ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη"

Transcript

1

2 ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

3 Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ( ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΜΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΘΕΜΕΛΙΩΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ. ΙΔΡΥΣΕ ΣΧΟΛΗ ΓΥΡΩ ΣΤΟ 532ΠΧ ΟΠΟΥ ΔΙΔΑΣΚΕ ΌΤΙ Ο ΚΟΣΜΟΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΡΜΗΝΕΥΕΤΑΙ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΑΝΑΚΑΛΥΨΕ ΤΗΝ ΣΧΕΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΟ ΜΗΚΟΣ ΤΩΝ ΧΟΡΔΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΤΟΝΙΚΟ ΥΨΟΣ ΠΟΥ ΔΙΝΟΥΝ. ΜΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΚΑΘΑΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥΣ ΒΡΗΚΕ ΤΙΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ. ΣΥΝΕΠΩΣ Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΝΕ ΙΣΩΣ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΠΟΙΟΤΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΠΟΙΕΙ Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ.

4

5 Η ΙΔΕΑ ΤΗΣ ΣΥΝΔΕΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΠΡΙΝ ΑΠΌ 26 ΟΛΟΚΛΗΡΟΥΣ ΑΙΩΝΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ ΑΠΌ ΤΟΝ ΠΥΘΑΓΟΡΑ. Ο ΦΙΛΟΣΟΦΟΣ ΓΝΩΡΙΖΕ ΠΟΛΎ ΚΑΛΑ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΟΙ ΕΙΔΙΚΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΕΣ ΘΕΩΡΟΥΝ ΌΤΙ ΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟ ΕΊΝΑΙ ΠΩΣ Ο ΙΔΙΟΣ ΚΑΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ ΕΝΤΡΥΦΗΣΑΝ ΣΤΗ ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΑΡΧΑΙΟ ΟΡΓΑΝΟ ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ

6 ΌΠΩΣ ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΑΠΌ ΤΟ ΟΝΟΜΑ ΤΟΥ, ΤΟ ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ ΗΤΑΝ ΈΝΑ ΟΡΓΑΝΟ ΜΕ ΜΙΑ ΧΟΡΔΗ ΚΑΙ ΈΝΑ ΚΙΝΗΤΟ ΚΑΒΑΛΑΡΗ ΠΟΥ ΔΙΑΙΡΟΥΣΕ ΤΗ ΧΟΡΔΗ ΕΠΙΤΡΕΠΟΝΤΑΣ ΜΟΝΟ ΈΝΑ ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΝΑ ΤΑΛΑΝΤΩΝΕΤΑΙ ΠΟΥ ΑΠΌ ΑΡΚΕΤΟΥΣ ΜΕΛΕΤΗΤΕΣ ΤΟΠΟΘΕΤΕΙΤΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΤΟΥ ΛΑΟΥ ΤΟΥ ΔΗΛΑΔΗ ΜΕ ΒΡΑΧΙΟΝΑ, ΧΕΡΙ. ΤΟ ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΗΚΕ ΓΙΑ ΤΟΝ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΗΧΩΝ. ΟΝΟΜΑΖΟΝΤΑΝ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΣ ΚΑΝΩΝ ΓΙΑΤΙ ΑΠΕΔΙΔΑΝ ΤΗΝ ΕΦΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΣΤΟΝ ΠΥΘΑΓΟΡΑ.

7 ΜΕ ΤΗΝ ΧΟΡΔΗ ΑΝΟΙΧΤΗ ΔΗΛΑΔΗ ΣΕ ΘΕΣΗ ΝΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΤΑΛΑΝΤΩΝΕΤΑΙ ΟΛΟ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΤΗΣ (ΛΟΓΟΣ 1, ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 1), ΕΚΡΟΥΣΕ ΚΑΙ ΑΚΟΥΣΕ ΈΝΑ ΜΟΥΣΙΚΟ ΤΟΝΟ. ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΕΡΙΟΡΙΣΕ ΤΟ ΜΕΡΟΣ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΠΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΝΕΤΑΙ ΣΤΟ ΜΙΣΟ ΤΗΣ ΜΗΚΟΣ, ΚΑΙ ΒΡΗΚΕ ΌΤΙ Ο ΗΧΟΣ ΠΟΥ ΑΚΟΥΣΤΗΚΕ ΕΊΝΑΙ Η ΔΙΑΠΑΣΩΝ, ΑΥΤΌ ΠΟΥ ΣΗΜΕΡΑ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΟΚΤΑΒΑ. ΤΟ ΥΨΟΣ ΛΟΙΠΟΝ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΕΤΑΙ ΑΠΌ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΚΑΙ ΜΑΛΙΣΤΑ ΌΤΑΝ Η ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΕΊΝΑΙ ½ (ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 2/1) ΕΧΟΥΜΕ ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΤΗΣ ΟΚΤΑΒΑΣ. ΕΤΣΙ ΟΡΙΣΤΗΚΑΝ ΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ, Η ΥΠΑΤΗ ΚΑΙ Η ΝΗΤΗ. ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΕΤΑΚΙΝΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΚΑΒΑΛΑΡΗ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΒΡΗΚΕ ΌΤΙ ΑΝ ΤΑΛΑΝΤΩΝΟΤΑΝ ΤΑ ¾ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ (ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 4/3) ΠΡΟΕΚΥΠΤΕ Ο 4 ΟΣ ΦΘΟΓΓΟΣ ΑΠΌ ΤΟΥΣ 8 ΜΙΑΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ, Η ΜΕΣΗ, ΕΝΏ ΑΝ ΤΑΛΑΝΤΩΝΟΤΑΝ ΤΑ 2/3 ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ( ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 3/2) ΠΡΟΕΚΥΠΤΕ Ο 5 ΟΣ ΦΘΟΓΓΟΣ, Η ΠΑΡΑΜΕΣΗ. ΟΙ ΥΠΟΛΟΙΠΟΙ ΦΘΟΓΓΟΙ ΤΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΝΤΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΩΝΤΑΣ ΤΟ ΛΟΓΟ 9/8.

8

9 ΠΕΡΑ ΑΠΌ ΤΟ ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ, Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΤΗΚΕ ΚΑΙ ΜΕ ΑΛΛΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΣΥΝΘΕΤΟΥΝ ΤΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ, ΌΠΩΣ Η ΤΑΣΗ ΧΟΡΔΩΝ ΙΣΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΑΙ ΠΑΧΟΥΣ, ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΗΧΗΤΙΚΟΥ ΣΩΛΗΝΑ ΚΤΛ. Ο ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΠΕΤΥΧΕ, ΗΤΑΝ ΈΝΑ ΤΕΡΑΣΤΙΑΣ ΣΗΜΑΣΙΑΣ ΕΠΙΤΕΥΓΜΑ ΤΟΣΟ ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΟΣΟ ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥΣ ΝΑ ΕΡΜΗΝΕΥΟΥΝ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΌΠΩΣ ΕΞΑΛΛΟΥ ΔΙΔΑΣΚΕ ΚΑΙ Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. ΠΕΡΑ ΑΠΌ ΤΗ ΜΕΓΑΛΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ, Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΔΩΣΕ ΤΗΝ ΕΥΚΑΙΡΙΑ ΝΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΟΥΝ ΜΟΥΣΙΚΗ ΟΡΓΑΝΑ ΜΕ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΑΠΌ ΠΡΙΝ. ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΑΣΜΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΘΗΚΕ ΕΙΤΕ ΓΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΟΥΣ ΕΙΤΕ ΓΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ, ΌΜΩΣ Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΕΙΧΕ ΔΕΙΞΕΙ ΈΝΑΝ ΔΡΟΜΟ ΠΟΥ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΟΥΝ. ΑΚΟΜΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑ ΜΟΥΣΙΚΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΒΕΒΑΙΑ ΕΧΟΥΝ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΘΕΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΑΠΌ ΤΟΤΕ.

10 ΤΟ ΑΙΝΙΓΜΑ ΠΟΥ, 2500 ΧΡΟΝΙΑ ΠΡΙΝ, ΠΡΟΤΕΙΝΕ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ, Η ΟΠΟΙΑ ΕΡΕΥΝΑ ΤΙΣ ΑΙΤΙΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΩΝ ΓΙΑΤΙ Η ΑΡΜΟΝΙΑ ΚΑΘΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΌ ΤΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ ΜΙΚΡΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΠΑΝΤΗΘΗΚΕ ΜΕ ΤΗΝ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΌΤΙ ΤΟ ΑΥΤΙ ΑΝΑΛΥΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΣΘΝΘΕΤΟΥΣ ΗΧΟΥΣ ΣΕ ΠΕΡΙΟΔΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΕΥΣΕΙΣ, ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟΥΣ ΝΟΜΟΥΣ ΤΩΝ ΔΟΝΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΘΗΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΚΑΙ ΌΤΙ ΘΕΩΡΕΙ ΩΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΜΟΝΟ ΑΥΤΈΣ ΤΙΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΕΥΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΕΊΝΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΩΡΙΣ ΠΑΡΕΝΟΧΛΗΣΕΙΣ. Η ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕ ΤΟΝΟΥΣ ΕΚΦΡΑΣΜΕΝΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΟΔΗΓΕΙ ΣΤΟΝ ΝΟΜΟ ΤΟΥ FOYRIER, Ο ΟΠΟΙΟΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΠΩΣ ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ, ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΑΠΌ ΤΗ ΦΥΣΗ ΤΗΣ, ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΚΦΡΑΣΤΕΙ ΩΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΑΠΛΟΥΣΤΕΡΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ. ΤΑ ΜΗΚΗ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΤΩΝ ΑΠΛΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΩΝ ΟΡΩΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΊΝΑΙ ΤΕΤΟΙΑ, ΏΣΤΕ ΈΝΑ Ή ΔΥΟ Ή ΤΡΙΑ Ή ΤΕΣΣΕΡΑ ΚΛΠ ΤΩΝ ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΤΟΥΣ ΔΟΘΕΝΤΟΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ. ΤΕΛΙΚΑ Η ΑΙΤΙΑ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΖΗΤΗΘΕΙ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΦΟΥΡΙΕΡ. ΚΑΙ ΜΕ ΚΑΠΟΙΑ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΥΤΌ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΕΩΡΗΘΕΙ ΩΣ ΠΡΩΤΗ ΠΗΓΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΑΣ

11

12 Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΗΚΟΥΣ ΧΟΡΔΗΣ ΚΑΙ ΥΨΟΥΣ ΤΟΝΟΥ ΕΊΝΑΙ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΦΥΣΙΚΟΥ ΝΟΜΟΥ ΠΟΥ ΒΡΕΘΗΚΕ ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ. ΓΙΑ ΚΕΙΝΗ ΤΗΝ ΕΠΟΧΗ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΕΩΡΗΘΗΚΕ ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΕΝΤΥΠΩΣΙΑΚΟ ΤΟ ΓΕΓΟΝΟΣ ΌΤΙ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΣΟ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΩΝ, ΌΠΩΣ ΜΟΥΣΙΚΟΙ ΤΟΝΟΙ ΚΑΙ ΛΟΓΟΙ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΟΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΘΕΤΑΝΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ Η ΑΙΤΙΑ ΚΑΙ ΠΟΙΟ ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΚΑΙ ΚΑΤΕΛΗΞΑΝ ΣΤΟ ΝΑ ΑΠΟΔΕΧΘΟΥΝ ΠΩΣ Η ΑΙΤΙΑ ΒΡΙΣΚΟΤΑΝ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΕΤΣΙ Η ΑΡΜΟΝΙΑ ΗΤΑΝ ΓΙ ΑΥΤΟΥΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΤΟΥ ΌΤΙ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 6,8,9 ΚΑΙ 12 ΕΊΝΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΥΘΑΓΟΡΑ Η ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΒΡΕΘΗΚΕ ΑΠΌΤΕΛΟΥΣΕ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΓΙΑ ΤΟ ΌΤΙ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΑΙΖΕΙ ΈΝΑ ΡΟΛΟ ΣΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΜΕ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΕΡΧΟΜΑΣΤΕ ΣΕ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΕΠΑΦΗ.

13 Η ΙΔΙΑ ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΛΟΓΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΌΠΩΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ ΑΠΌ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟ 7 Ο ΒΙΒΛΙΟ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΔΙΝΕΙ ΙΣΧΥΡΕΣ ΕΝΔΕΙΞΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΌ ΤΗΝ ΜΟΥΣΙΚΗ. ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΕ ΚΑΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ Η ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ, ΠΑΡΟΤΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ. ΣΤΟ 5 Ο ΒΙΒΛΙΟ ΌΜΩΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΤΑΙ Η ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΛΟΓΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ (ΠΡΟΤΑΣΗ 11 Η ). ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΜΑΛΛΟΝ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΔΕΧΘΟΥΜΕ ΌΤΙ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΘΕΩΡΗΣΕ ΤΗΝ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΑΥΤΉ ΠΡΟΦΑΝΗ ΣΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ, ΕΝΏ ΔΕΝ ΤΗΝ ΘΕΩΡΗΣΕ ΠΡΟΦΑΝΗ ΣΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΜΕΓΕΘΩΝ. ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΌΠΩΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΕΤΑΙ ΣΤΟ 7 Ο ΒΙΒΛΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΡΟΛΟ ΠΑΙΖΕΙ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΚΑΙ ΜΕΡΩΝ. ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΤΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΌΤΙ ΒΑΣΙΚΟ ΡΟΛΟ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΛΟΓΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΠΑΙΞΕ Η ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΗΘΗΚΕ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική.

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική. «Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική. Του καθηγητή µουσικής µουσικολόγου Δηµήτρη Γρίβα Web-site: http://users.sch.gr/dgrivas E-mail: dgrivas@sch.gr Τα µαθηµατικά και η µουσική είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 1.1. Περιοδική κίνηση Περιοδικά φαινόμενα 9 1.2. Ταλάντωση - Ταλαντούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κουρδίσµατα (περίληψη)

Κουρδίσµατα (περίληψη) Κουρδίσµατα (περίληψη) Ι. Αρµονική στήλη Κάθε νότα που παράγεται µε φυσικά µέσα είναι ένα πολύ σύνθετο φαινόµενο. Ως προς το τονικό ύψος, συνιστώσες του ("αρµονικοί") είναι η συχνότητα που ακούµε ("θεµελιώδης")

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 του Παναγιώτη. Παπαδηµητρίου panayiotis@analogion.net, α έκδοση: 4 Οκτωβρίου 2005 Το Οικουµενικό Πατριαρχείο στα 1881 συγκρότησε

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική χρήση των ήχων

Κλινική χρήση των ήχων Κλινική χρήση των ήχων Ήχοι και ακουστότητα Κύματα υπερήχων Ακουστικά κύματα, Ήχοι, Είδη ήχων Ήχους υπό την ευρεία έννοια καλούμε κάθε κύμα πίεσης που υπάρχει και διαδίδεται στο εσωτερικό των σωμάτων.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικοκινητική αγωγή

Μουσικοκινητική αγωγή Μουσικοκινητική Αγωγή Α εξάμηνο Θεωρία Μίχα Παρασκευή, PhD Μουσικολόγος, Μουσικοπαιδαγωγός 1 Μουσικοκινητική Αγωγή (Θ) - ΜΙΧΑ Παρασκευή 1 Μουσικοκινητική αγωγή Η μουσικότητα των ήχων και της ανθρώπινης

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ήχος. Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης

Ο Ήχος. Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης ιαθεµατική Εργασία µε Θέµα: Οι Φυσικές Επιστήµες στην Καθηµερινή µας Ζωή Ο Ήχος Τµήµα: β1 Γυµνασίου Υπεύθυνος Καθηγητής: Παζούλης Παναγιώτης Συντακτική Οµάδα: Γεώργιος Ελευθεριάδης Ο Ήχος Έχει σχέση ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ 1 Οι ήχοι που χρησιμοποιούμε στη μουσική λέγονται νότες ή φθόγγοι και έχουν επτά ονόματα : ντο - ρε - μι - φα - σολ - λα - σι. Η σειρά αυτή επαναλαμβάνεται πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

καλύπτει πολλά πεδία του επιστητού, ασχέτως του εάν στην Ελλάδα δεν διδάσκεται στο Λύκειο ως τμήμα της Φυσικής.

καλύπτει πολλά πεδία του επιστητού, ασχέτως του εάν στην Ελλάδα δεν διδάσκεται στο Λύκειο ως τμήμα της Φυσικής. ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ H ιστορία των μουσικών οργάνων είναι τόσο παλιά, όσο ο πολιτισμός του ανθρώπου. Το ενδιαφέρον των «επιστημόνων» για τα μουσικά όργανα χρονολογείται από την εποχή του Πυθαγόρα (τουλάχιστον)

Διαβάστε περισσότερα

έτος 200 τεύχη 01-4 Κώστας Δόρτσιος Μαθηματικός

έτος 200 τεύχη 01-4 Κώστας Δόρτσιος Μαθηματικός Κώστας Δόρτσιος Μαθηματικός Ξεκίνησε να δημοσιεύεται κάθε Τετάρτη στην Εφημερίδα ''Γραμμή '' της Κοζάνης το 006 καθ όλη τη διάρκεια του έτους. Ένα μεγάλο μέρος της έχει φιλοξενηθεί στην ιστοσελίδα του

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

Eν φωναίς και οργάνοις ΒασΙλησ Θ. ΓρατσοΥνασ

Eν φωναίς και οργάνοις ΒασΙλησ Θ. ΓρατσοΥνασ Eν φωναίς και οργάνοις ΒασΙλησ Θ. ΓρατσοΥνασ Μεθοδική παρουσίαση των θέσεων των φθογγοσήμων στο ούτι, το πολίτικο λαούτο και τον ταμπουρά σε σχέση με τις τονικές αλλαγές. AΘΗΝΑ 1999 2 3 Iούνιος 2001 Χρωστάω

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Δυστυχώς, κάποτε, κάποιοι «αρμόδιοι» απεφάσισαν να μη διδάσκονται στο Λύκειο όλα τα πεδία της Φυσικής! Μεταξύ αυτών καταλέγεται και το πεδίο της

Δυστυχώς, κάποτε, κάποιοι «αρμόδιοι» απεφάσισαν να μη διδάσκονται στο Λύκειο όλα τα πεδία της Φυσικής! Μεταξύ αυτών καταλέγεται και το πεδίο της ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό με τίτλο «Λυμένες Ασκήσεις Μουσικής Ακουστικής» απευθύνεται κυρίως στους φοιτητές μου στο Τμήμα Μουσικών Σπουδών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών, στους φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήµατος: Πολυκάναλη Ηχογράφηση στο Audacity

Σχέδιο Μαθήµατος: Πολυκάναλη Ηχογράφηση στο Audacity Σχέδιο Μαθήµατος: Πολυκάναλη Ηχογράφηση στο Audacity Θεµατική Ενότητα: Μουσική Τεχνολογία Τάξη: Β Γυµνασίου Διάρκεια: 2 περίοδοι Καθηγητής: Σκοπός Με το συγκεκριµένο µάθηµα οι µαθητές θα γνωρίσουν την

Διαβάστε περισσότερα

Παλμογράφος. ω Ν. Άσκηση 15:

Παλμογράφος. ω Ν. Άσκηση 15: Άσκηση 15: Παλμογράφος Σκοπός: Σε αυτή την άσκηση θα μάθουμε τις βασικές λειτουργίες του παλμογράφου και το πώς χρησιμοποιείται αυτός για τη μέτρηση συνεχούς και εναλλασσόμενης τάσης, συχνότητας και διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτήριο TO ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ Σχολικό Έτος 2008-2009 Συνθετικές εργασίες στο μάθημα Πληροφορική Τεχνολογία της Β Γυμνασίου: Όψεις της Τεχνολογίας

Εκπαιδευτήριο TO ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ Σχολικό Έτος 2008-2009 Συνθετικές εργασίες στο μάθημα Πληροφορική Τεχνολογία της Β Γυμνασίου: Όψεις της Τεχνολογίας Εκπαιδευτήριο TO ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ Σχολικό Έτος 2008-2009 Συνθετικές εργασίες στο μάθημα Πληροφορική Τεχνολογία της Β Γυμνασίου: Όψεις της Τεχνολογίας Θέμα: Χρόνος - Ρολόι Τμήμα: ΗΥ: Ομάδα: Β1 pcneo Σαμπαθιανάκης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα

Κεφάλαιο T4. Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κεφάλαιο T4 Υπέρθεση και στάσιµα κύµατα Κύµατα και σωµατίδια Τα κύµατα είναι πολύ διαφορετικά από τα σωµατίδια. Τα σωµατίδια έχουν µηδενικό µέγεθος. Τα κύµατα έχουν ένα χαρακτηριστικό µέγεθος το µήκος

Διαβάστε περισσότερα

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά.

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. 1 x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. Πριν λίγα χρόνια, όταν είχε έρθει στην Ελλάδα ο νομπελίστας χημικός Ilya Prigogine (πέθανε πρόσφατα), είχε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Έγχορδων Μουσικών Οργάνων

Φυσική Έγχορδων Μουσικών Οργάνων Φυσική Έγχορδων Μουσικών Οργάνων Από τον Μεταβαρόνο Isnogood. 1) Γενικά για τα κύματα. Ένα ορισμός που περιγράφει το κύμα είναι αυτός που λέει ότι κύμα είναι μια διαταραχή με κύριο χαρακτηριστικό τη μεταφορά

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών η Μεθοδολογία: «Ανυψωτήρας» Το υγρό του δοχείου κλείνεται με δύο έμβολα που βρίσκονται στην ίδια οριζόντιο. Στο έμβολο με επιφάνεια Α ασκείται δύναμη F. ον Η F ασκεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Α ΑΘΗΝΑΣ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗ ΣΕ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Α ΑΘΗΝΑΣ ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗ ΣΕ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Α ΑΘΗΝΑΣ http://1kesyp-a-athin.att.sch.gr ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΕΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗ ΣΕ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

Το Βιολί. Πασχαλιά-Μπρέντα Νίκη. Μαθήτρια Α2 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης. Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος

Το Βιολί. Πασχαλιά-Μπρέντα Νίκη. Μαθήτρια Α2 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης. Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος Το Βιολί Πασχαλιά-Μπρέντα Νίκη Μαθήτρια Α2 Γυμνασίου, Ελληνικό Κολλέγιο Θεσσαλονίκης Επιβλέπων Καθηγητής: Κωνσταντίνος Παρασκευόπουλος Καθηγητής Πληροφορικής Ελληνικού Κολλεγίου Θεσσαλονίκης Περίληψη Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική παιδεία και μουσικά όργανα στην Αρχαία Ελλάδα

Μουσική παιδεία και μουσικά όργανα στην Αρχαία Ελλάδα Μουσική παιδεία και μουσικά όργανα στην Αρχαία Ελλάδα Νικόλαος Μπρας Κατασκευαστής μουσικών οργάνων την Αρχαία Ελλάδα η μουσική μεσουράνησε νωρίτερα από τις άλλες καλές τέχνες, στην αποκαλούμενη αρχαϊκή

Διαβάστε περισσότερα

Ο Παλμογράφος στη Διδασκαλία της Τριγωνομετρίας. Εφαρμογές της Τριγωνομετρίας σε πραγματικά προβλήματα και ενδιαφέρουσες επεκτάσεις

Ο Παλμογράφος στη Διδασκαλία της Τριγωνομετρίας. Εφαρμογές της Τριγωνομετρίας σε πραγματικά προβλήματα και ενδιαφέρουσες επεκτάσεις Ο Παλμογράφος στη Διδασκαλία της Τριγωνομετρίας Εφαρμογές της Τριγωνομετρίας σε πραγματικά προβλήματα και ενδιαφέρουσες επεκτάσεις Περίληψη Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Κυματική Παλμογράφος STEM Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΥΞΗΜΕΝΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΑ ΕΙΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία ΠΩΣ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΗΡΕΑΣΕ ΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΜΟΥΣΙΚΟΥ ΟΡΓΑΝΟΥ ΤΗΣ ΚΙΘΑΡΑΣ. 7ο Λύκειο Καλλιθέας Σκαρλάτος Βασίλης Α4

Τεχνολογία ΠΩΣ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΗΡΕΑΣΕ ΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΜΟΥΣΙΚΟΥ ΟΡΓΑΝΟΥ ΤΗΣ ΚΙΘΑΡΑΣ. 7ο Λύκειο Καλλιθέας Σκαρλάτος Βασίλης Α4 Τεχνολογία ΠΩΣ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΠΗΡΕΑΣΕ ΤΗΝ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΜΟΥΣΙΚΟΥ ΟΡΓΑΝΟΥ ΤΗΣ ΚΙΘΑΡΑΣ 7ο Λύκειο Καλλιθέας Σκαρλάτος Βασίλης Α4 Από τα παλιά χρόνια η κιθάρα χρησιμοποιούνταν ως μέσο ψυχαγωγίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης. Ε.Κολέζα

Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης. Ε.Κολέζα Οι μαθηματικές δραστηριότητες ως εργαλείο Διδασκαλίας και Αξιολόγησης Ε.Κολέζα Η μαθηματική δραστηριότητα Α) Υλοποιεί τους στόχους του Π.Σ. Στόχους περιεχομένου (στο τέλος του μαθήματος οι μαθητές θα

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1 Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές

Διαβάστε περισσότερα

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1

Στάμη Τσικοπούλου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 85τ.1/1 Πίνακες πολλαπλασιασμού Το Βεδικό τετράγωνο Στάμη Τσικοπούλου Σ τα μαθηματικά και ιδιαίτερα στην αριθμητική ένας πίνακας πολλαπλασιασμού (ή αλλιώς ένας πυθαγόρειος πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΙΝΙΓΜΑ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Του Αλέκου Χαραλαµπόπουλου Μία προσέγγιση από φιλοσοφικής και φυσικής πλευράς, της παραγωγής και της φύσης της Βαρύτητας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Είναι κοινή πείρα η έλξη της γης, την οποία ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΓΡΑΦΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Περίληψη (Abstract),(

ΣΥΓΓΡΑΦΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Περίληψη (Abstract),( ΣΥΓΓΡΑΦΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Περίληψη (Abstract),( στην ελληνική και αγγλική γλώσσα Λέξεις κλειδιά Εισαγωγή Επικρατούσες απόψεις Ορισμοί Η Η επιστημονική υπόθεση Περιγραφή αιτιολόγηση της έρευνας ή εφαρμογής Αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Θεόδωρου Π. Ματθαίου, συγγραφέα

Θεόδωρου Π. Ματθαίου, συγγραφέα Νεαντερτάλιος Αυλός: Πεντατονική μουσική κλίμακα ηλικίας 40000-80000 ετών; Θεόδωρου Π. Ματθαίου, συγγραφέα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝA 1. H Ανακάλυψη του Ευρήματος 2. Πιθανή Εξέλιξη της Μουσικής 3. Προσπάθεια Ανασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Ομιλητής: Νασιούλας Αντώνης Ιστιαία, Σάββατο 13 Απριλίου 213 Μέρος I (Αναλλοίωτα) Η Αρχή του Αναλλοίωτου είναι μια στρατηγική επίλυσης προβλήματων που έχουν σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Τµήµα Μουσικών Σπουδών Ενορχήστρωση Ι Μαρωνίδης ηµήτρης. Ενορχήστρωση Ι 1ο Μάθηµα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Τµήµα Μουσικών Σπουδών Ενορχήστρωση Ι Μαρωνίδης ηµήτρης. Ενορχήστρωση Ι 1ο Μάθηµα Ενορχήστρωση Ι 1ο Μάθηµα 1 Εισαγωγή Συµφωνική Ορχήστρα Επίτευγµα του υτικού Πολιτισµού. Ορχήστρα Μουσικό όργανο (αυτόνοµο). Ενορχήστρωση Αρµονία, Αντίστιξη κτλ (Στυλιστική προσέγγιση). Εσωτερική Ακοή -

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας 2. Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια. α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι

Φύλλο Εργασίας 2. Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια. α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι Φύλλο Εργασίας 2 Μετρήσεις Χρόνου Η Ακρίβεια α. Παρατηρώ, Πληροφορούμαι, Ενδιαφέρομαι Συζήτησε με τους συμμαθητές σου, με τη βοήθεια του/της καθηγητή/τριάς σου, τι εννοούμε όταν ζητάμε τη μέτρηση χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΒΕΔΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΜΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Συχνά τα Μαθηματικά χρησιμοποιούνται ως ένα «εργαλείο» προκειμένου να ανιχνευθεί η «εξυπνάδα» του κάθε ανθρώπου, να διαφοροποιηθούν οι μαθητές μεταξύ τους σε

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα Εύρεση του π

Δραστηριότητα Εύρεση του π Δραστηριότητα Εύρεση του π Ανάµεσα σε πολλά πρωτότυπα και εντυπωσιακά επιτεύγµατα του Αρχιµήδη, η µέθοδός του για την εύρεση µιας αριθµητικής προσέγγισης για το π ξεχωρίζει για την κοµψότητα και την ασυνήθιστη

Διαβάστε περισσότερα

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Από τα αρχαιότατα χρόνια, έχουν καταβληθεί σηµαντικές προσπάθειες οι απειράριθµες ουσίες που υπάρχουν στη φύση να αναχθούν σε ενώσεις λίγων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της Ελληνικής ως δεύτερης /ξένης γλώσσας

Η διδασκαλία της Ελληνικής ως δεύτερης /ξένης γλώσσας Η διδασκαλία της Ελληνικής ως δεύτερης /ξένης γλώσσας Εισαγωγικά Μαρία Παπαλεοντίου, Φιλόλογος Π.Ι.Κ. Προβληματιζόμαστε... Τι εννοούμε με τον όρο Τεχνολογίες Πληροφορίας και Επικοινωνίας (Τ.Π.Ε.) και τι

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΘΡΟΥ ΜΕ ΘΕΜΑ: ΟΙ ΙΔΕΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΦΩΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΟΡΑΣΗ. Το άρθρο αυτό έχει ως σκοπό την παράθεση των αποτελεσμάτων πάνω σε μια έρευνα με τίτλο, οι ιδέες των παιδιών σχετικά με το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Αρχαία Ελληνικά 2) Ιστορία 3) Νεοελληνική Λογοτεχνία 4) Λατινικά ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 1) Μαθηματικά 2) Φυσική 3) Χημεία 4) Βιολογία ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΙΝΑ ΟΛΟΗΜΕΡΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ 8-12 ΕΤΩΝ. MathemArtics Camp

ΘΕΡΙΝΑ ΟΛΟΗΜΕΡΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ 8-12 ΕΤΩΝ. MathemArtics Camp ΘΕΡΙΝΑ ΟΛΟΗΜΕΡΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ 8-12 ΕΤΩΝ MathemArtics Camp Τα Θερινά Ολοήμερα Εργαστήρια του Μουσείου Ηρακλειδών MathemArtics Camp πραγματοποιούνται σε κύκλους των δύο εβδομάδων. Για το καλοκαίρι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

& percussion. Boomwhackers. Π ο τ έ έ ν α κ ρ ο υ σ τ ό δ ε ν ε ί χ ε τ έ τ ο ι ε ς δ υ ν α τ ό τ η τ ε ς

& percussion. Boomwhackers. Π ο τ έ έ ν α κ ρ ο υ σ τ ό δ ε ν ε ί χ ε τ έ τ ο ι ε ς δ υ ν α τ ό τ η τ ε ς & percussion Boomwhackers Π ο τ έ έ ν α κ ρ ο υ σ τ ό δ ε ν ε ί χ ε τ έ τ ο ι ε ς δ υ ν α τ ό τ η τ ε ς & percussion Βαλτετσίου 15, 10680 Αθήνα Τ: 210 3645147, F: 210 3645149 Ζακύνθου 7, 31100 Λευκάδα

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ.

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1.41. Κάποια ερωτήματα πάνω σε μια κυματομορφή. Α d B Γ d Δ t 0 E Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά μήκος ενός ελαστικού γραμμικού μέσου, από αριστερά

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: ISBN: 960 631 539 8. 1 601 00. 23510 33535, 6946967552 E-mail: gperdikis@kat.forthnet.gr ,,.2121/1993,. 100/1975., , 51. 2121/1993.

Copyright: ISBN: 960 631 539 8. 1 601 00. 23510 33535, 6946967552 E-mail: gperdikis@kat.forthnet.gr ,,.2121/1993,. 100/1975., , 51. 2121/1993. 2006 Copyright: - / 1 601 00. 23510 33535, 6946967552 E-mail: gperdikis@kat.forthnet.gr ISBN: 960 631 539 8,,.2121/1993,. 100/1975.,,,,, 51. 2121/1993. , ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ......σελ. 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα