ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΜΩΥΣΗΣ ΛΑΖΑΡΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΜΩΥΣΗΣ ΛΑΖΑΡΟΣ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΘΕΩΡΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΜΩΥΣΗΣ ΛΑΖΑΡΟΣ Επιβλέπων: Νικόλαος Καραμπετάκης Αν. Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος

2

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το Φίλτρο Kalman αποτελεί μια από τις σημαντικότερες τεχνολογικές εφευρέσεις του περασμένου αιώνα. Είναι ένας αλγόριθμος που εφαρμόζεται σε συστήματα που δέχονται εξωτερικές φυσικές διαταραχές (θορύβους), με σκοπό τον «καθαρισμό» των μετρήσεων που γίνονται και τη δημιουργία μιας νέας εκτίμησης της κατάστασης του συστήματος, απογυμνωμένη από διαταραχές. Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσης εργασίας δίνουμε εισαγωγικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Έπειτα προχωρούμε στον ορισμό των στοχαστικών διαδικασιών και συγκεκριμένα του λευκού θορύβου, μια στοχαστική διαδικασία που θα μας απασχολήσει, αφού τα χαρακτηριστικά της διέπουν τις διαταραχές μετρήσεων που παρουσιάζονται στα real-life συστήματα. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα ορίσουμε το φίλτρο Kalman διακριτού χρόνου αναλυτικά, παραθέτοντας όλη τη σχετική θεωρία και παραδείγματα. Στο τρίτο κεφάλαιο θα περιγράψουμε το φίλτρο στον συνεχή χρόνο. Θα το επιτύχουμε μελετώντας τις σχέσεις που συνδέουν τις σ.δ. θορύβων διακριτού και συνεχούς χρόνου και θέτοντας το διάστημα δειγματοληψίας να τείνει στο μηδέν. Εξετάζεται επίσης μια εκδοχή του φίλτρου με τη μορφή του παρατηρητή κατάστασης. Θα δοθούν παραδείγματα για πλήρη κατανόηση. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Φίλτρο Kalman, εκτίμηση κατάστασης, εξίσωση Riccai, παρατηρητής κατάστασης, απαλοιφή θορύβου, λευκός θόρυβος 3

4 ABSRAC he Kalman Filer is one of he mos imporan echnological invenions of he pas cenury. I is essenially an algorihm applied o sysems being subjeced o disurbances (noises), in order o clean he measuremens aen and creae a new sysem sae esimaion, depraved of all disurbance. In he firs chaper of his paper we presen an inroducion o he probabiliy heory. hen we define he erm sochasic process and specifically whie noise, which is a s.p. of grea ineres o us, cause i s saisical aribues define mos of he disurbances me in real-ime sysems. In he second chaper we analyically define he discree ime Kalman Filer, giving all he heory needed plus some examples for beer undersanding. In he hird chaper we describe he filer in coninuous ime. We accomplish ha by firs examining he relaionships beween he discree and coninuous ime noise sequences and seing he sampling inerval o zero. Also a special case of he Filer is examined, in he form of he Sae Observer. Examples are given in all cases. KEY WORDS Kalman Filer, sae esimaion, Riccai equaion, sae observer, noise filering, whie noise 4

5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ABSRAC ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN: ΕΙΣΑΓΩΓΗ...6 Κεφάλαιο Σελίδα. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ.8 Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές... Στοχαστικές διαδικασίες. ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ..7 Παραδείγματα 3. ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ..5 Σχέση μεταξύ διακριτών λευκών θορύβων (discree whie noise sequences) και λευκών θορύβων συνεχούς χρόνου (whie noise processes).5 Μετάβαση από το διακριτό στο συνεχές φίλτρο...7 Φίλτρο σταθερής κατάστασης P 9 Παραδείγματα 9 Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Riccai 34 Συσχέτιση μεταξύ θορύβων...36 Φίλτρο Kalman ως παρατηρητής κατάστασης...36 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...4 5

6 Φίλτρο Kalman: Εισαγωγή Το φίλτρο Kalman αναπτύχθηκε από τον Rudolf E. Kalman το 96 ως ένας αλγόριθμος βέλτιστου υπολογισμού της κατάστασης ενός συστήματος, το οποίο υπόκειται σε θορύβους που καθιστούν τα συμπεράσματα που λαμβάνουμε αναξιόπιστα. Με τον όρο αλγόριθμος, εννοούμε πως είναι ένα σύνολο εξισώσεων που παράγουν μια εκτίμηση της κατάστασης του συστήματος. Είναι επίσης βέλτιστος, από την άποψη πως ελαχιστοποιεί τη διακύμανση του σφάλματος μεταξύ κατάστασης και εκτίμησης. Ο Kalman απέκτησε Bachelor και Maser s degree από το πανεπιστήμιο MI και τελείωσε το PhD του το 957 στο Columbia Universiy.. Έκτοτε έχει εργαστεί σε πάρα πολλά πανεπιστήμια και έχει συνεργαστεί με πολλούς κυβερνητικούς οργανισμούς (NASA). Σήμερα πλέον θεωρείται από τους σημαντικότερους ηλεκτρολόγους μηχανικούς με αναρίθμητες διακρίσεις και βραβεία. Το 8 μάλιστα με αφορμή τα 5 χρόνια από την θεμελίωση του διάσημου φίλτρου του, βραβεύτηκε με το Naional Medal of Science, που του απονεμήθηκε από τον Barac Obama. Αρχικά οι ιδέες του Kalman αναφορικά με τη λειτουργικότητα και την αποτελεσματικότητα του φίλτρου είχαν αντιμετωπιστεί με σκεπτικισμό. Μάλιστα αν και ο ίδιος ήταν ηλεκτρολόγος, αναγκάστηκε να πρωτοπαρουσιάσει την εργασία του σε ένα περιοδικό για μηχανολόγους μηχανικούς. Τελικά όμως το φίλτρο εφαρμόστηκε στην πράξη με επιτυχία. Η ενέργεια αυτή αποδίδεται στον Sanley F. Schmid, ο οποίος κατά την επίσκεψη του Kalman στο Nasa Ames Research Cener, είδε τη δυνατότητα εφαρμογής των ιδεών του Kalman στο πρόβλημα της εκτίμησης της τροχιάς του σκάφους του Apollo Program. Το φίλτρο Kalman λοιπόν έπαιξε το ρόλο του στην πρώτη ιστορική αποστολή ανθρώπων στο φεγγάρι! Άξια αναφοράς είναι και η συμβολή του Richard R. Bucy, ο οποίος εργάστηκε μαζί με τον Kalman στη θεωρητική επέκταση του φίλτρου και στον συνεχή χρόνο, γνωστό ως Kalman-Bucy Filer. Η ανάπτυξη του φίλτρου λοιπόν, αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα κατορθώματα του προηγούμενου αιώνα, τουλάχιστον από επιστημονική άποψη. Μια τέτοια δήλωση δεν είναι καθόλου υπερβολική, αφού το φίλτρο Kalman αποτέλεσε τη γέφυρα ανάμεσα στη θεωρητική μελέτη και στην πρακτική εφαρμογή. Δεδομένου πως οποιαδήποτε διεργασία ή μέτρηση διαφθείρεται από θόρυβο, δε θα είχαμε τη δυνατότητα να αναπτύξουμε πολλές εφαρμογές αν δεν βρίσκαμε τρόπο να προβούμε σε αποφάσεις, αποβάλλοντας την αβεβαιότητα που δίνει ο 6

7 θόρυβος. Χρησιμοποιείται σε εφαρμογές όπως η ναυπηγική, η εκτίμηση θέσης ενός αυτοκινήτου (GPS), η εξομάλυνση (smoohing) μηνυμάτων (ήχου είτε εικόνας) που έχουν φθαρεί από θόρυβο, σε Radar, γενικά σε οποιαδήποτε τεχνολογική διαδικασία απαιτεί υψηλή ακρίβεια δεδομένων. Επίσης βρίσκει εφαρμογή σε οικονομικά μοντέλα, όπως τα Auoregressive- movingaverage-models για τη μελέτη και την πρόβλεψη της συμπεριφοράς χρονοσειρών αλλά και στη μελέτη βιολογικών δομών, όπως μοντέλα πληθυσμών, μεταβολισμού και συγκεντρώσεις στοιχείων (π.χ. χλωροφύλλη) σε μεγάλους υδάτινους όγκους (ποτάμια, λίμνες). 7

8 Στοιχεία από τη θεωρία πιθανοτήτων Προτού προχωρήσουμε στην ανάλυση του Φίλτρου Kalman, θα χρειαστούμε κάποια εργαλεία από τις πιθανότητες που θα μας βοηθήσουν να κατανοήσουμε την έννοια του λευκού θορύβου, αλλά και τις ποσότητες που θα πρέπει να βελτιστοποιήσουμε ώστε να πάρουμε την εκτίμηση μας. Πείραμα τύχης: Ένα πείραμα, δηλαδή ένα γεγονός ή μια διαδικασία της οποίας το αποτέλεσμα δεν μπορεί να προβλεφθεί ή να υπολογιστεί. Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός τέτοιου πειράματος ονομάζεται δειγματοχώρος Ω. Κλασική Πιθανότητα: Ως πιθανότητα ενός γεγονότος ορίζουμε το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών για την πραγματοποίηση του γεγονότος αποτελεσμάτων προς το πλήθος όλων των δυνατών αποτελεσμάτων. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων είναι η ρίψη ενός ζαριού ή το τράβηγμα ενός χαρτιού τράπουλας (πειράματα με διακριτό δειγματοχώρο) και το ύψος ενός τυχαίου ατόμου(συνεχή δειγματοχώρο). Τυχαία Μεταβλητή: Μια συνάρτηση η οποία παίρνει τυχαίες τιμές. Την θεωρούμε συνήθως ως τη συνάρτηση των αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα Χ της ρίψης ενός ζαριού είναι τυχαία μεταβλητή! Σε κάθε τιμή της τυχαίας μεταβλητής αντιστοιχεί μια πιθανότητα, π.χ στο πείραμα της ρίψης ενός ζαριού έχουμε PX ( 6). Όπως είναι 6 γνωστό ισχύει: P( X x ) p αν η τυχαία μεταβλητή παίρνει τιμές σε αριθμήσιμο σύνολο f ( x) dx αν η τυχαία μεταβλητή παίρνει τιμές από μη-αριθμήσιμο σύνολο (π.χ. από το R) Στην περίπτωση που μιλάμε για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές (αυτές θα μας απασχολήσουν), η πιθανότητα η τ.μ. να πάρει μια συγκεκριμένη τιμή δίνεται από την f(x), η οποία ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probabiliy densiy funcion). Η πιθανότητα η τ.μ. να πάρει μια τιμή μέσα σε ένα διάστημα [a,b] δίνεται από το ολοκληρωμα της b σ.π.π., δηλαδή P( a X b) f ( x) dx a 8

9 Ομοίως ορίζεται η συνάρτηση κατανομής F ( x ) ως η πιθανότητα η τ.μ. να πάρει τιμές x μικρότερες ή ίσες του x, δηλαδή FX ( x) P( X x) f ( ) d Υπάρχουν πολλές χαρακτηριστικές συναρτήσεις κατανομής, που χρησιμοποιούνται ευρέως σε εφαρμογές και εκφράζουν πολλά φυσικά φαινόμενα. Αυτή που θα μας απασχολήσει είναι η Κανονική ή Gaussian κατανομή. Η σ.π.π. της είναι x ( ) f ( x) e, x όπου μ η μέση τιμή και σ η τυπική απόκλιση της κατανομής, τις οποίες θα αναλύσουμε παρακάτω. Η μορφή της κατανομής θυμίζει καμπάνα, γι αυτό ονομάζεται καμπανοειδής κατανομή, που σημαίνει ότι η πιθανότητα των γεγονότων γύρω από τη μέση τιμή είναι πολύ υψηλή σε σχέση με την πιθανότητα των ακραίων τιμών. X Ένα απλό παράδειγμα μιας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την κανονική κατανομή είναι το ύψος των ανδρών μέσης ηλικίας. Το μεγαλύτερο ποσοστό βρίσκεται μεταξύ.7μ και.9μ με ελάχιστες εξαιρέσεις σε πιο ακραίες τιμές(.5μ ή πάνω από.μ). 9

10 Σημαντικό είναι να παρατηρήσουμε ότι στον τύπο της σ.π.π. οι μόνες παράμετροι είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση. Αυτό μας φανερώνει ότι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή μπορεί να χαρακτηριστεί πλήρως μόνο με τη γνώση της μέσης τιμής και της διακύμανσής της. Μέση τιμή τυχαίας μεταβλητής (Mean value) (ΕΧ ή μ): Η μέση τιμή είναι το πιο στοιχειώδες στατιστικό μέτρο και αποτελεί γενίκευση του μέσου όρου μιας ακολουθίας τιμών. Η ερμηνεία της είναι ότι μας δίνει ένα κέντρο βάρους γύρω από το οποίο παίρνει τιμές η τ.μ. Αν η τ.μ. είναι απαριθμητή με συνάρτηση πιθανότητας p( x) P( X x ) τότε η μέση τιμή της είναι EX x p( x ). (με την προυποθεση πως ισχύει x p( x ) ) i i i Αν η τ.μ. είναι συνεχής με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) τότε η μέση τιμή της είναι EX xf ( x) dx (με την προϋπόθεση πως ισχύει x f ( x) dx ) Διασπορά ή Διακύμανση (variance) και τυπική απόκλιση: Η διασπορά μας δίνει πληροφορία για το πόσο απομακρυσμένες γύρω από τη μέση τιμή βρίσκονται οι τιμές της τ.μ. Η διασπορά συμβολίζεται με VarX ή και είναι η ποσότητα ( x ) f ( x) dx για συνεχείς τ.μ. i i VarX E( X ), δηλαδή: i ( x ) f ( x ) για απαριθμητές (διακριτές) τ.μ. Η θετική τετραγωνική ρίζα της διασποράς deviaion) VarX ονομάζεται τυπική απόκλιση (sandard Συνδιακύμανση (Covariance): Η συνδιακύμανση μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ μας δείχνει πως σχετίζονται οι μεταβλητές μεταξύ τους, δηλαδή κατά πόσο έχουν την ίδια συμπεριφορά. Δίνεται από τον τύπο: Cov( X, Y ) E ( X )( Y Y ) ( x x)( y y ) f ( x, y) dxdy όπου f ( x, y ) είναι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (join probabiliy densiy funcion). Αν Cov( X, Y ) οι μεταβλητές καλούνται ασυσχέτιστες (uncorrelaed). Για Χ=Υ έχουμε τον τύπο της διακύμανσης.

11 Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Είναι δυνατόν αντί για μια μονο τ.μ. να έχουμε ένα διάνυσμα (vecor) τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή: X ( X, X,.., X ). Σε αυτή την περίπτωση ως διάνυσμα πιθανότητας ορίζουμε το n P( X ) P( X x ), P( X x ),.., P( X x ) Ομοίως ορίζονται και τα διανύσματα μέσης τιμής και διακύμανσης, δηλαδή EX ( EX, EX,.., EX ) n VarX ( E( X ), E( X ),.., E( X ) ) n n n Πίνακας Συνδιακύμανσης (Covariance Marix): Αυτό που έχει ενδιαφέρον είναι το πώς υπολογίζεται όχι η συνδιακύμανση, αλλά ο πίνακας συνδιακύμανσης δύο πολυδιάστατων τυχαίων μεταβλητών. (, Cov X Y ) E ( X EX )( Y EY ) = E ( X )( Y ) E ( X )( Y )... E ( X )( Y ) E ( X )( Y ) E ( X )( Y ) E ( X )( Y ) E ( X )( Y )... E ( X )( Y ) n n n n n n n n Αν Cov( X, Y ) = οι Χ και Υ ονομάζονται ασσυσχέτιστες. Ομοίως ορίζεται ο πίνακας αυτοδιακύμανσης Cov( X, X ),ο οποίος εύκολα καταλαβαίνει κανείς πως είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, αφού E ( X i i)( X j j ) E ( X j j )( X i i). Πίνακας συσχέτισης: Ομοίως ορίζουμε τον πίνακα συσχέτισης πολυδιάστατων μεταβλητών: n n R ( ) E ( X ) E X... E X E X E X... E X n n n n n

12 όπου E ( X iyj ) xi y j f ( xi, y j ) dxidy j και f ( xi, x j) είναι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας.αν Cov( X, Y ) = τότε όπως είπαμε οι πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές λέγονται ασσυσχέτιστες και ισχύει ( ) ( EX )( EY ) Ομοίως, εάν Χ=Υ έχουμε τον πίνακα αυτοσυσχέτισης της πολυδιάστατης τ.μ. R X ( X ) E ( X X ) E X X... E X X E ( X X ) E X X E X X... E X X n n n n n (συμμετρικός & θετικά ορισμένος) Αυτοί οι πίνακες θα μας χρησιμεύσουν ιδιαίτερα παρακάτω, όπου θα ορίσουμε τις στοχαστικές διαδικασίες! Στοχαστικές Διαδικασίες Στοχαστική διαδικασία είναι ένα σύνολο τυχαίων μεταβλητών ορισμένων σε ένα χώρο πιθανοτήτων. Εάν είναι αριθμήσιμο το πλήθος τους τότε η διαδικασία συμβολίζεται με X : X, X, X 3,.. Εάν το πλήθος δεν είναι αριθμήσιμο, τότε η διαδικασία συμβολίζεται με X ( ) :. Στην πρώτη περίπτωση αναφερόμαστε σε διαδικασία σε διακριτό χρόνο, ενώ στη δεύτερη σε στοχαστική διαδικασία σε συνεχή χρόνο. Στις περισσότερες περιπτώσεις η μεταβλητή εκφράζει χρόνο και η στοχαστική διαδικασία συμβολίζει την εξέλιξη ενός γεγονότος με την πάροδο του, π.χ. ο αριθμός πωλήσεων ενός προϊόντος τους μήνες ενός χρόνου ή η στάθμη των βροχοπτώσεων σε μια περιοχή κάθε μήνα για έναν χρόνο. χρόνου, τα Επειδή όπως είπαμε, οι σ.δ. εκφράζουν την εξέλιξη ενός φαινομένου με την πάροδο του X έχουν την ίδια συνάρτηση πιθανότητας (ή πυκνότητας πιθανότητας) της οποίας όμως τα στατιστικά χαρακτηριστικά μπορεί να αλλάζουν από χρόνο σε χρόνο. Στασιμότητα (Saionariy): Η στοχαστική διαδικασία ονομάζεται στατική αν τα στατιστικά χαρακτηριστικά της συνάρτησης (πυκνότητας) πιθανότητας παραμένουν σταθερά με το χρόνο. Δηλαδή για τη διαδικασία X ισχύει

13 EX VarX Cov( X, X ) Cov( X, X ) p ( ) Δηλαδή η συνδιακύμανση μεταξύ μεταβλητών της στοχαστικής διαδικασίας δεν εξαρτάται από τις χρονικές στιγμές & αλλά από τη διαφορά τους τ. Μια σ.δ. ονομάζεται ασυσχέτιστη, αν Cov( X, X ) =, δηλαδή τότε δεν υπάρχει καμια σχέση μεταξύ των X i. Ομοίως, δύο στατικές στοχαστικές διαδικασίες ονομάζονται ασσυσχέτιστες αν Cov( X, Y ) Gaussian στοχαστική διαδικασία: Μια στοχαστική διαδικασία ονoμάζεται γκαουσιανή, αν κάθε X i ακολουθεί την Gaussian disribuion. Αν μάλιστα είναι και στατική, τότε η κατανομή είναι ακριβώς η ίδια για κάθε X i. Λευκός Θόρυβος: Ως λευκό θόρυβο, ορίζουμε μια στοχαστική διαδικασία η οποία είναι γκαουσιανή με μέση τιμή μ= και ασσυσχέτιστη από στιγμή σε στιγμή.. Ας αναλύσουμε κάθε μια ιδιότητα ξεχωριστά, ώστε να κατανοήσουμε πλήρως τα χαρακτηριστικά του θορύβου. Είναι Gaussian, δηλαδή κάθε τ.μ. σε κάθε χρονική στιγμή ακολουθεί την κανονική συνάρτηση 3

14 κατανομής με μ=. Επιπλέον, είναι ασσυσχέτιστη μεταξύ χρονικών στιγμών δηλαδή Cov( X, X ) Cov( X, X ) E ( X )( X ) X X για Ισχύει δηλαδή ότι ( ) X ( ) Q( ) ( ) που σημαίνει ότι για έχουμε μηδέν (ασσυσχέτιστες τ.μ σε διαφορετικές χρονικές στιγμές) ενώ για =τ παίρνουμε τη διακύμανση για την τ.μ. X X () Δεν είναι τυχαίο που στα μοντέλα που χρησιμοποιούμε, θεωρούμε πως οι διαταραχές εκφράζονται μέσω λευκών θορύβων. Μελέτες τέτοιων διαταραχών σε συστήματα έχουν δείξει ότι όντως οι περισσότεροι θόρυβοι μετρήσεων ακολουθούν Gaussian κατανομή με μέση τιμή ίση με μηδέν. Μάλιστα έχει παρατηρηθεί πως το άθροισμα πολλών διαταραχών με διαφορετικές κατανομές τείνει να έχει Gaussian κατανομή. Επομένως ο λευκός θόρυβος αποτελεί μια άριστη μοντελοποίηση των αληθινών διαταραχών. Μπορούμε να παράγουμε ένα σήμα λευκού θορύβου στο Malab με την εντολή wgn (Από το Malab help: y = wgn(m,n,p) generaes an m-by-n marix of whie Gaussian noise. p specifies he power of y in decibels relaive o a wa. he defaul load impedance is ohm.)

15 .5 cosine signal cosine corruped by noise Συνημιτονικό σήμα υπό την επίδραση λευκού θορύβου (command in Malab: awgn(x,snr) 5

16 Προσθήκη Λευκού Θορύβου σε εικόνα. Commands in Malab: imnoise imread, figure, imshow 6

17 Φίλτρο Kalman Διακριτού Χρόνου Έστω ότι έχουμε την εξίσωση διαφορών x x w που περιγράφει το σύστημα διακριτού χρόνου μας, όπου xτο nxn διάνυσμα κατάστασης, (, ) ο nxn πίνακας μετάβασης από τη χρονική στιγμή στην, ο οποίος προκύπτει από τη λύση της ομογενούς ε.δ. και w ένα διάνυσμα nx, δηλαδή μια πολυδιάστατη στοχαστική διαδικασία με χαρακτηριστικά λευκού θορύβου, δηλαδή Ew [ ] και E[ ww j ] Q ( j ).Τη θεωρούμε επιπλέον στατική, δηλαδή ο πίνακας διακύμανσης Q είναι ο ίδιος για κάθε. Αυτή η παραδοχή διευκολύνει τη μελέτη μας. Για αυτό το σύστημα έχουμε ένα λx διάνυσμα μετρήσεων z το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση z H x v (). Το z δηλαδή είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των γνωστών καταστάσεων x όπου εισέρχεται και ένα σφάλμα μετρήσεων v που επίσης είναι μια λx πολυδιάστατη στατική στοχαστική διαδικασία με χαρακτηριστικά λευκού θορύβου Ev [ ] και E[ vv j ] R ( j ). Ο λxn πίνακας H ονομάζεται πίνακας μετρήσεων, αφού δίνει τις μετρήσεις των z από τα x, απουσία θορύβου. Εξαρτάται από το, γιατί στην γενική περίπτωση τον θεωρούμε χρονικά μεταβαλλόμενο (πράγμα που συμβαίνει στα πιο ανεπτυγμένα συστήματα). Έστω ότι για το σύστημα μας έχουμε μια αρχική, εκ των προτέρων (a priori) εκτίμηση της κατάστασης στην χρονική στιγμή x την οποία συμβολίζουμε ως x ˆ ( ). Ψάχνουμε μια βελτιωμένη εκτίμηση x ˆ ( ), κάνοντας χρήση των μετρήσεων z. Επειδή στην πράξη μιλάμε για φίλτρα πεπερασμένης μνήμης, η εκτίμηση αναζητείται με τον αναδρομικό τύπο xˆ ( ) K ' xˆ ( ) K z () δηλαδή ως γραμμικός συνδυασμός της a priori εκτίμησης x ˆ ( ) και των μετρήσεων z, όπου K ', K είναι χρονικά μεταβαλλόμενοι πίνακες βαρών οι οποίοι πρέπει να προσδιοριστούν. Οι πίνακες θα προσδιοριστούν με κριτήριο την ελαχιστοποίηση του σφάλματος μεταξύ της εκτίμησης μας και της πραγματικής τιμής του διανύσματος χ. (Θα δούμε παρακάτω ποιο είναι το μαθηματικό κριτήριο για την ελαχιστοποίηση αυτή). 7

18 Εδώ να διευκρινίσουμε ότι τα x ˆ ( ) και x ˆ ( ) αναφέρονται και τα στην ίδια χρονική στιγμή. Έχουμε δηλαδή για τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή την αληθινή κατάσταση x, την αρχική εκτίμηση x ˆ ( ) και τη βελτιωμένη x ˆ ( ). Έστω λοιπόν το σφάλμα της εκτίμησης μας από την πραγματική τιμή του x ( ) xˆ ( ) x (σφάλμα a poseriori εκτίμησης) και x ( ) xˆ ( ) x (σφάλμα a priori εκτίμησης) Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση τις () & () έχουμε: x ( ) K ' xˆ ( ) K z x K ' xˆ ( ) K ( H x v ) x K ' ( x ( ) x ) K H x K v x [ K ' K H I] x K ' x ( ) K v Εξ ορισμού ισχύει Ev [ ]. Επίσης υποθέτουμε ότι για την προηγούμενη εκτίμηση μας Ex [ ( )], υποθέτουμε δηλαδή ότι είναι αμερόληπτη (unbiased). Η λοξότητα ή προκατάληψη (bias) ενός εκτιμητή δείχνει το πόσο ικανοποιητική είναι η εκτίμηση. Για να είναι και αυτή η εκτίμηση αμερόληπτη, δηλαδή να ισχύει Ex [ ( )] θα πρέπει E[ x ( )] [ K ' KH I] K ' I KH και ο εκτιμητής παίρνει τη μορφή () xˆ ( ) ( I K H ) xˆ ( ) K z ή αλλιώς xˆ ( ) xˆ ( ) K [ z H x ˆ ( )]. Το αντίστοιχο σφάλμα εκτίμησης γίνεται x ( ) ( I K H ) x ( ) K v. Από την προηγούμενη σχέση μπορούμε να υπολογίσουμε τον πίνακα συνδιακύμανσης του σφάλματος. Εξ ορισμού είναι P ( ) E[ x ( ) x ( ) ] E [( I K H ) x ( ) K v ][( I K H ) x ( ) K v ] E [( I K H ) x ( ) K v ][ x ( ) ( I K H ) v K E ( I K H ) x ( ) x ( ) ( I K H ) K v x ( ) ( I K H ) ( I K H ) x ( ) v K K v v K x Ορίζουμε ως P ( ) E x ( ) x ( ) και R E v v ο πίνακας συνδιακύμανσης για την πολυδιάσταση σ.δ. v τη χρονική στιγμή. Επειδή η μέτρηση του σφάλματος x ( ) και ο 8

19 θόρυβος v είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους, ισχύει E v x ( ) E x ( ) v Λαμβάνοντας αυτά υπ όψιν αντικαθιστούμε στην προηγούμενη σχέση και έχουμε P ( ) ( ) ( )( ) I KH P I KH KR K (3) Κριτήριο επιλογής του πίνακα K Ο βέλτιστος πίνακας K είναι αυτός ο οποίος θα ελαχιστοποιήσει το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων του πίνακα συνδιακύμανσης του σφάλματος. Επομένως, ως συνάρτηση κόστους επιλέγουμε την J E[ x ( ) x ( )] ί [ P ( )] που ισοδυναμεί με το να ελαχιστοποιήσουμε το μήκος του διανύσματος σφάλματος. Για να βρούμε την τιμή του K που δίνει ελάχιστο, θα υπολογίσουμε τη μερική παράγωγο του J ως προς K και θα την εξισώσουμε με μηδέν. Κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων ί ( ABA ) AB A r( XA ) r( A X) r( X A) r( AX ) A έχουμε X X X X και K ί [( I K H ) P ( )( I K H ) K R K ] K ί [ P ( ) K P ( ) H P ( ) H K K H P ( ) H K K R K ] P ( ) H P ( ) H K H P ( ) K R ( I K H ) P ( ) H K R όπου κάναμε χρήση της συμμετρίας του P, δηλαδή K H P ( ) H P ( ) H K R K H P ( ) H R P ( ) H K P ( ) H H P ( ) H R (4) P P. Αν λύσουμε ως προς Κ θα έχουμε Ο πίνακας αυτός ονομάζεται Kalman Gain Marix. Αντικαθιστώντας την (4) στην εξίσωση (3) έχουμε: P P P H H P H R H P ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) [ I K H ] P ( ) (5) 9

20 Παρατήρηση: Αν και μιλάμε για διακριτό χρόνο, η παραγώγιση ως προς K είναι επιτρεπτή. Αυτό γιατί για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή (σταθερό ), παραγωγίζουμε την ποσότητα ί [ P ( )] ως προς μια ποσότητα που έχει συνεχές φάσμα τιμών, δηλαδή ως προς K. Μένει να περιγράψουμε την μετάβαση από τη χρονική στιγμή - στη χρονική στιγμή. Για το a priori διάνυσμα εκτίμησης x ˆ η μετάβαση είναι απλή και προφανής, όπως και στην αντίστοιχη ομογενή ε.δ του πραγματικού συστήματος: xˆ ( ) ˆ x ( ) (6) Γίνεται δηλαδή με τη χρήση του πίνακα μετάβασης και της a poseriori εκτίμησης που κάναμε για την προηγούμενη χρονική στιγμή -. Για τον πίνακα συνδιακύμανσης του σφάλματος έχω P ( ) x ( ) x ( ) [ xˆ ( ) x ][ xˆ ( ) x ] [ xˆ ( ) x ][ xˆ ( ) x ] [ ˆ ( ) ][ ˆ ( ) x x w x x w ( ) ( ) ( ) E x x w w x w w x ( ) Επειδή τα x ( ) και w είναι ασυσχέτιστα ισχύει E[ x ( ) w ] E[ w x ( )] άρα P ( ) P ( ) Q (7) Το φίλτρο Κalman διακριτού χρόνου συνοψίζεται στα εξής βήματα:.υπολογίζουμε τα P ( ) και x ˆ ( ) χρησιμοποιώντας τους P ( ), και Q..Υπολογίζουμε τον K με χρήση του P ( ). 3.Υπολογίζουμε τον P ( ) με χρήση του K. 4.Υπολογίζουμε τη νέα εκτίμηση x ˆ ( ) με χρήση των K, x ˆ ( ) και των μετρήσεων z. Παρατήρηση: Ο πίνακας P πρέπει να είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Σε περίπτωση που δεν πληρούνται αυτές οι προϋποθέσεις πιθανόν να υπάρχει υπολογιστικό σφάλμα. Ένας τρόπος να εξασφαλίσουμε αυτές τις ιδιότητες είναι αν αντί του τύπου P ( ) [ I KH ] P ( ) χρησιμοποιήσουμε τον αρχικό τύπο που δείξαμε, δηλαδή τον P ( ) ( ) ( )( ) I KH P I KH KR K. Παρατηρούμε ότι ο P είναι άθροισμα δύο συμμετρικών πινάκων. Ο πρώτος είναι θετικά ορισμένος και ο δεύτερος μη αρνητικά ορισμένος, γεγονός που κάνει τον P θετικά ορισμένο πίνακα. Εναλλακτικά, μπορούμε στον αλγόριθμο

21 υπολογισμού μας να ενσωματώσουμε ανά τακτά διαστήματα τη διορθωτική εντολή P P P. Πίνακας Εξισώσεων Φίλτρου Kalman Διακριτού Χρόνου Σύστημα Μετρήσεις Υποθέσεις Σχέση μεταξύ χρονικών στιγμών: Εκτίμησης Κατάστασης Συνδιακύμανση Σφάλματος x x w w N q (, ) z H x v v N(, r ) E[ x()] x E[ w v ], j ˆ xˆ ( ) x ˆ ( ) P ( ) P ( ) Q j Kalman Gain Marix Συνδιακύμανση Σφάλματος (a poseriori) Εκτίμηση Κατάστασης (a poseriori) K P ( ) H H P ( ) H R P ( ) [ I KH ] P ( ) xˆ ( ) xˆ ( ) K [ z H x ˆ ( )] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα ο : Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα που περιγράφεται από τις εξής ε.δ.: x x w, z x v, E[ v] E[ w ] E[ vv] ( ), ˆ ˆ E[ w w ] ( ), z, z 3, E[ x()] xˆ E [ x() x][ x() x] P. Να βρεθεί η Εδώ έχουμε Φ=H= & Q=, R=. Έχουμε P ( ) P ( ) Q P ( ) K P ( ) H [ H P ( ) H R ] P P ˆx. P( ) P ( ) ( ) ( ) 3 P ( ) P ( ) 3 P ( ) ( P ( ) ) P ( ) [ I K H ] P ( ) [ ] P ( ) P ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 P P P

22 P ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] Αφού κάναμε τις απαραίτητες xˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x K z H x x z x P ( ) 3 αλλαγές στους τύπους, ξεκινάμε κάνοντας τα βήματα του αλγορίθμου όπως τα δείξαμε κ= P( ) P ( ) K P P ( ) P ( ) P ( ) ( ) ( ) P xˆ 4 ( ) xˆ ˆ [ x ] κ= 35 P( ) P ( ) 3 3 xˆ ( ) x ˆ ( ) K P P ( ) P 6 ( ) P( ) 35 7 ( ) ( ) P xˆ ( ) xˆ ( ) Παράδειγμα: Θα εξετάσουμε το πρόβλημα της εκτίμησης μιας σταθεράς. Έστω λοιπόν οι σχέσεις: x x.345 z x v όπου v N (,.) P x ˆ ( )

23 Θα χρησιμοποιήσω το Malab για να υπολογίσω την εκτίμηση x ˆ( ) του Φίλτρου Kalman για την σταθερά. r=.; %creae a random sequence of numbers. funcion randn draws numbers from sandard %normal disribuion noise=randn(,5); %creae he random whie noise sequence by muliplying he se of random numbers by he %sandard deviaion (ipii apolisi) of w w=sqr(r)*noise; %creae he measuremens vecor zmeasure=.345+w; %creae he real-ime consan vecor xconsan(:5)=.345; %creae he algorihm for he alman filer (firs 5 esimaions) xprior()=; Pprior()=; K()=Pprior()/(Pprior()+r); xpos()=xprior()+k()*(zmeasure()-xprior()); Ppos()=(-K())*Pprior(); for i=:5 end xprior(i)=xpos(i-); Pprior(i)=Ppos(i-); K(i)=Pprior(i)/(Pprior(i)+r); xpos(i)=xprior(i)+k(i)*(zmeasure(i)-xprior(i)); Ppos(i)=(-K(i))*Pprior(i); for i=:5 (i)=i; end plo(,xpos(),'*',,zmeasure(),'g--',,xconsan(),'r') legend('esimaion','measuremens','real-ime quaniy') 3

24 .4 Μωυσής Λάζαρος-Φίλτρο Kalman esimaion measuremens real-ime quaniy Στο ίδιο πρόβλημα, αν προσθέσω μια μικρή διαταραχή στο φυσικό σύστημα x x w.345 w με w N (,.) θα αλλάξει ελαφρώς το σύστημα και θα έχω : (στον αλγόριθμο η μοναδική αλλαγή είναι στην εντολή Pprior(i)=Ppos(i-)+.; και στο διάνυσμα xconsan.).35.3 esimaion measuremens real-ime quaniy

25 Φίλτρο Kalman Συνεχούς Χρόνου Για να ορίσουμε το φίλτρο στον συνεχή χρόνο, θα χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα για το αντίστοιχο διακριτό, κάνοντας τις απαραίτητες αλλαγές. Αρχικά, θα ορίσουμε το σύστημα μας στον συνεχή χρόνο x'( ) F( ) x( ) G( ) w( ) w( ) (, Q ) z( ) H ( ) x( ) v( ) v( ) (, R ) c c Όπου x () είναι το διάνυσμα καταστάσεων, w () και v () διανύσματα διαταραχών με χαρακτηριστικά λευκού θορύβου και z () το διάνυσμα μετρήσεων. Όπως και στο διακριτό χρόνο, ως ορίζουμε τον πίνακα μετάβασης από τη χρονική στιγμή στην. Για τον F ( ) ( ) F ισχύει e I F( )... I F O( ). Επομένως μια προσέγγιση του πίνακα μετάβασης είναι η I F. Μένει να δούμε με ποιο τρόπο συνδέονται τα στατιστικά χαρακτηριστικά των διακριτών θορύβων του συστήματος και των μετρήσεων με τους αντίστοιχους συνεχείς. Σχέση μεταξύ διακριτών λευκών θορύβων (discree whie noise sequences) και λευκών θορύβων συνεχούς χρόνου (whie noise processes) Έστω το σταθερό σύστημα διακριτού χρόνου: x x w w (, Q ) ( ) ( ) Θόρυβος κατάστασης χ()= Όπου η χρονική περίοδος ανάμεσα σε κάθε δείγμα είναι Τ. Αν λύσουμε αναδρομικά, θα βρούμε για τη x ότι: x w w w... w ( ) Η συνδιακύμανση της κατάστασης x είναι E[ x x ] E[( w w w... w )( w w w... w ) ] ( ) ( ) E( wiw j ) Q E w w E w w... E w w ( ) ( ) 5

26 Τώρα ας θεωρήσουμε ένα σταθερό σύστημα συνεχούς χρόνου: x'( ) w( ) w( ) (, QM ) όπου Μ μια ποσότητα απροσδιόριστη (προς το παρόν!). Η συνδιακύμανση της κατάστασης x() είναι: E[ x( ) x( ) ] E w( a) da w( b) db E w( a) w( b) dadb QM ( a b) dadb QMdb QM Αν θέσουμε τώρα M η συνδιακύμανση θα γίνει E[ x( ) x( ) ] Q και αν σκεφτούμε ότι η σχέση μεταξύ συνεχούς χρόνου και διακριτών στιγμών είναι = η παραπάνω σχέση γίνεται E[ x( ) x( ) ] Q. Συμπεραίνουμε πως ο διακριτού χρόνου λευκός θόρυβος με συνδιακύμανση Q και διάστημα μεταξύ δειγμάτων Τ είναι ισοδύναμος με λευκό θόρυβο συνεχούς χρόνου με συνδιακύμανση Q, δηλαδή [ ( ) ( ) ] Q Q ( ) c E w w. Θόρυβος μετρήσεων Έστω ότι έχουμε τη μέτρηση μιας σταθεράς σε διακριτό χρόνο, δηλαδή: x x y x v v( ) (, R ) Έχουμε δείξει ότι ο a poseriori πίνακας συνδιακύμανσης του σφάλματος εκτίμησης είναι P ( ) [ K ] P ( ) όπου P( ) P ( ) και σχέση του P(+) θα βρούμε P ( ) K P ( ). Αν αντικαταστήσουμε στην P( ) R P ( ) R. Λύνοντας τη σχέση αναδρομικά έχουμε P( ) R P( ) P ( ) P ( ) R P( ) R P( ) R R P ( ) R P ( ) R P ( ) R P ( ) R R P ( ) R P ( ) R R P ( ) R P( ) R P ( ) R ( ) P ( ) R P P ( ) R P ( ) R παίρνω το όριο καθώς P,δηλαδή για σφάλμα αρχικής εκτίμησης lim P ( ) P R R 6

27 Για να είναι η συνδιακύμανση του σφάλματος εκτίμησης ανεξάρτητη της περιόδου Τ θα πρέπει R R c, όπου R c σταθερά. Αυτή είναι και η σχέση που συνδέει τη συνδιακύμανση μεταξύ των θορύβων μετρήσεων συνεχούς και διακριτού χρόνου, δηλαδή v (, R) όπου Τ είναι το διάστημα μεταξύ διακριτών μετρήσεων. v( ) (, R ) Μετάβαση από το διακριτό στο συνεχές Φίλτρο Kalman Έχουμε κάνει τις απαραίτητες προσεγγίσεις για τους πίνακες I F Q Qc E[ w( )( w( )) ] Q Qc E[ Gw( )( Gw( )) ] E[ Gw( ) w( ) G ] GQ G c Rc R Στο διακριτό χρόνο είχαμε δείξει πως ο πίνακας συνδιασποράς του σφάλματος υπολογίζεται από τον τύπο ( ) ( ) P P Q. Κάνοντας τις αντικαταστήσεις έχουμε ( ) [ ( ) ] ( )[ ( ) ] P ( ) ( ) ( ) I F P I F G Q G κάνουμε τις σχετικές πράξεις και παίρνουμε ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) ( ) ( )] ( ) P F P P F G Q G O Αν στον παραπάνω τύπο κάνουμε αντικατάσταση το P ( ) [ I KH ] P ( ) έχουμε ( ) [ ] ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ( ) ( ) P ( ) ( ) ( ) I KH P F I KH P I KH P F G Q G F( ) KHP ( ) F( ) P ( ) P ( ) F( ) KHP ( ) F( ) P ( ) P ( ) KHP ( ) G( ) Q( ) G( ) P ( ) ( ) ( ) P K H P F( ) K H P ( ) F( ) P ( ) P ( ) F( ) KH P ( ) F( ) G( ) Q( ) G( ) Εξετάζουμε πρώτα ξεχωριστά τον όρο: (4) K P ( ) H [ H P ( ) H R ] P ( ) H [ H P ( ) H R ] P ( ) H [ H P ( ) H R] 7

28 και καθώς το έχουμε lim K P H R Αυτός είναι ο πίνακας κέρδους (Kalman gain marix) του συνεχούς συστήματος. Έχοντας αυτή τη σχέση παίρνουμε το όριο στην P ( ) P ( ) παραπάνω εξίσωση lim P F P P F G QG P H R H P '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Η παραπάνω μη γραμμική ως προς P εξίσωση ονομάζεται διαφορική εξίσωση Riccai. Είχαμε δείξει πως στο διακριτό χρόνο η εκτίμηση xˆ ( ) υπολογίζεται από τον τύπο xˆ ( ) ˆ ( ) [ ˆ x K z H x ( )] και αν αντικαταστήσουμε το xˆ ( ) ˆ x ( ) έχουμε xˆ ( ) xˆ ( ) K [ z H x ˆ ( )] Αν τώρα κάνουμε τις επιπλέον αντικαταστάσεις I F και K P H R : xˆ ( ) [ I F ] xˆ ( ) P H R z H [ I F ] x ˆ ( ) xˆ ( ) xˆ ( ) F xˆ ( ) P H R z P H R H xˆ ( ) P H R H F xˆ ( ) xˆ ˆ ( ) x ( ) F xˆ ˆ ( ) P H R z P H R H x ( ) O( ) xˆ ( ) xˆ ( ) F xˆ ( ) P H R z H xˆ ( ) Παίρνοντας το όριο καθώς καταλήγουμε στην ˆ ˆ ˆ x'( ) F( ) x( ) P( ) H( ) R( ) [ z( ) H( ) x( )] που είναι η διαφορική εξίσωση του συνεχούς φίλτρου Kalman, όπου ο πίνακας P () υπολογίζεται από τη διαφορική εξίσωση Riccai. Σύστημα Μετρήσεις Πίνακας Φίλτρου Kalman Συνεχούς Χρόνου x'( ) F( ) x( ) G( ) w( ) w( ) N(, Q( )) z( ) H( ) x( ) v( ) v( ) N(, R( )) Υποθέσεις Kalman Gain Marix Συνδιακύμανση Σφάλματος Εκτίμηση Κατάστασης E[ x()] x ˆ E ( x() xˆ ˆ )( x() x) P j E[ w v ], j K P H R ( ) ( ) ( ) ( ) P' FP PF GQG PH R HP ˆ ˆ ˆ x'( ) F( ) x( ) P( ) H( ) R( ) [ z( ) H( ) x( )] 8

29 Φίλτρο σταθερής κατάστασης P Στην περίπτωση που το σύστημα και οι μετρήσεις του περιγράφονται από γραμμικούς, χρονικά αμετάβλητους πίνακες (οι F,G,H δεν μεταβάλλονται χρονικά) και οι διακυμάνσεις των διαταραχών είναι επίσης σταθερές (Q,R δεν μεταβάλλονται χρονικά), η διαδικασία φιλτραρίσματος ίσως να καταλήξει σε μια σταθερή κατάσταση όπου ο P θα είναι σταθερός. Η παρατηρησιμότητα του συστήματος εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας seady-sae λύσης και η ελεγξιμότητα εξασφαλίζει τη μοναδικότητά της. Δηλαδή, καθώς έχουμε P ' και η δ.ε. Riccai γίνεται αλγευρική εξίσωση FP P F GQG P H R HP Ο Kalman gain marix γίνεται K P H R και το φίλτρο Kalman: xˆ '( ) Fxˆ ( ) K [ z( ) H xˆ ( )] xˆ '( ) F xˆ ( ) K H xˆ ( ) K z( ) Laplace ( si F K H) Xˆ ( s) K Z( s) X ˆ ( s) ( si F K H ) K Z( s ) όπου ( ) si F K H K είναι η συνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου Kalman σε seady-sae. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα: Να γίνει εκτίμηση της σταθεράς x, αν έχουμε διαθέσιμη μια μέτρηση z η οποία διαταράσσεται από λευκό θόρυβο με μηδενική μέση τιμή και διακύμανση r. o σύστημα που έχουμε είναι το Σύστημα: x'( ) Μέτρηση: z( ) x( ) v( ) όπου v N(, r ). Έχουμε λοιπόν f=g=q= και h=. Η δ.ε. Riccai είναι p'( ) p () r Με τη βοήθεια του Malab έχουμε >> p=dsolve('dp=-(p^)/r','p()=p','') p = r/(+/p*r) >> prey(p) 9

30 r r p Ο πίνακας Kalman gain θα είναι p xˆ'( ) r [ z xˆ( )] p r K p r p r p r και το φίλτρο συνεχούς χρόνου είναι Παράδειγμα: Ένα διαστημικό αεροσκάφος απομακρύνεται από τη γη με σχεδόν σταθερή ταχύτητα και υπόκειται σε μικρές τυχαίες υψηλής συχνότητας διαταραχές στην ταχύτητα του(δηλαδή επιταχύνσεις/επιβραδύνσεις) με φασματική συχνότητα q. Προσδιορίστε την ακρίβεια εκτίμησης της ταχύτητας του οχήματος, αν χρησιμοποιούμε ραντάρ (χρήση φαινομένου Doppler) το οποίο μετράει με σφάλμα φασματικής συχνότητας ίσο με r. Έστω x η απόκλιση από την προβλεπόμενη ταχύτητα του αεροσκάφους. Αφού χωρίς τις διαταραχές η ταχύτητα θα ήταν σταθερή, η παράγωγός της (επιτάχυνση) εξαρτάται μόνο από τις διαταραχές, δηλαδή x'( ) w( ) w N(, q ) z( ) x( ) v( ) v N(, r ) η διαφορική εξίσωση Riccai είναι (f=,g=h=) p p '( ) q, p() p r Με τη βοήθεια του Malab έχουμε: >> p=dsolve('dp=-(p^)/r+q','p()=p','') Warning: Compac, analyic soluion could no be found. I is recommended ha you apply PREY o he oupu. ry mhelp dsolve, mhelp RooOf, mhelp DESol, or mhelp allvalues for more informaion. > In C:\MALAB6p5\oolbox\symbolic\dsolve.m a line 99 p =anh((*(q*r)^(/)+r*aanh(p/(q*r)^(/)))/r)*(q*r)^(/) 3

31 Ή με τη βοήθεια του Mahemaica: DSolve[p'[]==-(p[]^)/R+Q,p[],] p[] Q Ranh Q QRC[] R και η εξίσωση του φίλτρου γίνεται: Q R Q QRC[] xˆ'( ) anh ( z( ) xˆ( )) R R Παράδειγμα: Έστω η διαφορική εξίσωση x''( ) x'( ) x( ) w( ) με E[ w( )] E[ w( ) w( )] q ( ). Θέτοντας x( ) x( ) x'( ) x( ) έχουμε το saespace σύστημα x '( ) x ( ) '( ) ( ) x x w () με αρχικές συνθήκες E[ x()] E[ x ()] και E x () x () x () x () x () x () P () P () P () P () Μετρήσεις γίνονται μέσω της ποσότητας z( ) x( ) v( ) με E[ v( )] E[ v( ) v( )] r ( ). Η διαφορική εξίσωση Riccai είναι '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P P P P P P P P P P P P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P P P ( ) P ( ) ( ) ( ) r P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) 4 P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) q r P ( ) P ( ) P ( ) Από την οποία προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις: P '( ) P( ) P( ) r P '( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) r 4 P '( ) P( ) 4 P( ) q P( ) r Αυτό το σύστημα είναι δύσκολο να λυθεί, μπορούμε όμως να το λύσουμε με τη βοήθεια του Mahemaica. Αρχικά θα λύσω το seady sae σύστημα για P ()=. 3

32 Solve[{==*p-(/r)*p^,==p-(w^)*p-*z*w*p- (/r)*p*p,==-*(w^)*p-4*z*w*p- (/r)*p^+(w^4)*q},{p,p,p}] p r w z r w q w 4 r z w, p, p r w z q r w 4 4 r w z, p r w z r w q w 4 r z w, p, p r w z q r w 4 4 r w z, p r w z r w 4 r q w 4 r z w, p r, p r w z 4 r w q r w 4 4 r w z, p r w z r w 4 r q w 4 r z w, p r, p r w z 4 r w q r w 4 4 r w z Από εδώ θα επιλέξουμε τη λύση που εξασφαλίζει θετικά ορισμένο πίνακα P. Το Mahemaica όμως είναι ένα ισχυρό εργαλείο και μας επιτρέπει να λύσουμε και αναλυτικά τη διαφορική εξίσωση. Οι αρχικές συνθήκες που θα χρησιμοποιήσω είναι q= r= ω= ζ=. P () P () P (). soluion _ Wih q, r, w, z., NDSolve p' p r p ^, p' p w ^ p z w p r p p, p' w ^ p 4 z w p r p ^ w ^ 4 q, p, p, p, p, p, p,,,, All, Plo soluion,,, 3

33 .8 p().6 p().4. p() Βλέπουμε ότι καθώς ο χρόνος μεγαλώνει, τα P προσεγγίζουν τις seady-sae λύσεις που βρήκαμε. Η επιλογή αρχικών συνθηκών για τα P δεν έχει ιδιαίτερο ρόλο. Ίσως πιο ρεαλιστικό θα ήταν να επιλέξουμε τιμές διάφορες του μηδενός, με τη λογική πως αφού ο πίνακας P εκφράζει τη συνδιακύμανση του σφάλματος, η αρχική μας εκτίμηση ποτέ δεν πρόκειται να είναι ακριβής άρα P (). Αν κάνουμε όμως τα διαγράμματα θα δούμε πως σε βάθος χρόνου οι εξισώσεις έχουν την ίδια κατάληξη

34 Η εξίσωση του φίλτρου Kalman γίνεται ˆ ˆ ˆ x'( ) F( ) x( ) P( ) H( ) R( ) [ z( ) H( ) x( )] xˆ ( ) xˆ ( ) P ( ) P ( ) xˆ ( ) z ( ) xˆ ( ) xˆ ( ) P ( ) P ( ) xˆ ( ) r xˆ ˆ '( ) x() P() xˆ '( ) xˆ ( ) xˆ ( ) r P () P() xˆ '( ) xˆ ˆ ( ) z( ) x( ) r P() xˆ ˆ ˆ ˆ '( ) x ( ) x( ) z( ) x( ) r z( ) xˆ ( ) Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Riccai Από τα παραπάνω παραδείγματα καταλαβαίνουμε ότι η επίλυση της δ.ε. με αναλυτικό τρόπο είναι εφικτή μόνο για απλά προβλήματα. Συνήθως χρησιμοποιούνται αριθμητικές μέθοδοι για τον υπολογισμό του πίνακα P. Η αριθμητική ολοκλήρωση είναι ο συνήθης τρόπος προσέγγισης των χρονικά μεταβαλλόμενων συστημάτων. Συστήματα για τα οποία η δ.ε. Riccai έχει σταθερούς, χρονικά αμετάβλητους συντελεστές μπορούν να λυθούν με τον εξής τρόπο. Έστω η μη γραμμική δ.ε.: P' FP PF GQG PH R HP Κάνοντας το μετασχηματισμό Py όπου y ' F y H R HP y οδηγούμαστε σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Υπολογίζουμε το λ : ' ' ' P y P y FP y PF y GQG y PH R HP y PF y PH R HP y ' FP y GQG y F GQG y Το γραμμικό σύστημα που προκύπτει είναι το: y' ' F GQG H R H F y Η λύση του συστήματος (όπου Φ ο πίνακας μετάβασης) είναι: y( ) ( ) ( ) y( ) yy y ( ) ( ) ( ) ( ) y () 34

35 Όπου χωρίσαμε τον πίνακα Φ σε τέσσερις nxn bloc υποπίνακες. Τώρα λοιπόν έχουμε ( ) P( ) y( ) P( ) ( ) y( ) P( ) ( ) y( ) ( ) ( ) ( ) y( ) ( ) ( ) y yy y P( ) ( ) ( ) P( ) ( ) ( ) P( ) y yy y y ( ) y ( ) Μετατρέψαμε λοιπόν τη δ.ε. Riccai σε ισοδύναμή της γραμμική. Αρκεί να υπολογιστεί ο πίνακας Φ για να τη λύσουμε. ος τρόπος Ένας πιο προφανής τρόπος (σε αντίθεση με την έξυπνη μεν, αλλά παράδοξη αντικατάσταση) είναι να σπάσουμε τον πίνακα P σε μια δεξιά κλασματική περιγραφή του, δηλαδή P( ) A( ) B( ) Με χρήση της ιδιότητας παίρνουμε B( ) B( ) B '( ) B( ) αντικαθιστούμε το P στη δ.ε.r. και P ' FP PF GQG PH R HP A'( ) B( ) A( )[ B( ) ]' FA( ) B( ) A( ) B( ) F GQG A( ) B( ) H R HA( ) B( ) A'( ) B( ) A( ) B( ) B'( ) B( ) FA( ) B( ) A( ) B( ) F GQG A( ) B( ) H R HA( ) B( ) A'( ) A( ) B( ) B'( ) FA( ) A( ) B( ) F B( ) GQG B( ) A( ) B( ) H R HA( ) B () [ A'( ) FA( ) GQG B( )] A( ) B( ) [ B'( ) F B( ) H R HA( )] Ένας τρόπος να αληθεύει αυτή η εξίσωση είναι να θεωρήσουμε A'( ) FA( ) GQG B( ) A'( ) F() GQG A( ) B'( ) F B( ) H R HA( ) B H R H F '( ) B( ) μεταρέψαμε δηλαδή τη δ.ε. σε αυτό το σύστημα ομογενών δ.ε. με αρχικές συνθήκες A() B() και αν θέσουμε B() I τότε P() A() B() A() I A (),δηλαδή το διάνυσμα αρχικών συνθηκών γίνεται A() P() B() I (Βλέπουμε επίσης πως ο πίνακας του νέου συστήματος είναι ο ίδιος με τον ο τρόπο). 35

36 Συσχέτιση μεταξύ Θορύβων Στην ειδική περίπτωση όπου οι θόρυβοι w () και v () συσχετίζονται, δηλαδή ισχύει E[ w( ) v( ) ] C( ) ( ) ο τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος είναι η μετατροπή του σε ένα ισοδύναμο χωρίς συσχετίσεις μεταξύ των θορύβων. Προσθέτουμε στη σχέση x ' F x Gw τη μηδενική ποσότητα x ' F x Gw D( z H x v ) όπου D GCR. Το νέο πρόβλημα λοιπόν μετατρέπεται στο x' ( F DH ) x Dz ( Gw Dv ) όπου το Dz θεωρείται γνωστό (αφού z το διάνυσμα μετρήσεων) και ( Gw Dv ) είναι ο νέος θόρυβος του πραγματικού συστήματος. Τώρα έχουμε ( ) E Gw Dv v E Gwv Dvv GC DR GC GCR R. Οι θόρυβοι δηλαδή είναι μεταξύ τους ασυσχέτιστοι. (Ασφαλώς οι πίνακες F,D,H,R,C, είναι εν γένει χρονικά μεταβαλλόμενοι, δηλαδή F(),D() κ.τ.λ.) Φίλτρο Kalman ως παρατηρητής κατάστασης Θα μελετήσουμε το πρόβλημα της δημιουργίας ενός βέλτιστου παρατηρητή κατάστασης σε ένα σύστημα το οποίο διέπεται από θορύβους. Ο βέλτιστος αυτός παρατηρητής είναι γνωστός ως φίλτρο Kalman-Bucy. Το αποτέλεσμα που θα βγάλουμε είναι ουσιαστικά ίδιο με το Φίλτρο στο συνεχή χρόνο που ορίσαμε προηγουμένως. Όμως εδώ έχουμε ένα διαφορετικό τρόπο προσέγγισης του προβλήματος, η λύση του οποίου δίνεται με μια πολύ σαφή και κομψή διαδικασία και γι αυτό αξίζει και με το παραπάνω να τον αναφέρουμε. Έστω λοιπόν το γραμμικό σύστημα x'( ) Ax( ) Bu( ) y( ) Cx( ) Du( ) και ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν διαταραχές στην εξίσωση κατάστασης αλλά και στην έξοδο: x'( ) Ax( ) Bu( ) w( ) w N(, Q) y( ) Cx( ) Du( ) v( ) v N(, R) όπου w() και v() λευκοί θόρυβοι με τα παραπάνω στατιστικά. Λόγω των διαταραχών αυτών η εκτίμηση κατάστασης που δίνεται από τον παρατηρητή δεν είναι πλέον ακριβής και χρειάζεται βελτίωση. Η δουλειά του βέλτιστου παρατηρητή είναι να ελαχιστοποιήσει το σφάλμα εκτίμησης. Έστω ότι ο παρατηρητής είναι της μορφής 36

37 xˆ '( ) Axˆ ( ) Bu( ) G( y( ) yˆ ( )) Το σφάλμα εκτίμησης x( ) x( ) xˆ ( ) ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση x '( ) x '( ) xˆ '( ) Ax( ) Bu( ) w( ) Axˆ ( ) Bu( ) G( y( ) yˆ ( )) Ax( ) w( ) Axˆ( ) G Cx( ) Du( ) v( ) Cxˆ( ) Du( ) Ax( ) w( ) Axˆ( ) GCx( ) Gv( ) GCxˆ( ) A GC x( ) A GC xˆ ( ) w( ) Gv( ) A GC x( ) w( ) Gv() Η λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης είναι (γενική λύση+μερική): A GC A GC ( ) ( ) () ( ) ( ) x e x e w Gv d Η ελαχιστοποίηση του σφάλματος εκτίμησης ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος, αφού ο όρος έξω από αυτό δεν μπορεί να μεταβληθεί. Ορίζουμε: A GC ( ) ( ) ( ) ( ) e e w Gv d a A GC a e w( a) Gv( a) da Ο πίνακας συνδιακύμανσης του σφάλματος εκτίμησης: 37

38 A GC a A GC b E[ e( ) e( ) ] E e w( a) Gv( a) da( e w( b) Gv( b) db) A GC a A GC b E e w( a) Gv( a) e w( b) Gv( b) dadb A GC a A GC b e w( a) Gv( a) w( b) Gv( b) e dadb A GC a A GC b e E[ w( a) Gv( a) w( b) Gv( b) ] e dadb Ας υπολογίσουμε πρώτα την εσωτερική παράσταση: E[ w( a) Gv( a) w( b) Gv( b) E[ w( a) w( b) ] E[ Gv( a) v( b) G ] E[ w( a) v( b) G ] E[ Gv( a) w( b) ] Q ( b a) GRG ( b a) ( Q GRG ) ( b a) Συνολικά: A GC a A GC b E[ e( ) e( ) ] e ( Q GRG ) e ( b a) dadb A GC b A GC b e ( Q GRG ) e db w( ), v( ) αυτή είναι η ποσότητα που θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε, ή στην περίπτωση του άπειρου χρονικού ορίζοντα η A GC b A GC b e ( Q GRG ) e db. Πως θα λύσουμε λοιπόν αυτό το πρόβλημα ελαχιστοποίησης? Πολύ απλά, θα χρησιμοποιήσουμε ένα άλλο γνωστό μας πρόβλημα του οποίου ξέρουμε τη λύση και θα το μετατρέψουμε σε αυτό που θέλουμε! Το πρόβλημα λοιπόν που θα τροποποιήσουμε είναι το LQR (linear quadraic regulaor) problem. Περιγράφεται από τις εξισώσεις: x '( ) Ax( ) Bu( ) J ( x) ( x Qx u Ru) d Αν εφαρμόσουμε ανάδραση κατάστασης u()=kx() το πρόβλημα γίνεται: x'( ) Ax( ) Bu( ) Ax( ) BKx( ) ( A BK) x( ) έ της οποίας διαφορικής εξίσωσης λύση είναι η x() & u() στο συναρτησιακό θα πάρω ( A BK ) x( ) e x (). Κάνοντας αντικατάσταση τα 38

39 J( x) ( x Qx u Ru) d ( x Qx ( Kx) RKx) d ( x ( Q K RK) xd ( A BK ) ( A BK ) [[ ()] ( ) ()] e x Q K RK e x d ( A BK ) ( ) () ( A BK ( ) ) () x e Q K RK e d x και στην περίπτωση του άπειρου χρονικού ορίζοντα το ( A BK ) ( ) ( ) () ( A BK ( ) ) () J x x e Q K RK e d x Η λύση στο LQR problem δίνεται για K R B S, όπου S είναι μοναδικός, θετικά ορισμένος πίνακας που προκύπτει από τη λύση της αλγευρικής εξίσωσης Riccai: SA A S Q SBR B S Συγκρίνοντας τις εξισώσεις ( A BK ) ( A BK ) ( ) ( ( ) ) J x e Q K RK e d A GC b A GC b J ( x) e ( Q GR G ) e db noise noise A BK A C G Q K RK Qnoise GRnoiseG A A K G B C Q Qnoise R R noise Συνοψίζουμε τα παραπάνω συμπεράσματα στο θεώρημα Θεώρημα: Έστω το γραμμικό σύστημα x'( ) Ax( ) Bu( ) w( ) w N(, Q) y( ) Cx( ) Du( ) v( ) v N(, R) Αν το ζεύγος (A,C) είναι παρατηρήσιμο, τότε ο βέλτιστος παρατηρητής κατάστασης δίνεται από την εξίσωση xˆ '( ) Axˆ ( ) Bu( ) G( y( ) yˆ ( )) όπου G ( R CU) UC R και U είναι θετικά ορισμένος, λύση της αλγευρικής εξίσωσης Riccai UA AS Q UC R CU Παράδειγμα: Έστω το σύστημα 39

40 x ' x u w όπου οι w,v ικανοποιούν τα χαρακτηριστικά λευκού θορύβου y x v με 4 6 Q και R= 3 Θα βρούμε το φίλτρο Kalman του παρατηρητή κατάστασης με τη βοήθεια του Malab και συγκεκριμένα της εντολής care, ιδανική για την αλγευρική εξίσωση Riccai. a=[- ; -; -]; q=[4 6 ;6 9 3; 3 ]; a=a'; c=[ ]; c=c'; r= u=care(a,c,q,r) u = G=-u*c G = Άρα το φίλτρο Κάλμαν δίνεται από την εξίσωση.5788 xˆ '( ) Axˆ ( ) Bu( ) G( y( ) yˆ ( )) xˆ ( ) u( ).7549 ( y( ) yˆ ( ))

41 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [] Τechnical saff, he analyic sciences corporaion, edied by Arhur Gelb (974). Applied Opimal Esimaion. he MI Press. [] Feng Lin (7). Robus Conrol Design, An opimal conrol approach. John Wiley and Sons. [3] Alo Sinha (7). Linear Sysems, Opimal and Robus Conrol. CRC Press. [4] Mohinder S. Grewal, Angus P. Andrews (). Kalman Filering: heory and Pracise Using Malab. John Wiley and Sons. [5] Greg Welch, Gary Bishop (). An Inroducion o he Kalman Filer. AMC. [6] Dan Simon (6). Opimal Sae Esimaion, Kalman, H[infiniy] and Nonlinear Approaches. John Wiley and Sons. [7] he Kalman Filer (websie mainained by G.Welch and G.Bishop) hp:// [8] Kalman Filer for Dummies. hp://bilgin.esme.org/bisbyes/kalmanfilerfordummies.aspx [9] Wiipedia Aricle: hp://en.wiipedia.org/wii/kalman_filer [] Π.Ν. Παρασκευόπουλος (4), Βέλτιστος Έλεγχος, Φίλτρο Kalman, Στοχαστικός Έλεγχος. Εκδόσεις Π.Ν. Παρασκευόπουλου. [] Νικόλαος Καραμπετάκης (9). Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων. Εκδόσεις Ζήτη. [] Arhur E. Bryson,, Jr. Yu-Chi Ho (975). Applied Opimal Conrol, Opimizaion, Esimaion and Conrol. Halsed Press. [3] Σ. Κουνιάς, Χ. Μωυσιάδης (995). Θεωρία πιθανοτήτων I. Εκδόσεις Ζήτη. [4] Πανεπιστημιακές σημειώσεις Πιθανοτήτων, Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιγαίου. hp:// [5] Wiipedia Aricle: hp://en.wiipedia.org/wii/sochasic_process#coninuous_ime_and_coninuous_sae _space [6] Marix Reference Manual, Frey Lab, Probabilisic and Saisical Inference Group, Universiy of orono. hp:// [7] Δ. Φουσκάκης. Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές. 4

42 [8] Ν.Παπανδρέου Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα μηχανικών υπολογιστών & πληροφορικής. Στοχαστικά Σήματα και Εφαρμογές. [9] Δημήτρης Κουγιουμτζής. Σημειώσεις μαθήματος «Χρονικές Σειρές» του μεταπτυχιακού προγράμματος Στατιστική και Επιχειρησιακή Έρευνα, Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. 4

Η «απρέπεια» των ανθρώπων της 4 ης Αυγούστου. απέναντι στον Τίμο Μωραϊτίνη

Η «απρέπεια» των ανθρώπων της 4 ης Αυγούστου. απέναντι στον Τίμο Μωραϊτίνη Η «απρέπεια» των ανθρώπων της 4 ης Αυγούστου απέναντι στον Τίμο Μωραϊτίνη (Με αυτόν τον τίτλο παραθέτουμε κείμενο υπογεγραμμένο από τον γιό του συγγραφέα Γιώργο Μωραϊτίνη αναφερόμενο στη φήμη ότι τον Ύμνο

Διαβάστε περισσότερα

Όταν το μάθημα της πληροφορικής γίνεται ανθρωποκεντρικό μπορεί να αφορά και την εφηβεία.

Όταν το μάθημα της πληροφορικής γίνεται ανθρωποκεντρικό μπορεί να αφορά και την εφηβεία. Όταν το μάθημα της πληροφορικής γίνεται ανθρωποκεντρικό μπορεί να αφορά και την εφηβεία. Στόχος μας : να χρησιμοποιήσουμε τον υπολογιστή και το διαδίκτυο για να αντλήσουμε σωστές πληροφορίες, να τις επεξεργαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Δαλιάνη Δήμητρα Λίζας Δημήτρης Μπακομήτρου Ελευθερία Ντουφεξιάδης Βαγγέλης

Δαλιάνη Δήμητρα Λίζας Δημήτρης Μπακομήτρου Ελευθερία Ντουφεξιάδης Βαγγέλης Δαλιάνη Δήμητρα Λίζας Δημήτρης Μπακομήτρου Ελευθερία Ντουφεξιάδης Βαγγέλης Αισθηματικές ταινίες Bιογραφικές ταινίες Βωβές ταινίες Δραματικές ταινίες Επιστημονικής φαντασίας Μικρού μήκους Πολιτικές Πολεμικές

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές οδηγίες διακοπής καπνίσματος βήμα προς βήμα

Αναλυτικές οδηγίες διακοπής καπνίσματος βήμα προς βήμα Αναλυτικές οδηγίες διακοπής καπνίσματος βήμα προς βήμα Αυτό είναι το πιο ουσιαστικό στάδιο στην όλη προσπάθειά σας. Το στάδιο που αρχίζει τη στιγμή που ο καπνιστής αποφασίζει πως δε θα ξαναβάλει τσιγάρο

Διαβάστε περισσότερα

Ασφάλεια στις εργασίες κοπής μετάλλων

Ασφάλεια στις εργασίες κοπής μετάλλων Μάθημα 2.1 Ασφάλεια στις εργασίες κοπής μετάλλων 1.1 Εργασίες κοπής με χρήση φλόγας 1.1.1 Φιάλες αερίων Τα μέτρα ασφάλειας, συνδέονται με τη φύση του κάθε αερίου. Υπάρχουν όμως και ορισμένοι γενικοί κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

Μια νέα φωτεινή σελίδα της ιστορίας μας

Μια νέα φωτεινή σελίδα της ιστορίας μας 1 Μια νέα φωτεινή σελίδα της ιστορίας μας Ο Γράμμος και το Βίτσι, η Πίνδος και η Κορυτσά θα μείνουν οι αιώνιοι μάρτυρες μιας υπέροχης θυσίας. Στις άγριες και απόκρημνες κορφές της Πίνδου και του Γράμμου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΒΑΣΗ ΔΠΑ/ΕΠ-6489/2012

ΣΥΜΒΑΣΗ ΔΠΑ/ΕΠ-6489/2012 Διεύθυνση Περιφέρειας Αττικής ΣΥΜΒΑΣΗ ΔΠΑ/ΕΠ-6489/2012 ΑΠΟΚΟΠΕΣ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΦΟΡΕΣ ΛΟΓΩ ΧΡΕΟΥΣ ΠΑΡΟΧΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΑΙΤΗΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΟΥ ΔΙΑΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Άρθρο 1: Αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΚΑΛΑΣ Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΚΑΛΑΣ Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΚΑΛΑΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΩΝ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 2011-12 i ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΚΑΛΑΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Ειδικού Θεματικού Προγράμματος: «Διοίκηση, Οργάνωση και Πληροφορική για Μικρο-μεσαίες Επιχειρήσεις»

Τίτλος Ειδικού Θεματικού Προγράμματος: «Διοίκηση, Οργάνωση και Πληροφορική για Μικρο-μεσαίες Επιχειρήσεις» ΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ, ΒΑΣΙΚΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΑΙΓΑΙΟΠΕΛΑΓΙΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Τίτλος Ειδικού Θεματικού Προγράμματος: «Διοίκηση, Οργάνωση και Πληροφορική για Μικρο-μεσαίες

Διαβάστε περισσότερα

Φλωρεντία, 10 Δεκεμβρίου 1513 Προς τον: ΦΡΑΓΚΙΣΚΟ ΒΕΤΤΟΡΙ, Πρέσβη της Φλωρεντίας στην Αγία Παπική Έδρα, Ρώμη. Εξοχώτατε Πρέσβη,

Φλωρεντία, 10 Δεκεμβρίου 1513 Προς τον: ΦΡΑΓΚΙΣΚΟ ΒΕΤΤΟΡΙ, Πρέσβη της Φλωρεντίας στην Αγία Παπική Έδρα, Ρώμη. Εξοχώτατε Πρέσβη, (Ο Νικολό Μακιαβέλι, μέσα από μία επιστολή του, περιγράφει την ζωή του στο κτήμα του, στο οποίο είχε αποτραβηχτεί, μετά το 1513 που οι Μεδίκοι ανακατέλαβαν την εξουσία.) Φλωρεντία, 10 Δεκεμβρίου 1513 Προς

Διαβάστε περισσότερα

Καλωσόρισμα επισήμων. Κυρίες και κύριοι,

Καλωσόρισμα επισήμων. Κυρίες και κύριοι, 1 Καλωσόρισμα επισήμων Κυρίες και κύριοι, Εκ μέρους των μελών του Διοικητικού μας συμβουλίου, σας καλωσορίσω στο 17 ο Ετήσιο Συνέδριο της Συνομοσπονδίας μας, μέσα από τις εργασίες του οποίου αισιοδοξούμε

Διαβάστε περισσότερα

Θερινά ΔΕΝ 2011 "ακολουθώντας τη ροή" - η ματιά μου

Θερινά ΔΕΝ 2011 ακολουθώντας τη ροή - η ματιά μου 1/5 Τετάρτη 24 Αυγούστου 2011- Άννη Βασιλείου, Υπεύθυνη δράσης Δ.Ε.Ν. Θερινά ΔΕΝ 2011 "ακολουθώντας τη ροή" - η ματιά μου Μέρη του όλου - Τι ζωγράφισες; ρώτησε η εμψυχώτρια το κορίτσι. - Το όλον. απάντησε

Διαβάστε περισσότερα

03-00: Βιομάζα για παραγωγή ενέργειας Γενικά ζητήματα εφοδιαστικών αλυσίδων

03-00: Βιομάζα για παραγωγή ενέργειας Γενικά ζητήματα εφοδιαστικών αλυσίδων Κεφάλαιο 03-00 σελ. 1 03-00: Βιομάζα για παραγωγή ενέργειας Γενικά ζητήματα εφοδιαστικών αλυσίδων Μια από τις κύριες διαφορές μεταξύ της βιομάζας και των ορυκτών καυσίμων είναι ότι η βιομάζα παραμένει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΦΡΑΓΜΑ ΤΟΥ ΑΠΟΣΕΛΕΜΗ: ΦΥΣΙΚΟ ΕΓΚΛΗΜΑ ΣΕ ΒΑΡΟΣ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΣΕ ΒΑΡΟΣ ΤΗΣ ΑΝΘΡΩΠΟΤΗΤΟΣ

ΤΟ ΦΡΑΓΜΑ ΤΟΥ ΑΠΟΣΕΛΕΜΗ: ΦΥΣΙΚΟ ΕΓΚΛΗΜΑ ΣΕ ΒΑΡΟΣ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΣΕ ΒΑΡΟΣ ΤΗΣ ΑΝΘΡΩΠΟΤΗΤΟΣ ΤΟ ΦΡΑΓΜΑ ΤΟΥ ΑΠΟΣΕΛΕΜΗ: ΦΥΣΙΚΟ ΕΓΚΛΗΜΑ ΣΕ ΒΑΡΟΣ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΣΕ ΒΑΡΟΣ ΤΗΣ ΑΝΘΡΩΠΟΤΗΤΟΣ ΑΛΜΥΡΟΣ ΠΟΤΑΜΟΣ: Η ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΑ ΑΔΑΠΑΝΗ ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΥΔΡΟΔΟΤΗΣΕΩΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ,

Διαβάστε περισσότερα

Σ Χ Ο Λ Η :Δ ΙΟ ΙΚ Η Σ Η Σ Κ Α Ι Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΑ Σ ΤΜ Η Μ Α : Λ Ο Γ ΙΣ Τ ΙΚ Η Σ. ιιιιιιι. Θέμα: Συναλλαγματική Γραμμάτιο εις Δ ια ταγήν Επιταγή

Σ Χ Ο Λ Η :Δ ΙΟ ΙΚ Η Σ Η Σ Κ Α Ι Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΑ Σ ΤΜ Η Μ Α : Λ Ο Γ ΙΣ Τ ΙΚ Η Σ. ιιιιιιι. Θέμα: Συναλλαγματική Γραμμάτιο εις Δ ια ταγήν Επιταγή τ.ε.ι. Κ Α Β Α Λ Α Σ Σ Χ Ο Λ Η :Δ ΙΟ ΙΚ Η Σ Η Σ Κ Α Ι Ο ΙΚ Ο Ν Ο Μ ΙΑ Σ ΤΜ Η Μ Α : Λ Ο Γ ΙΣ Τ ΙΚ Η Σ ιιιιιιι Θέμα: Συναλλαγματική Γραμμάτιο εις Δ ια ταγήν Επιταγή Καθηγητής: Τσαρουχάς Αναστάσιος Σπουδάστριες:

Διαβάστε περισσότερα

Το σχολείο πρέπει να ικανοποιεί με τα ωράριά του το πρόγραμμα των γονέων.

Το σχολείο πρέπει να ικανοποιεί με τα ωράριά του το πρόγραμμα των γονέων. Cover Story Το σχολείο πρέπει να ικανοποιεί με τα ωράριά του το πρόγραμμα των γονέων. Φωτογραφίες: Δημήτρης Διακογιάννης Cover Ελευθέριος Γείτονας Γενικός Διευθυντής Εκπαιδευτηρίων Γείτονα 38 ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΝΑΣΚΑΦΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΝΑΣΚΑΦΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡ. & ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧ. ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΝΑΣΚΑΦΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ Γ.Ν. ΜΑΚΡΗΣ ΑΘΗΝΑ, 2011 1 Γενικά Εδώ και πολλά χρόνια, οι ανασκαφικές έρευνες δέχονται τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Απώλεια και μετασχηματισμοί της τραυματικής εμπειρίας. Παντελής Παπαδόπουλος

Απώλεια και μετασχηματισμοί της τραυματικής εμπειρίας. Παντελής Παπαδόπουλος Απώλεια και μετασχηματισμοί της τραυματικής εμπειρίας Παντελής Παπαδόπουλος Αγαπητοί φίλοι, κυρίες και κύριοι Είναι τιμή για μένα και αισθάνομαι ιδιαίτερη χαρά που συμμετέχω ενεργά στην ημερίδα αυτή. Το

Διαβάστε περισσότερα

Αρμέγει δήθεν ο Γιώργος τα πρόβατά του κάθε πρωί και γεμίζει καρδάρες με γάλα το οποίο αποθηκεύεται σε δοχεία μεγάλης χωρητικότητας και μεταφέρεται σ

Αρμέγει δήθεν ο Γιώργος τα πρόβατά του κάθε πρωί και γεμίζει καρδάρες με γάλα το οποίο αποθηκεύεται σε δοχεία μεγάλης χωρητικότητας και μεταφέρεται σ Αρμέγει δήθεν ο Γιώργος τα πρόβατά του κάθε πρωί και γεμίζει καρδάρες με γάλα το οποίο αποθηκεύεται σε δοχεία μεγάλης χωρητικότητας και μεταφέρεται σ εργοστάσιο επίσης δήθεν δικής του ιδιοκτησίας όπου

Διαβάστε περισσότερα

Στεκόμαστε αλληλέγγυοι σ όσους, ατομικά ή συλλογικά επανακτούν αυτά που νόμιμα μας κλέβουν οι εξουσιαστές.

Στεκόμαστε αλληλέγγυοι σ όσους, ατομικά ή συλλογικά επανακτούν αυτά που νόμιμα μας κλέβουν οι εξουσιαστές. Εγώ καταληστεύω καθημερινά τον πολίτη αυτής της χώρας. Εγώ τον φέρνω κάθε τέλος του μήνα σε απόγνωση, όταν συνειδητοποιεί ότι δεν θα μπορέσει να ανταπεξέλθει στις οικονομικές του υποχρεώσεις. Εγώ τον αναγκάζω

Διαβάστε περισσότερα

Για το βιβλίο του Αντώνη Κακαρά ΟΞΩ ΑΠ Τ ΑΜΠΕΛΙΑ ΡΕΕΕ. της Νάντιας Βαλαβάνη. Ομιλία στην παρουσίασή του στη Στοά του Βιβλίου, την 20.05.

Για το βιβλίο του Αντώνη Κακαρά ΟΞΩ ΑΠ Τ ΑΜΠΕΛΙΑ ΡΕΕΕ. της Νάντιας Βαλαβάνη. Ομιλία στην παρουσίασή του στη Στοά του Βιβλίου, την 20.05. Για το βιβλίο του Αντώνη Κακαρά ΟΞΩ ΑΠ Τ ΑΜΠΕΛΙΑ ΡΕΕΕ της Νάντιας Βαλαβάνη Ομιλία στην παρουσίασή του στη Στοά του Βιβλίου, την 20.05.2008 Αγαπητές φίλες και φίλοι, «Όπως όλες οι αυτοβιογραφίες, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

Η ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Η ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Αστρονομία (από το άστρο + νόμος) είναι η επιστήμη που μελετά όλα τα ουράνια αντικείμενα πέρα από τη Γη και το άμεσο περιβάλλον της, και συγκεκριμένα τη Σελήνη, τον Ήλιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΑΠΗΤΕ ΑΝΑΓΝΩΣΤΗ (σελ. 19) ΚΑΛΗΜΕΡΑ (σελ. 29). Τώρα που ξεκινάς αυτή την ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ (σελ. 31) αντιμετώπισε

ΑΓΑΠΗΤΕ ΑΝΑΓΝΩΣΤΗ (σελ. 19) ΚΑΛΗΜΕΡΑ (σελ. 29). Τώρα που ξεκινάς αυτή την ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ (σελ. 31) αντιμετώπισε Περιεχόμενα ΑΓΑΠΗΤΕ ΑΝΑΓΝΩΣΤΗ (σελ. 19) ΚΑΛΗΜΕΡΑ (σελ. 29). Τώρα που ξεκινάς αυτή την ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ (σελ. 31) αντιμετώπισε στο λίγο ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΧΡΟΝΟ σου (σελ. 43) με ΘΑΡΡΟΣ (σελ. 47) τις ΑΝΤΙΞΟΟΤΗΤΕΣ (σελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΔΙΑΙΤΟΛΟΓΟΥ ΠΕΛΑΤΗ. Τσίτσας Γεώργιος Ph.D. Διδακτικό Προσωπικό, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών, Συμβουλευτικός Ψυχολόγος

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΔΙΑΙΤΟΛΟΓΟΥ ΠΕΛΑΤΗ. Τσίτσας Γεώργιος Ph.D. Διδακτικό Προσωπικό, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών, Συμβουλευτικός Ψυχολόγος ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΔΙΑΙΤΟΛΟΓΟΥ ΠΕΛΑΤΗ Τσίτσας Γεώργιος Ph.D. Διδακτικό Προσωπικό, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Αθηνών, Συμβουλευτικός Ψυχολόγος 3 >> 0 >> 1 >> 2 >> 3 >> 4 >> >> 0 >> 1 >> 2 >> 3 >> 4 >> >> 0 >> 1 >>

Διαβάστε περισσότερα

Μια «γριά» νέα. Εύα Παπώτη

Μια «γριά» νέα. Εύα Παπώτη Εύα Παπώτη Μια «γριά» νέα Πρωτογνώρισα την Κατερίνα ως μαθήτρια λυκείου στο φροντιστήριο μέσης εκπαίδευσης στο οποίο εργαζόμουν ως φιλόλογος. Σήμερα είναι τριάντα ετών. Σε μια συνάντησή μας, λίγο πριν

Διαβάστε περισσότερα

Παραδοσιακή Αρχιτεκτονική και Σύγχρονοι Προβληματισμοί. Ανάλυση ενός Παραδοσιακού Οικισμού της Κύπρου- Ασκάς Εαρινό εξάμηνο 16.2.

Παραδοσιακή Αρχιτεκτονική και Σύγχρονοι Προβληματισμοί. Ανάλυση ενός Παραδοσιακού Οικισμού της Κύπρου- Ασκάς Εαρινό εξάμηνο 16.2. Παραδοσιακή Αρχιτεκτονική και Σύγχρονοι Προβληματισμοί Μαζέρη Γεωργία Πάρπα Δέσποινα Ανάλυση ενός Παραδοσιακού Οικισμού της Κύπρου- Ασκάς Εαρινό εξάμηνο 16.2.10 Ασκάς: Γενικές Πληροφορίες Ποταμός Δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

O ΑΓΩΝΑΣ ΤΟΥ ΕΦΗΒΟΥ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ

O ΑΓΩΝΑΣ ΤΟΥ ΕΦΗΒΟΥ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ Διαγώνισμα Έκφρασης Έκθεσης Α Λυκείου Όνομα: Επώνυμο: Τμήμα: Ημερομηνία: 13.04.2014 Κείμενο Α O ΑΓΩΝΑΣ ΤΟΥ ΕΦΗΒΟΥ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ Ανησυχώντας για την απειρία των παιδιών τους, που μπαίνουν στον κόσμο των

Διαβάστε περισσότερα

Οι 21 όροι του Λένιν

Οι 21 όροι του Λένιν Οι 21 όροι του Λένιν 1. Όλη η προπαγάνδα και η αναταραχή, πρέπει να φέρουν έναν πραγματικά κομμουνιστικό χαρακτήρα και σύμφωνα με το πρόγραμμα και τις αποφάσεις της Κομμουνιστικής Διεθνούς. Όλα τα όργανα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2008 ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΤΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ ΑΡΧΗΓΟ ΤΗΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΤΙΠΟΛΙΤΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΕΔΡΟ ΤΟΥ ΠΑΣΟΚ

ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2008 ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΤΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ ΑΡΧΗΓΟ ΤΗΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΤΙΠΟΛΙΤΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΕΔΡΟ ΤΟΥ ΠΑΣΟΚ ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2008 ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΤΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ ΠΡΟΣ κ. ΓΕΩΡΓΙΟ ΠΑΠΑΝΔΡΕΟΥ ΑΡΧΗΓΟ ΤΗΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΤΙΠΟΛΙΤΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΕΔΡΟ ΤΟΥ ΠΑΣΟΚ Θέμα: Θέσεις της ΚΕΕΕ για την ελληνική οικονομία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μ ΟΝΑΔΩ Ν ΥΓΕΙΑΣ - ΠΡΟΝΟΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μ ΟΝΑΔΩ Ν ΥΓΕΙΑΣ - ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΕΙ ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μ ΟΝΑΔΩ Ν ΥΓΕΙΑΣ - ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ "Η Γυναικεία Απασχόληση στην Παροχή της Υγείας στον Νομό Μεσσηνίας" Σποοδάστριες: Κωστούλα

Διαβάστε περισσότερα

Σοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια

Σοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια Σοφία Γιουρούκου, Ψυχολόγος Συνθετική Ψυχοθεραπεύτρια Η αντίδραση στο άγχος είναι μία φυσιολογική, ζωτική αντίδραση στην απειλή. Το άγχος είναι ένα συναίσθημα δυσθυμίας που προέρχεται από την υποκειμενική

Διαβάστε περισσότερα

στήλη υγιεινολόγων στόματος

στήλη υγιεινολόγων στόματος στήλη υγιεινολόγων στόματος ή μπορεί να οδηγήσει στη γέννηση πρόωρου ελλειποβαρούς μωρού. Εάν πάσχετε από διαβήτη, αναπνευστικές διαταραχές ή οστεοπόρωση, είναι ιδιαίτερα σημαντικό να διατηρείτε υγιή και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Ακολουθεί ολόκληρη η τοποθέτηση - παρέμβαση του Υπουργού Δ.Μ.&Η.Δ.

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Ακολουθεί ολόκληρη η τοποθέτηση - παρέμβαση του Υπουργού Δ.Μ.&Η.Δ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΡΡΥΘΜΙΣΗΣ & ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΤΥΠΟΥ Αθήνα, 18 Ιουνίου 2013 ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ Ο Υπουργός Διοικητικής Μεταρρύθμισης και Ηλεκτρονικής Διακυβέρνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 10: Φιλοσοφική Συμβουλευτική. Παρούσης Μιχαήλ. Τμήμα Φιλοσοφίας

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 10: Φιλοσοφική Συμβουλευτική. Παρούσης Μιχαήλ. Τμήμα Φιλοσοφίας ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΗΘΙΚΗ Ενότητα 10: Φιλοσοφική Συμβουλευτική Παρούσης Μιχαήλ Τμήμα Φιλοσοφίας 1 Σκοπός ενότητας Θα εξετάσουμε πώς θα μπορούσαμε να αντιμετωπίσουμε βιοτικές καταστάσεις μέσα από τον κλάδο της

Διαβάστε περισσότερα

Κατερίνα Παναγοπούλου: Δημιουργώντας κοινωνικό κεφάλαιο την εποχή της κρίσης

Κατερίνα Παναγοπούλου: Δημιουργώντας κοινωνικό κεφάλαιο την εποχή της κρίσης Κατερίνα Παναγοπούλου Πρέσβυς της Ελλάδας στο Συμβούλιο της Ευρώπης, πρόεδρος του σωματείου γυναικών «Καλλιπάτειρα». Πρώτο βραβείο «Γυναίκα και Αθλητισμός» 2012 για την Ευρώπη. Δημιουργώντας κοινωνικό

Διαβάστε περισσότερα

Σκοτεινές Ομάδες, Σέκτες, Τάγματα & Αδελφότητες. Συντάχθηκε απο τον/την Νεφέλη

Σκοτεινές Ομάδες, Σέκτες, Τάγματα & Αδελφότητες. Συντάχθηκε απο τον/την Νεφέλη Τι είναι; Ξεκινώντας, θα ήθελα να διευκρινίσω και να τονίσω ότι δεν είναι όλα τα Τάγματα, Ομάδες, Αδελφότητες και Σέκτες ίδια. Υπάρχουν αρκετά, που έχουν ιδρυθεί εδώ και αρκετά χρόνια (μερικά έως και αιώνες)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΝΘΡΩΠΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΑΣ Π.Μ.Σ. «ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΚΑΙ ΦΥΛΑ: ΑΝΘΡΩΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΝΘΡΩΠΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΑΣ Π.Μ.Σ. «ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΚΑΙ ΦΥΛΑ: ΑΝΘΡΩΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΝΘΡΩΠΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΑΣ Π.Μ.Σ. «ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΚΑΙ ΦΥΛΑ: ΑΝΘΡΩΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: Γυναικείοι Συνεταιρισμοί: εκδοχή ή εργασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Ομιλία του Υφυπουργού Ανάπτυξης κου Θανάση Σκορδά στο CapitalVision 2012

Ομιλία του Υφυπουργού Ανάπτυξης κου Θανάση Σκορδά στο CapitalVision 2012 Ομιλία του Υφυπουργού Ανάπτυξης κου Θανάση Σκορδά στο CapitalVision 2012 Κυρίες, κύριοι, Η έννοια της ανάπτυξης είναι τόσο πολυφορεμένη στο σύγχρονο πολιτικό λεξιλόγιο, που αν δεν δώσουμε, ο καθένας από

Διαβάστε περισσότερα

Το φθινόπωρο του 1977 μ.χ.

Το φθινόπωρο του 1977 μ.χ. ΦΙΛΙΠΠΟΣ Β Ο ΕΛΛΗΝ ΒΑΣΙΛΕΥΣ ΤΩΝ ΜΑΚΕΔΟΝΩΝ ΚΕΙΜΕΝΟ-ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΕΣ: Υπτγος ε.α. Γεώργιος Βασιλείου Το φθινόπωρο του 1977 μ.χ. στη Βεργίνα της Μακεδονίας κατά την ανασκαφή της Μεγάλης Τούμπας, η αρχαιολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΧΙΙΙ Επιτροπή Εκπαιδευτικής Υπηρεσίας

ΧΙΙΙ Επιτροπή Εκπαιδευτικής Υπηρεσίας ΧΙΙΙ Επιτροπή Εκπαιδευτικής Υπηρεσίας Στο Προτεινόμενο Σχέδιο Αξιολόγησης ο ρόλος της Επιτροπή Εκπαιδευτικής Υπηρεσίας (Ε.Ε.Υ) είναι ιδιαίτερα σημαντικός. Οι αρμοδιότητες της Ε.Ε.Υ έχουν αναβαθμιστεί ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΔΗΜΟΣ ΓΑΖΙΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΔΗΜΟΣ ΓΑΖΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΚΡΗΤΗΣ ΝΟΜΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΔΗΜΟΣ ΓΑΖΙΟΥ Αριθμ. αποφ.:30/2007 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜOY 3/2007 ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΤΗΣ 25-01-2007 Σήμερα την 25 η του μηνός Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή: ακαδηµαϊκά αδικήµατα και κυρώσεις

Εισαγωγή: ακαδηµαϊκά αδικήµατα και κυρώσεις Εισαγωγή: ακαδηµαϊκά αδικήµατα και κυρώσεις Σύµφωνα µε τον εσωτερικό κανονισµό του Πανεπιστηµίου Κρήτης κυρίαρχα δικαιώµατα των φοιτητών είναι το δικαίωµα στη µάθηση και η ελεύθερη διακίνηση των ιδεών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΡΑΣΗ-ΕΚΘΕΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο Λύκειο Καισαριανής ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ: Κείμενα Προβληματισμού

ΕΚΦΡΑΣΗ-ΕΚΘΕΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο Λύκειο Καισαριανής ΕΠΑΓΓΕΛΜΑ: Κείμενα Προβληματισμού Τι θα πρέπει να λάβει υπόψη του ο νέος, πριν τελικά επιλέξει το επάγγελμα που θα ασκήσει Το επάγγελμα, είτε είναι λειτούργημα είτε όχι, έχει ζωτική σημασία για τον άνθρωπο. Συντελεί στην προσωπική του

Διαβάστε περισσότερα

www.kapalearn.gr e-mail: info@kapalearn.gr ΚΟΡΙΝΘΟΥ 255, ΚΑΝΑΚΑΡΗ 101 ΤΗΛ. 2610 625.360, 2610 624.009, FAX 2610 625.366

www.kapalearn.gr e-mail: info@kapalearn.gr ΚΟΡΙΝΘΟΥ 255, ΚΑΝΑΚΑΡΗ 101 ΤΗΛ. 2610 625.360, 2610 624.009, FAX 2610 625.366 Α. Ο άνθρωπος, όπως υπογραμμίζει ο συγγραφέας, δεν είναι ρυθμιστής του κόσμου, παρά διαχειριστής του. Αυτή την παρεξήγηση, που ίσχυε για αιώνες, θέλησε να διαλύσει ο πανεπιστήμων άνθρωπος της Αναγέννησης,

Διαβάστε περισσότερα

και άσε τον Κύριο να βρει ποιοί είναι σι δικοί του. Και τώρα, σ' αυτό το παλτό κάστρο του δάσους, οι κόρες του, που μόλις γίνανε γυναίκες,

και άσε τον Κύριο να βρει ποιοί είναι σι δικοί του. Και τώρα, σ' αυτό το παλτό κάστρο του δάσους, οι κόρες του, που μόλις γίνανε γυναίκες, " Στην ηρωική εποχή, που την Ισπανία κυβερνούσαν ο Φερδινάνδος και η Ισαβέλλα, και αυτούς κυβερνούσε ο Τορκουεμάδα με τον λεπτοφυή του εγκέφαλο, σαν Μεγάλος Ιεροεξεταστής της Ισπανίας, σ ένα μεγάλο κάστρο

Διαβάστε περισσότερα

η ΑΚΡΟΠΟΛΗ του ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΑΡΔΙΚΙΟΥ Ο λόφος «Καστρί» στο βόρειο τμήμα του λεκανοπεδίου των Ιωαννίνων.

η ΑΚΡΟΠΟΛΗ του ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΑΡΔΙΚΙΟΥ Ο λόφος «Καστρί» στο βόρειο τμήμα του λεκανοπεδίου των Ιωαννίνων. η ΑΚΡΟΠΟΛΗ του ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΑΡΔΙΚΙΟΥ Ο λόφος «Καστρί» στο βόρειο τμήμα του λεκανοπεδίου των Ιωαννίνων. Θέση και ιστορία Ο οχυρωμένος οικισμός - ακρόπολη στην κορυφή του λόφου «Καστρί» Μεγάλου Γαρδικίου, αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΚΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΛΑΤΗ

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΚΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΛΑΤΗ ΒΙΩΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΚΑΙ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΛΑΤΗ «ΔΙΚΤΥΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗ ΓΥΝΑΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΩΝ ΣΤΟ ΘΡΙΑΣΙΟ ΠΕΔΙΟ» ΔΡΑΣΗ 16 -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΛΗΨΕΙΣ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΕΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ 1420-1820

ΠΡΟΣΛΗΨΕΙΣ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΕΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ 1420-1820 ΠΡΟΣΛΗΨΕΙΣ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΕΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ 1420-1820 Διαταράξεις της µνήµης στην Ακρόπολη Στην Ακρόπολη των Αθηνών, την άνοιξη του 1936, ο Ζίγκµουντ Φρόυντ διαπίστωνε έκπληκτος ότι η πόλη πράγµατι υπήρχε και ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΤΩΝΑΣ. 427 π.χ. - 347 π.χ.

ΠΛΑΤΩΝΑΣ. 427 π.χ. - 347 π.χ. ΠΛΑΤΩΝΑΣ 427 π.χ. - 347 π.χ. Έργα Ίωνας, Ευθύφρων, Απολογία, Κρίτων, Φαίδων, Χαρµίδης, Λάχης, Γοργίας, Κρατύλος, Ευθύδηµος, Μένων, Συµπόσιον, Φαίδρος, Πολιτεία, Θεαίτητος, Παρµενίδης, Σοφιστής, Πολιτικός,

Διαβάστε περισσότερα

Αντωνία Αθανασοπούλου

Αντωνία Αθανασοπούλου Πίνακας 1. Μέθοδοι αντιµετώπισης της διάβρωσης (ορύγµατα) Λοφίσκος στην κορυφή του ορύγµατος Ανάχωµα παροχέτευσης Αναβαθµοί Αγωγοί στράγγισης Σπορά / Κάλυψη µε άχυρα Χλοοτάπητας Προσωρινή κάλυψη Οδοντωτή

Διαβάστε περισσότερα

TEI ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ

TEI ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ TEI ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ : ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΑΙΟΙΚΗΣΗΣ ΦΟΡΕΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΠΟΡΡΙΜΜΑΤΩΝ «ΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΟΥ ΔΗΜΟΥ ΝΙΚΑΙΑΣ» ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΑΓΓΕΛΙΔΗΣ ΙΠΑΝΝΗΣ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Oταν ξεκινούσαμε το Κοιτάω Μπροστά πριν από λίγα χρόνια,

Oταν ξεκινούσαμε το Κοιτάω Μπροστά πριν από λίγα χρόνια, Αφιερωμένο στους γονείς μου που μου έδειξαν τον ουρανό και με άφησαν να ονειρευτώ στον αδελφό μου που είναι πάντα η πυξίδα μου όταν χάνω το δρόμο μου στον Ανδρέα που μ αγάπησε όπως ονειρεύτηκα και συνεχίζει

Διαβάστε περισσότερα

ταν αρκετά αργά το πρωί όταν το σκοτάδι άρχισε να διαλύεται. Η Ζόγια Νικολάγεβνα Πέτροβα, χοντρή και σκοτεινή, περπατούσε γεμάτη αποφασιστικότητα στο

ταν αρκετά αργά το πρωί όταν το σκοτάδι άρχισε να διαλύεται. Η Ζόγια Νικολάγεβνα Πέτροβα, χοντρή και σκοτεινή, περπατούσε γεμάτη αποφασιστικότητα στο Στο Πάρκο Πετρόφσκι ταν αρκετά αργά το πρωί όταν το σκοτάδι άρχισε να διαλύεται. Η Ζόγια Νικολάγεβνα Πέτροβα, χοντρή και σκοτεινή, περπατούσε γεμάτη αποφασιστικότητα στο Πάρκο Πετρόφσκι, τυλιγμένη με στρώματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΟΜΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΧΑΡΤΑΕΤΟΣ. 22/1/2012 4:16 μμ 11o Γυμνάσιο Λάρισας Βλαχοδήμου Ευπραξία

ΑΤΟΜΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΧΑΡΤΑΕΤΟΣ. 22/1/2012 4:16 μμ 11o Γυμνάσιο Λάρισας Βλαχοδήμου Ευπραξία ΑΤΟΜΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΧΑΡΤΑΕΤΟΣ 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Παιχνίδι ή εξάρτημα για άθληση ή αναψυχή, που υψώνεται στον αέρα με τη δύναμη τού ανέμου. Αποτελείται από έναν ελαφρύ σκελετό ποικίλου σχήματος, που καλύπτεται με

Διαβάστε περισσότερα

Η Ιστορία του Αγγελιοφόρου Όπως αποκαλύφθηκε στον Μάρσαλ Βιάν Σάμμερς στης 23 Μάιου 2011 στο Μπόλντερ, Κολοράντο, ΗΠΑ

Η Ιστορία του Αγγελιοφόρου Όπως αποκαλύφθηκε στον Μάρσαλ Βιάν Σάμμερς στης 23 Μάιου 2011 στο Μπόλντερ, Κολοράντο, ΗΠΑ Η Ιστορία του Αγγελιοφόρου Όπως αποκαλύφθηκε στον Μάρσαλ Βιάν Σάμμερς στης 23 Μάιου 2011 στο Μπόλντερ, Κολοράντο, ΗΠΑ Σήμερα θα πούμε την ιστορία του Αγγελιοφόρου. Είναι μια ιστορία που ενέχει πολλή δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Ο τίτλος της εργασία μας για αυτό το τετράμηνο ήταν «Πολίτες της πόλης μου, πολίτες της οικουμένης». Κλιθήκαμε λοιπόν να γνωρίσουμε καλύτερα την πόλη

Ο τίτλος της εργασία μας για αυτό το τετράμηνο ήταν «Πολίτες της πόλης μου, πολίτες της οικουμένης». Κλιθήκαμε λοιπόν να γνωρίσουμε καλύτερα την πόλη Ο τίτλος της εργασία μας για αυτό το τετράμηνο ήταν «Πολίτες της πόλης μου, πολίτες της οικουμένης». Κλιθήκαμε λοιπόν να γνωρίσουμε καλύτερα την πόλη μας και καταγράψουμε τις παρατηρήσεις μας. Αρχικά δεν

Διαβάστε περισσότερα

Συνεταιριστική Οικονομία

Συνεταιριστική Οικονομία Συνεταιριστική Οικονομία Ενότητα 10: Η Συνεταιριστική Ανάπτυξη Κοντογεώργος Αχιλλέας Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΡΙΘΜ. ΠΡΩΤ. : 18379 ΝΟΜΟΣ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΑΜΥΝΤΑΙΟ 11/09/2015 ΔΗΜΟΣ ΑΜΥΝΤΑΙΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΡΙΘΜ. ΠΡΩΤ. : 18379 ΝΟΜΟΣ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΑΜΥΝΤΑΙΟ 11/09/2015 ΔΗΜΟΣ ΑΜΥΝΤΑΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΡΙΘΜ. ΠΡΩΤ. : 18379 ΝΟΜΟΣ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΑΜΥΝΤΑΙΟ 11/09/2015 ΔΗΜΟΣ ΑΜΥΝΤΑΙΟΥ ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΔΗΜΟΠΡΑΣΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΜΙΣΘΩΣΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ 20,02171 στρ ΣΤΗΝ Τ.Κ.ΛΙΜΝΟΧΩΡΙΟΥ ΔΗΜΟΥ ΑΜΥΝΤΑΙΟΥ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΒΟΛΙΣΜΟΣ. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΙ: Την ενέργεια και τα υλικά που οι. ΕΝΖΥΜΑ- ΒΙΟΛΟΓΙΚΟΙ ΚΑΤΑΛΥΤΕΣ:Τα ένζυμα καταλύουν

ΜΕΤΑΒΟΛΙΣΜΟΣ. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΙ: Την ενέργεια και τα υλικά που οι. ΕΝΖΥΜΑ- ΒΙΟΛΟΓΙΚΟΙ ΚΑΤΑΛΥΤΕΣ:Τα ένζυμα καταλύουν ΜΕΤΑΒΟΛΙΣΜΟΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΙ: Την ενέργεια και τα υλικά που οι οργανισμοί εξασφαλίζουν από το περιβάλλον τους συνήθως δεν μπορούν να τα αξιοποιήσουν άμεσα. Η αξιοποίησή τους προϋποθέτει τη μετατροπή

Διαβάστε περισσότερα

Ευρετήριο πινάκων. Ασκήσεις και υπομνήματα

Ευρετήριο πινάκων. Ασκήσεις και υπομνήματα Ευρετήριο πινάκων Ασκήσεις και υπομνήματα Ανάγνωση, για να ταυτιστεί και να προβάλει τα συναισθήματά του Ανακαλύψτε την προέλευση των πιστεύω σας Απαλή μουσική ως φάρμακο για τις εντάσεις και την απογοήτευση

Διαβάστε περισσότερα

Το σύμπαν μέσα στο οποίο αναδύεστε

Το σύμπαν μέσα στο οποίο αναδύεστε ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΩΤΗ Το σύμπαν μέσα στο οποίο αναδύεστε Στέλνουμε χαιρετισμούς. Χαιρόμαστε πολύ που έχουμε αυτήν την ευκαιρία να μιλήσουμε με σας ξανά και να παράσχουμε τις πληροφορίες που είμαστε έτοιμοι να

Διαβάστε περισσότερα

Σχετική Υπεραξία. Από εδώ και πέρα θα θεωρήσουμε τη συνολική εργάσιμη ημέρα ως σταθερό μέγεθος έστω 8 ώρες. α----β----γ

Σχετική Υπεραξία. Από εδώ και πέρα θα θεωρήσουμε τη συνολική εργάσιμη ημέρα ως σταθερό μέγεθος έστω 8 ώρες. α----β----γ Σχετική Υπεραξία Μέχρι τώρα ο αναγκαίος χρόνος εργασίας, δηλαδή το μέρος της εργάσιμης ημέρας κατά το οποίο αναπληρώνεται η αξία της εργατικής δύναμης που πληρώνει το κεφάλαιο θεωρείτο σταθερό μέγεθος.

Διαβάστε περισσότερα

Εκδρομές Ιουνίου 2014

Εκδρομές Ιουνίου 2014 ΚΥΡΙΑΚΗ 01/06/2014 ΤΗΝΟΣ - ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΜΕΓΑΛΟΧΑΡΗΣ 50 17 ΣΑΒΒΑΤΟ 07/06/2014 ΑΥΛΩΝΑΡΙ - ΚΑΛΑΜΟΣ (ΑΝΑΤΟΛΙΚΗ ΕΥΒΟΙΑ) Αναχώρηση νωρίς το πρωί με προορισμό το λιμάνι της Ραφήνας για να επιβιβαστούμε στο καράβι.

Διαβάστε περισσότερα

Ευάγγελος Αυδίκος Η αµηχανία µπροστά στον τοίχο: το Πρόγραµµα και οι κοινότητες των Τσιγγάνων Γεια σας. Εγώ είµαι καινούργιος στη Θεσσαλία οι εκατέρωθέν µου καθήµενοι προϋπήρξαν εµού. Να ξεκινήσω, λοιπόν,

Διαβάστε περισσότερα

και ενδυόμενος με θεία αγάπη την ποδιά του ιατρού έδενε με τα γυμνά του χέρια τις πληγές των πασχόντων και έπειτα τις ασπαζόταν.

και ενδυόμενος με θεία αγάπη την ποδιά του ιατρού έδενε με τα γυμνά του χέρια τις πληγές των πασχόντων και έπειτα τις ασπαζόταν. Κάθε φορά που πάμε να μιλήσουμε για το προνοιακό έργο της Εκκλησίας μας, ο νους μας σταματά στη λέξη «φιλανθρωπία», μια λέξη τόσο όμορφη αλλά και τόσο παρεξηγημένη. Όμορφη γιατί φιλανθρωπία σημαίνει αγάπη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΜΒΑΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΥΤΕΥΣΗΣ ΣΠΟΡΟΦΥΤΩΝ ΛΑΧΑΝΙΚΩΝ

ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΜΒΑΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΥΤΕΥΣΗΣ ΣΠΟΡΟΦΥΤΩΝ ΛΑΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.Ι ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΜΒΑΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ ΣΠΟΡΑΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΥΤΕΥΣΗΣ ΣΠΟΡΟΦΥΤΩΝ ΛΑΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΥ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗ: ΑΝΤΩΝΙΟΣ X. ΚΩΝΣΤΑΣ ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΖΩΗΣ, ΜΙΑ ΨΥΧΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΖΩΗΣ, ΜΙΑ ΨΥΧΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑΣ ΖΩΗΣ, ΜΙΑ ΨΥΧΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Τα τελευταία χρόνια σημειώθηκε στην χώρα μας αισθητή άνοδος του βιοτικού επιπέδου και της κοινωνικής ευμάρειας. Παράλληλα όμως αυξήθηκαν τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Φασίστες και αφεντικά στου πηγαδιού τον πάτο, ζήτω το παγκόσμιο προλεταριάτο.

Φασίστες και αφεντικά στου πηγαδιού τον πάτο, ζήτω το παγκόσμιο προλεταριάτο. Οι νόμοι της αγοράς, νόμοι της άγριας δύσης έχουν καταστρέψει ό,τι με αγώνες είχαμε κατακτήσει. Ο Υπ. Υγείας φωνάζει πως δεν έχει απολυθεί κανείς απ τα νοσοκομεία και ότι όλα λειτουργούν καλά. Ολόκληρη

Διαβάστε περισσότερα

Παραμονή Παγκόσμιας Ημέρας Αντικαταναλωτισμού*, 28 Νοεμβρίου 2008

Παραμονή Παγκόσμιας Ημέρας Αντικαταναλωτισμού*, 28 Νοεμβρίου 2008 Ο ΑΦΡΑΓΚΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Παραμονή Παγκόσμιας Ημέρας Αντικαταναλωτισμού*, 28 Νοεμβρίου 2008 Η χρονική συγκυρία δε θα μπορούσε να είναι καλύτερη. Πέντε λεπτά μετά τις έξι το απόγευμα της τελευταίας μου

Διαβάστε περισσότερα

Μηνιαία οικολογική Εφημερίδα Οκτώβριος 2011 Φύλλο 98 Τιμή φύλλου 0,01. Παράθυρο σε ένα σκοτεινό δωμάτιο

Μηνιαία οικολογική Εφημερίδα Οκτώβριος 2011 Φύλλο 98 Τιμή φύλλου 0,01. Παράθυρο σε ένα σκοτεινό δωμάτιο πράσινηπολιτική οι άνθρωποι πάνω από τα κέρδη Μηνιαία οικολογική Εφημερίδα Οκτώβριος 2011 Φύλλο 98 Τιμή φύλλου 0,01 Παράθυρο σε ένα σκοτεινό δωμάτιο Εκτιμήσεις για την πολιτική και κοινωνική συγκυρία και

Διαβάστε περισσότερα

Ήταν δέκα ακριβώς το πρωί, Σεπτέμβρης μήνας

Ήταν δέκα ακριβώς το πρωί, Σεπτέμβρης μήνας 1 Ήταν δέκα ακριβώς το πρωί, Σεπτέμβρης μήνας του 1994. Στη μικρή πέτρινη πλατεία του χωριού Αετοφωλιά ή και Φωλίτσα για κάποιους, επισήμως Αγία Μαρίνα, που βρίσκεται λίγα χιλιόμετρα μετά την Κόνιτσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΡΙΤΙΚΗ ΒΙΒΑΙΟΥ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΡΙΤΙΚΗ ΒΙΒΑΙΟΥ Επιθ. Κοιγ. Ερευνών, 103, Γ' 2000, 170-174 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΡΙΤΙΚΗ ΒΙΒΑΙΟΥ από τον Θεόδωρο Π. Οικονόμου Ζήσης Παπαδημητρίου, 2000, Ο ευρωπαϊκός ρατσισμός. Εισαγωγή στο φυλετικό μίσος: Ιστορική, κοινωνιολογική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΔΙΚΟΣ ΕΝΤΥΠΟΥ: 4055 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2009, ENTYΠO KΛEIΣTO, AP. AΔEIAΣ 157/92, K.T.Θ. TIMH 0.01 E ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 22

ΚΩΔΙΚΟΣ ΕΝΤΥΠΟΥ: 4055 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2009, ENTYΠO KΛEIΣTO, AP. AΔEIAΣ 157/92, K.T.Θ. TIMH 0.01 E ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 22 ΚΩΔΙΚΟΣ ΕΝΤΥΠΟΥ: 4055, ENTYΠO KΛEIΣTO, AP. AΔEIAΣ 157/92, K.T.Θ. TIMH 0.01 E ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 22 Ιδιοκτήτης: TEXNIKO ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ NΠΔΔ Μ. Αλεξάνδρου 49, 546 43, Θεσσαλονίκη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΚΟΙΜΗΤΗΡΙΩΝ ΔΗΜΟΥ ΘΕΡΜΗΣ

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΚΟΙΜΗΤΗΡΙΩΝ ΔΗΜΟΥ ΘΕΡΜΗΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΚΟΙΜΗΤΗΡΙΩΝ ΔΗΜΟΥ ΘΕΡΜΗΣ Αριθμός Απόφασης Δημοτικού Συμβουλίου Θέρμης 428/2011 1 Πίνακας περιεχομένων Άρθρο 1 - Γενικά 3 Άρθρο 2 Πεδίο εφαρμογής 3 Άρθρο 3 Γενικοί κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΙΛΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΕΔΡΟΥ ΤΗΣ Κ.Ο. ΤΟΥ ΣΥΡΙΖΑ / ΕΚΜ, ΑΛΕΞΗ ΤΣΙΠΡΑ ΣΤΗΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΗ ΣΥΝΔΙΑΣΚΕΨΗ ΤΟΥ ΣΥΡΙΖΑ / ΕΚΜ

ΟΜΙΛΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΕΔΡΟΥ ΤΗΣ Κ.Ο. ΤΟΥ ΣΥΡΙΖΑ / ΕΚΜ, ΑΛΕΞΗ ΤΣΙΠΡΑ ΣΤΗΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΗ ΣΥΝΔΙΑΣΚΕΨΗ ΤΟΥ ΣΥΡΙΖΑ / ΕΚΜ ΟΜΙΛΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΕΔΡΟΥ ΤΗΣ Κ.Ο. ΤΟΥ ΣΥΡΙΖΑ / ΕΚΜ, ΑΛΕΞΗ ΤΣΙΠΡΑ ΣΤΗΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΗ ΣΥΝΔΙΑΣΚΕΨΗ ΤΟΥ ΣΥΡΙΖΑ / ΕΚΜ 30/11 2/12 Στάδιο Ειρήνης & Φιλίας Συντρόφισσες και σύντροφοι, Ήρθε η ώρα σήμερα να κάνουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΙΣ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΙΣ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΩΝ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΙΣ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ Διπλωματική Εργασία Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΑΙ Η ΣΥΝΟΔΟΣ ΚΟΡΥΦΗΣ ΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Φυσική Β' Γυμνασίου. Επιμέλεια: Ιωάννης Γιαμνιαδάκης

ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Φυσική Β' Γυμνασίου. Επιμέλεια: Ιωάννης Γιαμνιαδάκης ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Φυσική Β' Γυμνασίου Επιμέλεια: Ιωάννης Γιαμνιαδάκης Σύνδεση με προηγούμενο Μάθημα Στο κεφάλαιο Θερμότητα έχουμε μάθει: Τι είναι θερμότητα & θερμοκρασία μακροσκοπικά & μικροσκοπικά Μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2012-2013

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2012-2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 2. Ο Γλαύκων διαμαρτύρεται (Ἔπειτα) και υποστηρίζει ότι είναι θέμα αδικίας (ἀδικήσομεν) αντικρούοντας την άποψη του Σωκράτη για τον ηθικό εξαναγκασμό των φιλοσόφων και την εγκατάλειψη της πνευματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΟΔΗΓΟΣ ΣΥΝΤΑΞΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ Για πτυχιούχους του Τμήματος Μηχανολογίας Συντάκτες: Μέλη του τακτικού εκπαιδευτικού προσωπικού του Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων Σέρρες, 2007 Περιεχόμενα Αυτοαξιολόγηση...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΩΣΧΟΛΙΚΟ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΟ ΑΝΑΓΝΩΣΜΑ. Νικόστρατος Ένα ξεχωριστό καλοκαίρι. Κωνσταντίνα Αντωνοπούλου Α2 Γυμνασίου

ΕΞΩΣΧΟΛΙΚΟ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΟ ΑΝΑΓΝΩΣΜΑ. Νικόστρατος Ένα ξεχωριστό καλοκαίρι. Κωνσταντίνα Αντωνοπούλου Α2 Γυμνασίου ΕΞΩΣΧΟΛΙΚΟ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΟ ΑΝΑΓΝΩΣΜΑ Νικόστρατος Ένα ξεχωριστό καλοκαίρι Κωνσταντίνα Αντωνοπούλου Α2 Γυμνασίου Λογοτεχνικό Εξωσχολικό Ανάγνωσμα Περιόδου Χριστουγέννων Τίτλος βιβλίου: «Νικόστρατος Ένα ξεχωριστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑΚΗ 3/05/2015 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΚΥΡΙΑΚΗ 3/05/2015 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β ΤΑΞΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 3/05/2015 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ (7) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Από το παραπάνω απόσπασμα που σας δίνεται να μεταφράσετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα των Φύλων και Θρησκευτικά: μία εκπαιδευτική παρέμβαση στην τάξη. Παναγιώτης Τσιακούμης, Σχολικός Σύμβούλος

Ισότητα των Φύλων και Θρησκευτικά: μία εκπαιδευτική παρέμβαση στην τάξη. Παναγιώτης Τσιακούμης, Σχολικός Σύμβούλος Ισότητα των Φύλων και Θρησκευτικά: μία εκπαιδευτική παρέμβαση στην τάξη Παναγιώτης Τσιακούμης, Σχολικός Σύμβούλος 1 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή σελ 2 2. Στόχοι σελ 3 3. Μέθοδοι διδασκαλίας..σελ...4 4. Πορεία

Διαβάστε περισσότερα

Από το ξεκίνημά του ο ΤΙΤΑΝ εκφράζει

Από το ξεκίνημά του ο ΤΙΤΑΝ εκφράζει Ένας Τιτανικός θεσμός επιβράβευσης επιτυχιών νέων ανθρώπων Από το ξεκίνημά του ο ΤΙΤΑΝ εκφράζει έμπρακτα και πολύπλευρα το ενδιαφέρον του για τους νέους ανθρώπους, ιδιαίτερα δε για τα παιδιά, κάθε ηλικίας,

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΔΡΟΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΡΟΦΗΣ 13 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Ο ΔΡΟΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΡΟΦΗΣ 13 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο ΔΡΟΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΡΟΦΗΣ 13 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 1720 ΕΙΧΕ ΑΡΧΙΣΕΙ ΝΑ ΣΟΥΡΟΥΠΩΝΕΙ. Μόνο λίγα λεπτά είχαν περάσει από τη στιγμή που ο ήλιος κρύφτηκε πίσω από τις κορυφογραμμές του Αθέρα, αφήνοντας στο γαλανό ουρανό

Διαβάστε περισσότερα

Ο Χειμωνάς σε αναμέτρηση με τον σαιξπηρικό Άμλετ

Ο Χειμωνάς σε αναμέτρηση με τον σαιξπηρικό Άμλετ Ευριπίδης Γαραντούδης Ο Χειμωνάς σε αναμέτρηση με τον σαιξπηρικό Άμλετ Αικατερίνη Δούκα-Καμπίτογλου, Ο Άμλετ του Γιώργου Χειμωνά. Αναβιώνοντας τη δύσθυμη αναγέννηση, Θεσσαλονίκη, Επίκεντρο 2008, σσ. 96.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΕΣ ΠΗΓΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Α.Π.Ε)

ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΕΣ ΠΗΓΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Α.Π.Ε) ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΕΣ ΠΗΓΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Α.Π.Ε) Οι Ανανεώσιμες Πηγές Ενέργειας (Α.Π.Ε) θεωρούνται ανεξάντλητες. Στην κατηγορία αυτή, ανήκουν ο ήλιος, ο άνεμος, τα ποτάμια, οι οργανικές ύλες όπως το ξύλο και τα απορρίμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟΔΟ 2008-2013

ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟΔΟ 2008-2013 ΕΘΝΙΚΟΝ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΝ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΥ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟΔΟ 2008-2013 ΜΑΡΤΙΟΣ 2009 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥΠΟΛΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΒΑΤΗΣ-ΧΑΪΝΗΔΕΣ Οι Χαΐνηδες Ο Δημήτρης Αποστολάκης

ΑΚΡΟΒΑΤΗΣ-ΧΑΪΝΗΔΕΣ Οι Χαΐνηδες Ο Δημήτρης Αποστολάκης ΑΚΡΟΒΑΤΗΣ-ΧΑΪΝΗΔΕΣ 1. Έχω επιλέξει ένα τραγούδι τον που είναι μια δημιουργία των Χαΐνηδων. Οι Χαΐνηδες είναι ένα συγκρότημα από την Κρήτη που παίζουν έντεχνη και παραδοσιακή μουσική. Οι μουσική

Διαβάστε περισσότερα

Προδημοσιεύτηκαν τα τέσσερις πρώτα προγράμματα του νέου ΕΣΠΑ που αφορούν

Προδημοσιεύτηκαν τα τέσσερις πρώτα προγράμματα του νέου ΕΣΠΑ που αφορούν Προδημοσιεύτηκαν τα τέσσερις πρώτα προγράμματα του νέου ΕΣΠΑ που αφορούν μικρομεσαίες επιχειρήσεις και ελευθέρους επαγγελματίες. Τονίζεται ότι τα προγράμματα είναι σε προδημοσίευση. Με τη δημοσίευση της

Διαβάστε περισσότερα

ο σούρουπο είχε απλώσει το σκοτεινό υφάδι του, κεντημένο με περισσή στοργή από τη μητέρα του, τη μαρμαρυγή. Τιτιβίσματα πτηνών ορμούσαν μες στην

ο σούρουπο είχε απλώσει το σκοτεινό υφάδι του, κεντημένο με περισσή στοργή από τη μητέρα του, τη μαρμαρυγή. Τιτιβίσματα πτηνών ορμούσαν μες στην Πρόλογος Εκεί έξω, σε μέρη που ανέγνωρα κοιμούνται, σε τόπους μακρινούς και μυστηριακά άφαντους, ανθοβριθούν κόσμοι και μαραίνονται πλάσματα που χλευάζουν την αιωνιότητα. Το μικρό μυαλό των ανθρώπων, ευχαριστημένο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Εξήντα δευτερόλεπτα. Τόσο είμαστε υποχρεωμένοι να σταθούμε πάνω στις μεταλλικές μας πλάκες προτού ο ήχος ενός σήμαντρου μας ελευθερώσει. Αν βγεις από τον κύκλο πριν περάσει το λεπτό, νάρκες

Διαβάστε περισσότερα

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. 3/2011 συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α. 3/2011 συνεδρίασης της Οικονομικής Επιτροπής του Δήμου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΠΡΕΒΕΖΑΣ ΔΗΜΟΣ ΠΡΕΒΕΖΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΤΑΧ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ : Ελ. Βενιζέλου & Μπαχούμη 2 ΤΑΧ.ΚΩΔ. : 48 100 ΠΡΕΒΕΖΑ ΠΛΗΡΟΦ : Κοψάρη Δήμητρα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΕΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΕΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΕΤΙΚΗΣ 1. Τα πρώτα Βήματα στην αναζήτηση εργασίας Οι Σύμβουλοι Επιχειρήσεων επισημαίνουν ότι υπάρχουν κάποιες συγκεκριμένες ενέργειες που θα πρέπει να κάνουν οι ενδιαφερόμενοι προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

Ακίνητα: Προϋπόθεση μεταβίβασης ο ενιαίος φόρος Υποχρέωση «επόπτη» σε συμβολαιογράφους, φύλακες μεταγραφών και προϊσταμένους κτηματολογικών γραφείων

Ακίνητα: Προϋπόθεση μεταβίβασης ο ενιαίος φόρος Υποχρέωση «επόπτη» σε συμβολαιογράφους, φύλακες μεταγραφών και προϊσταμένους κτηματολογικών γραφείων Ακίνητα: Προϋπόθεση μεταβίβασης ο ενιαίος φόρος Υποχρέωση «επόπτη» σε συμβολαιογράφους, φύλακες μεταγραφών και προϊσταμένους κτηματολογικών γραφείων Σφίγγει ο κλοιός για τους ιδιοκτήτες ακινήτων, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟΥ ΥΠ.ΓΕΩΡΓΙΑΣ 4.9.2001

ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟΥ ΥΠ.ΓΕΩΡΓΙΑΣ 4.9.2001 ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΝΟΜΟΣΧΕΔΙΟΥ ΥΠ.ΓΕΩΡΓΙΑΣ 4.9.2001 ΠΡΟΕΔΡΕΥΩΝ (Κωνσταντίνος Γείτονας): Ο Κοινοβουλευτικός Εκπρόσωπος της Νέας Δημοκρατίας κ. Μπασιάκος έχει το λόγο. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ: Κυρίες και κύριοι συνάδελφοι,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ : ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΗΣ ΖΩΗΣ. 1. Τίτλος ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΖΩΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ : ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΗΣ ΖΩΗΣ. 1. Τίτλος ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΖΩΗΣ 1. Τίτλος ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΖΩΗΣ 2. Εμπλεκόμενες γνωστικές περιοχές Βιολογία Γ Γυμνασίου : Το γενετικό υλικό οργανώνεται σε χρωμοσώματα, η ροή της γενετικής πληροφορίας, αλληλόμορφα, κυτταρική διαίρεση,

Διαβάστε περισσότερα

Γιορτάστηκε και φέτος το Πάσχα από

Γιορτάστηκε και φέτος το Πάσχα από ΙΛΙΟΥ 91 Kωδικός 013622 EΦΗΜΕΡΙΔΑ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΖΟΥΡΤΣΑΝΩΝ ΑΘΗΝΑΣ ΤΡΙΜΗΝΗ ΕΚΔΟΣΗ ΤΟΥ ΣΥΛΛΟΓΟΥ ΝΕΩΝ ΦΙΓΑΛΕΩΝ (ΖΟΥΡΤΣΑΝΩΝ) ΑΘΗΝΑΣ ΒΕΡΑΝΖΕΡΟΥ 23 Α, 104 32 ΑΘΗΝΑ ΑΡΙΘ. ΦΥΛΛΟΥ 118 ΑΠΡΙΛΙΟΣ - ΜΑΪΟΣ - ΙΟΥΝΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαραστάσεις των φύλων στα παιδικά αναγνώσµατα του νηπιαγωγείου και του δηµοτικού σχολείου

Αναπαραστάσεις των φύλων στα παιδικά αναγνώσµατα του νηπιαγωγείου και του δηµοτικού σχολείου Αναπαραστάσεις των φύλων στα παιδικά αναγνώσµατα του νηπιαγωγείου και του δηµοτικού σχολείου Μαρία Μανώλη 1 Εισαγωγή Χωρίς αµφιβολία, τα σχολείο 1 αποτελεί το πιο θεµελιώδη κοινωνικό θεσµό µετά την οικογένεια,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ: 58/ 2014 ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΜΕΛΕΤΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ: 58/ 2014 ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕΛΕΤΗΣ: 58/ 2014 ΝΟΜΟΣ ΘΕΣΠΡΩΤΙΑΣ ΔΗΜΟΣ ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ Δ/ΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ : ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Δ.Ε ΗΓΟΥΜΕΝΙΤΣΑΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ

Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΕΘΝΙΚΟΝ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΝ ΑΘΗΝΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΛΗΡΟΔΟΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ Α' ΕΚΚΑΘΑΡΙΣΗΣ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΔΙΑΚΗΡΥΞΗ ΥΠ' ΑΡΙΘΜ. 2/2012 Α Επαναληπτική Δημόσια Πλειοδοτική

Διαβάστε περισσότερα