Κεφάλαιο 5. Λογικά κυκλώματα

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Λογικά κυκλώματα

2 5.1 Εισαγωγή Κάθε συνάρτηση boole αντιστοιχεί σε έναν και μοναδικό πίνακα αλήθειας. Εάν όμως χρησιμοποιήσουμε τα γραφικά σύμβολα των πράξεων, μπορούμε για κάθε συνάρτηση που είναι σε αλγεβρική μορφή να δημιουργήσουμε ένα λογικό κύκλωμα(logic circuit) το οποίο να αποτελείται από λογικές πύλες και συνδέσεις μεταξύ τους. Τα λογικά κυκλώματα έχουν μεγάλη πρακτική αξία, καθώς είναι ο τρόπος με τον ο- ποίο υλοποιούνται σε πραγματικά κυκλώματα οι συναρτήσεις. 5.2 Λογική σχεδίαση κυκλωμάτων Στα λογικά κυκλώματα υπάρχουν γεννήτριες ψηφιακών σημάτων και γραμμές μεταφοράς (που μπορούμε να τα φανταζόμαστε ως σύρματα ή καλώδια) αυτών των σημάτων από τις εισόδους στις πύλες και από εκεί στην έξοδο. Η κατασκευή ενός τέτοιου κυκλώματος θα ακολουθήσει τη λογική που υπάρχει στη συνάρτηση. Έτσι, πρώτα θα πρέπει να υλοποιηθούν οι πράξεις με τη μεγαλύτερη προτεραιότητα και στη συνέχεια τα αποτελέσματά τους θα πρέπει να διασυνδεθούν κατάλληλα. Η διαδικασία αυτή προχωρά «από τα αριστερά προς τα δεξιά» έως ότου παραχθεί η έξοδος. Παράδειγμα: Για να κατασκευάσουμε ένα λογικό κύκλωμα για τη συνάρτηση F=A +BC, ξεκινούμε σχεδιάζοντας τόσες γραμμές εισόδου όσες και οι διαφορετικές μεταβλητές εισόδουκαι μία γραμμή για την έξοδο, όπως στο παρακάτω σχήμα. Στο Σχήμα αυτό υποθέτουμε ότιαριστερά από κάθε είσοδο υπάρχει ένας μηχανισμός που παράγει

3 ψηφιακά σήματα,ενώ η περιοχή ανάμεσα στις εισόδους και την έξοδο περιλαμβάνει την παραγωγή των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων Όπως είναι φανερό, αμέσως μετά τον καθορισμό των εισόδων, το επόμενο βήμα είναι η διασύνδεση των πυλών που θα υλοποιήσουν τις λογικές πράξεις που έχουν τη μεγαλύτερη προτεραιότητα. Για την F=A +BC, φαίνεται ότι θα πρέπει πρώτα να αντιστραφεί η είσοδος Α. Επίσης, μπορεί να υλοποιηθεί και το λογικό AND ανάμεσα στις Β και C. Αφού ολοκληρωθούν αυτές οι τοποθετήσεις και οι διασυνδέσεις, το λογικό κύκλωμα που υλοποιεί την F είναι αυτό που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση F = A B+AB+AB. Θα κατασκευάσουμε το λογικό κύκλωμα που την υλοποιεί. Στη συνάρτηση αυτή υπάρχουν δύο διαφορετικές είσοδοι. Και οι δύο είσοδοι χρειάζεται να αντιστραφούν αφού σε διαφορετικούς όρους χρειάζονται τα συμπληρώματα του Α και του Β. Ωστόσο, θα χρειαστούμε και τις αρχικές τιμές των Α και Β. Αφού λοιπόν υλοποιηθούν τα Α Β, ΑΒ και ΑΒ, και τα τρία θα μπουν σε μία πύλη OR τριών εισόδων, όπως στο παρακάτω σχήμα. Στο προηγούμενο σχήμα χρησιμοποιούμε επιπλέον κάποιες διακλαδώσεις (οι έντονες τελείες), οι οποίες μεταφέρουν το ίδιο σήμα εισόδου. Στην είσοδο Α υπάρχουν δύο τέτοιες δι- ακλαδώσεις, μία για να μεταφέρει το Α στον αντιστροφέα και μία για να το μεταφέρει στην πύλη

4 ΑΒ. Επιπλέον, στα σημεία όπου οι γραμμές που μεταφέρουν διαφορετικά σήματα διασταυρώνονται, σχεδιάζεται μια μικρή καμπύλη που έχει το ρόλο της γέφυρας. Παράδειγμα: Σε αυτό το παράδειγμα θα ξεκινήσουμε από μία συνάρτηση, για την οποία θα κατα- σκευάσουμε και τον πίνακα αλήθειας αλλά και το λογικό κύκλωμα, κάνοντας έτσι μια ολοκληρωμένη μελέτη. Έστω λοιπόν η συνάρτηση F=(AB+AC).(A C+ΑΒ). Μια πρώτη παρατήρηση είναι ότι ενώ στα δύο προηγούμενα παραδείγματα η συνάρτηση ήταν ένα «άθροισμα γινομένων», εδώ είναι ένα «γινόμενο αθροισμάτων». Η κατασκευή του πίνακα αλήθεια θα πρέπει να περιλαμβάνει τρεις εισόδους, επτά ενδιάμεσα αποτελέσματα και την έξοδο. Για λόγους ευκολίας στο λογικό κύκλωμα, θα αντιστοιχίσουμε ένα σύμβολο (K, L, M, N, P και Q) σε κάθε ενδιάμεσο αποτέλεσμα, όπως φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα αλήθειας: Το λογικό κύκλωμα για την F φαίνεται στο παρακάτω σχήμα που ακολουθεί Κάθε λογική συνάρτηση αντιστοιχίζεται σε ένα και μοναδικό πίνακα αλήθει-

5 ας. Ωστόσο δε συμβαίνει το ίδιο και με τα λογικά κυκλώματα. Πράγματι, το λογικό κύκλωμα του προηγούμενου σχήματος προέκυψε από τη συνάρτηση F=(AB+AC).(A C+ΑΒ). Ωστόσο, για την ίδια συνάρτηση μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα πολύ απλούστερο λογικό κύκλωμα, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τις εισόδους και την έξοδο του πίνακα αλήθειας και συνθέτοντας το κύκλωμα με τη λογική που υπάρχει μέσα στον πίνακα. Έτσι, ο παρακάτω πίνακας περιλαμβάνει μόνο τις στήλες των εισόδων και της εξόδου της F Πότε ακριβώς η έξοδος είναι 1; Είτε στη γραμμή 2 είτε στη γραμμή 4 του πίνακα αυτού. Προσέξτε ότι η φράση αυτή εμπεριέχει το λογικό OR, θα μπορούσαμε δηλαδή να πούμε ότι F=(γραμμή2 + γραμμη4). Στη γραμμή 2 οι είσοδοι Α και Β είναι 0 ενώ η C είναι 1 την ίδια στιγμή. Εδώ εμπεριέχεται το λογικό AND ανάμεσα στις τρεις εισόδους. Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι γραμμή 2 = Α Β C

6 Στη γραμμή 4 το Α είναι 0 ενώ τα B και C είναι 1, έχουμε λοιπόν γραμμή4=α BC Συνθέτοντας τα παραπάνω, προκύπτει ότι F=Α Β C+A BC. Κατά συνέπεια, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα πολύ απλούστερο λογικό κύκλωμα, όπως στο παρακάτω σχήμα. Τα δύο προηγούμενα κυκλώματα, υλοποιούν ακριβώς την ίδια λειτουργία, είναι δηλαδή ισοδύναμα. Είναι προφανές ότι θα πρέπει να επιζητούμε πάντα την ελαχιστοποίηση των πυλών που χρησιμοποιούνται σε ένα οποιοδήποτε κύκλωμα. Ο τρόπος που περιγράφηκε είναι ο απλούστερος, ωστόσο θα μπορούσαμε να οδηγηθούμε σε παρόμοια απλούστευση χωρίς την κατασκευή του πίνακα αλήθειας αλλά με τη χρήση αλγεβρικών απλουστεύσεων. Για το λόγο αυτό θα πρέπει χρησιμοποιούνται οι βασικές ταυτότητες της άλγεβρας boole. 5.3 Βασικές ταυτότητες άλγεβρας boole Στην παράγραφο αυτή θα αναφερθούμε στις ταυτότητες της άλγεβρας boole και στον τρόπο χρήσης τους έτσι ώστε να απλοποιούνται οι λογικές συναρτήσεις. Όπως ήδη αναφέρθηκε, η απλοποίηση των συναρτήσεων οδηγεί σε απλούστερα κυκλώματα, κάτι που σημαίνει μικρότερο κόστος

7 κατασκευής ψηφιακών κυκλωμάτων. Πολλές από τις ταυτότητες μοιάζουν με αυτές που γνωρίζουμε από την κανονική άλγεβρα, ωστόσο άλλες όχι. Δεν πρέπει να συγχέουμε τις δύο άλγεβρες παρά τις οποιεσδήποτε ομοιότητες. Για παράδειγμα, όπως φαίνεται από τον παρακάτω πίνακα που ακολουθεί, μόνο οι ταυτότητες 10 έως 15 μοιάζουν με αυτές της γνωστής άλγεβρας ενώ οι υπόλοιπες όχι. Θα πρέπει επίσης να πούμε ότι στην άλγεβρα boole ισχύει ένα είδος δυισμού (duality). Για κάθε συνάρτηση boole η δυική της προκύπτει αλλάζοντας τα AND σε OR και τα 0 σε 1 και αντίστροφα. Στον προηγούενο πίνακα, οι ταυτότητες τοποθετούνται σε δύο στήλες, έτσι ώστε κάθε ταυτότητα να εμφανίζεται δίπλα στη δυική της. Όλες οι ταυτότητες μπορούν με ευκολία να επαληθευθούν, κατασκευάζοντας τους πίνακες αλήθειας τους.

8