Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών. Θεωρίες Οικονομικής Μεγέθυνσης. Νίκος Θεοχαράκης.

Transcript

1 Εθνικό & Κποδιστρικό Πνεπιστήμιο Αθηνών Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θεωρίες Οικονομικής Μεγέθυνσης Νίκος Θεοχράκης Υπόδειγμ Romer Οι προύσες σημειώσεις βσίζοντι εξ ολοκλήρου στο κεφάλιο 5 του εγχειριδίου του Charles Jones, Introduction to Economic Growth, (2η έκδοση), 2002, Norton, New ork. Αποτελούν ουσιστικά πράφρση του κεφλίου με κάποιες επεξηγήσεις ότν ο συγγρφές είνι συνοπτικός. Το υπόδειγμ Romer το οποίο νλύετι είνι κυρίως υτό που υπάρχει στο άρθρο του Paul Romer, Endogenous Technological Change, Journal of Political Economy, τόμος 98 (Οκτώβριος 990), σσ. S7-S02, όπως επεκτάθηκε πό τον συγγρφέ στο άρθρο του Charles I. Jones, R&D-Based Models of Economic Growth, Journal of Political Economy, τόμος 03 (Αύγουστος 995), σσ Μέρος Α. Τ βσικά στοιχεί του υποδείγμτος Το υπόδειγμ Romer επιχειρεί ν κτστήσει ενδογενή την τεχνική πρόοδο εισάγοντς την έννοι της νζήτησης νέων ιδεών πό ερευνητές-εφευρέτες οι οποίοι ενδιφέροντι ν κερδίσουν πό τις εφευρέσεις τους. Η τεχνική πρόοδος οδηγείτι πό την έρευν κι την νάπτυξη (Ε&Α). Όπως κι στο υπόδειγμ Solow έχουμε μί εξίσωση που περιγράφει την συνθροιστική συνάρτηση πργωγής κι έν σύνολο εξισώσεων που δείχνουν πως μετβάλλοντι οι πργωγικές εισροές στη διάρκει του χρόνου. Η συνθροιστική συνάρτηση πργωγής περιγράφει πως το κεφάλιο Κ κι η πργωγική εργσί L συνδυάζοντι γι ν πράγουν προϊόν Υ, χρησιμοποιώντς το πόθεμ ιδεών Α. K ( L ) = Όπου το είνι μι πράμετρος μετξύ του 0 κι του. - -

2 Γι δεδομένο πόθεμ ιδεών Α, η συνάρτηση πργωγής έχει στθερές ποδόσεις κλίμκς ως προς τ Κ κι L. Ότν όμως θεωρήσουμε ότι το Α ποτελεί κι υτό εισροή στην πργωγική διδικσί τότε έχουμε ύξουσες ποδόσεις κλίμκς. Αυτό συμβίνει διότι πό τη στιγμή που πρχθεί μί ιδέ δεν χρειάζετι ν εφευρεθεί εκ νέου. Γι ν διπλσιάσουμε τη πργωγή ρκεί ν διπλσιάσουμε το κεφάλιο κι την εργσί, όχι την ιδέ. Αν διπλσιάσεις κεφάλιο, εργσί κι το Α τότε θ έχεις υπερδιπλάσιο προϊόν. Οι εξισώσεις συσσώρευσης του κεφλίου κι της εργσίς είνι ίδιες με υτές του υποδείγμτος Solow. Το κεφάλιο συσσωρεύετι κθώς τ άτομ ποτμιεύουν με έν στθερό ποσοστό s K κι ποσβέννυτι με έν στθερό εξωγενές ποσοστό d. K = s dk K Η εργσί που εδώ είνι ισοδύνμη με τον πληθυσμό L μεγεθύνετι εκθετικά με στθερό ρυθμό μεγέθυνσης n, L L = n Στο υπόδειγμ Solow το Α μεγεθύνετι εξωγενώς με έν στθερό ρυθμό g. Αντίθετ στο υπόδειγμ Romer η μεγέθυνση του είνι ενδογενής. Αυτό γίνετι μέσ πό μι συνάρτηση πργωγής του Α. Το t ( ) είνι το συνολικό πόθεμ των ιδεών που έχει πρχθεί πό την ρχή του χρόνου μέχρι την στιγμή t. Άρ το είνι ο ριθμός των νέων ιδεών που πράγετι κάθε στιγμή του χρόνου. Ο πλούστερος τρόπος ν περιγρφεί κάτι τέτοιο είνι ν θεωρήσουμε ότι το είνι ίσο με τον ριθμό των τόμων που επιχειρούν ν εφεύρουν ιδέες, L, όπου L= L + L, πολλπλσισμένο επί το ρυθμό με τον οποίον νκλύπτουν νέες ιδέες, δ : = δ L Ο ρυθμός με τον οποίο νκλύπτοντι νέες ιδέες μπορεί βεβίως ν είνι στθερός. Μπορεί όμως κνείς ν θεωρήσει ότι εξρτάτι πό το ήδη υπάρχον πόθεμ ιδεών. Μπορεί η νκάλυψη ιδεών του πρελθόντος μπορεί ν επηρεάζει θετικά την νκάλυψη νέων ιδεών, άρ το δ μπορεί ν είνι μι ύξουσ συνάρτηση του Α. Μπορεί ντίθετ οι κλύτερες, ή οι πιο προφνείς, ιδέες ν έχουν ήδη νκλυφθεί κι οι επόμενες ιδέες ν είνι πιο δύσκολο ν νκλυφθεί, οπότε ν συμβίνει το ντίθετο. Άρ μπορούμε ν θεωρήσουμε ότι το δ είνι μι συνάρτηση της μορφής δ = δ φ Όπου τ δ κι φ είνι στθερές. Αν φ > 0 η πργωγικότητ της έρευνς υξάνει με το πόθεμ των ιδεών, ενώ ν φ < 0 οι κλύτερες ιδέες έχουν ήδη λιευθεί. Αν φ = 0 τότε η πργωγικότητ της έρευνς είνι νεξάρτητη πό το πόθεμ των ιδεών

3 Μπορούμε επίσης ν θεωρήσουμε ότι η πργωγικότητ της έρευνς εξρτάτι πό τον ριθμό των ερευνητών. Μπορεί, φερειπείν, όσο μεγλύτερος είνι ο ριθμός των ερευνητών κάποιες ιδέες ν νκλύπτοντι περισσότερες φορές κι ν επηρεάζετι ρνητικά η πργωγικότητ της έρευνς. Ένς τρόπος ν το δείξουμε υτό σε έν υπόδειγμ είνι ν θεωρήσουμε ότι ντί γι L, έχουμε L λ, όπου λ είνι μι πράμετρος μετξύ 0 κι. Άρ λοιπόν σε μι πιο γενική μορφή μπορεί ν ξνγράψουμε την εξίσωση πργωγής νέων ιδεών ως = δl Θεωρούμε ότι σε κάθε περίπτωση το φ δεν είνι πολύ μεγάλο κι ειδικότερ ότι φ <. λ φ Η μεγέθυνση το υπόδειγμ Romer υπό την προϋπόθεση ότι το ποσοστό των ερευνητών είνι στθερό, κάτι που θ το ποδείξουμε ργότερ το υπόδειγμ κολουθεί το θεώρημ του υποδείγμτος Solow ότι όλη η μεγέθυνση του κτά κεφλή προϊόντος οφείλετι στην τεχνική πρόοδο. Συμβολίζοντς με μικρά γράμμτ τ κτά κεφλή μεγέθη κι με g το ρυθμό μεγέθυνσης μις μετβλητής, δηλ., g ˆ = =, μπορεί ν δειχθεί, με τρόπο νάλογο του υποδείγμτος Solow, ότι στην τροχιά της ισόρροπης μεγέθυνσης ισχύει ότι gy = gk = g Δηλ., ότι ο ρυθμός μεγέθυνσης του κτά κεφλήν προϊόντος, του κτά κεφλήν κεφλίου κι του ποθέμτος των ιδεών είνι ο ίδιος. Άρ ποιος είνι υτός ο ρυθμός μεγέθυνσης; Από την εξίσωση = δl λ φ διιρώντς με Α προκύπτει ότι λ δl = φ Στην τροχιά ισόρροπης μεγέθυνσης ο ρυθμός υτός είνι στθερός δηλ., ο δικός του ρυθμός μεγέθυνσης είνι μηδενικός. Πίρνοντς, κτά τ γνωστά λογρίθμους κι πργωγίζοντς έχουμε: L 0= λ ( φ) L Δεδομένου την τροχιά της ισόρροπης μεγέθυνσης έχουμε ότι το ποσοστό των ερευνητών στον πληθυσμό είνι στθερό, υτό σημίνει ότι υτό μεγεθύνετι με τον ρυθμό μεγέθυνσης του πληθυσμού, δηλ., το n, άρ η εξίσωσή μς γίνετι ( φ) 0= λn g λn g = φ Άρ μκροχρόνι ο ρυθμός μεγέθυνσης εξρτάτι πό τις πρμέτρους του υποδείγμτος

4 Μέρος Β. Η οικονομική δομή του υποδείγμτος Ας προχωρήσουμε τώρ στην οικονομική δομή του υποδείγμτος Romer. Αποτελείτι πό τρεις τομείς: () τον τομέ των τελικών κτνλωτικών γθών (final goods sector), (2) των τομέ των ενδιάμεσων γθών (intermediate goods sector) κι (3) τον τομέ της έρευνς (research sector).. Ο τομές των τελικών γθών. Ο τομές των τελικών γθών ποτελείτι πό τελείως ντγωνιστικές επιχειρήσεις οι οποίες συνδυάζουν κεφάλιο, K, κι εργσί, L, κι πράγουν έν ομοιογενές τελικό προϊόν,. Σημ. Την εργσί την συμβολίζουμε με υπο-δείκτη Υ, επειδή υπάρχει κι εργσί η οποί πσχολείτι στον τομέ της έρευνς την οποί συμβολίζουμε με υπο-δείκτη Α, δηλ., ως L. Το σύνολο της εργσίς στην οικονομί είνι L= L + L Η συνάρτηση πργωγής του τελικού προϊόντος, διφέρει πό εκείνη του υποδείγμτος Solow κι έχει την εξής μορφή: = = L Το προϊόν πράγετι χρησιμοποιώντς εργσί L κι μι σειρά πό διφορετικά κεφλιουχικά γθά, όπου =,,. Το Α μετράει τον ριθμό των κεφλιουχικών γθών που είνι διθέσιμ ν χρησιμοποιηθούν στον τομέ των τελικών γθών γι την πργωγή του τελικού γθού. Οι εφευρέσεις στον τομέ της έρευνς δημιουργούν νέ κεφλιουχικά γθά, υξάνοντς το Α. Οι επιχειρήσεις στον τομέ των τελικών γθών πίρνουν το Α ως δεδομένο. [Πρτηρείστε ότι ο Romer εκφράζει την τεχνική πρόοδο Α με την διθέσιμη γκάμ των κεφλιουχικών γθών. Γι το λόγο υτό το συγκεκριμένο υπόδειγμ ενδογενούς μεγέθυνσης ποκλείτι υπόδειγμ εύρους διφορετικών προϊόντων (product variety model).] Πρτηρείστε επίσης το εξής: γι δεδομένο Α, η συνάρτηση πργωγής έχει στθερές ποδόσεις κλίμκς, εφόσον ν πολλπλσιάσουμε το L κι κάθε με έν στθερό ριθμό, έστω λ, το προϊόν Υ πολλπλσιάζετι κι υτό με λ. ( λl) ( λ ) λ λ L = λ = = = Γι τεχνικούς κθρά λόγους, ώστε δηλ., ν μπορούμε ν κάνουμε χρήση του διφορικού λογισμού, είνι χρήσιμο ν εκφράσουμε την συνάρτηση πργωγής με την εξής μορφή: L d = 0-4 -

5 Το Α δηλ., μετράει το εύρος των διθέσιμων κεφλιουχικών γθών κι το εύρος υτό είνι το διάστημ πό μηδέν έως Α. Λμβάνουμε την τιμή του τελικού γθού ίση με τη μονάδ. Οι επιχειρήσεις στον τομέ των τελικών γθών μεγιστοποιούν τ κέρδη τους, επιλέγοντς τις μετβλητές L κι, έτσι ώστε η πρώτη πράγωγος των κερδών ως προς κάθε μί προς υτές τις μετβλητές ν είνι μηδενική. Τ κέρδη είνι ίσ με την ξί του προϊόντος, Υ, εφόσον η τιμή του προϊόντος είνι ίση με τη μονάδ p = =, μείον την μοιβή της εργσίς wl, μείον την μοιβή των κεφλιουχικών γθών. Συμβολίζοντς με p την μοιβή του κεφλιουχικού γθού, η συνολική μοιβή των κεφλιουχικών γθών είνι p d. Άρ τ κέρδη είνι ίσ με 0 π = L 0 d wl Κι οι συνθήκες πρώτης τάξεως είνι οι εξής: Κι ( ) w = L p = L (0, ) 0 p d Σημείωση: Οι συνθήκες προκύπτουν ως εξής: ma π L, L d wl p d π 0 0 = = L L = ( ) L L d w= ( ) w= 0 0 L ( ) w = L L d wl p d π 0 0 = = = L p = 0 p = L - 5 -

6 Η πρώτη συνθήκη μς λέει ότι οι επιχειρήσεις προσλμβάνουν εργσί έως ότου ο μισθός είνι ίσος με την ξί του ορικού προϊόντος της εργσίς. Η δεύτερη συνθήκη μς λέει ότι οι επιχειρήσεις ενοικιάζουν κάθε κεφλιουχικό γθό έως ότου το ορικό του προϊόν είνι ίσο με την τιμή ενοικίσής του. Πρτηρείστε επίσης ότι οι συνθήκες υτές ποτελούν κι τις συνρτήσεις της (πράγωγης) ζήτησης των πργωγικών συντελεστών L κι. 2. Τομές ενδιάμεσων γθών Στον τομέ των ενδιάμεσων γθών έχουμε μονοπωλικό ντγωνισμό. Έχουμε πολλούς μονοπωλητές όπου ο κθένς βσίζει το μονοπώλιο του στο ότι κτέχει τη πτέντ του κεφλιουχικού γθού που έχει γοράσει πό τον τομέ της έρευνς. Από τη στιγμή που γορστεί η πτέντ με δεδομένο κόστος, ο κάθε μονοπωλητής πράγει κεφλιουχικά γθά με μι πολύ πλή συνάρτηση πργωγής: μί μονάδ κθρού κεφλίου μετσχημτίζετι άμεσ σε μι μονάδ κεφλιουχικού γθού. Το κέρδος του μονοπωλητή του γθού είνι πλά: π = p ( ) r, φού είνι η διφορά των εσόδων πό το κόστος, όπου r είνι η τιμή του κθρού κεφλίου. Ας σημειωθεί ότι εφόσον είνι μονοπωλητής, ντιμετωπίζει την συνάρτηση ζήτησης του προϊόντος του η οποί μς δίνετι πό την εξίσωση p = L. Η μεγιστοποίηση του κέρδους ως προς μς δίνει τη συνθήκη πρώτης τάξεως: ma π = p ( ) r p ( ) + p( ) r= 0, πλοποιώντς τον δείκτη. Διιρώντς με το p, κι λύνοντς ως προς p έχουμε: p ( ) r p ( ) + p( ) r= 0 + = p ( ) p ( ) r p ( ) = p ( ) + p ( ) p ( ) Πρτηρείστε ότι η έκφρση, που είνι η ντίστροφη ελστικότητ της p( ) κμπύλης ζήτησης του κάθε κεφλιουχικού γθού, μπορεί ν υπολογιστεί πό τη συνθήκη πρώτης τάξεως της μεγιστοποίησης του κέρδους της ντγωνιστικής επιχείρησης του τομέ των τελικών γθών, δηλ., την εξίσωση p 2 p= L p ( ) = = ( ) L p ( ) ( ) L = = ( ) p ( ) L 2 Αντικθιστώντς στην εξίσωση έχουμε r r r p = = =, ή p ( ) + ( ) + p - 6 -

7 r p = Δηλ., κάθε επιχείρηση που πράγει κεφλιουχικά γθά επιβάλλει έν στθερό ποσοστό (markup) επί του ορικού κόστους του κεφλίου. Αυτή η λύση είνι κοινή γι όλους τους μονοπωλητές, άρ =. Το ίδιο ισχύει γι τις τιμές. Άρ κάθε μονοπωλική επιχείρηση έχει το ίδιο κέρδος. Μπορεί ν ποδειχθεί ότι το κέρδος υτό είνι: π= ( ) Σημείωση: Ένς τρόπος ν ποδειχθεί υτό είνι ο εξής: Από τη συνάρτηση ζήτησης των κεφλιουχικών γθών έχουμε: p = L. Πολλπλσιάζοντς κι τ δύο μέρη με προκύπτει p = L. Δεδομένου ότι υπάρχουν Α = συνεπάγετι ότι = L. Αν πολλπλσιάσουμε κι διιρέσουμε το δεύτερο μέρος της προηγούμενης εξίσωσης με το Α έχουμε: p = L =. r r Η εξίσωση p = μς δίνει p= r= p r= p. Το κέρδος τώρ γίνετι π= p r = p p = ( ) p = ( ) = ( ). ο.ε.δ. Τέλος η συνολική ζήτηση γι κεφάλιο πό τον τομέ των ενδιάμεσων γθών πρέπει ν ισούτι με το συνολικό πόθεμ κεφλίου της οικονομίς, δηλ.,: Εφόσον d = K. 0 = η προηγούμενη εξίσωση μπορεί ν κθορίσει το. Δηλ., K = Η συνάρτηση πργωγής του τελικού γθού μπορεί ν ξνγρφεί ως = L Κι ντικθιστώντς πό την προηγούμενη εξίσωση έχουμε - 7 -

8 K K K = L = L L L = = ( ) = K L Δηλ., τη συνθροιστική συνάρτηση πργωγής που είχμε στο υπόδειγμ Solow τη συνντάμε κι εδώ στην συνάρτηση πργωγής του τελικού γθού. Πρτηρείστε ότι είνι στθερών ποδόσεων κλίμκς ως προς K κι L, λλά υξουσών ποδόσεων κλίμκς ν υπολογίσουμε την τεχνολογί. 3. Ο τομές της έρευνς Ο τρόπος που εμφνίζετι η έρευν στο υπόδειγμά μς είνι σν ν ψάχνουμε γι ψήγμτ χρυσού στ ποτάμι της «Άγρις Δύσης» της Αμερικής τ τέλη του 9ου ιών. Όλοι μπορούν ν ψάξουν γι χρυσό κι η ντμοιβή τους είνι το ψήγμ που θ βρουν. Εν προκειμένω φυσικά τ «ψήγμτ» είνι ιδέες οι οποίες δημιουργούν νέ κεφλιουχικά (ενδιάμεσ) γθά. Ότν γίνει μι εφεύρεση ο εφευρέτης ποκτά τ δικιώμτ σε υτή γι πάντ. Πουλάει τ δικιώμτ σε έν πργωγό ενδιάμεσων γθών κι με τ χρήμτ υτά κτνλώνει κι ποτμιεύει όπως κάθε άλλος οικονομικός δρών στο υπόδειγμ. Το ερώτημ είνι ποι θ είνι η τιμή της πτέντς της εφεύρεσης. Υποθέτουμε ότι ο κθένς μπορεί ν συμμετάσχει σε έν πλειοδοτικό διγωνισμό γι την πόκτησή της. Η τιμή της πτέντς θ είνι ίση με την προύσ ξί των κερδών μις ετιρείς πργωγής ενδιάμεσων γθών. Αυτό συμβίνει διότι οι ντγωνιστικές επιχειρήσεις δεν έχουν κέρδη. Κέρδη έχουν μόνον οι επιχειρήσεις που έχουν μονοπωλικό πλεονέκτημ με την κτοχή μις πτέντς. Επειδή είνι η πτέντ που δημιουργεί τ μονοπωλικά κέρδη, η τιμή της πτέντς θ είνι ίση με την (προύσ) ξί υτών των κερδών. Αν η τιμή της πτέντς ήτν μικρότερη πό την προύσ ξί των κερδών, κάποιοι θ επωφελούντν την διφορά, άρ κάποιοι άλλοι θ ήτν διτεθειμένοι ν πληρώσουν περισσότερο γι την πόκτηση της πτέντς. Αν η τιμή της πτέντς ήτν μεγλύτερη πό την προύσ ξί των κερδών, όποιος την γόρζε θ έκνε ζημιές, άρ δεν θ το έκνε. Έστω λοιπόν ότι η τιμή υτή είνι ίση με P. Πως μετβάλλετι η τιμή υτή στον χρόνο; Εδώ θ χρησιμοποιήσουμε το επιχείρημ που προκύπτει πό την λογική του ρμπιτράζ. Έστω ότι έχω έν κεφάλιο ίσο με P. Έχω δύο επιλογές: ή () ν το κτθέσω στην «τράπεζ» με πάρω επιτόκιο r, άρ ν έχω έσοδ πό τόκους ίσ με rp, ή (2) ν γοράσω με υτά τ χρήμτ την πτέντ κι ν κερδίσω τ κέρδη της μονοπωλικής επιχείρησης του ενδιάμεσου γθού που πράγετι με τη συγκεκριμένη τεχνογνωσί, π, συν την μετβολή που θ επέλθει στην ξί της πτέντς που είνι ίση με P. Αυτές οι δύο επιλογές, σύμφων με την λογική του ρμπιτράζ, πρέπει ν εξισωθούν διότι διφορετικά κάποιος θ μπορούσε ν βγάλει χρήμτ νέξοδ. Άρ η εξίσωση του ρμπιτράζ λέει ότι rp = π + P Εδώ φυσικά δεν έχουμε τράπεζες, λλά κάποιος μπορεί ν γοράσει κεφάλιο με πόδοση r

9 Το ριστερό μέρος της εξίσωσης είνι η μοιβή πό την επιλογή () κι το δεξιό η μοιβή πό την επιλογή (2). Διιρώντς κι τ δύο μέλη της εξίσωσης με P έχουμε: π P r = + P P Στη στθερή κτάστση το r πρέπει ν είνι στθερό κι νάλογο με το K. Αυτό σημίνει ότι το π κι το P πρέπει ν μετβάλλοντι με τον ίδιο ρυθμό μεγέθυνσης. Από προηγούμενη εξίσωση γνωρίζουμε ότι π= ( ) δηλ., ότι το π είνι νάλογο του, άρ έχουν τον ίδιο ρυθμό μεγέθυνσης. Εφόσον το κτά κεφλή προϊόν y κι το Α μεγεθύνοντι με τον ίδιο ρυθμό θ πρέπει ν ισχύει ότι ŷ= ˆ ˆ Lˆ= ˆ ˆ n= ˆ ˆ ˆ = n, δηλ., ο ρυθμός μεγέθυνσης του ν είνι ίσος με το n, τον ρυθμό μεγέθυνσης του πληθυσμού, ο οποίος είνι ίσος με τον ρυθμό μεγέθυνσης του π κι ίσος με το ρυθμό μεγέθυνσης του P. Άρ έχουμε ˆ P π P π P = = n r= + = + n P P P P π P = r n Η εξίσωση υτή μς δίνει την τιμή της πτέντς στην τροχιά της ισόρροπης μεγέθυνσης. Επιλύοντς το υπόδειγμ Έχουμε τώρ τη βσική περιγρφή του υποδείγμτός μς κι κάνουμε τις εξής πρτηρήσεις.. Η συνθροιστική συνάρτηση πργωγής έχει ύξουσες ποδόσεις κλίμκς. Είνι μεν στθερών ποδόσεων κλίμκς ως προς τ Κ κι L, λλά εφόσον το Α ποτελεί εισροή έχουμε ύξουσες ποδόσεις. 2. Οι ύξουσες ποδόσεις πιτούν τελή ντγωνισμό. Στο υπόδειγμά μς ο τελής ντγωνισμός υπάρχει στον τομέ των ενδιάμεσων γθών. Η τιμή του πργόμενου γθού είνι μεγλύτερη πό το ορικό του κόστος. Τ κέρδη όμως υτά τ πολμβάνουν οι κάτοχοι της πτέντς, άρ τ πργμτικά κέρδη είνι μηδενικά. Έχουμε, δηλ., μονοπωλικό ντγωνισμό (monopolistic competition) (Θυμηθείτε το υπόδειγμ Chamberlin πό την μικροοικονομική θεωρί ή την εισγωγή στην οικονομική νάλυση). 3. Εφόσον δεν έχουμε τέλειο ντγωνισμό δεν είνι πρίτητο ν ισχύει κι το θεώρημ του όρτου χεριού, δηλ., δεν έχουμε πρίτητ κτά Pareto άριστο. Γνωρίζουμε τον ρυθμό μεγέθυνσης στη στθερή κτάστση. Τώρ πρέπει ν δούμε πως κτνέμετι η εργσί μετξύ του τομέ της έρευνς κι του τομέ του τελικού γθού. Κι εδώ πάλι χρησιμοποιούμε την έννοι του ρμπιτράζ. Η εργσί στον - 9 -

10 τομέ του τελικού γθού μείβετι με το ορικό της προϊόν όπως δίνετι πό την εξίσωση w = ( ) L Οι ερευνητές μείβοντι νάλογ με την ξί των εφευρέσεών τους. Υποθέτουμε ότι οι ερευνητές θεωρούν την πργωγικότητ στον τομέ της έρευνς ως δεδομένη κι ίση με δ. Δεν νγνωρίζουν ότι η πργωγικότητ μειώνετι όσοι περισσότεροι ερευνητές μπίνουν στον χώρο κι δεν εσωτερικεύουν την διάχυση της γνώσης που σχετίζετι με το φ. Άρ ο μισθός στον τομέ της έρευνς είνι ίσο με το ορικό προϊόν δ επί την ξί της εφεύρεσης P, δηλ., ισχύει ότι w R = δ P Δεδομένου ότι ισχύει κι εδώ το ρμπιτράζ κι εφόσον δεν υπάρχει διφορά μετξύ των εργτών στους δυο τομείς, οι δυο μισθοί πρέπει ν είνι ίσοι: w = wh. Άρ w = wr ( ) = δp. L Γνωρίζουμε όμως ότι P = π r n κι ότι ( ) ( ) π= άρ P = r n Η εξίσωση των μισθών γίνετι: Σημειώστε ότι δ ( ) = ( ) L r n δ = r n L = δ L, άρ στην τροχιά της ισόρροπης μεγέθυνσης έχουμε δ = g L. Αντικθιστώντς στην πρπάνω εξίσωση έχουμε g L =. r n L Αν s R είνι το ποσοστό των εργζομένων στον τομέ της έρευνς, δηλ., L s R L L L L L L s + R = = L L L + L L L L + L = sr ( s ) R Αντικθιστώντς κι λύνοντς ως προς s R έχουμε sr = r n + g Δηλ., όσο πιο γρήγορ μεγεθύνετι η οικονομί τόσο μεγλύτερο το ποσοστό υτών που εργάζοντι στην έρευν. Μπορούμε ν δείξουμε ότι r = 2 K - 0 -

11 Απόδειξη: Από προηγούμενες εξισώσεις γνωρίζουμε K 2 r= pπ, = ( ) p= ( ) p=, = r= K Το συγκεκριμένο r είνι μικρότερο πό το ορικό προϊόν του κεφλίου, δηλ., το γνωστό μς r= K. Στο υπόδειγμ Solow με στθερές ποδόσεις κλίμκς κι τέλειο ντγωνισμό οι συντελεστές πληρώνοντι το ορικό τους προϊόν. Στο υπόδειγμ Romer έχουμε ύξουσες ποδόσεις κι οι συντελεστές δεν μπορούν ν μειφθούν με το ορικό τους προϊόν. Αν το προϊόν εξντλείτι στην μοιβή των πργωγικών συντελεστών δεν υπάρχει περιθώριο γι ν ντμειφθεί η δρστηριότητ των τόμων που δημιουργούν το Α. Ως εκ τούτου ο τελής ντγωνισμός είνι πρίτητος. Το κεφάλιο πληρώνετι λιγότερο πό το ορικό του προϊόν κι το υπόλοιπο ντμείβει τους εφευρέτες νέων ιδεών. - -