Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα
|
|
- Μάξιμος Παπακώστας
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Παναγιώτης Γροντάς ΕΜΠ - Κρυπτογραφία - ( ) 05/12/2017 Cryptographic Protocols 1 / 34 Περιεχόμενα Ασφαλής Υπολογισμός Πολλών Συμμετεχόντων Πρωτόκολλα Πολλοί συμμετέχοντες Πολλά μηνύματα Διαμοιρασμός Απορρήτων (secret sharing) Μη συνειδητή μεταφορά (oblivious transfer) Cryptographic Protocols 2 / 34
2 Το πρόβλημα m παίκτες θέλουν να υπολογίσουν από κοινού την τιμή της συνάρτησης f(x 1, x 2, x m ) Κάθε παίκτης P i συνεισφέρει την είσοδο x i Γενίκευση: κάθε παίκτης διαθέτει τη δική του συνάρτηση f i, αλλά χρειάζεται είσοδο από όλους Μπορεί να γίνει; Χωρίς να αποκαλυφθεί καμία πληροφορία εκτός από το αποτέλεσμα Υποθέσεις ασφάλειας Πολυπλοκότητα: Υπολογισμών / Επικοινωνίας Δεν είναι αποδεκτή η χρήση TTP Cryptographic Protocols Secure Multi Party Computation 3 / 34 Διαμοιρασμός απορρήτων - Εισαγωγή Βασικό συστατικό Secure Multi Party Computation Το πρόβλημα Κλειδιά: κρίσιμα κρυπτογραφικά δεδομένα (όχι τα μόνα) Για παράδειγμα: ιδιωτικό κλειδί Δύναμη αποκρυπτογράφησης Δύναμη υπογραφής Λύση Δεν θέλουμε να είναι στην φυσική κατοχή μίας οντότητας (μόνο) Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 4 / 34
3 Additive secret sharing Έστω (G, +) μια ομάδα και s G το μυστικό το οποίο θέλουμε να μοιράσουμε σε n παίκτες Διαλέγουμε τυχαία s 1, s n 1 G Θέτουμε s n = s n 1 i=1 s i Μοιράζουμε τα {s i } n i=1 στους παίκτες Ανακατασκευή s = n i=1 s i Παραλλαγή: Αν s {0, 1} l τότε υλοποίηση με XOR Πρόβλημα: Ένας παίκτης μπορεί να ακυρώσει την ανακατασκευή Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 5 / 34 Threshold Secret Sharing (t, n) threshold secret sharing Ένα μυστικό s πρέπει να μοιραστεί σε n παίκτες P 1, P 2, P n ώστε: Οποιοδήποτε υποσύνολο από τουλάχιστον t + 1 παίκτες να μπορεί να το ανακτήσει Κανένα υποσύνολο με t παίκτες να μην μπορεί Υπόθεση Εμπιστεύομαστε τον διανομέα D και τους παίκτες Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 6 / 34
4 Shamir Secret Sharing I Πολυωνυμική παρεμβολή Έστω ένα πολυώνυμο βαθμού t: f(x) = a 0 + a 1 x + + a t x t Μπορεί να ανακατασκευαστεί από t + 1 σημεία (x i, f(x i )) με διαφορετικές τετμημένες (με μοναδικό τρόπο) Υπάρχουν άπειρα πολυώνυμα βαθμού t που περνούν από t τέτοια σημεία Ανάκτηση πολυωνύμου: συντελεστές Lagrange λ i (x) = t k=0,k i x x k x i x k Προκύπτει το L(x) = t i=0 y iλ i (x) = y 0 λ 0 (x) + y 1 λ 1 (x) + y t λ t (x) Αποδεικνύεται ότι είναι μοναδικό δηλ: L = f Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 7 / 34 Shamir Secret Sharing II Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 8 / 34
5 Shamir Secret Sharing III Εφαρμογή στο διαμοιρασμό απορρήτων Υποθέτουμε ότι διαθέτουμε έναν έμπιστο διανομέα: Επιλέγει και δημοσιοποιεί ένα πρώτο p Επιλέγει t συντελεστές ενός πολυωνύμου βαθμού t {a t,, a 1 } R Z p Θέτει ως σταθερό όρο το μυστικό s Προκύπτει το πολυώνυμο f(x) = a t x t + a t 1 x t a 1 x + s (mod p) f(0) = s Μοιράζει στον παίκτη i την τιμή (i, f(i)) Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 9 / 34 Shamir Secret Sharing IV Ανακατασκευή Παρατήρηση: Δεν μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε το πολυώνυμο f αλλά το f(0) Κάθε παίκτης i υπολογίζει τους συντελεστές Lagrange λ i (0) = t+1 k k=1,k i i k mod p t + 1 παίκτες μπορούν να υπολογίσουν το f(0) ως: t+1 i=1 f(i)λ i(0) mod p Ανακτούν το μυστικό υπολογίζοντας το p(0) Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 10 / 34
6 Παρατηρήσεις I Πληροφοριοθεωρητική ασφάλεια αν ο αντίπαλος διαθέτει λιγότερα μερίδια Μπορούν να προστεθούν εύκολα καινούρια μερίδια, χωρίς να αλλάξουν τα παλιά: Υπολογισμός νέων σημείων Εύκολη αντικατάσταση μεριδίων: Υπολογισμός νέων σημείων (πρέπει να γίνει ασφαλής καταστροφή των παλιών) Σημαντικοί παίκτες: περισσότερα από ένα μερίδια Αλλαγή Μεριδίων: Τροποποίηση πολυωνύμου χωρίς να αλλάξει το μυστικό Ομομορφικές ιδιότητες (άθροισμα πολυωνύμων είναι πολυώνυμο) s 1 + s 2 = f(0) + g(0) = (f + g)(0) Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 11 / 34 Παρατηρήσεις II Μειονεκτήματα: Εμπιστοσύνη Κακόβουλος διανομέας: Λανθασμένα μερίδια σε τμήμα των παικτών Κακόβουλος παίκτης: Παροχή λανθασμένων μεριδίων κατά τη διάρκεια της ανακατασκευής Λύση: Συνδυασμός με σχήμα δέσμευσης (Verifiable Secret Sharing) Ο διανομέας μαζί με τα μερίδια παρέχει και δεσμεύσεις για τους συντελεστές Οι παίκτες επαληθεύουν ότι οι δεσμεύσεις δίνουν το σημείο τους Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 12 / 34
7 Feldman Verifiable Secret Sharing Υποθέσεις Ομάδα G τάξης q με γεννήτορα g με δύσκολο DLP Υπολογιστική Ασφάλεια Για απλότητα χρήση συνάρτησης σύνοψης H για δέσμευση Απαιτείται έντιμη πλειοψηφία (το πολύ t corrupted / τουλάχιστον t + 1 honest) Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 13 / 34 Feldman Verifiable Secret Sharing Φάση διαμοιρασμού μυστικού s Επιλογή a 0 R Z q Διαμοιρασμός του a 0 με shamir secret sharing Επιλογή a 1,, a t R Z q Ορισμός p(x) = t j=0 a j x j Αποστολή s i = p(i) στον P i Δημοσιοποίηση: {A j = g a j} t j=0 και c = H(a 0 ) s Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 14 / 34
8 Feldman Verifiable Secret Sharing Φάση επαλήθευσης s i Κάθε παίκτης P i υπολογίζει c i = t j=0 Aij j Αν ο διανομέας είναι έμπιστος ισχύει: c i = g s i = g p(i) Αν όχι τερματισμός πρωτοκόλλου από P i Αν τερματίσουν πάνω από t χρήστες, επανάληψη πρωτοκόλλου με άλλον διανομέα Αλλιώς επανάληψη s i Ανακατασκευή s Συγκέντρωση τουλάχιστον t + 1 μεριδίων - υπολογισμός a 0 Υπολογισμός s = H(a 0 ) c Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 15 / 34 Εφαρμογή: Threshold ElGamal I Δημιουργία Κλειδιών Επιλογή δύο μεγάλων πρώτων p, q ώστε q (p 1) Επιλογή της υποομάδας τάξης q του Z και γεννήτορα g Επιλογή τυχαίου x Z q Κανονικός υπολογισμός δημοσίου κλειδιού y = g x mod p Χρήση σχήματος Shamir για διαμοιρασμό του ιδιωτικού x (mod q) Αποτέλεσμα KeyGen(1 λ ) = (y, {i, f(i)} n i=1 ) Κρυπτογράφηση Κανονικά Encrypt(y, m) = (G, M) = (g r, m y r ) Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 16 / 34
9 Εφαρμογή: Threshold ElGamal II Αποκρυπτογράφηση Σε δύο βήματα 1 Αποκρυπτογράφηση μεριδίων Κάθε παίκτης υπολογίζει και δημοσιοποιεί το c i = G f(i) mod p 2 Συνδυασμός Συγκεντρώνονται t + 1 αποκρυπτογραφημένα μερίδια (i, c i ) τα οποία συνδυάζονται ως: C = i c λ i(0) i = i G f(i)λ i(0) = όπου λ i οι συντελεστές Lagrange Αποκρυπτογράφηση ως: G i f(i)λ i(0)) = G f(0) = M C G x Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 17 / 34 Παρατηρήσεις Υπολογιστική ασφάλεια ως προς τα c i Ίδια κρυπτογράφηση Αποκρυπτογράφηση χωρίς ανακατασκευή του ιδιωτικού κλειδιού (δυνατότητα επαναχρησιμοποίησης) Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 18 / 34
10 Multi party computation from secret sharing Υπολογισμός οποιουδήποτε πολυωνύμου στο F p (Ben-Or, Goldwasser, Wigderson) Ομομορφικές ιδιότητες πολυωνύμων Secret sharing όλων των τιμών εισόδου Για τέλεια ασφάλεια: Honest majority για παθητικό αντίπαλο Honest > 2/3 για ενεργό αντίπαλο Προβλήματα αποδοτικότητας Δεν μπορεί να εφαρμοστεί για 2 party computation λόγω honest majority Cryptographic Protocols Secret Sharing - Threshold Cryptosystems 19 / 34 Two party computation Το πρόβλημα των εκατομμυριούχων (Yao-1982) Δύο εκατομμυριούχοι (Alice, Bob) θέλουν να δουν ποιος είναι πιο πλούσιος Χωρίς να αποκαλυφθεί η περιουσία τους f(a, b) = if a < b then 1 else 0 Υπόθεση: 1 a, b n Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 20 / 34
11 Το πρόβλημα των εκατομμυριούχων - Η λύση του Yao Ο Bob Δημιουργεί n ταυτόσημα κουτιά (σχήμα δέσμευσης) Διαλέγει έναν αριθμό x και τον τοποθετεί στο κουτί b Στα υπόλοιπα τοποθετεί τυχαίους αριθμούς H Alice Ανοίγει όλες τις δεσμεύσεις Αφήνει τα πρώτα a κουτιά ίδια Προσθέτει 1 στα υπόλοιπα n a Τα στέλνει πίσω στον Bob Ο Bob Ελέγχει τα κουτιά Αν στο κουτί b υπάρχει το x + 1 είναι πλουσιότερος Αλλιώς: Η Alice είναι Προβλήματα Εκθετικό πλήθος δεσμεύσεων (ως προς τα bits της περιουσίας) Ενεργοί αντίπαλοι (τερματισμός πριν την αποκάλυψη) Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 21 / 34 Γενίκευση: ανταλλαγή μυστικών Οι Alice, Bob θέλουν να ανταλλάξουν τα μυστικά s a, s b χωρίς TTP Ταυτόχρονη ανταλλαγή (ο ένας μαθαίνει αν ο άλλος έλαβε το μυστικό) Αποφυγή τερματισμού Πρόβλημα s a = f(a 1,, a n ) s b = f(b 1,, b n ) k : ώστε να μπορεί να υπολογιστεί το s a, αλλά όχι το s b Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 22 / 34
12 Η λύση του Rabin με τετραγωνικά υπόλοιπα I Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 23 / 34 Η λύση του Rabin με τετραγωνικά υπόλοιπα II Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 24 / 34
13 Γενίκευση: Μη συνειδητή μεταφορά (oblivious transfer) Ορισμός OT(S, R, M) (Even, Goldreich, Lempel) Μη συνειδητή μεταφορά OT(S, R, M) είναι ένα πρωτόκολλο με το οποίο ο αποστολέας S μεταφέρει ένα μηνυμα M στον παραλήπτη R έτσι ώστε ο R λαμβάνει το μήνυμα με πιθανότητα 1/2 και: Αν ο R δεν λάβει το μήνυμα, δεν μαθαίνει ούτε κάποια χρήσιμη πληροφορία Οποιαδήποτε προσπαθεια μη εκτέλεσης του πρωτοκόλλου γίνεται αντιληπτή Αφαιρετική αναπαράσταση καναλιού με θόρυβο Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 25 / 34 Παραλλαγή: 1-από-2 Μη-Συνειδητή Μεταφορά OT 2 1 (S, R, M 1, M 2 ) O R επιλέγει μεταξύ δύο μηνυμάτων για μεταφορά με πιθανότητα 1/2 και ο S το μεταφέρει χωρίς ασφαλώς να γνωρίζει ποιο μετέφερε. Μπορούμε να προσομοιώσουμε την τυχαία επιλογή χρησιμοποιώντας ένα bit. Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 26 / 34
14 Άλλες παραλλαγές OT n 1 (S, R, M 1,, M n ) O R επιλέγει μεταξύ n μηνυμάτων να λάβει το i. Φυσικά ο S δεν το μαθαίνει, ενώ ο R δεν μαθαίνει τα M j, j i k-από-n Μη-Συνειδητή Μεταφορά O R λαμβάνει ταυτόχρονα k μηνύματα O R λαμβάνει σειριακά k μηνύματα που μπορούν να τροποποιηθούν με βάση τα προηγούμενα (adaptive) Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 27 / 34 Πρακτική κατασκευή OT 2 1 Χρήση κρυπτοσυστήματος δημοσίου κλειδιού με M = C Τυχαία επιλογή x 0, x 1 {0, 1} Για να ληφθεί το M 0 ο R: Στέλνει στον S το (Enc(x 0 ), x 1 ) Ο S αποκρυπτογραφεί, παράγοντας το (x 0, Dec(x 1 )). Τελικά ο S αποστέλλει το (M 0 x 0, M 1 Dec(x 1 )) Τελικά ο R ανακτά το M 0 με XOR του πρώτου συστατικού: M 0 x 0 x 0 Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 28 / 34
15 Yao s Garbled Circuits Χρήση OT για κατασκευή κυκλώματος C που υπολογίζει ασφαλώς ως προς παθητικό αντίπαλο μια συνάρτηση f Οι παίκτες παρέχουν στο C τις εισόδους Mαθαίνουν το αποτέλεσμα χωρίς να αποκαλυφθεί οποιαδήποτε ενδιάμεση τιμή ή είσοδος Βασική ιδέα Κατασκευή αλλοιωμένων πινάκων τιμών για τις λογικές πύλες του κυκλώματος με χρήση OT Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 29 / 34 Παράδειγμα: Πύλη OR Υπολογισμός x = s OR r O S παρέχει το s O R παρέχει το r Figure: Αρχικός πίνακας υπολογισμού OR Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 30 / 34
16 Παράδειγμα: Garbled OR Επιλογή δύο τυχαίων μεταθέσεων v s, v r : {0, 1} {0, 1} Εφαρμογή στον πίνακα Επιλογή 4 ζευγών συναρτήσεων κρυπτογράφησης και αποκρυπτογράφησης (E S 0, DS 0 ), (ES 1, DS 1 ), (ER 0, DR 0 ), (ER 1, DR 1 ) Εφαρμογή στο αποτέλεσμα της μετάθεσης Αποστολή στον R μαζί με τη v r Figure: Αλλοιωμένος πίνακας υπολογισμού OR Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 31 / 34 Υπολογισμός με Garbled OR Ο S υπολογίζει το v s (s) Στέλνει στον R το ζεύγος (v s (s), D S v s (s)) O R υπολογίζει το v r (r) Για να αποκρυπτογραφήσει χρειάζεται την συνάρτηση D R (v r (r)) Πρέπει να την πάρει από τον S χωρίς να αποκαλυφθεί το v r (r) Χρήση OT 2 1(S, R, D R 0, DR 1 ) Τελικά ο R μπορεί να υπολογίσει το αποτέλεσμα D R v r (r) (DS v s (s) (ES v s (s) (ER v r (r)(x)))) και να το επιστρέψει στον S. Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 32 / 34
17 Γενίκευση Αλλοίωση όλων των πυλών Για κάθε πύλη Mετάθεση γραμμών πίνακα αλήθειας τυχαία μετάθεση αποτελέσματος Θεώρουμε αποτέλεσμα και εισόδους ως τυχαία κλειδιά Χρειάζονται 6 κλειδιά (4 είσοδοι - 2 αποτέλεσμα) Υπολογισμός πύλης: γνώση κλειδιού αποτελέσματος Τροφοδοσία επόμενης Οι τελικές έξοδοι αποκρυπτογραφούνται Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 33 / 34 Βιβλιογραφία I 1 St. Zachos and Aris Pagourtzis. Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία. Πανεπιστημιακές Σημειώσεις 2 Jonathan Katz and Yehuda Lindell. Introduction to Modern Cryptography 2nd edition, Chapman and Hall/CRC, Adi Shamir, How to share a secret. Communications of the ACM (1979): Helger Lipmaa, Cryptography and Data Security, Lecture 9: Secret Sharing, Threshold Cryptography, MPC 5 J. Kuhn The Mathematics of Secret Sharing 6 M. Ben-Or, S. Goldwasser and A. Wigderson, Completeness Theorems for Non-Cryptographic Fault-Tolerant Distributed Computation, Proceedings of the 20th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, Chicago, 1988, pp Yao, A. C. Protocols for secure computations (FOCS 1982): Rabin M. O. How to exchange secrets by oblivious transfer.,tr-81, Harvard University, S. Even, O. Goldreich, and A. Lempel A randomized protocol for signing contracts. Commun. ACM 28, 6 (June 1985), Claude Crépeau Equivalence Between Two Flavours of Oblivious Transfers. In A Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques on Advances in Cryptology (CRYPTO 87, UK, Yehuda Lindell and Benny Pinkas A Proof of Security of Yao s Protocol for Two-Party Computation. J. Cryptol. 22, 2 (April 2009), Ostrofski R., CS 282A/MATH 209A: Foundations of Cryptography, Lecture 10, Oblivious Transfer 12 Gabriel Bender, Cryptography and Secure Two-Party Computation, August 21, Ronald Cramer, Ivan Damgård, Jesper Buus Nielsen Multiparty Computation, an Introduction Cryptographic Protocols Oblivious Transfer 34 / 34
Κρυπτοσυστήματα Διακριτού Λογαρίθμου
Κρυπτοσυστήματα Διακριτού Λογαρίθμου Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής 27/11/2018 ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2018-2019) Κρυπτοσυστήματα Διακριτού Λογαρίθμου 1 / 57 Περιεχόμενα Διακριτός Λογάριθμος: Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφικά πρωτόκολλα και τεχνικές
Κεφάλαιο 9 Κρυπτογραφικά πρωτόκολλα και τεχνικές Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε πρακτικά θέματα που προκύπτουν από την χρήση των δομικών στοιχείων που περιγράψαμε στα προηγούμενα κεφάλαια. Επίσης θα αναφερθούμε
Διαβάστε περισσότεραThreshold Cryptography Algorithms. Εργασία στα πλαίσια του μαθήματος Τεχνολογίες Υπολογιστικού Νέφους
Threshold Cryptography Algorithms Εργασία στα πλαίσια του μαθήματος Τεχνολογίες Υπολογιστικού Νέφους Ορισμός Το σύστημα το οποίο τεμαχίζει ένα κλειδί k σε n τεμάχια έτσι ώστε οποιοσδήποτε συνδυασμός πλήθους
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Επιθέσεις και Ασφάλεια Κρυπτοσυστημάτων Διδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Διαφάνειες: Παναγιώτης Γροντάς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων
Διαβάστε περισσότεραΕπιθέσεις και Ασφάλεια Κρυπτοσυστημάτων
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιθέσεις και Ασφάλεια Κρυπτοσυστημάτων Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Διαφάνειες: Παναγιώτης Γροντάς Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Υπογραφές. Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής 09/12/2016. ΕΜΠ - Κρυπτογραφία - ( )
Ψηφιακές Υπογραφές Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής ΕΜΠ - Κρυπτογραφία - (2016-2017) 09/12/2016 1 / 69 (ΕΜΠ - Κρυπτογραφία - (2016-2017)) Ψηφιακές Υπογραφές Περιεχόμενα Ορισμός - Μοντελοποίηση Ασφάλειας
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Επιθέσεις και Ασφάλεια Κρυπτοσυστημάτων Διδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Αρχικές διαφάνειες: Παναγιώτης Γροντάς Τροποποιήσεις: Άρης Παγουρτζής Εθνικό
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικού Mετσόβιου Πολυτεχνείου
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτοσύστημα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη της Πληροφορικής και των Τηλεπικοινωνιών. Aσφάλεια
Εισαγωγή στην επιστήμη της Πληροφορικής και των Τηλεπικοινωνιών Aσφάλεια Περιεχόμενα Πλευρές Ασφάλειας Ιδιωτικό Απόρρητο Μέθοδος Μυστικού Κλειδιού (Συμμετρική Κρυπτογράφηση) Μέθοδος Δημόσιου Κλειδιού (Ασύμμετρη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη της Πληροφορικής και των Τηλεπικοινωνιών. Aσφάλεια
Εισαγωγή στην επιστήμη της Πληροφορικής και των Τηλεπικοινωνιών Aσφάλεια ΣΤΟΧΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ορισµός τριών στόχων ασφάλειας - Εµπιστευτικότητα, ακεραιότητα και διαθεσιµότητα Επιθέσεις Υπηρεσίες και Τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Διοικητικά του μαθήματος Διδάσκοντες Στάθης Ζάχος Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας (2017-18) Βοηθοί διδασκαλίας Παναγιώτης Γροντάς
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη της Πληροφορικής και των. Aσφάλεια
Εισαγωγή στην επιστήμη της Πληροφορικής και των Τηλεπικοινωνιών Aσφάλεια Περιεχόμενα Πλευρές Ασφάλειας Ιδιωτικό Απόρρητο Μέθοδος Μυστικού Κλειδιού (Συμμετρική Κρυπτογράφηση) Μέθοδος Δημόσιου Κλειδιού (Ασύμμετρη
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ
Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou ιαχείριση Κλειδιών Ορισμός: Εγκαθίδρυση κλειδιού (key establishment) είναι η διαδικασία κατά την οποία
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ασφάλεια Δεδομένων.
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Ασφάλεια Δεδομένων http://www.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Οι απειλές Ένας κακόβουλος χρήστης Καταγράφει μηνύματα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou ιαχείριση Κλειδιών Ορισμός: Εγκαθίδρυση κλειδιού (key establishment) είναι η διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ψηφιακές Υπογραφές Ορίζονται πάνω σε μηνύματα και είναι αριθμοί που εξαρτώνται από κάποιο
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Διοικητικά του μαθήματος Διδάσκοντες Στάθης Ζάχος Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Βοηθοί διδασκαλίας Παναγιώτης Γροντάς Αντώνης
Διαβάστε περισσότεραΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Δ Εξάμηνο
ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο Ασύμμετρη Κρυπτογράφηση (Κρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού) Διδάσκων : Δρ. Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής e-mail: pkitsos@teimes.gr, pkitsos@ieee.org
Διαβάστε περισσότεραΔιαλογικά Συσ τήματα Αποδείξεων Διαλογικά Συστήματα Αποδείξεων Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012
Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012 Εισαγωγή Ορισμός Επέκταση του NP συστήματος αποδείξεων εισάγωντας αλληλεπίδραση! Ενα άτομο προσπαθεί να πείσει ένα άλλο για το ότι μία συμβολοσειρά
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Ψηφιακές Υπογραφές Υπογραφές Επιπρόσθετης Λειτουργικότητας Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραBlum Blum Shub Generator
Κρυπτογραφικά Ασφαλείς Γεννήτριες Ψευδοτυχαίων Αριθμών : Blum Blum Shub Generator Διονύσης Μανούσακας 31-01-2012 Εισαγωγή Πού χρειαζόμαστε τυχαίους αριθμούς; Σε κρυπτογραφικές εφαρμογές κλειδιά κρυπτογράφησης
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία
Μοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία Παναγιώτης Γροντάς ΕΜΠ - Κρυπτογραφία 09/10/2015 1 / 46 (ΕΜΠ - Κρυπτογραφία) Μοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία Περιεχόμενα Ορισμός Κρυπτοσυστήματος
Διαβάστε περισσότεραΟι απειλές. Απόρρητο επικοινωνίας. Αρχές ασφάλειας δεδομένων. Απόρρητο (privacy) Μέσω κρυπτογράφησης
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2014-015 Ασφάλεια Δεδομένων http://www.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Οι απειλές Ένας κακόβουλος χρήστης Καταγράφει μηνύματα που ανταλλάσσονται
Διαβάστε περισσότεραTowards a Practical Cryptographic Voting Scheme Based on Malleable Proofs
University of Patras Computer Engineering and Informatics Department Cryptography Towards a Practical Cryptographic Voting Scheme Based on Malleable Proofs Authors: Ioannis Douratsos Ioanna Tzanetou Nikolas
Διαβάστε περισσότερα7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor
7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor Σύνοψη Ο κβαντικός αλγόριθμος του Shor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της περιόδου περιοδικών συναρτήσεων και για την ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων
Διαβάστε περισσότεραPublic Key Cryptography. Dimitris Mitropoulos
Public Key Cryptography Dimitris Mitropoulos dimitro@di.uoa.gr Symmetric Cryptography Key Management Challenge K13 U1 U3 K12 K34 K23 K14 U2 K24 U4 Trusted Third Party (TTP) Bob KΒ K1 U1 KAB TTP KΑ K2 Alice
Διαβάστε περισσότεραW i. Subset Sum Μια παραλλαγή του προβλήματος knapsack είναι το πρόβλημα Subset Sum, το οποίο δεν λαμβάνει υπόψιν την αξία των αντικειμένων:
6/4/2017 Μετά την πρόταση των ασύρματων πρωτοκόλλων από τους Diffie-Hellman το 1976, το 1978 προτάθηκε ένα πρωτόκολλο από τους Merkle-Hellman το οποίο βασίστηκε στο ότι δεν μπορούμε να λύσουμε γρήγορα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Ψηφιακές Υπογραφές Υπογραφές Επιπρόσθετης Λειτουργικότητας Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος. Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 35 Περιεχόμενα 1 Message
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)
Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος. Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 38 Περιεχόμενα 1 Message
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφικά Πρωτόκολλα
Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Παύλος Εφραιµίδης 25/04/2013 1 Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Bit Commitment Fair Coin Mental Poker Secret Sharing Zero-Knowledge Protocol 2 πρωτόκολλα και υπηρεσίες χρήστης κρυπτογραφικές
Διαβάστε περισσότεραΠαύλος Εφραιμίδης. προηγμένα κρυπτογραφικά πρωτόκολλα. Ασφ Υπολ Συστ
Παύλος Εφραιμίδης προηγμένα κρυπτογραφικά πρωτόκολλα Ασφ Υπολ Συστ 1 Zero-Knowledge Proofs Zero-Knowledge Proofs of Identity Blind Signatures Oblivious Signatures Simultaneous Contract Signing Simultaneous
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Διαχείριση κλειδιών. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Διαχείριση κλειδιών Χρήστος Ξενάκης Διαχείριση κλειδιών Η ασφάλεια ενός κρυπτοσυστήματος εξαρτάται αποκλειστικά από τα κλειδιά (αρχή του Kerchoff)
Διαβάστε περισσότεραΤο κρυπτοσύστημα RSA
Το κρυπτοσύστημα RSA Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2016-2017) 25/11/2016 1 / 49 (ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2016-2017)) Το κρυπτοσύστημα RSA Περιεχόμενα Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Συνολικό Πλαίσιο Ασφάλεια ΠΕΣ Εμπιστευτικότητα Ακεραιότητα Πιστοποίηση Μη-αποποίηση Κρυπτογράφηση
Διαβάστε περισσότεραΠαύλος Εφραιμίδης. Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα. Ασφ Υπολ Συστ
Παύλος Εφραιμίδης Κρυπτογραφικά Πρωτόκολλα Ασφ Υπολ Συστ 1 Fair Coin Millionaires Problem Blind Signatures Oblivious Signatures Simultaneous Contract Signing Simultaneous Exchange of Secrets προηγμένα
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσυστήματα Διακριτού Λογαρίθμου
Κρυπτοσυστήματα Διακριτού Λογαρίθμου Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2016-2017) 29/11/2016 1 / 60 (ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2016-2017)) Κρυπτοσυστήματα Διακριτού Λογαρίθμου Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Εισαγωγή. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Εισαγωγή Χρήστος Ξενάκης Στόχος του μαθήματος Η παρουσίαση και ανάλυση των βασικών θεμάτων της θεωρίας κρυπτογραφίας. Οι εφαρμογές της κρυπτογραφίας
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Lab 3
ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Lab 3 Η Aσύμμετρη Kρυπτογραφία ή Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού χρησιμοποιεί δύο διαφορετικά κλειδιά για την κρυπτογράφηση και αποκρυπτογράφηση. Eπινοήθηκε στο τέλος της δεκαετίας
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Κρυπτολογία 3. Ασφάλεια Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων Κωδικός DIΤ114 Σταύρος ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ
Εισαγωγή στην Κρυπτολογία 3 Ασφάλεια Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων Κωδικός DIΤ114 Σταύρος ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ Ακεραιότητα Μονόδρομη Κρυπτογράφηση Ακεραιότητα Αυθεντικότητα μηνύματος Ακεραιότητα μηνύματος Αυθεντικότητα
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κρυπτοσυστήματα ροής. Πέτρος Ποτίκας. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Κρυπτογραφία Κρυπτοσυστήματα ροής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 22 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑποδείξεις Μηδενικής Γνώσης
Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Παναγιώτης Γροντάς ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2016-2017) 16/12/2016 1 / 49 (ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2016-2017)) Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Περιεχόμενα Εισαγωγή Ορισμός - Εφαρμογές στην
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Ασύμμετρη Κρυπτογραφία. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Ασύμμετρη Κρυπτογραφία Χρήστος Ξενάκης Ασύμμετρη κρυπτογραφία Μονόδρομες συναρτήσεις με μυστική πόρτα Μια συνάρτηση f είναι μονόδρομη, όταν δοθέντος
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Υπογραφές. Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος. Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Ψηφιακές Υπογραφές Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ψηφιακές Υπογραφές Απαιτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΤο κρυπτοσύστημα RSA
Το κρυπτοσύστημα RSA Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2017-2018) 14/11/2017 RSA 1 / 50 Περιεχόμενα Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Ορισμός RSA Αριθμοθεωρητικές επιθέσεις Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Δημήτριος Μπάκας Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραΑποδείξεις Μηδενικής Γνώσης
Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης Παναγιώτης Γροντάς ΕΜΠ - Κρυπτογραφία - (2017-2018) 12/12/2017 Zero Knowledge Proofs 1 / 53 Περιεχόμενα Εισαγωγή Ορισμός - Εφαρμογές στην Θ. Πολυπλοκότητας Σ-πρωτόκολλα Πρακτικές
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακές Υπογραφές. Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής. ΕΜΠ - Κρυπτογραφία - ( ) 28/11/2017. Digital Signatures 1 / 57
Ψηφιακές Υπογραφές Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής ΕΜΠ - Κρυπτογραφία - (2017-2018) 28/11/2017 Digital Signatures 1 / 57 Περιεχόμενα Ορισμός - Μοντελοποίηση Ασφάλειας Ψηφιακές Υπογραφές RSA Επιθέσεις
Διαβάστε περισσότερα8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές
Κεφάλαιο 8 8.3.4 Τεχνικές Ασφάλειας Συμμετρική Κρυπτογράφηση Ασυμμετρική Κρυπτογράφηση Ψηφιακές Υπογραφές Σελ. 320-325 Γεώργιος Γιαννόπουλος ΠΕ19, ggiannop (at) sch.gr http://diktya-epal-g.ggia.info/ Creative
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Κρυπτοαλγόριθμοι. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Κρυπτοαλγόριθμοι Χρήστος Ξενάκης Θεωρία Πληροφορίας Η Θεωρία πληροφορίας (Shannon 1948 1949) σχετίζεται με τις επικοινωνίες και την ασφάλεια
Διαβάστε περισσότεραEl Gamal Αλγόριθμος. Κώστας Λιμνιώτης Κρυπτογραφία - Εργαστηριακό μάθημα 7 2
Κρυπτογραφία Εργαστηριακό μάθημα 7 (Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού) α) El Gamal β) Diffie-Hellman αλγόριθμος για την ανταλλαγή συμμετρικού κλειδιού κρυπτογράφησης El Gamal Αλγόριθμος Παράμετροι συστήματος:
Διαβάστε περισσότεραCryptography and Network Security Chapter 9. Fifth Edition by William Stallings
Cryptography and Network Security Chapter 9 Fifth Edition by William Stallings Chapter 9 Κρυπτογραφια Δημοσιου Κλειδιου και RSA Every Egyptian received two names, which were known respectively as the true
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 674: Εργαστήριο 1 Ασφάλεια Επικοινωνιακών Συστημάτων - Κρυπτογραφία
ΕΠΛ 674: Εργαστήριο 1 Ασφάλεια Επικοινωνιακών Συστημάτων - Κρυπτογραφία Παύλος Αντωνίου Γραφείο: ΘΕΕ 02 B176 Εαρινό Εξάμηνο 2011 Department of Computer Science Ασφάλεια - Απειλές Ασφάλεια Γενικά (Ι) Τα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ιστορία Ασύμμετρης Κρυπτογραφίας Η αρχή έγινε το 1976 με την εργασία των Diffie-Hellman
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ζωή Παρασκευοπούλου Νίκος
Διαβάστε περισσότεραΑσφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων
Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Κρυπτογραφία/Ψηφιακές Υπογραφές Διάλεξη 2η Δρ. Β. Βασιλειάδης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Kρυπτανάλυση Προσπαθούμε να σπάσουμε τον κώδικα. Ξέρουμε το
Διαβάστε περισσότεραΑποδείξεις Μηδενικής Γνώσης
Κεφάλαιο 10 Αποδείξεις Μηδενικής Γνώσης 10.1 Εισαγωγή Οι αποδείξεις μηδενικής γνώσης (Zero Knowledge Proofs) προτάθηκαν στη δεκαετία του 1980 από τους Shaffi Goldwasser, Silvio Micali και Charles Rackoff
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία - Ανταλλαγή Κλειδιού Diffie Hellman
Μοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία - Ανταλλαγή Κλειδιού Diffie Hellman Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2016-2017) 22/11/2016 1 / 45 (ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2016-2017))
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ
ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Το διαδίκτυο προσφέρει: Μετατροπή των δεδομένων σε ψηφιακή - ηλεκτρονική μορφή. Πρόσβαση
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος. Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 37 Περιεχόμενα 1 Message
Διαβάστε περισσότερα1. Τι είναι ακεραιότητα δεδομένων, με ποιους μηχανισμούς επιτυγχάνετε κ πότε θα χρησιμοποιούσατε τον καθένα εξ αυτών;
1. Τι είναι ακεραιότητα δεδομένων, με ποιους μηχανισμούς επιτυγχάνετε κ πότε θα χρησιμοποιούσατε τον καθένα εξ αυτών; Η ακεραιότητα δεδομένων(data integrity) Είναι η ιδιότητα που μας εξασφαλίζει ότι δεδομένα
Διαβάστε περισσότεραΠαύλος Εφραιμίδης. Βασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας. Ασφ Υπολ Συστ
Παύλος Εφραιμίδης Βασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας Ασφ Υπολ Συστ 1 Βασικές υπηρεσίες/εφαρμογές κρυπτογραφίες: Confidentiality, Authentication, Integrity, Non- Repudiation Βασικές έννοιες κρυπτογραφίας 2 3
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσυστήματα Διακριτού Λογαρίθμου
Κρυπτοσυστήματα Διακριτού Λογαρίθμου Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2017-2018) 21/11/2017 DLP 1 / 62 Περιεχόμενα Διακριτός Λογάριθμος: Προβλήματα και Αλγόριθμοι Το κρυπτοσύστημα
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα 2 (15 µονάδες)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή 2. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές 3. Οι κρυπταλγόριθμοι και οι ιδιότητές τους
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή... 1 1.1. Ορισμοί και ορολογία... 2 1.1.1. Συμμετρικά και ασύμμετρα κρυπτοσυστήματα... 4 1.1.2. Κρυπτογραφικές υπηρεσίες και πρωτόκολλα... 9 1.1.3. Αρχές μέτρησης κρυπτογραφικής
Διαβάστε περισσότεραΑΣΦΑΛΕΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ(Θ)
ΑΣΦΑΛΕΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ(Θ) Ενότητα 5: ΑΣΦΑΛΕΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΧΕΙΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Ψηφιακές Υπογραφές Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1 / 49 Ψηφιακές
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονικό εμπόριο. HE 7 Τεχνολογίες ασφάλειας
Ηλεκτρονικό εμπόριο HE 7 Τεχνολογίες ασφάλειας Πρόκληση ανάπτυξης ασφαλών συστημάτων Η υποδομή του διαδικτύου παρουσίαζε έλλειψη υπηρεσιών ασφάλειας καθώς η οικογένεια πρωτοκόλλων TCP/IP στην οποία στηρίζεται
Διαβάστε περισσότεραΕλένη Πύλια Κατερίνα Σωτηράκη
Ελένη Πύλια Κατερίνα Σωτηράκη Στα πλαίσια του secure multi-party computation, n παίκτες με ιδιωτικές εισόδους (private inputs) επιθυμούν να υπολογίσουν από κοινού και με ασφάλεια μία συνάρτηση αυτών των
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ
KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος. Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία MAC - Γνησιότητα/Ακεραιότητα μηνύματος Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία 1 / 32 Περιεχόμενα 1 Message
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση Εφαρμογών και Υπηρεσιών Διαδικτύου 11η Διάλεξη: Ασφάλεια στο Web
Σχεδίαση Εφαρμογών και Υπηρεσιών Διαδικτύου 11η Διάλεξη: Ασφάλεια στο Web Δρ. Απόστολος Γκάμας Λέκτορας (407/80) gkamas@uop.gr Σχεδίαση Εφαρμογών και Υπηρεσιών Διαδικτύου Διαφάνεια 1 1 Εισαγωγικά Βασικές
Διαβάστε περισσότεραΑσφάλεια Υπολογιστικών Συστηµάτων
Ορισµοί Κρυπτογράφηση: η διεργασία µετασχηµατισµού ενός µηνύµατος µεταξύ ενός αποστολέα και ενός παραλήπτη σε µια ακατανόητη µορφή ώστε αυτό να µην είναι αναγνώσιµο από τρίτους Αποκρυπτογράφηση: η διεργασία
Διαβάστε περισσότεραBlum Complexity. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ. Παναγιώτης Γροντάς. Δεκέμβριος
Blum Complexity Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΙΙ Παναγιώτης Γροντάς µπλ Δεκέμβριος 2011 Ιστορικά Στοιχεία Manuel Blum (1938, Caracas Venezuela) Turing Award (1995) Foundations Of Computational Complexity
Διαβάστε περισσότερακρυπτογραϕία Ψηφιακή ασφάλεια και ιδιωτικότητα Γεώργιος Σπαθούλας Msc Πληροφορική και υπολογιστική βιοιατρική Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
κρυπτογραϕία Ψηφιακή ασφάλεια και ιδιωτικότητα Γεώργιος Σπαθούλας Msc Πληροφορική και υπολογιστική βιοιατρική Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ιδιότητες ασϕάλειας ιδιότητες ασϕάλειας αγαθών Εμπιστευτικότητα (Confidentiality)
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού II Αλγόριθμος RSA
Κρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού II Αλγόριθμος RSA Τμήμα Μηχ. Πληροφορικής ΤΕΙ Κρήτης Κρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού -RSA 1 Κρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού - Ιστορία Ηνωμένες Πολιτείες 1975: Ο Diffie οραματίζεται
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων. PGP (Pretty Good Privacy)
Εργαστήριο Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων PGP (Pretty Good Privacy) Εισαγωγή Το λογισμικό Pretty Good Privacy (PGP), το οποίο σχεδιάστηκε από τον Phill Zimmerman, είναι ένα λογισμικό κρυπτογράφησης
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ Η Alice θέλει να στείλει ένα μήνυμα m(plaintext) στον Bob μέσα από ένα μη έμπιστο κανάλι και να μην μπορεί να το
Διαβάστε περισσότεραΠαύλος Εφραιμίδης. Δύο παραδείγματα. Ασφ Υπολ Συστ
Παύλος Εφραιμίδης Δύο παραδείγματα Ασφ Υπολ Συστ 1 Στη διάρκεια του εξαμήνου θα εξετάσουμε ζητήματα ασφάλειας υπολογιστικών συστημάτων και εφαρμογές κρυπτογραφίας Στο σημερινό μάθημα θα συζητήσουμε δύο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 21. Κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού και πιστοποίηση ταυτότητας μηνυμάτων
Κεφάλαιο 21 Κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού και πιστοποίηση ταυτότητας μηνυμάτων Κρυπτογράφηση δημόσιου κλειδιού RSA Αναπτύχθηκε το 1977 από τους Rivest, Shamir και Adleman στο MIT Ο πιο γνωστός και ευρέως
Διαβάστε περισσότεραΑσφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Ενότητα 5: Διαχείριση κλειδιών Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Καλογερόπουλος Παναγιώτης
Διαβάστε περισσότεραΑυθεντικοποίηση μηνύματος και Κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού
Αυθεντικοποίηση μηνύματος και Κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού Μ. Αναγνώστου 13 Νοεμβρίου 2018 Συναρτήσεις κατακερματισμού Απλές συναρτήσεις κατακερματισμού Κρυπτογραφικές συναρτήσεις κατακερματισμού Secure
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κεφάλαιο 1 Γενική επισκόπηση
Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 1 Γενική επισκόπηση Ανασκόπηση ύλης Στόχοι της κρυπτογραφίας Ιστορικό Γενικά χαρακτηριστικά Κλασσική κρυπτογραφία Συμμετρικού κλειδιού (block ciphers stream ciphers) Δημοσίου κλειδιού
Διαβάστε περισσότεραYΒΡΙΔΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
ΤΕΙ Κρητης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Εργαστήριο Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων YΒΡΙΔΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή Ο στόχος της υβριδικής μεθόδου είναι να αντισταθμίσει τα μειονεκτήματα της συμμετρικής
Διαβάστε περισσότεραΈνα Υβριδικό Μοντέλο Ανάκτησης Κλειδιού
Ένα Υβριδικό Μοντέλο Ανάκτησης Κλειδιού Εµµανουήλ Μάγκος Abstract. Περιγράφουµε τις δυνατές µεθόδους ανάκτησης κλειδιού (key recovery) καθώς και τις επιθέσεις που µπορούν να γίνουν σε αυτά. Για την αντιµετώπιση
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία - Ανταλλαγή Κλειδιού Diffie Hellman
Μοντέλα και Αποδείξεις Ασφάλειας στην Κρυπτογραφία - Ανταλλαγή Κλειδιού Diffie Hellman Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2017-2018) 07/11/2017 Formal Models - DHKE 1 / 46 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ελένη Μπακάλη Άρης Παγουρτζής
Διαβάστε περισσότεραΤο κρυπτοσύστημα RSA. Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής 20/11/2018. ΕΜΠ - Κρυπτογραφία ( ) RSA 1 / 51
Το κρυπτοσύστημα RSA Παναγιώτης Γροντάς - Άρης Παγουρτζής 20/11/2018 ΕΜΠ - Κρυπτογραφία (2018-2019) RSA 1 / 51 Περιεχόμενα Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Ορισμός RSA Αριθμοθεωρητικές επιθέσεις Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Μονόδρομες συναρτήσεις - Συναρτήσεις σύνοψης. Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Μονόδρομες συναρτήσεις - Συναρτήσεις σύνοψης Άρης Παγουρτζής - Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ελένη Μπακάλη Άρης Παγουρτζής
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακά Πιστοποιητικά Ψηφιακές Υπογραφές
ΤΕΙ Κρητης Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Εργαστήριο Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Ψηφιακά Πιστοποιητικά Ψηφιακές Υπογραφές Ψηφιακά Πιστοποιητικά Υποδομή δημόσιου κλειδιού (Public Key Infrastructure
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Τι είναι Κρυπτογραφία; Επιστήμη που μελετά τρόπους κωδικοποίησης μηνυμάτων. Με άλλα λόγια,
Διαβάστε περισσότεραΠιθανοκρατικός αυτόματος έλεγχος μοντέλου του μηχανισμού ασφαλείας Oblivious Transfer
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Πιθανοκρατικός αυτόματος έλεγχος μοντέλου του μηχανισμού ασφαλείας Oblivious Transfer ΑΛΕΞΙΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΣ επιβλέπων καθηγητής:
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας
Βασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας Παύλος Εφραιμίδης Κρυπτογραφία Βασικές Έννοιες 1 Τι θα μάθουμε Obscurity vs. Security Βασικές υπηρεσίες κρυπτογραφίας: Confidentiality, Authentication, Integrity, Non- Repudiation
Διαβάστε περισσότερα