ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ"

Transcript

1 ΣΥΝΕΦΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ-ΘΕΩΡΙΑ Έζηω ζσλάρηεζε θαη ποσ αλήθεη ζηο πεδίο ορηζκού ηες. Θα ιέκε όηη ε είλαη ζσλετής ζηο αλ θαη κόλο αλ Αςυνεόσ θα εύναι μύα ςυνϊρτηςη αν δεν υπϊρει το Αν υπϊρει το όριο αλλϊ δεν ιςούται με την αριθμητικό τιμό δηλ. ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΗ ΑΤΝΕΦΕΙΑ Αςυνεόσ διότι το όριο ςτο δενιςούται με την αριθμητικό τιμό Αςυνεόσ διότι δεν υπϊρει το όριο ςτο Εδώ δεν μπορούμε να μιλόςουμε για ςυνϋεια ςτο αφού δεν ορύζεται η ςυνϊρτηςη Αςυνεόσ διότι δεν υπϊρει το όριο ϊςετα αν το Αςυνεόσ διότι το όριο υπϊρει και εύναι το + αλλϊ δεν ιςούται με την αριθμητικό τιμό Αςυνεόσ διότι δεν υπϊρει το όριο Παραδεύγματα 1

2 1. Να εξεταςθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια οι ςυναρτόςεισ α. αν αν 1 ςτο αν 6 αν ςτο γ. Λύςη α. 9 + αν 7 αν 1 και και 1 1. Αρα η εύναι ςυνεόσ ςτο 1 ςτο δ. αν αν 1 ςτο και (-3)=-6 Άρα η εύναι ςυνεόσ ςτο γ. Αλλϊ Αρα αςυνεόσ δ. και Άρα δεν υπϊρει το όριο ςτο 1 2

3 ΟΡΙΣΜΟΣ Μία ζσλάρηεζε ζα ιέκε όηη είλαη ζσλετής ζηο πεδίο ορηζκού ηες αλ είλαη ζσλετής ζε θάζε ζεκείο ηοσ πεδίοσ ορηζκού ηες Αν οι ςυναρτόςεισ g εύναι ςυνεεύσ ςτο τότε εύναι ςυνεεύσ ςτο και οι + g με g αρκεύ να ορύζονται κοντϊ ςτο ϋςτω Ρ πολυώνυμο τότε ϋουμε δεύξει ότι Ρ g Ρ ϊρα η πολυωνυμικό ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο κϊθε ρητό ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο πεδύο οριςμού τησ διότι Ρ επειδό ςυν ςυν και ημ ημ η ημ και g ςυν εύναι ςυνεεύσ ςτο οι ςυναρτόςεισ εφ και g ςφ εύναι ςυνεεύσ ςτο πεδύο οριςμού τουσ ωσ πηλύκο ςυνεών Η α και g g εύναι ςυνεεύσ ςτο πεδύο οριςμού τουσ Αν η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο και η ςυνϊρτηςη g εύναι ςυνεόσ ςτο f( τότε και η gο εύναι ςυνεόσ ςτο ΣΥΝΕΦΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μηα ζσλάρηεζε ζα ιέκε όηη είλαη ζσλετής ζηο [α,β] αλ ηζτύοσλ είλαη ζσλετής ζηο (α,β) ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Μια ςυνϊρτηςη ςυνεόσ ςε κλειςτό διϊςτημα [α ] ϋει γραφικό παρϊςταςη ςυνεό γραμμό ςτο [α ] 3

4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1. Όταν η ϊςκηςη μασ ζητϊει να εξετϊςουμε τη ςυνϋεια ςε ϋνα ςημεύο τότε δουλεύουμε με τον οριςμό τησ ςυνϋειασ ςε ςημεύο Παρϊδειγμα 1 και ) 2. Αν μασ ζητϊει η ϊςκηςη να μελετηθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια ωρύσ να γύνεται αναφορϊ ςε κϊποιο ςυγκεκριμϋνο ςημεύο του πεδύου οριςμού τησ τότε εννοεύται ότι πρϋπει να τη μελετόςουμε ςε όλο το πεδύο οριςμού τησ. Παρϊδειγμα 3. Αν η ςυνϊρτηςη εύναι διπλού η πολλαπλού τύπου τότε: α. Μελετϊμε τη ςυνϋεια ςτα εςωτερικϊ ςημεύα των διαςτημϊτων με τισ πρϊξεισ όπωσ ςτο παρϊδειγμα.. Και μετϊ μελετϊμε τη ςυνϋεια ςτο ςημεύο εκεύνο που αλλϊζει ο τύποσ ρύςκοντασ τα πλευρικϊ όρια και ςυγκρύνοντϊσ τα με την αριθμητικό τιμό. παρϊδειγμα 4 γ. Αν εύναι παραμετρικό και μασ ζητεύται να ρεθούν οι παρϊμετροι για να εύναι ςυνεόσ ςτο ό ςτο πεδύο οριςμού τησ τότε απαιτούμε: ό και ϋουμε να λύςουμε εξύςωςη ό ςύςτημα για την εύρεςη των παραμϋτρων. Παρϊδειγμα 5 Παρϊδειγμα 1 ϊ ύ ϊ ύ + ύ ό Λύςη Αρα υ ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο Παρϊδειγμα 1 ύ ϊ ύ ύ ό 1 Λύςη Φρηςιμοποιώντασ τον οριςμό πρϋπει να ρούμε το. Αλλϊ για να ρούμε το όριο πρϋπει να ρούμε τα πλευρικϊ όρια ςτο 1 αφού αριςτερϊ και δεξιϊ του 1 η ςυνϊρτηςη αλλϊζει τύπο. 4

5 ημ π και κϊνοντασ τον μεταςηματιςμό 1 ϋω ότι του 1 1 το αφού με 1 1 ό 1 ημ π ημ π 1 ημ π π ημ π επομϋνωσ π και 1 π 1 π π π π π 1 π Αρα 1. Αρα η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο 1 Παρϊδειγμα ύ ϋ ϊ ύ Λύςη Σο πεδύο οριςμού τησ ςυνϊρτηςησ εύναι Α + Η ημ + εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα ςυνεών τησ ημ και Η + 1 εύναι ςυνεόσ ωσ πολυωνυμικό και επομϋνωσ το πηλύκο τουσ ημ ςυνεόσ Η ημ εύναι ςυνεόσ ωσ ςύνθεςη ςυνεών τησ και τησ ημ Η 4 εύναι ςυνεόσ πολυωνυμικό Η 4 εύναι ςυνεόσ ωσ ςύνθεςη ςυνεών τησ και τησ 4 Η ημ εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκο ςυνεών 1 Η εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκο ςυνεών τησ ςταθερόσ 1 και τησ πολυωνυμικόσ ημ + και τελικϊ η εύναι ςυνεόσ ςτο Α ωσ ϊθροιςμα των ςυνεών και 4 Παρϊδειγμα 4 5

6 1 ύ ϋ ϊ ύ 1 Λύςη Αν 1 ϋουμε: Η ημ π εύναι ςυνεόσ ωσ ςύνθεςη των ςυνεών ημ και π Η 1 εύναι ςυνεόσ ωσ πολυωνυμικό ημ π Η εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκον ςυνεών 1 Αν 1 ϋ : Η π εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα των ςυνεών και Η 1 εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα των ςυνεών και 1 Η π εύναι ςυνεόσ ωσ πηλύκο ςυνεών 1 Για 1 κϊνουμε ότι ακρι ώσ και ςτη παρϊδειγμα Παρϊδειγμα ύ ϊ ύ ύ ώ ύ ό Λύςη Για να εύναι η ςυνεόσ ςτο 1 πρϋπει να ιςύει 1 + α α + Για να εύναι ςυνεόσ θα πρϋπει το με 1 ϋ + α να υπϊρει και να εύναι πραγματικόσ αριθμόσ + α α α + 1 α α Και για α ϋω

7 και 1 γ Σελικϊ από την ςϋςη γ 1 και α Επομϋνωσ γ και 7 και α 7

8 ΑΚΗΕΙ ΣΗ ΤΝΕΦΕΙΑ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη με ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο 1 ΑΚΗΗ 2 α + + γ Για ποιεσ τιμϋσ των α 1 1 Εςτω ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο R ι Αν εύναι + 4 να ρεύτε ιι Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο να υπολογύςετε το + ΑΚΗΗ Έςτω ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο και για κϊθε ικανοποιεύ τη ςϋςη ημ ημ + Αν η f εύναι ςυνεόσ ςτο να υπολογύςετε το (0) ΑΚΗΗ 4 Αν δύο ςυναρτόςεισ, εύναι πραγματικϋσ και η ιςύει g 1 + ημ ςυν + 8 γ η εύναι ςυνεόσ και περιττό ςυνϊρτηςη και να εξετϊςετε αν η εύναι ςυνεόσ ςτο ΑΚΗΗ 5 Έςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο + η οπούα για κϊθε ψ + ικανοποιεύ τη ςϋςη ψ ψ + ψ ι Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο 1 να δεύξετε ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο + ιι Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο α>0 να δειθεύ ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο + ΑΚΗΗ 6 Έςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο η οπούα ικανοποιεύ τισ πιο κϊτω ςυνθόκεσ α + α ςυν + ςυνα για κϊθε α και 1 Να αποδεύξετε ότι Α Η εύναι ςυνεόσ ςτο ςυν ΑΚΗΗ 7 Δύνονται οι ςυναρτόςεισ και g οριςμϋνεσ και ςυνεεύσ ςτο [-α α] με α για τισ οπούεσ ιςύουν οι ςϋςεισ g ημ g ημ + 4 και. ςυν Να ρεθεύ η απόςταςη των ςημεύων που οι γραφικϋσ τουσ παραςτϊςεισ τϋμνουν τον ψ ψ

9 ΑΚΗΗ 8 Εςτω μύα ςυνϊρτηςη η οπούα εύναι ςυνεόσ ςτο [ 1] και (0)= 1. Να μελετηθεύ ωσ τη ςυνϋεια η ςυνϊρτηςη 1 g προσ ΑΚΗΗ 9 α. Δύνεται η ςυνϊρτηςη η οπούα ορύζεται ςτο ςύνολο Α α με 4 για κϊθε Α και ςημεύο με τετμημϋνη Α. Αν + 4 να εξεταςθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια η ςυνϊρτηςη ςτο. Αν g: Α ςυνεόσ ςτο και και g να δειθεύ ότι η ςυνϊρτηςη α g [ εύναι ςυνεόσ ςτο Α ΑΚΗΗ 10 Αν για μια ςυνϊρτηςη ƒ που εύναι οριςμϋνη ςτο + ιςύει η ςϋςη ψ + ψ για κϊθε και ψ. Να αποδεύξετε ότι 1. (1)= ψ 4. Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο 1 εύναι και ςτο + 5. Αν η εύναι ςυνεόσ ςτο α εύναι ςυνεόσ και ςτο + 6. Αν 1 1 τότε να ρεθεύ το α α με α ΑΚΗΗ 11 Έςτω ƒ μύα ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο 1. α + + α + α + α + και. Να αποδεύξετε ότι : 1) (0)=1 2) + Αν 1 για την οπούα ιςύει τότε η εύναι ςυνεόσ ςτο 9

10 ΑΚΗΗ 12 Δύνεται η ςυνϊρτηςη ςυν π 1 1 α 1 1) Να ρεθεύ η τιμό του α για να εύναι ςυνεόσ η 2) Αν για τη ςυνϊρτηςη g: ιςύει g 1 α για κϊθε και η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ ςτο 1 να αποδειθεύ ότι και η ςυνϊρτηςη g εύναι ςυνεόσ ςτο 1 ΑΚΗΗ 13 Αν για μια ςυνϊρτηςη : ιςύει α α για κϊθε R 1) Να αποδειθεύ ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο α 2) Να εξεταςθεύ αν η ςυνϊρτηςη α α g α εύναι ςυνεόσ ςτο α α α 10

11 ΘΕΩΡΗΜΑ ΒΟLZANO-WEIERSTRASS Έςτω ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο ςύνολο Α για την οπούα ιςύουν: Εύναι ςυνεόσ ςε [α ] Α α Σότε η εξύςωςη =0 ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο α η υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα α τϋτοιο ώςτε η η ςυνϊρτηςη μηδενύζεται ςε ϋνα τουλϊιςτον ςημεύο ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ Γεωμετρικϊ το θεώρημα ςημαύνει ότι το διϊγραμμα τησ ςυνϊρτηςησ τϋμνει τον ϊξονα ςε ϋνα τουλϊιςτον ςημεύο ςτο α Σο θεώρημα μασ δύνει μϋθοδο να προςδιορύςουμε τα διαςτόματα που η εξύςωςη ϋει ρύζεσ Η αναγκαιότητα τησ ςυνϋειασ φαύνεται ςτο παρακϊτω παρϊδειγμα 1. Παρϊδειγμα Δύδεται η ςυνϊρτηςη με τύπο εφ Να εξεταςθεύ αν ϋει ρύζα ςτο π π 4 Η ςυνϊρτηςη δεν ορύζεται ςτο και ενώ π 4 π 4 εφ π 4 εφ π και δεν ϋει ρύζεσ ςτο π π 4. Παρϊδειγμα 1 αν [ 1 ] Δύνεται η ςυνϊρτηςη + 1 αν ] Παρατηρούμε ότι Αλλϊ δεν ϋει ρύζεσ ςτο [-1 ] διότι δεν εύναι ςυνεόσ ςτο αφού

12 ΠΡΟΟΦΗ Σο θεώρημα δεν εύναι ικανό και αναγκαύα ςυνθόκη εύναι ικανό αλλϊ όι αναγκαύα δηλαδό αν ƒ α ƒ ςημαύνει ότι η εξύςωςη δεν ϋει ρύζα ςτο [α ] δηλ αν δεν ιςύει τι θεώρημα δεν ϋπεται ότι δεν ϋει ρύζα η εξύςωςη ƒ ΑΜΕΗ ΤΝΕΠΕΙΑ ΣΟΤ ΘΕΩΡΗΜΑΣΟ BOLZANO Εύναι όταν μύα ςυνϊρτηςη δεν μηδενύζεται ςε ϋνα διϊςτημα Δ και εύναι ςυνεόσ ςτο Δ τότε διατηρεύ ςταθερό το πρόςημο ςτο Δ. Διότι αν δεν διατηρούςε ςταθερό το πρόςημο τότε θα υπόραν Δ με ƒ και ƒ Άρα ƒ ƒ Άρα από ΘΒ ϋω Δ ώςτε ƒ το οπούο εύναι ϊτοπο. ΕΚΥΡΑΕΙ 1. Ζητεύται να δειθεύ ότι υπϊρει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο α. Θεώρημα Bolzano 2. Ζητεύται να δειθεύ ότι υπϊρει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [α ]. Σότε αποδεικνύομε ότι ƒ α ƒ και μετϊ παύρνω τισ παρακϊτω περιπτώςεισ ƒ α ƒ και οι ρύζεσ θα εύναι το α η το ƒ α ƒ και εφαρμόζω θεώρημα Άςκηςη Zητεύται να δειθεύ ότι υπϊρει ρύζα αλλϊ δεν δύνει το διϊςτημα. Σότε α. Βρύςκουμε μόνοι μασ τα ϊκρα του διαςτόματοσ δύνοντασ τιμϋσ αρακτηριςτικϋσ που ωσ ςυνόθωσ εύναι το μηδϋν η γύρω από το μηδϋν Παρϊδειγμα. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη + 1 ϋει μύα ρύζα ςτο. Βρύςκουμε τα όρια τησ ςυνϊρτηςησ ςτα ϊκρα του πεδύου οριςμού τησ. Παρϊδειγμα. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη + α + + γ ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα R 4. Ζητεύται να δειθεύ ότι ϋει μύα ακρι ώσ ρύζα ςτο διϊςτημα α η [α ] δεύνουμε ότι υπϊρει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο α η [α ] αποδεικνύουμε ότι εύναι μόνο μύα αποδεικνύοντασ 1. ότι εύναι γνηςύωσ αύξουςα η 2. δεόμενοι ότι ϋει δύο ρηςιμοποιώντασ το θεώρημα ROLLE που θα δούμε αργότερα. 3. Άςκηςη 4 5. Ζητεύται να δειθεύ ότι η εξύςωςη ϋει το πολύ π μύα ρύζα. Σότε δεν ρειϊζεται να αποδεύξουμε ότι υπϊρει ρύζα αλλϊ να αποκλεύςουμε να υπϊρουν δύο. Σο πρό λημα αντιμετωπύζεται ςυνόθωσ με τη μϋθοδο τησ εισ ϊτοπον απαγωγόσ αργότερα 6. Ζητεύται να δειθεύ ότι υπϊρουν δύο τουλϊιςτον ό δύο ακρι ώσ ςε ϋνα διϊςτημα 12

13 Σότε πρϋπει να ωρύςω το αρικό διϊςτημα ςε δύο διαςτόματα που να μην ϋουν κοινϊ ςημεύα και να αποδεύξω ότι υπϊρει μια ρύζα ςε κϊθε διϊςτημα. Σο διϊςτημα το ωρύζω ςε κϊποιο αρακτηριςτικό ςημεύο το οπούο φαύνεται από τα δεδομϋνα τισ περιςςότερεσ φορϋσ. Ένα αρακτηριςτικό ςημεύο εύναι το μϋςο του διαςτόματοσ. Παρϊδειγμα. Να δειθεύ ότι η εξύςωςη 5 + ϋει δύο τουλϊιςτον ρύζεσ ςτο -1,1) Λύςη : Αν 5 + τότε (0)=2, (-1)=-4 και (1)=-. Εφαρμόζοντασ ΘΒ ςτο [-1 ] ϋω μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο -1 και ϊλλη μύα φορϊ ςτο [ 1] ϋω ϊλλη μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο 1. Άρα τελικϊ δύο τουλϊιςτον ρύζεσ ςτο -1,1) ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΩΝ ΣΙΜΩΝ Έζηω ζσλάρηεζε ƒ ποσ ορίδεηαη ζηο [α,β] θαη ηζτύοσλ ε ƒ είλαη ζσλετής ζηο [α,β] θαη ƒ(α) ƒ(β) ηόηε ε ƒ παίρλεη όιες ηης ηηκές αλάκεζα ζηης ηηκές ƒ(α) θαη ƒ(β) δειαδή αλ σποζέζοσκε όηη (ε) είλαη κηα ηηκή αλάκεζα ζηης ƒ(α) θαη ƒ(β) ηόηε σπάρτεη ηέηοηο ώζηε ƒ ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ Η εικόνα ƒ Δ ενόσ διαςτόματοσ Δ μϋςω μια ςυνεούσ ςυνϊρτηςησ και μη ςταθερόσ ςυνϊρτηςησ ƒ εύναι διϊςτημα. Αν η ƒ εύναι ςταθερό όι το ςύνολο τιμών τησ εύναι μονοςύνολο μύα τιμό. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΗ ΚΑΙ ΕΛΑΦΙΣΗ ΣΙΜΗ Αλ κηα ζσλάρηεζε είλαη ζσλετής ζηο [α,β] ηόηε ε παίρλεη κία κέγηζηε ηηκή θαη κία ειάτηζηε ηηκή. Δειαδή σπάρτοσλ [ ] ηέηοηοη ώζηε ώζηε λα ηζτύεη γηα θάζε τ R ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ: Από το θεώρημα ενδιαμϋςων τιμών και το θεώρημα μεγύςτησ και ελαύςτησ τιμόσ προκύπτει ότι αν η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ [α ] τότε το ςύνολο Δ [, ] Αν η εύναι γνηςύωσ αύξουςα τότε = α και = ϊρα το ςύνολο τιμών Δ [ α ] Αν η ƒ εύναι γνηςύωσ φθύνουςα τότε = και = α ϊρα το ςύνολο τιμών Δ [ ( ), (α)] 13

14 Αν η εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ α τότε αν Κ και Λ αν η εύναι γνηςύωσ αύξουςα τότε το Δ Κ Λ αν η εύναι γνηςύωσ φθύνουςα τότε το Δ Λ Κ ΓΕΝΙΚΑ Αν η εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ [α ] τότε το [α ] [, ] ƒ Δ Αν η εύναι ςυνεόσ και μη ςταθερό ςε ϋνα διϊςτημα Δ [α ] τότε ϋει ςύγουρα μύα μϋγιςτη και μύα ελϊιςτη τιμό Γενικϊ ρηςιμοποιεύται όταν μασ ζητεύται να ρούμε το ςύνολο τιμών Aν ςτο ςύνολο τιμών υπϊρει η τιμό μηδϋν τότε υπϊρει Δ τϋτοιο ώςτε δηλ ύπαρξη ρύζασ αντύ του Θ. ΕΤΡΕΗ ΣΟΤ ΣΤΠΟΤ ΣΗ ΜΕ ΤΝΕΦΕΙΑ ΚΑΙ ΤΝΕΠΕΙΑ Θ. BOLZANO Παρϊδειγμα 1 Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη: ημ για κϊθε Να ρεθεύ ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ Λύςη Για κϊθε ιςύει ημ εύναι ςυνεόσ ςτο τότε και επομϋνωσ αρκεύ να ρούμε το ημ ημ αν με. Επειδό η ςυνϊρτηςη. Και τελικϊ ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ Παρϊδειγμα Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη + 1 για κϊθε α. Να δεύξετε ότι η διατηρεύ ςταθερό πρόςημο. Να ρεθεύ ο τύποσ τησ Λύςη α. Αφού η εύναι ςυνεόσ για να αποδεύξω ότι διατηρεύ ςταθερό πρόςημο πρϋπει να αποδεύξω ότι δεν μηδενύζεται ςτο πεδύο οριςμού τησ. Έςτω ότι υπϊρει τϋτοιο ώςτε. Σότε αν ςτη δοθεύςα θϋςω όπου το θα ϋω ϊτοπο ϊρα η διατηρει ςταθερό πρόςημο. 14

15 Από τη δοθεύςα ϋω Επειδό και η ςυνϊτηςη + εύναι ςυνεόσ και δεν μηδενύζεται διότι αν υπόρε ξ τϋτοιο ώςτε ξ τότε θα εύαμε από την για ξ ότι: ξ + ξ ξ + 1 διατηρεύ ςταθερό πρόςημο επομϋνωσ: ξ + 1 ϊτοπο. Αρα και η + 1 ό για κϊθε ό για κϊθε + 1 για κϊθε + 1 για κϊθε + 1 για κϊθε ό + 1 για κϊθε ΗΜΕΙΩΗ Αν ςτην εκφώνηςη μασ ϋδινε 1 ό τότε ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ θα όταν + 1 Παρϊδειγμα Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη 4 1 για κϊθε Αν να ρεθεύ ο τύποσ τησ ςυνϊρτηςησ Λύςη Η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεόσ. Έςτω ότι υπϊρει ξ τϋτοιο ώςτε ξ τότε αν ςτη δοθεύςα θϋςω ξ θα ϋω: ξ 4 ξ ξ. Δηλαδό το οπούο εύναι ϊτοπο Άρα η δεν μηδενύζεται και επομϋνωσ διατηρεύ ςταθερό πρόςημο. Και από τη δοθεύςα ϋω: Αν θεωρόςω τη ςυνϊρτηςη - τότε και η εύναι ςυνεόσ ωσ ϊθροιςμα ςυνεών και δεν μηδενύζεται πουθενϊ. Διότι αν υπόρε ξ τϋτοιο ώςτε ξ τότε από την Άρα + + ξ + +. Ατοπο + για κϊθε ό + για κϊθε + για κϊθε R Αν ςτη δοθεύςα θϋςω όπου τότε 4 ό 4 το εύναι ϊτοπο ϊρα 4 και ςυνεπώσ + + για κϊθε R για κϊθε R ό

16 Παρϊδειγμα 4 Μια ςυνϊρτηςη : εύναι ςυνεόσ και ικανοποιεύ τη ςυνθόκη για κϊθε Να ρεύτε το τύπο τησ Λύςη Έςτω ξ τϋτοιοσ ώςτε ξ από τη δοθεύςα ςϋςη θα ϋω αν θϋςω ξ ξ ξ ξ ξ. Επομϋνωσ η μοναδικό ρύζα εύναι η. τα διαςτόματα και + η διατηρεύ ςταθερό πρόςημο. Εςτω τότε θϊ ϋουμε με οπότε με και Παρόμοια όταν +. με + υνδυϊζοντασ και τισ δύο περιπτώςεισ θα ϋω: αν + αν αν αν αν + αν αν - και + ό και ό αν αν αν + αν αν + αν αν 16

17 ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΦΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ-ΑΚΗΕΙ ΑΚΗΗ 1 Εςτω η ςυνϊρτηςη : [ 1] [ 1] ςυνεόσ. Να αποδεύξετε ότι υπϊρει [1, ] ώςτε ΑΚΗΗ 2 Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη ςτο διϊςτημα [ ] και για κϊθε [ ] Να αποδεύξετε ότι υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα [ ] ώςτε + ΑΚΗΗ Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη : [α ] ώςτε να ιςύει α + α, Να αποδεύξετε ότι υπϊρει τουλϊιςτον ϋνα θ [α ] ώςτε θ ΑΚΗΗ 4 Έςτω μια ςυνϊρτηςη οριςμϋνη ςτο διϊςτημα Δ [α ] με f Δ Δ και 1 για κϊθε Δ. Να δειθεύ ότι Α η εύναι ςυνεόσ ςτο Δ Β η ςυνϊρτηςη εύναι γνηςύωσ φθύνουςα Γ Τπϊρει μοναδικό [α ] τϋτοιο ώςτε ΑΚΗΗ 5 Έςτω, ςυναρτόςεισ ςυνεεύσ ώςτε - για κϊθε και ςταθερό θετικό πραγματικό αριθμό. Αν η γραφικό παρϊςταςη τησ τϋμνει τον ςε δύο ςημεύα με ετερόςημεσ τετμημϋνεσ να αποδεύξετε η εξύςωςη ϋει μύα τουλϊιςτον λύςη ςτο ΑΚΗΗ 6 Έςτω η ςυνϊρτηςη + για κϊθε πραγματικό αριθμό και ςυνεόσ ςτο. Αν οι αριθμού 1 και εύναι δύο διαδοικϋσ λύςεισ τησ εξύςωςησ και η εξύςωςη g δεν ϋει ρύζεσ τουσ αριθμούσ 1 και να δεύξετε ότι g 1 g ΑΚΗΗ 7 Αν η εξύςωςη + [ α ] + α + όπου ςυνεόσ ςυνϊρτηςη ςτο [α. ] ϋει δύο πραγματικϋσ ρύζεσ να δειθεύ ότι η ϋει τουλϊιςτον μύα ρύζα ςτο [α ]. ΑΚΗΗ 8 Δύνεται η ςυνϊρτηςη : [α ] ςυνεόσ ςτο [α ] με α και ο μιγαδικόσ α +. Αν να δειθεύ ότι η εξύςωςη ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [α ]. ΑΚΗΗ 9 Έςτω η ςυνϊρτηςη : [α ] ςυνεόσ ςτο [α ] και οι μιγαδικού α + α και + με α. Αν + να δεύξετε ότι η εξύςωςη ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [α ]. 17

18 ΑΚΗΗ 1 Να δειθεύ ότι η εξύςωςη -εημ 1 με ε 1 ϋει μια μόνο ρύζα ςτο -1,2) εξύςωςη Kepler) ΑΚΗΗ 11 Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη ςτο και α. Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό +. Αν ιςύουν α α α α και για κϊποιο ιςύει α α α α και α α να αποδεύξετε ότι α ΑΚΗΗ 1 Έςτω ςυνεόσ ςυνϊρτηςη και 1-1 ςε κϊποιο διϊςτημα Δ. Σότε η ςυνϊρτηςη εύναι γνηςύωσ μονότονη ςτο Δ. ΑΚΗΗ 13 Έςτω ςυνϊρτηςη ςυνεόσ ςτο ώςτε να ικανοποιεύ τισ ςυνθόκεσ 4 1 και 4ημ 4 Να αποδεύξετε ότι η γραφικό παρϊςταςη C f τησ ςυνϊρτηςησ τϋμνει την γραφικό παρϊςταςη τησ παρα ολόσ ψ + 1 ςε ςημεύο με τετμημϋνη ςτο διϊςτημα 1. ΑΚΗΗ 14 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεόσ ςτο [α ] με f α f να δειθεύ ότι υπϊρει α τϋτοιο ώςτε α + ΑΚΗΗ 15 Αν η ςυνϊρτηςη f εύναι ςυνεόσ ςτο [α ] και [α ] να δειθεύ ότι υπϊρει ξ α τϋτοιο ώςτε v f ξ ΑΚΗΗ 16 Έςτω ςυνϊρτηςη : ςυνεόσ με 1 για κϊθε. Να δειθεύ ότι η ςυνϊρτηςη εύναι ςταθερό ΑΚΗΗ 17 Θεωρούμε τη ςυνεό ςυνϊρτηςη f ςυνεό ςτο [α ] και τουσ θετικούσ αριθμούσ με Να δειθεύ ότι υπϊρει γ [α ] τϋτοιο ώςτε γ ΑΚΗΗ 18 Δύνεται η ςυνεόσ ςυνϊρτηςη f: και ιςύει 1 για κϊθε Α. Να δεύξετε ότι η ςυνϊρτηςη g(x)=f(x)-x διατηρεύ ςταθερό πρόςημο ςτο Β. Αν f 1 τότε 1. να ρεύτε το τύπο τησ f. να υπολογύςετε το 18

19 ΑΚΗΗ 19 Οι ςυναρτόςεισ και g εύναι ςυνεεύσ ςτο [ 5] και g για κϊθε [ 5] Να δειθεύ ότι υπϊρει ξ ξ 1 5 ώςτε g ξ ξ- 5-ξ ΑΚΗΗ Δύνεται η ςυνϊρτηςη με τύπο + + α με α. Να δειθούν 1. ότι η εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςτο πεδύο οριςμού τησ 2. να ρεθεύ το ςύνολο τιμών τησ 3. να δειθεύ ότι η εξύςωςη ϋει μύα μόνο ρύζα 19

20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΣΗ ΤΝΕΦΕΙΑ-ΟΡΙΑ ΑΚΗΗ 1 Αν ημ + να υπολογύςετε ΑΚΗΗ Αν ημ για κϊθε να ρεύτε το αν υπϊρει ΑΚΗΗ Αν ημ + ημ + + να δεύξετε ότι ΑΚΗΗ 4 Αν για μια ςυνϊρτηςη f ιςύει ςυν για κϊθε x να δεύξετε ότι η f εύναι ςυνεόσ ςτο ΑΚΗΗ 5 Αν για μύα ςυνϊρτηςη f οριςμϋνη ςτο [ π] ιςύει Α. Να δεύξετε ότι η εύναι ςυνεόσ ςτο π 1 + ημ + ημ για κϊθε [ π] Β. να υπολογύςετε το ςυν Γ. να υπολογύςετε το ΑΚΗΗ 6 Δύνονται οι ςυναρτόςεισ f,g ςυνεεύσ ςτο με + g. Nα δειθεύ ότι η εξύςωςη f(x)g(x)=x ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο [-1,1] ΑΚΗΗ 7 Να δεύξετε ότι η εξύςωςη lnx+ ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο 1) 20

21 ΑΚΗΗ 8 Έςτω η ςυνϊρτηςη f ςυνεόσ ςτο [α ] τϋτοια ώςτε f(x για κϊθε [α ] και ϋνασ μη μηδενικόσ μιγαδικόσ αριθμόσ τϋτοιοσ ώςτε + 1 α καθώσ και + 1. Να δεύξετε ότι 1. Η εξύςωςη α + ϋει μύα τουλϊιςτον ρύζα ςτο -1,1) 2. α ΑΚΗΗ 9 Για τη ςυνϊρτηςη ƒ: δύνεται ότι εύναι ςυνεόσ ςτο 1 και ƒ 1 να ρεθεύ το ΑΚΗΗ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη ƒ: Αν 1 εφ π για την οπούα ιςύουν ι. + 1 και ιι. και ζητεύται 1. Να ρεθεύ 2. Σο R. ο κ ώςτε η ςυνϊρτηςη g να εύναι ςυνεόσ ςτο κ ΑΚΗΗ 11 Aν για τη ςυνϊρτηςη :[1 4] ιςύει α+ α + για κϊθε α [1,4] 1 4 να μελετηθεύ ωσ προσ τη ςυνϋεια η g ΑΚΗΗ 1 Αν η ςυνϊρτηςη με πεδύο οριςμού το και ςύνολο τιμών + εύναι ςυνεόσ ςτο 4 και 4 ημ π π 4 τότε 1) Να ρεθεύ η τιμό (4) 21

22 2) Να ρεθεύ το όριο ΑΚΗΗ 13 Αν η ςυνϊρτηςη ορύζεται ςτο 1 + και ψ ψ ψ ψ για ψ 1. Να δειθεύ ότι 1. Η ςυνϊρτηςη g εύναι ςυνεόσ ςτο Αν η εύναι γνηςύωσ αύξουςα ςυνϊρτηςη με τότε η εξύςωςη g ϋει ακρι ώσ μύα ρύζα ςτο 1 + ΑΚΗΗ 14 Εςτω g δύο ςυναρτόςεισ με πεδύο οριςμού το. Αν η g εύναι ςυνεόσ ςτο α και και με Να δειθεύ ότι g ςυνεόσ g α 22

ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ

ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ Πληκτρολογόςτε την εξύςωςη εδώ. ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Θα λϋμε ότι : Η ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ό ςτρϋφει τα κούλα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. ηελ νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: παξαγωγίζηκε ζην (α,β) α μ β ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Έζηω Έζηω ζπλάξηεζε ζπλάξηεζε f ζπλερήο f γηα γηα ηελ ηελ νπνία νπνία ηζρύνπλ: ηζρύνπλ: ςυνεόσ είλαη ζπλερήο ςτο [α,β] ζην [α,β] f(α)=f(β) παξαγωγίζηκε ζην (α,β) f(α)=f(β) Σόηε ππάξρεη έλα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ)

Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) : 1. ΤΝΑΡΣΗΕΙ Ορύζουν και να αναγνωρύζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη 2 1.1 Επανϊληψη Εκφρϊζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη ωσ ςύνθεςη ϊλλων ςυναρτόςεων Ορύζουν και

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι

Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 1 Σ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΣΜΗΜΑ ΠΟΛΙΣΙΚΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ Σ.Ε. ΑΝΣΟΦΗ ΤΛΙΚΩΝ Ι 03/07/2013 ΘΕΜΑ Η δοκόσ του ςχόματοσ α ϋχει τη διατομό του ςχόματοσ β. Ζητούνται: a) Σα διαγρϊμματα Q και M. b) Σο απαιτούμενο πϊχοσ t του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Μαθηματικϊ Β' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Η διδαςκαλύα των Μαθηματικών Κοινού Κορμού επιδιώκει να δώςει ςτο μαθητό τα εφόδια για την αντιμετώπιςη καθημερινών αναγκών ςε αριθμητικϋσ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο

Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο Τεχνικόσ Μαγειρικόσ Τϋχνησ Αρχιμϊγειρασ (Chef) Β Εξϊμηνο 1 Οριςμοί Ζννοια τησ Λογιςτικήσ Εύναι μϋςο παροχόσ οικονομικών πληροφοριών προσ διϊφορεσ ομϊδεσ ενδιαφερομϋνων για την πορεύα μιασ επιχεύρηςησ που

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Οριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2

Οριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2 Θεωρία Γράφων 1 Οριςμόσ προβλήματοσ Οποιοδόποτε επιφϊνεια που χωρύζεται ςε περιοχϋσ, όπωσ ϋνασ πολιτικόσ χϊρτησ των νομών ενόσ κρϊτουσ, μπορούν να χρωματιςτούν χρηςιμοποιώντασ λιγότερα από τϋςςερα χρώματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΟ ΔΗΜΟΣΙΚΟ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ 4 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών που ϋρχονται από το Δημοτικό ςτο Γυμνϊςιο. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου

Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου Σχολή Εφαρμοςμζνων Μαθηματικών και Φυςικών Επιςτημών Εθνικό Μετςόβιο Πολυτεχνείο Τμήμα Μαθηματικών Διαφορική Τοπολογία και Κβαντική Θεωρία Πεδίου Εκπόνηςη πτυχιακήσ εργαςίασ Κάρδαρησ Δημήτρησ Α.Μ 09104188

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά ΕΓΦΕΙΡΙΔΙΟ ΦΡΗΗ ΕΡΓΑΛΕΙΨΝ ΑΝΑΓΝΨΡΙΗ ΕΙΑΓΨΓΗ Η ύπαρξη ϋγκυρων και αξιόπιςτων εργαλεύων αναγνώριςησ χαριςματικών μαθητών κρύνεται

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΕΦ Τ ΣΗΜΑΣΑ ΑΡΙΘΜΗ Η ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 425 = 4 εκατοντϊδεσ 2 δεκϊδεσ 5 μονϊδεσ 4 * 2* 5* 4 * 2* 5* 4 *2 2* 5* 94257 = 9* 4* 2* 5* 7* * 9*5 4*4 5*2 7* * 2*3 Για τον προηγούμενο αριθμό Θϋτοντασ β= (η βϊςη

Διαβάστε περισσότερα

Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ;

Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Dr. jennifer Dennis, Ιατρική Σύμβουλοσ του Συλλόγου για το Σύνδρομο Down (1993) Ο αδϋνασ

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Η/Υ ςτην Επιχείρηςη

Δίκτυα Η/Υ ςτην Επιχείρηςη Δίκτυα Η/Υ ςτην Επιχείρηςη Βαςικϊ θϋματα δικτύων Γκϊμασ Βαςύλειοσ, Εργαςτηριακόσ υνεργϊτησ Δίκτυο Υπολογιςτών Δύκτυο: ςύςτημα επικοινωνύασ δεδομϋνων που ςυνδϋει δύο ό περιςςότερουσ αυτόνομουσ και ανεξϊρτητουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ

Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ Πωσ αλλάζει τη Μεςόγειο το ενεργειακό παζλ Τουσ τελευταύουσ μόνεσ κυοφορούνται εξελύξεισ προσ την κατεύθυνςη επύλυςησ διαφόρων ζητημϊτων που ταλανύζουν την ανατολικό Μεςόγειο και τη Μϋςη Ανατολό. Η παρατεταμϋνη

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Στισ παρακϊτω ερωτήςεισ -4 να γρϊψετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δίπλα το γρϊμμα που αντιςτοιχεί ςτην ςωςτή απϊντηςη..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΣΑ ΠΡΟ ΛΤΗ ΓΙΑ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΑΚΗΗ 1

ΘΕΜΑΣΑ ΠΡΟ ΛΤΗ ΓΙΑ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΑΚΗΗ 1 1 ΘΕΜΑΣΑ ΠΡΟ ΛΤΗ ΓΙΑ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ ΑΚΗΗ 1 Δίνεται ο κάτωθι μικτόσ φορέασ ο οποίοσ θεωρείται για την επίλυςη τησ άςκηςησ αβαρήσ.ζητούνται: α.η απόδειξη τησ ιςοςτατικότητασ του φορέα. β. Η απόδειξη τησ ςτερέοτητασ

Διαβάστε περισσότερα

Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων

Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων Ενημερωτικό ημείωμα Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων -Σι προβλέπει η νομοθετική ρύθμιςη για την προ-πτωχευτική διαδικαςία εξυγίανςησ επιχειρήςεων; Με την προτεινόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Το Νέο Εκπαιδευηικό Σύζηημα

Το Νέο Εκπαιδευηικό Σύζηημα ελύδα1 Το Νέο Εκπαιδευηικό Σύζηημα Από το ςχολικό ϋτοσ 2013-2014 και για τουσ μαθητϋσ που φοιτούν ςτην Α Λυκεύου ϋχει τεθεύ ςε ιςχύ το νϋο αναλυτικό πρόγραμμα. τόχοσ των αλλαγών εύναι να ενδυναμωθούν τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα ςε θρεπτικϊ ςτοιχεύα Ικανότητα ανταλλαγόσ κατιόντων Οξύτητα εδϊφουσ (ph)

Περιεκτικότητα ςε θρεπτικϊ ςτοιχεύα Ικανότητα ανταλλαγόσ κατιόντων Οξύτητα εδϊφουσ (ph) Το έδαφοσ εύναι το ανώτατο ςτρώμα του φλοιού τησ γησ, δηλαδό το καλλιεργόςιμο επιφανειακό ςτρώμα ςε πϊχοσ 35 ωσ 50 εκατοςτϊ. Κϊποιεσ από τισ ιδιότητεσ του εδϊφουσ εύναι: Περιεκτικότητα ςε θρεπτικϊ ςτοιχεύα

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου

Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου Αναλυτικό Πρόγραμμα για την Εκπαίδευςη Χαριςματικών Μαθητών Δ -Στ τάξεων Δημοτικού Σχολείου ΑΝΑΛΤΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΧΑΡΙΜΑΣΙΚΩΝ ΜΑΘΗΣΩΝ ΕΙΑΓΩΓΗ το πλαύςιο του ερευνητικού προγρϊμματοσ, ϋγινε ςυγγραφό αναλυτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΡΟΦΗ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΟΤ ΘΗΛΑΜΟΤ ΣΖΕΛΑΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ ΜΑΙΑ ΙΠΠΟΚΡΑΣΕΙΟ Γ.Π.Ν.Θ.

ΔΙΑΣΡΟΦΗ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΟΤ ΘΗΛΑΜΟΤ ΣΖΕΛΑΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ ΜΑΙΑ ΙΠΠΟΚΡΑΣΕΙΟ Γ.Π.Ν.Θ. ΔΙΑΣΡΟΦΗ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΟΤ ΘΗΛΑΜΟΤ ΣΖΕΛΑΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ ΜΑΙΑ ΙΠΠΟΚΡΑΣΕΙΟ Γ.Π.Ν.Θ. Σϐςο κατϊ τη διϊρκεια τησ εγκυμοςϑνησ ϐςο και κατϊ τη διϊρκεια του θηλαςμοϑ οι γυναύκεσ δϋχονται πολλϋσ ςυμβουλϋσ για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΙΑ: «ΕΠΙΛΗΨΙΑ»

ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΙΑ: «ΕΠΙΛΗΨΙΑ» ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΥΙΛΟΟΥΙΚΗ ΦΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΥΙΛΟΟΥΙΑ- ΠΑΙΔΑΓΨΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΓΨΓΗ ΣΗ ΤΓΕΙΑ ΔΙΔΑΚΟΤΑ: Κα ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΟΠΟΤΛΟΤ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΙΑ: «ΕΠΙΛΗΨΙΑ» Υοιτότρια: Κωνςταντύνα Μπαλτϊ ΚΑΡΠΕΝΗΙ 2012 Σι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Το Σύμβολο τησ Πίςτεωσ

Το Σύμβολο τησ Πίςτεωσ Το Σύμβολο τησ Πίςτεωσ Σο ύμβολο τησ Πύςτεωσ εύναι ςύντομη ομολογύα τησ πύςτεώσ μασ μϋςα ςτην οπούα παρουςιϊζονται περιληπτικϊ, με ςαφόνεια και αυθεντικϊ τα βαςικϊ δόγματα του χριςτιανιςμού. Σο «Πιςτεύω»

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

NetMasterII ςύςτημα μόνιμησ εγκατϊςταςησ επιτόρηςη και καταγραφό ςημϊτων από αιςθητόρια και μετατροπεύσ κϊθε εύδουσ ςύςτημα ειδοπούηςησ βλϊβη

NetMasterII ςύςτημα μόνιμησ εγκατϊςταςησ επιτόρηςη και καταγραφό ςημϊτων από αιςθητόρια και μετατροπεύσ κϊθε εύδουσ ςύςτημα ειδοπούηςησ βλϊβη NetMasterII Το NetMasterII εύναι ϋνα ςύςτημα μόνιμησ εγκατϊςταςησ (μό φορητό) για την επιτόρηςη και καταγραφό ςημϊτων από αιςθητόρια και μετατροπεύσ φυςικών μεγεθών κϊθε εύδουσ, καθώσ και γεγονότων που

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ [1] ΣΤΟΧΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Η διδαςκαλύα των Μαθηματικών, ενταγμϋνη ςτουσ γενικότερουσ ςκοπούσ τησ Εκπαύδευςησ, ςτοχεύει ςτην ολοκλόρωςη του μαθητό ςε επύπεδο προςωπικότητασ και κοινωνικόσ του ϋνταξησ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΤΕΙ / 12. Οικονομικό κρύςη και μϋθοδοι αναζότηςησ εργαςύασ

ΑΝΑΛΤΕΙ / 12. Οικονομικό κρύςη και μϋθοδοι αναζότηςησ εργαςύασ ΑΠΡΙΛΙΟ 2012 ΑΝΑΛΤΕΙ / 12 Οικονομικό κρύςη και μϋθοδοι αναζότηςησ εργαςύασ ΑΓΓΕΛΟ ΕΤΣΡΑΣΟΓΛΟΤ ΕΡΕΤΝΗΣΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΑΠΑΧΟΛΗΗ ΚΑΙ ΕΡΓΑΙΑΚΩΝ ΧΕΕΩΝ Περιεχόμενα 1. Ειςαγωγό... 2 2. Η θεωρητικό τεκμηρύωςη των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΣΙΚΑ. 13 ο ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΤΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΗΜΗ

ΠΡΑΚΣΙΚΑ. 13 ο ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΤΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΗΜΗ ΠΡΑΚΣΙΚΑ 13 ο ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΤΝΕΔΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΗΜΗ 04 06 Υεβρουαρύου 2011 Πϊφοσ ΟΡΓΑΝΩΣΗ 28 Χρόνια Προςφοράσ και Δημιουργίασ ςτη Μαθηματική Παιδεία και Επιςτήμη τησ Κφπρου 1983-2011 ε συνεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θϋμα: Άνιςη μεταχεύριςη των ανθρώπων με τετραπληγύα, απώλεια ακοόσ ό ϐραςησ ςτο νϋο νομοςχϋδιο ΕΑΕ.

Θϋμα: Άνιςη μεταχεύριςη των ανθρώπων με τετραπληγύα, απώλεια ακοόσ ό ϐραςησ ςτο νϋο νομοςχϋδιο ΕΑΕ. Αθόνα, 15 Μαύου 2014 Η παρακάτω επιςτολή, εςτάλη μέςω φαξ και μέςω email ςτον Προΰςτάμενο τησ Διεύθυνςησ Ειδικήσ Αγωγήσ κο Λολίτςα, την Τρίτη 14 Μααου 2014. Παρακαλούμε να ςτηρίξετε με την υπογραφή ςασ

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΕΠΕΞΕΡΓΑΙΑ ΒΙΝΣΕΟ ΜΕ ΦΡΗΗ DSP

ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΕΠΕΞΕΡΓΑΙΑ ΒΙΝΣΕΟ ΜΕ ΦΡΗΗ DSP ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΚΡΗΣΗ Σμόμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών & Μηχανικών Η/Τ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΗ ΕΡΓΑΙΑ ΕΠΕΞΕΡΓΑΙΑ ΒΙΝΣΕΟ ΜΕ ΦΡΗΗ DSP ΜΟΙΡΟΓΙΨΡΓΟΤ ΚΨΝΣΑΝΣΙΑ Εξεταςτικό Επιτροπό: Καθ. Μιχϊλησ Ζερβϊκησ (επιβλϋπων) Αν. Καθ. Ευριπύδησ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΑΓΩΓΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ 2. ΣΟΙΦΕΙΑ ΗΛΕΚΣΡΙΚΩΝ ΚΤΚΛΩΜΑΣΩΝ

ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΑΓΩΓΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ 2. ΣΟΙΦΕΙΑ ΗΛΕΚΣΡΙΚΩΝ ΚΤΚΛΩΜΑΣΩΝ ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΑΓΩΓΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ 1.1 Ειςαγωγό 1.1 1.2 υμβολιςμού και μονϊδεσ 1.3 1.3 Υορτύο, τϊςη και ενϋργεια 1.5 1.4 Γραμμικότητα 1.7 1.5 Φρονικό αμεταβλητότητα 1.11 1.6 Αιτιότητα 1.11 1.7 υγκεντρωμϋνα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β)

( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε f ( α) f ( β) Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου κ Θέµα 1 ο Α. Έστω η συνάρτηση ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [ α,β ] µε ( α) ( β). Να δειχτεί ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των ( α ) και ( β ) υπάρχει ένας τουάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013 Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 334-335

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΚΑΒΑΛΑ

ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΚΑΒΑΛΑ ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΚΑΒΑΛΑ ΣΜΗΜΑ ΒΙΟΜΗΦΑΝΙΚΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΠΣΤΦΙΑΚΗ ΕΡΓΑΙΑ Αςφαλείσ Επικοινωνίεσ ςε Αςύρματα Δίκτυα Αιςθητήρων ΑΛΜΠΑΝΟΠΟΤΛΟΤ ΕΛΕΝΗ Α.Ε.Μ.: 2181 Επιβλϋπων: Δρ. Ρϊντοσ Κωνςταντύνοσ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΣΤΦΙΑΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. Ανϊπτυξη δομημϋνων λύςεων λογιςμικού με χρόςη Python

ΠΣΤΦΙΑΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. Ανϊπτυξη δομημϋνων λύςεων λογιςμικού με χρόςη Python ΑΝΨΣΑΣΟ ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΚΡΗΣΗ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ ΦΑΝΙΨΝ ΣΜΗΜΑ ΗΛΕΚΣΡΟΝΙΚΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ Σ.Ε. ΠΣΤΦΙΑΚΗ ΕΡΓΑΙΑ Ανϊπτυξη δομημϋνων λύςεων λογιςμικού με χρόςη Python ΑΝΣΨΝΙΟ Β. ΡΟΤΟ Α.Μ. 3271 Επιβλϋπων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κρεκούκιασ Στοιχεύα τησ υποκειμενικόσ και κλινικόσ αξιολόγηςησ Επεξόγηςη και αναζότηςη του τελικού αιςθόματοσ Αξιολόγηςη ενεργητικού και παθητικού εύρουσ τροχιϊσ Γωνιομϋτρηςη Από τη φόρμα υποκειμενικόσ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ςτην περύπτωςη που η μόνη αλλαγό αφορϊ ςτη Δημόςια Φρηματοδότηςη ανϊ ϋτοσ (2013, 2014).

ςτην περύπτωςη που η μόνη αλλαγό αφορϊ ςτη Δημόςια Φρηματοδότηςη ανϊ ϋτοσ (2013, 2014). Ειςαγωγή Για την ολοκλόρωςη μιασ πρϊξησ κρατικών ενιςχύςεων απαιτεύται το ςύνολο των δαπανών τησ να ςυμφωνεύ με την εγκεκριμϋνη δημόςια δαπϊνη όπωσ προκύπτει από το ςε ιςχύ Σεχνικό Δελτύο Πρϊξησ. ε περύπτωςη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΠΟΜΝΗΜΑ. Επεξήγηςη Συντμήςεων: Α.Φ.= Αυτιςτικό Φάςμα - Π.Σ.= Παράλληλη Στήριξη

ΤΠΟΜΝΗΜΑ. Επεξήγηςη Συντμήςεων: Α.Φ.= Αυτιςτικό Φάςμα - Π.Σ.= Παράλληλη Στήριξη www.asperger.gr Κωνσταντινοσπόλεως 29 155.62 Χολαργός Τηλ. 210.6535666 info@asperger.gr Α.Π. 7331/7-7-2010 Χολαργόσ, 28 Ιουνύου 2010 ΤΠΟΜΝΗΜΑ Θέμα: «Κατάργηςη τησ παράνομησ και αντιςυνταγματικήσ εγκυκλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγόσ πουδών 2014-2015

Οδηγόσ πουδών 2014-2015 Οδηγόσ πουδών 2014-2015 ΕΞ ΑΠΟΣΑΕΨ ΕΠΙΜΟΡΥΨΣΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «Νεοελληνικό Λογοτεχνύα & Χηφιακϋσ Σεχνολογύεσ» ΚΕΝΣΡΟ ΔΙΑ ΒΙΟΤ ΜΑΘΗΗ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΥΙΛΟΛΟΓΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΙΨΑΝΝΙΝΨΝ Ειςαγωγικϊ τοιχεύα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

EETT Δημόςια Διαβούλευςη ςχετικά με την εκχώρηςη δικαιώματων χρήςησ ραδιοςυχνοτήτων ςτη Ζώνη 27,5 29,5 GHz

EETT Δημόςια Διαβούλευςη ςχετικά με την εκχώρηςη δικαιώματων χρήςησ ραδιοςυχνοτήτων ςτη Ζώνη 27,5 29,5 GHz EETT Δημόςια Διαβούλευςη ςχετικά με την εκχώρηςη δικαιώματων χρήςησ ραδιοςυχνοτήτων ςτη Ζώνη 27,5 29,5 GHz 1. Περί των Τύπων των Υπηρεςιών και των Δικτύων Η οικονομικώσ αποτελεςματικό χρόςη του φϊςματοσ

Διαβάστε περισσότερα

Επίδραςη του κτηριού Ματςάγγου ςτην πόλη του Βόλου καθώσ και ςτην κοινωνία του

Επίδραςη του κτηριού Ματςάγγου ςτην πόλη του Βόλου καθώσ και ςτην κοινωνία του ειε Επίδραςη του κτηριού Ματςάγγου ςτην πόλη του Βόλου καθώσ και ςτην κοινωνία του Η ανϊπτυξη τησ βιομηχανύασ Ματςϊγγου για τον Βόλο, το νομό Μαγνηςύασ και την Ελλϊδα, όταν τόςο ςημαντικό όςο και για την

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΛΕΤΙΝΑ ΠΟΛΙΣΙΣΙΚΗ ΠΡΩΣΕΤΟΤΑ ΣΗ ΕΤΡΩΠΗ 2021

Η ΕΛΕΤΙΝΑ ΠΟΛΙΣΙΣΙΚΗ ΠΡΩΣΕΤΟΤΑ ΣΗ ΕΤΡΩΠΗ 2021 Η ΕΛΕΤΙΝΑ ΠΟΛΙΣΙΣΙΚΗ ΠΡΩΣΕΤΟΤΑ ΣΗ ΕΤΡΩΠΗ 2021 Πριν από τρεισ δεκαετύεσ, με εφαλτόριο την πρωτοβουλύα τησ ηθοποιού Μελύνασ Μερκούρη, που εκεύνη την εποχό όταν η Ελληνύδα Τπουργόσ Πολιτιςμού, η Ευρωπαώκό

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ. Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Κ. ΣΑΜΠΑΝΗΣ Η επανάληψη Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2015 Βασικά σημεία προσοχής για την τελευταία επανάληψη στην ύλη των Μαθηματικών Γ Λυκείου Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης. Χρήσιμο βοήθημα για όλους

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

υλλογικέσ διαπραγματεύςεισ και προςδιοριςτικοί παράγοντεσ τησ ανταγωνιςτικότητασ

υλλογικέσ διαπραγματεύςεισ και προςδιοριςτικοί παράγοντεσ τησ ανταγωνιςτικότητασ ΕΠΣΕΜΒΡΙΟ 2011 ΑΝΑΛΤΕΙ / 7 υλλογικέσ διαπραγματεύςεισ και προςδιοριςτικοί παράγοντεσ τησ ανταγωνιςτικότητασ ΓΕΩΡΓΙΟ ΑΡΓΕΙΣΗ ΕΡΕΤΝΗΣΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΜΑΚΡΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΤ ΜΕΣΑΧΗΜΑΣΙΜΟΤ Ειςήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΑΓΩΓΗ ~ 1 ~ τυλιανού. 1 Σο ςχϋδιο μαθόματοσ ςυζητόθηκε με το ςύμβουλο του μαθόματοσ τησ Νϋασ Ελληνικόσ Γλώςςασ κ. Μϊριο

1. ΕΙΑΓΩΓΗ ~ 1 ~ τυλιανού. 1 Σο ςχϋδιο μαθόματοσ ςυζητόθηκε με το ςύμβουλο του μαθόματοσ τησ Νϋασ Ελληνικόσ Γλώςςασ κ. Μϊριο ΔΙΚΣΤΟ ΤΝΕΡΓΑΙΑ ΧΟΛΕΙΩΝ ΔΗΜΟΣΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΤΗ Οικείοσ επιθεωρητήσ: Δρ Ανδρέασ Κυθραιώτησ Α' ΔΗΜΟΣΙΚΟ ΧΟΛΕΙΟ ΓΕΡΙΟΤ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΗ ΤΝΑΝΣΗΗ ΔΙΕΤΘΤΝΣΩΝ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΩΝ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ ΥΩΣΙΜΟΤ ΠΛΑΣΕΙΑ

ΜΕΛΕΣΗ ΥΩΣΙΜΟΤ ΠΛΑΣΕΙΑ ΜΕΛΕΣΗ ΥΩΣΙΜΟΤ ΠΛΑΣΕΙΑ Σπουδαςτέσ: Νομικόσ Νίκοσ Γκιουζελάκησ Σπύροσ Επιβλέπων καθηγητήσ: Παπαδόπουλοσ Χρήςτοσ ΔΙΑΚΟΠΣΕ ΚΑΙ ΑΥΑΛΕΙΕ Οι αςφϊλειεσ διακρύνονται ςε δύο βαςικϋσ κατηγορύεσ, ςε: - Αςφϊλειεσ

Διαβάστε περισσότερα

τηλεπικοινωνύεσ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ www.texnologia.org Αντρϋασ Ζαντόσ Τειεπνηθνηλσλίεο Β Λπθείνπ, Αληξεαο Ζαληεο 1 www.texnologia.

τηλεπικοινωνύεσ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ www.texnologia.org Αντρϋασ Ζαντόσ Τειεπνηθνηλσλίεο Β Λπθείνπ, Αληξεαο Ζαληεο 1 www.texnologia. τηλεπικοινωνύεσ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ Αντρϋασ Ζαντόσ Ζαληεο 1 τηλεπικοινωνύεσ O όροσ τηλεπικοινωνύεσ αναφϋρεται ςτην ανταλλαγό πληροφοριών και μηνυμϊτων μεταξύ δύο τόπων που βρύςκονται ςε απόςταςη, με τη

Διαβάστε περισσότερα

Απολυτόριεσ Εξετϊςεισ Ημερόςιων Γενικών Λυκεύων. Εξεταζόμενο Μϊθημα: Νεοελληνική Γλώςςα, Ημ/νύα: 14 Μαύου 2010. Ενδεικτικέσ Απαντήςεισ Θεμάτων

Απολυτόριεσ Εξετϊςεισ Ημερόςιων Γενικών Λυκεύων. Εξεταζόμενο Μϊθημα: Νεοελληνική Γλώςςα, Ημ/νύα: 14 Μαύου 2010. Ενδεικτικέσ Απαντήςεισ Θεμάτων Απολυτόριεσ Εξετϊςεισ Ημερόςιων Γενικών Λυκεύων Εξεταζόμενο Μϊθημα: Νεοελληνική Γλώςςα, Ημ/νύα: 14 Μαύου 2010 Ενδεικτικέσ Απαντήςεισ Θεμάτων Α1 Σε μια ανϊλυςη ςχετικϊ με την αυτομόρφωςη, η ςυγγραφϋασ πραγματεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Το παζάρι των λοιμώξεων ςτον 'κατεχόμενο' κόςμο των χρηςτών

Το παζάρι των λοιμώξεων ςτον 'κατεχόμενο' κόςμο των χρηςτών Το παζάρι των λοιμώξεων ςτον 'κατεχόμενο' κόςμο των χρηςτών "Η κρυμϋνη και ξεχαςμϋνη μϊςτιγα". Αυτόσ όταν ο τύτλοσ του εξαιρετικού ντοκυμαντϋρ που φτιϊχτηκε από το ουηδικό ωματεύο χρηςτών για να φϋρει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα