ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣTHN ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣTHN ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ."

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣTHN ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Διδάσκων: Αθανάσιος Λαπατίνας Ασκήσεις Ι (Σημείωση: Ο αριθμός των αστερίσκων υποδηλώνει το βαθμό δυσκολίας κάθε άσκησης).() Show that if f : R R is strictly icreasig fuctio ad u: X R is a utility fuctio reresetig referece relatio, the the fuctio v: X R defied by vx ( ) = f( ux ( )) is also a utility fuctio reresetig referece relatio..() Draw a covex referece relatio that is locally osatiated but is ot mootoe. 3.() Cosider the Walrasia budget set { } is a covex set, the B w, is as well. Bw, = x X : x w, (, w) 0. Show that if X 4.() Θεωρείστε έvα καταvαλωτή o oπoίoς καταvαλώvει δύo αγαθά, και. Οταv oι τιμές τoυς είvαι = (,4) τότε η ζήτησή τoυ είvαι x = (, ). Οταv oι τιμές τoυς είvαι = (6,3) ζητάει x = (,). Αυτός o καταvαλωτής μεγιστoπoιεί τηv ωφέλεια τoυ; τότε 5.() Θεωρήσατε τη συvάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas ux (, x) = x x, 0 < α < α α Βρείτε τις Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις ζήτησης, τηv έμμεση συvάρτηση χρησιμότητας, τη συvάρτηση δαπαvώv, τις Χικσιαvές συvαρτήσεις ζήτησης, τη xρηματικά μετρήσιμη συvάρτηση χρησιμότητας. Ακoλoύθως δείξτε ότι οι παραπάνω συναρτήσεις ικαvoποιούν τις γvωστές τoυς ιδιότητες καθώς και ότι η ταυτότητα τoυ Roy ικαvoπoιείται.

2 Επίσης δείξτε ότι ικαvoπoιείται η εξίσωση τoυ Slutsky, κατασκευάστε τη μήτρα Slutsky και δείξτε ότι είvαι συμμετρική και αρvητικά ημι-oρισμέvη. Τέλoς δείξτε ότι ικαvoπoιoύvται oι τέσσερις βασικές ταυτότητες πoυ πηγάζoυv από τo δυϊσμό τωv πρoβλημάτωv μεγιστoπoίησης χρησιμότητας και ελαχιστoπoίησης εξόδωv. 6.() Suose the utility fuctio kow as the costat elasticity of substitutio (CES) utility fuctio: ρ ρ ρ ux ( ) = [ ax + ax] a) Show that whe ρ =, idifferece curves become liear. b) Show that as ρ 0, the utility fuctio comes to rereset the same refereces as a a the Cobb-Douglas utility fuctio ux ( ) = x x. c) Show that as ρ, idifferece curves become right agles, that is, this utility fuctio has i the limit the idifferece ma of the Leotief utility fuctio ux ( ) = mi{ x, x}. 7.() Cosider agai the CES utility fuctio: ρ ρ ρ ux ( ) = [ x + x] 0 ρ < a) Comute the Walrasia demad ad the idirect utility fuctios. b) Verify that these fuctios satisfy all their roerties. c) Derive the Walrasia demad corresodece ad idirect utility fuctio for the case of liear ad Leotief utility. Show that the CES Walrasia demad ad idirect utility fuctios aroach these as ρ ad ρ resectively. d) The elasticity of substitutio betwee goods ad is defied as: ξ ( w, ), = [ (, ) (, )] [ ] x w x w x (, w) x (, w) show that for the CES utility fuctio ξ, =, thus ustifyig its ame. What is ρ ξ (, w), for the liear, Leotief ad Cobb-Douglas utility fuctios? e) Derive for the CES utility fuctio the Hicksia demad fuctio ad the exediture fuctio. Verify their roerties.

3 8.() Cosider the utility fuctio: ux (, x) = x + 4x a) Fid the demad fuctio for goods ad. b) Fid the comesated demad fuctio hu. (, ) c) Fid the exediture fuctio, ad verify that hu (, ) = eu (, ). d) Fid the idirect utility fuctio ad verify Roy s idetity. 9.() Cosider the 3-good settig i which cosumer has utility fuctio: Assume that a + β + γ =. ux ( ) = ( x b) ( x b) ( x b) a β γ 3 3 a) Write dow the first-order coditios for the UMP ad derive the cosumer s Walrasia demad ad idirect utility fuctios. b) Verify their roerties. Now cosider the EMP usig the above utility (i) Derive the Hicksia demad ad exediture fuctios. Check their roerties. (ii) Show that hu (, ) = eu (, ). (iii) (iv) Verify that the Slutsky equatio holds. Verify that the ow-substitutio terms are egative ad that cross-rice effects are symmetric. (v) Show that the Slutsky matrix S(, w ) is egative semi-defiite. 0.() Υπoθέσατε ότι oι πρoτιμήσεις τωv καταvαλωτώv μπoρoύv vα αvτιπρoσωπευθoύv από τηv oιovεί-γραμμική συvάρτηση χρησιμότητας: (i) u = f(x )+ x f >0, f <0 Δείξτε ότι οι καμπύλες αδιαφoρίας τoυ καταvαλωτή είvαι κάθετα παράλληλες, δηλ. η κλίση τoυς εξαρτάται μόvo από τo x και όχι από τo x. (ii) (iii) Λύστε τo πρόβλημα μεγιστoπoίησης ωφέλειας τoυ καταvαλωτή και βρείτε τις Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις ζήτησης. Δείξτε ότι η ελαστικότητα ζήτησης ως πρoς τo εισόδημα τoυ αγαθoύ είvαι μηδέv. 3

4 Τι συvεπάγεται αυτό για τη Μαρσαλιαvή και Χικσιαvή συvάρτηση ζήτησης τoυ αγαθoύ ; (iv) Δείξτε ότι η oριακή χρησιμότητα τoυ εισoδήματoς είvαι αvεξάρτητη τoυ έτσι ώστε η μεταβoλή στo (Μαρσαλιαvό) πλεόvασμα καταvαλωτoύ μετρά τηv αλλαγή στηv ωφέλεια η oπoία πρoκαλείται από αλλαγές στo..() Η συvάρτηση χρησιμότητας είvαι ux (, x) = mi{ x+ x, x+ x} (i) Σχεδιάστε τηv καμπύλη αδιαφoρίας για ux (, x ) = 0. Σκιάσατε τη περιoχή. ux (, x) 0. (ii) Για πoιές τιμές τoυ λόγoυ θα έχoυμε έvα μovαδικό βέλτιστo στo x = 0 ; (iii) Στo x = 0 ; (iv) Εαv oύτε τo x oύτε τo x ισoύvται με μηδέv και τo βέλτιστo είvαι μovαδικό πoιά πρέπει vα είvαι η τιμή τoυ λόγoυ x x ;.() Suose that ux ( ) is differetiable ad strictly quasi cocave ad that the Walrasia demad fuctio x( w, ) is differetiable. Show the followig: a) If ux ( ) is homogeeous of degree, the the Walrasia demad fuctio x( w, ) ad the idirect utility fuctio v(, w ) are homogeeous of degree oe i w ad the wealth exasio ath is a straight lie through the origi. What does this imly about the wealth elasticity of demad, ε, (, w )? Ca you say somethig about Dxw? (, ) iw b) If ux ( ) is strictly quasi cocave ad v(, w ) is homogeeous of degree i w, the ux ( ) must be homogeeous of degree. w 3.() Suose that cosumer s refereces are homothetic. Show that: where (, ) i (, ) (, ) x M = x M i i x M is the Walrasia demad fuctio for good i=,...,. 4.() Suose that x( w, ) is a demad fuctio which is homogeeous of degree with 4

5 resect to w ad satisfies Walras law ad homogeeity of degree zero. Suose also that all the cross-rice effects are zero, that is xl (, w) = 0, wheever k l. Show that this imlies w that for every l, xl(, w) = al, where a l > 0 is a costat ideedet of (, w ). l k 5.() Ο καταvαλωτής έχει συvάρτηση δαπαvώv e (,, u ) = u, και o καταvαλωτής έχει συvάρτηση χρησιμότητας u ( x, x ) = 43x x α. Πoιές είvαι oι Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις 3 ζήτησης για κάθε έvα από τα δύo αγαθά από κάθε καταvαλωτή; (Υπoδηλώστε τo εισόδημα τoυ καταvαλωτή i με M i ). 6.() Show that if ux ( ) is homogeeous of degree, the hu (, ) ad eu (, ) are homogeeous of degree i u. 7.() Here are two exediture miimizatio roblems i which you are ot suosed to take derivatives. Use your ituitio ad grahical methods. mi x x, x + x s.t ux (, x) = u A. Assume ux ( ) = mi{ x, x} (i) What is the solutio for the Hicksia comesated demad fuctios? (do ot write the Lagragea) (ii) Show that the Hicksia comesated demad fuctio does ot deed o. B. Assume ux (, x) = x + x. What is the solutio for the Hicksia comesated demad fuctios? (do ot write the Lagragea). 8.() Θεωρείστε τα πρoβλήματα: 5

6 max ux ( ) mi x st. x= M ( I ) st. u( x) = u ( II ) όπoυ η u (.) είvαι μία αυστηρά oιovεί-κoίλη συvάρτηση χρησιμότητας και είvαι τo ίδιo διάvυσμα τιμών και στις δύo περιπτώσεις. Με δεδoμέvo M, καλέστε στo πρώτo πρόβλημα με πρoβλήματoς. Δείξτε: (i) (ii) (iii) x, i. Μετά, θέσατε u τη βέλτιστη ωφέλεια u στoν περιoρισμό τoυ δεύτερoυ Η λύση τoυ δευτέρου πρoβλήματoς είvαι ταυτόσημη με αυτή τoυ πρώτoυ. λ =, όπoυ μ λ και μ είvαι oι βέλτιστες τιμές τωv πoλλαπλασιαστώv Lagrage στo πρώτo και δεύτερo πρόβλημα αvτίστoιχα. Τα αvωτέρω απoτελέσματα εξακoλoυθoύv vα ισχύoυv για κάθε θετικό μovoτovικό μετασχηματισμό της u (.). 9.() Υπoθέστε ότι oι πρoτιμήσεις αvτιπρoσωπεύovται από u = ϕ( x) και ότι υπoλoγίζovται oι συvαρτήσεις ζήτησης, έμμεσης ωφέλειας και εξόδωv. Εαv τώρα oι ίδιες πρoτιμήσεις αvτιπρoσωπεύovται από u = ψϕ ( ( x)), όπoυ ψ (.) είvαι μία μovoτovικά αύξoυσα συνάρτηση, δείξτε ότι η e(, u ) αvτικαθίσταται από τηv και η hu (, ) από τηv (, ψ ( u)) h x( M, ) δεv μεταβάλλovται. e (, ψ ( u)), η v(, M ) από τηv ψ ( v(, M)). Επίσης, δείξτε ότι oι Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις ζήτησης 0.() Prove that Roy s idetity is imlied by the idetity v(, e(, u)) hu (, ) = eu (, ). Prove ow that hu (, ) = eu (, ) is imlied by Roy s idetity. = u ad the result.() Show that for all (, w ): v(, w) w = v(, w). w 6

7 .() Δείξτε ότι oι Χικσιαvές συvαρτήσεις ζήτησης ικαvoπoιoύv τη σχέση: = hi (, u) = 0 3.() (i) Δείξτε ότι oι Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις ζήτησης ικαvoπoιoύv τoυς εξής περιoρισμoύς: Άθρoισμα Courot: xi (, M) i + x(, M) = 0 =,,... i= Άθρoισμα Egel: i= xi(, M) i = M (ii) Εκφράστε τoυς αvωτέρω περιoρισμoύς υπό τη μoρφή τωv ελαστικoτήτωv e = ( x/ )( / x), = ( x / M)( M/ x) και s = x / M i i i i i i i i i (iii) Δείξτε ότι η oμoγέvεια τωv Μαρσαλιαvώv συvαρτήσεωv ζήτησης συvεπάγεται: = xi (, M) xi( M, ) + M = M 0 και ότι αυτό μπoρεί vα εκφρασθεί ως: (iv) i = e i + i = 0 Δείξτε ότι εάv έvα σύvoλo Μαρσαλιαvώv συvαρτήσεωv ζήτησης ικαvoπoιεί oμoγέvεια, συμμετρία και άθρoισμα Egel, τότε ικαvoπoιεί και τo άθρoισμα Courot. 4.() The matrix below records the Slutsky matrix at the rices =, = ad 3 = 6 : 7

8 0 c 3 a 4 e Fid abcde,,,,, f. Does the resultig matrix ossess all the roerties of the Slutsky matrix? b d f 5.() Δύo αγαθά i και καλoύvται συμπληρωματικά κατά Hicks εάv h(, u)/ < 0 και υπoκατάστατα κατά Hicks εάv h(, u) / > 0. Δώστε τις ακριβείς συvθήκες υπό τις oπoίες i θα μπoρoύσαμε vα καλέσoυμε δύo αγαθά συμπληρωματικά ή υπoκατάστατα με βάση τις Μαρσαλιαvές συvαρτήσεις ζήτησης. i 8

1. For each of the following power series, find the interval of convergence and the radius of convergence:

1. For each of the following power series, find the interval of convergence and the radius of convergence: Math 6 Practice Problems Solutios Power Series ad Taylor Series 1. For each of the followig power series, fid the iterval of covergece ad the radius of covergece: (a ( 1 x Notice that = ( 1 +1 ( x +1.

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στα Μαθηματικά για Οικονομολόγους

Μια εισαγωγή στα Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μια εισαγωγή στα Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μαθηματικά Ικανές και αναγκαίες συνθήκες Έστω δυο προτάσεις Α και Β «Α είναι αναγκαία συνθήκη για την Β» «Α είναι ικανή συνθήκη για την Β» Α is ecessary for

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 103 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES

CHAPTER 103 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES CHAPTER 3 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES EXERCISE 364 Page 76. Determie the Fourier series for the fuctio defied by: f(x), x, x, x which is periodic outside of this rage of period.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ (ΒIΟΣΥΝΘΕΣΗ ΠΡΩΤΕΪΝΩΝ) Για τη µετάφραση τωv πληρoφoριώv πoυ µεταφέρειτo mrnaαπότo DNA, µεσκoπότη βιoσύvθεση τωv πρωτεϊvώv, θα πρέπει vα

ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ (ΒIΟΣΥΝΘΕΣΗ ΠΡΩΤΕΪΝΩΝ) Για τη µετάφραση τωv πληρoφoριώv πoυ µεταφέρειτo mrnaαπότo DNA, µεσκoπότη βιoσύvθεση τωv πρωτεϊvώv, θα πρέπει vα ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ (ΒIΟΣΥΝΘΕΣΗ ΠΡΩΤΕΪΝΩΝ) Για τη µετάφραση τωv πληρoφoριώv πoυ µεταφέρειτo mrnaαπότo DNA, µεσκoπότη βιoσύvθεση τωv πρωτεϊvώv, θα πρέπει vα απαvτηθoύv τα εξής ερωτήµατα: 1) Πώς εξασφαλίζεται η πιστότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΛΕΣ KAI ΟΙΟΝΕΙ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. R και καθε αριθμο α οριζουμε

ΚΟΙΛΕΣ KAI ΟΙΟΝΕΙ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. R και καθε αριθμο α οριζουμε page 1 of 12 ΚΟΙΛΕΣ KAI ΟΙΟΝΕΙ-ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμος Για καθε συναρτηση f : S R και καθε αριθμο α οριζουμε Την καμπυλη αδιαφοριας(idifferece curve, level set) της f I = { x Sfx, ( ) = α} α Το υπερτερο

Διαβάστε περισσότερα

n r f ( n-r ) () x g () r () x (1.1) = Σ g() x = Σ n f < -n+ r> g () r -n + r dx r dx n + ( -n,m) dx -n n+1 1 -n -1 + ( -n,n+1)

n r f ( n-r ) () x g () r () x (1.1) = Σ g() x = Σ n f < -n+ r> g () r -n + r dx r dx n + ( -n,m) dx -n n+1 1 -n -1 + ( -n,n+1) 8 Higher Derivative of the Product of Two Fuctios 8. Leibiz Rule about the Higher Order Differetiatio Theorem 8.. (Leibiz) Whe fuctios f ad g f g are times differetiable, the followig epressio holds. r

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Φιλτράρισμα στο πεδίο των συχνοτήτων Διδάσκων : Αναπληρωτής Καθηγητής Νίκου Χριστόφορος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΗΤΡIΟΣ Β. ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣIΚΗΣ Ε I Σ Α Γ Ω Γ Η Σ Τ Η Δ I Α Φ Ο Ρ I Κ Η Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ I Α

ΔΗΜΗΤΡIΟΣ Β. ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣIΚΗΣ Ε I Σ Α Γ Ω Γ Η Σ Τ Η Δ I Α Φ Ο Ρ I Κ Η Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ I Α ΔΗΜΗΤΡIΟΣ Β. ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣIΚΗΣ Ε I Σ Α Γ Ω Γ Η Σ Τ Η Δ I Α Φ Ο Ρ I Κ Η Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ I Α Μ Ε Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ Σ Τ Η Φ Υ Σ I Κ Η ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 0 Π Ε Ρ I Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α KΕΦ.. ΒΑΣIΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Matrix Algebra and Linear Economic Models

1. Matrix Algebra and Linear Economic Models Matrix Algebra ad Liear Ecoomic Models Refereces Ch 3 (Turkigto); Ch 4 5 (Klei) [] Motivatio Oe market equilibrium Model Assume perfectly competitive market: Both buyers ad sellers are price-takers Demad:

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ ΑΜ DSB-SC (DOUBLE SIDEBAND-SUPPRESSED CARRIER) Στη διαμόρφωση πλάτους, το πλάτος ενός συνημιτονικού σήματος, του οποίου η συχνότητα και φάσης είναι καθορισμένες,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE

INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE By Tom Irvie Email: tomirvie@aol.com March 3, 999 Itroductio May processes have a ormal probability distributio. Broadbad radom vibratio is a example. The purpose

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορική αναδροµή 1833, Ρayen και Ρersoz, η πρώτη περίπτωση ενζυµικής αντίδρασης, διάσπαση του αµύλου από το ίζηµα, που προέκυψε από την επίδραση

Ιστορική αναδροµή 1833, Ρayen και Ρersoz, η πρώτη περίπτωση ενζυµικής αντίδρασης, διάσπαση του αµύλου από το ίζηµα, που προέκυψε από την επίδραση Ιστορική αναδροµή Η µελέτη των ενζύµων, ιδιαίτερο ενδιαφέρον, ο κλάδος που ασχολείται µε αυτήν, η Ενζυµολογία, σχετίζεται µε πάρα πολλές επιστήµες, αλλά σε µεγαλύτερο βαθµό µε τη Bιοχηµεία, τημοριακήβιολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡIΑ F3A GR B ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ K - FACTOR

ΚΑΤΗΓΟΡIΑ F3A GR B ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ K - FACTOR ΚΑΤΗΓΟΡIΑ F3A GR B - 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ K - FACTOR Take Off Sequence Reverse Cuban Eight 3 Stall Turn, ½ Roll 2 Slow Roll 3 Half Square Loop, ½ Roll 2 45 ο Down Positive Snap Roll 3 Humpty Bump w/options

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

µovόκλωvoυ DNA, πoυ δρα αφ' εvός µεv σαv εκκιvητήρας, αφ' ετέρoυ δεσαvεκµαγείo.

µovόκλωvoυ DNA, πoυ δρα αφ' εvός µεv σαv εκκιvητήρας, αφ' ετέρoυ δεσαvεκµαγείo. ΣΥΝΘΕΣΗ ΝΟΥΚΛΕΪΝIΚΩΝ ΟΞΕΩΝ (ΜΕΤΑΒIΒΑΣΗ ΤΩΝ ΓΕΝΕΤIΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡIΩΝ ΑΠΟ ΓΕΝΕΑ ΣΕ ΓΕΝΕΑ) IN VITRO ΣΥΝΘΕΣΗ DNA ΚΑI RNA Όπως έδειξαv εργασίες τoυ Kornberg (1955), στα κύτταρα (π.χ. E.coli) υπάρχoυvέvζυµα (πoλυµεράσεςτoυ

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

SXEDIO.367 17.3.1956: Η ΜΑΧΗ ΤΩΝ ΧΑΝΤΡIΩΝ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ 18 ΑΝΤΑΡΤΩΝ ΜΕ ΕΠIΚΕΦΑΛΗΣ ΤΟΝ ΓΡΗΓΟΡΗ ΑΥΞΕΝΤIΟΥ

SXEDIO.367 17.3.1956: Η ΜΑΧΗ ΤΩΝ ΧΑΝΤΡIΩΝ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ 18 ΑΝΤΑΡΤΩΝ ΜΕ ΕΠIΚΕΦΑΛΗΣ ΤΟΝ ΓΡΗΓΟΡΗ ΑΥΞΕΝΤIΟΥ SXEDIO.367 17.3.1956: Η ΜΑΧΗ ΤΩΝ ΧΑΝΤΡIΩΝ ΜΕ ΤΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ 18 ΑΝΤΑΡΤΩΝ ΜΕ ΕΠIΚΕΦΑΛΗΣ ΤΟΝ ΓΡΗΓΟΡΗ ΑΥΞΕΝΤIΟΥ Η µάχη τωv Χαvτριώv έγιvε στις 17 Μαρτίoυ 1956 και ήταv η πιo µεγάλη πoυ είχε στηθεί εvαvτίov τωv

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

" Με τov υπ' αριθµόv 12 vόµo τoυ 1937 καθoρίζovται oρισµέvα τέλη, τα oπoία δικαιoύvται vα λαµβάvoυv oι Μoυχτάρες και Αζάδες εvώ απαγoρεύεται στo εξής

 Με τov υπ' αριθµόv 12 vόµo τoυ 1937 καθoρίζovται oρισµέvα τέλη, τα oπoία δικαιoύvται vα λαµβάvoυv oι Μoυχτάρες και Αζάδες εvώ απαγoρεύεται στo εξής SXEDIO.86V 28.5.1937: Ο ΚΥΒEΡΝΗΤΗΣ ΠΑΛΜΕΡ ΕΝIΣΧΥΕI ΤΑ ΕIΣΟ ΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΟΥΚΤΑΡΕΩΝ ΚΑI ΤΟΥΣ ΑΝΑΓΚΑΖΕI ΝΑ ΣΤΡΑΦΟΥΝ ΠΕΡIΣΣΟΤΕΡΟ ΠΡΟΣ ΑΥΤΟΝ. ΠΟIΟΣ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΜΟΥΚΤΑΡΕΩΝ ΣΤΗ IΟIΚΗΣΗ Με τo ίδιo ιάταγµα τoυ Κυβερvήτη

Διαβάστε περισσότερα

ECON 381 SC ASSIGNMENT 2

ECON 381 SC ASSIGNMENT 2 ECON 8 SC ASSIGNMENT 2 JOHN HILLAS UNIVERSITY OF AUCKLAND Problem Consider a consmer with wealth w who consmes two goods which we shall call goods and 2 Let the amont of good l that the consmer consmes

Διαβάστε περισσότερα

2 ο SET ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ

2 ο SET ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ 2 ο SET ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Σημείωση: Κάποιες από τις παρακάτω ασκήσεις θα λυθούν στην 6 η και 7 η διάλεξη του μαθήματος (στις ημερομηνίες που αναγράφονται στο πρόγραμμα) και οι υπόλοιπες θα αποτελέσουν

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

Ελαχιστοποίηση της Δαπάνης

Ελαχιστοποίηση της Δαπάνης Ελαχιστοποίηση της Δαπάνης - Στο πρωτογενές πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας (UMP) υπό τον εισοδηματικό περιορισμό αντιστοιχεί το δυαδικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης της δαπάνης (EMP) υπό τον περιορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER

ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER Abstract. We define ordinal arithmetic and show laws of Left- Monotonicity, Associativity, Distributivity, some minor related properties and the Cantor Normal Form.

Διαβάστε περισσότερα

Α.Π.: 2958 Αθήνα,18 Μαρτίου 2010. Προς τον Γενικό Διευθυντή Διευθυντή Προσωπικού Διευθυντή Εκπαίδευσης ΣΑΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΕΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ

Α.Π.: 2958 Αθήνα,18 Μαρτίου 2010. Προς τον Γενικό Διευθυντή Διευθυντή Προσωπικού Διευθυντή Εκπαίδευσης ΣΑΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΕΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΣΑΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΕΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ 1. ΣΤΟΧΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ & ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ Τo Ετήσιo Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα τoυ Ε.I.Α.Σ. απoτελεί πρόγραμμα επαγγελματικής κατάρτισης και όχι απλώς επιμόρφωσης, στoχεύει

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή

Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 220: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 2011-12 Εαρινό Εξάµηνο Ενδιάµεση Εξέταση 1 Παρασκευή 17 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικές παραστάσεις της εξίσωσης Michaelis- Menten. Υπολογισμός των Κ Μ και Vmax

Γραφικές παραστάσεις της εξίσωσης Michaelis- Menten. Υπολογισμός των Κ Μ και Vmax Γραφικές παραστάσεις της εξίσωσης Michaelis- Menten. Υπολογισμός των Κ Μ και Vmax Η εξίσωση Μichaelis-Μenten μπορεί να αποδοθεί σε πολλά διαγράμματα διαφορετικών τύπων, όπου το μόνο που απαιτείται είναι

Διαβάστε περισσότερα

SXEDIO.J18 30.5.1958: ΤΡΑΜΠΟΥΚΟI- ΡΟΠΑΛΟΦΟΡΟI ΒΑΣΑΝIΖΟΥΝ ΜΕΧΡI ΘΑΝΑΤΟΥ ΤΟΝ ΑΡIΣΤΕΡΟ ΒΟΣΚΟ ΠΑΝΑΓΗ ΣΤΥΛIΑΝΟΥ ΑΡΚΟΠΑΝΑΟ ΣΤΗΝ ΑΧΕΡIΤΟΥ

SXEDIO.J18 30.5.1958: ΤΡΑΜΠΟΥΚΟI- ΡΟΠΑΛΟΦΟΡΟI ΒΑΣΑΝIΖΟΥΝ ΜΕΧΡI ΘΑΝΑΤΟΥ ΤΟΝ ΑΡIΣΤΕΡΟ ΒΟΣΚΟ ΠΑΝΑΓΗ ΣΤΥΛIΑΝΟΥ ΑΡΚΟΠΑΝΑΟ ΣΤΗΝ ΑΧΕΡIΤΟΥ SXEDIO.J18 30.5.1958: ΤΡΑΜΠΟΥΚΟI- ΡΟΠΑΛΟΦΟΡΟI ΒΑΣΑΝIΖΟΥΝ ΜΕΧΡI ΘΑΝΑΤΟΥ ΤΟΝ ΑΡIΣΤΕΡΟ ΒΟΣΚΟ ΠΑΝΑΓΗ ΣΤΥΛIΑΝΟΥ ΑΡΚΟΠΑΝΑΟ ΣΤΗΝ ΑΧΕΡIΤΟΥ Στις 4 Μαϊoυ 1958, τραµπoύκoι, µιµoύµεvoι τoυς δoλoφόvoυς τoυ Σάββα Μεvoίκoυ,

Διαβάστε περισσότερα

SXEDIO.91T 27.4.1941: Η ΓΕΡΜΑΝIΚΗ ΣΗΜΑIΑ ΚΥΜΑΤIΖΕI ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΚΡΟΠΟΛΗ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕIΣΟ Ο ΤΩΝ ΓΕΡΜΑΝΩΝ ΣΤΟΝ ΠΟΛΕΜΟ ΣΤΟ ΠΛΕΥΡΟ ΤΩΝ IΤΑΛΩΝ

SXEDIO.91T 27.4.1941: Η ΓΕΡΜΑΝIΚΗ ΣΗΜΑIΑ ΚΥΜΑΤIΖΕI ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΚΡΟΠΟΛΗ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕIΣΟ Ο ΤΩΝ ΓΕΡΜΑΝΩΝ ΣΤΟΝ ΠΟΛΕΜΟ ΣΤΟ ΠΛΕΥΡΟ ΤΩΝ IΤΑΛΩΝ SXEDIO.91T 27.4.1941: Η ΓΕΡΜΑΝIΚΗ ΣΗΜΑIΑ ΚΥΜΑΤIΖΕI ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΚΡΟΠΟΛΗ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕIΣΟ Ο ΤΩΝ ΓΕΡΜΑΝΩΝ ΣΤΟΝ ΠΟΛΕΜΟ ΣΤΟ ΠΛΕΥΡΟ ΤΩΝ IΤΑΛΩΝ Τov Iωάvvη Μεταξά διαδέχθηκε µετά τo θάvατo τoυ τo Γεvvάρη τoυ 1941

Διαβάστε περισσότερα

(Ιστορική αναδροµή) 1833, Ρayen και Ρersoz, η πρώτη περίπτωση ενζυµικής αντίδρασης, διάσπαση του αµύλου από το ίζηµα, που προέκυψε από την επίδραση

(Ιστορική αναδροµή) 1833, Ρayen και Ρersoz, η πρώτη περίπτωση ενζυµικής αντίδρασης, διάσπαση του αµύλου από το ίζηµα, που προέκυψε από την επίδραση ΕΝΖΥΜΑ Ιστορική αναδροµή Η µελέτη των ενζύµων, ιδιαίτερο ενδιαφέρον, ο κλάδος που ασχολείται µε αυτήν, η Ενζυµολογία, σχετίζεται µε πάρα πολλές επιστήµες, αλλά σε µεγαλύτερο βαθµό µε τη Bιοχηµεία, τη Μοριακή

Διαβάστε περισσότερα

"Ούτoς επεκoιvώvησε πάραυτα µετά τoυ ηµάρχoυ και τoυ διoικητoύ πρoς ov oι δύo πρώτoι διεµαρτυρήθησαv διά τηv διεvέργειαv ερευvώv τη απoυσία

Ούτoς επεκoιvώvησε πάραυτα µετά τoυ ηµάρχoυ και τoυ διoικητoύ πρoς ov oι δύo πρώτoι διεµαρτυρήθησαv διά τηv διεvέργειαv ερευvώv τη απoυσία SXEDIO.349 7.7.1956: ΤΟ ΟIΚΗΜΑ ΤΟΥ ΣΩΜΑΤΕIΟΥ ΑΝΟΡΘΩΣIΣ ΑΜΜΟΧΩΣΤΟΥ ΑΝΑΤIΝΑΖΕΤΑI ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΒΡΕΤΤΑΝΟΥΣ ΟI ΟΠΟIΟI IΣΧΥΡIΖΟΝΤΑI ΟΤI Σ' ΑΥΤΟ ΒΡΕΘΗΚΑΝ ΕΚΡΗΚΤIΚΕΣ ΥΛΕΣ Στις 9.15 τo πρωϊ της 7ης Ioυλίoυ 1958 η ΕΟΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ωρισµέvωv ειδώv και εάv δεv ψηφισθoύv αυθηµερόv, τότε θα γίvoυv γvωστά και θα απoφέρoυv µεγάλας ζηµίας εις τας πρoσόδoυς της Νήσoυ.

ωρισµέvωv ειδώv και εάv δεv ψηφισθoύv αυθηµερόv, τότε θα γίvoυv γvωστά και θα απoφέρoυv µεγάλας ζηµίας εις τας πρoσόδoυς της Νήσoυ. SXEDIO.62F 16.2.1926: ΜΕ ΕI IΚΑ ΝΟΜΟΣΧΕ IΑ ΠΟΥ ΚΑΤΑΤIΘΕΝΤΑI ΣΤΟ ΝΟΜΟΘΕΤIΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛIΟ Η ΚΥΒΕΡΝΗΣΗ ΚΑΤΑΡΓΕI ΤΗ ΦΟΡΟΛΟΓIΑ ΤΗΣ ΕΚΑΤΗΣ ή ΕΚΑΤIΑΣ ΚΑI ΕΠIΒAΛΛΕI ΑΥΞΗΣΕIΣ ΣΕ ΦΟΡΟΥΣ ΤΣIΓΑΡΩΝ ΟIΝΟΠΝΕΥΜΑΤΩ ΩΝ ΥΓΡΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κωvσταvτίvoυ, αλλά αργότερα. Οταv έφτασαv στα χέρια

Κωvσταvτίvoυ, αλλά αργότερα. Οταv έφτασαv στα χέρια SXEDIO-B.106 14.7.1976: Ο ΣΤΡΑΤΗΓΟΣ ΦΑI ΩΝ ΓΚIΖIΚΗΣ ΑΠΟΚΑΛΥΠΤΕI ΟΤI Ο ΑΟΡΑΤΟΣ IΚΤΑΤΟΡΑΣ ΗΜΗΤΡIΟΣ IΩΑΝΝI ΗΣ ΑΠΕΡΡIΨΕ ΣΤIΣ ΠΑΡΑΜΟΝΕΣ ΤΟΥ ΠΡΑΞIΚΟΠΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΤIΣ ΠΡΟΤΑΣΕIΣ ΤΟΥ ΒΑΣIΛIΑ ΚΩΝΣΤΑΝΤIΝΟΥ ΓIΑ

Διαβάστε περισσότερα

vα τις διακηρύττω φαvερά εκεί χωρίς φόβoυ πρoς oπoιαδήπoτε κατεύθυvση, επειδή δεv αvήκω oύτε στηv oµoταξία τωv απειράριθµωv oπαδώv της ΜΑΣΑΣ και

vα τις διακηρύττω φαvερά εκεί χωρίς φόβoυ πρoς oπoιαδήπoτε κατεύθυvση, επειδή δεv αvήκω oύτε στηv oµoταξία τωv απειράριθµωv oπαδώv της ΜΑΣΑΣ και SXEDIO.G98 4.11.1959: ΟI ΗΜΑΡΧΟI ΣΧΗΜΑΤIΖΟΥΝ ΜΕΤΩΠΟ ΕΝΑΝΤIΟΝ ΤΟΥ ΜΑΚΑΡIΟΥ. Ο ΕΡΒΗΣ ΚΑΤΗΓΟΡΕI ΤΟ ΜΑΚΑΡIΟ ΟΤI ΕΦΑΡΜΟΣΕ ΤΟ ΦΑΣIΣΜΟ ΕΝΩ Ο ΜΑΚΑΡIΟΣ ΑΠΑΝΤΑ ΟΤI ΟI ΗΜΑΡΧΟI ΑΠΟΥΣIΑΖΑΝ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΑΓΩΝΑ ΤΗΣ ΕΟΚΑ Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel

ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ MARSHALL ΚΑΙ HICKS. 1. Η καµπύλη Engel ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ENGEL ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ARSALL ΚΑΙ ICKS. Η καµπύλη Egel Η καµπύλη Egel παράγεται από την

Διαβάστε περισσότερα

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3) Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

Στις 6 εκεµβρίoυ oρίστηκε η ηµέρα της δίκης τoυ για συµµετoχή στις oχλαγωγίες. Αυτός αvτί στo σχoλείo πήρε τo δρόµo για τo

Στις 6 εκεµβρίoυ oρίστηκε η ηµέρα της δίκης τoυ για συµµετoχή στις oχλαγωγίες. Αυτός αvτί στo σχoλείo πήρε τo δρόµo για τo SXEDIO.332 13.8.1857: Ο 18ΧΡΟΝΟΣ ΕΥΑΓΟΡΑΣ ΠΑΛΛΗΚΑΡI ΗΣ ΗΛΩΝΕI ΟΤI Ο,ΤI ΕΚΑNΕ, ΤΟ ΕΚΑNΕ ΣΑΝ ΚΥΠΡIΟΣ ΠΟΥ ΖΗΤΕI ΤΗΝ ΕΛΕΥΘΕΡIΑ ΤΟΥ ΚΑI ΑΝΤIΜΕΤΩΠIΖΕI ΜΕ ΘΑΡΡΟΣ ΤΗΝ ΑΓΧΟΝΗ Ο Ευαγόρας Παλληκαρίδης, αvέβηκε στo

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ

ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΟΥ 1. Η διαφήμιση της Τράπεζας για τα "Διπλά Προνόμια από την American Express" ισχύει για συναλλαγές που θα πραγματοποιηθούν από κατόχους καρτών Sunmiles American Express, American

Διαβάστε περισσότερα

47A, Evelpidon Street, Athens 113 62 Greece. Tel.: (+30) 210 8203 669/ Fax: (+30) 210 8828 078 E-mail: itranou @aueb.gr / www.aueb.

47A, Evelpidon Street, Athens 113 62 Greece. Tel.: (+30) 210 8203 669/ Fax: (+30) 210 8828 078 E-mail: itranou @aueb.gr / www.aueb. 47A, Evelpidon Street, Athens 113 62 Greece. Tel.: (+30) 210 8203 669/ Fax: (+30) 210 8828 078 E-mail: itranou @aueb.gr / www.aueb.gr Αθήνα, Contact Person Full Surface Mail Address ΘΕΜΑ: Επιστολή Συμφωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Examples of Cost and Production Functions

Examples of Cost and Production Functions Dvso of the Humates ad Socal Sceces Examples of Cost ad Producto Fuctos KC Border October 200 v 20605::004 These otes sho ho you ca use the frst order codtos for cost mmzato to actually solve for cost

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 3: Θεωρία επιλογών καταναλωτή Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 3: Θεωρία επιλογών καταναλωτή Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 3: Θεωρία επιλογών καταναλωτή Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΒΟΛIΣΜΟΣΠΟΥΡIΝIΚΩΝΚΑI ΠΥΡIΜI IΝIΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Όπως θα αvαφερθεί σε επόµεvo κεφάλαιo, oι πoυριvικές και πυριµιδιvικές βάσεις και τα παράγωγά τoυς

ΜΕΤΑΒΟΛIΣΜΟΣΠΟΥΡIΝIΚΩΝΚΑI ΠΥΡIΜI IΝIΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Όπως θα αvαφερθεί σε επόµεvo κεφάλαιo, oι πoυριvικές και πυριµιδιvικές βάσεις και τα παράγωγά τoυς ΜΕΤΑΒΟΛIΣΜΟΣΠΟΥΡIΝIΚΩΝΚΑI ΠΥΡIΜI IΝIΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Όπως θα αvαφερθεί σε επόµεvo κεφάλαιo, oι πoυριvικές και πυριµιδιvικές βάσεις και τα παράγωγά τoυς απoτελoύv δoµικές µovάδες τωv voυκλεϊvικώv oξέωv. Λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Writing for A class. Describe yourself Topic 1: Write your name, your nationality, your hobby, your pet. Write where you live.

Writing for A class. Describe yourself Topic 1: Write your name, your nationality, your hobby, your pet. Write where you live. Topic 1: Describe yourself Write your name, your nationality, your hobby, your pet. Write where you live. Χρησιμοποίησε το and. WRITE your paragraph in 40-60 words... 1 Topic 2: Describe your room Χρησιμοποίησε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

SXEDIO.776 7.3.1964: Ο IΧΣΑΝ ΑΛΗ IΑΦΩΝΕI ΑΝΟIΧΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΡΑΟΥΦ ΝΤΕΝΚΤΑΣ ΚΑI ΚΑΛΕI ΤΟΥΣ ΤΟΥΡΚΟΥΣ ΝΑ ΑΚΟΥΣΟΥΝ ΤΗ ΦΩΝΗ ΤΗΣ ΛΟΓIΚΗΣ

SXEDIO.776 7.3.1964: Ο IΧΣΑΝ ΑΛΗ IΑΦΩΝΕI ΑΝΟIΧΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΡΑΟΥΦ ΝΤΕΝΚΤΑΣ ΚΑI ΚΑΛΕI ΤΟΥΣ ΤΟΥΡΚΟΥΣ ΝΑ ΑΚΟΥΣΟΥΝ ΤΗ ΦΩΝΗ ΤΗΣ ΛΟΓIΚΗΣ SXEDIO.776 7.3.1964: Ο IΧΣΑΝ ΑΛΗ IΑΦΩΝΕI ΑΝΟIΧΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΡΑΟΥΦ ΝΤΕΝΚΤΑΣ ΚΑI ΚΑΛΕI ΤΟΥΣ ΤΟΥΡΚΟΥΣ ΝΑ ΑΚΟΥΣΟΥΝ ΤΗ ΦΩΝΗ ΤΗΣ ΛΟΓIΚΗΣ Εvώ εvτειvόταv η κρίση στις σχέσεις Ελλήvωv και Τoύρκωv µε αφoρµή τvv τoυρκική

Διαβάστε περισσότερα

H ελαστικότητα και οι εφαρµογές της

H ελαστικότητα και οι εφαρµογές της 5 H ελαστικότητα και οι εφαρµογές της Ελαστικότητα... µας επιτρέπει να αναλύσουµε την προσφορά και ζήτηση µε µεγαλύτερη ακρίβεια. είναι ένα µέτρο του πως οι αγοραστές και πωλητές ανταποκρίνονται στις αλλαγές

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p) Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Α Ρ Τ Η Μ Α ΤΟΥ IΣΟΛΟΓIΣΜΟΥ ΤΗΣ 31ης ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΤΗΣ «AIGINA FUEL ADVANTAGE ΙΚΕ» ΜΕ ΑΡ.ΓΕΜΗ 131900303000

Π Ρ Ο Σ Α Ρ Τ Η Μ Α ΤΟΥ IΣΟΛΟΓIΣΜΟΥ ΤΗΣ 31ης ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΤΗΣ «AIGINA FUEL ADVANTAGE ΙΚΕ» ΜΕ ΑΡ.ΓΕΜΗ 131900303000 Π Ρ Ο Σ Α Ρ Τ Η Μ Α ΤΟΥ IΣΟΛΟΓIΣΜΟΥ ΤΗΣ 31ης ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΤΗΣ «AIGINA FUEL ADVANTAGE ΙΚΕ» ΜΕ ΑΡ.ΓΕΜΗ 131900303000 (βάσει τωv διατάξεωv τoυ κωδικoπ. Ν.2190/1920, όπως ισχύει, με ενημέρωση μέχρι και το

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door

Right Rear Door. Let's now finish the door hinge saga with the right rear door Right Rear Door Let's now finish the door hinge saga with the right rear door You may have been already guessed my steps, so there is not much to describe in detail. Old upper one file:///c /Documents

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Write your name here Surname Other names Edexcel GE entre Number andidate Number Greek dvanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Thursday 16 May 2013 Morning Time: 2 hours 45 minutes

Διαβάστε περισσότερα

Νικόλαoς Σ. Καραvάσιoς Επίκoυρoς Καθηγητής Λoγιστικής - Οικovoμικώv Μαθηματικώv

Νικόλαoς Σ. Καραvάσιoς Επίκoυρoς Καθηγητής Λoγιστικής - Οικovoμικώv Μαθηματικώv ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων της Σχολής Διοίκησης και Οικονομίας του Τ.Ε.I. Σερρών, έχει ως αποστολή, όπως και τα άλλα Τμήματα των Τ.Ε.I. της χώρας, να προετοιμάσει στελέχη στη Διοίκηση των

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΕ εγκρίνει νέο πρόγραµµα για ασφαλέστερη χρήση του Ίντερνετ και διαθέτει 55 εκατ. ευρώ ώστε να καταστεί ασφαλές για τα παιδιά

Η ΕΕ εγκρίνει νέο πρόγραµµα για ασφαλέστερη χρήση του Ίντερνετ και διαθέτει 55 εκατ. ευρώ ώστε να καταστεί ασφαλές για τα παιδιά IP/8/899 Βρυξέλλες, 9 εκεµβρίου 8 Η ΕΕ εγκρίνει νέο πρόγραµµα για ασφαλέστερη χρήση του Ίντερνετ και διαθέτει εκατ. ευρώ ώστε να καταστεί ασφαλές για τα παιδιά Από την η Ιανουαρίου 9 η ΕΕ θα διαθέτει ένα

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

(Μεταγλώττιση) Παρόµoιoι έραvoι έγιvαv σε όλη τηv Κύπρo.

(Μεταγλώττιση) Παρόµoιoι έραvoι έγιvαv σε όλη τηv Κύπρo. SXEDIO.22A 1.1.1897: ΕΛΛΗΝIΚΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ ΑΠΟΒIΒΑΖΕΤΑI ΣΤΗΝ ΚΡΗΤΗ. Ο ΚΥΠΡIΑΚΟΣ ΛΑΟΣ IΕΝΕΡΓΕI ΕΡΑΝΟΥΣ ΓIΑ ΕΝIΣΧΥΣΗ ΤΩΝ ΚΡΗΤΩΝ (ΠΑΡΑ ΤΑ IΚΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΣΕIΣΜΟΥΣ) ΕΝΩ ΠΡΟΕΤΟIΜΑΖΕΤΑI ΝΑ ΑΠΟΣΤΕIΛΕI

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Πρoκήρυξη θέσεων Ερευνητών τoυ άρθρoυ 2 παρ. 2 τoυ Π.Δ. 94/2000 (ΦΕΚ 75/Α) ΑΠΟΦΑΣΗ ΑΡIΘΜ. 1055 Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΟΥ ΔIΟIΚΗΤIΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛIΟΥ

Θέμα: Πρoκήρυξη θέσεων Ερευνητών τoυ άρθρoυ 2 παρ. 2 τoυ Π.Δ. 94/2000 (ΦΕΚ 75/Α) ΑΠΟΦΑΣΗ ΑΡIΘΜ. 1055 Ο ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΤΟΥ ΔIΟIΚΗΤIΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛIΟΥ ΑΔΑ: ΒΙΕ7469ΗΚΖ-ΧΣΛ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ Αρ. Πρωτ.:316/188-20.02.2014 ΚΕΝΤΡΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤIΣΜΟΥ ΚΑI ΟIΚΟΝΟΜIΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Αθήvα, 19 Φεβρουαρίου 2014 Θέμα: Πρoκήρυξη θέσεων Ερευνητών τoυ άρθρoυ 2 παρ. 2 τoυ

Διαβάστε περισσότερα

Paper Reference. Paper Reference(s) 1776/04 Edexcel GCSE Modern Greek Paper 4 Writing. Thursday 21 May 2009 Afternoon Time: 1 hour 15 minutes

Paper Reference. Paper Reference(s) 1776/04 Edexcel GCSE Modern Greek Paper 4 Writing. Thursday 21 May 2009 Afternoon Time: 1 hour 15 minutes Centre No. Candidate No. Paper Reference(s) 1776/04 Edexcel GCSE Modern Greek Paper 4 Writing Thursday 21 May 2009 Afternoon Time: 1 hour 15 minutes Materials required for examination Nil Paper Reference

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A)

Προσφορά Εργασίας Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας ( Χ,Α συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) Προσφορά Εργασίας - Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία. Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά. Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο. Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική

Εισαγωγή στην Πληροφορική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εισαγωγή στην Πληροφορική Ενότητα 3: Ψηφιακή Λογική ΙI Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία F5J-GR (με timer)

Κατηγορία F5J-GR (με timer) Κατηγορία (με timer) Ηλεκτροκίνητα ανεμόπτερα (Electric Powered Gliders) 1. Σκοπός κατηγορίας 1. Είναι ο συναγωνισμός των αθλητών στην κατηγορία των τηλεκατευθυνόμενων ηλεκτροκίνητων ανεμόπτερων, που πετούν

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων.

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων. Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 2015 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης εύτερη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 1. 1. Consder the gven expresson for R 1/2 : R 1/2

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστική ιδιότητα και λειτουργία των ενζύµων, είναι η κατάλυσητωνχηµικώναντιδράσεων. Μελέτη της καταλυτικής δράσης, πρέπει να βασίζεται στον

Χαρακτηριστική ιδιότητα και λειτουργία των ενζύµων, είναι η κατάλυσητωνχηµικώναντιδράσεων. Μελέτη της καταλυτικής δράσης, πρέπει να βασίζεται στον Χαρακτηριστική ιδιότητα και λειτουργία των ενζύµων, είναι η κατάλυσητωνχηµικώναντιδράσεων. Μελέτη της καταλυτικής δράσης, πρέπει να βασίζεται στον ποσοτικό προσδιορισµό της ταχύτητας της χηµικής αντίδρασης

Διαβάστε περισσότερα

Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος

Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος Αποτέλεσμα Υποκατάστασης και Αποτέλεσμα Εισοδήματος (Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στη Ζητούμενη Ποσότητα) () Διαγραμματική Παρουσίαση Α. Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στα Κανονικά Αγαθά M x / p (Π)

Διαβάστε περισσότερα

Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is

Volume of a Cuboid. Volume = length x breadth x height. V = l x b x h. The formula for the volume of a cuboid is Volume of a Cuboid The formula for the volume of a cuboid is Volume = length x breadth x height V = l x b x h Example Work out the volume of this cuboid 10 cm 15 cm V = l x b x h V = 15 x 6 x 10 V = 900cm³

Διαβάστε περισσότερα

EE101: Resonance in RLC circuits

EE101: Resonance in RLC circuits EE11: Resonance in RLC circuits M. B. Patil mbatil@ee.iitb.ac.in www.ee.iitb.ac.in/~sequel Deartment of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay I V R V L V C I = I m = R + jωl + 1/jωC

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΛΑΪΚΟΥ ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΥ ΧΟΡΟΥ 1 ΣΤΑ ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΛΑΪΚΟΥ ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΥ ΧΟΡΟΥ 1 ΣΤΑ ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΛΑΪΚΟΥ ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΥ ΧΟΡΟΥ 1 ΣΤΑ ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Μαρία Ι. Κουτσούμπα Περίληψη Τις τελευταίες δεκαετίες η διδασκαλία του ελληνικού λαϊκού παραδοσιακού χορού πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

14 Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense

14 Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense Lesson 2: The Omega Verb - Present Tense Day one I. Word Study and Grammar 1. Most Greek verbs end in in the first person singular. 2. The present tense is formed by adding endings to the present stem.

Διαβάστε περισσότερα

LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV. 18 February 2014

LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV. 18 February 2014 LESSON 14 (ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΚΑΤΕΣΣΕΡΑ) REF : 202/057/34-ADV 18 February 2014 Slowly/quietly Clear/clearly Clean Quickly/quick/fast Hurry (in a hurry) Driver Attention/caution/notice/care Dance Σιγά Καθαρά Καθαρός/η/ο

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Προετοιμάζοντας τον μελλοντικό δάσκαλο για το ψηφιακό σχολείο

Προετοιμάζοντας τον μελλοντικό δάσκαλο για το ψηφιακό σχολείο 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο «Διδακτική της Πληροφορικής» Φλώρινα, 20-22 Απριλίου 2012 Προετοιμάζοντας τον μελλοντικό δάσκαλο για το ψηφιακό σχολείο Δ. Πλατή 1, Ι. Μπέλλου 2, Τ. Α. Μικρόπουλος 1 1 Παιδαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade

Εγκατάσταση λογισμικού και αναβάθμιση συσκευής Device software installation and software upgrade Για να ελέγξετε το λογισμικό που έχει τώρα η συσκευή κάντε κλικ Menu > Options > Device > About Device Versions. Στο πιο κάτω παράδειγμα η συσκευή έχει έκδοση λογισμικού 6.0.0.546 με πλατφόρμα 6.6.0.207.

Διαβάστε περισσότερα

Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x 1,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει

Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x 1,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει το άτομο (i =,,n). - Πρόβλημα καταναλωτή: Κάθε άτομο (καταναλωτής)

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

υπoστήριζε κι αυτή, όπως συvέβη από τηv αρχή τo Μακάριo Κυκκώτη, τηv υπoψηφιότητα τoυ oπoίoυ είχε υπoστηρίξει επί Αρχιεπισκόπoυ Λεovτίoυ, όταv είχαv

υπoστήριζε κι αυτή, όπως συvέβη από τηv αρχή τo Μακάριo Κυκκώτη, τηv υπoψηφιότητα τoυ oπoίoυ είχε υπoστηρίξει επί Αρχιεπισκόπoυ Λεovτίoυ, όταv είχαv SXEDIO.FH4 8.2.1948: ΝΕΕΣ ΜΗΤΡΟΠΟΛIΤIΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ ΜΕ ΥΠΟΨΗΦIΟΥΣ ΤΗΣ ΕΞIΑΣ ΑΥΤΗ ΤΗ ΦΟΡΑ ΤΟΝ ΜΑΚΑΡIΟ ΚΥΚΚΩΤΗ ΓIΑ ΤΟ ΘΡΟΝΟ ΚIΤIΟΥ, ΤΟΝ ΚΥΠΡIΑΝΟ ΚΥΡIΑΚI Η ΓIΑ ΤΗ ΚΕΡΥΝΕIΑ ΚΑI ΤΟΝ ΚΛΕΟΠΑ ΓIΑ ΤΟ ΘΡΟΝΟ ΤΗΣ ΠΑΦΟΥ.

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Three Classical Tests; Wald, LM(Score), and LR tests

Three Classical Tests; Wald, LM(Score), and LR tests Eco 60 Three Classical Tests; Wald, MScore, ad R tests Suppose that we have the desity l y; θ of a model with the ull hypothesis of the form H 0 ; θ θ 0. et θ be the lo-likelihood fuctio of the model ad

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστες απαιτήσεις για εισδοχή στο διδακτορικό πρόγραμμα είναι:

Ελάχιστες απαιτήσεις για εισδοχή στο διδακτορικό πρόγραμμα είναι: 4. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Το Διδακτορικό Πρόγραμμα στα Οικονομικά αποσκοπεί στην εκπαίδευση και επιστημονική κατάρτιση ερευνητών υψηλού επιπέδου και διεθνών προδιαγραφών. Οι απόφοιτοι του προγράμματος θα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονισμοί Φαρμακοδιέγερσης

Κανονισμοί Φαρμακοδιέγερσης ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΣΚΑΚΙΣΤΙΚΗ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ CYPRUS CHESS FEDERATION Κανονισμοί Φαρμακοδιέγερσης Η Κυπριακή Σκακιστική Ομοσπονδία εφαρμόζει τα όσα αναγράφονται στους κανονισμούς της Κυπριακής Αρχής Αντι-ντόπινγκ, της

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education

UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNATIONAL EXAMINATIONS International General Certificate of Secondary Education *2517291414* GREEK 0543/02 Paper 2 Reading and Directed Writing May/June 2013 1 hour 30 minutes

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα