ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ"

Transcript

1 ΣΥΝΕΦΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΘΕΩΡΙΑ Έζηω ζσλάρηεζε θαη ποσ αλήθεη ζηο πεδίο ορηζκού ηες. Θα ιέκε όηη ε είλαη ζσλετής ζηο αλ θαη κόλο αλ Αςυνεόσ θα εύναι μύα ςυνϊρτηςη αν δεν υπϊρει το Αν υπϊρει το όριο αλλϊ δεν ιςούται με την αριθμητικό τιμό δηλ. ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΗ ΑΤΝΕΦΕΙΑ Αςυνεόσ διότι το όριο ςτο δενιςούται με την αριθμητικό τιμό Αςυνεόσ διότι δεν υπϊρει το όριο ςτο Εδώ δεν μπορούμε να μιλόςουμε για ςυνϋεια ςτο αφού δεν ορύζεται η ςυνϊρτηςη Αςυνεόσ διότι δεν υπϊρει το όριο ϊςετα αν το Αςυνεόσ διότι το όριο υπϊρει και εύναι το + αλλϊ δεν ιςούται με την αριθμητικό τιμό Αςυνεόσ διότι δεν υπϊρει το όριο Παραδεύγματα 1

2 1. Να εξεταςθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια οι ςυναρτόςεισ α. αν αν 1 ςτο αν 6 αν ςτο γ. Λύςη α. 9 + αν 7 αν 1 και και 1 1. Αρα η εύναι ςυνεόσ ςτο 1 ςτο δ. αν αν 1 ςτο και (-3)=-6 Άρα η εύναι ςυνεόσ ςτο γ. Αλλϊ Αρα αςυνεόσ δ. και Άρα δεν υπϊρει το όριο ςτο 1 2

3 ΟΡΙΣΜΟΣ Μία ζσλάρηεζε ζα ιέκε όηη είλαη ζσλετής ζηο πεδίο ορηζκού ηες αλ είλαη ζσλετής ζε θάζε ζεκείο ηοσ πεδίοσ ορηζκού ηες Αν οι ςυναρτόςεισ g εύναι ςυνεεύσ ςτο τότε εύναι ςυνεεύσ ςτο και οι + g με g αρκεύ να ορύζονται κοντϊ ςτο ϋςτω Ρ πολυώνυμο τότε ϋουμε δεύξει ότι Ρ g Ρ ϊρα η πολυωνυμικό ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο κϊθε ρητό ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο πεδύο οριςμού τησ διότι Ρ επειδό ςυν ςυν και ημ ημ η ημ και g ςυν εύναι ςυνεεύσ ςτο οι ςυναρτόςεισ εφ και g ςφ εύναι ςυνεεύσ ςτο πεδύο οριςμού τουσ ωσ πηλύκο ςυνεών Η α και g g εύναι ςυνεεύσ ςτο πεδύο οριςμού τουσ Αν η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο και η ςυνϊρτηςη g εύναι ςυνεόσ ςτο f( τότε και η gο εύναι ςυνεόσ ςτο ΣΥΝΕΦΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μηα ζσλάρηεζε ζα ιέκε όηη είλαη ζσλετής ζηο [α,β] αλ ηζτύοσλ είλαη ζσλετής ζηο (α,β) ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Μια ςυνϊρτηςη ςυνεόσ ςε κλειςτό διϊςτημα [α ] ϋει γραφικό παρϊςταςη ςυνεό γραμμό ςτο [α ] 3

4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1. Όταν η ϊςκηςη μασ ζητϊει να εξετϊςουμε τη ςυνϋεια ςε ϋνα ςημεύο τότε δουλεύουμε με τον οριςμό τησ ςυνϋειασ ςε ςημεύο Παρϊδειγμα 1 και ) 2. Αν μασ ζητϊει η ϊςκηςη να μελετηθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια ωρύσ να γύνεται αναφορϊ ςε κϊποιο ςυγκεκριμϋνο ςημεύο του πεδύου οριςμού τησ τότε εννοεύται ότι πρϋπει να τη μελετόςουμε ςε όλο το πεδύο οριςμού τησ. Παρϊδειγμα 3. Αν η ςυνϊρτηςη εύναι διπλού η πολλαπλού τύπου τότε: α. Μελετϊμε τη ςυνϋεια ςτα εςωτερικϊ ςημεύα των διαςτημϊτων με τισ πρϊξεισ όπωσ ςτο παρϊδειγμα.. Και μετϊ μελετϊμε τη ςυνϋεια ςτο ςημεύο εκεύνο που αλλϊζει ο τύποσ ρύςκοντασ τα πλευρικϊ όρια και ςυγκρύνοντϊσ τα με την αριθμητικό τιμό. παρϊδειγμα 4 γ. Αν εύναι παραμετρικό και μασ ζητεύται να ρεθούν οι παρϊμετροι για να εύναι ςυνεόσ ςτο ό ςτο πεδύο οριςμού τησ τότε απαιτούμε: ό και ϋουμε να λύςουμε εξύςωςη ό ςύςτημα για την εύρεςη των παραμϋτρων. Παρϊδειγμα 5 Παρϊδειγμα 1 ϊ ύ ϊ ύ + ύ ό Λύςη Αρα υ ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο Παρϊδειγμα 1 ύ ϊ ύ ύ ό 1 Λύςη Φρηςιμοποιώντασ τον οριςμό πρϋπει να ρούμε το. Αλλϊ για να ρούμε το όριο πρϋπει να ρούμε τα πλευρικϊ όρια ςτο 1 αφού αριςτερϊ και δεξιϊ του 1 η ςυνϊρτηςη αλλϊζει τύπο. 4

5 ημ π και κϊνοντασ τον μεταςηματιςμό 1 ϋω ότι του 1 1 το αφού με 1 1 ό 1 ημ π ημ π 1 ημ π π ημ π επομϋνωσ π και 1 π 1 π π π π π 1 π Αρα 1. Αρα η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο 1 Παρϊδειγμα ύ ϋ ϊ ύ Λύςη Σο πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ εύναι Α + Η ημ + εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα ςυνεών τησ ημ και Η + 1 εύναι ςυνεόσ ωσ πολυωνυμικό και επομϋνωσ το πηλύκο τουσ ημ ςυνεόσ Η ημ εύναι ςυνεόσ ωσ ςύνθεςη ςυνεών τησ και τησ ημ Η 4 εύναι ςυνεόσ πολυωνυμικό Η 4 εύναι ςυνεόσ ωσ ςύνθεςη ςυνεών τησ και τησ 4 Η ημ εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκο ςυνεών 1 Η εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκο ςυνεών τησ ςταθερόσ 1 και τησ πολυωνυμικόσ ημ + και τελικϊ η εύναι ςυνεόσ ςτο Α ωσ ϊθροιςμα των ςυνεών και 4 Παρϊδειγμα 4 5

6 1 ύ ϋ ϊ ύ 1 Λύςη Αν 1 ϋουμε: Η ημ π εύναι ςυνεόσ ωσ ςύνθεςη των ςυνεών ημ και π Η 1 εύναι ςυνεόσ ωσ πολυωνυμικό ημ π Η εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκον ςυνεών 1 Αν 1 ϋ : Η π εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα των ςυνεών και Η 1 εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα των ςυνεών και 1 Η π εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκο ςυνεών 1 Για 1 κϊνουμε ότι ακρι ώσ και ςτη παρϊδειγμα Παρϊδειγμα ύ ϊ ύ ύ ώ ύ ό Λύςη Για να εύναι η ςυνεόσ ςτο 1 πρϋπει να ιςύει 1 + α α + Για να εύναι ςυνεόσ θα πρϋπει το με 1 ϋ + α να υπϊρει και να εύναι πραγματικόσ αριθμόσ + α α α + 1 α α Και για α ϋω

7 και 1 γ Σελικϊ από την ςϋςη γ 1 και α Επομϋνωσ γ και 7 και α 7

8 ΑΚΗΕΙ ΣΗ ΤΝΕΦΕΙΑ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη με ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο 1 ΑΚΗΗ 2 α + + γ Για ποιεσ τιμϋσ των α 1 1 Εςτω ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο R ι Αν εύναι + 4 να ρεύτε ιι Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο να υπολογύςετε το + ΑΚΗΗ Έςτω ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο και για κϊθε ικανοποιεύ τη ςϋςη ημ ημ + Αν η f εύναι ςυνεόσ ςτο να υπολογύςετε το (0) ΑΚΗΗ 4 Αν δύο ςυναρτόςεισ, εύναι πραγματικϋσ και η ιςύει g 1 + ημ ςυν + 8 γ η εύναι ςυνεόσ και περιττό ςυνϊρτηςη και να εξετϊςετε αν η εύναι ςυνεόσ ςτο ΑΚΗΗ 5 Έςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο + η οπούα για κϊθε ψ + ικανοποιεύ τη ςϋςη ψ ψ + ψ ι Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο 1 να δεύξετε ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο + ιι Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο α>0 να δειθεύ ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο + ΑΚΗΗ 6 Έςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο η οπούα ικανοποιεύ τισ πιο κϊτω ςυνθόκεσ α + α ςυν + ςυνα για κϊθε α και 1 Να αποδεύξετε ότι Α Η εύναι ςυνεόσ ςτο ςυν ΑΚΗΗ 7 Δύνονται οι ςυναρτόςεισ και g οριςμϋνεσ και ςυνεεύσ ςτο [-α α] με α για τισ οπούεσ ιςύουν οι ςϋςεισ g ημ g ημ + 4 και. ςυν Να ρεθεύ η απόςταςη των ςημεύων που οι γραφικϋσ τουσ παραςτϊςεισ τϋμνουν τον ψ ψ

9 ΑΚΗΗ 8 Εςτω μύα ςυνϊρτηςη η οπούα εύναι ςυνεόσ ςτο [ 1] και (0)= 1. Να μελετηθεύ ωσ τη ςυνϋεια η ςυνϊρτηςη 1 g προσ ΑΚΗΗ 9 α. Δύνεται η ςυνϊρτηςη η οπούα ορύζεται ςτο ςύνολο Α α με 4 για κϊθε Α και ςημεύο με τετμημϋνη Α. Αν + 4 να εξεταςθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια η ςυνϊρτηςη ςτο. Αν g: Α ςυνεόσ ςτο και και g να δειθεύ ότι η ςυνϊρτηςη α g [ εύναι ςυνεόσ ςτο Α ΑΚΗΗ 10 Αν για μια ςυνϊρτηςη ƒ που εύναι οριςμϋνη ςτο + ιςύει η ςϋςη ψ + ψ για κϊθε και ψ. Να αποδεύξετε ότι 1. (1)= ψ 4. Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο 1 εύναι και ςτο + 5. Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο α εύναι ςυνεόσ και ςτο + 6. Αν 1 1 τότε να ρεθεύ το α α με α ΑΚΗΗ 11 Έςτω ƒ μύα ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο 1. α + + α + α + α + και. Να αποδεύξετε ότι : 1) (0)=1 2) + Αν 1 για την οπούα ιςύει τότε η εύναι ςυνεόσ ςτο 9

10 ΑΚΗΗ 12 Δύνεται η ςυνϊρτηςη ςυν π 1 1 α 1 1) Να ρεθεύ η τιμό του α για να εύναι ςυνεόσ η 2) Αν για τη ςυνϊρτηςη g: ιςύει g 1 α για κϊθε και η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο 1 να αποδειθεύ ότι και η ςυνϊρτηςη g εύναι ςυνεόσ ςτο 1 ΑΚΗΗ 13 Αν για μια ςυνϊρτηςη : ιςύει α α για κϊθε R 1) Να αποδειθεύ ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο α 2) Να εξεταςθεύ αν η ςυνϊρτηςη α α g α εύναι ςυνεόσ ςτο α α α 10

11 ΘΕΩΡΗΜΑ ΒΟLZANO-WEIERSTRASS Έςτω ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο ςύνολο Α για την οπούα ιςύουν: Εύναι ςυνεόσ ςε [α ] Α α Σότε η εξύςωςη =0 ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο α η υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα α τϋτοιο ώςτε η η ςυνϊρτηςη μηδενύζεται ςε ϋνα τουλϊιςτον ςημεύο ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Γεωμετρικϊ το θεώρημα ςημαύνει ότι το διϊγραμμα τησ ςυνϊρτηςησ τϋμνει τον ϊξονα ςε ϋνα τουλϊιςτον ςημεύο ςτο α Σο θεώρημα μασ δύνει μϋθοδο να προςδιορύςουμε τα διαςτόματα που η εξύςωςη ϋει ρύζεσ Η αναγκαιότητα τησ ςυνϋειασ φαύνεται ςτο παρακϊτω παρϊδειγμα 1. Παρϊδειγμα Δύδεται η ςυνϊρτηςη με τύπο εφ Να εξεταςθεύ αν ϋει ρύζα ςτο π π 4 Η ςυνϊρτηςη δεν ορύζεται ςτο και ενώ π 4 π 4 εφ π 4 εφ π και δεν ϋει ρύζεσ ςτο π π 4. Παρϊδειγμα 1 αν [ 1 ] Δύνεται η ςυνϊρτηςη + 1 αν ] Παρατηρούμε ότι Αλλϊ δεν ϋει ρύζεσ ςτο [-1 ] διότι δεν εύναι ςυνεόσ ςτο αφού

12 ΠΡΟΟΦΗ Σο θεώρημα δεν εύναι ικανό και αναγκαύα ςυνθόκη εύναι ικανό αλλϊ όι αναγκαύα δηλαδό αν ƒ α ƒ ςημαύνει ότι η εξύςωςη δεν ϋει ρύζα ςτο [α ] δηλ αν δεν ιςύει τι θεώρημα δεν ϋπεται ότι δεν ϋει ρύζα η εξύςωςη ƒ ΑΜΕΗ ΤΝΕΠΕΙΑ ΣΟΤ ΘΕΩΡΗΜΑΣΟ BOLZANO Εύναι όταν μύα ςυνϊρτηςη δεν μηδενύζεται ςε ϋνα διϊςτημα Δ και εύναι ςυνεόσ ςτο Δ τότε διατηρεύ ςταθερό το πρόςημο ςτο Δ. Διότι αν δεν διατηρούςε ςταθερό το πρόςημο τότε θα υπόραν Δ με ƒ και ƒ Άρα ƒ ƒ Άρα από ΘΒ ϋω Δ ώςτε ƒ το οπούο εύναι ϊτοπο. ΕΚΥΡΑΕΙ 1. Ζητεύται να δειθεύ ότι υπϊρει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο α. Θεώρημα Bolzano 2. Ζητεύται να δειθεύ ότι υπϊρει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [α ]. Σότε αποδεικνύομε ότι ƒ α ƒ και μετϊ παύρνω τισ παρακϊτω περιπτώςεισ ƒ α ƒ και οι ρύζεσ θα εύναι το α η το ƒ α ƒ και εφαρμόζω θεώρημα Άςκηςη Zητεύται να δειθεύ ότι υπϊρει ρύζα αλλϊ δεν δύνει το διϊςτημα. Σότε α. Βρύςκουμε μόνοι μασ τα ϊκρα του διαςτόματοσ δύνοντασ τιμϋσ αρακτηριςτικϋσ που ωσ ςυνόθωσ εύναι το μηδϋν η γύρω από το μηδϋν Παρϊδειγμα. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη + 1 ϋει μύα ρύζα ςτο. Βρύςκουμε τα όρια τησ ςυνϊρτηςησ ςτα ϊκρα του πεδύου οριςμού τησ. Παρϊδειγμα. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη + α + + γ ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα R 4. Ζητεύται να δειθεύ ότι ϋει μύα ακρι ώσ ρύζα ςτο διϊςτημα α η [α ] δεύνουμε ότι υπϊρει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο α η [α ] αποδεικνύουμε ότι εύναι μόνο μύα αποδεικνύοντασ 1. ότι εύναι γνηςύωσ αύξουςα η 2. δεόμενοι ότι ϋει δύο ρηςιμοποιώντασ το θεώρημα ROLLE που θα δούμε αργότερα. 3. Άςκηςη 4 5. Ζητεύται να δειθεύ ότι η εξύςωςη ϋει το πολύ π μύα ρύζα. Σότε δεν ρειϊζεται να αποδεύξουμε ότι υπϊρει ρύζα αλλϊ να αποκλεύςουμε να υπϊρουν δύο. Σο πρό λημα αντιμετωπύζεται ςυνόθωσ με τη μϋθοδο τησ εισ ϊτοπον απαγωγόσ αργότερα 6. Ζητεύται να δειθεύ ότι υπϊρουν δύο τουλϊιςτον ό δύο ακρι ώσ ςε ϋνα διϊςτημα 12

13 Σότε πρϋπει να ωρύςω το αρικό διϊςτημα ςε δύο διαςτόματα που να μην ϋουν κοινϊ ςημεύα και να αποδεύξω ότι υπϊρει μια ρύζα ςε κϊθε διϊςτημα. Σο διϊςτημα το ωρύζω ςε κϊποιο αρακτηριςτικό ςημεύο το οπούο φαύνεται από τα δεδομϋνα τισ περιςςότερεσ φορϋσ. Ένα αρακτηριςτικό ςημεύο εύναι το μϋςο του διαςτόματοσ. Παρϊδειγμα. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη 5 + ϋει δύο τουλϊιςτον ρύζεσ ςτο -1,1) Λύςη : Αν 5 + τότε (0)=2, (-1)=-4 και (1)=-. Εφαρμόζοντασ ΘΒ ςτο [-1 ] ϋω μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο -1 και ϊλλη μύα φορϊ ςτο [ 1] ϋω ϊλλη μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο 1. Άρα τελικϊ δύο τουλϊιςτον ρύζεσ ςτο -1,1) ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΩΝ ΣΙΜΩΝ Έζηω ζσλάρηεζε ƒ ποσ ορίδεηαη ζηο [α,β] θαη ηζτύοσλ ε ƒ είλαη ζσλετής ζηο [α,β] θαη ƒ(α) ƒ(β) ηόηε ε ƒ παίρλεη όιες ηης ηηκές αλάκεζα ζηης ηηκές ƒ(α) θαη ƒ(β) δειαδή αλ σποζέζοσκε όηη (ε) είλαη κηα ηηκή αλάκεζα ζηης ƒ(α) θαη ƒ(β) ηόηε σπάρτεη ηέηοηο ώζηε ƒ ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Η εικόνα ƒ Δ ενόσ διαςτόματοσ Δ μϋςω μια ςυνεούσ ςυνϊρτηςησ και μη ςταθερόσ ςυνϊρτηςησ ƒ εύναι διϊςτημα. Αν η ƒ εύναι ςταθερό όι το ςύνολο τιμών τησ εύναι μονοςύνολο μύα τιμό. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΗ ΚΑΙ ΕΛΑΦΙΣΗ ΣΙΜΗ Αλ κηα ζσλάρηεζε είλαη ζσλετής ζηο [α,β] ηόηε ε παίρλεη κία κέγηζηε ηηκή θαη κία ειάτηζηε ηηκή. Δειαδή σπάρτοσλ [ ] ηέηοηοη ώζηε ώζηε λα ηζτύεη γηα θάζε τ R ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ: Από το θεώρημα ενδιαμϋςων τιμών και το θεώρημα μεγύςτησ και ελαύςτησ τιμόσ προκύπτει ότι αν η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ [α ] τότε το ςύνολο Δ [, ] Αν η εύναι γνηςύωσ αύξουςα τότε = α και = ϊρα το ςύνολο τιμών Δ [ α ] Αν η ƒ εύναι γνηςύωσ φθύνουςα τότε = και = α ϊρα το ςύνολο τιμών Δ [ ( ), (α)] 13

14 Αν η εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ α τότε αν Κ και Λ αν η εύναι γνηςύωσ αύξουςα τότε το Δ Κ Λ αν η εύναι γνηςύωσ φθύνουςα τότε το Δ Λ Κ ΓΕΝΙΚΑ Αν η εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ [α ] τότε το [α ] [, ] ƒ Δ Αν η εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ [α ] τότε ϋει ςύγουρα μύα μϋγιςτη και μύα ελϊιςτη τιμό Γενικϊ ρηςιμοποιεύται όταν μασ ζητεύται να ρούμε το ςύνολο τιμών Aν ςτο ςύνολο τιμών υπϊρει η τιμό μηδϋν τότε υπϊρει Δ τϋτοιο ώςτε δηλ ύπαρξη ρύζασ αντύ του Θ. ΕΤΡΕΗ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ ΣΗ ΜΕ ΤΝΕΦΕΙΑ ΚΑΙ ΤΝΕΠΕΙΑ Θ. BOLZANO Παρϊδειγμα 1 Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη: ημ για κϊθε Να ρεθεύ ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ Λύςη Για κϊθε ιςύει ημ εύναι ςυνεόσ ςτο τότε και επομϋνωσ αρκεύ να ρούμε το ημ ημ αν με. Επειδό η ςυνϊρτηςη. Και τελικϊ ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ Παρϊδειγμα Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη + 1 για κϊθε α. Να δεύξετε ότι η διατηρεύ ςταθερό πρόςημο. Να ρεθεύ ο τύποσ τησ Λύςη α. Αφού η εύναι ςυνεόσ για να αποδεύξω ότι διατηρεύ ςταθερό πρόςημο πρϋπει να αποδεύξω ότι δεν μηδενύζεται ςτο πεδύο οριςμού τησ. Έςτω ότι υπϊρει τϋτοιο ώςτε. Σότε αν ςτη δοθεύςα θϋςω όπου το θα ϋω ϊτοπο ϊρα η διατηρει ςταθερό πρόςημο. 14

15 Από τη δοθεύςα ϋω Επειδό και η ςυνϊτηςη + εύναι ςυνεόσ και δεν μηδενύζεται διότι αν υπόρε ξ τϋτοιο ώςτε ξ τότε θα εύαμε από την για ξ ότι: ξ + ξ ξ + 1 διατηρεύ ςταθερό πρόςημο επομϋνωσ: ξ + 1 ϊτοπο. Αρα και η + 1 ό για κϊθε ό για κϊθε + 1 για κϊθε + 1 για κϊθε + 1 για κϊθε ό + 1 για κϊθε ΗΜΕΙΩΗ Αν ςτην εκφώνηςη μασ ϋδινε 1 ό τότε ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ θα όταν + 1 Παρϊδειγμα Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη 4 1 για κϊθε Αν να ρεθεύ ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ Λύςη Η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ. Έςτω ότι υπϊρει ξ τϋτοιο ώςτε ξ τότε αν ςτη δοθεύςα θϋςω ξ θα ϋω: ξ 4 ξ ξ. Δηλαδό το οπούο εύναι ϊτοπο Άρα η δεν μηδενύζεται και επομϋνωσ διατηρεύ ςταθερό πρόςημο. Και από τη δοθεύςα ϋω: Αν θεωρόςω τη ςυνϊρτηςη - τότε και η εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα ςυνεών και δεν μηδενύζεται πουθενϊ. Διότι αν υπόρε ξ τϋτοιο ώςτε ξ τότε από την Άρα + + ξ + +. Ατοπο + για κϊθε ό + για κϊθε + για κϊθε R Αν ςτη δοθεύςα θϋςω όπου τότε 4 ό 4 το εύναι ϊτοπο ϊρα 4 και ςυνεπώσ + + για κϊθε R για κϊθε R ό

16 Παρϊδειγμα 4 Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη για κϊθε Να ρεύτε το τύπο τησ Λύςη Έςτω ξ τϋτοιοσ ώςτε ξ από τη δοθεύςα ςϋςη θα ϋω αν θϋςω ξ ξ ξ ξ ξ. Επομϋνωσ η μοναδικό ρύζα εύναι η. τα διαςτόματα και + η διατηρεύ ςταθερό πρόςημο. Εςτω τότε θϊ ϋουμε με οπότε με και Παρόμοια όταν +. με + υνδυϊζοντασ και τισ δύο περιπτώςεισ θα ϋω: αν + αν αν αν αν + αν αν - και + ό και ό αν αν αν + αν αν + αν αν 16

17 ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΦΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ-ΑΚΗΕΙ ΑΚΗΗ 1 Εςτω η ςυνϊρτηςη : [ 1] [ 1] ςυνεόσ. Να αποδεύξετε ότι υπϊρει [1, ] ώςτε ΑΚΗΗ 2 Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη ςτο διϊςτημα [ ] και για κϊθε [ ] Να αποδεύξετε ότι υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα [ ] ώςτε + ΑΚΗΗ Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη : [α ] ώςτε να ιςύει α + α, Να αποδεύξετε ότι υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα θ [α ] ώςτε θ ΑΚΗΗ 4 Έςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο διϊςτημα Δ [α ] με f Δ Δ και 1 για κϊθε Δ. Να δειθεύ ότι Α η εύναι ςυνεόσ ςτο Δ Β η ςυνϊρτηςη εύναι γνηςύωσ φθύνουςα Γ Τπϊρει μοναδικό [α ] τϋτοιο ώςτε ΑΚΗΗ 5 Έςτω, ςυναρτόςεισ ςυνεεύσ ώςτε - για κϊθε και ςταθερό θετικό πραγματικό αριθμό. Αν η γραφικό παρϊςταςη τησ τϋμνει τον ςε δύο ςημεύα με ετερόςημεσ τετμημϋνεσ να αποδεύξετε η εξύςωςη ϋει μύα τουλϊιςτον λύςη ςτο ΑΚΗΗ 6 Έςτω η ςυνϊρτηςη + για κϊθε πραγματικό αριθμό και ςυνεόσ ςτο. Αν οι αριθμού 1 και εύναι δύο διαδοικϋσ λύςεισ τησ εξύςωςησ και η εξύςωςη g δεν ϋει ρύζεσ τουσ αριθμούσ 1 και να δεύξετε ότι g 1 g ΑΚΗΗ 7 Αν η εξύςωςη + [ α ] + α + όπου ςυνεόσ ςυνϊρτηςη ςτο [α. ] ϋει δύο πραγματικϋσ ρύζεσ να δειθεύ ότι η ϋει τουλϊιςτον μύα ρύζα ςτο [α ]. ΑΚΗΗ 8 Δύνεται η ςυνϊρτηςη : [α ] ςυνεόσ ςτο [α ] με α και ο μιγαδικόσ α +. Αν να δειθεύ ότι η εξύςωςη ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [α ]. ΑΚΗΗ 9 Έςτω η ςυνϊρτηςη : [α ] ςυνεόσ ςτο [α ] και οι μιγαδικού α + α και + με α. Αν + να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [α ]. 17

18 ΑΚΗΗ 1 Να δειθεύ ότι η εξύςωςη -εημ 1 με ε 1 ϋει μια μόνο ρύζα ςτο -1,2) εξύςωςη Kepler) ΑΚΗΗ 11 Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη ςτο και α. Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό +. Αν ιςύουν α α α α και για κϊποιο ιςύει α α α α και α α να αποδεύξετε ότι α ΑΚΗΗ 1 Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη και 1-1 ςε κϊποιο διϊςτημα Δ. Σότε η ςυνϊρτηςη εύναι γνηςύωσ μονότονη ςτο Δ. ΑΚΗΗ 13 Έςτω ςυνϊρτηςη ςυνεόσ ςτο ώςτε να ικανοποιεύ τισ ςυνθόκεσ 4 1 και 4ημ 4 Να αποδεύξετε ότι η γραφικό παρϊςταςη C f τησ ςυνϊρτηςησ τϋμνει την γραφικό παρϊςταςη τησ παρα ολόσ ψ + 1 ςε ςημεύο με τετμημϋνη ςτο διϊςτημα 1. ΑΚΗΗ 14 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεόσ ςτο [α ] με f α f να δειθεύ ότι υπϊρει α τϋτοιο ώςτε α + ΑΚΗΗ 15 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεόσ ςτο [α ] και [α ] να δειθεύ ότι υπϊρει ξ α τϋτοιο ώςτε v f ξ ΑΚΗΗ 16 Έςτω ςυνϊρτηςη : ςυνεόσ με 1 για κϊθε. Να δειθεύ ότι η ςυνϊρτηςη εύναι ςταθερό ΑΚΗΗ 17 Θεωρούμε τη ςυνεό ςυνϊρτηςη f ςυνεό ςτο [α ] και τουσ θετικούσ αριθμούσ με Να δειθεύ ότι υπϊρει γ [α ] τϋτοιο ώςτε γ ΑΚΗΗ 18 Δύνεται η ςυνεόσ ςυνϊρτηςη f: και ιςύει 1 για κϊθε Α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g(x)=f(x)-x διατηρεύ ςταθερό πρόςημο ςτο Β. Αν f 1 τότε 1. να ρεύτε το τύπο τησ f. να υπολογύςετε το 18

19 ΑΚΗΗ 19 Οι ςυναρτόςεισ και g εύναι ςυνεεύσ ςτο [ 5] και g για κϊθε [ 5] Να δειθεύ ότι υπϊρει ξ ξ 1 5 ώςτε g ξ ξ- 5-ξ ΑΚΗΗ Δύνεται η ςυνϊρτηςη με τύπο + + α με α. Να δειθούν 1. ότι η εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο πεδύο οριςμού τησ 2. να ρεθεύ το ςύνολο τιμών τησ 3. να δειθεύ ότι η εξύςωςη ϋει μύα μόνο ρύζα 19

20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΣΗ ΤΝΕΦΕΙΑ-ΟΡΙΑ ΑΚΗΗ 1 Αν ημ + να υπολογύςετε ΑΚΗΗ Αν ημ για κϊθε να ρεύτε το αν υπϊρει ΑΚΗΗ Αν ημ + ημ + + να δεύξετε ότι ΑΚΗΗ 4 Αν για μια ςυνϊρτηςη f ιςύει ςυν για κϊθε x να δεύξετε ότι η f εύναι ςυνεόσ ςτο ΑΚΗΗ 5 Αν για μύα ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη ςτο [ π] ιςύει Α. Να δεύξετε ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο π 1 + ημ + ημ για κϊθε [ π] Β. να υπολογύςετε το ςυν Γ. να υπολογύςετε το ΑΚΗΗ 6 Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g ςυνεεύσ ςτο με + g. Nα δειθεύ ότι η εξύςωςη f(x)g(x)=x ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [-1,1] ΑΚΗΗ 7 Να δεύξετε ότι η εξύςωςη lnx+ ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο 1) 20

21 ΑΚΗΗ 8 Έςτω η ςυνϊρτηςη f ςυνεόσ ςτο [α ] τϋτοια ώςτε f(x για κϊθε [α ] και ϋνασ μη μηδενικόσ μιγαδικόσ αριθμόσ τϋτοιοσ ώςτε + 1 α καθώσ και + 1. Να δεύξετε ότι 1. Η εξύςωςη α + ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο -1,1) 2. α ΑΚΗΗ 9 Για τη ςυνϊρτηςη ƒ: δύνεται ότι εύναι ςυνεόσ ςτο 1 και ƒ 1 να ρεθεύ το ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη ƒ: Αν 1 εφ π για την οπούα ιςύουν ι. + 1 και ιι. και ζητεύται 1. Να ρεθεύ 2. Σο R. ο κ ώςτε η ςυνϊρτηςη g να εύναι ςυνεόσ ςτο κ ΑΚΗΗ 11 Aν για τη ςυνϊρτηςη :[1 4] ιςύει α+ α + για κϊθε α [1,4] 1 4 να μελετηθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια η g ΑΚΗΗ 1 Αν η ςυνϊρτηςη με πεδύο οριςμού το και ςύνολο τιμών + εύναι ςυνεόσ ςτο 4 και 4 ημ π π 4 τότε 1) Να ρεθεύ η τιμό (4) 21

22 2) Να ρεθεύ το όριο ΑΚΗΗ 13 Αν η ςυνϊρτηςη ορύζεται ςτο 1 + και ψ ψ ψ ψ για ψ 1. Να δειθεύ ότι 1. Η ςυνϊρτηςη g εύναι ςυνεόσ ςτο Αν η εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςυνϊρτηςη με τότε η εξύςωςη g ϋει ακρι ώσ μύα ρύζα ςτο 1 + ΑΚΗΗ 14 Εςτω g δύο ςυναρτόςεισ με πεδύο οριςμού το. Αν η g εύναι ςυνεόσ ςτο α και και με Να δειθεύ ότι g ςυνεόσ g α 22

ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ

ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ Πληκτρολογόςτε την εξύςωςη εδώ. ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Θα λϋμε ότι : Η ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ό ςτρϋφει τα κούλα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Έζηω Έζηω ζπλάξηεζε ζπλάξηεζε f ζπλερήο f γηα γηα ηελ ηελ νπνία νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: ςυνεόσ είλαη ζπλερήο ςτο [α,β] ζην [α,β] f(α)=f(β) παξαγωγίζηκε ζην (α,β) f(α)=f(β) Σόηε ππάξρεη έλα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ)

Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) : 1. ΤΝΑΡΣΗΕΙ Ορύζουν και να αναγνωρύζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη 2 1.1 Επανϊληψη Εκφρϊζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη ωσ ςύνθεςη ϊλλων ςυναρτόςεων Ορύζουν και

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι

Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 1 Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 03/07/2013 ΘΕΜΑ Η δοκόσ του ςχόματοσ α ϋχει τη διατομό του ςχόματοσ β. Ζητούνται: a) Σα διαγρϊμματα Q και M. b) Σο απαιτούμενο πϊχοσ t του

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΘΕΜΑ 1 0 : (25μονάδεσ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ τισ ερωτόςεισ 1-4, να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη:

Διαβάστε περισσότερα

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Ποιοσ εύναι ο οριςμόσ του ςυνόλου; Γιατύ μαθαύνουμε οριςμούσ; Αν ςκεφτεύ κανεύσ ότι τα μαθηματικϊ εύναι μια γλώςςα, όπωσ τα ελληνικϊ ό τα αγγλικϊ, και ο ςκοπόσ τησ εύναι να διευκολύνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Μαθηματικϊ Β' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Η διδαςκαλύα των Μαθηματικών Κοινού Κορμού επιδιώκει να δώςει ςτο μαθητό τα εφόδια για την αντιμετώπιςη καθημερινών αναγκών ςε αριθμητικϋσ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ 1 ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΔΟΑΣΑΠ ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ ΑΣΕΙ ΕΜΠ - ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΨΝ 31/01/2011 ΘΕΜΑ 1 ο τον φορϋα του ςχόματοσ η οριζόντια δοκόσ ACD διατομόσ Σ (που φϋρει το ομοιόμορφο κατανεμημϋνο κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Ε.Μ.Π. - ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Ε.Μ.Π. - ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Ε.Μ.Π. - ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΝΣΟΧΗ ΤΛΙΚΩΝ 26/09/2011 ΘΕΜΑ 1 ο Η κιβωτοειδούσ διατομόσ δοκόσ BD ςυγκολλϊται ςτην ορθογωνικόσ διατομόσ αμφιϋρειςτη δοκό ΑΒC και φορτύζεται όπωσ ςτο ςχόμα. 1. Να γύνουν

Διαβάστε περισσότερα

Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη.

Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 0 : (25 μονϊδεσ) ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΥΤΙΚΗ B ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΗΛΕΚΣΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΥΤΙΚΗ B ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΗΛΕΚΣΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΥΤΙΚΗ B ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΗΛΕΚΣΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΘΕΜΑ 1 0 : (25 μονάδεσ) τισ ερωτόςεισ 1-5 να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ ςτο τετρϊδιό ςασ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο

Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο 1 Οριςμοί Ζννοια τησ Λογιςτικήσ Εύναι μϋςο παροχόσ οικονομικών πληροφοριών προσ διϊφορεσ ομϊδεσ ενδιαφερομϋνων για την πορεύα μιασ επιχεύρηςησ που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ

ΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ ΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ Τμθμα: Χρηματοοικονομικθς και Τραπεζικθς Διοικητικθς Εξάμηνο: Γ Μ. Ανθρωπέλοσ. Άςκηςη 1 α) Γρϊψτε το πρόβλημα ςτην τυποποιημϋνη του μορφό.

Διαβάστε περισσότερα

E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ

E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ 1 E.M.Π. - ΣΜΗΜΑ ΝΑΤΠΗΓΩΝ ΜΗΦΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΗ-Ι-04/07/2008 ΘΕΜΑ 1 ο Οριζόντια απαραμόρφωτη ρϊβδοσ ΟΟ' (θεωρεύται αβαρόσ) ςτηρύζεται με ϊρθρωςη ςτο ςημεύο Ο και κρϋμεται όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα

Διαβάστε περισσότερα

Ειςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων

Ειςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων Ειςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων υςτόματα Αρύθμηςησ Γκϊμασ Βαςύλειοσ, Οικονομϊκοσ Μιχϊλησ Συςτήματα Αρίθμηςησ (I) Δεκαδικό ςύςτημα: Έχει βϊςη το 10 και χρηςιμοποιεύ 10 ψηφύα (0-9) για την αναπαρϊςταςη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Μ.Π. - ΦΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ - ΣΑΣΙΚΗ ΙΙ -17/02/2012

Ε.Μ.Π. - ΦΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ - ΣΑΣΙΚΗ ΙΙ -17/02/2012 1 Ε.Μ.Π. - ΦΟΛΗ ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ - ΣΑΣΙΚΗ ΙΙ -17/02/2012 ΘΕΜΑ 1 ο τον φορϋα του ςχόματοσ ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγρϊμματα M, Q, N. β) να βρεθεύ η κατακόρυφη μετακύνηςη του κόμβου 4 ςε μϋγεθοσ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΔΙΟΙΚΗΗ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι 6 Δεκεμβρύου 2015 ΕΙΑΓΩΓΗ Με την παραγώγιςη μιασ ςυνϊρτηςησ ϋςτω F(x) παύρνουμε μια ϊλλη ςυνϊρτηςη,

Διαβάστε περισσότερα

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

Βρύςκω την ροπό του ςτηρύγματοσ Β και την μϋγιςτη ροπό ςτο ϊνοιγμα ΑΒ. Βρύςκω τισ τϋμνουςεσ ςτα χαρακτηριςτικϊ ςημεύα του φορϋα.

Βρύςκω την ροπό του ςτηρύγματοσ Β και την μϋγιςτη ροπό ςτο ϊνοιγμα ΑΒ. Βρύςκω τισ τϋμνουςεσ ςτα χαρακτηριςτικϊ ςημεύα του φορϋα. 1 Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΙΔΗΡΕ ΚΑΙ ΞΤΛΙΝΕ ΚΑΣΑΚΕΤΕ 26/06/2013 ΘΕΜΑ 1 ο Δύνεται μια ςυνεχόσ δοκόσ διατομόσ IPB από χϊλυβα Fe360 με δύο ύςα ανούγματα μόκουσ L=6m το καθϋνα η οπούα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ. Παρϊδειγμα 1. Το κόςτοσ παραγωγόσ Κ(χ) και η τιμό πώληςησ Π(χ), χ μονϊδων ενόσ προώόντοσ δύνεται από τη ςυνϊρτηςη:

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ. Παρϊδειγμα 1. Το κόςτοσ παραγωγόσ Κ(χ) και η τιμό πώληςησ Π(χ), χ μονϊδων ενόσ προώόντοσ δύνεται από τη ςυνϊρτηςη: ΟΡΙΜΟ Έςτω ότι ϋχουμε δύο μεγϋθη χ,ψ τα οπούα ςυνδϋονται με τη ςχϋςη ψ=f(χ) και η ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςτο χ 0. Ονομϊζουμε ρυθμό μεταβολόσ του ψ ωσ προσ χ ςτο ςημεύο χ 0 την παρϊγωγο f (χ 0 )

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ. 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ

Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ. 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ Θέμα Α Α.1 γ Α.2 β Α.3 γ Α.4 γ Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ Α.5 α Σ, β Λ, γ Σ, δ Λ, ε Λ Θέμα Β Β.1 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ Στην θϋςη ιςορροπύασ τησ m1

Διαβάστε περισσότερα

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 5 ΠΙΝΑΚΕΣ. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 5 1

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 5 ΠΙΝΑΚΕΣ. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 5 1 Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 5 ΠΙΝΑΚΕΣ Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 5 1 Περιεχόμενα Πύνακεσ Αλφαριθμητικϊ Σκοπόσ μαθόματοσ: Να αναγνωρίζετε πότε είναι απαραίτητη η χρήςη του τύπου του πίνακα, Να δώςετε παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

a) χεδιαςτούν τα διαγρϊμματα ροπών, τεμνουςών και αξονικών δυνϊμεων. b) Πραγματοποιηθούν όλοι οι απαραύτητοι ϋλεγχοι επϊρκειασ.

a) χεδιαςτούν τα διαγρϊμματα ροπών, τεμνουςών και αξονικών δυνϊμεων. b) Πραγματοποιηθούν όλοι οι απαραύτητοι ϋλεγχοι επϊρκειασ. 1 Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΙΔΗΡΕ ΚΑΙ ΞΤΛΙΝΕ ΚΑΣΑΚΕΤΕ - 13/02/2013 ΘΕΜΑ 1 ο Δύνεται υποςτύλωμα ύψουσ 8m με ϊρθρωςη ςτον πόδα και κύλιςη ςτη κεφαλό διατομόσ ΗΕΒ320 (θερμόσ ϋλαςησ Fe

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι.

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. 1 Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ - ΣΑΣΙΚΗ Ι - ΠΡΟΟΔΟ 06/05/2011 ΘΕΜΑ 1 ο τον παρακϊτω φορϋα ζητούνται να ςχεδιαςτούν τα διαγρϊμματα M,Q,N. Λύςη: Ο φορϋασ αποτελεύται από ϋνα δευτερεύων τριαρθρωτό τόξο που

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΟ ΔΗΜΟΣΙΚΟ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ 4 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών που ϋρχονται από το Δημοτικό ςτο Γυμνϊςιο. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ

Διαβάστε περισσότερα

Οριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2

Οριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2 Θεωρία Γράφων 1 Οριςμόσ προβλήματοσ Οποιοδόποτε επιφϊνεια που χωρύζεται ςε περιοχϋσ, όπωσ ϋνασ πολιτικόσ χϊρτησ των νομών ενόσ κρϊτουσ, μπορούν να χρωματιςτούν χρηςιμοποιώντασ λιγότερα από τϋςςερα χρώματα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

19/10/2009. Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Spatial Operations. Σήμερα... Τφποι ερωτήςεων (Queries)

19/10/2009. Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Spatial Operations. Σήμερα... Τφποι ερωτήςεων (Queries) Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Spatial Operations Δημότρησ Μιχελϊκησ Τμόμα Εφαρμοςμϋνησ Πληροφορικόσ και Πολυμϋςων Σχολό Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρότησ dimmihel@epp.teicrete.gr

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου

Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου Σχολή Εφαρμοςμζνων Μαθηματικών και Φυςικών Επιςτημών Εθνικό Μετςόβιο Πολυτεχνείο Τμήμα Μαθηματικών Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου Εκπόνηςη πτυχιακήσ εργαςίασ Κάρδαρησ Δημήτρησ Α.Μ 09104188

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)

A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες) A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΣΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΟ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ

«ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΣΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΟ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ «ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΣΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΟ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ 1 2 3.1 Συμβολοςειρζσ Ένασ πολύ χρόςιμοσ τύποσ εύναι η κλάςη String, του πακϋτου java.lang, η οπούα χρηςιμεύει ςτην αναπαρϊςταςη

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά ΕΓΦΕΙΡΙΔΙΟ ΦΡΗΗ ΕΡΓΑΛΕΙΨΝ ΑΝΑΓΝΨΡΙΗ ΕΙΑΓΨΓΗ Η ύπαρξη ϋγκυρων και αξιόπιςτων εργαλεύων αναγνώριςησ χαριςματικών μαθητών κρύνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει

Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0

Διαβάστε περισσότερα

19/10/2009. Προηγοφμενη βδομάδα... Σήμερα Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Χωρικά Μοντζλα Δεδομζνων. Δομή του μαθήματοσ

19/10/2009. Προηγοφμενη βδομάδα... Σήμερα Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Χωρικά Μοντζλα Δεδομζνων. Δομή του μαθήματοσ Προηγοφμενη βδομάδα... Σήμερα Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Χωρικά Μοντζλα Δεδομζνων Δημότρησ Μιχελϊκησ Τμόμα Εφαρμοςμϋνησ Πληροφορικόσ και Πολυμϋςων Σχολό Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΙΣΛΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ: ΥΗΜΙΚΔ & ΒΙΟΥΗΜΙΚΔ ΓΙΔΡΓΑΙΔ ΔΝΟΣΗΣΑ: 4 ο Μέρος ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΣΗ: ΑΘΑΝΑΙΑ ΣΔΚΔΡΛΔΚΟΠΟΤΛΟΤ ΣΜΗΜΑ: Σμήμα Γιατείριζης Περιβάλλονηος και

ΣΙΣΛΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ: ΥΗΜΙΚΔ & ΒΙΟΥΗΜΙΚΔ ΓΙΔΡΓΑΙΔ ΔΝΟΣΗΣΑ: 4 ο Μέρος ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΣΗ: ΑΘΑΝΑΙΑ ΣΔΚΔΡΛΔΚΟΠΟΤΛΟΤ ΣΜΗΜΑ: Σμήμα Γιατείριζης Περιβάλλονηος και ΣΙΣΛΟ ΜΑΘΗΜΑΣΟ: ΥΗΜΙΚΔ & ΒΙΟΥΗΜΙΚΔ ΓΙΔΡΓΑΙΔ ΔΝΟΣΗΣΑ: 4 ο Μέρος ΟΝΟΜΑ ΚΑΘΗΓΗΣΗ: ΑΘΑΝΑΙΑ ΣΔΚΔΡΛΔΚΟΠΟΤΛΟΤ ΣΜΗΜΑ: Σμήμα Γιατείριζης Περιβάλλονηος και Φσζικών Πόρων ΑΓΡΙΝΙΟ Σο παρόν εκπαιδεσηικό σλικό σπόκειηαι

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έστω συνάρτηση f για την οποία ισύουν είναι συνεής στο κλειστό [α,β] είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Τότε υπάρει τουλάιστον ένα σημείο ξ του (α,β), τέτοιο ώστε να είναι : f (ξ) = ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εντολζς του Λειτουργικοφ Συστήματος UNIX

Εντολζς του Λειτουργικοφ Συστήματος UNIX Παράδειγμα Δζνδρου Συστήματος Αρχείων Εντολζς του Λειτουργικοφ Συστήματος UNIX Στα παραδεύγματα που ακολουθούν υποθϋτουμε την παρακϊτω δενδρικό δομό Τμόμα Τεχνολογύασ Πληροφορικόσ και Τηλεπικοινωνιών ΤΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΕΦ Τ ΣΗΜΑΣΑ ΑΡΙΘΜΗ Η ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 425 = 4 εκατοντϊδεσ 2 δεκϊδεσ 5 μονϊδεσ 4 * 2* 5* 4 * 2* 5* 4 *2 2* 5* 94257 = 9* 4* 2* 5* 7* * 9*5 4*4 5*2 7* * 2*3 Για τον προηγούμενο αριθμό Θϋτοντασ β= (η βϊςη

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Η διατομό καταπονεύται από θλιπτικό αξονικό δύναμη ςχεδιαςμού Ν sd=50kn και απο θετικό καμπτικό ροπό ςχεδιαςμού Μ sd=1100knm.

Η διατομό καταπονεύται από θλιπτικό αξονικό δύναμη ςχεδιαςμού Ν sd=50kn και απο θετικό καμπτικό ροπό ςχεδιαςμού Μ sd=1100knm. 1 Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ Σ.Ε. - ΘΕΜΑ ΤΜΜΕΙΚΣΕ ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΥΕΒΡΟΤΑΡΙΟ 2012 Δύνονται η παρακϊτω διατομό: Η διατομό καταπονεύται από θλιπτικό αξονικό δύναμη ςχεδιαςμού Ν sd=50kn και απο θετικό

Διαβάστε περισσότερα

Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ;

Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Dr. jennifer Dennis, Ιατρική Σύμβουλοσ του Συλλόγου για το Σύνδρομο Down (1993) Ο αδϋνασ

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

22/11/2009. Προηγοφμενη βδομάδα... Δεδομζνα απο Δευτερεφουςεσ πηγζσ. Αυτή την βδομάδα...

22/11/2009. Προηγοφμενη βδομάδα... Δεδομζνα απο Δευτερεφουςεσ πηγζσ. Αυτή την βδομάδα... Προηγοφμενη βδομάδα... Δεδομζνα απο Δευτερεφουςεσ πηγζσ Πρωτογενό δεδομϋνα Αρχϋσ και τεχνικϋσ που χρηςιμοποιούνται ςτην ςυλλογό γεωγραφικών δεδομϋνων Πωσ χρηςιμοποιούμε το GPS και την Τηλεπιςκόπηςη ςαν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Η/Υ ςτην Επιχείρηςη

Δίκτυα Η/Υ ςτην Επιχείρηςη Δίκτυα Η/Υ ςτην Επιχείρηςη Βαςικϊ θϋματα δικτύων Γκϊμασ Βαςύλειοσ, Εργαςτηριακόσ υνεργϊτησ Δίκτυο Υπολογιςτών Δύκτυο: ςύςτημα επικοινωνύασ δεδομϋνων που ςυνδϋει δύο ό περιςςότερουσ αυτόνομουσ και ανεξϊρτητουσ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΧΗΜΕΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΠΡΩΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΧΗΜΕΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΡΩΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΧΗΜΕΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Θϋμα Α. Για τισ ερωτόςεισ -5 να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη.. Σο ϊτομο του 3 a αποτελεύται από: Α. πρωτόνια,

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΗΝ ΤΛΗ ΣΗ Α' ΣΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών με ςκοπό τη ςυμπλόρωςη κενών. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ

Διαβάστε περισσότερα

Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ

Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ Τουσ τελευταύουσ μόνεσ κυοφορούνται εξελύξεισ προσ την κατεύθυνςη επύλυςησ διαφόρων ζητημϊτων που ταλανύζουν την ανατολικό Μεςόγειο και τη Μϋςη Ανατολό. Η παρατεταμϋνη

Διαβάστε περισσότερα

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 4. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 4. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4 Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 4 Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4 1 Περιεχόμενα Προτϊςεισ επανϊληψησ Προτϊςεισ Διακλϊδωςησ Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4 2 Προτάςεισ επανάληψησ Οι προτϊςεισ επανϊληψησ (iterative ό loop

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ -3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ -

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κατεύθυνςησ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κατεύθυνςησ Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κατεύθυνςησ ΘΕΜΑ 1 0 : (25μονάδεσ) Στισ ερωτόςεισ 1-4, να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε.

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. 1 Σ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε.- ΘΕΜΑ ΟΠΛΙΜΕΝΟΤ ΚΤΡΟΔΕΜΑΣΟ Ι 10/10/2011 τισ διπλανϋσ πλϊκεσ οι οπούεσ εδρϊζονται ςε δοκούσ πλϊτουσ 030 m ζητούνται. 1)Να προςδιοριςθούν τα θεωρητικϊ ανούγματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ

ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ 1 ΔΗΜΟΚΡΙΣΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕΡΕΟΤ ΩΜΑΣΟ ΙΙ -04-03-2009 Θϋμα 1 ο Να γύνει πλόρησ επύλυςη του μικτού φορϋα του ςχόματοσ και ακολούθωσ να καταςκευαςτούν

Διαβάστε περισσότερα

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Διομότιμα Συςτόματα (P2P systems) To ςύςτημα Pastry

Διομότιμα Συςτόματα (P2P systems) To ςύςτημα Pastry Διομότιμα Συςτόματα (P2P systems) To ςύςτημα Pastry Η ζννοια του δικτφου επικάλυψησ Θεώρηςη των P2P ςυςτημϊτων ωσ ΚΣ που λειτουργούν ςτο επύπεδο εφαρμογόσ και ςτα οπούα κϊθε ζεύγοσ ομότιμων κόμβων επικοινωνεύ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης Συνάρτηση από το σύνολο Α στο Β λέγεται μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο x του Α, αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΣΑ ΠΡΟ ΛΤΗ ΓΙΑ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΑΚΗΗ 1

ΘΕΜΑΣΑ ΠΡΟ ΛΤΗ ΓΙΑ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΑΚΗΗ 1 1 ΘΕΜΑΣΑ ΠΡΟ ΛΤΗ ΓΙΑ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΑΚΗΗ 1 Δίνεται ο κάτωθι μικτόσ φορέασ ο οποίοσ θεωρείται για την επίλυςη τησ άςκηςησ αβαρήσ.ζητούνται: α.η απόδειξη τησ ιςοςτατικότητασ του φορέα. β. Η απόδειξη τησ ςτερέοτητασ

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτικές μεταβλητές με δύο κατηγορίες- Διχοτομικές (dichotomies): Ποιοτικϋσ μεταβλητϋσ με δύο κατηγορύεσ-διχοτομικϋσ (dichotomies):

Ποιοτικές μεταβλητές με δύο κατηγορίες- Διχοτομικές (dichotomies): Ποιοτικϋσ μεταβλητϋσ με δύο κατηγορύεσ-διχοτομικϋσ (dichotomies): ΕΙΔΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Κατηγορικϋσ Κατηγορικές ό ή ποιοτικϋσ ποιοτικές μεταβλητές μεταβλητϋσ (nominal): Η απλούςτερη απλούστερη μορφή μορφό κωδικοποίησης κωδικοπούηςησ τιμών τιμών χωρίς χωρύσ τις τισ έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8/05/0, :40) Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Στισ παρακϊτω ερωτήςεισ -4 να γρϊψετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δίπλα το γρϊμμα που αντιςτοιχεί ςτην ςωςτή απϊντηςη..

Διαβάστε περισσότερα

Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων

Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων Ενημερωτικό ημείωμα Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων -Σι προβλέπει η νομοθετική ρύθμιςη για την προ-πτωχευτική διαδικαςία εξυγίανςησ επιχειρήςεων; Με την προτεινόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Το Νέο Εκπαιδευηικό Σύζηημα

Το Νέο Εκπαιδευηικό Σύζηημα ελύδα1 Το Νέο Εκπαιδευηικό Σύζηημα Από το ςχολικό ϋτοσ 2013-2014 και για τουσ μαθητϋσ που φοιτούν ςτην Α Λυκεύου ϋχει τεθεύ ςε ιςχύ το νϋο αναλυτικό πρόγραμμα. τόχοσ των αλλαγών εύναι να ενδυναμωθούν τα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα