Απλός Τόκος (Simple Interest)

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Απλός Τόκος (Simple Interest) 1.1. Εισαγωγή στην Ιδέα του Επιτοκίου Ο τόκος (Interest, I) µπορεί να θεωρηθεί σαν η χρηµατική αµοιβή που πληρώνεται από κάποιο πρόσωπο ή οργανισµό που λέγεται δανειζόµενος (borrower) για τη χρήση ενός περιουσιακού στοιχείου, που λέγεται συνήθως Κεφάλαιο (Capital, Principal, P), που ανήκει σε ένα άλλο πρόσωπο ή οργανισµό. Η πληρωµή του τόκου δικαιολογείται και από κάποιον κίνδυνο (risk) που έχει εκείνος που δανείζει χρήµατα (lender) να τα χάσει, αν ο δανειζόµενος δεν ανταποκριθεί στην επιστροφή των χρηµάτων για οποιοδήποτε λόγο σε έναν ορισµένο χρόνο (time, t). Α- νάλογα µε το ύψος του κινδύνου, της απώλειας ή της υποτίµησης του κεφαλαίου, ο δανειστής δανείζει τα χρήµατά του µε µεγαλύτερο ή µικρότερο ετήσιο επιτόκιο (Ιnterest, Ι). Τα παραπάνω εκφράζονται πιο κοµψά στους ακόλουθους ορισµούς. Ορισµός Κεφάλαιο (P) λέγεται το οικονοµικό αγαθό που εκφράζεται σε µονάδες νοµισµάτων κι έχει την ικανότητα να αυξάνεται. Ορισµός Χρόνος (t) λέγεται το χρονικό διάστηµα για το οποίο δανείζεται κάποιος ένα κεφάλαιο P. Εξυπακούεται ότι ο χρόνος µπορεί να είναι διακριτή µεταβλητή (discrete variable), όταν εκφράζεται σε χρόνια, µήνες, ηµέρες, ή συνεχής µεταβλητή (continuous variable), όταν παίρνει τιµές στο διάστηµα [t 1, t 2 ].

2 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Ορισµός Τόκος (Ιnterest, Ι) λέγεται το ποσόν των χρηµάτων που παίρνει ο δανειστής ενός κεφαλαίου C για χρόνο t από τον δανειζόµενο. Ορισµός Ετήσιο Επιτόκιο (annual rate of interest, r) είναι ο τόκος για κεφάλαιο P = 1 νοµισµατικής µονάδας στη µονάδα του χρόνου. Συνήθως λαµβάνεται ως µονάδα χρόνου ο 1 χρόνος. Ορισµός Τελική αξία S ή ύψος ή µέλλουσα αξία (amount, or, future value) είναι το άθροισµα του κεφαλαίου P και του τόκου Ι. Ο ορισµός αυτός εκφράζεται µε τον τύπο S = P+I (1.1.1.) Ορισµός Κεφαλαιοποίηση του τόκου (Interest Capitalization) λέγεται η µετατροπή του τόκου σε κεφάλαιο και ο συµψηφισµός του σε αρχικό κεφάλαιο. Υπάρχουν οι ακόλουθες δύο µορφές κεφαλαιοποίησης: Ορισµός Απλή κεφαλαιοποίηση λέγεται αυτή στην οποία ο παραγόµενος τόκος Ι από τοκισµό κεφαλαίου P σε χρόνο t, προστίθεται στο κεφάλαιο στο τέλος του χρονικού διαστήµατος t. Στην περίπτωση αυτή ο τόκος Ι λέγεται απλός τόκος (Simple Interest), το δε αρχικό κεφάλαιο P παρα- µένει σταθερό για όλες τις περιόδους τοκισµού. Ο δανειστής αποσύρει τον απλό τόκο στο τέλος της χρονικής περιόδου t. Ορισµός Σύνθετη κεφαλαιοποίηση λέγεται αυτή στην οποία ο τόκος Ι που συσσωρεύεται από τον τοκισµό κεφαλαίου P για διάστηµα t µε ετήσιο επιτόκιο r, προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο P στο τέλος της χρονικής περιόδου t, έτσι ώστε στην επόµενη χρονική περίοδο υπάρχει προς τοκισµό το αρχικό κεφάλαιο P και ο τόκος της χρονικής περιόδου Ι. Αυτή

3 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 21 η διαδικασία λέγεται Ανατοκισµός ή σύνθετος τόκος (Compound Interest). Αρχή της οικονοµικής ισοδυναµίας Η λύση των προβληµάτων των Οικονοµικών Μαθηµατικών στηρίζεται στην ακόλουθη αρχή: «υο άνισα ποσά χρηµάτων σε ορισµένη χρονική στιγµή θεωρούνται ισοδύναµα». Η ουσία της αρχής αυτής είναι ότι το χρήµα αναπτύσσεται σαν συνάρτηση του χρόνου. Παράδειγµα Η εταιρία 3Ε δανείζεται από την Τράπεζα ΤΤ , µε ετήσιο επιτόκιο 21% για ένα χρόνο. Η εταιρία 3Ε πρέπει να επιστρέψει στην Τράπεζα ΤΤ ποσό µετά από ένα χρόνο. Τη στιγµή t = 0 που η Τράπεζα ΤΤ παραδίνει στην εταιρία 3Ε το ποσό του υπάρχει ισοδυναµία (µε οικονοµική έννοια) µεταξύ του και του , οι οποίες θα καταβληθούν µετά από ένα χρόνο στην Τράπεζα ΤΤ. Επίσης, κατά το τέλος του ενός χρόνου που η εταιρία 3Ε καταβάλλει στην Τράπεζα ΤΤ το ποσό των υπάρχει ισοδυναµία (µε οικονοµική έννοια) µεταξύ του ποσού και του ποσού των τα οποία η εταιρία 3Ε έλαβε πριν από ένα χρόνο. Ορισµός Οικονοµικές πράξεις λέγονται οι Μαθηµατικές πράξεις οι οποίες γίνονται στα προβλήµατα των Οικονοµικών Μαθηµατικών, µεταξύ των διαφόρων οικονοµικών µεγεθών, Κεφάλαιο, Τόκος, Επιτόκιο, Χρόνος κτλ. Οι πράξεις αυτές είναι δύο ειδών: α. Βραχυπρόθεσµες Οικονοµικές Πράξεις, χρονικής διάρκειας 3, 6 µηνών ή το πολύ 1 χρόνου. β. Μακροπρόθεσµες Οικονοµικές Πράξεις, χρονικής διάρκειας µεγαλύτερης του 1 χρόνου.

4 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 1.2 Υπολογισµός Απλού Τόκου Υποθέτουµε ότι κεφάλαιο P νοµισµατικών µονάδων στις οποίες µετρείται το επιτόκιο τοκίζεται για χρόνο t (µονάδες χρόνου) µε επιτόκιο r, όπου r είναι ο τόκος 1 νοµισµατικής µονάδος στη µονάδα του χρόνου. Άρα ο τόκος Ι του κεφαλαίου P, όταν τοκίζεται µε απλό επιτόκιο r για χρόνο t, δίνεται από τον τύπο: Ι = Prt (1.2.1.) Σηµείωση Τα µεγέθη P, r, t πρέπει να δηλωθούν κατά τρόπο συνεπή, δηλ., αν το επιτόκιο είναι ετήσιο, τότε ο χρόνος πρέπει να δηλωθεί σε χρόνια. Αν το επιτόκιο µετρείται σε µήνες, ο χρόνος πρέπει να δηλωθεί σε µήνες. Αν το επιτόκιο είναι 16%, θα πρέπει να θέσουµε στον τύπο (1.2.1.) r = 0,16. Επίσης, το επιτόκιο r και το κεφάλαιο P πρέπει να αναφέρονται στις ίδιες νοµισµατικές µονάδες, δηλ. όταν το κεφάλαιο P είναι , το επιτόκιο 16% θα συµβολίζει τόκο 16 στα 100 για 1 χρόνο και ο χρόνος τοκισµού t θα εκφράζεται σε χρόνια. Άρα στην απλή κεφαλαιοποίηση θα έχουµε: Τελική αξία κεφαλαίου = = S = P + I = P +Prt = P(1+rt) ή S = P(1+rt) (1.2.2.) Όταν το επιτόκιο r είναι ετήσιο και ο χρόνος (m) εκφράζεται σε µήνες, η εξίσωση (1.2.1.) γίνεται: Pr m I =, (1.2.3) 12 και η εξίσωση (1.2.2.) γίνεται: rm S= P Αν ο χρόνος (d) εκφράζεται σε ηµέρες, η εξίσωση (1.2.1.) γίνεται:

5 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 23 Prd I =, (1.2.4) 365 και η εξίσωση (1.2.2.) γίνεται: rd S P = (1.2.5) Σηµείωση Στην εκτέλεση των βραχυπρόθεσµων οικονοµικών πράξεων διακρίνουµε τρία είδη υπολογισµού των τοκοφόρων ηµερών µε βάση τα ακόλουθα τρία είδη ετών. α. Το πολιτικό έτος, το οποίο έχει 365 ηµέρες ή 366, αν είναι δίσεκτο (ο αριθµός των δυο τελευταίων ψηφίων του διαιρείται διά 4). Στο πολιτικό έτος κάθε µήνας περιλαµβάνει τον πραγµατικό αριθµό των ηµερών του, π.χ. 31 ο Ιανουάριος, 28 ή 29 ο Φεβρουάριος κ.τ.λ.. Το πολιτικό έτος εφαρµόζεται στην Αγγλία, στις Ηνωµένες Πολιτείες Αµερικής, στην Πορτογαλία και στις χώρες της Βρετανικής Κοινοπολιτείας. Στην περίπτωση αυτή οι τύποι (1.2.4.) και (1.2.5.) παραµένουν όπως είναι. β. Το εµπορικό ή λογιστικό έτος, το οποίο έχει 360 ηµέρες και ο κάθε µήνας έχει 30 ηµέρες. Το εµπορικό έτος χρησιµοποιείται στη Ρωσία, στη Γερµανία, στις χώρες της Σκανδιναβικής Χερσονήσου και στην Ελβετία, εκτός από την Γενεύη. Στην περίπτωση αυτή οι τύποι (1.2.4.) και (1.2.5.) γίνονται, αντίστοιχα: Prd I = 360 rd S P = (1.2.6) γ. Το µικτό έτος, το οποίο αποτελείται από 360 ηµέρες και ο κάθε µήνας λαµβάνεται µε τις πραγµατικές του ηµέρες. Το µικτό έτος εφαρµόζεται στην Αυστρία, το Βέλγιο, τη Γαλλία, την Ελλάδα, την Ιταλία, την Ισπανία, την Ολλανδία και την περιοχή της Γενεύης στην Ελβετία.

6 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Στην περίπτωση αυτή ισχύουν οι τύποι (1.2.6.) στους οποίους ο αριθ- µός των ηµερών d συµβολίζει τον αριθµό των ηµερών σε ένα µικτό έτος. Ο υπολογισµός του επιτοκίου και της τελικής αξίας είναι ακριβής µόνο αν λαµβάνεται ως βάση το πολιτικό έτος. Παράδειγµα Κεφάλαιο P = τοκίζεται µε απλό επιτόκιο r = 8% για t = 7 χρόνια. Ποιος είναι ο τόκος και η τελική αξία; Απάντηση Έχουµε: I = ,08 7 = S = P(1+rt) = (1+0,08 7) = Παράδειγµα Να υπολογισθεί ο τόκος κεφαλαίου P = που τοκίζεται από τις 2 Φεβρουαρίου 1996 ώς τις 15 Απριλίου 1996 µε επιτόκιο 15% µε εµπορικό, πολιτικό και µικτό έτος. Απάντηση α)όταν το έτος είναι πολιτικό, οι τοκοφόρες ήµέρες βρίσκονται µε χρήση του πίνακα Ι υπολογισµού τοκοφόρων ηµερών, ως εξής: Από ώς Από ώς ηµέρες 33 ηµέρες 72 ηµέρες έτος δίσεκτο Άρα έχουµε Ι = , = β) Όταν το έτος είναι εµπορικό, οι τοκοφόρες ηµέρες είναι: Από ώς x30 = 60 ηµέρες Από ώς (15 2) = 13 ηµέρες 73 ηµέρες

7 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 25 Άρα έχουµε: ,15 Ι = = γ) Όταν το έτος είναι µικτό, οι τοκοφόρες ηµέρες είναι: Από ώς ηµέρες Από ώς ηµέρες 72 ηµέρες έτος δίσεκτο Άρα έχουµε: ,15 Ι = = Σηµείωση Η ηµέρα της κατάθεσης δεν είναι τοκοφόρος, ενώ η ηµέρα της ανάληψης είναι τοκοφόρος. Παράδειγµα Κάποιος δανείσθηκε ένα ποσό από την Τράπεζα προς % το χρόνο. Μετά από 80 ηµέρες, όταν το έτος είναι εµπορικό, πλήρωσε Ποιο ήταν το αρχικό ποσό που δανείσθηκε; Απάντηση Έχουµε S = r = % d = 80 Άρα από τον τύπο: S = P(1+ rd 360 ) έχουµε: 1 ( ) rd 80 0,0975 P = S 1+ = = ,

8 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 1.3. Οι Έννοιες του Τοκαρίθµου και του Σταθερού ιαιρέτη Στις οικονοµικές συναλλαγές διευκολύνονται κατά πολύ οι υπολογισµοί του τόκου µε τη χρήση δυο βασικών µεγεθών, του τοκαρίθµου και του σταθερού διαιρέτη. ίνουµε τους ορισµούς: Ορισµός Τοκάριθµος ονοµάζεται το γινόµενο N = Pd (1.3.1.) όπου P είναι το κεφάλαιο και d είναι ο χρόνος (σε ηµέρες) τοκισµού του. Ορισµός Σταθερός διαιρέτης ονοµάζεται το πηλίκο όταν πρόκειται για εµπορικό ή µικτό έτος, ή 360 D = (1.3.2.) r 365 D =, (1.3.3.) r όταν πρόκειται για πολιτικό έτος. Με τη χρήση του τοκαρίθµου και του σταθερού διαιρέτη οι τύποι (1.2.6.) γίνονται: Pd N I = = 360 D r ή και N I = (1.3.4.) D

9 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 27 ή d d S= P 1+ P = + D r d S P = 1+ D (1.3.5) 1.4. Συνολικός Τόκος Κεφαλαίων Τοκισµένων µε το Ίδιο Επιτόκιο Υποθέτουµε ότι τα λ κεφάλαια P 1, P 2,...,P λ τοκίζονται µε το ίδιο επιτόκιο r, για d 1, d 2,..., d λ ηµέρες. Τότε, ο συνολικός τόκος είναι Ι = (P 1 d 1 +P 2 d P λ d λ ) 1 D = ή λ i=1 Pd D i i I = λ i=1 D N i (1.4.1) Ο ακόλουθος πίνακας περιέχει τους σταθερούς διαιρέτες D για τα δύο έτη, εµπορικό και πολιτικό, και για µερικές τιµές επιτοκίων.

10 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Πίνακας Σταθεροί διαιρέτες D για τα δύο έτη, εµπορικό και πολιτικό, και για µερικές τιµές επιτοκίων. Επιτόκιο Εµπορικό Έτος Πολιτικό Έτος r D = D = r r 0, , , ,6 0, , , ,3 0, , ,2 0, ,5 0, ,5 0, , , , , ,5 Παράδειγµα Κεφάλαιο τοκίζεται για 110 ηµέρες µε επιτόκιο 8%. Να βρεθεί ο τόκος Ι και η τελική του αξία, όταν το έτος θεωρείται: α) εµπορικό και β) πολιτικό. Απάντηση α) Εµπορικό έτος ( ) ( ) N Pd I = = = = = 4888,88 D r 0,08 S = ,88. β) Πολιτικό έτος ( ) N Pd I = = = =4821,91 D r 0,08 S = ,91

11 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 29 Παράδειγµα Τα κεφάλαια , και τοκίζονται για 70,80 και 100 ηµέρες, αντίστοιχα, µε επιτόκιο 9% (εµπορικό έτος). Να βρεθεί ο συνολικός τόκος. Απάντηση Έχουµε: P 1 = , P 2 = , P 3 = , d 1 = 70, d 2 = 80, d 3 = 100, r = 0,09 Άρα θα είναι: 360 D = = , I = = = Παράδειγµα Ένα κεφάλαιο τοκίσθηκε, µε 15% επί 10 µήνες. Μετά από 10 µήνες ο τόκος και το αρχικό κεφάλαιο (τοκοκεφάλαιο) τοκίσθηκε µε 12% για 2 µήνες και παρήγαγε τόκο Ζητείται να βρεθεί το αρχικό κεφάλαιο. Απάντηση Υποθέτουµε ότι P 0 είναι το αρχικό κεφάλαιο και P 1 είναι το κεφάλαιο και ο τόκος µετά από 10 µήνες. Έχουµε το ακόλουθο διάγραµµα: Έχουµε:

12 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ P1 2 0,12 = P 1 = P 10 0,15 + = 12 o Po P P 10 0, = ( ) o o Po = = ,11. 13,5 P 13,5 = o 1.5. Προκαταβολή Τόκου (Bank Discount, Advanced Payment of Interest) Όταν κάποιος δανείζεται ένα ποσό P από την Τράπεζα για χρόνο t µε ετήσιο επιτόκιο r, δεν παίρνει το ποσό που ζήτησε, αλλά τη διαφορά P I, όπου Ι είναι ο τόκος του ποσού P προς ετήσιο επιτόκιο r για χρόνο t. Το ποσό αυτό λέγεται P ελ και δίνεται από τη σχέση: P ελ = P Ι = P Prt = P(1 rt) ή P ελ = P(1 rt) (1.5.1) Όταν ο χρόνος δανεισµού είναι m µήνες, τότε έχουµε: P ελ r =P 1 m 12 (1.5.2) Όταν ο χρόνος δανεισµού είναι d ηµέρες και το έτος είναι εµπορικό ή πολιτικό, έχουµε, αντίστοιχα: P ελ r =P 1 d 360 (1.5.3) P ελ r =P 1 d 365 (1.5.4)

13 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 31 Παράδειγµα Πόσα χρήµατα θα πάρει από την Τράπεζα ένας πελάτης που δανείστηκε για 2 χρόνια µε επιτόκιο 18% στην περίπτωση του απλού τόκου, µετά από την παρακράτηση των τόκων; Απάντηση Έχουµε: P ελ = P (1 0,18 2) = Προβλήµατα Εύρεσης του Μέσου Επιτοκίου (Weighted Rate of Interest) Θεωρούµε ότι τα κεφάλαια P 1, P 2,..., P λ τοκίζονται για χρόνο t µε αντίστοιχα επιτόκια r 1, r 2,..., r λ. Τότε το άθροισµα των τελικών τους αξιών θα είναι: P 1 (1+tr 1 )+P 2 (1+tr 2 )+...+P λ (1+r λ ) (1.6.1) ίνουµε τον ορισµό: Ορισµός Μέσο επιτόκιο r των επιτοκίων r 1, r 2,..., r λ λέγεται το επιτόκιο µε το οποίο πρέπει να τοκισθεί το κεφάλαιο P = P 1 +P P λ, για να έχει στον ίδιο χρόνο t τελική αξία ίση µε το άθροισµα των τελικών αξιών που δίνεται από την έκφραση (1.6.1). Άρα έχουµε: (P 1 +P P λ )(1+tr) = P 1 (1+tr 1 )+P 2 (1+tr 2 )+...+P λ (1+tr λ ) ή (P 1 +P P λ ) tr = (P 1 r 1 +P 2 r P λ r λ )t P r +P r +...+P r r = (1.6.2) P +P +...+P ή λλ 1 2 λ Όταν τα λ κεφαλαία είναι ίσα, τότε έχουµε: r r +r +...+r λ 1 2 λ = (1.6.3)

14 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Όταν τα κεφαλαία P 1, P 2,..., P λ τοκίζονται για χρόνους t 1, t 2,..., t λ, αντίστοιχα, µε επιτόκια r 1, r 2,..., r λ, αντίστοιχα, τότε το µέσο επιτόκιο r δίνεται από τον ορισµό: Ορισµός Θεωρούµε ότι τα κεφάλαια P 1, P 2,.., P λ τοκίζονται για χρόνους t 1, t 2,..t λ, αντίστοιχα, µε επιτόκια r 1, r 2,..., r λ, αντίστοιχα. Τότε, µέσο επιτόκιο r είναι το επιτόκιο µε το οποίο τοκίζονται τα κεφάλαια P 1, P 2,.., P λ για χρόνους t 1, t 2,..t λ, αντίστοιχα, για να δώσουν τον ίδιο συνολικό τόκο. Σύµφωνα µε τον ορισµό έχουµε µε τη σχέση: P 1 t 1 r+p 2 t 2 r+...+p λ t λ r = P 1 t 1 r 1 +P 2 t 2 r P λ t λ r λ ή r P t r +P t r +...+P t r λ λ λ = (1.6.4) ( P t +P t +...+P t ) λ λ Ο τύπος (1.6.4), αν οι χρόνοι δίνονται σε µήνες m i, γίνεται: r = λ i=1 λ i=1 Pmr i Pm i i i i ή, όταν οι χρόνοι δίνονται σε ηµέρες d i, γίνεται: r = λ i=1 λ i=1 Pdr i Pd i i i i (1.6.5) (1.6.6) Παράδειγµα Κάποιος δανείζεται τα ακόλουθα ποσά: α) P 1 = για m 1 = 2 µήνες µε ετήσιο επιτόκιο r 1 = 10%. β) P 2 = για m 2 = 4 µήνες µε ετήσιο επιτόκιο r 2 = 12%.

15 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 33 γ) P 3 = για m 3 = 6 µήνες µε ετήσιο επιτόκιο r 3 = 14%. Να βρεθεί το µέσο επιτόκιο δανεισµού. Απάντηση Έχουµε: ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,14 r = = = 0, Προεξόφληση Συναλλαγµατικών και Γραµµατίων (Discounting) Όταν κάποιος αγοράζει ένα προ όν, δεν πληρώνει πάντοτε µε χαρτονοµίσµατα. Σε πολλές περιπτώσεις δίνει στον πωλητή µια συναλλαγ- µατική ή ένα γραµµάτιο (promissory note). Οι συναλλαγµατικές εφευρέθηκαν το 12 ο αιώνα σαν µέσο µεταφοράς χρηµάτων από ένα κράτος στο άλλο από τους εµπόρους, οι οποίοι έπαιρναν από τους Τραπεζίτες υποσχετικές επιστολές για το Α ποσό χρηµάτων στο κράτος Α 1 και εισέπρατταν το ισοδύναµο ποσό χρηµάτων στο κράτος Β 1 σε νόµισµα βέβαια του κράτους Β 1. Ο νόµος 5325 του 1932 και η απόφαση 2232/1975 του Υπουργείου Οικονοµικών ρυθµίζουν όλα τα σχετικά θέµατα µε τις συναλλαγµατικές και τα γραµµάτια. Παραθέτουµε φωτοαντίγραφα του νέου τύπου «συναλλαγµατικής» και «γραµµατίου εις διαταγήν».

16 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Εικόνα Συναλλαγµατική και «γραµµάτιον εις διαταγήν» Στις συναλλαγµατικές και στα γραµµάτια εµφανίζονται τα στοιχεία του δανειστή και του οφειλέτη, το ποσό της οφειλής και η ηµεροµηνία εξόφλησης. Βασικά στοιχεία της συναλλαγµατικής είναι η ονοµαστική αξία και η λήξη της.

17 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 35 Ορισµός Ονοµαστική αξία (nominal value or maturity value) της συναλλαγµατικής λέγεται το ποσό των χρηµάτων που είναι γραµµένο στη συναλλαγ- µατική και το οποίο πρέπει να πληρώσει ο οφειλέτης στο δανειστή. Ορισµός Παρούσα ή πραγµατική αξία µιας συναλλαγµατικής ή γραµµατίου είναι το χρηµατικό ποσό που πρέπει να πληρωθεί σε κάποιο χρόνο t πριν από τη λήξη της συναλλαγµατικής. Ορισµός Λήξη της συναλλαγµατικής ονοµάζεται η ηµέρα που πρέπει ο οφειλέτης να πληρώσει στο δανειστή το χρηµατικό ποσό που αναγράφεται στη συναλλαγµατική. Η ονοµαστική αξία περιλαµβάνει εκτός του πραγµατικού ποσού που δανείσθηκε ο οφειλέτης και τον τόκο που πρέπει να πληρώσει ο οφειλέτης. Η συναλλαγµατική µπορεί να µεταβιβασθεί, εκτός αν ο εκδότης έχει γράψει σε αυτή τη φράση «όχι σε διαταγή». Μερικοί κανόνες που διέπουν την έκδοση της συναλλαγµατικής είναι οι ακόλουθοι: α) Η πληρωµή µιας συναλλαγµατικής µπορεί να ασφαλισθεί πλήρως µε τριτεγγύηση που δηλώνεται ως εξής: «τριτεγγυώµαι υπέρ του αποδέκτη». β) Η συναλλαγµατική πληρώνεται κατά την ηµεροµηνία λήξης της ή µέχρι δύο εργάσιµες ηµέρες µετά την ηµεροµηνία λήξης της. γ) Όταν δεν πληρωθεί µια συναλλαγµατική, διαβιβάζεται στο συµβολαιογράφο για διαµαρτύρηση. Η διαµαρτύρηση µιας συναλλαγµατικής έχει σοβαρές δικαστικές συνέπειες για τον οφειλέτη. δ) Ποσό που χορηγείται από την τράπεζα είναι τοκοφόρο από την ηµέρα που δόθηκε από την τράπεζα. Ποσό που κατατίθεται στην τράπεζα φέρνει τόκο από την επόµενη ηµέρα.

18 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ε) Κατά την προεξόφληση συναλλαγµατικών και γραµµατίων, οι τράπεζες, εκτός από το προεξόφληµα για το οποίο θα µιλήσουµε εκτενώς στο επόµενο υποκεφάλαιο, παρακρατούν προµήθεια, εισπρακτικά, ταχυδροµικά και Ειδικό Φόρο Τραπεζικών Εργασιών (Ε.Φ.Τ.Ε.). Σηµείωση Είναι φανερό ότι η συναλλαγµατική και το γραµµάτιο είναι πιστωτικοί τίτλοι και εκδίδονται, όταν αγοράζει κάποιος εµπορεύµατα µε πίστωση. Σηµείωση Η διαφορά της συναλλαγµατικής από το γραµµάτιο είναι η ακόλουθη: Η συναλλαγµατική εκδίδεται από το δανειστή, ο οποίος δίνει εντολή στον οφειλέτη (αποδέκτη) να πληρώσει το χρέος του, ενώ το γραµµάτιο εκδίδεται από τον οφειλέτη στο οποίο αυτός υπόσχεται να πληρώσει το χρέος του στο δανειστή, και δίνεται από τον οφειλέτη στο δανειστή. Ορισµός Προεξόφληση γραµµατίου ή συναλλαγµατικής λέγεται η καταβολή στον κάτοχο του πιστωτικού τίτλου πριν την ηµεροµηνία λήξης του, έναντι µεταβίβασης του τίτλου, ενός χρηµατικού ποσού το οποίο είναι λιγότερο από την ονοµαστική αξία του τίτλου κατά ένα ποσό που αντιστοιχεί στον τόκο της ονοµαστικής ή πραγµατικής αξίας του τίτλου για το διάστηµα από την ηµέρα της προεξόφλησης µέχρι την ηµέρα λήξης του τίτλου. Ορισµός Χρόνος προεξόφλησης λέγεται το χρονικό διάστηµα από την ηµέρα της λήξης του τίτλου. Ορισµός Επιτόκιο προεξόφλησης λέγεται το επιτόκιο µε το οποίο υπολογίζεται πόσο τόκο θα πληρώσει ο κάτοχος του τίτλου προς προεξόφληση.

19 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 37 Ορισµός Προεξόφληµα ή έκπτωση ή υφαίρεση (discount) λέγεται το χρηµατικό ποσό που θα κρατήσει εκείνος που προεξοφλεί τον τίτλο από τον κάτοχο του τίτλου, για τον κίνδυνο που παίρνει, να δώσει ένα ποσό που θα εισπράξει κατά τη λήξη του τίτλου. Ισχύει ο εξής τύπος για την προεξόφληση τίτλων: Παρούσα αξία + προεξόφληµα = Ονοµαστική αξία (1.7.1) Έχουµε δύο είδη προεξοφλήσεων, την εξωτερική και εσωτερική. Θα παραθέσουµε τους τύπους του προεξοφλήµατος και της πραγµατικής αξίας που συνδέονται µε τους παραπάνω δύο τρόπους προεξόφλησης Εξωτερική Προεξόφληση Τίτλων ίνουµε τον ακόλουθο ορισµό: Ορισµός Εξωτερική προεξόφληση λέγεται η προεξόφληση τίτλων (συναλλαγ- µατικών και γραµµατίων), στην οποία το προεξόφληµα Π είναι ίσο µε τον τόκο της ονοµαστικής αξίας P για χρόνο t, ο οποίος είναι ο χρόνος από την ηµέρα της προεξόφλησης µέχρι τη λήξη του τίτλου και µε επιτόκιο r. Έχουµε: Π = Prt (1.8.1) Έστω ότι Α είναι η παρούσα αξία τίτλου στην εξωτερική προεξόφληση: Τότε έχουµε: Α+Π = P ή Α +Prt = P ή Α = P(1 rt) (1.8.2) Παρατηρούµε ότι ο τόκος Π υπολογίζεται στην ονοµαστική αξία του τίτλου, πράγµα που είναι άδικο. Οι τράπεζες δικαιολογούν το γεγονός

20 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ αυτό λέγοντας ότι, επειδή παίρνουν αυξηµένο κίνδυνο (ρίσκο) προεξοφλώντας έναν τίτλο, πρέπει να χρεώνουν µεγαλύτερο τόκο για να καλύπτονται έναντι των περιπτώσεων στις οποίες ο οφειλέτης είναι αφερέγγυος. Θεωρούµε την περίπτωση που ο χρόνος προεξόφλησης είναι σε ηµέρες, (d), και το επιτόκιο είναι ετήσιο. Τότε έχουµε: d Π = P r 360 ή N = D όπου N = Pn είναι ο τοκάριθµος, Π = N (1.8.3) D 360 D = είναι ο σταθερός διαιρέτης. r Έχουµε: d dr d Α = P Π= P P r= P 1 = P D. Άρα, η παρούσα αξία του τίτλου δίνεται από τον τύπο: d A = P 1 = D (1.8.4) Παράδειγµα Ένα γραµµάτιο ονοµαστικής αξίας προεξοφλείται εξωτερικώς µε επιτόκιο 15%. Ο χρόνος προεξόφλησης είναι: α) 3 χρόνια πριν τη λήξη του τίτλου και β) 92 ηµέρες πριν τη λήξη του τίτλου (έτος εµπ.). Να βρεθεί το εξωτερικό προεξόφληµα και η παρούσα αξία του γραµµατίου.

21 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 39 Απάντηση α) Έχουµε: Π = Prt = ,15 3 = Α = P(1 rt) = (1 0,15 3) = β) Ν = Pd = = D = = = 2400 r 0,15 Π = N = = D d 92 A = P 1 = = D 2400 Το παρακάτω διάγραµµα δίνει τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσει του χρόνου t, των συναρτήσεων Π = Prt και Α = P(1 rt). Έχουµε: Prt = P(1 rt), όταν ισχύει rt = 1 rt ή 2rt = 1 ή 1 t = 2r

22 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Εικόνα Γραφικές παραστάσεις των γραµµικών συναρτήσεων: Π = Prt και Α = P(1 rt) Εσωτερική Προεξόφληση Τίτλων ίνουµε τον ακόλουθο ορισµό: Ορισµός Εσωτερική προεξόφληση τίτλων λέγεται η προεξόφληση εκείνη στην οποία το προεξόφληµα Π* είναι ίσο µε τον τόκο τον οποίο δίνει κεφάλαιο Ρ* ίσο µε την παρούσα (ή πραγµατική) αξία του τίτλου, όταν τοκισθεί για χρόνο t, ίσο µε το χρονικό διάστηµα από την ηµέρα της προεξόφλησης µέχρι και την ηµέρα της λήξης, και µε επιτόκιο r, το οποίο συµφωνείται σαν προεξοφλητικό επιτόκιο. Ισχύει: Π* = Α* r t, (1.9.1)

23 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 41 όπου Α* = πραγµατική ή παρούσα αξία του τίτλου Π* = εσωτερικό προεξόφληµα t = χρόνος προεξόφλησης r = προεξοφλητικό επιτόκιο Ισχύει, επίσης: * Π Π ή * rt + =P * Π + Π * rt = Prt ή και A ή * * Π P = = rt 1 + rt Π * Prt = 1 + rt (1.9.2) * P A = (1.9.3) 1+ rt Αν ο χρόνος προεξόφλησης είναι σε ηµέρες (d) και το έτος εµπορικό, τότε το εσωτερικό προεξόφληµα Π* και η πραγµατική αξία Α* δίνονται από τις σχέσεις: d 1 N Pr Pd * r Π = = = D = d d d 1+ r r D N D N = = D+d D+d D

24 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Άρα έχουµε: Έχουµε επίσης: ή Π = (1.9.4) D+d * N Α * +Π * = Ρ Α * N = P = D+d PD+Pd N PD = = D+d D+d ή * PD A = (1.9.5) D+d Παράδειγµα Μια συναλλαγµατική ονοµαστικής αξία προεξοφλείται εσωτερικώς µε επιτόκιο 15%. Να υπολογισθεί το προεξόφληµα και η πραγµατική αξία, όταν ο χρόνος προεξόφλησης είναι: α) 3 χρόνια, β) 92 ηµέρες (έτος εµπορικό). Απάντηση α) Έχουµε: P = r = 0,15 t = 3 χρόνια Άρα: ( ) ( ) * ,15 3 Π = = ,15 3 * A = = ,15 3 ( ) β) Ν = Pd = = D = = = 2400 r 0,15

25 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 43 * Π = = * PD A = = = D+d Υπολογισµός του Προεξοφλήµατος, όταν η Παρούσα Αξία του Τίτλου είναι Γνωστή Υποθέτουµε ότι είναι γνωστή η παρούσα αξία Α ενός τίτλου. Εξωτερική προεξόφληση: Το προεξόφληµα υπολογίζεται ως εξής: Π = Prt Έχουµε: Α+Π = P ή A = P Π = P Prt = P(1 rt). Άρα: A P = 1 rt Art Π = Prt = 1 rt Π = Art (1.10.1) 1 rt Εσωτερική προεξόφληση: Το προεξόφληµα υπολογίζεται ως εξής: Π* = Αrt (1.10.2) Σηµείωση (α) Κατά την προεξόφληση τίτλων οι τράπεζες χρησιµοποιούν την εξωτερική προεξόφληση και το πολιτικό έτος. (β) Κατά την προεξόφληση παρακρατούνται, εκτός από το προεξόφληµα, η προµήθεια, τα εισπρακτικά έξοδα, τα ταχυδροµικά και ο Ειδικός Φόρος Τραπεζικών Εργασιών (Ε.Φ.Τ.Ε.) (γ) Για να βρούµε πότε το προεξόφληµα είναι ίσο µε την πραγµατική αξία στην εσωτερική προεξόφληση, έχουµε:

26 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Α* = Π* ή P Prt = 1+ rt 1+ rt rt = 1 ή ή 1 t = (1.10.3) r Άσκηση Να αποδειχθεί ότι: α) Το προεξόφληµα στην εξωτερική προεξόφληση είναι µεγαλύτερο από το αντίστοιχο προεξόφληµα στην εσωτερική προεξόφληση. β) Η διαφορά των προεξοφληµάτων είναι ίση µε την αρνητική διαφορά των πραγµατικών αξιών στην εξωτερική και εσωτερική προεξόφληση, αντίστοιχα. Λύση: α) Ισχύει: Π = Prt (εξωτ. προεξόφληση) Π * Prt = 1 + rt (εσωτ. προεξόφληση) Επειδή είναι: 1+rt>0, τότε έχουµε: Π>Π* (1.10.4) β) Άρα: * Prt Prt+Pr t Prt Pr t Π Π = Prt = = 1+ rt 1+ rt 1+ rt 2 2 * P P P+Prt Prt Pr t P ( ) A A = P 1 rt = P Prt = 1+ rt 1+ rt 1+ rt 2 2 * Pr t * A A = = ( Π Π ). 1+ rt

27 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Η Έννοια του Πραγµατικού Επιτοκίου Προεξόφλησης Κατά την προεξόφληση η τράπεζα παρακρατεί τα εξής ποσά: Προµήθεια, µεσιτικά, χαρτόσηµο και τα έξοδα αλλαγής θέσης (ταχυδροµικά). Τα ποσά αυτά υπολογίζονται σε ποσοστά επί τοις εκατό % ή επί τοις χιλίοις ( ) στην ονοµαστική αξία της συναλλαγµατικής. Υποθέτουµε ότι το άθροισµα των ανωτέρω κρατήσεων είναι Ζ. Τότε ο κοµιστής της συναλλαγµατικής παίρνει, στην εξωτερική προεξόφληση, το ποσό P (Π+Ζ), όπου Π είναι το προεξόφληµα και Ζ είναι το άθροισµα των εξόδων της τράπεζας. ίνουµε τον ακόλουθο ορισµό: Ορισµός Πραγµατικό επιτόκιο προεξόφλησης r 1 λέγεται το επιτόκιο µε το οποίο τοκίζεται ποσό P (Π+Ζ) επί χρόνο t ίσο µε το χρόνο προεξόφλησης, για να δώσει τόκο ίσο µε Π+Ζ, δηλ. όσο κράτησε η Τράπεζα. Έχουµε λοιπόν: Π + Ζ = (P (Π+Ζ)) r 1 t ή Π+Z r1 = P ( Π+Z) t (1.11.1) Αν ο χρόνος εκφράζεται σε ηµέρες (d) και το έτος είναι εµπορικό ή µικτό, τότε η σχέση γίνεται: r 1 ( Π ) ( Π ) +Z 360 = P +Z d (1.11.2) Παράδειγµα Υποθέτουµε ότι µια συναλλαγµατική ονοµαστικής αξίας , µε ηµεροµηνία λήξης την 30/7/1995, προεξοφλήθηκε την 28/4/1995 εξωτερικώς µε επιτόκιο 17%. Οι κρατήσεις της Τράπεζας ήταν:

28 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Προµήθεια (Ε 1 ) 1,5 το χρόνο: κατά µήνα αδιαίρετο, δηλ., όταν οι τοκοφόρες ηµέρες είναι δεκαδικός αριθµός µηνών, τότε οι µήνες στρογγυλοποιούνται προς τα επάνω, π.χ. οι 70 ηµέρες θεωρούνται 3 µήνες. Μεσιτικά 4 επί της Ονοµαστικής αξίας (Ε 2 ). Έξοδα αλλαγής θέσης 2 επί της ονοµαστικής αξίας (Ε 4 ). Ε.Φ.Τ.Ε. (Ε 5 ) 8% (Ο Ε.Φ.Τ.Ε. υπολογίζεται επί του αθροίσµατος του προεξοφλήµατος της προµήθεια, των µεσιτικών, του χαρτόσηµου και των εξόδων αλλαγής θέσης). Το έτος θεωρείται πολιτικό. Ζητείται να βρεθεί το πραγµατικό επιτόκιο της προεξόφλησης. Απάντηση Έχουµε: P = , r = 0,17 Τοκοφόρες ηµέρες: Από 1/1/1195 ώς 30/7/1195: 211 ηµέρες Από 1/1/1195 ώς 28/4/1195: 118 ηµέρες Τοκοφόρες ηµέρες: = 93 Τα ποσά που κράτησε η Τράπεζα είναι: Προεξόφληµα: ( )( ) Prd ,17 93 Π = = = m 1,5 4 1,5 E1 = P = = Προµήθεια: ( ) 4 4 E2 = P = = Μεσιτικά: ( ) 2 2 E3 = P = = Χαρτόσηµο: ( ) 2 2 E4 = P = = Έξοδα αλλαγής θέσης: ( )

29 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 47 Ε.Φ.Τ.Ε ( +E +E +E +E ) ( = ) 8 8 = Π = = = 496 Άθροισµα προεξοφλήµατος και κρατήσεων = = Το ποσό που θα λάβει ο κοµιστής της συναλλαγµατικής είναι: = Άρα έχουµε: Ζ = Ε 1 +Ε 2 +Ε 3 +Ε 4 +Ε.Φ.Τ.Ε. = Π = r 1 = ( ) 365 [ ] = 25,41% Άρα ο κοµιστής που προεξόφλησε την συναλλαγµατική επιβαρύνθηκε µε πραγµατικό επιτόκιο 25,41%.

30 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ Εύρεση της Παρούσας Αξίας από την Ονοµαστική Αξία µε Έξοδα Κατά την προεξόφληση ενός τίτλου οι Τράπεζες κάνουν τις εξής κρατήσεις: α. Προεξόφληµα: Π β. Προµήθεια: Ε 1 γ. Μεσιτικά: Ε 2 δ. Χαρτόσηµο: Ε 3 ε. Έξοδα αλλαγής θέσης: Ε 4 ζ. Ε.Φ.Τ.Ε.: Ε 5 Στην παράγραφο 1.11 προσδιορίσθηκε ο τρόπος υπολογισµού των εξόδων Ε 1, Ε 2, Ε 3, Ε 4 και Ε 5. Η παρούσα αξία ενός τίτλου συναρτήσει της ονοµαστικής αξίας και των εξόδων Ε 1, Ε 2, Ε 3, Ε 4 δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: α) Εξωτερική προεξόφληση Pd A = P ( E 1+E 2+E 3+E 4+E5) (1.12.1) D β) Εσωτερική προεξόφληση PD A = ( E 1+E 2+E 3+E 4+E5) (1.12.2) D+d Ο τύπος (1.12.1) προέρχεται από τον τύπο (1.8.4) και ο τύπος (1.12.2) προέρχεται από τον τύπο (1.9.5), όταν ληφθούν υπόψη τα έξοδα Ε 1, Ε 2, Ε 3, Ε 4 και Ε 5. Στην επόµενη παράγραφο θα εξετασθεί η περίπτωση της «ανανέωσης» του τίτλου.

31 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Εύρεση της Ονοµαστικής Αξίας σαν Συνάρτηση της Παρούσας Αξίας και των Εξόδων Εξετάζεται η εξής περίπτωση: Ένας τίτλος λήγει µια ορισµένη ηµέρα αλλά ο οφειλέτης του δεν µπορεί να τον εξοφλήσει. Έρχεται τότε σε συµφωνία µε τον κοµιστή του τίτλου για να εκδοθεί νέος τίτλος που να λήγει αργότερα. Ποια πρέπει να είναι η ονοµαστική αξία του νέου τίτλου; Υποθέτουµε ότι η προεξόφληση είναι εξωτερική. Τότε έχουµε: Α = P Π έξοδα = = P Pd Προµήθεια Μεσιτικά Χαρτόσηµο D Έξοδα αλλαγής θέσης Ε.Φ.Τ.Ε. = Pd m K K K K P P P P P E D = όπου Κ 1 = ποσοστό της προµήθειας "κατά µήνα αδιαίρετο" επί της άγνωστης ονοµαστικής αξίας. Κ 2 = ποσοστό µεσιτικών επί της άγνωστης ονοµαστικής αξίας Κ 3 = ποσοστό εξόδων χαρτοσήµου επί της άγνωστης ονοµαστικής αξίας. Κ 4 = ποσοστό εξόδων αλλαγής θέσης επί της άγνωστης ονοµαστικής αξίας. Ε 5 : Ε.Φ.Τ.Ε. Άρα έχουµε: d m K K K K A+E5 = P 1 D και

32 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ P= A+E5 d m K K K K D (1.13.1) Παράδειγµα Μια συναλλαγµατική έληξε σήµερα, αλλά ο οφειλέτης δεν µπορεί να την εξοφλήσει. Ο πιστωτής εκδίδει νέα συναλλαγµατική που λήγει µετά από 70 ηµέρες. Τη συναλλαγµατική αυτή τη δίνει για εξωτερική προεξόφληση την ίδια ηµέρα (σήµερα) µε επιτόκιο 7%. Ποια θα είναι η ονοµαστική αξία της νέας συναλλαγµατικής, όταν τα έξοδα της Τράπεζας είναι τα εξής: α. Προµήθεια 1/100 επί της ονοµαστικής αξίας κατά µήνα αδιαίρετο. β. Μεσιτικά 4/1000 επί της ονοµαστικής αξίας. 2 γ. Έξοδα χαρτοσήµου επί της ονοµαστικής αξίας δ. Έξοδα αλλαγής θέσης 1000 ε. Ε.Φ.Τ.Ε. 500 Το έτος είναι εµπορικό. επί της ονοµαστικής αξίας. Απάντηση Έχουµε: P = , D = 360 0,07 = d = 70 K 1 = 1, m = 3, K 2 = 4, K 3 = 2, K 4 = 1, E 5 = 500

33 ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ 51 Άρα έχουµε: P = = = = 0,977 = Πινάκιο Προεξοφλήσεων Οι έµποροι προεξοφλούν στις Τράπεζες έναν ορισµένο αριθµό Συναλλαγµατικών και Γραµµατίων για να λάβουν χρήµατα, όταν έχουν ανάγκη να χρηµατοδοτήσουν κάποιες εµπορικές πράξεις. Υποθέτουµε ότι ο έµπορος Χ προσκοµίζει στην Τράπεζα Ψ συναλλαγµατικές και γραµµάτια για προεξόφληση. Ο έµπορος Χ καταχωρίζει τις συναλλαγµατικές και γραµµάτια σε ειδικό έντυπο που είναι διαφορετικό για κάθε Τράπεζα και λέγεται ΠΙΝΑΚΙΟ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΕΩΝ ΤΙΤΛΩΝ. Η Τράπεζα, εκτός του προεξοφλήµατος, παρακρατεί προµήθεια, εισπρακτικά, ταχυδροµικά και Ε.Φ.Τ.Ε. Στο πινάκιο προεξόφλησης υπάρχουν οι εξής καταχωρίσεις: i. Ο αύξων αριθµός των συναλλαγµατικών. ii. Αριθµοί των συναλλαγµατικών κατά την έκδοσή τους. iii. Οι ονοµαστικές αξίες των συναλλαγµατικών. iv. Η ηµεροµηνία λήξης των συναλλαγµατικών. v. Οι τοκοφόρες ηµέρες που υπολογίζονται ως εξής: ηµέρα προεξόφλησης, ηµέρες από την ηµέρα προεξόφλησης ώς και την ηµέρα λήξης συν δυο εργάσιµες ηµέρες. vi. Οι τοκάριθµοι: Ν = Pd, όπου P είναι η ονοµαστική αξία κάθε συναλλαγµατικής και d είναι ο αριθµός των τοκοφόρων ηµερών.