ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ"

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ

2 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΥΛΗΣ 1. Απλός τόκος 2. Ανατοκισµός 3. Ράντες 4. άνεια 2

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ Ι ΕΑ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ Ο τόκος (Ι) µπορεί να θεωρηθεί σαν η χρηµατική αµοιβή που πληρώνεται από κάποιο πρόσωπο ή οργανισµό που λέγεται δανειζόµενος για τη χρήση ενός περιουσιακού στοιχείου που λέγεται συνήθως κεφάλαιο (P) που ανήκει σε ένα άλλο πρόσωπο ή οργανισµό. Κεφάλαιο (P) λέγεται το οικονοµικό αγαθό που εκφράζεται σε µονάδες νοµισµάτων και έχει την ικανότητα να αυξάνεται. Χρόνος (t) λέγεται το χρονικό διάστηµα για το οποίο δανείζεται κάποιος ένα κεφάλαιο P. Εξυπακούεται ότι ο χρόνος µπορεί να είναι διακριτή µεταβλητή ή συνεχής µεταβλητή όταν παίρνει τιµές στο διάστηµα [t 1 t 2 ]. 3

4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ Ι ΕΑ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ Τόκος (I) λέγεται το ποσό των χρηµάτων που παίρνει ο δανειστής ενός κεφαλαίου P για χρόνο t από τον δανειζόµενο. Ετήσιο επιτόκιο (r) είναι ο τόκος για κεφάλαιο P =1 νοµισµατικής µονάδας στη µονάδα του χρόνου. Συνήθως λαµβάνεται ως µονάδα χρόνου ο ένας χρόνος. Τελική αξία (S) ή ύψος ή µέλλουσα αξία είναι το άθροισµα του κεφαλαίου P και του τόκου I. Ο ορισµός αυτός εκφράζεται µε τον τύπο: S = P+ I 4

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ Ι ΕΑ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ Κεφαλαιοποίηση του τόκου λέγεται η µετατροπή του τόκου σε κεφάλαιο και ο συµψηφισµός του σε αρχικό κεφάλαιο. Απλή κεφαλαιοποίηση λέγεται αυτή στην οποία ο παραγόµενος τόκος I από τοκισµό κεφαλαίου P σε χρόνο t, προστίθεται στο κεφάλαιο στο τέλος του χρονικού διαστήµατος t. Στην περίπτωση αυτή ο τόκος I λέγεται απλός τόκος, το δε αρχικό κεφάλαιο P παραµένει σταθερό για όλες τις περιόδους τοκισµού. Σύνθετη κεφαλαιοποίηση λέγεται αυτή στην οποία ο τόκος I που συσσωρεύεται από τον τοκισµό κεφαλαίου P για διάστηµα t µε ετήσιο επιτόκιο r, προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο P στο τέλος της χρονικής περιόδου t, έτσι ώστε στην επόµενη χρονική περίοδο υπάρχει προς τοκισµό το αρχικό κεφάλαιο P και ο τόκος της χρονικής περιόδου I. Αυτή η διαδικασία λέγεται ανατοκισµός ή σύνθετος τόκος. 5

6 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ Υποθέτουµε ότι κεφάλαιο P νοµισµατικών µονάδων στις οποίες µετρείται το επιτόκιο τοκίζεται για χρόνο t (µονάδες χρόνου) µε επιτόκιο r, όπου r είναι ο τόκος 1 νοµισµατικής µονάδας στη µονάδα του χρόνου. Άρα ο τόκος I του κεφαλαίου P, όταν τοκίζεται µε απλό επιτόκιο r για χρόνο t, δίνεται από τον τύπο: I = Prt Στην απλή κεφαλαιοποίηση, η τελική αξία κεφαλαίου δίνεται από τον τύπο: S= P+ I= P+ Pr t= P(1 + rt) 6

7 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ Όταν το επιτόκιο r είναι ετήσιο και ο χρόνος (m) εκφράζεται σε µήνες, το επιτόκιο και η τελική αξία δίνονται από τους τύπους: Prm rm I = S= P(1 + ) Όταν το επιτόκιο r είναι ετήσιο και ο χρόνος (d) εκφράζεται σε ηµέρες, το επιτόκιο δίνεται από τον τύπο: rd I= S= P(1 + ) 365 Prd 365 7

8 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ Στην εκτέλεση των βραχυπρόθεσµων οικονοµικών πράξεων διακρίνουµε 3 είδη υπολογισµού των τοκοφόρων ηµερών µε βάση τα 3 είδη ετών. Το πολιτικό έτος, το οποίο έχει 365 ηµέρες ή 366, αν είναι δίσεχτο. Στο πολιτικό έτος κάθε µήνας περιλαµβάνει τον πραγµατικό αριθµό ηµερών, π.χ. 31 ο Γενάρης, 28 ή 29 Φλεβάρης κ.τ.λ. Εφαρµόζεται στην Αγγλία, ΗΠΑ, Πορτογαλία. Το εµπορικό ή λογιστικό έτος, το οποίο έχει 360 ηµέρες και ο κάθε µήνας έχει 30 ηµέρες. Εφαρµόζεται στη Ρωσία, Σκανδιναβία, Γερµανία, Ελβετία. Το µικτό έτος, το οποίο αποτελείται από 360 ηµέρες και ο κάθε µήνας λαµβάνεται µε τις πραγµατικές του ηµέρες. Εφαρµόζεται στην Ελλάδα, Ιταλία, Βέλγιο, Ισπανία, Ολλανδία. 8

9 ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΟΥ ΤΟΚΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΙΑΙΡΕΤΗ Στις οικονοµικές συναλλαγές διευκολύνονται κατά πολύ οι υπολογισµοί του τόκου µε τη χρήση 2 βασικών µεγεθών, του τοκάριθµου και του σταθερού διαιρέτη. Τοκάριθµος (Ν) ονοµάζεται το γινόµενο: N = Pd Όπου P είναι το κεφάλαιο και d είναι ο χρόνος (σε ηµέρες) τοκισµού του. Σταθερός διαιρέτης ονοµάζεται το πηλίκο: Όταν πρόκειται για εµπορικό ή µικτό έτος D = 360 r Όταν πρόκειται για πολιτικό έτος D = 365 r 9

10 ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΟΥ ΤΟΚΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΙΑΙΡΕΤΗ Επίσης, µε τη χρήση του τοκάριθµου και τους σταθερού διαιρέτη έχουµε: I ή I κ α ι = P d = r N D N D S = P (1 + d d ) = P (1 + ) D r ή S = d = P (1 + ) 10 D

11 ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ Ονοµαστική αξία της συναλλαγµατικής λέγεται το ποσό των χρηµάτων που είναι γραµµένο στη συναλλαγµατική και το οποίο πρέπει να πληρώσει ο οφειλέτης στο δανειστή. Παρούσα ή πραγµατική αξία µιας συναλλαγµατικής ή γραµµατίου είναι το χρηµατικό πόσο που πρέπει να πληρωθεί σε κάποιο χρόνο t πριν από τη λήξη της συναλλαγµατικής. Λήξη της συναλλαγµατικής ονοµάζεται η ηµέρα που πρέπει ο οφειλέτης να πληρώσει στο δανειστή το χρηµατικό ποσό που αναγράφεται στη συναλλαγµατική. Η ονοµαστική αξία περιλαµβάνει εκτός του πραγµατικού ποσού που δανείστηκε ο οφειλέτης και τον τόκο που πρέπει να πληρώσει ο οφειλέτης. 11

12 ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ Η διαφορά της συναλλαγµατικής από το γραµµάτιο: Η συναλλαγµατική εκδίδεται από το δανειστή ο οποίος δίνει εντολή στον οφειλέτη να πληρώσει το χρέος του, ενώ το γραµµάτιο εκδίδεται από τον οφειλέτη ο οποίος υπόσχεται να πληρώσει το χρέος του στον δανειστή. Προεξόφληση γραµµατίου ή συναλλαγµατικής λέγεται η καταβολή στον κάτοχο του πιστωτικού τίτλου πριν την ηµεροµηνία λήξης του, έναντι µεταβίβασης του τίτλου, ενός χρηµατικού ποσού το οποίο είναι λιγότερο από την ονοµαστική αξία του τίτλου κατά ένα ποσό που αντιστοιχεί στον τόκο της ονοµαστικής ή πραγµατικής αξίας του τίτλου για το διάστηµα από την ηµέρα της προεξόφλησης µέχρι την ηµέρα λήξης του τίτλου. 12

13 ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ Χρόνος προεξόφλησης λέγεται το χρονικό διάστηµα από την ηµέρα της λήξης του τίτλου. Επιτόκιο προεξόφλησης λέγεται το επιτόκιο µε το οποίο υπολογίζεται πόσο τόκο θα πληρώσει ο κάτοχος του τίτλου προς προεξόφληση. Προεξόφληµα ή έκπτωση ή υφαίρεση λέγεται το χρηµατικό ποσό που θα κρατήσει εκείνος που προεξοφλεί τον τίτλο από τον κάτοχο του τίτλου, για τον κίνδυνο που παίρνει, να δώσει ένα ποσό που θα εισπράξει κατά τη λήξη του τίτλου. Ισχύει ο εξής τύπος για την προεξόφληση τίτλων: Παρούσα αξία + Προεξόφληµα = Ονοµαστική αξία 13

14 ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΤΙΤΛΩΝ Εξωτερική προεξόφληση λέγεται η προεξόφληση τίτλων (συναλλαγµατικών ή γραµµατίων) στην οποία το προεξόφληµα Π είναι ίσο µε τον τόκο της ονοµαστικής αξίας P για χρόνο t, ο οποίος είναι ο χρόνος από την ηµέρα της προεξόφλησης µέχρι τη λήξη του τίτλου και µε επιτόκιο r. Π=Prt Έστω ότι Α είναι η παρούσα αξία τίτλου στην εξωτερική προεξόφληση. Τότε έχουµε: Α + Π = ή P Α + Prt = P ή Α = P(1 rt) 14

15 ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΤΙΤΛΩΝ Στην περίπτωση που ο χρόνος προεξόφλησης είναι σε ηµέρες (d) και το επιτόκιο είναι ετήσιο. Τότε έχουµε: d N Π= P r= 360 D ή Π= N D Όπου Ν=Pd είναι ο τοκάριθµος D=360/r είναι ο σταθερός διαιρέτης Συνεπώς, έχουµε: d dr d A= P Π= P P r= P(1 ) = P(1 ) D d A= P(1 ) 15 D

16 ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΤΙΤΛΩΝ Εσωτερική προεξόφληση λέγεται η προεξόφληση εκείνη στην οποία το προεξόφληµα Π * είναι ίσο µε τον τόκο τον οποίο δίνει κεφάλαιο P * ίσο µε την παρούσα (ή πραγµατική) αξία του τίτλου, όταν τοκιστεί για χρόνο t, ίσο µε το χρονικό διάστηµα από την ηµέρα της προεξόφλησης µέχρι και την ηµέρα της λήξης, και µε επιτόκιο r, το οποίο συµφωνείται σαν το προεξοφλητικό επιτόκιο. Π = κ α ι * * * Π = κ α ι A * P rt P r 1 + Π = = rt t rt 1 P + rt 16

17 ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΤΙΤΛΩΝ Αν ο χρόνος προεξόφλησης είναι σε ηµέρες (d) και το έτος εµπορικό, τότε το εσωτερικό προεξόφληµα Π * και η πραγµατική αξία Α * δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: Π = κα ι A * * N D + d Π PD = = rt D + d 17

18 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΜΑΤΟΣ, ΟΤΑΝ Η ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΤΙΤΛΟΥ ΕΙΝΑΙ ΓΝΩΣΤΗ Στην εξωτερική προεξόφληση: Art Π= 1 rt Στην εσωτερική προεξόφληση: * Π =Art 18

19 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΞΙΑΣ Ή ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ Όλες οι οικονοµικές αποφάσεις πρέπει να στηρίζονται στη βασική ιδέα ότι το χρήµα έχει αξία σε σχέση µε το χρόνο. Σε µία οικονοµική συναλλαγή κάθε πληρωµή πρέπει να έχει µια ηµεροµηνία που θα λάβει χώρα. Οι εξισώσεις αξίας στηρίζονται στην αρχή της οικονοµικής ισοδυναµίας. Σύµφωνα µε την αρχή της οικονοµικής ισοδυναµίας, δύο άνισα ποσά χρηµάτων σε ορισµένη χρονική στιγµή θεωρούνται (οικονοµικά) ισοδύναµα. Το ποσό χρηµάτων Χ το οποίο πρέπει να δοθεί σήµερα είναι ισοδύναµο µε επιτόκιο r µε το ποσό Υ που θα δοθεί t έτη αργότερα, αν ισχύει: Y = X (1 + rt) ή X = Y (1 + rt) 1 19

20 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΞΙΑΣ Ή ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ Εξίσωση αξίας ή ισοδυναµίας λέγεται µια εξίσωση η οποία δηλώνει ότι οι αξίες δυο ισοδύναµων ποσών χρηµάτων που αναφέρονται στην ίδια ηµεροµηνία είναι ίσες, για κάποια τιµή του ενός ποσού. Εστιακή ηµεροµηνία λέγεται η ηµεροµηνία στην οποία αναφέρονται οι ισοδύναµες οικονοµικώς αξίες χρηµάτων. 4 βήµατα για τη λύση προβληµάτων οικονοµικής ισοδυναµίας. 1 ο Κατασκευή του διαγράµµατος χρόνου 2 ο Επιλογή εστιακής ηµεροµηνίας 3 ο Κατάστρωση της εξίσωσης ισοδυναµίας 4 ο Λύση της εξίσωσης ισοδυναµίας 20

21 ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Ανατοκισµός λέγεται η κεφαλαιοποίηση στην οποία ο τόκος κάθε χρονικής περιόδου t=1 ο οποίος παράγεται από κεφάλαιο P τοκισµένο προς επιτόκιο προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο P και το νέο κεφάλαιο P+I τοκίζεται πάλι προς επιτόκιο I. Ο ανατοκισµός εφαρµόζεται στις µακροπρόθεσµες οικονοµικές πράξεις, ενώ ο απλός τόκος, στον οποίο ο τόκος κάθε χρονικής περιόδου αφαιρείται από τον καταθέτη, εφαρµόζεται στις βραχυπρόθεσµες οικονοµικές πράξεις. Για πρακτικούς λόγους, το επιτόκιο στον απλό τόκο θα συµβολίζεται µε r και στον ανατοκισµό µε. 21

22 ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Στο τέλος του χρόνου t η τελική αξία αρχικού κεφαλαίου P που τοκίζεται µε ανατοκισµό, προς ετήσιο επιτόκιο θα είναι: S= P(1 + ) t Ο συντελεστής (1 + ) t λέγεται συντελεστής ανατοκισµού και δίνει την τελική αξία µετά από t χρόνια της µονάδας του νοµίσµατος. 22

23 ΤΟΚΟΣ ΣΤΟΝ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟ Ο τόκος που δίνει κεφάλαιο P τοκιζόµενο µε επιτόκιο για χρόνο t δίνεται από τον τύπο: t I = S P= P(1 + ) P= P[(1 + ) 1] t I = P [(1 + ) 1] 23

24 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΛΟΥ ΤΟΚΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΥ Ισχύει ότι: P(1 + ) t > P[(1 + t) (1 + ) > [(1 + t ) t Γιατί για t>1 Άρα ο τόκος της κεφαλαιοποίησης µε ανατοκισµό είναι µεγαλύτερος από τον τόκο της απλής κεφαλαιοποίησης για t>1. Για t=1 ο τόκος της απλής κεφαλαιοποίησης είναι ίσος µε τον τόκο κεφαλαιοποίησης του ανατοκισµού. 24

25 ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ Ή ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Από τον τύπο της τελικής αξίας έχουµε: S (1 + ) t = P t 1 S t = ( ) 1 P ln S ln P = ln(1 + ) y y x = x + ( x x ) y2 y1 25

26 ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΙΣΟ ΥΝΑΜΩΝ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ Στην περίπτωση του απλού τόκου το επιτόκιο r λέγεται ετήσιο ονοµαστικό επιτόκιο. Στην περίπτωση του απλού τόκου, όταν ο τόκος βρίσκεται κατά τη χρονική περίοδο ίση µε 1/m του ενός χρόνου, τότε το ετήσιο ονοµαστικό επιτόκιο r διαιρείται δια m. Στην περίπτωση αυτή το επιτόκιο r και το επιτόκιο r/m λέγονται ανάλογα επιτόκια. S = P (1 + tr ) r I = P ( )( m t ) m 26

27 ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΙΣΟ ΥΝΑΜΩΝ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ Στον ανατοκισµό δύο επιτόκια λέγονται ισοδύναµα, αν παράγουν τον ίδιο τόκο ή την ίδια τελική αξία για το ίδιο κεφάλαιο και τον ίδιο συνολικό χρόνο τοκισµού, όταν αντιστοιχούν σε διαφορετικές περιόδους ανατοκισµού. S = P(1 + ) m m = (1 + ) 1 Το επιτόκιο m λέγεται επιτόκιο κλασµατικής περιόδου. Το επιτόκιο λέγεται ετήσιο πραγµατικό επιτόκιο. m m 1 m m = (1 + ) 1 Το επιτόκιο J m = m *m λέγεται ονοµαστικό επιτόκιο συχνότητας. Μας βοηθάει να βρίσκουµε το ετήσιο ονοµαστικό επιτόκιο συχνότητας m, όταν ξέρουµε το ετήσιο πραγµατικό επιτόκιο m J = m[(1 + ) 1] m

28 ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΑΞΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ, ΟΤΑΝ Ο ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΥ ΕΙΝΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΣ Έστω ότι ο χρόνος t αποτελείται από n χρονικές µονάδες και m/l µέρη µιας χρονικής µονάδας. Εκθετικός τρόπος m m n+ n l l S= P(1 + )(1 + ) = P(1 + ) Γραµµική µέθοδος n m C = P(1 + ) (1 + ) l 28

29 ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΑΞΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ, ΟΤΑΝ Ο ΧΡΟΝΟΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΥ ΕΙΝΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΣ Γραµµική µέθοδος Αν η ακέραια περίοδος είναι ο ένας χρόνος και ο χρόνος είναι n χρόνια και m µήνες, τότε έχουµε: n m C = P (1 + ) (1 + ) 12 Αν ο χρόνος είναι n χρόνια και d ηµέρες, τότε έχουµε: n d C= P(1 + ) (1 + )

30 ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ Πολλές φορές ένας έµπορος χρειάζεται να αντικαταστήσει ορισµένους τίτλους (π.χ. γραµµάτια, συναλλαγµατικές) µε άλλους, χωρίς η αντικατάσταση αυτή να επιφέρει κέρδος ή ζηµία στα εναλλασσόµενα µέρη (πιστωτή και οφειλέτη). Η αντικατάσταση αυτή τίτλων διέπεται από ορισµένες µαθηµατικές σχέσεις. Ένα ποσό Χ χρηµατικών µονάδων το οποίο καταβάλλεται σε µία ορισµένη ηµεροµηνία είναι (οικονοµικά) ισοδύναµο, σε ορισµένο επιτόκιο ανατοκιζόµενο, µε ένα ποσό Υ των ίδιων νοµισµατικών µονάδων που καταβάλλεται n χρονικές περιόδους αργότερα, αν ισχύει: Y= X(1 + ) ή n n X= Y(1 + ) 30

31 ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ Αντικατάσταση ενός συνόλου τίτλων µε ένα άλλο σύνολο τίτλων είναι η ανταλλαγή του ενός συνόλου τίτλων που λήγουν σε ορισµένες ηµεροµηνίες µε ένα σύνολο άλλων τίτλων που λήγουν σε ορισµένες άλλες ηµεροµηνίες. Τα 2 σύνολα τίτλων είναι (οικονοµικά) ισοδύναµα στην κοινή ηµεροµηνία σύγκρισης που λέγεται εποχή ισοδυναµίας, όταν το σύνολο των πραγµατικών αξιών του ενός συνόλου ποσών στην εποχή ισοδυναµίας είναι ίσο µε το σύνολο των πραγµατικών τιµών του άλλου συνόλου ποσών στην ίδια εποχή ισοδυναµίας. Η εξίσωση που εκφράζει την (οικονοµική) ισοδυναµία των δύο συνόλων ποσών σε µία δεδοµένη εποχή ισοδυναµίας λέγεται εξίσωση ισοδυναµίας. 31

32 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΙΤΛΩΝ ΟΤΑΝ Η ΕΠΟΧΗ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ ΕΙΝΑΙ Η ΗΜΕΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Η ηµέρα υπολογισµού συµβολίζεται µε t=0, η εποχή ισοδυναµίας συµβολίζεται µε t e και η ηµέρα λήξης (κοινή λήξη) του ενιαίου γραµµατίου P e είναι η t h Αν η προεξόφληση είναι εξωτερική: P(1 t) = P(1 t) + P(1 t) P(1 t) h h a a Αν η προεξόφληση είναι εσωτερική: Ph P1 P2 Pa = (1 t) (1 t) (1 t) (1 t) 32 h 1 2 a

33 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΤΙΤΛΩΝ ΟΤΑΝ Η ΕΠΟΧΗ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ ΕΙΝΑΙ Η ΚΟΙΝΗ ΛΗΞΗ Στην περίπτωση που η εποχή ισοδυναµίας t e είναι η κοινή λήξη t h έχουµε t e = t h Αν η προεξόφληση είναι εξωτερική: P= P(1 ( t t)) + P(1 ( t t)) P(1 ( t t)) h 1 1 h 2 2 h a a h 33

34 ΡΑΝΤΕΣ Οι ράντες χρησιµοποιούνται συνήθως στην εξόφληση ενός χρέους µε δόσεις οι οποίες καταβάλλονται σε ίσα χρονικά διαστήµατα. Ράντα ή χρηµατική ροή ή χρηµατοσειρά λέγεται µια σειρά χρηµατικών ποσών που καταβάλλονται σε ίσα τακτά χρονικά διαστήµατα για τα οποία ισχύει ο ανατοκισµός µε συγκεκριµένο επιτόκιο. Τα χρηµατικά ποσά που καταβάλλονται σε κάθε ράντα λέγονται όροι ή δόσεις της και συµβολίζονται µε R. Λήξη ενός όρου µιας ράντας λέγεται η ηµέρα κατά την οποία καταβάλλεται ο όρος αυτός. Περίοδος µιας ράντας λέγεται το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών καταβολών όρων (λήξεων). 34

35 ΡΑΝΤΕΣ Αρχή µιας ράντας λέγεται η αρχή της πρώτης περιόδου της ράντας. Τέλος µιας ράντας λέγεται το τέλος της τελευταίας περιόδου, δηλαδή, της περιόδου στην οποία γίνεται η καταβολή του τελευταίου όρου της ράντας. Ασυνεχείς ή διακριτές λέγονται οι ράντες στις οποίες ο χρόνος καταβολής κάθε όρου είναι µια διακριτή µεταβλητή. Π.χ. 1 Ιανουαρίου. Συνεχείς λέγονται οι ράντες των οποίων ο χρόνος είναι µία συνεχής µεταβλητή, δηλαδή, καταβάλλονται χρηµατικά ποσά κάθε χρονική στιγµή. Μια ράντα λέγεται πρόσκαιρη όταν το πλήθος των όρων της ράντας είναι καθορισµένο. 35

36 ΡΑΝΤΕΣ Μια ράντα λέγεται διηνεκής ή πάγια όταν το πλήθος των όρων της είναι άπειρο. Μία ράντα λέγεται άµεση όταν η καταβολή του πρώτου όρου γίνεται στην αρχή της πρώτης περιόδου. Στις ράντες αυτές η εποχή υπολογισµού, δηλαδή, το χρονικό σηµείο στο οποίο υπολογίζεται η αξία των όρων της ράντας, βρίσκεται στην αρχή της ράντας. Μέλλουσα λέγεται µια ράντα όταν η καταβολή της πρώτης δόσης (όρου) γίνεται µετά από ορισµένο αριθµό περιόδων. Αρξάµενη λέγεται µια ράντα όταν η καταβολή της πρώτης δόσης γίνεται πριν από ορισµένο αριθµό περιόδων. 36

37 ΡΑΝΤΕΣ Μία ράντα λέγεται σταθερή όταν οι όροι της είναι ίσοι. Όταν κάθε όρος της ράντας είναι ίσος µε µια νοµισµατική µονάδα, τότε η ράντα λέγεται µοναδιαία. Όταν οι όροι της ράντας δεν είναι σταθερά χρηµατικά ποσά, τότε η ράντα λέγεται µεταβλητή. Μία ράντα λέγεται ακέραιη όταν η περίοδος αυτής και η περίοδος στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο συµπίπτουν. Όταν π.χ. η περίοδος του επιτοκίου είναι 1 χρόνος και η κάθε δόση της ράντας καταβάλλεται κάθε χρόνο, τότε η ράντα λέγεται ακέραιη. Όταν το επιτόκιο µιας ράντας αναφέρεται σε 1 χρονική µονάδα, αλλά οι δόσεις (όροι) της ράντας καταβάλλονται κάθε χρονική περίοδο ίση µε το κλάσµα 1/m της χρονικής µονάδας του επιτοκίου, τότε η ράντα λέγεται κλασµατική. 37

38 ΡΑΝΤΕΣ Μία ράντα λέγεται ληξιπρόθεσµη όταν η καταβολή του κάθε όρου της (δόσης) γίνεται στο τέλος κάθε περιόδου της ράντας. Προκαταβλητέα λέγεται η ράντα όταν η καταβολή κάθε όρου της γίνεται στην αρχή κάθε περιόδου. Τυχαία λέγεται µια ράντα όταν η καταβολή των όρων της εξαρτάται από τυχαίους παράγοντες. Βέβαιη ράντα έχουµε όταν η καταβολή των όρων της είναι βέβαιη, δηλαδή, δεν εξαρτάται από την εµφάνιση κάποιου γεγονότος. Ράντα ζωής λέγεται η ράντα όταν η καταβολή των όρων της εξαρτάται από τη διάρκεια ζωής ενός ανθρώπου. Εποχή υπολογισµού µιας ράντας λέγεται η χρονική στιγµή κατά την οποία υπολογίζεται η αξία των όρων της ράντας. 38

39 ΤΕΛΙΚΗ ΑΞΙΑ ΜΟΝΑ ΙΑΙΑΣ ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΗΣ ΡΑΝΤΑΣ s n = n (1 + ) 1 39

40 ΤΕΛΙΚΗ ΑΞΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΗΣ ΡΑΝΤΑΣ Έστω ληξιπρόθεσµη, ασυνεχής, ακέραιη και άµεση ράντα. R = ο όρος της ράντας όπου R 1 = R 1 = R 2 = = R n = R N = συνολικός αριθµός όρων = επιτόκιο κάθε περίοδο S = τελική αξία ράντας Η τελική αξία της ράντας είναι: n S = R (1 + ) ή n n p = 1 Sn = Rs κα ι Sn = R ά ρ α S R = s p n n p n (1 + ) 1 40

41 ΑΡΧΙΚΗ ΑΞΙΑ ΜΟΝΑ ΙΑΙΑΣ ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΗΣ ΡΑΝΤΑΣ a n = 1 (1 + ) n 41

42 ΑΡΧΙΚΗ ΑΞΙΑ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΗΣ ΡΑΝΤΑΣ 1 (1 + ) n An = R = Ra n 42

43 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ s n και α n ( s ) n sn 1 ( ) = + και ( sn sn ) 2 1 ( a ) n a 1 n ( ) = ( an an )

44 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ n ΤΩΝ ΟΡΩΝ ΜΙΑΣ ΡΑΝΤΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ s n και α n ( a ) n an1 ( n n ) n= n ( an an ) 2 1 Αν το n που βρίσκεται από τον παραπάνω τύπο έχει τη µορφή n=β+λ, όπου β είναι ένας ακέραιος αριθµός και λ είναι ένας κλασµατικός αριθµός, τότε: 1 η µέθοδος R = A a n n Αν ισχύει τότε λαµβάνουµε τις β δόσεις ίσες η καθεµία µε R και τη τελευταία δόση ίση µε λr. Η τελευταία δόση λέγεται συµπληρωµατική. 44

45 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ n ΤΩΝ ΟΡΩΝ ΜΙΑΣ ΡΑΝΤΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ s n και α n 2 η µέθοδος Αν ο αριθµός n είναι n=β+λ, µπορούµε να µεταβάλουµε τη δόση R της ράντας έτσι, ώστε να πληρωθεί το χρέος σε β ή (β+1) δόσεις. Έχουµε: R 1 2 = όπου αρχικόποσ ό a β 1 (1 + ) a β = Επ ίσης R = όπου αρχικόποσ ό a β + 1 β a β + 1 Άρα 1 (1 + ) ( β + 1) R = [ Αρχικόποσ ό Ra ](1 + ) c = β ( β + 1) 45

46 ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΡΙΟ ΙΚΗΣ ΠΛΗΡΩΜΗΣ ΜΙΑΣ ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΗΣ ΡΑΝΤΑΣ Σε προβλήµατα εµπορικών συναλλαγών η τελική αξία ή η αρχική αξία µιας ληξιπρόθεσµης ράντας είναι συνήθως γνωστά και ζητείται να βρεθεί η περιοδική πληρωµή (δόση). Στα προβλήµατα αυτά διακρίνουµε τις περιπτώσεις: (α) ίνεται η αρχική τιµή Α n R A a n = = n A 1 (1 + ) n n (β) ίνεται η τελική τιµή S n R S s n = = n S n n (1 + ) 1 46

47 ΤΕΛΙΚΗ ΑΞΙΑ ΠΡΟΚΑΤΑΒΛΗΤΕΑΣ ΡΑΝΤΑΣ Υπενθυµίζεται πως προκαταβλητέα ράντα είναι εκείνη της οποίας κάθε όρος καταβάλλεται στην αρχή της αντίστοιχης περιόδου. Ο πρώτος όρος καταβάλλεται αµέσως στη χρονική στιγµή t=0. S ( due) = R(1 + s ) n Εναλλακτικά n S ( due) = Rs R= Rs ( 1) n n+ 1 n+ 1 47

48 ΑΡΧΙΚΗ ΑΞΙΑ ΠΡΟΚΑΤΑΒΛΗΤΕΑΣ ΡΑΝΤΑΣ A( due) = R[1 + a ] n γιαr= 1 a ( due ) = 1 + a 1 n 1 n n 1 48

49 ΜΕΛΛΟΥΣΑ ΡΑΝΤΑ Μέλλουσα ράντα είναι εκείνη στην οποία η πρώτη πληρωµή δεν γίνεται στην αρχή ή στο τέλος της πρώτης περιόδου, αλλά σε κάποια χρονική στιγµή αργότερα, µετά από ένα ορισµένο αριθµό περιόδων. Λέµε ότι µια µέλλουσα ράντα έχει επιβράδυνση m περιόδων, αν η πρώτη πληρωµή (πρώτος όρος) γίνεται στην αρχή της m+1 περιόδου, αν η ράντα είναι προκαταβλητέα ή στο τέλος της m+1 περιόδου, αν η ράντα είναι ληξιπρόθεσµη. Αντίστροφα, ο πρώτος όρος µιας ράντας που έχει επιβράδυνση m περιόδων καταβάλλεται την m+1 περίοδο. 49

50 ΑΡΧΙΚΗ ΑΞΙΑ ΜΕΛΛΟΥΣΑΣ ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΗΣ ΡΑΝΤΑΣ / A ( def) = Ra (1 ) m n + m n 50

51 ΤΕΛΙΚΗ ΑΞΙΑ ΜΕΛΛΟΥΣΑΣ ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΗΣ ΡΑΝΤΑΣ / S( def) = S = Rs m n n n 51

52 ΑΡΧΙΚΗ ΑΞΙΑ ΜΕΛΛΟΥΣΑΣ ΠΡΟΚΑΤΑΒΛΗΤΕΑΣ ΡΑΝΤΑΣ m/ An ( def) = Ran (1 + ) ή m+ 1 A ( def ) = Ra [ a ] m/ n n+ m 1 m 1 52

53 ΤΕΛΙΚΗ ΑΞΙΑ ΜΕΛΛΟΥΣΑΣ ΠΡΟΚΑΤΑΒΛΗΤΕΑΣ ΡΑΝΤΑΣ / S ( def) = (1 + ) S = (1 + ) Rs m n n n 53

54 ΑΡΧΙΚΗ ΑΞΙΑ ΑΡΞΑΜΕΝΗΣ ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΗΣ ΡΑΝΤΑΣ h / A = A (1 + ) = Ra (1 + ) h n n n h 54

55 ΑΡΧΙΚΗ ΑΞΙΑ ΑΡΞΑΜΕΝΗΣ ΠΡΟΚΑΤΑΒΛΗΤΕΑΣ ΡΑΝΤΑΣ / A ( due) = A (1 + ) = Ra (1 + ) h + 1 h + 1 h n n n 55

56 ΑΝΕΙΑ άνειο λέγεται ένα χρηµατικό ποσό το οποίο δίνεται από κάποιον ιδιώτη ή ένα πιστωτικό ίδρυµα (δανειστής) σε κάποιον άλλο ιδιώτη ή ένα πιστωτικό ίδρυµα (οφειλέτης) µε την προϋπόθεση να επιστραφεί σε µια µέλλουσα στιγµή, συνήθως µε ορισµένο τόκο. Τα δάνεια διακρίνονται ως προς τη διάρκεια σε βραχυπρόθεσµα (λήγουν σε λιγότερο από ένα χρόνο) και µακροπρόθεσµα (διάρκειας µεγαλύτερης του έτους). Τα δάνεια διακρίνονται ανάλογα µε το πλήθος των δανειστών σε 2 κατηγορίες: 1. Ενιαία. άνεια στα οποία ο δανειστής είναι ένα πρόσωπο (φυσικό ή νοµικό) 2. Οµολογιακά. άνεια στα οποία οι δανειστές είναι πολλοί. 56

57 ΑΝΕΙΑ Τα µακροπρόθεσµα δάνεια διακρίνονται σε πάγια ή διηνεκή και σε εξοφλητέα. Πάγια λέγονται τα δάνεια τα οποία ο οφειλέτης δεν υποχρεούται να εξοφλήσει σε µία ορισµένη χρονική στιγµή. Στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου ο οφειλέτης πληρώνει µόνο τον τόκο που παράγεται από το κεφάλαιο του δανείου µε το επιτόκιο που έχει συµφωνηθεί, ενώ το αρχικό κεφάλαιο του δανείου παραµένει απλήρωτο. Εξοφλητέα είναι τα δάνεια τα οποία πρέπει να εξοφληθούν από τον οφειλέτη εντός ορισµένου χρονικού διαστήµατος και µε ορισµένο επιτόκιο. 57

58 ΑΝΕΙΑ ιακρίνονται 2 περιπτώσεις εξοφλητέων δανείων. Τα εξοφλητέα εφάπαξ δάνεια και τα εξοφλητέα τοκοχρεολυτικά. Εξοφλητέα εφάπαξ δάνεια λέγονται τα δάνεια που εξοφλούνται στο τέλος της διάρκειας τους µε µία δόση µε τους εξής 2 τρόπους: 1. Ο οφειλέτης πληρώνει στο τέλος κάθε περιόδου τους τόκους του δανείου και στο τέλος της διάρκειας του δανείου πληρώνει το αρχικό κεφάλαιο (καθεστώς απλού τόκου). 2. Ο οφειλέτης πληρώνει στο τέλος της χρονικής διάρκειας περιόδου του δανείου τον τόκο και το κεφάλαιο του αρχικού δανείου (καθεστώς ανατοκισµού). Εξοφλητέα τοκοχρεολυτικά δάνεια λέγονται τα δάνεια που εξοφλούνται σε δόσεις. Το ποσό της κάθε δόσης λέγεται τοκοχρεολύσιο (R t ) και είναι ίσο µε το άθροισµα του ποσού που καταβάλλεται για την εξόφληση του αρχικού κεφαλαίου (C t ) και του ποσού που καταβάλλεται για την εξόφληση του τόκου (I t ). Ισχύει: R t =C t +I t 58

59 ΑΝΕΙΑ Χρεολύσιο λέγεται το ποσό που καταβάλλεται για την εξόφληση του αρχικού κεφαλαίου (C t ). Απόσβεση δανείου λέγεται το σύνολο των οικονοµικών πράξεων που γίνονται για την εξόφληση του δανείου µε σειρά ισόποσων πληρωµών που ονοµάζονται δόσεις. Συστήµατα απόσβεσης δανείου λέγονται οι διάφοροι τρόποι απόσβεσης δανείων. 59

60 ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΠΟΣΟΥ Στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου ο οφειλέτης καταβάλει στον δανειστή µόνο τον τόκο του οφειλόµενου ποσού C, δηλαδή, I t =C t * για t = 1,2, n Στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου για n-1 περιόδους ο οφειλέτης δεν εξοφλεί το αρχικό ποσό C που δανείστηκε, αλλά το ποσό C εξοφλείται στο τέλος της n περιόδου. ηλαδή C t =0 για t = 1,2, n-1 C n =C Επίσης RD t =C για t = 1,2, n-1 RD n =0 60

61 ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΙΣΩΝ ΜΕΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Στο σύστηµα απόσβεσης ίσων µερών κεφαλαίου το χρεολύσιο που καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου είναι ίσο µε C/n, ενώ ο τόκος υπολογίζεται και καταβάλλεται στο τέλος κάθε περιόδου. C Έχουµε t = C n Στο τέλος του t-1 χρόνου, θα έχει εξοφληθεί ποσό του δανείου ίσο µε (t-1)*c/n. Άρα, στην αρχή του t χρόνου το ποσό του δανείου που οφείλεται είναι C-(t-1)*C/n. Ο τόκος του ποσού αυτού για τον t χρόνο θα είναι, όταν το επιτόκιο είναι : C C It = ( C ( t 1) = C ( t 1) n n 61

62 ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΙΣΩΝ ΜΕΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άρα οι τόκοι αποτελούν όρους αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο C και λόγο (-C/n*) σύµφωνα µε την εξίσωση: C It = C+ ( t 1)( ) n Το τοκοχρεολύσιο (δόση) της t περιόδου θα είναι: C C Rt = Ct + It = + C+ ( t 1)( ) n n Το ποσό που έχει εξοφληθεί στο τέλος του t χρόνου έίναι: C PDt = t n Το υπόλοιπο του χρέους RD στο τέλος t χρόνου είναι: C = 62 RDt Ct n

63 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΑΝΕΙΟΥ ΣΤΑ ΟΠΟΙΑ ΤΟ ΤΟΚΟΧΡΕΩΛΥΣΙΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟ Υποθέτουµε ότι ένα δάνειο ποσού C εξοφλείται µε n σταθερές δόσεις ίσες µε R, δηλαδή: R t = R t= 1,2, n Η αρχική αξία της ράντας Α είναι ίση µε το ποσό του δανείου C Αν το επιτόκιο είναι έχουµε: Άρα έχουµε: R a ή n R = a = C C n C Rt = R= a n 63

64 ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΑΝΕΙΟΥ ΣΤΟ ΟΠΟΙΟ ΤΟ ΧΡΕΟΛΥΣΙΟ ΚΑΙ Ο ΤΟΚΟΣ ΕΙΝΑΙ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ Το σύστηµα αυτό είναι ένα σύστηµα σταθερού τοκοχρεολυσίου στο οποίο ισχύει: I R t t = κ α ι κ α ι C n n P D (1 ) t = P D t 1 + P D 1 + R D = C P D t = R = t n C a C C t = R t I t = C a C C S t t 1 = 64

65 ΠΡΟΟ ΕΥΤΙΚΟ Ή ΓΑΛΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΑΝΕΙΟΥ Το σύστηµα αυτό εφαρµόζεται πολύ συχνά στις τράπεζες και γενικά στις δανειακές συναλλαγές. Είναι ένα σύστηµα σταθερού τοκοχρεολυσίου και µεταβλητού τόκου. 1 Rt = C an C 1 C = s n I = RD t t 1 C = C(1 + ) t+ 1 t C = R(1 + ) 1 C = R(1 + ) t n t n 1 st RDt = C[1 ] = C PDt s n 65

66 ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΝΕΙΟΥ Το σύστηµα Κεντρικής Ευρώπης είναι σύστηµα σταθερού τοκοχρεωλυσίου και µεταβλητού τόκου. Στο σύστηµα αυτό ο τόκος κάθε χρονικής περιόδου καταβάλλεται στην αρχή της περιόδου, δηλαδή, έχουµε: PD0 = C I = C 0 C = C t t 1 ( ) 1 C R n+ 1 1= (1 + 1) 66

67 ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΟ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΝΕΙΟΥ ηµιουργία του εξοφλητικού αποθέµατος. ύο συστήµατα: Το Αµερικανικό σύστηµα και το σύστηµα Snkng Fund (Σύστηµα κεφαλαίου χρεολυσίας). 67

68 ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΑΝΕΙΟΥ Είναι σύστηµα απόσβεσης 2 επιτοκίων. Υποθέτουµε ότι το δανειζόµενο κεφαλαίο είναι C προς επιτόκιο. Το κεφάλαιο αυτό στο τέλος των n χρονικών περιόδων έχει τελική αξία: S= P(1 + ) n Η τελική αξία καταβάλλεται από τον δανειζόµενο στο τέλος των n χρονικών περιόδων. Ταυτόχρονα ο οφειλέτης, για να δηµιουργήσει το ποσό S, καταθέτει στην τράπεζα (στην ίδια η οποία τον δάνεισε ή σε µια διαφορετική) στο τέλος της κάθε χρονικής περιόδου ένα ποσό R που τοκίζεται µε επιτόκιο 1 διαφορετικό από (συνήθως > 1 ). Το ποσό R είναι ο όρος µιας ληξιπρόθεσµης ράντας µε τελική αξία: Rs n n Συνεπώς ισχύει: Rs = C(1 + ) ή R n 1 C (1 + ) s n 1 n = 68

69 ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ ΑΝΕΙΟΥ Συµβολίζουµε µε R ΑΕ και RD τη δόση, τον παραγόµενο τόκο, το απόθεµα προς εξόφληση και το υπόλοιπο χρέους, αντίστοιχα, στο τέλος της () χρονικής περιόδου. Ισχύουν: R = R I = ( ΑΕ ) 1 1 ΑΕ = ΑΕ + R + I 1 RD = C RD n = 0 69

70 ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΝΕΙΟΥ ΜΕ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΧΡΕΟΛΥΣΙΑΣ (SINKING FUND) Είναι σύστηµα απόσβεσης 2 επιτοκίων. Ο δανειζόµενος καταβάλλει κάθε χρόνο στον δανειστή τον τόκο του κεφαλαίου C και συγχρόνως καταθέτει ένα ποσό R µε επιτόκιο 1 το οποίο είναι συνήθως διαφορετικό από το επιτόκιο του δανεισµού (), έτσι ώστε να σχηµατισθεί στο τέλος της (n) χρονικής περιόδου C κεφάλαιο ίσο µε το αρχικό ποσό του δανείου C. Άρα, ο δανειζόµενος καταβάλλει στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου τα ποσά C* και R όπως ισχύει: Το συνολικό ποσό της δόσης του δανειζόµενου είναι: Rs ή n R = C + = C R = C s n 1 1 C s n 1 R= C+ C s n 1 70

71 ΤΕΛΟΣ ΙΑΛΕΞΕΩΝ 71

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους

, όταν ο χρόνος αντιστοιχεί σε ακέραιες περιόδους Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Οικονομικά Μαθηματικά Καλογηράτου Ζ. Μονοβασίλης Θ. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ 4.. Εισαγωγή Στον σύνθετο τόκο (ή ανατοκισμό), στο τέλος κάθε περιόδου, ο τόκος και το κεφάλαιο αθροίζονται και το

Διαβάστε περισσότερα

Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο

Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο Όρος Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο Απλός τόκος Έτος πολιτικό Έτος εμπορικό Έτος μικτό Τοκάριθμος Είδη καταθέσεων Συναλλαγματική Γραμμάτιο σε διαταγή Ονομαστική αξία Παρούσα αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΩΤ. ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 1: Βασικοί Χρηματοοικονομικοί Ορισμοί Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 11: ΔΑΝΕΙΑ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Ράντες. Χρήση ραντών. Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας

Ράντες. Χρήση ραντών. Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας Ράντες Χρήση ραντών Έννοια ράντας Ορισμοί ράντας Κατάταξη ραντών Εύρεση αρχικής αξίας ράντας Χρήση περιοδικών κεφαλαίων (ράντες) Σχηματισμός κεφαλαίου με ισόποσες καταθέσεις Εξόφληση χρέους με δόσεις Μηνιαίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #17: Σειρές Πληρωμών ή Ράντες Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

αρχικό κεφάλαιο τελικό κεφάλαιο επιτόκιο χρόνος

αρχικό κεφάλαιο τελικό κεφάλαιο επιτόκιο χρόνος Στην περίπτωση του ανατοκισμού συναντάμε τέσσερα ποσά: Το αρχικό κεφάλαιο (ή αρχική αξία), που καταθέτουμε αρχικά, το οποίο συμβολίζουμε με, Το τελικό κεφάλαιο (ή τελική αξία) που είναι το ποσό που αποσύρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα.

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα. Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχική αξία - Τελική αξία - Δόση ή όρος - Περίοδος - Διάρκεια (συμβολισμός n) - Διηνεκής ράντα - Κλασματική ράντα ΣΤΟΧΟΙ - Κατανόηση και χρησιμοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 3. ΔΑΝΕΙΑ Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 38 3. ΔΑΝΕΙΑ Κριτήρια Αξιολόγησης Επενδύσεων 3.1 Χρήσιμες Εφαρμογές Τα δάνεια χωρίζονται σε δύο κατηγορίες τα ενιαία ή αδιαίρετα και τα ομολογιακά.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για Οικονομολόγους

Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μαθηματικά για Οικονομολόγους Ενότητα # 19: Επανάληψη Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Ανατοκισμού

Εφαρμογές Ανατοκισμού Εφαρμογές Ανατοκισμού Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Μέσο επιτόκιο - Ισοδύναμα επιτόκια - Αντικατάσταση κεφαλαίων - Ρυθμός πληθωρισμού ΣΤΟΧΟΙ - Εύρεση μέσου επιτοκίου, όταν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Δάνεια. - Εύρεση δόσης για δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ με δημιουργία εξοφλητικού αποθέματος.

Δάνεια. - Εύρεση δόσης για δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ με δημιουργία εξοφλητικού αποθέματος. Δάνεια Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Κεφάλαιο δανείου - Ενιαία δάνεια - Απόσβεση δανείων - Χρεολύσιο - Τοκοχρεολύσιο - Εξοφλητικό απόθεμα - Σύστημα απόσβεσης δανείου ΣΤΟΧΟΙ - Εντοπισμός

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρήτης Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Σημειώσεις Διδασκαλίας Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Ηράκλειο Ιανουάριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 10: ΡΑΝΤΕΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creatve Commos εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 5: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (2/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Διάκριση Μαθηματικών Έννοια Χρηματοοικονομικών Ορισμοί Χρηματοοικονομικά Τράπεζες Χρηματιστήρια Προεξόφληση Αντικατάσταση Γραμματίων Δάνεια Ομόλογα Αμοιβαία Κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

(3) ... (2) Ο συντελεστής Προεξόφλησης (ΣΠΑ) υπολογίζεται από τον Πίνακα Π.2. στο Παράρτηµα.

(3) ... (2) Ο συντελεστής Προεξόφλησης (ΣΠΑ) υπολογίζεται από τον Πίνακα Π.2. στο Παράρτηµα. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος 2015-2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 1 ο ΣΕΤ. ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΑ ΔΑΝΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 8 Ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών Δανάη Διακουλάκη, Καθηγήτρια ΕΜΠ diak@chemeng.ntua.gr Άγγελος Τσακανίκας, Επ. καθηγητής ΕΜΠ atsaka@central.ntua.gr ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ. ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ. ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ kosmid@econ.auth.gr ΣΗΜΕΙΩςΕΙς ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗςΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) 5. Ράντες 5.1.1.Ορισμοι- Κατηγορίες Ράντα ονομάζουμε σειρά κεφαλαίων που καταβάλλονται ανά ισα χρονικά διαστήματα. Για τα κεφάλαια αυτά ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων)

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων) Ανατοκισμός Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχικό κεφάλαιο ή παρούσα αξία (συμβολισμός Κ ο ή PV) -Τελικό κεφάλαιο ή μελλοντική αξία (συμβολισμός Κ n ή FV) -Επιτόκιο (συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό 2. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 1 Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό διάστηµα θέλουµε. Εκτός

Διαβάστε περισσότερα

γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις

γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις Έντυπη Έκδοση Κυριακάτικη Ελευθεροτυπία, Κυριακή 7 Νοεμβρίου 2010 Επιστρέψαμε στην εποχή του γραμματίου! Του ΜΠ. ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗ Την ώρα που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε µε ετήσιο επιτόκιο 12% για 2 χρόνια. Απάντηση: Ο τόκος ανέρχεται σε I = (100.000 0,12 2=) 24.000 ευρώ

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1]

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1] Ο υπολογισμός των δόσεων που οφείλει ένας δανειζόμενος στον δανειστή του, για την εξόφληση ενός χρέους, βασίζεται στις προηγούμενες εξισώσεις και εξαρτάται από την ημερομηνία αξιολόγησης. Σε αυτές τις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Σημειώσεις Μαθήματος Πέτρος Γ. Σολδάτος, Στέλιος Π. Ροζάκης Αθήνα 2013 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ... 3 1.1 Εισαγωγή...

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ

1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ Σηµειώσεις στο Μάθηµα Ειδικά Θέµατα Χρηµατοδοτικής Διοίκησης. Π. Φ. Διαµάντης Α.Α.Δράκος 1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ Τα Δάνεια, είναι τα πολύ γνωστά σε όλους µας πιστωτικά προϊόντα στα οποία η αποπληρωµή

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης

Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Βιομηχανικής και Ενεργειακής Οικονομίας ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 8 ο Εξάμηνο Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 2: Ράντες Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 9: Κόστος κεφαλαίου - Χρηματορροές Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Ηµερών. ikd 360. Kd 360

Πίνακας Ηµερών. ikd 360. Kd 360 Λογαριασµοί Απλού Τόκου (Αλληλόχρεοι Τοκοφόροι Λογαριασµοί) Παραδοχές Ελεύθερες καταθέσεις Αναλήψεις µέχρι το υπόλοιπο, δηλαδή το αλγεβρικό άθροισµα προηγούµενων καταθέσεων, αναλήψεων σε λογαριασµούς υπερανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου . Απλός τόκος Κεφάλαιο. Η εξίσωση του απλού τόκου Αν τοκίσουμε ένα κεφάλαιο Κ για ένα έτος με ετήσιο επιτόκιο i, τότε στο τέλος του έτους θα δημιουργηθεί τόκος ο οποίος θα δίνεται από τη σχέση: I= i. Συνεχίζοντας,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Προεξοφλητικό επιτόκιο Η χρονική αξία του χρήματος είναι το κόστος ευκαιρίας του κεφαλαίου της επιχείρησης. Το προεξοφλητικό επιτόκιο ή επιτόκιο αναγωγής σε παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ. Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου. Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια. παραδείγματα

ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ. Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου. Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια. παραδείγματα ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Εύρεση παρούσας αξίας Εύρεση επιτοκίου Εύρεση χρόνου Μέσο επιτόκιο Ισοδύναμα επιτόκια παραδείγματα Ανατοκισμός Αρχικό κεφάλαιο Κο ή PV Τελικό κεφάλαιο Κ ή FV Επιτόκιο i ή r Χρόνος Ακέραιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ιδάσκοντες: ΜΑΘΗΜΑ: Οικονοµικές, Εµπορικές και Παραγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ FV Η συνάρτηση αυτή υπολογίζει την μελλοντική αξία μιας επένδυσης βάσει περιοδικών, σταθερών πληρωμών και σταθερού επιτοκίου. =FV(επιτόκιο; αριθμός περιόδων; δόση αποπληρωμής; παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός αρχικού ποσού C 0, όταν είναι γνωστό το τελικό ποσό C t Από την εξίσωση (2) και επιλύνοντας ως προς C 0 ή από την εξίσωση (3) λαμβάνουμε:

Υπολογισμός αρχικού ποσού C 0, όταν είναι γνωστό το τελικό ποσό C t Από την εξίσωση (2) και επιλύνοντας ως προς C 0 ή από την εξίσωση (3) λαμβάνουμε: Ημερομηνία αξιολόγησης Η αξία του κεφαλαίου δεν είναι σταθερή στο χρόνο, και κάθε εξίσωση που περιλαμβάνει το επιτόκιο είναι εξίσωση αξίας, γιατί απεικονίζει ισοδυναμία μεταξύ δυο χρηματικών ποσών σε μια

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Διοικητική Λογιστική Λογιστική Εταιρειών Διδάσκοντες: Νικόλαος Ηρειώτης & Δημήτριος Μπάλιος Σημειώσεις με θέμα «Πιστωτικοί Τίτλοι»

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικός βαθμός απόδοσης

Εσωτερικός βαθμός απόδοσης Εσωτερικός βαθμός απόδοσης Διεθνώς ονομάζεται internal rate of return, και συμβολίζεται με IRR. Με τη μέθοδο αυτή δεν χρησιμοποιούμε επιτόκιο υπολογισμού της αξίας της επένδυσης, αλλά υπολογίζουμε το επιτόκιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο. Απλός τόκος

Κεφάλαιο 5ο. Απλός τόκος Κεφάλαιο 5ο Απλός τόκος Υπολογισμός του απλού τόκου όταν αυτός εκφράζεται σε έτη, εξάμηνα, τρίμηνα, μήνες, ημέρες. Στα προβλήματα απλού τόκου συμπλέκονται τέσσερα ποσά. 1) Ο τόκος, ο οποίος θα συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD.

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν. ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Ε Ρ Γ Ω Ν ΡΟΜΠΟΓΙΑΝΝΑΚΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ, PhD. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΩΝ Κάθε έργο αποτελεί ένα οικονομικό μηχανισμό, ο οποίος αναλώνει, αλλά και παράγει χρήμα. Οι εμπλεκόμενοι στο έργο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 π.μ. π.μ. .......

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση Εφαρμογές με Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Απόσβεση - Σύνθετη παραγωγική διάρκεια παγίων - Κεφαλαιοποιημένο κόστος - Καθαρά παρούσα αξία - Εσωτερικός βαθμός απόδοσης - Αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΕΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το

Διαβάστε περισσότερα

11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος

11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο

Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Γραμμάτιο -Συναλλαγματική -Μελλοντική πληρωμή -Παρούσα αξία -Προεξόφληση -Εσωτερικό και εξωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 9: ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Η ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΤΟΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Β Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creaive Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 8: ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Η ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΤΟΚΟΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creave Coons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 1 από 16 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (ΕΜΠΟΡΙΟΥ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 2011

Σελίδα 1 από 16 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (ΕΜΠΟΡΙΟΥ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (ΕΜΠΟΡΙΟΥ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 2011 ΣΥΜΒΑΝΤΑ ΖΩΗΣ ΚΑΙ ΘΑΝΑΤΟΥ 14 ΙΟΥΛΙΟΥ 2011 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (9 π.µ. 12 µ.) Σελίδα 1 από

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι. Γενική Εισαγωγή ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. 1. Γενική Εισαγωγή. 2. Λογιστική Απεικόνιση o Τοκοφόρες και μη Υποχρεώσεις ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΩΝ

ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι. Γενική Εισαγωγή ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. 1. Γενική Εισαγωγή. 2. Λογιστική Απεικόνιση o Τοκοφόρες και μη Υποχρεώσεις ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΩΝ T.E.I Κρή, Σχολή Διοίκησης & Οικονομίας Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης στη Λογιστική και στην Ελεγκτική Χειμερινό Εξάμηνο 2012-2013 ΖΗΣΗΣ Β.,, Ph. D. ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θεοδωράκη Ελένη Μαρία

Θεοδωράκη Ελένη Μαρία Εισαγωγή στην ασφάλεια Θεοδωράκη Ελένη Μαρία elma.theodoraki@aegean.gr Κεφάλαιο (Principal) ονομάζουμε το αρχικό ποσό που διαθέτουμε για μια επένδυση, για μία χρονική περίοδο Συσσωρευμένη αξία (accumulated

Διαβάστε περισσότερα

Απλός Τόκος (Simple Interest)

Απλός Τόκος (Simple Interest) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Απλός Τόκος (Simple Interest) 1.1. Εισαγωγή στην Ιδέα του Επιτοκίου Ο τόκος (Interest, I) µπορεί να θεωρηθεί σαν η χρηµατική αµοιβή που πληρώνεται από κάποιο πρόσωπο ή οργανισµό που λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑ.Λ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑ.Λ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ΟΥ & 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΑ.Λ Σηµειώστε αν είναι σωστή ή λανθασµένη καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις σηµειώνοντας το αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 9: Διηνεκείς Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν στο παραπάνω ερώτημα, ο λογαριασμός ήταν σύνθετου τόκου με j(12)=3%, ποιό είναι το ποσό που θα έπρεπε να καταθέσει ;

β) Αν στο παραπάνω ερώτημα, ο λογαριασμός ήταν σύνθετου τόκου με j(12)=3%, ποιό είναι το ποσό που θα έπρεπε να καταθέσει ; Άσκηση 1 α) Κάνει κάποιος κατάθεση ποσού 5 χιλ. σε λογαριασμό απλού τόκου με ετήσιο επιτόκιο 4%. Μετά από 3 μήνες κάνει ανάληψη 3 χιλ. και μετά από άλλους 7 μήνες επιθυμεί να κάνει μία κατάθεση, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρηματικό Σχέδιο - Βασικά

Επιχειρηματικό Σχέδιο - Βασικά Επιχειρηματικό Σχέδιο - Βασικά στοιχεία χρηματο-οικονομικής οικονομικής ανάλυσης 1 ο θερινό σχολείο νεανικής επιχειρηματικότητας Πανεπιστήμιο Αιγαίου Μ. Μπεκιάρης Ποια ζητήματα θα μας απασχολήσουν; Πώς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 14 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 14 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 14 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2011 ΑΠΟΓΕΥΜΑΤΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (12

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΓΔΟΟ ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 1. Τι είναι χρήμα Από τα πολύ παλιά χρόνια οι άνθρωποι προσπάθησαν να καλύψουν τις ανάγκες τους με αγαθά που δεν μπορούσαν να παράγουν οι ίδιοι. Για το λόγο αυτό αντάλλασσαν

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές μέθοδοι στα Χρηματοοικονομικά

Ποσοτικές μέθοδοι στα Χρηματοοικονομικά Ποσοτικές μέθοδοι στα Χρηματοοικονομικά Τόκοι ράντες - δάνεια Γιαννούλα Φλώρου ΦΛΩΡΟΥ ΓΙΑΝΝΟΥΛΑ Καθηγήτρια ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης Ποσοτικές μέθοδοι στα χρηματοοικονομικά Τόκοι, ράντες, δάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ, ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΑΡΧΕΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Το µάθηµα αυτό έχει σκοπό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΕΡΓΑ. Αγγελίδης Π., Αναπλ.

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΕΡΓΑ. Αγγελίδης Π., Αναπλ. ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΕΡΓΑ Αγγελίδης Π., Αναπλ. καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΥΔΕ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ31 Λύση 1 ης γραπτής εργασίας 2015_16

ΔΕΟ31 Λύση 1 ης γραπτής εργασίας 2015_16 ΔΕΟ3 Λύση ης γραπτής εργασίας 5_6 Προσοχή! Αποτελεί ενδεικτική λύση. Μελετήστε προσεκτικά και δώστε τη δική σας λύση. Όλες οι εργασίες ελέγχονται για αντιγραφή ΘΕΜΑ Ο Α) Η δαπάνη των 4. και η επιδότηση

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα. Υ / Μικτό Εξάμηνο. Β Ώρες / Εβδομάδα 3 (2 Θ + 1 Α) Δ. Μ. / Φ.Ε. 4 / 7 Περιγραφή

Μάθημα. Υ / Μικτό Εξάμηνο. Β Ώρες / Εβδομάδα 3 (2 Θ + 1 Α) Δ. Μ. / Φ.Ε. 4 / 7 Περιγραφή ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Υ / Μικτό Ώρες / Εβδομάδα 3 (2 Θ + 1 Α) Δ. Μ. / Φ.Ε. 4 / 7 Βασικά Μακροοικονομικά μεγέθη, ΑΕΠ και Εθνικό Εισόδημα, Κατανάλωση, Αποταμίευση, Επένδυση, γενικά και ειδικά της Ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΞΙΟΓΡΑΦΩΝ A. Η Έννοια της Παρούσας και της Μελλοντικής Αξίας A1. Εισαγωγή στην έννοια της χρονικής αξίας του χρήµατος Η «πράξη» της αναγωγής σε παρούσα και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου)

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου) ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου Ορισμός: είναι το κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων που έχουν όλοι οι επενδυτές της εταιρείας (μέτοχοι και δανειστές) Κόστος ευκαιρίας: είναι η απόδοση της καλύτερης εναλλακτικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ ( 210.38.22.157 495 www.arnos.gr e-mail : info@arnos.gr ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ Α.Ε.Ι. Α.Τ.Ε.Ι. Ε.Α.Π. Ε.Μ.Π.

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ ( 210.38.22.157 495 www.arnos.gr e-mail : info@arnos.gr ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ Α.Ε.Ι. Α.Τ.Ε.Ι. Ε.Α.Π. Ε.Μ.Π. ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Έννοια του ισολογισμού Ο ισολογισμός απεικονίζει τη χρηματοοικονομική κατάσταση της επιχείρησης μια δεδομένη χρονική στιγμή. Η χρηματοοικονομική κατάσταση μιας επιχείρησης αποτελείται από εξής

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 4 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι Κεντρική έννοια το μέτρο ή ρυθμός μεταβολής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ακαδ. Έτος: 1-1 Θέμα 1 α) Ο επενδυτής μπορεί να εκμεταλλευτεί τις

Διαβάστε περισσότερα

εκτοκιζόµενοι τόκοι ενσωµατώνονται στο κεφάλαιο και ανατοκίζονται. Εφαρµόζεται τ και 4 1=

εκτοκιζόµενοι τόκοι ενσωµατώνονται στο κεφάλαιο και ανατοκίζονται. Εφαρµόζεται τ και 4 1= ΑΣΚΗΣΗ Έστω τραπεζική κατάθεση ταµιευτηρίου µε ετήσιο επιτόκιο 8%. Ποιο είναι το πραγµατικό (effective) ετήσιο επιτόκιο, αν ο εκτοκισµός γίνεται κάθε τρίµηνο (εξάµηνο); Το πραγµατικό επιτόκιο είναι η ετήσια

Διαβάστε περισσότερα

παραγωγής 3 Συντελεστές της

παραγωγής 3 Συντελεστές της ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Α Το µάθηµα των Οικονοµικών στοχεύει να προσφέρει στους µαθητές της Α' Λυκείου γενικές, απλές και προκαταρκτικές γνώσεις στον ευρύτερο τοµέα των οικονοµικών της καθηµερινής µας ζωής. Επιπλέον,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Χρηματοοικονομικής Διοίκησης

Συστήματα Χρηματοοικονομικής Διοίκησης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Συστήματα Χρηματοοικονομικής Διοίκησης Ακαδημαϊκό Έτος 2014 2015 Εξάμηνο 8 ο 2η Διάλεξη: Ισολογισμοί Ιωάννης Ψαρράς Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Επίσηµη Εφηµερίδα των Ευρωπαϊκών Κοινοτήτων (2001/914/ΕΚ)

Επίσηµη Εφηµερίδα των Ευρωπαϊκών Κοινοτήτων (2001/914/ΕΚ) L 337/55 ΑΠΟΦΑΣΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ της 6ης εκεµβρίου 2001 σχετικά µε την κατανοµή του νοµισµατικού εισοδήµατος των εθνικών κεντρικών τραπεζών των συµµετεχόντων κρατών µελών από το οικονοµικό

Διαβάστε περισσότερα

και A του 1 Α) 0,048 Β) 0,288 Γ) 0,353 Δ) 0,440 Ε) 0, Για κάποια ηλικία x είναι lx t βρεθεί η τιμή του l x. Α) 99 Β) 101 Γ) 103 Δ) 111 Ε) 115

και A του 1 Α) 0,048 Β) 0,288 Γ) 0,353 Δ) 0,440 Ε) 0, Για κάποια ηλικία x είναι lx t βρεθεί η τιμή του l x. Α) 99 Β) 101 Γ) 103 Δ) 111 Ε) 115 . Η πιθανότητα ο () να ζήσει για τουλάχιστον χρόνια είναι κατά 0% μεγαλύτερη από την πιθανότητα ο (+) να ζήσει για τουλάχιστον χρόνια. Αν / 0, 4, 9 / 0, και 0, 48 να βρεθεί η τιμή του Α) 0,048 Β) 0,88

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Π.Α.Σ.Π. Ο..Ε. ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ 2 (ΑΣΚΗΣΕΙΣ) 5ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο

Π.Α.Σ.Π. Ο..Ε. ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ 2 (ΑΣΚΗΣΕΙΣ) 5ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΙΙ ΑΣΚΗΣΗ 1 / ΣΕΛΙ Α 158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Υπολογίσατε τη λογιστική αξία των µετόχων της ανώνυµης εταιρίας Α, η οποία έχει την ακόλουθη καθαρή περιουσία : Κοινές

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Εκπαίδευσης και Εφαρμογών Λογιστικής. Εισαγωγή στην Χρηματοοικονομική Ανάλυση

Εργαστήριο Εκπαίδευσης και Εφαρμογών Λογιστικής. Εισαγωγή στην Χρηματοοικονομική Ανάλυση Εργαστήριο Εκπαίδευσης και Εφαρμογών Λογιστικής Εισαγωγή στην Χρηματοοικονομική Ανάλυση 1 Χρηματοοικονομική ανάλυση Χρηματοοικονομική Ανάλυση είναι η ανάλυση που σκοπός της είναι: ο προσδιορισμός των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΚΕΦ. 4. άνεια και Χρηµατοροές Επενδύσεων. Ε.Φ. Μαγείρου. Επιµέλεια σηµειώσεων:. Κ. Βασιλάκης

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΚΕΦ. 4. άνεια και Χρηµατοροές Επενδύσεων. Ε.Φ. Μαγείρου. Επιµέλεια σηµειώσεων:. Κ. Βασιλάκης ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΥΣΕΩΝ ΕΦ. 4 άνεια και Χρηµατοροές Επενδύσεων Ε.Φ. Μαγείρου Επιµέλεια σηµειώσεων:.. Βασιλάκης 4.1 Γενικά... 3 4.2 Σχέση Μόχλευσης - ινδύνου... 6 4.3 Συµβάσεις αποπληρωµής Εξόφληση δανείων...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 24 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2009

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2009 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 24 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (ΕΜΠΟΡΙΟΥ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 009 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (9 π.µ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2005 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 25 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2005

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2005 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 25 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2005 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 005 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 005 ΠΡΩΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (9 π.μ.) . Την /,

Διαβάστε περισσότερα

Ομολογιακά Δάνεια. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση λειτουργίας δανείου που παρέχεται από πολλούς δανειστές.

Ομολογιακά Δάνεια. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση λειτουργίας δανείου που παρέχεται από πολλούς δανειστές. Ομολογιακά Δάνεια Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Ομολογιακό δάνειο - Ομολογία - Τοκομερίδιο - Απόσβεση - Ζώσες ομολογίες ΣΤΟΧΟΙ - Κατανόηση και χρησιμοποίηση λειτουργίας δανείου

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Ισοζύγιο πληρωµών

3.2 Ισοζύγιο πληρωµών 3 Ισοζύγιο πληρωµών 3.1 Εισαγωγή ιεθνή οικονοµία Ύφεση στην Γερµανία οικονοµίες του Ευρώ Αυξηση των αµερικανικών επιτοκίων διεθνή επιτόκια και δολάριο($) Χρηµατοοικονοµική κρίση στην Ασία Ανοιχτή οικονοµία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «OIKONOMIKH»

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «OIKONOMIKH» ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΕ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «OIKONOMIKH»

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί δανείζεται κανείς;

Γιατί δανείζεται κανείς; ΑΝΕΙΑ Γιατί δανείζεται κανείς; αταναλωτικοί λόγοι: ιαφορετικές προτιµήσεις κατανάλωσης ιαφορετικά εισοδήµατα µεταξύ ατόµων διαφορετικών ηλικιών Έσοδα Επιθυµητή κατανάλωση Ηλικία ανεισµός µεταξύ γενεών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Π Τ Υ Χ Ι Α Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Πρόοδοι, ράντες και εφαρµογές τους ΒΑΓΕΝΑΣ ΣΤΥΛ. ΣΠΥΡΙ ΩΝΑΣ (Α.Μ. 14901) ΜΥΛΩΝΑΣ ΙΩΑΝ. ΘΕΟ ΩΡΟΣ (Α.Μ. 15851)

Διαβάστε περισσότερα

ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΕΣ ΟΦΕΙΛΕΣ

ΛΗΞΙΠΡΟΘΕΣΜΕΣ ΟΦΕΙΛΕΣ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ «ΡΥΘΜΙΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΟΦΕΙΛΩΝ ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΤΩΤΙΚΑ Ι ΡΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ» ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ποιες οφειλές αφορά

Διαβάστε περισσότερα

Διάφορες αποδόσεις και Αποτίμηση Ομολόγων

Διάφορες αποδόσεις και Αποτίμηση Ομολόγων Διάφορες αποδόσεις και Αποτίμηση Ομολόγων Α. Διάφοροι ορισμοί απόδοσης ή επιτοκίων Spot rate Spot rate: ορίζεται ως η απόδοση του ομολόγου του ομολόγου χωρίς τοκομερίδιο. Αποτελεί συγχρόνως και την απόδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΜΒΑΝΤΑ ΖΩΗΣ & ΘΑΝΑΤΟΥ ΙΟΥΛΙΟΣ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 0 ΣΥΜΒΑΝΤΑ ΖΩΗΣ ΚΑΙ ΘΑΝΑΤΟΥ 4 ΙΟΥΛΙΟΥ 0 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (9 π.μ. μ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας 47 48 49 50 5 l 348480 299692 d 43306 q 0.0 0.2 0.5 2 3 4 5 Η ένταση θνησιµότητας µ +t, 0 t, αλλάζει σε µ +t - c, όπου το c είναι θετικός σταθερός αριθµός. Να

Διαβάστε περισσότερα