c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "c(x 1)dx = 1 xf X (x)dx = (x 2 x)dx = 2 3 x3 x 2 x 2 2 (x 1)dx x 2 f X (x)dx = (x 3 x 2 )dx = 2 4 x4 2 3 x3"

Μορφευς Βονόρτας
5 χρόνια πριν
Προβολές:

Πρέπει : f X xdx cx cx Αλλιώς, υπολογίζουµε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ: cx dx c c c + c c E ABΓ c c ϐ Η µέση τιµή της τ.

1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τελικής Εξέτασης - 9 Ιανουαρίου 05 Θέµα. α Η γραφική παράσταση της σ.π.π. f X x ϕαίνεται στο σχήµα : Υπολογίζουµε την τιµή της σταθεράς c. Πρέπει : f X xdx cx cx Αλλιώς, υπολογίζουµε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ: cx dx c c c + c c E ABΓ c c ϐ Η µέση τιµή της τ.µ X δίνεται από την παρακάτω σχέση : E[X] xf X xdx x x dx x xdx 3 x3 x Για να ϐρούµε τη διασπορά, πρώτα υπολογίζουµε : E[X ] x f X xdx x x dx x 3 x dx 4 x4 3 x

2 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 04-5/Λύσεις Τελικής Εξέτασης varx E[X ] E[X] γ Προφανώς, F X x 0, για x < και F X x, όταν x. Για x <, έχουµε : F X x Εποµένως η F X x γίνεται : f X tdt x t dt t t x x + x x + x 0, x < F X x x, x <, x Το διάγραµµα της Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανοµής είναι : x δ i Θεωρούµε το ενδεχόµενο : A {X >.5} P A P X >.5 P X.5 F X ii Θεωρούµε το ενδεχόµενο : B {. < X <.5} P B P. < X <.5 F X.5 F X ε Εχουµε : A B {X >.5} {. < X <.5} {.5 < X <.5} P A B P.5 < X <.5 F X.5 F X P A P B

ανεξάρτητα. Θέµα. α Η τ.µ X είναι µικτή διότη η α.σ.

Η γραφική της παράσταση είναι : ϐ Για < x < 4, έχουµε :

P X 4 F X 4 F X 4 0.8 0. Εποµένως : x/0, < x < 4 0.δx 0.

3 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 04-5/Λύσεις Τελικής Εξέτασης 3 Συνεπώς, τα A και B ΕΝ είναι ανεξάρτητα. Θέµα. α Η τ.µ X είναι µικτή διότη η α.σ.κ F X x παρουσιάζει ασυνέχειες για x και για x 4. Η γραφική της παράσταση είναι : ϐ Για < x < 4, έχουµε : f x x df Xx dx x 0 Επίσης : P X F X F X P X 4 F X 4 F X Εποµένως : x/0, < x < 4 0.δx 0.δx 4 0 αλλού, x Η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας γίνεται :

4 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 04-5/Λύσεις Τελικής Εξέτασης 4 γ P X < P < X < P 0 < X < 4 F X 4 F X δ P X < < X 4 P X < < X 4 P < X 4 P 0 < X < 4 < X 4 P < X 4 P < X < 4 P < X 4 F X4 F X F X 4 F X Θέµα 3. α Εχουµε : P + X > 4 P + X > 6 P + X > 6 + X < 6 P X > 5 X < 7 P X > 5 + P X < 7 P X 5 + P X < 7 X 5 P 5 5 X 5 + P < Φ + Φ. Φ + Φ. Φ Φ. ϐ Η Ϲητούµενη πιθανότητα δίνεται από : [ ] P 5X + Y 3 > 0 P 5X + > 0 Y 3 > 0 5X + < 0 Y 3 < 0 P 5X + > 0 Y 3 > 0 + P 5X + < 0 Y 3 < 0 ξένα µεταξύ τους P 5X + > 0P Y 3 > 0 + P 5X + < 0P Y 3 < 0 Χ,Υ :ανεξάρτητες P X > P Y > 3/ + P X < /5 P Y < 3/ 5 X 5 5 P > 5 Y P > 3/ X 5 + P < /5 5 Y P < 3/ [ Φ 0.5][ Φ 0.] + Φ 0.5Φ 0. Φ0.5Φ0. + [ Φ0.5][ Φ0.] Φ0.5Φ0. + Φ0. Φ0.5 + Φ0.5Φ0. Φ0. Φ0.5 + Φ0.5Φ0.

5 varz var5x Y var5x + var Y, Χ,Υ : ανεξάρτητες 5varX + 4varY 5 00 + 4 5 600 δ Εµβαδόν : W XY Το µέσο εµβαδόν δίνεται από : E[W ] E[XY ] E[X] E[Y ] 5 5 Θέµα

5 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 04-5/Λύσεις Τελικής Εξέτασης 5 γ Η µέση τιµή και η διασπορά της τ.µ Z δίνονται αντίστοιχα, από τις παρακάτω σχέσεις : E[Z] E[5X Y ] 5E[X] E[Y ] 5.5 varz var5x Y var5x + var Y, Χ,Υ : ανεξάρτητες 5varX + 4varY δ Εµβαδόν : W XY Το µέσο εµβαδόν δίνεται από : E[W ] E[XY ] E[X] E[Y ] 5 5 Θέµα 4. α Από το σχήµα προκύπτει ότι : E SXY c E SXY c 7 c 7 ϐ Θεωρούµε το παρακάτω σχήµα : Η Ϲητούµενη πιθανότητα γίνεται : P Y < X E ABΓ c γ Είναι η πιθανότητα να ϐρεθούµε εκτός ενός κύκλου µε κέντρο το σηµείο.5,.5 και ακτίνα r 0.5 [ P X.5 + Y.5 > 0.5 ] π

7 Για x < 3, y0 3 cdy + cdy y 7 Οπότε έχουµε : /7, 0 x < και x < 3 3/7, x < 0, αλλού Η γραφική

6 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 04-5/Λύσεις Τελικής Εξέτασης 6 δ Εχουµε : 0 για x < 0 και x 3 Για 0 x <, y0 3 cdy + cdy y 7 y y Για x <, 3 y0 cdy 7 y Για x < 3, y0 3 cdy + cdy y 7 Οπότε έχουµε : /7, 0 x < και x < 3 3/7, x < 0, αλλού Η γραφική παράστασης της περιθωριακής συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας ϕαίνεται στο πα- ϱακάτω σχήµα :

7 ΗΥ-7- Θεωρία Πιθανοτήτων - Χειµερινό Εξάµηνο 04-5/Λύσεις Τελικής Εξέτασης 7 Θέµα 5. α Προφανώς η τ.µ Y παίρνει τιµές 0,,, 3,.... Είναι διακριτή! Εποµένως έχουµε : P Y k P Y k P k X < k + F X k + F X k Οµως, η X exp λ,µε Αθροιστική Συνάρτηση Κατανοµής : F X x e λx Συνεπώς ισχύει : P Y k e λk+ e λk e λk e λk+ e λk e λ Παρατηρούµε ότι η τ.µ Y έχει σ.π.π. της µορφής : P Y k pp k, k 0,,, 3, µε p e λ ηλαδή, η τ.µ Y ακολουθεί γεωµετρική κατανοµή µε p e λ. Y Geoe λ ϐ Προφανώς, 0 Z X X <. Η Z είναι συνεχής τυχαία µεταβλητή µε πεδίο τιµών το [0,. Για 0 z < έχουµε : E Z z P Z z P 0 Z < z k0 Οπότε, η σ.π.π γίνεται : P k X k + z k0 [ ] e λk+z e λk f Z z k0 e λz e λk e λz e λ k0 λe λz e λ [ ] F X k + z F X k

Σχετικά έγγραφα

0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4

0, x < 0 1+x 8, 0 x < 1 1 2, 1 x < x 8, 2 x < 4 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 7 Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Κωνσταντίνα Φωτιάδου Ασκηση. Εστω