψ i μπορεί να βρεθεί από την αναδρομική χέη ψ ψ i n i i i Δi Δ i με αρχική τιμή ψ Δ επειδή θα πρέπει να ιχύει ότι ψ Δ. Τα ψ i είναι αρνητικά και επομένως πρόκειται για δανειμό του ποού έκδοη ομολόγων. Από όα έχουμε αποδείξει παραπάνω το χαρτοφυλάκιο αυτό θα πρέπει να έχει τελική τιμή περίπου ίη με την αξία ενός ll opion. Δ n ψ n n n. Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς Στην πράξη ίως είναι βολικότερο να εργατούμε λίγο διαφορετικά : - Στο χρόνο αγοράζουμε Δ μετοχές δανειζόμενοι ποό ξ Δ με επιτόκιο. - Στο χρόνο αγοράζουμε ή πωλούμε αν είναι αρνητικό Δ Δ μετοχές ώτε να καταλήξουμε με Δ. Έχουμε τώρα δανειθεί ποό ξ ξ Δ Δ. - Στο χρόνο αγοράζουμε ή πωλούμε αν είναι αρνητικό Δ Δ μετοχές ώτε να καταλήξουμε με Δ. Έχουμε τώρα δανειθεί ποό ξ ξ Δ Δ. κ.ο.κ. - Στο χρόνο n αγοράζουμε ή πωλούμε αν είναι αρνητικό Δ n Δ n- μετοχές ώτε να καταλήξουμε με Δ n. Έχουμε τώρα δανειθεί ποό ξ n ξ n- Δ n Δ n- n. Είναι εύκολο να διαπιτώουμε ότι ψ i -i ξ i i n και επομένως η τελική αξία του χαρτοφυλακίου μας θα είναι ξ Δ ψ Δ. Συγκεκριμένα με τη τρατηγική αυτή το χρόνο i Aν > θα έχουμε μετοχή και θα χρωτάμε ποό περίπου. Aν θα έχουμε μετοχές και θα χρωτάμε ποό περίπου. Άρα με τη τρατηγική αυτή είναι αν να έχουμε λάβει μια long ll θέη καταβάλλοντας ποό το χρόνο και επομένως το χρόνο Τ με απόδοη το χρόνο Τ. Αν έχουμε επομένως λάβει μία o ll θέη τότε με την παραπάνω τρατηγική χεδόν αντιταθμίζουμε οποιοδήποτε ζημιά ή κέρδος. Η αντιτάθμιη βελτιώνεται όταν αυξάνουμε το πλήθος n των αναπροαρμογών του χαρτοφυλακίου. Είναι προφανές ότι μπορεί κανείς να ακολουθήει ανάλογη τρατηγική χωρίζοντας το [Τ] ε ανιομερή χρονικά τμήματα. Η παραπάνω τρατηγική καλείται αντιτάθμιη Δέλτα Dl dging. Μία υψηλή τιμή του Γάμμα που είναι η παράγωγος του Δέλτα ως προς την τιμή της μετοχής υποδηλώνει ότι το Δέλτα είναι αρκετά ευαίθητο τις αλλαγές της τιμής της μετοχής και ότι πρέπει να αναπροαρμόζεται πιο υχνά το προεγγιτικό χαρτοφυλάκιο εξαφάλιης. Φυικά όλα τα παραπάνω ιχύουν θεωρητικά διότι την πράξη υπάρχουν κότη υναλλαγών που αυξάνουν το κότος κατακευής του χαρτοφυλακίου εξαφάλιης ενώ επίης μπορεί το voliliy να μην παραμένει ταθερό. 99

14 Μία προομοίωη Dl dging για ένα ll opion με.5. Κ 9 ημέρες 9/365 δίνεται τους παρακάτω πίνακες η τιμή του μ δεν επηρεάζει την τρατηγική. Αναπροαρμόζουμε το χαρτοφυλάκιο κάθε ημέρες /365 n 9. Χρόνος Τιμή Μετοχής Πλήθος Μετοχών χαρτοφ. Δ Dl Μετοχές που πρέπει να αγορ. ή πωλ. Δ Δ - Κότος αγορ. ή πωλ. μετοχών Δ Δ - Αθροιτικό Κότος Δανειμός με επιτόκιο i i ξ ξ - Δ Δ - / / / / / / / / / / Έχουμε θεωρήει ότι το opion είναι επί μιας μετοχής. Στην πράξη μπορεί να έχουμε opion π.χ. επί ή μετοχών οπότε οι παραπάνω δεκαδικοί αριθμοί του Δ θα πρέπει να πολλαπλαιατούν επί ή κ.ο.κ. Όπως φαίνεται παραπάνω το χρόνο θα κατέχουμε μετοχή ενώ θα οφείλουμε ποό.596. Επομένως το χρόνο Τ θα έχουμε κέρδος.596. Εάν είχαμε λάβει long ll θέη θα είχαμε καταβάλει ποό.6467 το χρόνο ενώ το χρόνο θα εξακούαμε το δικαίωμα αφού τελικά είναι in--mony και θα είχαμε υνολικό κέρδος το χρόνο ίο με Παρατηρούμε ότι το χαρτοφυλάκιο έχει χεδόν την ίδια τελική αξία με το δικαίωμα αγοράς. Εάν είχαμε λάβει o ll θέη και ταυτόχρονα κατακευάζαμε το χαρτοφυλάκιο εξαφάλιης θα είχαμε χεδόν μηδενικό τελικό κέρδος χεδόν πλήρης αντιτάθμιη. Προφανώς εάν είχαμε πάρει μικρότερο π.χ. ημέρα θα είχαμε ακριβέτερη αντιτάθμιη. Στη υνέχεια παρουιάζουμε ακόμη μία προομοίωη Dl dging με τις ίδιες τιμές των παραμέτρων αυτή τη φορά όμως η τιμή της μετοχής «τερματίζει» κάτω από το. Χρόνος Τιμή Μετοχής Πλήθος Μετοχών χαρτοφ. Δ Dl Μετοχές που πρέπει να αγορ. ή πωλ. Δ Δ - Κότος αγορ. ή πωλ. μετοχών Δ Δ - Αθροιτικό Κότος Δανειμός με επιτόκιο i i ξ ξ - Δ Δ - / / / / / / / / / / Τώρα το χρόνο θα κατέχουμε μετοχές ενώ θα οφείλουμε ποό.78. Επομένως το χρόνο Τ θα έχουμε κέρδος ζημία αφού είναι <.78. Εάν είχαμε λάβει long ll θέη θα είχαμε καταβάλει ποό.6467 το χρόνο ενώ το χρόνο θα δεν εξακούαμε το δικαίωμα και θα είχαμε υνολικό κέρδος το χρόνο ίο με Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς

15 Παρατηρούμε ότι και ε αυτή την περίπτωη είχαμε μια ικανοποιητική αντιτάθμιη μιας o ll θέης. Παρατήρηη Τα παραπάνω ιχύουν για τίτλους με υμπεριφορά παρόμοια με αυτήν που προϋποθέτει το μοντέλο κυρίως ιχύουν για μετοχές χωρίς μέριμα ή δείκτες μετοχών. Εάν ένα δικαίωμα είναι επί ενός τίτλου με διαφορετική υμπεριφορά π.χ. μετοχές με μέριμα υνάλλαγμα ομόλογα κ.α. θα πρέπει να υπάρξει διαφορετική αντιμετώπιη κατάλληλη τροποποίηη της παραπάνω διαδικαίας Διάφορες παραλλαγές δικαιωμάτων προαίρεης oi opion Εκτός από τα υνήθη δικαιώματα προαίρεης που περιγράφηκαν παραπάνω τα οποία μερικές φορές καλούνται και vnill opion τα τελευταία χρόνια έχουν αρχίει να προελκύουν το ενδιαφέρον των επενδυτών δικαιώματα προαίρεης με διαφορετικούς όρους τα οποία είναι γνωτά ως oi opion. Κυριότερα oi opion είναι:. Bi opion. Αυτά τα δικαιώματα θεωρούνται ιχύοντα ή μη ιχύοντα «liv» ή «killd» ανάλογα με το αν η τιμή του υποκείμενου τίτλου π.χ. μετοχή από τον χρόνο αγοράς μέχρι τον χρόνο εξάκηης του δικαιώματος περάει ή όχι ένα δεδομένο φράγμα i. Υπάρχουν 4 υποκατηγορίες: down-nd-in: θεωρούνται liv και μπορούν να εξακηθούν μόνο όταν η τιμή της μετοχής περάει κάτω από ένα προκαθοριμένο φράγμα u u < μέχρι το χρόνο εξάκηης Τ. down-nd-ou: θεωρούνται dd και δεν μπορούν να εξακηθούν όταν η τιμή της μετοχής περάει κάτω από ένα προκαθοριμένο φράγμα u u < μέχρι το χρόνο εξάκηης Τ. up-nd-in: θεωρούνται liv και μπορούν να εξακηθούν μόνο όταν η τιμή της μετοχής περάει πάνω από ένα προκαθοριμένο φράγμα u u > μέχρι το χρόνο εξάκηης Τ. up-nd-ou: θεωρούνται dd και δεν μπορούν να εξακηθούν όταν η τιμή της μετοχής περάει πάνω από ένα προκαθοριμένο φράγμα u u > μέχρι το χρόνο εξάκηης Τ. Συνήθως η τιμή της μετοχής υγκρίνεται με το u μόνο κατά το τέλος της υνεδρίαης κάθε ημέρα.. Ain opion. Η αξία αυτών των δικαιωμάτων εξαρτάται από την πορεία της τιμής της μετοχής μέχρι τον χρόνο εξάκηής τους από την τυχαία διαδρομή της ανέλιξης []. Μία περίπτωη είναι η εξής: η τιμή εξάκηης του δικαιώματος ik piz δεν είναι προκαθοριμένη αλλά είναι ίη με τη μέη τιμή που είχε η μετοχή από το χρόνο αγοράς του δικαιώματος μέχρι τον χρόνο εξάκηης π.χ. μετρούμενη κατά το τέλος των υνεδριάεων κάθε ημέρα. 3. Lookk opion. Η αξία και αυτών των δικαιωμάτων εξαρτάται από την πορεία της τιμής της μετοχής μέχρι τον χρόνο εξάκηής τους. Συγκεκριμένα η τιμή εξάκηης του δικαιώματος ik piz δεν είναι προκαθοριμένη αλλά είναι ίη με την μικρότερη τιμή που είχε η μετοχή από το χρόνο αγοράς του δικαιώματος μέχρι τον χρόνο εξάκηης Τ π.χ. μετρούμενη κατά το τέλος των υνεδριάεων κάθε ημέρα. Αν θεωρήουμε το μοντέλο των B- η no-ig τιμή το χρόνο των παραπάνω δικαιωμάτων δίνεται και πάλι από τον γενικό τύπο [] Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς

16 όπου υπό το μέτρο πιθανότητας η τιμή της μετοχής [] είναι μία GBM /. Π.χ. ένα Lookk opion έχει τελική αξία inf{ [ ]} και επομένως θα έχει no-ig τιμή το χρόνο inf{ [ ]} ~ GBM. Αντίτοιχα ένα Ain opion έχει τελική αξία n i / n n i ενώ υπάρχουν και άλλες παραλλαγές Ain opion με τελική αξία n i / n n d i d Επίης ένα down-nd-in Bi opion θα έχει τελική αξία Iinf{ [ ]} u <. κ.ο.κ. Σε μερικές από τις παραπάνω περιπτώεις μπορεί να βρεθεί αναλυτικός τύπος για την τιμή τους π.χ. Lookk Bi αν και αρκετά πιο ύνθετος από αυτόν που αντιτοιχεί τα ll opion ενώ ε άλλες δεν έχει βρεθεί μέχρι τώρα αναλυτικός τύπος και η τιμή τους μπορεί να βρεθεί μόνο προεγγιτικά π.χ. τις διάφορες παραλλαγές των Ain opion Γενίκευη του μοντέλου των Blk ol θεωρώντας τοχατική μεταβλητότητα voliliy τάη dif και επιτόκιο Σε αυτή την παράγραφο θα γενικεύουμε το μοντέλο των Blk ol Mon θεωρώντας ότι το voliliy το dif μ και το επιτόκιο δεν είναι ταθερά το [] αλλά μεταβάλλονται με τυχαίο ή μη τρόπο δηλαδή είναι τοχατικές ανελίξεις μ αντίτοιχα. Για να είναι εφικτή η αναλυτική αντιμετώπιη του προβλήματος θα θεωρήουμε επιπλέον ότι οι μ είναι μετρήιμες όπου [ ] είναι το φυικό φιλτράριμα της κίνηης Bown W [ ]. Με άλλα λόγια θα υποθέουμε ότι αν γνωρίζουμε την διαδρομή της W [ ] μέχρι κάποιο τότε γνωρίζουμε και τις διαδρομές και των μ το ίδιο διάτημα οι μ «οδηγούνται» από την W. Έτω λοιπόν μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [ ] για κάποιο δεδομένο Τ. Θα εργατούμε και πάλι ε έναν χώρο Ω P. Υποθέτουμε ότι το χώρο αυτό έχουμε μια τυπική κίνηη Bown W [ ] με φυικό φιλτράριμα W [ ]. Όπως και το μοντέλο Blk ol θεωρούμε ότι την αγορά αυτή διατίθενται οι παρακάτω τίτλοι : Ο τίτλος ikl. Ένα ομόλογο επί μιας χρηματικής μονάδας το χρόνο. Ό- πως προαναφέραμε θα θεωρήουμε ότι το επιτόκιο είναι μια τοχατική ανέλιξη [ ] προαρμομένη την. Σε αυτή την περίπτωη είναι εύκολο να επαληθεύουμε βλ. Παράγραφο..3. ότι η επένδυη μιας χρηματικής μονάδας το χρόνο αποδίδει μετά από χρόνο Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς

17 ποό p d. Επομένως η παρούα προεξοφλημένη αξία μιας χρηματικής μονάδας το χρόνο θα είναι Από τον τύπο του Iô για Y D d dioun po d f y y Y ιχύει ότι dd df Y dy D d. Ο τίτλος iky. Μια μετοχή π.χ. ΑΑΑ η οποία το χρόνο έχει αξία. Στο μοντέλο B- θεωρήαμε ότι η τοχατική ανέλιξη [] είναι μία γεωμετρική κίνηη Bown W μ με αρχική τιμή δηλαδή και επομένως ικανοποιεί την τοχατική διαφορική εξίωη d dw μ d με ταθερά μ. Τώρα θα θεωρήουμε ότι η ικανοποιεί την τοχατική διαφορική εξίωη d dw μ d όπου μ [] είναι τοχατικές ανελίξεις προαρμομένες την. Η είναι μία ανέλιξη Iô και είναι εύκολο να δούμε τώρα ότι dw μd. Πράγματι αν πάρουμε την ανέλιξη Iô Υ dw μd τότε Y. Αν f τότε ο τύπος του Iô df Y f Y dy f Y d f Y H d δίνει d Y Y Y Y dy d dw μ d d και άρα Y d dw μ d d. Ο τίτλος 3 diviv. Ένα απλό παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρωπαϊκού τύπου με χρόνο λήξης Τ επί της μετοχής ΑΑΑ. Ως ένα τέτοιο παράγωγο θεωρείται μία τ.μ. που είναι Τ μετρήιμη η τ.μ. εκφράζει την αξία του παραγώγου το χρόνο Τ. Το πρόβλημα που καλούματε και πάλι να αντιμετωπίουμε είναι η εύρεη της αξίας του παραγώγου ε χρόνο [ ]. Θα ακολουθήουμε τα ίδια βήματα που κάναμε το μοντέλο B- μόνο που τώρα θα πρέπει να υπάρξουν κάποιες διαφοροποιήεις γιατί τα μ δεν είναι ταθερά. Θα κατακευάουμε και πάλι ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο με τελική αξία ίη με την αξία του παραγώγου το χρόνο εξάκηης Τ. Έτω λοιπόν ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο που το χρόνο αποτελείται από ψ ομόλογα και Δ μετοχές δηλαδή ψ Δ. Η αξία του το χρόνο θα είναι Dψ Δ και επειδή το χαρτοφυλάκιο είναι αυτοχρηματοδοτούμενο θα ιχύει επίης όμοια με το μοντέλο B- ότι d Dψ d Δ d. Συμβολίζουμε και πάλι με D - και με D - την παρούα προεξοφλημένη αξία του χαρτοφυλακίου και της υποκείμενης μετοχής το χρόνο αντίτοιχα. Το επόμενο λήμ- Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 3

18 μα αποτελεί γενίκευη του αντίτοιχου λήμματος που αποδείχθηκε για το μοντέλο B- και αποδεικνύεται παρόμοια η απόδειξη αφήνεται ως άκηη. όπου W Λήμμα Η προεξοφλημένη αξία του χαρτοφυλακίου το χρόνο δίνεται από τη χέη W Θ d με Θ. μ Δ dw Το βαικό θεώρημα της παραγράφου είναι το επόμενο το οποίο ουιατικά γενικεύει το αντίτοιχο θεώρημα που αποδείχθηκε το μοντέλο B-. Η απόδειξη παρότι είναι παρόμοια περιλαμβάνεται παρακάτω διότι παρουιάζει κάποιες επιπλέον τεχνικές δυκολίες. Θεώρημα ik nul piing fomul Στο γενικευμένο μοντέλο Blk-ol: Αν ένα απλό παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν Ευρωπαϊκού τύπου με χρόνο λήξης έχει τελική αξία τότε το χρόνο θα έχει no-ig αξία d [] όπου το μέτρο : Α Z I A Z p Θ dw Θ d P A Απόδειξη. Από το Θεώρημα Ginov η ανέλιξη Iô μ Θ. W W Θ d όπου μ Θ είναι κίνηη Bown ΒΜ ως προς το που περιγράφεται παραπάνω. Επομένως η Δ dw [] θα είναι - mingl και άρα από όπου προκύπτει ότι d d d []. Η τελευταία ιότητα ιχύει διότι η τ.μ. p d είναι - μετρήιμη. d Ορίζουμε την ανέλιξη [ ]. Θα κατακευάουμε ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο με αξία το χρόνο έτι ώτε [ ]. Μπορούμε εύκολα να διαπιτώουμε ότι η ανέλιξη D [] είναι - mingl ως προς την ιτορία [Τ]. Από το γεγονός αυτό προκύπτει ότι και η ανέλιξη M Z είναι P-mingl. Πράγματι από τη χέη Z Y P Y Z που ιχύει για κάθε μετρήιμη τ.μ. Υ βλ. Παράγραφο 5.8 θα είναι Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς <. P Z Z Z H ανέλιξη M Z [Τ] είναι P - mingl ως προς την ιτορία [Τ] που παράγεται από την W [Τ] και επομένως από το Θεώρημα αναπαράταης mingl υπάρχει μία προαρμομένη ανέλιξη G [Τ] τέτοια ώτε 4

19 M M G dw [ ] και άρα dm G dw. Στη υνέχεια παρατηρούμε ότι M / Z d και επομένως d M dm M d dm d. Z Z Z Z Από το λήμμα του Iô αποδεικνύεται τώρα εύκολα ότι d/z Θ Z Θ dw d και άρα Z G M Θ G M Θ dw Θd dw G dw d Z Z Z Z Δηλαδή η έχει την αναπαράταη GdW όπου η G είναι μια ανέλιξη προαρμομένη την [Τ]. Αν τώρα κατακευάουμε το αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο έτι ώτε να έχει αρχική αξία ενώ το χρόνο [Τ] να περιέχει Δ G / μετοχές τότε θα έχει παρούα αξία G G dw Δ dw dw. [Τ]. και επομένως [ ]. Άρα το παράγωγο έχει την ίδια αξία με το υγκεκριμένο δυναμικό χαρτοφυλάκιο το χρόνο Τ λήξης του και επομένως το παράγωγο θα έχει την ίδια noig αξία με το χαρτοφυλάκιο αυτό για κάθε [Τ]. Παρατήρηη Στο υγκεκριμένο μοντέλο η τιμή της μετοχής το χρόνο δίνεται από τη χέη και επειδή dw dw d προκύπτει ότι μ dw μd dw d όπου η W είναι κίνηη Bown ως προς το. Δεν μπορούμε όπως τώρα να προχωρήουμε περιότερο και να βρούμε π.χ. τον ακριβή τύπο της τιμής ενός δικαιώματος αγοράς διότι θα πρέπει να γνωρίζουμε την μορφή των ανελίξεων μ όπως προαναφέρθηκε θα πρέπει το μοντέλο αυτό να εξαρτώνται από την ανέλιξη W. Κλείνοντας αξίζει να αναφέρουμε ότι με κοπό την καλύτερη περιγραφή της πραγματικότητας έχουν προταθεί και πολλά άλλα μοντέλα εκτός του B- και του γενικευμένου B- τα οποία απαιτούν μία πιο ύνθετη αντιμετώπιη. Για παράδειγμα έχουν προταθεί μοντέλα τα οποία η «τυχαιότητα» μπορεί να οφείλεται ε περιότερες από μία υχετιμένες κινήεις Bown. Επίης έχουν προταθεί μοντέλα που προβλέπουν «άλματα» της τιμής του υποκείμενου τίτλου Bownin moion nd wi jump που εμφανίζονται τυχαία π.χ. ύμφωνα με μια ανέλιξη Poion. Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 5

20 Ακήεις Κεφαλαίων 5 παρ και 6 παρ Άκηη. Αν μια τοχατική ανέλιξη Χ είναι κίνηη Bown με παράμετρο τάης μ και μεταβλητότητα και X ποια κατανομή ακολουθούν οι τυχαίες μεταβλητές Χ 3 Χ 6 Χ 4 Χ 7 Χ. Είναι κάποιες από αυτές ανεξάρτητες μεταξύ τους και γιατί; Άκηη. Αν Χ ~ BM τότε X X min{} για. Άκηη 3. Αν η ανέλιξη της αξίας μιας μετοχής [] το χρονικό διάτημα [Τ] Τ > ο χρόνος μετράται ε έτη περιγράφεται από μια γεωμετρική κίνηη Bown με παραμέτρους μ.3 dif και. voliliy να βρείτε την αναμενόμενη αξία της μετοχής το χρόνο 3/ τρείς μήνες και την πιθανότητα να είναι μεγαλύτερη από ήμερα έχει αξία. Ποια είναι η αναμενόμενη αξία και η διαπορά της αξίας της μετοχής μετά από ένα χρόνο; Άκηη 4. Αν η ανέλιξη της αξίας μιας μετοχής [] το χρονικό διάτημα [Τ] ο χρόνος μετράται ε έτη περιγράφεται από μια γεωμετρική κίνηη Bown με παραμέτρους μ.5 dif και. voliliy να βρείτε την πιθανότητα να εξακηθεί ένα δικαίωμα πώληης ευρωπαικού τύπου επί της μετοχής αυτής με 6/ και Κ 5. ήμερα η μετοχή έχει αξία. Άκηη 5. Έτω ότι οι τιμές κλειίματος μιας μετοχής ΑΑΑ το χρήματιτήριο τις τελευταίες εβδομάδες είναι ε ευρώ: Εκτιμήτε το voliliy της μετοχής αυτής. Άκηη 6. Έτω ότι ήμερα γίνεται διαπραγμάτευη δικαιωμάτων αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου επί μετοχών ΑΑΑ που περιγράφονται την Άκηη 5 δεν αποδίδουν μέριμα μέχρι το χρόνο Τ. Η μετοχή ΑΑΑ έχει ήμερα αξία την αγορά ίη με 9.3 ευρώ. Συγκεκριμένα διατίθενται δικαιώματα αγοράς με ημερομηνία λήξης 3/ και 5/ και με ik piz Κ 8 9 ευρώ το καθένα δηλαδή 3 6 διαφορετικά είδη. Αν το επιτόκιο της αγοράς είναι ίο με.4 βρείτε τις no-ig τιμές των δικαιωμάτων αυτών εκτιμήτε την μεταβλητότητα από τα δεδομένα της Άκηης 5. Άκηη 7. Συνέχεια της άκηης 6: Βρείτε τις no-ig τιμές των αντίτοιχων δικαιωμάτων πώληης Ευρωπαϊκού τύπου και δικαιωμάτων αγοράς Αμερικανικού τύπου. Άκηη 8. Μία εταιρία κοπεύει να εκδώει ένα παράγωγο επί μιας μετοχής ΑΑΑ το οποίο μετά από χρόνο Τ αποδίδει ποό ln. Η αξία της μετοχής το χρονικό διάτημα [] θεωρούμε ότι ακολουθεί γεωμετρική κίνηη Bown με παραμέτρους μ. Ποια θα πρέπει να είναι η αξία του υγκεκριμένου παραγώγου το χρόνο ; ώτε να μην δημιουργείται ευκαιρία για ig. Άκηη 9. Όπως και την προηγούμενη άκηη μία εταιρία κοπεύει να εκδώει ένα παράγωγο επί μιας μετοχής ΑΑΑ το οποίο μετά από χρόνο Τ αποδίδει ποό. Και πάλι θεωρούμε ότι η αξία της μετοχής το [] ακολουθεί γεωμετρική κίνηη Bown με παραμέτρους μ. Ποια θα πρέπει να είναι τώρα η αξία του υγκεκριμένου παραγώγου το χρόνο ; ώτε να μην δημιουργείται ευκαιρία για ig. Άκηη. Βρείτε που υγκλίνει η no-ig αξία ενός δικαιώματος αγοράς Ευρωπαικού τύπου δηλ. ο τύπος των Blk nd ol όταν πληιάζουμε το χρόνο λήξης δηλαδή όταν. Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 6

21 Άκηη. Ένα δικαίωμα αγοράς Ευρωπαϊκού τύπου διατίθεται ήμερα την τιμή των 5 ευρώ ενώ η τιμή της υποκείμενης μετοχής ήμερα είναι 3 ευρώ. Αν η τιμή εξάκηης Κ είναι 5 ευρώ και το δικαιώμα λήγει μετά από 4 μήνες εκτιμήτε προεγγιτικά το voliliy της υποκείμενης μετοχής implid voliliy. Θεωρήτε ότι το ετήιο επιτόκιο της αγοράς είναι.4. Bouik M Σημειώεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» Τμήμα Στατιτικής & Αφαλιτικής Επιτήμης Πανεπιτήμιο Πειραιώς 7