ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ"

Λυσιστράτη Καλαμογδάρτης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

2 Θέμα Απομονωμένο σύστημα περνάει από κατάσταση με εντροπία S σε κατάσταση με εντροπία S. Αποδείξτε και σχολιάστε ότι ισχύει S S. Για οποιαδήποτε μηχανή (σύστημα που εκτελεί κυκλική διαδικασία) ισχύει η ανισότητα Clausius: Το σύστημα μας για κάποιο λόγω μεταβαίνει από την κατάσταση () στην κατάσταση () με μη αντιστρεπτή διαδικασία. Επαναφέρουμε το σύστημα μας με μία αντιστρεπτή διαδικασία στην αρχική κατάσταση, για να γίνει αυτό, φυσικά, το σύστημα πρέπει να πάψει να είναι απομονωμένο. Εφόσον διανύσαμε έναν κύκλο η ανισότητα του Clausius θα γίνει: Q Q Q 0 P α Q 0 β V

3 Q Q Q 0 P α β Από το σύστημα είναι απομονωμένο άρα δq α = 0 και επομένως το ο ολοκλήρωμα είναι μηδέν. Άρα Q ds S S 0 και συνεπώς S S Από το σύστημα εκτελεί αντιστρεπτή μεταβολή και επομένως μπορούμε να αντικαταστήσουμε: ds Q V Αυτό σημαίνει, ότι όταν ένα κλειστό σύστημα περνάει από την κατάσταση με εντροπία S στην κατάσταση με εντροπία S, η εντροπία του είτε αυξάνεται είτε παραμένει αμετάβλητη. Αυτό είναι μία διατύπωση του ου θερμοδυναμικού Νόμου. Η ισότητα ισχύει όταν έχουμε κλειστό σύστημα και αντιστρεπτή μεταβολή, ενώ στις μη αντιστρεπτές μεταβολές η εντροπία αυξάνεται 3

4 Θέμα Να παραχθεί η εξίσωση που δίνει τη μεταβολή της εντροπίας ds ενός γραμμομορίου ιδανικού αερίου σε αντιστρεπτή διαδικασία σαν συνάρτηση καταστατικών μεγεθών ή και άλλων σταθερών του αερίου. Πως υπολογίζεται η μεταβολή της εντροπίας κατά τη μετάβαση ενός συστήματος από την κατάσταση Α στην κατάσταση Β με μη αντιστρεπτή διαδικασία; Η στοιχειώδης μεταβολή της εντροπίας ds δίνεται από τη σχέση: Χρησιμοποιώντας τον ο θερμοδυναμικό νόμο έχουμε διαδοχικά: ds ds C P C R C R V V Q du W d dv PVR d dv d dv v v v Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη έκφραση θα έχουμε: S S Q V S Cv ln R ln V Αν η διαδικασία από την κατάσταση Α στην κατάσταση Β είναι μη αντιστρεπτή τότε και πάλι υπολογίζεται η εντροπία, διότι είναι καταστατικό μέγεθος και εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική κατάσταση και όχι από το είδος της διαδρομής, έτσι μπορούμε να βρούμε μία αντιστρέψιμη διαδικασία με αρχική κατάσταση την Α και τελική την Β και να 4 υπολογίσουμε τελικά την εντροπία.

5 Θέμα 3 Πως θα υπολογίστε τη μεταβολή της εντροπίας συστήματος που μεταβαίνει από κατάσταση Α σε κατάσταση Β ΜΗ αντιστρεπτά. Η εντροπία είναι καταστατικό μέγεθος, ορίζεται από την σχέση: ds Αν, χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο θα έχουμε διαδοχικά: Q Q du W d dv PVR d dv ds Cv P Cv R V Cvdln Rdln V d Cvln R ln V Το τελευταίο μέλος είναι ένα ολικό διαφορικό και συνεπώς και η απειροστή θερμότητα που προσφέρεται σε ένα σύστημα προς τη θερμοκρασία θα είναι τέλειο διαφορικό, άρα η εντροπία είναι καταστατικό μέγεθος. Συνεπώς θα εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική κατάσταση του αερίου, αυτό, μας επιτρέπει να υπολογίζουμε την μεταβολή της ακόμα και σε μη αντιστρεπτές μεταβολές, θεωρώντας, όμως, αντιστρεπτές διαδικασίες που ξεκινούν από την αρχική κατάσταση και έχουν ως αποτέλεσμα την ίδια τελική κατάσταση. 5

6 Θέμα 4 α) Χαράξτε σε διάγραμμα - S την ισόθερμη, ισόχωρη, ισοβαρή και αδιαβατική διεργασία ιδανικού αερίου που να διέρχονται από το ίδιο σημείο Τ και S. β) Αποδείξτε ποια κλίση είναι πιο απότομη σε αυτό το σημείο μεταξύ της ισόχωρης και της ισοβαρούς διεργασίας και σχολιάστε το αποτέλεσμα. α) ισόχωρη ισοβαρής ισόθερμη αδιαβατική S S 6

7 β) Στο διάγραμμα Τ S η κλίση των καμπυλών θα είναι: S Από τον ορισμό της εντροπίας, όμως, θα έχουμε: ισόχωρη ισοβαρής Q Cd C S ds S C S S Υπό σταθερή πίεση η προηγούμενη σχέση γράφεται: Υπό σταθερό όγκο η σχέση γράφεται: SP S V C P C V ισοβαρής ισοβαρής Όμως C P > C V και επομένως η κλίση της ισόχωρης μεταβολής θα είναι μεγαλύτερη από την κλίση της ισοβαρούς μεταβολής στο διάγραμμα - S 7

8 Θέμα 5 Θεωρείστε δυο αντιστρεπτές διαδικασίες ενός ιδανικού αερίου, μια ισόχωρη και μια ισοβαρή. α) Σχεδιάστε τις δυο διαδικασίες σε διάγραμμα (S,), όπου S η εντροπία και Τ η θερμοκρασία. β) Αποδείξτε, ότι για κάθε Τ ισχύει: S S P V Ίδιο με το προηγούμενο θέμα 8

9 Θέμα 6 (i) Να υπολογιστεί η μεταβολή της εντροπίας ΔS, 4 mole ιδανικού αερίου κατά την αδιαβατική του εκτόνωση στο κενό από αρχικό όγκο V σε V = 4V, δικαιολογώντας πλήρως τη χρήση των τύπων που χρησιμοποιήσατε. (ii) Εξηγείστε μικροσκοπικά το αποτέλεσμά σας, δηλαδή το αν η εντροπία αυξάνεται, μειώνεται ή παραμένει σταθερή. i) Η μεταβολή του ιδανικού αερίου είναι αδιαβατική εκτόνωση. (Q = 0). Η εσωτερική ενέργεια του συστήματος δεν αλλάζει γιατί δεν υπάρχει παραγωγή έργου και συνεπώς η θερμοκρασία θα παραμείνει σταθερή, άρα η τελική θερμοκρασία θα είναι ίδια με την αρχική. Στην αδιαβατική εκτόνωση η μεταβολή της εντροπίας είναι μη μηδενική. Χρησιμοποιώντας τον ο θερμοδυναμικό νόμο από τον ορισμό της εντροπίας έχουμε διαδοχικά: ds Q du 0 P R V W dv PVR dv Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη έκφραση από όγκο V έως 4V θα έχουμε: S S 4V J J S R ln 4R ln ln V K K 9

10 ii) Αν και η διαδικασία είναι αδιαβατική και περιμέναμε η μεταβολή της εντροπίας να είναι μηδενική, σε αυτή την περίπτωση, όπου έχουμε αδιαβατική εκτόνωση έχουμε αύξηση της εντροπίας και αυτό εξηγείται και μικροσκοπικά. S S S Αύξηση Εντροπίας Ελεύθερη αδιαβατική εκτόνωση στο κενό Υπάρχει αύξηση της εντροπίας γιατί μικροσκοπικά αυξάνουν οι δυνατές χωρικές θέσεις που μπορούν να καταληφθούν από τον συγκεκριμένο αριθμό σωματιδίων. Αυτό θα έχει ως συνέπεια αύξηση των δυνατών μικροκαταστάσεων που υλοποιούν μία μακροκατάσταση. Κατά συνέπεια από τον στατιστικό ορισμό της εντροπίας αυτό σημαίνει και αύξηση της. 0

11 Θέμα 7 Μάζα m υλικού ειδικής θερμοχωρητικότητας C P και θερμοκρασίας Τ, έρχεται σε θερμική επαφή με μάζα m υλικού ειδικής θερμοχωρητικότητας C P και θερμοκρασίας Τ < Τ. Αν η πίεση διατηρείται σταθερή: α) Ποια είναι η τελική θερμοκρασία που θα αποκτήσουν οι δύο μάζες; β) Ποια είναι η μεταβολή της εντροπίας του συστήματος; Αν φέρουμε δύο σώματα και σε επαφή, γνωρίζουμε ότι η θερμότητα θα μεταδοθεί από το θερμό στο ψυχρό μέχρις ότου η θερμοκρασίες εξισωθούν. Η διαδικασία αυτή είναι μη αντιστρεπτή. Η εντροπία είναι καταστατικό μέγεθος και εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική κατάσταση του συστήματος. Άρα για τον υπολογισμό της, θα αντικαταστήσουμε την μεταβολή με αντιστρεπτή.

12 Έστω Τ η τελική θερμοκρασία που θα αποκτήσουν τα δύο υλικά, προφανώς θα ισχύει: Τ Τ Τ. Το πρώτο υλικό θα αυξήσει την θερμοκρασία του κατά ΔΤ = Τ Τ, άρα απορρόφησε ποσό θερμότητας: Q m C Q m C P P Το δεύτερο υλικό θα ελαττώσει την θερμοκρασία του κατά ΔΤ = Τ Τ, άρα έχασε ποσό θερμότητας: Q m C Q m C P P Η συνολική, όμως, θερμότητα θα είναι ίση κατά απόλυτες τιμές, εφόσον τα δύο αυτά υλικά θεωρηθούν απομονωμένα, άρα θα πρέπει: Q Q m C m C P P m C m C m C m C P P P P m C m C P P m C m C P P

13 Η μη αντιστρεπτή διαδικασία είναι: Τ Τ Τ Η αντιστρεπτή διαδικασία είναι: Τ Ισοβαρής θέρμανση Τ Τ Ισοβαρής ψύξη Τ Τ Η αρχική και η τελική κατάσταση είναι η ίδια. 3

14 Από τον ορισμός της θερμοχωρητικότητας θα έχουμε: d d Q mcp d ds mcp d ds m CP S mc P Άρα, η μεταβολή της εντροπίας για το σώμα θα είναι: Ενώ, η μεταβολή της εντροπίας για το σώμα θα είναι: Η συνολική μεταβολή της εντροπίας θα είναι: S mcp ln S mcp ln S S S mcp ln m CP ln Παρατήρηση Να προσέχουμε το είδος τις θερμοχωρητικότητας που μας δίνει, αν είναι ειδική, γραμμομοριακή, κ.λ.π. 4

15 Θέμα 8 Πλήρως μονωμένο δοχείο χωρίζεται με διάφραγμα σε δύο όγκους, στους οποίους περιέχεται από mole ιδανικού αερίου σε θερμοκρασίες Τ και Τ και με την ίδια πίεση P. Αφαιρούμε το διάφραγμα. Μετά την αποκατάσταση της ισορροπίας να υπολογιστούν η θερμοκρασία Τ και η πίεση P του αερίου καθώς και η μεταβολή ΔS της εντροπίας. Διερευνήστε και σχολιάστε το αποτέλεσμά σας για το ΔS. Θεωρείται γνωστό το C P. Αρχικά I V,,P II V,,P Έστω Τ > Τ Αν αφαιρέσουμε το διάφραγμα τα δύο αέρια αναμιγνύονται. Έτσι συνολικά μέσα στο δοχείο όγκου V = V + V θα υπάρχουν ν = ν + ν = moles σε θερμοκρασία Τ και πίεση P. Η ανάμειξη είναι μη αντιστρεπτή μεταβολή επειδή όμως η εντροπία είναι καταστατικό μέγεθος και εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική κατάσταση του αερίου, μας επιτρέπει να υπολογίζουμε την μεταβολή της, θεωρώντας αντιστρεπτές διαδικασίες που ξεκινούν από την αρχική κατάσταση και έχουν ως αποτέλεσμα την ίδια τελική κατάσταση. 5

Μεταβολή η I V,,P Τ > Τ II V,,P Θεωρούμε δύο διαφορετικά δοχεία

θερμοκρασία Τ ενώ το δεύτερο θερμαίνεται ισοβαρώς μέχρι και

Το πρώτο υλικό θα ελαττώσει την θερμοκρασία του κατά ΔΤ = Τ Τ,

θέρμανση Τ I V,,P II V,,P C C C C P P P P Το δεύτερο υλικό θα

θερμότητας: Q C Q C P P Η συνολική, όμως, θερμότητα θα είναι

16 Μεταβολή η I V,,P Τ > Τ II V,,P Θεωρούμε δύο διαφορετικά δοχεία όγκου V και V το πρώτο ψύχεται ισοβαρώς μέχρι να αποκτήσει θερμοκρασία Τ ενώ το δεύτερο θερμαίνεται ισοβαρώς μέχρι και αυτό να αποκτήσει θερμοκρασία Τ. Το πρώτο υλικό θα ελαττώσει την θερμοκρασία του κατά ΔΤ = Τ Τ, άρα έχασε ποσό θερμότητας: Q C Q C P P ισοβαρής ψύξη Τ ισοβαρής θέρμανση Τ I V,,P II V,,P C C C C P P P P Το δεύτερο υλικό θα αυξήσει την θερμοκρασία του κατά ΔΤ = Τ Τ, άρα έχασε ποσό θερμότητας: Q C Q C P P Η συνολική, όμως, θερμότητα θα είναι ίση κατά απόλυτες τιμές, εφόσον το σύστημα θεωρηθεί απομονωμένο, άρα θα πρέπει: Q Q C C P P C C P P C P C P 6

17 Από τον ορισμός της θερμοχωρητικότητας θα έχουμε: d Q C d ds C d ds C S C P P P P Η μεταβολή της για το ο αέριο θα είναι: Η μεταβολή της για το ο αέριο θα είναι: Παρατήρηση S CP ln S CP ln SI S S CP ln C P ln R P V R V PV R V V V V R P V R V P A d P V V V' V' V V 7

18 Μεταβολή η Το αέριο που βρίσκεται στον διαμέρισμα όγκου V εκτελεί ισόθερμη μεταβολή από την κατάσταση (P,V,) στην κατάσταση (P, V + V,), όπου P είναι η τελική πίεση του μίγματος. Χρησιμοποιώντας τον ο θερμοδυναμικό νόμο από τον ορισμό της εντροπίας έχουμε διαδοχικά για το ο αέριο: ds Q du P R V W dv PVR dv Ολοκληρώνοντας την προηγούμενη έκφραση από όγκο V έως V + V θα έχουμε: Μεταβολή 3 η V V S' R ln V' Το αέριο που βρίσκεται στον διαμέρισμα όγκου V εκτελεί ισόθερμη μεταβολή από την κατάσταση (P,V,) στην κατάσταση (P, V + V,), άρα V V S' R ln V' 8

19 Η συνολική μεταβολή της εντροπίας για την διαδικασία αυτή θα είναι: V V V V SII S' S' R ln R ln V' V' Όμως ισχύει: V V V V SII S' S' Rln Η συνολική μεταβολή της εντροπίας για την όλη διαδικασία θα είναι: Στο τελικό μίγμα έχουμε: S SI SII CP ln C P ln R ln R R C C P V V R P P V V V V C C P P P P 9

Σχετικά έγγραφα

2 ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ - ΕNTΡΟΠΙΑ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ - ΕNTΡΟΠΙΑ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ος ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ - ΕNΡΟΠΙΑ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα. O ος Θερμοδυναμικός Νόμος. Η Εντροπία 3. Εντροπία και αταξία 4. Υπολογισμός Εντροπίας