Ασκήσεις από παλιές εξετάσεις

Transcript

1 Άσκηση 2 - Τελική εξέταση 2012 Ασκήσεις από παλιές εξετάσεις (α) [10 μονάδες] Να μετατρέψετε το πιο κάτω NFA σε ένα ισοδύναμο DFA χρησιμοποιώντας την κατασκευή που μελετήσαμε στο μάθημα. a a q 0 a, ε q 1 q 3 ε q 2 (β) [5 μονάδες] Να μετατρέψετε το DFA αυτόματο που κατασκευάσατε στο μέρος (α) σε ένα καινούριο αυτόματα έτσι ώστε το καινούριο αυτόματο να αποδέχεται το συμπλήρωμα της γλώσσας του αρχικού αυτομάτου. (γ) [5 μονάδες] Να μετατρέψετε το DFA αυτόματο που κατασκευάσατε στο μέρος (β) σε ένα καινούριο DFA έτσι ώστε το καινούριο αυτόματο να αποδέχεται τη σώρευση της γλώσσας του αρχικού αυτομάτου. Άσκηση 4 Τελική Εξέταση 2012 (α) [7 μονάδες] Να κατασκευάσετε μια ασυμφραστική γραμματική η οποία να παράγει τη γλώσσα L = {a k m c n είτε k = m είτε k = n} (β) [10 μονάδες] Να αποδείξετε ότι η πιο κάτω γλώσσα δεν είναι ασυμφραστική χρησιμοποιώντας το Λήμμα της Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες. L = {w {a,,c} * η w περιέχει τον ίδιο αριθμό από a, και c} Άσκηση 5 Τελική Εξέταση 2012 (α) [4 μονάδες] Να εξηγήσετε πότε μια γλώσσα είναι διαγνώσιμη και πότε είναι αναγνωρίσιμη. (β) [6 μονάδες] Να αποδείξετε ότι η πιο κάτω γλώσσα είναι διαγνώσιμη. (Σε περίπτωση που θα χρησιμοποιήσετε κάποια μηχανή που μελετήσαμε στις διαλέξεις να την περιγράψετε.) L = { G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει τουλάχιστον μία λέξη η οποία τελειώνει σε 0} (γ) [8 μονάδες] Να αποδείξετε ότι η πιο κάτω γλώσσα δεν είναι διαγνώσιμη. { Μ η Μ είναι μια ΤΜ με αλφάβητο γλώσσας το {0,1} η οποία αποδέχεται ακριβώς τρεις λέξεις} Ασκήσεις Επανάληψης Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 1 από 5

2 (Για την αναγωγή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη γνωστή μη διαγνώσιμη γλώσσα ΑΤΜ.) Άσκηση 6 Τελική Εξέταση 2012 Θεωρήστε την πιο κάτω γλώσσα: ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ_ΣΥΝΟΛΟ = { G,k o G είναι ένα γράφος ο οποίος διαθέτει ένα σύνολο k κόμβων οι οποίοι δεν συνδέονται μεταξύ τους μέσω ακμής } Για παράδειγμα, G,3, όπου G o πιο κάτω γράφος, ανήκει στο ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ_ΣΥΝΟΛΟ αφού διαθέτει το σύνολο με τρεις κόμβους {2,3,5} όπου οι κόμβοι 2, 3 και 5 δεν συνδέονται μεταξύ τους μέσω ακμών (α) [6 μονάδες] Να δείξετε ότι το πρόβλημα ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ_ΣΥΝΟΛΟ ανήκει στην κλάση ΝΡ. (β) [6 μονάδες] Να δείξετε ότι το πρόβλημα ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ_ΣΥΝΟΛΟ είναι ΝΡ-πλήρες μέσω αναγωγής από το γνωστό ΝΡ-πλήρες πρόβλημα της Κλίκας. Άσκηση 2 Τελική Εξέταση 2014 (α) [12 μονάδες] Για κάθε μια από τις πιο κάτω γλώσσες να κατασκευάσετε ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο (διάγραμμα καταστάσεων) επί του αλφάβητου {a,} που να την αναγνωρίζει. (i) L1 = { w {a,} * η w περιέχει ως υποσυμβολοσειρά το a } (ii) L2 = { a i j i, j 0 και i πολλαπλάσιο το 2, j πολλαπλάσιο του 3} (β) [3 μονάδες] Να κατασκευάσετε αυτόματο (DFA ή NFA) που να αποδέχεται τη γλώσσα L1 R, όπου L1 η γλώσσα από το μέρος (α). (γ) [5 μονάδες] Να κατασκευάσετε αυτόματο (DFA ή NFA) που να αποδέχεται τη γλώσσα a(l1 L2) *, όπου L1 και L2 οι γλώσσες από το μέρος (α). Άσκηση 3 Τελική Εξέταση 2014 (α) [8 μονάδες] Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα L = { a n 2n c n n 0 }. Συγκεκριμένα, να παρουσιάσετε το αλφάβητο εισόδου και το αλφάβητο ταινίας της μηχανής σας καθώς και το σύστημα μεταβάσεών της. Ασκήσεις Επανάληψης Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 2 από 5

3 (β) [2 μονάδες] Να περιγράψετε την εκτέλεση της μηχανή σας από το μέρος (α) με δεδομένο εισόδου τη λέξη acc χρησιμοποιώντας σαφείς αναφορές στις καταστάσεις από τις οποίες θα διέλθει η μηχανή σας καθώς θα επεξεργάζεται τη λέξη. (γ) [4 μονάδες] Να παρουσιάσετε σε συντομία την αφ υψηλού περιγραφή μιας πολυταινιακής μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα L και να συγκρίνετε τη μηχανή αυτή με εκείνη που κατασκευάσατε στο μέρος (α) ως προς την πολυπλοκότητά τους. Άσκηση 5 Τελική Εξέταση 2016 (α) [6 μονάδες] Να αποδείξετε ότι η πιο κάτω γλώσσα είναι διαγνώσιμη. (Μπορείτε να θεωρήσετε δεδομένους όλους τους αλγόριθμους για κανονικές γλώσσες που έχουμε μελετήσει στο μάθημα.) L = { R η R είναι μια κανονική έκφραση η οποία παράγει τουλάχιστον μια λέξη στο {0,1} * που περιέχει το σύμβολο 0 ακριβώς 3 φορές } (β) [8 μονάδες] Να αποδείξετε ότι η πιο κάτω γλώσσα δεν είναι διαγνώσιμη. { Μ η Μ είναι μια ΤΜ με αλφάβητο εισόδου το {0,1} η οποία αποδέχεται ακριβώς δύο λέξεις } (Για την αναγωγή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη γνωστή μη διαγνώσιμη γλώσσα ΑΤΜ.) Άσκηση 1 (β) Τελική Εξέταση 2018 Πιο κάτω υπάρχει ένα σχεδιάγραμμα που τοποθετεί τις κλάσεις των κανονικών, ασυμφραστικών, διαγνώσιμων και αναγνωρίσιμων γλωσσών μέσα στο σύνολο όλων των γλωσσών. Ακολουθούν 12 αριθμημένες γλώσσες. Να γράψετε τον αριθμό κάθε γλώσσας στην κλάση που ανήκει. Σαν παράδειγμα έχουν ήδη τοποθετηθεί στο διάγραμμα οι αριθμοί των δύο πρώτων γλωσσών: η γλώσσα με αριθμό 1 είναι κανονική ενώ η γλώσσα με αριθμό 2 είναι αναγνωρίσιμη (αλλά δεν είναι ούτε διαγνώσιμη, ούτε ασυμφραστική, ούτε κανονική). Ασκήσεις Επανάληψης Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 3 από 5

4 Όλες οι Γλώσσες Αναγνωρίσιμες Γλ. 2 Διαγνώσιμες Γλ. Ασυμφραστικές Γλ. Κανονικές Γλ Σ * 2. ΑΤΜ (Το πρόβλημα της Αποδοχής σε Μηχανές Turing) 3. { a i j c k i,j,k 0 και i = j ή i = k ή j = k } 4. { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } 5. { w {a,} * η w περιέχει διπλάσιο αριθμό a από } 6. k-κλικα (To πρόβλημα εύρεσης k-κλίκας σε ένα γράφο) 7. { Μ,k η Μ είναι μια ΤΜ η οποία αποδέχεται τουλάχιστον μια λέξη μήκους k } 8. { a i j a j i i, j > 0 } 9. { Μ,w η Μ είναι μια ΤΜ η οποία εγκλωβίζεται στη λέξη w } 10. { ww R a w w {a,} * } 11. { G1, G2 οι G1 και G2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 100 } 12. { a k aa n k = n mod 2} Άσκηση 6 Τελική Εξέταση 2018 Ένας γράφος G = (V,E) με 2k κορυφές ονομάζεται k-χαρταετός αν το σύνολο των κορυφών του μπορεί να χωριστεί σε δύο σύνολα κόμβων V1 και V2 όπου: Τα σύνολα V1 και V2 περιέχουν k κόμβους το κάθε ένα. Ασκήσεις Επανάληψης Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 4 από 5

5 Κάθε ζευγάρι κορυφών του V1 συνδέονται μεταξύ τους μέσω ακμής. Οι κόμβοι του V2 είναι ενωμένοι γραμμικά σε ένα μονοπάτι που καταλήγει σε μια από τις κορυφές του V1. Πιο κάτω ακολουθούν παραδείγματα k-χαρταετών. (i) 3-χαρταετός (ii) 4 χαρταετός (iii) 5-χαρταετός Με βάση την έννοια αυτή ορίζουμε τη γλώσσα k-χαρταετοσ ως εξής: k-χαρταετοσ = { G,k o G = (V,E) είναι ένα γράφος ο οποίος περιέχει ένα k-χαρταετό}. (α) (6 μονάδες) Να δείξετε ότι η γλώσσα k-xαρταετοσ ανήκει στην κλάση ΝΡ. (β) (6 μονάδες) Να δείξετε ότι η γλώσσα k-χαρταετοσ είναι ΝΡ-πλήρης μέσω αναγωγής από το γνωστό ΝΡ-πλήρες πρόβλημα της Κλίκας. Ασκήσεις Επανάληψης Χειμερινό Εξάμηνο 2018 Σελίδα 5 από 5