3.3 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Transcript

1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3.3 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μια γραµµική αναδροµική εξίσωση τάξης µε σταθερούς συντελεστές είναι µια εξίσωση της µορφής y [ ] y [ ]... y [ ] bx [ ]... b x [ ] (3.38) όπου x[] είναι µια γνωστή ακολουθία. Αυτή η εξίσωση µπορεί επίσης να γραφτεί µε τη µορφή y [ ] y [ ]... y [ ] w [ ] (3.39) όπου w[] είναι η δεξιά πλευρά της (3.38). Για τους σκοπούς µας είναι προτιµότερη η πρώτη µορφή διότι, όπως θα δούµε, περιγράφει τη σχέση εισόδου-εξόδου ενός αυθαιρέτου ψηφιακού συστήµατος. Καθ όλη την έκταση αυτής της παραγράφου θα υποθέσουµε ότι η (3.38) ισχύει για και ότι x[] οποιοδήποτε <. Στις εφαρµογές αυτές των αναδροµικών εξισώσεων στα ψηφιακά συστήµατα, η υπόθεση ότι x[] είναι µηδέν για < δεν είναι περιοριστική διότι η απόκριση y[] είναι µοναδικά προσδιορισµένη σε όρους της αρχικής κατάστασης του συστήµατος και οι τιµές των εισόδων για. Εάν η x[] προηγουµένως έχει εφαρµοστεί για, αυτό αντανακλάται στις τιµές της αρχικής κατάστασης. Θέτοντας,,,... στην (3.38), βρίσκουµε αναδροµικά το y[] για οποιοδήποτε. Για να αρχίσουµε την αναδροµή, χρειαζόµαστε τις τιµές της y[] για από - έως - : y[ ] y y[ ] y... y[ ] y (3.4) Αυτοί οι ορισµοί θα ονοµάζονται αρχικές συνθήκες. Από τα παραπάνω έπεται ότι η (3.38) έχει µια µοναδική λύση εάν οι αρχικές της συνθήκες καθοριστούν. Μια γενική λύση είναι το σύνολο όλων των λύσεων της (3.38). Το σύνολο αυτό εξαρτάται από τις παραµέτρους y,..., y. H αναδροµική εξίσωση (3.38) καθορίζει ένα διακριτό σύστηµα µε είσοδο x[] και έξοδο (απόκριση) την µοναδική λύση y[] της (3.38) υπό τις ήδη υπάρχουσες αρχικές συνθήκες. Η απόκριση µηδενικής κατάστασης του συστήµατος είναι η λύση y[ ] y [ ] της (3.38) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες: y [ ] y [ ]... y [ ] (3.4) Η απόκριση µηδενικής εισόδου y[ ] y [ ] είναι η λύση της (3.38) όταν x[]. η απόκριση µηδενικής εισόδου y [ ] είναι η λύση της οµογενούς εξίσωσης y [ ] y [ ]... y [ ] (3.4) Θα λύσουµε την (3.38) χρησιµοποιώντας µετασχηµατισµούς. Όπως στην ανάλογη περίπτωση, αυτό περιλαµβάνει τα ακόλουθα 3 βήµατα: ) Παίρνουµε τους µετασχηµατισµούς και των δύο πλευρών της (3.38): -3.5-

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Ζ { [ ]... [ ]} { [ ]... [ ]} y y bx b x (3.43) Από το θεώρηµα της µετατόπισης (3.34) έπεται ότι το δεξιό µέρος της (3.43) ισούται µε ( b... b ) X( ). Παρόµοια [βλέπε (3.33)] το αριστερό µέρος µπορεί να εκφραστεί σε όρους του µετασχηµατισµού Y() της ακολουθίας y[] και των αρχικών συνθηκών (3.4). ) Λύνουµε την προκύπτουσα αλγεβρική εξίσωση για Y(). 3) Προσδιορίζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό της Y(). ΣΗΜΕΙΩΣΗ Φαίνεται από τα παραπάνω ότι για να λύσουµε µια αναδροµική εξίσωση µε µετασχηµατισµούς χρειάζεται να γνωρίζουµε τις αρχικές συνθήκες (3.4). Αυτό, όµως, δεν είναι αναγκαίο. Η µέθοδος αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εύρεση των λύσεων της (3.38) ικανοποιώντας ένα διαφορετικό σύνολο συνθηκών. Αυτό γίνεται ως εξής: Εάν στην (3.43) οι αρχικές συνθήκες της y[] δεν είναι καθορισµένες, τότε η αντιστροφή του παραγόµενου Y() (γενική λύση) εξαρτάται από τις παραµέτρους y,..., y. Οι παράµετροι αυτοί µπορούν να προσδιοριστούν σε όρους των δεδοµένων συνθηκών (βλέπε πρόβληµα 3.). Πρώτου βαθµού Επιθυµούµε να λύσουµε την εξίσωση y[ ] y[ ] bx[ ] bx [ ] (3. 44) (3.44) µε την αρχική συνθήκη y[ ] y όπου x[] είναι µια γνωστή ακολουθία και x[-]. Για τον σκοπό αυτό µετασχηµατίζουµε και τις δύο πλευρές όπως στην (3.43). Αυτό παράγει { } Y( ) Y( ) y b X( ) b X( ) διότι [βλέπε (3.8)] y[ ] Y( ) y[ ] x[-] X( ) Λύνοντας την (3.45), παίρνουµε Y ( ) Y ( ) Y ( ) όπου (3.45) b b y Y( ) X( ) (3.46) b b Yá ( ) X( ) (3.47) είναι η απόκριση µηδενικής κατάστασης και y Y ( ) -y (3.48) είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου της (3.44) Η αντιστροφή y [ ] ôç ò Y( ) είναι η λύση της οµογενούς εξίσωσης y[ ] y[ ] /7/ :4: µµ

3 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ και, όπως βλέπουµε από την (3.48), είναι η γεωµετρική ακολουθία y [ ] y y ( ) όπου είναι η ρίζα της εξίσωσης. Η αντιστροφή y[ ] ôçò Y() είναι η λύση της (3.44) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. Παράδειγµα 3.3 Θέλουµε να λύσουµε την εξίσωση y [ ] 3y [ ] 6 µε αρχική συνθήκη y[-]4. Μπορούµε να βρούµε την y[] αναδροµικά: θέτοντας,,,... και παίρνουµε y[]8, y[]6, y[]86 και ούτω καθεξής. Για να προσδιορίσουµε την y[] για οποιοδήποτε χρησιµοποιούµε τους µετασχηµατισµούς. Αυτό παράγει { } Y( ) 3 Y( ) y[ ] 6 Y( ) 8 ( 3)( ) 3 3 y [ ] 3 3 Παράδειγµα 3.4 Βρείτε την ακολουθία y[] τέτοια ώστε y [ ] y [ ] y[-] Μετασχηµατίζοντας και τις δύο πλευρές και χρησιµοποιώντας το ζεύγος ( ), λαµβάνουµε Y( ) Y( ) ( ). Y( ) ( ) )( ( ) y[] -- Θα αναπτύξουµε τώρα έναν αριθµό βασικών εννοιών χρησιµοποιώντας σαν παράδειγµα το σύστηµα του σχήµατος 3.9. Το σύστηµα αυτό έχει ένα στοιχείο καθυστέρησης και η αρχική του κατάσταση είναι η τιµή της εισόδου q[] στο στοιχείο καθυστέρησης για -. Όπως βλέπουµε από το διάγραµµα, η µεταβλητή κατάστασης q[] ικανοποιεί την αναδροµική εξίσωση q [ ] q [ ] x [ ] (3.49) µε αρχική συνθήκη q[ ] q. Η έξοδος y[] µπορεί να εκφραστεί µη-αναδροµικά σε όρους της q[]: y [ ] bq [ ] bq [ ] (3.5) Στο πεδίο του µετασχηµατισµού οι παραπάνω εξισώσεις αποφέρουν: Q ( )( ) q X ( ) Y() Q ( )( b b ) bq (3.5) -3.7-

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Ζ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΜΗ ΕΝΙΚΗΣ ΕΙΣΟ ΟΥ Εάν x[], τότε Q ( ) Q ( ) q q [] q( ) Αυτό είναι το τµήµα της µηδενικής-εισόδου της µεταβλητής κατάστασης q[]. Εισάγοντας το στην (3.5), λαµβάνουµε το τµήµα µηδενικής-εισόδου y [ ] της εξόδου y[]: y [ ] b q ( b q ( q ( b b )( ) ) ) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΜΗ ΕΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Εάν q, τότε X( ) Q ( ) Q ( ) (3.5) b b Y() ( b b ) Q ( ) X() (3.53) Αυτό δείχνει ότι ( )Y () ( b b ) X() (3.54) Μετασχηµατίζοντας αντίστροφα και τις δύο πλευρές της (3.54), συµπεραίνουµε ότι η απόκριση µηδενικής κατάστασης y[ ] του συστήµατος του σχήµατος 3.9 ικανοποιεί την αναδροµική εξίσωση πρώτης τάξης (3.44). x[] - q [ ]- q [-] x[] q[-] b Æ - b o y[] b ï q [] b q[-] b ï b - H() á - y[] Ó ÇÌÁ 3.9 Συνάρτηση συστήµατος Όπως βλέπουµε από την (3.53), η συνάρτηση Y() µπορεί να γραφτεί ως το γινόµενο Ο παράγοντας Y () H()X() (3.55) H() Y() X() b b - - (3.56) είναι ανεξάρτητος της εισόδου και είναι γνωστός ως συνάρτηση του συστήµατος. Το σηµαντικό αυτό αποτέλεσµα δείχνει ότι για να προσδιορίσουµε την απόκριση µηδενικής κατάστασης, y[ ] ή για οποιαδήποτε είσοδο x[] είναι αρκετό να γνωρίζουµε την H() /7/ :4: µµ

5 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κρουστική Απόκριση Όπως γνωρίζουµε [βλέπε (3.)], ο µετασχηµατισµός της δ[] ισούται µε ένα. Έτσι, εάν x[] δ[], τότε X() και (3.55) αποφέρει Y()H(). Αυτό δείχνει ότι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός h[], της συνάρτησης του συστήµατος H() είναι η απόκριση µηδενικής κατάστασης του συστήµατος όταν x[] δ[]. Η ακολουθία h[] ονοµάζεται κρουστική απόκριση του συστήµατος. Όπως βλέπουµε από την (3.56), b b H( ) b ( b b / ) b h ä b b [ ] [ ] ( )( ) U[ ] (3.57) Ο παράγοντας U[] εισάγεται για να τονίσει το γεγονός ότι h[] για <. Στο επόµενο κεφάλαιο δείχνουµε ότι η απόκριση µηδενικής κατάστασης για οποιαδήποτε είσοδο x[] µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της κρουστικής απόκρισης h[] και της εισόδου x[]. Παράδειγµα 3.5 Το σύστηµα του σχήµατος 3.9 είναι για µηδενική κατάσταση, και, b 4 êáé b 3. Όπως βλέπουµε από την (3.55), η λαµβανόµενη απόκριση δίνεται από τη σχέση όπου Y() H()X() (3.58) H( ) είναι η συνάρτηση του συστήµατος. Η αντίστροφή της είναι η κρουστική απόκριση του συστήµατος h [ ] 6ä [ ] ( ) U[ ] Για να προσδιορίσουµε την y[], επαρκεί να βρούµε την αντιστροφή του γινοµένου H(x)X(). Θα συµβουλευτούµε µια περίπτωση σηµαντική ειδική. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Υποθέτουµε ότι η είσοδος x[] ισούται µε τον αριθµό των δειγµάτων x(t) ενός µιγαδικού εκθέτη : x[]x(t) xt () e jù t Στην περίπτωση αυτή x[] είναι η γεωµετρική ακολουθία Έτσι, jù T x [ ] e e jù T X ( ) e jù T -3.9-

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Ζ και από την (3.58) παράγεται Στα παραπάνω Y( ) 4 3 e ( ) c c e jùt jùt jù T y [ ] c ce (3.59) c jùt 4e 3 jùt He ( ) jùt e Σηµειώνουµε ότι όταν το, ο πρώτος όρος της (3.59) τείνει στο µηδέν. Έτσι jùt jù T y [ ] He ( ) e (3.6) εάν η είσοδος στο παραπάνω σύστηµα ισούται µε τα δείγµατα, e jù T ενός εκθετικού όρου, τότε η παραγόµενη απόκριση της µόνιµης κατάστασης είναι ανάλογη της εισόδου. Ο συντελεστής He jù ( T ) είναι η απόκριση συχνότητας του συστήµατος, και ισούται µε την τιµή της συνάρτησης του συστήµατος H() για e jù T. Παρόµοια αποτελέσµατα ισχύουν εάν η x[] ισούται µε τα δείγµατα της ηµιτονοειδούς συνάρτησης (βλέπε επίσης παράγραφο 5.). ευτέρου βαθµού Θα λύσουµε την οµογενή εξίσωση y [ ] y [ ] y [ ] (3.6) µε αρχικές συνθήκες y[ ] y y[ ] y. Μετασχηµατίζοντας και τις δύο πλευρές, λαµβάνουµε Άρα { } { } Y( ) Y( ) y Y( ) y y Y ( y y y ) (3.6) Για να βρούµε την y[], αρκεί να βρούµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό του παραπάνω κλάσµατος. ηλώνοντας µε êáé τις ρίζες της εξίσωσης συµπεραίνουµε, διασπώντας σε απλά κλάσµατα, ότι εάν τότε Εάν τότε, Y( ) Y( ) c c y[] c c ã ã ( ) y[] (ã ã ) /7/ :4: µµ

7 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Παράδειγµα 3.6 (α) Βρείτε την y[] τέτοια ώστε y[-] 6, y[-] 5, και y [ ] 7y [ ] y [ ] Από την (3.6) έπεται ότι ο µετασχηµατισµός Y() της y[] δίνεται από την 6 6 Y( ) y [ ] 5 5 (β) Βρείτε την y[] τέτοια ώστε y[-], y[-] και Από την (3.6) έπεται ότι y[] - 6y[-] 9y [-] Y( ) ( ) ( 3) y[ ] ( 6 3) 3 Θα προσδιορίσουµε την απόκριση µηδενικής κατάστασης y[] του συστήµατος του σχήµατος 3.. Όπως βλέπουµε από το διάγραµµα, η y[] ικανοποιεί την εξίσωση x[] y [ ] y [ ] y [ ] x [ ] (3.63) - - H() - - y[-] Æ - y[-] Æ - y[] Ó ÇÌÁ 3. Μετασχηµατίζοντας και τις δύο πλευρές, παίρνουµε Άρα Ο λόγος είναι συνάρτηση του συστήµατος. Y( )( )X() Y ( ) X() Y( ) H( ) X( ) (3.64) -3.-

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Ζ Παράδειγµα 3.7 Θα βρούµε την κρουστική και βηµατική απόκριση ενός συστήµατος µέσω της εξίσωσης 3 y[ ] y[ ] y[ ] x[ ] 4 8 ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Εάν x[] δ[], τότε X() και η (3.64) δίνει Y( ) H( ) [ 4 ] y [ ] h [ ] ( ) ( ) U [ ] ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Εάν x[] U[], τότε X( ) και η (3.64) δίνει ( ) 3 8 Y( ) 3 3 ( )( 3 ) y[ ] ( ) ( ) U[ ] Στο σύστηµα του σχήµατος 3. οι αποκρίσεις q[] και y[] ικανοποιούν τις εξισώσεις q [ ] q [ ] q [ ] x [ ] y [ ] bq [ ] bq [ ] bq [ ] (3.65) Από τα παραπάνω έπεται ότι εάν το σύστηµα είναι µηδενικής κατάστασης, τότε Q ( )( )X() Y( ) ( b b b )Q() x[] - - H() b - - b b ï - - q[-] Æ - Æ - q[] b b b y[] Ó ÇÌÁ 3. Λύνοντας ως προς Y() λαµβάνουµε Y ( b b b ) ( ) ( ) X() /7/ :4: µµ

9 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ο λόγος Y( ) b b b H( ) X( ) (3.66) είναι συνάρτηση του συστήµατος (συνάρτηση µεταφοράς). Γενική Περίπτωση Επιστρέφουµε στην γενική εξίσωση (3.38). Όπως βλέπουµε από την (3.43), ο µετασχηµατισµός Y() της y[] δίνεται από την N Y D X N ( ) ( ) ( ) ( ) Y( ) Y ( ) ( ) D ( ) Στην παραπάνω σχέση τα D() και N ( ) είναι : D ( )... N ( ) b b... b (3.67) Ο αριθµητής N ( )της απόκρισης µηδενικής εισόδου Y ( ) εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες (3.4). Η απόκριση µηδενικής εισόδου y β [] είναι ένα άθροισµα των γεωµετρικών ακολουθιών της οποίας οι λόγοι i είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης D(). Οι συντελεστές των ακολουθιών αυτών είναι σταθεροί εάν οι ρίζες είναι απλές, η πολυώνυµα του εάν οι ρίζες είναι πολλαπλές. Η απόκριση της µηδενικής κατάστασης Y ( ) είναι ένα γινόµενο N ( ) Y ( ) H( ) X( ) οπου H() D ( ) (3.68) είναι η συνάρτηση του συστήµατος. Εάν x[]δ[] τότε X() και Y α ()H(). Άρα ο αντίστροφος µετασχηµατισµός h[] της H() είναι η λύση της µηδενικής κατάστασης της (3.38) όταν x[]δ[]. Η ακολουθία h[] ονοµάζεται κρουστική απόκριση της (3.38). Σηµειώνουµε, ότι εφ' όσον η Y β () και η H() έχουν τον ίδιο παρανοµαστή, οι αντιστροφές των y β [] και h[] είναι αθροίσµατα γεωµετρικών ακολουθιών µε τους ίδιους λόγους i. Για να προσδιορίσουµε τις y β [] και h[], επεκτείνουµε τους µετασχηµατισµούς Y β () και H() σε απλά κλάσµατα. Εάν X() είναι µια ρητή συνάρτηση, τότε η Y α () είναι επίσης ρητή συνάρτηση και η αντιστροφή της y α [] µπορεί να βρεθεί παροµοίως. ιαφορετικά, χρησιµοποιούνται άλλες µέθοδοι. Στο επόµενο κεφάλαιο δείχνουµε ότι η απόκριση µηδενικής κατάστασης y α [] µπορεί να γραφτεί σαν άθροισµα (συνέλιξη) περιλαµβάνοντας τη δοσµένη είσοδο x[] και την κρουστική απόκριση h[]. Υπέρθεση: Όπως και στην ανάλογη περίπτωση, η λύση y[] της (3.38) έχει τις ακόλουθες επιπλέον ιδιότητες. ΠΡΩΤΗ ΜΟΡΦΗ Από την (3.67) έπεται ότι η y[] είναι ένα άθροισµα y [ ] y[ ] y [ ] (3.69) -3.3-

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Ζ της απόκρισης µηδενικής κατάστασης y[ ] και της απόκρισης µηδενικής εισόδου y [ ]. Για να βρούµε την y[], αρκεί λοιπόν να βρούµε ξεχωριστά την y α [] και την y β []. ΕΥΤΕΡΗ ΜΟΡΦΗ Υποθέτουµε ότι η είσοδος x[] είναι ένα άθροισµα x [ ] x[ ] x[ ] ηλώνοντας µε y[ ] êáé y[ ] τις αποκρίσεις µηδενικής κατάστασης λόγω των x[ ] êáé x[ ], αντίστοιχα, συµπεραίνουµε από την (3.68) ότι η απόκριση µηδενικής κατάστασης y α [] λόγω της x[] είναι το άθροισµα yá [ ] y[ ] y [ ] (3.7) Για να βρούµε την y α [], αρκεί να βρούµε ξεχωριστά την y [ ] êáé y [ ]. Χρονική αµεταβλητότητα Θα συγκρίνουµε τη λύση µηδενικής κατάστασης y [ ] λόγω της x[] µε τη λύση µηδενικής κατάστασης yk [ ] λόγω της µετατόπισης εισόδου xk [ ] x[ k] U[ k]. Από το θεώρηµα της µετατόπισης έπεται ότι ο µετασχηµατισµός X k ( ) ôçò x k [ ] ισούται µε -k X( ). Άρα [βλέπε (3.68)] Από αυτό συνεπάγεται ότι k k Y ( ) H( ) X ( ) H( ) X( ) Y ( ) k k yk[ ] y[ ku ] [ k] (3.7) η µετατόπιση της εισόδου έχει ως αποτέλεσµα ισοδύναµη µετατόπιση της απόκρισης µηδενικής κατάστασης /7/ :4: µµ