Κριτήριο παρεµβολής Βοηθητική συνάρτηση. R R τέτοια, ώστε να ισχύει. f(x) x. lim. ii) x 0. lim f (x) = 0. x 0. lim. ( x + x + 4) = 4. x 0.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κριτήριο παρεµβολής Βοηθητική συνάρτηση. R R τέτοια, ώστε να ισχύει. f(x) x. lim. ii) x 0. lim f (x) = 0. x 0. lim. ( x + x + 4) = 4. x 0."

Τιμοθέα Λιάπης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Κριτήριο παρεµβολής Βοηθητική συνάρτηση R ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κριτήριο παρεµβολής. 4 f () Να βρείτε το i) i) ( 4 ) ( 4 ) R R τέτοια, ώστε να ισχύει f () για κάθε κοντά στο ii) Από το κριτήριο παρεµβολής έχουµε ii) Για > 0 και κοντά στο 4 f() 4 Είναι ( 4) 4 και f() f () 0 0, η υπόθεση γίνεται Από το κριτήριο παρεµβολής έχουµε Για < 0 και κοντά στο 4 f() 4 Είναι ( 4) 4 και ( 4) 4 0, η υπόθεση γίνεται Από το κριτήριο παρεµβολής έχουµε Από τις (), () έχουµε f() 4 0 f() 4 () ( 4) 4 f() 4 ()

2 . R R τέτοια, ώστε να ισχύει f () R. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει το όριο της f στο Υπόδειξη. f () και άσκηση. 0. για κάθε. R R τέτοια, ώστε να ισχύει f () κοντά στο. Να βρείτε το f (). Υπόδειξη. f () και άσκηση. 4. R R τέτοια, ώστε να ισχύει f () 6 7 κοντά στο Να βρείτε το f() Παραγοντοποιούµε τα τριώνυµα οπότε η υπόθεση γίνεται ( )( ) f () ( )( 6 ) () Για > 0 και κοντά στο Είναι ( ) 5 Από το κριτήριο παρεµβολής έχουµε Για < 0 και κοντά στο Είναι ( ) 5 Από το κριτήριο παρεµβολής έχουµε Από τις (), () έχουµε, η () f() 6 και ( 6 ) 6 5 f() 5 (), η () f() 6 και f() 5 ( 6 ) 6 5 f() 5 ()

3 5. ίνονται οι συναρτήσεις f, g τέτοιες, ώστε f () 0 και g() 0 κοντά στο. Αν επί πλέον είναι ότι f () 0 και Είναι Αλλά 0 f () f () g() 0 0 και g() 0. Από το κριτήριο παρεµβολής θα είναι Οµοίως g() 0. [ f () g()] 0, να αποδείξετε [ f () g()] 0. f () Να βρείτε το όριο της f () Είναι 0 f() Αλλά ν 0 0 και συν π ν συν π, ν N, στο ν ν 0. Από το κριτήριο παρεµβολής θα είναι συν π ν f() 0, 0. ν άρα f () 0 7. R R τέτοια, ώστε να ισχύει [ f () ] f () κοντά στο Λύση 0. Να βρείτε το όριο της f στο 0. [ f () ] f () f () [ f () ] ] f () [ ] f() f() [ ] f() 0 f() [ ] f() Αλλά 0 0 και 0 Από το κριτήριο παρεµβολής θα είναι f() 0, άρα f () 0

4 4 8. Για κάποιο λ R και για κάθε R δίνεται ότι ηµ ηµ ηµλ Να βρείτε το λ. Για > 0 και κοντά στο Είναι και () 0, η υπόθεση ( ηµ ηµ ηµλ ) 0 ( ηµ ηµ ηµλ ) λ 0 λ () ηµ ηµ ηµ ηµ ηµλ ηµ λ λ ηµ λ. () ηµλ 0 λ ηµλ λ Για < 0 και κοντά στο ηµ ηµ ηµλ 0, η υπόθεση γίνεται Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουµε ότι λ () Από τις (), () έχουµε λ

5 5 Βοηθητική συνάρτηση 9. Για τη µη σταθερή συνάρτηση f : f() Να βρείτε το [f()] 9 R R δίνεται ότι ( f () ) 0. Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f () κοντά στο. Τότε h() 0 και f () h() f () h() f () h() f () f() [f()] 9 f() [f() ][f() ] [ f() ] [ f() ] [ f() ] [f() ] [ f() ] [f() ] [ ] [ ] 6

6 6 0. R R µε f() f ( )ηµ Να βρείτε το ηµ f(). Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f() κοντά στο Τότε h() και f () h() 0. f() f ( )ηµ ηµ h() ( ) h( ) ηµ ηµ h() h( )ηµ ηµ ηµ h() h( ) ηµ ηµ h() h( ) ηµ () h() h() ηµ u 0 u 0 ηµ h(u) (όπου θέσαµε u) h( u) u 0 (όπου θέσαµε -u) ηµu u. (όπου θέσαµε u) ηµ ηµ ηµ 0 () f() f ( )ηµ ηµ 4

7 7. Να βρείτε το R R µε f() 4 Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f() Τότε f() 4. κοντά στο h() 4 και h()( ) f () f () h()( ). f () 4 [h()( ) ] 4 h()( ) 4 ( )( ) h() h() ( ) 4 ( ) 0. Να βρείτε τους α, β R, ώστε να είναι α β 4 α β Θεωρούµε τη συνάρτηση f () Τότε f () 4 και f ()( ) f ()( ) () κοντά στο. α β ( α β) 4 0 α β 0 αβ βα () () f () α α ( )( ) α() α Άρα f () α α Αλλά f () 4. Εποµένως 4 α α και η () β.

8 8. Αν α l R και α R, να βρείτε τους α, l. Θεωρούµε τη συνάρτηση f () α () κοντά στο. Τότε f () l και f ()( ) α [ f ()( )] ( α ) f () l. 0 α ( ) α α α 4 α () f () l f () ( )( ) ( )( ) 4 ( )( ) ( )( ) 4

9 9 4. R R, για την οποία ισχύει f () f ( ) για κάθε R και [ f () ] 4. Να βρείτε το f (). Θεωρούµε τη συνάρτηση g() f (), R. Τότε g() 4 και f () g() f ( ) g( ) ( ) ( ) αλλά f ( ) f (), άρα f () g( ) ( ) f () g( ) f () g( ) () Στο g() 4, όπου θέτουµε u, τότε u 0 και u 0 g( u) 4, οπότε g( ) 4 Άρα [ g( ) ] () f () [ g( ) ]

10 0 5. Για συνάρτηση f : Να αποδείξετε ότι ος τρόπος Θέτουµε g() R R δίνεται ότι f( ) 0. f () f (), R f () f () g() () και η υπόθεση γίνεται [ f () f () g() 7 4 () Θέτουµε h() f (), R. (Θα αποδείξουµε ότι Τότε h () f( ) f () f () 4 f () f () 4 ] 7 4. h() 0) Υψώνουµε στο τετράγωνο για να συνδυαστούµε µε την υπόθεση Άρα h () () g() 4 g() ( ) 4 () 7 4 ( ) ( ) h() 0 ος τρόπος f () f () f () f () Κατασκευάζουµε το αποδεικτέο f () f () 4 4 f( ) [ f () f () f( ) f( ) 4 ] ( ) [ f () f () 7 4 ( ) ( ) ] 4 f( ) 0 ( ) 4

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xο

ΜΑΘΗΜΑ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ xο ΜΑΘΗΜΑ 9.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ο R Θεωρία Σχόλια - Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός f ( ) ο σηµαίνει ότι οι τιµές f ( ) της συνάρτησης f γίνονται µεγαλύτερες από κάθε θετικό αριθµό Μ, καθώς.. Ορισµός f ( )