1 ο ΜΑΘΗΜΑ Εισαγωγή στη Στατιστική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 ο ΜΑΘΗΜΑ Εισαγωγή στη Στατιστική"

Transcript

1 1 ο ΜΑΘΗΜΑ Εισαγωγή στη Στατιστική Α ΜΕΡΟΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΜΑΣ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη συλλογή, την οργάνωση, την παρουσίαση και την ανάλυση αριθμητικών δεδομένων ή ποιοτικών χαρακτηριστικών, που λαμβάνονται από ένα σύνολο αντικειμένων τα οποία συνθέτουν τον υπό μελέτη πληθυσμό. Κύριος στόχος της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό με τη χρήση και την επεξεργασία ενός μοναδικού δείγματος, δηλαδή ενός μικρού μέρους (υποσυνόλου) του πληθυσμού. Η Περιγραφική Στατιστική (Descrptve Statstcs) είναι το σύνολο των μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την οργάνωση και την παρουσίαση των δεδομένων. Εδώ θα συναντήσουμε τους στατιστικούς πίνακες (οργάνωση των δεδομένων) και διάφορους τύπους γραφημάτων (παρουσίαση των δεδομένων). Ακόμα, στην Περιγραφική Στατιστική συμπεριλαμβάνονται ο υπολογισμός και η ερμηνεία αριθμητικών μέτρων (δεικτών), όπως ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος, κ.α. Η Επαγωγική Στατιστική (Inferental Statstcs) είναι το σύνολο των μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή των συμπερασμάτων και τη λήψη αποφάσεων. 1.1 Πληθυσμός Δείγμα Πληθυσμός (populaton) μιας στατιστικής έρευνας είναι το σύνολο των οντοτήτων που πρόκειται να μελετήσουμε, ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά του. Ο πληθυσμός μπορεί να είναι ένα σύνολο ανθρώπων (για παράδειγμα το σύνολο των κατοίκων της Ελλάδας, το σύνολο των μεταναστών στην Ελλάδα, το σύνολο των τουριστών που επισκέφτηκαν τη χώρα μια συγκεκριμένη χρονιά, κ.λπ.) Μπορεί να είναι ένα σύνολο αντικειμένων (για παράδειγμα, το σύνολο των ταξί μιας πόλης, το σύνολο των κινητών τηλεφώνων που παράγει μια εταιρεία, το σύνολο των ενοικιαζόμενων για διακοπές δωματίων που διαθέτει η χώρα ή το σύνολο των μεγάλων ξενοδοχειακών μονάδων, κ.λπ.) Μπορεί να είναι το σύνολο των μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους (τιμές θερμοκρασίας τον μήνα Ιούλιο), ενός οικονομικού μεγέθους (το Α.Ε.Π. μιας χώρας), κ.α. Τις περισσότερες φορές ο πληθυσμός που πρόκειται να μελετήσουμε είναι πολύ μεγάλος. Χρονικοί αλλά και οικονομικοί λόγοι καθιστούν την απογραφή ολόκληρου του πληθυσμού σχεδόν αδύνατη. Έτσι, η συλλογή των δεδομένων περιορίζεται στην καταγραφή ενός μικρού σχετικά υποσυνόλου που επιλέγεται κατάλληλα από τον πληθυσμό. Το υποσύνολο αυτό ονομάζεται δείγμα (sample) της στατιστικής έρευνας. Θα πρέπει εδώ να αναφέρουμε ότι η επιλογή του κατάλληλου δείγματος (δειγματοληψία - samplng), αποτελεί το πρώτο και, φυσικά, καθοριστικό βήμα για μια ορθή και αξιόπιστη

2 2 1 ο Μάθημα στατιστική έρευνα. Σε μια δειγματοληψία, οφείλουμε να ακολουθούμε τους κανόνες που ορίζονται από την Στατιστική και να χρησιμοποιούμε τις ενδεδειγμένες μεθόδους (τεχνικές δειγματοληψίας) 1.2 Μεταβλητές Είδη Μεταβλητών Δεδομένα Μεταβλητή (varable) είναι κάθε χαρακτηριστικό του πληθυσμού το οποίο διαφοροποιείται από αντικείμενο σε αντικείμενο, από περιοχή σε περιοχή ή αλλάζει με το πέρασμα του χρόνου. Το ύψος, το βάρος, το χρώμα των ματιών ενός εφήβου είναι μεταβλητές του πληθυσμού των εφήβων στην Ελλάδα. Ο αριθμός των εργαζομένων, τα έσοδα, τα έξοδα είναι μεταβλητές του πληθυσμού των επιχειρήσεων. Συνηθίζουμε να συμβολίζουμε τις μεταβλητές με κεφαλαία γράμματα, όπως X, Y, Z. Ποσοτική (quanttatve) είναι κάθε μεταβλητή που μπορεί να μετρηθεί, με την κοινή έννοια του όρου. Ο χρόνος (σε mn) που ξοδεύει καθημερινά στο Internet ο φοιτητής, η αξία (σε ) μιας μετοχής, ο αριθμός των μελών της οικογένειας είναι ποσοτικές μεταβλητές. Ποιοτική (qualtatve) είναι η μεταβλητή που καταγράφει κάποιο ποιοτικό (μη μετρήσιμο) χαρακτηριστικό. Για παράδειγμα, το χρώμα των ματιών ενός ατόμου, το επίπεδο μόρφωσης, η οικογενειακή κατάσταση, ο τόπος καταγωγής είναι ποιοτικές μεταβλητές. Τιμή μιας μεταβλητής είναι το αποτέλεσμα που προκύπτει από τη μέτρηση ή την καταγραφή της. Οι ποσοτικές μεταβλητές παίρνουν σαν τιμές πραγματικούς αριθμούς και χωρίζονται σε διακριτές (dscrete) και συνεχείς (contnuous). Διακριτή, είναι η ποσοτική μεταβλητή που παίρνει τις τιμές της από ένα αριθμήσιμο σύνολο, δηλαδή ένα σύνολο αριθμών που μπορούμε να το απαριθμήσουμε στοιχείο προς στοιχείο. Για παράδειγμα, το πλήθος των μαθημάτων που μπορεί να δηλώσει ο φοιτητής σε ένα εξάμηνο είναι διακριτή μεταβλητή που παίρνει τιμές από το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Το πλήθος των πελατών που καταφθάνουν σε ένα ΑΤΜ σε ένα χρόνο είναι μία διακριτή μεταβλητή που παίρνει τιμές από το σύνολο {, 1, 2, 3, 4,. }. Ο βαθμός ενός φοιτητή στο μάθημα της Στατιστικής είναι διακριτή μεταβλητή που παίρνει τιμές από το σύνολο {,.5, 1, 1.5, 2, 2.5,, 9, 9.5, } Συνεχής είναι η ποσοτική μεταβλητή που παίρνει τιμές σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών. Για παράδειγμα, ο χρόνος σε mn που ξοδεύει καθημερινά στο Internet ένας φοιτητής είναι συνεχής μεταβλητή, που παίρνει τιμές στο διάστημα 15 mn 3 mn. Θα πρέπει εδώ να επισημάνουμε ότι η τιμή που καταγράφουμε όταν μετράμε μία συνεχή μεταβλητή είναι, τις περισσότερες φορές, μία προσέγγιση της πραγματικής τιμής η οποία εξαρτάται από την ακρίβεια του οργάνου μέτρησης. Οι ποιοτικές μεταβλητές παίρνουν σαν τιμές τους λέξεις («χαρακτηρισμούς» ή «ετικέτες») και διακρίνονται σε ονομαστικές (nomnal) και διατακτικές (ordnal). Μια ποιοτική μεταβλητή είναι ονομαστική όταν μεταξύ των τιμών της δεν υπάρχει σχέση ιεραρχίας. Μαρίνα Σύρπη

3 Εισαγωγή στη Στατιστική 3 Για παράδειγμα, το χρώμα των μαλλιών είναι μία ποιοτική μεταβλητή που παίρνει τιμές από το σύνολο {ξανθό, καστανό, μαύρο} και είναι ονομαστική, καθώς μεταξύ των χρωμάτων δεν έχει νόημα να θεωρήσουμε κάποια ιεραρχία. Ο χαρακτηρισμός που ακολουθεί τον βαθμό του πτυχίου είναι μία ποιοτική μεταβλητή που παίρνει τιμές από το σύνολο {Καλώς, Λίαν Καλώς, Άριστα} και είναι διατακτική, καθώς ανάμεσα στις κατηγορίες υπάρχει ιεραρχία. Δεδομένα (data) είναι το σύνολο των καταγεγραμμένων τιμών μιας μεταβλητής, που λαμβάνονται από τη δειγματοληψία. Για τις ποσοτικές μεταβλητές, τα δεδομένα είναι πραγματικοί αριθμοί. Για τις ποιοτικές μεταβλητές τα δεδομένα είναι «ετικέτες». Έτσι μιλάμε για ποσοτικά ή αριθμητικά δεδομένα και για ονομαστικά ή κατηγορικά δεδομένα. Πολλές φορές για την αποθήκευση των ονομαστικών δεδομένων χρησιμοποιούμε αριθμούς, για παράδειγμα {Καλώς = 1, Λίαν Καλώς = 2, Άριστα = 3}, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι είναι δυνατή η εκτέλεση αριθμητικών πράξεων μεταξύ των δεδομένων. 1.3 Παράμετρος Στατιστικό Παράμετρος ενός πληθυσμού (parameter) είναι κάθε αριθμός που συνοψίζει κάποιο χαρακτηριστικό του πληθυσμού. Ο υπολογισμός μιας παραμέτρου μπορεί να γίνει με τη χρήση του κατάλληλου μαθηματικού τύπου που υποδεικνύει η Στατιστική. Για παράδειγμα, το μέσο ύψος των εφήβων στην Ελλάδα είναι μία παράμετρος του πληθυσμού των Ελλήνων εφήβων. Η τιμή μιας παραμέτρου στον πληθυσμό είναι μοναδική. Και για να υπολογιστεί αυτή η τιμή, θα πρέπει να γίνει απογραφή ολόκληρου του πληθυσμού. Καθώς αυτό είναι τις περισσότερες φορές αδύνατο, η τιμή της παραμέτρου στον πληθυσμό παραμένει άγνωστη. Στατιστικό ή στατιστική ενός δείγματος (statstc) είναι κάθε αριθμός που συνοψίζει κάποιο χαρακτηριστικό του δείγματος. Για παράδειγμα, ο αριθμητικός μέσος του ύψους 5 εφήβων που επιλέγονται τυχαία από τον πληθυσμό των εφήβων στην Ελλάδα, είναι ένα στατιστικό του δείγματος. Η τιμή ενός στατιστικού υπολογίζεται, όπως και στην περίπτωση της παραμέτρου, από κάποιον τύπο και χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της αντίστοιχης παραμέτρου του πληθυσμού. Η τιμή ενός στατιστικού μεταβάλλεται από δείγμα σε δείγμα. Δηλαδή, διαφορετικά δείγματα εφήβων παρμένα τυχαία από τον πληθυσμό θα δώσουν διαφορετικούς αριθμητικούς μέσους. Ωστόσο, η Στατιστική μας εγγυάται ότι καμία από αυτές τις τιμές δεν θα είναι απομακρυσμένη από την αντίστοιχη τιμή της παραμέτρου στον πληθυσμό. Με άλλα λόγια, η τιμή της στατιστικής ενός δείγματος είναι πάντα μια βέλτιστη εκτίμηση της πραγματικής αλλά άγνωστης τιμής της αντίστοιχης παραμέτρου στον πληθυσμό. Σημειώσεις Στατιστικής

4 4 1 ο Μάθημα Παράδειγμα 1 Σε μία έρευνα για το είδος εξοχικής κατοικίας των κατοίκων της Θεσσαλονίκης, ο πληθυσμός μας είναι οι κάτοικοι της Θεσσαλονίκης που κατέχουν εξοχική κατοικία. Μεταβλητές που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στην έρευνα είναι οι παρακάτω: Το μέγεθος της κατοικίας σε m 2, που είναι μία ποσοτική συνεχής μεταβλητή. Οι ημέρες διαμονής ανά έτος στην εξοχική κατοικία, που είναι μία ποσοτική διακριτή μεταβλητή. Το είδος της κατοικίας (συγκρότημα ή μονοκατοικία), που είναι μία ποιοτική ονομαστική μεταβλητή. Η ποιότητα διαμονής στην εξοχική κατοικία (Άριστη, Πολύ Καλή, Μέτρια) που είναι μία ονομαστική διατακτική μεταβλητή. Κατονομάστε και χαρακτηρίστε και άλλες μεταβλητές που θα σας ενδιέφεραν σε μια τέτοια έρευνα. Αναφέρετε τους λόγους για τις οποίους τις επιλέξατε. Παράδειγμα 2 Το τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων διεξάγει έρευνα για την επαγγελματική αποκατάσταση των πτυχιούχων του, κατά την τελευταία πενταετία. Ο πληθυσμός είναι το σύνολο των φοιτητών που αποφοίτησαν από το τμήμα τα τελευταία πέντε χρόνια. Μεταβλητές που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στην έρευνα είναι οι παρακάτω: Εργασία (Ναι ή Όχι) που είναι μία ποιοτική ονομαστική μεταβλητή. Φύλο (Άνδρας Γυναίκα) που είναι μια ποιοτική ονομαστική μεταβλητή. Εισόδημα από την εργασία, που είναι μία ποσοτική συνεχής μεταβλητή. Συνθήκες εργασίας (Άριστες, Καλές, Μέτριες, Κακές), που είναι μία ποσοτική διατακτική μεταβλητή. Κατονομάστε και χαρακτηρίστε και άλλες μεταβλητές που θα σας ενδιέφεραν σε μια τέτοια έρευνα. Αναφέρετε τους λόγους για τις οποίους τις επιλέξατε. Μαρίνα Σύρπη

5 Εισαγωγή στη Στατιστική 5 Β ΜΕΡΟΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΩΝ Η ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Για την οργάνωση των δεδομένων χρησιμοποιούμε κυρίως τους πίνακες, τόσο για τα ποιοτικά όσο και για τα ποσοτικά δεδομένα. Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από τους υπολογισμούς γίνεται με τη χρήση διαφόρων διαγραμμάτων, δημοφιλέστερα εκ των οποίων εξακολουθούν να είναι τα ραβδογράμματα (bar charts) και τα κυκλικά διαγράμματα (pe charts) για τα ποιοτικά δεδομένα, τα ιστογράμματα (hstograms) για τα ποσοτικά και γραμμικά διαγράμματα (lne charts) για αριθμητικά δεδομένα που συλλέγονται στο χρόνο. 1.4 Οργάνωση και Παρουσίαση Ποιοτικών Δεδομένων Στην περίπτωση των ποιοτικών δεδομένων έχουμε κατηγορίες. Η μόνη αριθμητική πράξη που μπορούμε να εκτελέσουμε είναι ο υπολογισμός της συχνότητας κάθε κατηγορίας. μιας κατηγορίας είναι το πλήθος των παρατηρήσεων του δείγματος που ανήκουν στην κατηγορία αυτή. Ο υπολογισμός της συχνότητας γίνεται από τη διαλογή του δείγματος. Παράδειγμα Ρωτήσαμε 5 φοιτητές που δεν μένουν με τις οικογένειές τους στη Θεσσαλονίκη, για τον τρόπο που επιλέγουν το καθημερινό τους γεύμα, με τις απαντήσεις να έχουν κωδικοποιηθεί ως εξής: Δωρεάν από το ΤΕΙ (1), Fast Food (2), Μαγειρεύω στο σπίτι (3). Οι απαντήσεις που πήραμε εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα Επιλογή Καθημερινού Γεύματος Η κατανομή των συχνοτήτων δίνεται στον παρακάτω πίνακα α/α Γεύμα 1 Δωρεάν Σίτιση 26 2 Fast Food 18 3 Στο σπίτι 6 ΣΥΝΟΛΟ 5 Τις περισσότερες φορές ο παραπάνω πίνακας συμπληρώνεται από τον υπολογισμό των σχετικών συχνοτήτων των κατηγοριών. = Σύνολο Σημειώσεις Στατιστικής

6 6 1 ο Μάθημα Έτσι παίρνουμε το παρακάτω πίνακα της κατανομής των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων: α/α Γεύμα Ποσοστό 1 Δωρεάν Σίτιση 26 2 Fast Food = % 18 = % 5 3 Στο σπίτι 6 6 = % 5 ΣΥΝΟΛΟ 5 1 % Από τον παραπάνω πίνακα βλέπουμε ότι το 52 % των φοιτητών επιλέγουν την Δωρεάν σίτιση, 36% Fast Food και μόλις 12% μαγειρεύουν στο σπίτι τους. Για την οπτική παρουσίαση των συχνοτήτων στην περίπτωση ποιοτικών δεδομένων χρησιμοποιούμε κυρίως τα ραβδογράμματα (bar charts) και τα κυκλικά διαγράμματα (pe charts) % 5% 52% 18 4% 36% 15 3% 5 6 % % 12% Δωρεάν Σίτιση Fast Food Σπίτι % Δωρεάν Σίτιση Fast Food Σπίτι Ραβδόγραμμα Συχνοτήτων Ραβδόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων Σπίτι 12% Fast Food 36% Δωρεάν Σίτιση 52% Κυκλικό Διάγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων Μαρίνα Σύρπη

7 Εισαγωγή στη Στατιστική Οργάνωση και Παρουσίαση Ποσοτικών Δεδομένων - Ομαδοποίηση Όταν τα αριθμητικά δεδομένα που συλλέγουμε είναι συνεχή ή όταν είναι πολλά τότε καταφεύγουμε σε ομαδοποίηση, χωρίζοντας το εύρος των τιμών σε μια σειρά ξεχωριστών μή επικαλυπτόμενων διαστημάτων. Τα διαστήματα αυτά ονομάζονται συνήθως κλάσεις ή διαστήματα κλάσεων. Το πλήθος των κλάσεων Το πλήθος των κλάσεων καθορίζεται από εμπειρικούς τύπους, πίνακες ή προϋπάρχουσα βιβλιογραφική αναφορά. Πολλές φορές χρησιμοποιούμε τον τύπο του Sturges, σύμφωνα με τον οποίο A log n όπου, A είναι ο αριθμός των διαστημάτων και n το πλήθος των παρατηρήσεων. Το πλάτος ή εύρος των κλάσεων υπολογίζεται από τη σχέση r Εύρος δείγματος A Πλήθος κλάσεων max mn A Στο παραπάνω αποτέλεσμα γίνεται πάντοτε στρογγυλοποίηση στον μεγαλύτερο ακέραιο Τα κέντρα των κλάσεων m δίνονται από τον τύπο x Άνω άκρο Κάτω άκρο 2 Συχνότητες Ονομάζουμε συχνότητα (ή απόλυτη συχνότητα) κλάσης, το πλήθος των παρατηρήσεων του δείγματος που ανήκουν στην κλάση αυτή. Η συχνότητα βρίσκεται με τη διαλογή του δείγματος και θα τη συμβολίζουμε με f Ονομάζουμε σχετική συχνότητα κλάσης την αναλογία (πηλίκο) που προκύπτει αν διαιρέσουμε τη συχνότητα της κλάσης με το πλήθος των παρατηρήσεων (μέγεθος του δείγματος). Θα συμβολίζουμε την σχετική συχνότητα με p. Πλήθος Παρατηρήσεων όπου, p ή f n f η συχνότητα της κλάσης, και n το μέγεθος του δείγματος. Σημειώσεις Στατιστικής

8 8 1 ο Μάθημα Η μιας κλάσης είναι το άθροισμα των συχνοτήτων της κλάσης αυτής και όλων των προηγούμενών της κλάσεων. Η μιας κλάσης είναι το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων της κλάσης αυτής και όλων των προηγούμενών της κλάσεων. Θα συμβολίζουμε την μιας κλάσης με F. Συχνά, τόσο η σχετική όσο και η σχετική αθροιστική συχνότητα πολλαπλασιάζονται με το, ώστε να παίρνουμε τα ποσοστιαία αποτελέσματα. Παράδειγμα Ομαδοποίηση Δεδομένων Ύψος ατομικής δαπάνης (έξοδα μετακίνησης, καφέδες, τσιγάρα, κ.λπ.) των εργαζομένων : 3,7 6,7 4,4 6,2 4,1 6, 5,1 5,3 2,8 5,3 5,3 1,4 5,4 7,5 3, 6,6 1,1 4,7 1,6 1,7 4,4 5,5 3, 9,4 6,5 1,4 5,5 5,4 5,8 6,8 4,2 6, 2,4 6,1 5,6 6,8 5,6 5,8 6, 7,4 2,5 6,2 3,9 4,7 3,1 n A log log Το εύρος του δείγματος είναι: max mn = = 8.3. Εύρος δείγματος. Συνεπώς, το πλάτος των κλάσεων θα είναι Πλήθος κλάσεων 7 Ατομική Δαπάνη / ημέρα Έτσι παίρνουμε το παρακάτω πίνακα της κατανομής των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων: Κέντρο x f p F % ΣΥΝΟΛΑ 45 1 % Μαρίνα Σύρπη

9 Εισαγωγή στη Στατιστική 9 Η διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω για την ομαδοποίηση των δεδομένων δεν είναι απόλυτη, με την έννοια ότι απλώς μας δίνει τις κατευθυντήριες γραμμές για την ομαδοποίηση των δεδομένων, επιτρέποντάς μας στη συνέχεια να κάνουμε μικρές διορθωτικές παρεμβάσεις ώστε να είναι η παρουσίαση των δεδομένων περισσότερο «ευανάγνωστη». Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα μπορούμε αντί για 1.2 να επιλέξουμε ως πλάτος των κλάσεων 1.5 και να ορίσουμε ως πρώτη κλάση την [ 1, 2.5 ) αντί της [ 1.2, 2.3 ). Αυτή η επιλογή μας οδηγεί τελικά σε μια ομαδοποίηση με 6 κλάσεις αντί των 7 που πρόκυψε από τον τύπο του Sturges. Ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων θα είναι ο παρακάτω: Ατομική Δαπάνη / ημέρα Κέντρο x f % % F ,33 13, ,56 28, ,67 55, ,78 93, ,44 97, ,22, ΣΥΝΟΛΑ 45, Τα γραφήματα που χρησιμοποιούμε κυρίως για την παρουσίαση των ομαδοποιημένων δεδομένων είναι τα ιστογράμματα. Ενώνοντας τα κέντρα των κλάσεων στα ιστογράμματα των σχετικών συχνοτήτων σχηματίζουμε μια πολυγωνική γραμμή που ονομάζεται πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Αντίστοιχα, ενώνοντας τα άκρα των κλάσεων σε ένα ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων σχηματίζουμε το πολύγωνο των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. 4, 37,78, 93,33 97,78, 35, 9, 3, 25, 26,67 8, 7, 6, 55,56, 15,, 5, 13,33 15,56 4,44 2,22 5, 4, 3,,, 13,33 28,89, , Ιστόγραμμα και Πολύγωνο Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) Ιστόγραμμα και Πολύγωνο Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων ( % ) Σημειώσεις Στατιστικής

10 1 ο Μάθημα 1.6 Παρουσίαση Χρονολογικών Σειρών Δεδομένα που καταγράφονται σε μια ακολουθία σημείων στο χρόνο, ονομάζονται χρονολογικές σειρές (tme seres). Για παράδειγμα το ετήσιο Α.Ε.Π. μιας χώρας, από το έως το 11, οι μηνιαίες πωλήσεις μιας επιχείρησης από το 199 έως το, κ.λπ. Τα δεδομένα που δεν συλλέγονται με τον παραπάνω τρόπο, αλλά παίρνονται με μετρήσεις που γίνονται στην ίδια χρονική περίοδο, ονομάζονται διαστρωματικά (cross sectonal data). Για παράδειγμα το Α.Ε.Π. των χωρών της Ευρωπαϊκής Ένωσης το έτος 11. Για τη γραφική παράσταση των χρονολογικών τιμών χρησιμοποιούμε κυρίως τα γραμμικά διαγράμματα, που είναι σημεία (οι μετρήσεις στον κατακόρυφο άξονα ) και ενώνονται με ευθύγραμμα τμήματα δημιουργώντας μία τεθλασμένη γραμμή που παρουσιάζει την πορεία της μεταβλητής στο χρόνο (οριζόντιος άξονας). Παρακάτω εμφανίζονται τρεις χρονολογικές σειρές y log NNI, όπου NNI το Καθαρό Εθνικό Εισόδημα σε σταθερές (197) τιμές αγοράς. cp log PC, όπου PC η Ιδιωτική Κατανάλωση σε σταθερές (197) τιμές αγοράς. log GI,όπου GI οι Ακαθάριστες Επενδύσεις σε σταθερές (197) τιμές αγοράς. ΠΗΓΗ: ΕΣΥΕ, Εθνικοί Λογαριασμοί, y 12 cp Μαρίνα Σύρπη

11 Εισαγωγή στη Στατιστική Η Χρήση των Ιστογραμμάτων στη Στατιστική Χαρακτηριστικά των Ιστογραμμάτων Σχετικών Συχνοτήτων Τα ιστογράμματα των σχετικών συχνοτήτων συνθέτουν την πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών μιας μεταβλητής στον πληθυσμό. Δεν μπορούμε, βέβαια, να τα χρησιμοποιήσουμε για την εξαγωγή συμπερασμάτων, μπορούμε όμως να αποσπάσουμε χρήσιμες πληροφορίες, να «προσανατολιστούμε» κατά κάποιον τρόπο μέσα στον όγκο των δεδομένων. Μας παρέχουν ισχυρές ενδείξεις και δίνουν ένα πρώτο περίγραμμα του φαινομένου που πρόκειται να ερευνήσουμε. Η εικόνα αυτή θα συμπληρωθεί αργότερα από τον υπολογισμό των ονομαζόμενων αριθμητικών μέτρων, προτού περάσουμε στο τελικό στάδιο που είναι ο έλεγχος υποθέσεων και η εξαγωγή συμπερασμάτων. Συμμετρία Ένα ιστόγραμμα που εμφανίζει συμμετρία ως προς έναν κατακόρυφο άξονα ονομάζεται συμμετρικό ιστόγραμμα. Συμμετρικά Ιστογράμματα Θετική Ασυμμετρία Λέμε ότι μια κατανομή τιμών παρουσιάζει θετική ασυμμετρία όταν το ιστόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων εμφανίζεται εκτεταμένο στο δεξιό του σκέλος. Ο λόγος που εμφανίζεται θετική ασυμμετρία σε μία κατανομή, είναι ότι υπάρχουν κάποιες πολύ μεγάλες τιμές της μεταβλητής. Θετική Ασυμμετρία Σημειώσεις Στατιστικής

12 12 1 ο Μάθημα Αρνητική Ασυμμετρία Λέμε ότι μια κατανομή τιμών παρουσιάζει αρνητική ασυμμετρία όταν το ιστόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων εμφανίζεται εκτεταμένο στο αριστερό του σκέλος. Ο λόγος που εμφανίζεται αρνητική ασυμμετρία σε μία κατανομή, είναι ότι υπάρχουν κάποιες πολύ μικρές τιμές της μεταβλητής. Αρνητική Ασυμμετρία Κορυφές Όταν στο ιστόγραμμα συχνοτήτων εμφανίζεται μία επικρατούσα, όπως ονομάζεται κλάση, δηλαδή μια κλάση με μεγαλύτερη από όλες τις άλλες κλάσεις συχνότητα, τότε λέμε ότι έχουμε μία μονοκόρυφη (unmodal) κατανομή. Μονοκόρυφη Κατανομή Σε κάποιες περιπτώσεις εμφανίζονται δύο κυρίαρχες κλάσεις, με την έννοια ότι και η δεύτερη κλάση ξεχωρίζει από τις γειτονικές της, δίνοντας την εικόνα του σχηματισμού δύο ομάδων στο ιστόγραμμα των συχνοτήτων. Μια τέτοια κατανομή ονομάζεται δικόρυφη (bmodal). Δικόρυφη Κατανομή Μαρίνα Σύρπη

13 % Εισαγωγή στη Στατιστική Τί παρατηρούμε όταν κοιτάζουμε ένα ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων; Σε μία έρευνα, ρωτήσαμε 1214 εργαζόμενους «πόσες ώρες κοιμηθήκατε χθες το βράδυ;». Τα δεδομένα ομαδοποιήθηκαν σε οκτώ κλάσεις και παρακάτω παρουσιάζεται το ιστόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων. 35, % 3, 25,, 15,, 5,, 29,8 21,17 18,95,3 11,29 4,37 4,45, Ώρες ύπνου Κατανομή ωρών ύπνου των εργαζομένων Το ιστόγραμμα μας δίνει την εικόνα της κατανομής των ωρών ύπνου για τους εργαζόμενους. Είναι σχεδόν συμμετρικό και μονοκόρυφο ιστόγραμμα, φαίνεται να έχουμε μια «κανονικότητα» στην κατανομή των τιμών γύρω από την κυρίαρχη κλάση (7., 7.5) και δεν υπάρχει σχηματισμός ομάδων μέσα στον πληθυσμό. Στην κλάση αυτή και γύρω από αυτήν παρατηρούμε να συγκεντρώνεται το μεγαλύτερο ποσοστό των τιμών ( = 69.19). Δηλαδή το 69.19% των εργαζομένων φαίνεται ότι κοιμούνται από 6.5 έως 8. ώρες. Η ίδια ερώτηση έγινε και σε 1234 φοιτητές, και η ομαδοποίηση των δεδομένων μας έδωσε το παρακάτω ιστόγραμμα. 3, 25, 25,93, 15, 14,42 19,45 15,64, 5, 7,54 8,91 5,27 2,84, Ώρες ύπνου Κατανομή ωρών ύπνου των φοιτητών Σημειώσεις Στατιστικής

14 14 1 ο Μάθημα Το ιστόγραμμα είναι και πάλι μονοκόρυφο, δεν είναι όμως συμμετρικό και εμφανίζει μια θετική ασυμμετρία. Η επικρατούσα κλάση εδώ είναι η (6.5, 7.). Στην κλάση αυτή και γύρω από αυτήν παρατηρούμε να συγκεντρώνεται το μεγαλύτερο ποσοστό των τιμών ( = 61.2). Δηλαδή το 61.2 % των φοιτητών φαίνεται ότι κοιμούνται από 6. έως 7 ώρες. Η παρουσία ασυμμετρίας υποδεικνύει ότι οι ώρες που κοιμούνται οι φοιτητές δεν κατανέμονται κανονικά γύρω από την επικρατούσα κλάση. Για την ακρίβεια, εξαιτίας της θετικής ασυμμετρίας μπορούμε να πούμε ότι ένα μικρό μόνον ποσοστό των φοιτητών φαίνεται να κοιμάται αρκετές ώρες Σύγκριση δύο Ιστογραμμάτων Σχετικών Συχνοτήτων Η διαφορετική μορφή των δύο ιστογραμμάτων μας φανερώνει, κατ αρχήν, ότι οι δύο πληθυσμοί (εργαζόμενοι και φοιτητές) διαφέρουν ως προς τον τρόπο που κοιμούνται, με τους φοιτητές να είναι κάπως περισσότερο «ακατάστατοι» στο θέμα του ύπνου. Παρατηρούμε επίσης ότι οι κορυφές των δύο ιστογραμμάτων δεν βρίσκονται στην ίδια κλάση. Για τους εργαζόμενους η κορυφή είναι στην κλάση (7. 7.5) ενώ για τους φοιτητές είναι στην κλάση (6.5, 7.). Αυτό είναι μία ένδειξη ότι οι φοιτητές κοιμούνται λιγότερο από τους εργαζόμενους. 35, 3, 25,, 15,, 5,, 29,8 21,17 18,95,3 11,29 4,37 4,45, , 25,, 15,, 5,, 25,93 19,45 15,64 14,42 8,91 7,54 5,27 2, Εργαζόμενοι Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) Φοιτητές Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) Τα ιστογράμματα των σχετικών συχνοτήτων μας δείχνουν πώς κατανέμονται οι τιμές της μεταβλητής μέσα σε έναν πληθυσμό. Η εικόνα αυτή ολοκληρώνεται αργότερα με των υπολογισμό κάποιων αριθμητικών μέτρων. Όπως είδαμε, από τη σύγκριση δύο ιστογραμμάτων σχετικών συχνοτήτων φαίνεται οι φοιτητές να κοιμούνται λιγότερο από τους εργαζόμενους. Τα ιστογράμματα των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων θα μας φανερώσουν περισσότερα πράγματα σε σχέση με το ερώτημα αυτό. Μαρίνα Σύρπη

15 Εισαγωγή στη Στατιστική Ιστογράμματα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων Τί παρατηρούμε όταν κοιτάζουμε ένα ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων; Τα ιστογράμματα των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων μας δείχνουν την «ταχύτητα» με την οποία συγκεντρώνονται στις κλάσεις οι τιμές μίας μεταβλητής. Έτσι, στο παρακάτω ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, βλέπουμε ότι το 52.5% των μετρήσεων της μεταβλητής συγκεντρώνεται μέχρι τη δεύτερη κλάση, και το 8.9% μέχρι και την τέταρτη κλάση. Παρατηρούμε επομένως μια «ταχεία» συγκέντρωση των τιμών της μεταβλητής ή, διαφορετικά, μια μεγάλη συσσώρευση των τιμών της στις χαμηλές κλάσεις ,6 8,9 91,4 98,2 99, ,8 52,5 3 Αντίθετα, στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε ότι μόλις 23,6% των τιμών της μεταβλητής συγκεντρώνονται μέχρι και τη δεύτερη κλάση, και το 52,9% μέχρι και την τέταρτη. Θα μπορούσαμε ακόμα να πούμε ότι οι τιμές κατανέμονται ομαλά στις κλάσεις, καθώς δεν υπάρχουν απότομες μεταβολές στα ύψη των κλάσεων. Συγκρίνοντας τα δύο ιστογράμματα, μπορούμε να πούμε ότι η μεταβλητή που παρουσιάζεται από το πρώτο διάγραμμα (επάνω) τείνει να έχει χαμηλότερες τιμές ,4 82,2 9, ,5 52,9 3 11,5 23,6 Σημειώσεις Στατιστικής

16 % % 16 1 ο Μάθημα Σύγκριση δύο Ιστογραμμάτων Σχετικών Συχνοτήτων Ας συγκρίνουμε τώρα τα ιστογράμματα των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, για τις ώρες που κοιμούνται οι εργαζόμενοι και οι φοιτητές., 95,55, 9, 84,27 8, 7, 6, 5, 63, 4, 34,2 3,,,, 15,7 4,78, Ώρες ύπνου Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων - Εργαζόμενοι, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, 97,16, 91,9 82,98 67,34 41,41 21,96 7, Ώρες ύπνου Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων - Φοιτητές Από τα ιστογράμματα των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων παρατηρούμε ότι: 34,2 % των εργαζομένων δήλωσαν ότι το προηγούμενο βράδυ κοιμήθηκαν λιγότερο από 7 ώρες, ενώ για τους φοιτητές το ποσοστό φτάνει στο 67,34 %, σχεδόν διπλάσιο από αυτό των εργαζομένων. Η σύγκριση των ιστογραμμάτων μας δείχνει ότι οι φοιτητές φαίνεται να κοιμούνται λιγότερο από τους εργαζόμενους. Μαρίνα Σύρπη

17 Εισαγωγή στη Στατιστική 17 Ασκήσεις 1. Από τα δεδομένα μιας σωματομετρικής και ιατρικής έρευνας σε κορίτσια ηλικίας 7 χρόνων Βάρος (Kgr) της Ελληνικής υπαίθρου, προέκυψαν ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων και τα αντίστοιχα διαγράμματα. Πεδινά χωριά f % % f Ορεινά χωριά % ,33 13, ,67 4, ,33 63, ,33 76, , ,67 96, ,33, % ΣΥΝΟΛΑ ,67 23,33 13,33 13,33 13,33 6,67 3, Πεδινά Χωριά Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) Ορεινά Χωριά Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) ,67, 9, 76,67 63,33 4, 13, Πεδινά Χωριά Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Ορεινά Χωριά Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων ( % ) Συχνοτήτων ( % ) ( α ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα των συχνοτήτων εκτελώντας τις κατάλληλες πράξεις. ( β ) Περιγράψτε τα ιστογράμματα των σχετικών συχνοτήτων για τις δύο ομάδες και εντοπίστε ομοιότητες και διαφορές. ( γ ) Σε ποιά από τις δύο ομάδες τείνει το βάρος των παιδιών να είναι μικρότερο; Σημειώσεις Στατιστικής

18 18 1 ο Μάθημα 2. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι κατανομές των συγκεντρώσεων μολύβδου στο αίμα για δύο ομάδες εργαζομένων στον Καναδά, από τις οποίες η μία εξετάστηκε το 1979 και η άλλη το 1987 και τα αντίστοιχα διαγράμματα Μόλυβδος στο αίμα (mg/dl) (%) (%) ( % ) (%) < >= ΣΥΝΟΛΑ ,4 16,5 13,9 11,5 12,1 12,8 8,4 9,4 < >= ,8 14,7 15,3 13,1,5 6,8 1,4,4 < >= Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) 1987 Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) ,6 82,2 69,4 52,9 37,5 23,6 11,5 < >= ,2 99,6 91,4 8,9 65,6 52,5 37,8 < >= Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων ( % ) 1987 Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων ( α ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα των συχνοτήτων εκτελώντας τις κατάλληλες πράξεις. ( β ) Περιγράψτε τα ιστογράμματα των σχετικών συχνοτήτων για τις δύο χρονιές και εντοπίστε ομοιότητες και διαφορές. ( γ ) Σε ποιά από τις δύο χρονιές η συγκέντρωση μολύβδου τείνει να είναι μεγαλύτερη; Μαρίνα Σύρπη

19 Εισαγωγή στη Στατιστική Παρακάτω βλέπετε τους πίνακες συχνοτήτων, και τα αντίστοιχα διαγράμματα για τις αμοιβές των εργαζομένων σε δύο επιχειρήσεις Α και Β. ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Α ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Β Αμοιβές σε f f ,33 23, ,67 16, ,67 7, 7 23,33 4, ,67 86, ,67 76,67 9-3, 96, ,33 9, ,33, 3, 3 3 5, 45, 4, 35, 3, 25,, 15,, 5,, 46,67 23,33 16,67, 3, , 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, 96,67, 86,67 7, 23, Επιχείρηση Α Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων 4, 36,67 35, 3, 23,33 25,, 16,67 13,33 15,,, 5,, Επιχείρηση Α Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, 16,67 4, 76,67 9,, Επιχείρηση Β Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων Επιχείρηση Β Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων ( α ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα των συχνοτήτων εκτελώντας τις κατάλληλες πράξεις. ( β ) Περιγράψτε τα ιστογράμματα των σχετικών συχνοτήτων για τις δύο επιχειρήσεις και εντοπίστε ομοιότητες και διαφορές. ( γ ) Σε ποιά από τις δύο επιχειρήσεις οι μισθοί τείνουν να είναι μικρότεροι; Σημειώσεις Στατιστικής

20 1 ο Μάθημα 4. Παρακάτω βλέπετε τους πίνακες συχνοτήτων και τα αντίστοιχα ιστογράμματα, για τις ηλικίες των εργαζομένων σε δύο επιχειρήσεις Α και Β. Ηλικία σε ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Α έτη F (%) f ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Β p (%) F (%) 28 4,, 5 12,5 12, , 25, 8, 32, , 45, 25, 57, , 75, 9 22,5 8, ,, 8,, , 3, 25,, 15,, 5,, 3, 25,, 15,, , 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,,, 75, 45, 25,, Επιχείρηση Α Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων 3, 25, 25, 22,5,,, 15, 12,5, 5,, Επιχείρηση Β Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων Επιχείρηση Α Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων,, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, 12,5 32,5 57,5 8, Επιχείρηση Β Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων ( α ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα των συχνοτήτων εκτελώντας τις κατάλληλες πράξεις. ( β ) Περιγράψτε τα ιστογράμματα των σχετικών συχνοτήτων για τις δύο επιχειρήσεις και εντοπίστε ομοιότητες και διαφορές. ( γ ) Σε ποιά από τις δύο επιχειρήσεις η ηλικία των εργαζομένων τείνει να είναι μικρότερη; Μαρίνα Σύρπη

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Τι κάνει η Στατιστική Στατιστική (Statistics) Μετατρέπει αριθμητικά δεδομένα σε χρήσιμη πληροφορία. Εξάγει συμπεράσματα για έναν πληθυσμό. Τις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Περιγραφική Στατιστική Με τις στατιστικές μεθόδους επιδιώκεται: - η συνοπτική αλλά πλήρης και κατατοπιστική παρουσίαση των ευρημάτων μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 03 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 2016-2017 1 1. Περιγραφική Ανάλυση Παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Παναγιώτα Λάλου. Βασικές έννοιες Ορισμός: Στατιστικός πληθυσμός ονομάζεται το σύνολο των πειραματικών μονάδων π.χ άνθρωποι, ζώα, επιχειρήσεις κ.λπ, οι οποίες συμμετέχουν στην έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Δύο Γραφήματα και Πίνακες Περιγραφικές Τεχνικές

Κεφάλαιο Δύο Γραφήματα και Πίνακες Περιγραφικές Τεχνικές Κεφάλαιο Δύο Γραφήματα και Πίνακες Περιγραφικές Τεχνικές Copyright 2009 Cengage Learning 2.1 Εισαγωγή & Ανασκόπηση Η περιγραφική στατιστική ασχολείται με την αναδιάταξη, τη σύνοψη, και την παρουσίαση ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ στο τέλος του εξαμήνου με ΑΝΟΙΧΤΑ βιβλία ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ο καθένας θα πρέπει να έχει το ΔΙΚΟ του βιβλίο ΔΕΝ θα μπορείτε να ανταλλάσετε βιβλία ή να

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ στο τέλος του εξαμήνου με ΑΝΟΙΧΤΑ βιβλία ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ο καθένας θα πρέπει να έχει το ΔΙΚΟ του βιβλίο ΔΕΝ θα μπορείτε να ανταλλάσετε βιβλία ή να N161 _ (262) Στατιστική στη Φυσική Αγωγή Βιβλία ή 1 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ στο τέλος του εξαμήνου με ΑΝΟΙΧΤΑ βιβλία ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ο καθένας θα πρέπει να έχει το ΔΙΚΟ του βιβλίο ΔΕΝ θα μπορείτε να ανταλλάσετε βιβλία ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή. ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας. Τμήμα Φυσικοθεραπείας. Προπτυχιακό Πρόγραμμα. Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο )

Ενότητα 1: Εισαγωγή. ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας. Τμήμα Φυσικοθεραπείας. Προπτυχιακό Πρόγραμμα. Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Προπτυχιακό Πρόγραμμα Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) Ενότητα 1: Εισαγωγή Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Λαμία, 2017 1.1. Σκοπός και

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1 Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Περιγραφική Στατιστική 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i.

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i. Γ. ΛΥΚ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ (2014-15) Λ. Γρίλλιας Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι 1) Σε ένα σχολείο ρωτήθηκαν 70 μαθητές για την προτίμησή τους σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Από της απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2017-2018 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συλλογή και Παρουσίαση Δεδομένων

Συλλογή και Παρουσίαση Δεδομένων Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Συλλογή και Παρουσίαση Δεδομένων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Στατιστικοί Πίνακες Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Απογραφή Δειγματοληψία Παρουσίαση Στατιστικών Δεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 207-208 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 227035468 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics)

Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) Μέρος 1ο. Περιγραφική Στατιστική (Descriptive Statistics) 1. Οργάνωση και Γραφική παράσταση στατιστικών δεδομένων 2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 1 ο Κ. Μπλέκας (1/13) στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

3 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων. Εφαρμογές

3 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων. Εφαρμογές ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Εφαρμογές 2 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Εφαρμογή 1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ Παρακάτω βλέπουμε τα ιστογράμματα και τα πολύγωνα των σχετικών (%) και σχετικών αθροιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι Τι είναι η Στατιστική? Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ορίζεται σήµερα ως η επιστήµη που σχετίζεται µε τις επιστηµονικές µεθόδους συλλογής, παρουσίασης, αξιολόγησης και γενίκευσης (: εξαγωγής συµπερασµάτων) της πληροφορίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 Ηλίας Αθανασιάδης Αναπληρωτής καθηγητής Π.Τ..Ε. Παν. Αιγαίου 1.8. Αθροιστική κα τα νο μή Σε ορισμένες κατανομές παρουσιάζει ενδιαφέρον να παρακολουθούμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

3 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων. Εφαρμογές Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων

3 ο Φυλλάδιο Ασκήσεων. Εφαρμογές Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Εφαρμογές Διερευνητικ Ανάλυση Δεδομένων Σχετικ Συχνότητα % Σχετικ Αθροιστικ Συχνότητα % 2 3 ο Φυλλάδιο Ασκσεων Εφαρμογ 1 Παρακάτω βλέπετε τα ιστογράμματα των σχετικών(%) και σχετικών

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί πίνακες. Δημιουργία κλάσεων

Στατιστικοί πίνακες. Δημιουργία κλάσεων Στατιστικοί πίνακες Δημιουργία κλάσεων Τι είναι οι κλάσεις; Κλάσεις είναι ημιανοικτά διαστήματα της μορφής [α i, b i ), τα οποία είναι ταυτόχρονα και διαδοχικά, έτσι ώστε να μην υπάρχει κάποια τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Χειμερινό εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Άλγεβρας. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 265 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Ασκήσεις Άλγεβρας. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 265 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Ασκήσεις Άλγεβρας Κώστας Γλυκός B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 65 ασκήσεις και τεχνικές σε 4 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 3 / 1 0 / 0 1 6

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-SPSS Statistical Package for Social Sciences 1 ο ΜΑΘΗΜΑ. ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΘ. ΚΡΟΜΜΥΔΑΣ Διδάσκων Τ.Ε.Φ.Α.Α., Π.Θ.

ΗΥ-SPSS Statistical Package for Social Sciences 1 ο ΜΑΘΗΜΑ. ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΘ. ΚΡΟΜΜΥΔΑΣ Διδάσκων Τ.Ε.Φ.Α.Α., Π.Θ. ΗΥ-SPSS Statistical Package for Social Sciences 1 ο ΜΑΘΗΜΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΑΘ. ΚΡΟΜΜΥΔΑΣ Διδάσκων Τ.Ε.Φ.Α.Α., Π.Θ. Στατιστική με το SPSS Ως επιστήμονες, χρειαζόμαστε τη Στατιστική για 2 κυρίους λόγους: 1. Για

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου ΑΣΚΗΣΗ 1 Κεφάλαιο 4

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 1: Εισαγωγή στη Στατιστική Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΘΕΜΑ 1 Ο : Aς υποθέσουμε ότι x 1,x 2,,x k είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, όπου k,ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με k ν, ν i η απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Ασκηση Περιγραφικής Στατιστικής Κουτσουμανής Κ. Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων Σχολή Γεωπονίας, Α.Π.Θ Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Στέλνουμε την άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 2 Περιγραφικές Τεχνικές

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 2 Περιγραφικές Τεχνικές ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Πληθυσμός και δείγμα Είδη Μεταβλητών - Περιγραφική στατιστική

Ενότητα 1: Πληθυσμός και δείγμα Είδη Μεταβλητών - Περιγραφική στατιστική ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΝΕΥΡΟΑΝΑΤΟΜΙΑ» «Βιοστατιστική, Μεθοδολογία και Συγγραφή Επιστημονικής Μελέτης» Ενότητα 1: Πληθυσμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 7 ο, Τμήμα Α Δεδομένα Συχνότητα Μέτρα θέσης Μέτρα διασποράς Στοχαστικά μαθηματικά διαφέρουν από τα κλασσικά μαθηματικά διότι τα φαινόμενα δεν είναι αιτιοκρατικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Σχετική & Αθροιστική Συχνότητα Πίνακες και Ιστογράµµατα

Κεφάλαιο 3 Σχετική & Αθροιστική Συχνότητα Πίνακες και Ιστογράµµατα Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 3 Σχετική &

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Απεικόνιση της σχέσης(θετική, αρνητική, απροσδιόριστη) δύο μεταβλητών. Παραδείγματα σχέσεων. Παράδειγμα

Α. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Απεικόνιση της σχέσης(θετική, αρνητική, απροσδιόριστη) δύο μεταβλητών. Παραδείγματα σχέσεων. Παράδειγμα Α. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Απεικόνιση της σχέσης(θετική, αρνητική, απροσδιόριστη) δύο μεταβλητών. Παραδείγματα σχέσεων Παράδειγμα Μας δίνονται τα παρακάτω δεδομένα που αντιπροσωπεύουν τις τιμές πίεσης σε ατμόσφαιρες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακoλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 02 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 2015-2016 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Descriptive)

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Τα 16 τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους Οι αποστάσεις (σε Km) των Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται

2.5. Τα 16 τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους Οι αποστάσεις (σε Km) των Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται .1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών, στη Στατιστική στο τέλος του β τριµήνου. Πήραµε τις επόµενες βαθµολογίες: 15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17. Να βρείτε: α) Ποιος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΠΑΘΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ

ΔΗΜΟΠΑΘΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΔΗΜΟΠΑΘΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΟΦΗΣ ΜΑΘΗΜΑ 9 Ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 1 Στατιστική Ο συνήθης επιστημολογικός ορισμός της Στατιστικής, την αναφέρει ως τον κλάδο των εφαρμοσμένων Μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 14. Κεφάλαιο: Στατιστική

Μάθηµα 14. Κεφάλαιο: Στατιστική Μάθηµα 4 Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες:. Μέτρα θέσης. Εισαγωγή. Για πιο σύντοµη, αποδοτική και συγκρίσιµη θεώρηση της κατανοµής συχνοτήτων µιας µεταβλητής, έχουµε ορίσει και χρησιµοποιούµε κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 02 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 2016-2017 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ (Descriptive)

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Μέθοδοι δειγματοληψίας & Εισαγωγή στην Περιγραφική Στατιστική

Ενότητα 2: Μέθοδοι δειγματοληψίας & Εισαγωγή στην Περιγραφική Στατιστική ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Προπτυχιακό Πρόγραμμα Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) Ενότητα 2: Μέθοδοι δειγματοληψίας & Εισαγωγή στην Περιγραφική Στατιστική Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Χρήσεις Στατιστικής Έννοια Στατιστικής Ορισμοί Παρουσίαση δεδομένων Πίνακες συχνοτήτων Χρήσεις Στατιστικής Έρευνα αγοράς Είσοδος νέου προϊόντος Πωλήσεις Ποιοτικός έλεγχος για παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι Ασκήσεις 3

Στατιστική Ι Ασκήσεις 3 Διάλεξη 3: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω το δείγμα μεγέθους n = 5 με παρατηρήσεις 10, 0, 1, 17 και 16. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο και τη διάμεσο. Υπολογίστε το εύρος και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

f , Σύνολο 40 4) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα f , , Σύνολο 5) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

f , Σύνολο 40 4) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα f , , Σύνολο 5) Να συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα 1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1) Οι παρακάτω αριθμοί παρουσιάζουν τα ύψη σε cm, των φυτών ενός θερμοκηπίου 4 3 6 5 3 1 4 5 4 6 6 3 3 1 4 3 α) Να κάνετε τον πίνακα όλων των συχνοτήτων β) Από τον προηγούμενο πίνακα να βρείτε,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 11. Κεφάλαιο: Στατιστική

Μάθηµα 11. Κεφάλαιο: Στατιστική Μάθηµα Κεφάλαιο: Στατιστική Θεµατικές Ενότητες:. Παρουσίαση Στατιστικών εδοµένων (Στατιστικοί Πίνακες). Γενικά για στατιστικούς πίνακες. Τα στατιστικά δεδοµένα καταγράφονται σε στατιστικούς πίνακες (ή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας για την Γ Λυκείου. Αν έχετε κάνει σωστά τους υπολογισμούς σας, μεταφοράς ενός

Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας για την Γ Λυκείου. Αν έχετε κάνει σωστά τους υπολογισμούς σας, μεταφοράς ενός Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τουρναβίτης Στέργιος Σκοπός της εργασίας αυτής, είναι να παρουσιάσει κάποιες ασκήσεις που λύνονται με την βοήθεια στατιστικών πινάκων, διαγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 2 3 1 2 2 0 3 3 4 6 5 10 6 11 7 7 8 6 9 3 10 2 4 Εάν έχουµε οµαδοποιηµένη µεταβλητή τότε είναι το σηµείο τοµής των ευθυγράµµων τµηµάτων τα οποία ορίζονται από α) ΑΒ, όπου Α το άνω δεξί άκρο της κλάσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. x 100% = s. lim. x x. γ) Αν οι συναρτήσεις f, g: A είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε ισχύει:

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. x 100% = s. lim. x x. γ) Αν οι συναρτήσεις f, g: A είναι παραγωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους Α, τότε ισχύει: ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Α ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 7 ΜΑΪΟΥ 010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα