Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Transcript

1 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Α.1. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α 1 και διαφορά ω. (Μοάδες 3) Α.. Να γράψετε τη σχέση µεταξύ τω ραγµατικώ αριθµώ α, β, γ, έτσι ώστε οι αριθµοί αυτοί, µε τη σειρά ου σας δίοται, α είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου. (Μοάδες 3) Α.3. Να αοδείξετε ότι το άθροισµα S τω ρώτω όρω µιας γεωµετρικής ροόδου (α ), ου έχει ρώτο όρο α 1 και λόγο λ 1, είαι: S = α 1 λ -1 λ -1 (Μοάδες 6,5) Β.1. Στη στήλη Α δίεται ο ρώτος όρος α 1 και η διαφορά ω τριώ αριθµητικώ ροόδω και στη στήλη Β ο ιοστός όρος α τεσσάρω αριθµητικώ ροόδω. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της στήλης Α και δίλα σε κάθε γράµµα το αριθµό της στήλης Β ου ατιστοιχεί στο σωστό ιοστό όρο. Στήλη Α Στήλη Β α. α 1 = 1, ω = - 1. α = - β. α 1 = 0, ω = 3. α = - 3 γ. α 1 = - 1, ω = α = 3 -. α = 3-3 (Μοάδες 6) Β.. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθού γράφοτας στο τετράδιό σας τη έδειξη Σωστό ή Λάθος δίλα στο γράµµα ου ατιστοιχεί σε κάθε ρόταση. α. Οι αριθµοί 5, 5, 15, µε τη σειρά ου σας δίοται, είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου. β. Ο εικοστός όρος της αριθµητικής ροόδου 10, 7, είαι ίσος µε 0. γ. Σε κάθε αριθµητική ρόοδο (α ) για τους όρους της α, α, α 6 ισχύει η σχέση α, = α + α 6. (Μοάδες,5) Β.3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα ου ατιστοιχεί στη σωστή αάτηση. Α σε µια γεωµετρική ρόοδο ο ρώτος όρος είαι ίσος µε 1 και ο λόγος ίσος µε, τότε το άθροισµα τω ρώτω όρω της είαι ίσο µε: Τεχική Εεξεργασία: Keystone 1

2 -1 A.. Β. 1. Γ Ε. καέα αό τα ροηγούµεα. Αάτηση: (Μοάδες ) Α.1.Ο τύος ου δίει το ιοστό όρο µιας αριθµητικής ροόδου µε ρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι: α = α 1 + ( 1)ω. Α.. Η σχέση ου συδέει τρεις διαδοχικούς όρους µιας αριθµητικής ροόδου είαι: β = α + γ β = (α+γ)/ Α.3. Έστω α 1, α, α 3,, α οι ρώτοι διαδοχικοί όροι µιας γεωµετρικής ροόδου. Τότε το άθροισµα τους S θα είαι: S = α 1 + α + α α S = α 1 + α 1 λ + α 1 λ + + α 1 λ -1 (1) Πολλαλασιάζουµε τα µέλη της (1) εί λ και έχουµε: λ S = α 1 λ + α 1 λ + + α 1 λ () Αφαιρούµε αό τη σχέση () τη σχέση (1) και έχουµε: λs S = α 1 λ α 1 (λ 1)S = α 1 (λ 1) S = α 1 (λ 1)/(λ 1), αφού λ 1. Β.1. Ο ιοστός όρος µιας αριθµητικής ροόδου δίεται αό το τύο: α = α 1 + ( 1)ω. Ατικαθιστούµε σ αυτό τις τιµές τω α 1 και ω της στήλης Α και βρίσκουµε: α.α α 1 = 1 και ω = - τότε: α = 1 + ( 1) (-) α = β. Α α 1 = 0 και ω = 3 τότε: α = 0 + ( 1) 3 α = 3-3. Τεχική Εεξεργασία: Keystone

3 Β.. γ. Α α 1 = -1 και ω = -1 τότε: Εοµέως: α = -1 + ( 1) (-1) α = -. α 3, β, γ 1 α. Έχουµε α = -5, β = 5, γ = 15. Για α είαι οι αριθµοί α, β και γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου, ρέει: β = γ + α 5 = 15 + (-5), ου ισχύει. Άρα η ρόταση είαι σωστή. β. Η αριθµητική ρόοδος έχει α 1 = 10, ω = -3, οότε: α 0 = α 1 + (0 1)ω = (-3) α 0 = -7, άρα η ρόταση είαι λάθος. γ. Αφού έχουµε αριθµητική ρόοδο, θα ισχύει: Εοµέως: α = α 1 + 3ω, α = α 1 + ω, α 6 = α 1 + 5ω. Τότε: α = α + α 6 (α 1 + 3ω) = α 1 + ω + α 1 + 5ω, ου ισχύει, άρα η ρόταση είαι σωστή. α Σ, β Λ, γ Σ Β.3. Έχουµε γεωµετρική ρόοδο µε α 1 = 1 και λ =, οότε: Ζήτηµα ο S λ -1 1 = α1 = 1 = 1 λ -1-1 Άρα η σωστή αάτηση είαι η Β. ίεται το ολυώυµο: P(x) = αx 3 + (β 1)x 3x β + 6 Όου α, β ραγµατικοί αριθµοί. Τεχική Εεξεργασία: Keystone 3

4 α) Α ο αριθµός 1 είαι ρίζα του ολυωύµου P(x) και το υόλοιο της διαίρεσης του P(x) µε το x + 1 είαι ίσο µε, τότε α δείξετε ότι α = και β =. (Μοάδες 15) β) Για τις τιµές τω α και β του ερωτήµατος (α), α λύσετε τη εξίσωση P(x) = 0 (Μοάδες 10) Αάτηση: α) Εειδή ο αριθµός x = 1 είαι ρίζα του ολυωύµου P(x) θα έχουµε Ρ(1) = 0, κι αφού η διαίρεση του P(x) µε το x + 1 αφήει υόλοιο, έχουµε: Ρ(-1) =. Οότε: P(1) = 0 P(-1) = α + (β -1) β + 6 = 0 - α + (β -1) β + 6 = α - β = - - α -β = -6 Για τις τιµές α = και β = το ολυώυµο P(x) γράφεται: P(x) = x 3 + 3x 3x. α = β = β) P(x) = 0 x 3 + 3x 3x = 0 (x 3 1) + 3x(x 1) = 0 (x 1)(x + x + 1) + 3x(x 1) = 0 (x 1)(x + x + + 3x) = 0 (x 1)(x + 5x + ) = 0 x -1 = 0 ή x + 5x + = 0 x = 1 x = - ή Άρα: x = 1 ή x = - ή x = -(1/). Ζήτηµα 3ο ή 1 x = - ίεται η συάρτηση: f(x) = ηµxσυx ηµ x συ x όου x ραγµατικός αριθµός. α) Να µετατρέψετε τη συάρτηση f στη µορφή f(x) = ρηµ(x + φ) + κ, όου ρ, φ, κ ραγµατικοί αριθµοί και ρ > 0. (Μοάδες 9) β) Να βρείτε για οιες τιµές του x η συάρτηση f αίρει τη µέγιστη τιµή και οια είαι αυτή. (Μοάδες 6) Τεχική Εεξεργασία: Keystone

5 γ) Να λύσετε τη εξίσωση στο διάστηµα [0, ]. Αάτηση: α) Γωρίζουµε ότι: οότε: f(x) f x + = 1- συx 1+ ηµx = ηµxσυx, ηµ x =,συ x = f(x) = ηµxσυx ηµ x συ x 1- συx 1+ συx f(x) = ηµx f(x) = ηµx 1 + συx - συx f(x) = ηµx συx 3. Έστω g(x) = ηµx συx, x R. Τότε: ρ = α + β β ηµφ = = ρ -1 = 1 = α 1 συφ = = = ρ + ( 1) = () (3) (1) Αό τις () και (3) ροκύτει ότι: φ = Εοµέως: και g(x) = f(x) = ηµ x - ηµ x - 3 συx (Μοάδες 10) Τεχική Εεξεργασία: Keystone 5

6 β) Η f αίρει τη µέγιστη τιµή ότα το ηµ x - γίεται µέγιστο, δηλαδή ότα το ηµίτοο είαι ίσο µε 1. Εοµέως ρέει: ηµ x - = 1 ηµ x - = ηµ x - = κ + x - = κ + - x = κκ + + x = κ +,µε κ Ζ Τότε η µέγιστη τιµή είαι: f κ + = γ) f(x) - f x + =,µε κ Ζ,µε κ Ζ 1 3 f κ + = 3,µε κ Ζ ηµ x - 3 ηµ x = ηµ x - ηµ x + = ηµ x - ηµ x + = 1 ηµx συ ηµ συx - ηµx συ ηµ συx = 1 - ηµ συx - ηµ συx = 1-1 συx = 1 συx = = Τεχική Εεξεργασία: Keystone 6

7 συx = συ x = κ ±, x = κ ±, όου κ Ζ όου κ Ζ Όµως, x [0, ] δηλαδή 0 x. Εοµέως: A x = κ + : 0 κ +,µ ε κ,µε κ Ζ Α x = κ : 5 κ Ζ - κ, µε κ Ζ άρα κ = 0 και x = 11 0 κ,µε κ Ζ κ,µ ε 3 11 κ, µε κ Ζ Ζήτηµα ο άρα κ = 1 και 5 x = κ Ζ Έας αριθµός βακτηριδίω τριλασιάζεται σε αριθµό κάθε µία ώρα. Α. Α αρχικά υάρχου 10 βακτηρίδια, α βρείτε το λήθος τω βακτηριδίω ύστερα αό 6 ώρες. (Μοάδες 9) Β. Στο τέλος της έκτης ώρας ο ληθυσµός τω βακτηριδίω ψεκάζεται µε µια ουσία η οοία σταµατά το ολλαλασιασµό τους και συγχρόως ροκαλεί τη καταστροφή βακτηριδίω αά ώρα. Τεχική Εεξεργασία: Keystone 7

8 1. Να βρείτε το λήθος τω βακτηριδίω ου αοµέου 0 ώρες µετά το ψεκασµό. (Μοάδες ). Μετά αό όσες ώρες αό τη στιγµή του ψεκασµού θα καταστραφού όλα τα βακτηρίδια; (Μοάδες ) Αάτηση: Α. Εειδή ο ληθυσµός τω βακτηριδίω τριλασιάζεται κάθε ώρα, σηµείει ότι αοτελεί γεωµετρική ρόοδο µε λόγο λ = 3. Εειδή αρχικά έχουµε 10 βακτηρίδια, στο τέλος της ρώτης ώρας θα υάρχου 30 βακτηρίδια, άρα α 1 = 30. Εοµέως: α = α 1 λ -1 α = και: α 6 = = = 30 3 α 6 = 7.90 βακτηρίδια. Β.1. Εειδή µε το ψεκασµό καταστρέφοται βακτηρίδια, σε 0 ώρες θα έχου καταστραφεί: = 7 00 = 5.00 βακτηρίδια. Άρα αοµέου: = 1.90 βακτηρίδια. Β.. Έστω ότι τα βακτηρίδια καταστρέφοται µετά αό t ώρες. Τότε θα ρέει: t = t = 7.90 t = 7.90/70 t = 7 ώρες Εοµέως όλα τα βακτηρίδια θα έχου καταστραφεί µετά αό 7 ώρες. Τεχική Εεξεργασία: Keystone