6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα"

Transcript

1 6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Γενικά Ορισμοί Έστω ότι η f() είναι συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [,]. Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε n υποδιαστήματα επιλέγοντας n+ σημεία τέτοια ώστε = < < < n- < n = Το σύνολο P={ < < < n- < n } ονομάζεται διαμέριση του διαστήματος [,]. Η διαμέριση αυτή ορίζει n κλειστά υποδιαστήματα [, ], [, ],, [ n-, n ] με πλάτη Δ, Δ,..., Δ n όπου Δ k = k - k- το καθένα. f( ) c, f ( c ) n n c, f ( c ) k k c c k ck k k n cn n c, f ( c ) c, f ( c ) Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων προσεγγίζουν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης και του άξονα. Καθένα από αυτά τα εμβαδά ισούται με f(c k ). Δ k όπου το (c k,f(c k )) είναι σημείο της καμπύλης το οποίο ανήκει στο διάστημα [ k-, k ]. Θεωρούμε το άθροισμα Riemnn (όπως ονομάζεται) της συνάρτησης f() στο διάστημα [,]: n s f ( c ) n k k k Όσο το n μεγαλώνει και πυκνώνει η διαμέριση, τα ορθογώνια γίνονται περισσότερα και πιο λεπτά και το άθροισμα των εμβαδών τους προσεγγίζει όλο και καλύτερα το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης f() και του άξονα. Εάν υπάρχει το όριο

2 n I lim s lim f ( c ) n k k n n k ανεξάρτητα του τρόπου επιλογής της διαμέρισης P και των c k τότε λέμε ότι η συνάρτηση f() είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα και το Ι είναι το ορισμένο ολοκλήρωμά της στο διάστημα [,] αυτό. Συμβολίζουμε δε, I f ( ) Κάθε συνεχής σε ένα διάστημα [,] είναι ολοκληρώσιμη σε αυτό το διάστημα. Ιδιότητες ορισμένων ολοκληρωμάτων: f ( ) f ( ) c f ( ) f ( ) f ( ) c cf ( ) c f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) 6. Σημαντικά Θεωρήματα Θεωρήματα Ολοκληρωτικού Λογισμού. 6.. Θεώρημα Μέσης τιμής για τα ορισμένα ολοκληρώματα. Αν f( ) είναι συνεχής σε ένα διάστημα [,] τότε f ( )( ) f ( ) για κάποιο [, ]. y f( ) f ( )

3 6.. Πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Αν η f( ) είναι συνεχής στο διάστημα [,, ] τότε η συνάρτηση F( ) f ( t) dt είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό και ισχύει: df d f ( t) dt f ( ) Παράδειγμα: F( ) t ln t dt u u d d d du d d u ln u u ln ln 9 ln u F( ) t ln t dt t ln t dt du 6.. Δεύτερο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Αν η f( ) είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [, ] και F είναι μία παράγουσα συνάρτηση της f( ), τότε f ( ) F ( ) F ( ) Παράδειγμα: sin cos cos cos() 6..4 Υπολογισμός Μέσης Τιμής συνάρτησης Αν η f( ) είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [, ] τιμή της στο διάστημα αυτό την ποσότητα: τότε ορίζουμε ως μέση v( f ) f ( ) Παράδειγμα: Η μέση τιμή της συνάρτησης sin() στο διάστημα, ισούται με v( f ) sin cos cos cos()

4 6. Τεχνικές Ολοκλήρωσης 6.. Ολοκλήρωση συναρτήσεων που αλλάζουν συμπεριφορά μέσα στο διάστημα ολοκλήρωσης. Παράδειγμα Επειδή,, μπορούμε να γράψουμε ορισμένο ολοκλήρωμα έχουμε:, και για το αόριστο ολοκλήρωμα c ( ) ln( ), για το ln( ) rctn( ) ln( ) rctn( ) (ln ln ) rctn() rctn() (ln ln ) rctn( ) rctn() (ln ln ) rctn() rctn() (ln ln ) rctn() 4 5 ln rctn() ln rctn() Παραγoντική Ολοκλήρωση f ( ) g ( ) f ( ) g( ) g( ) f '( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g( ) f '( ) Παράδειγμα ln ( ) ln [ ln ] ln [ln ln ] ln ln ( ) ln ln [ ln ] ln 4ln ln 4ln 4

5 6.. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση g( ) f ( g( )) g '( ) f ( u) du Παράδειγμα 5 56 g( ) du u du Θέτουμε u() du du 6 du ln 6 ln ln ln u 56u () u 6 u u ln ln ln() ln() ln() Ολοκλήρωση άρτιων και περιττών συναρτήσεων σε συμμετρικό διάστημα Μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [-α,α] είναι άρτια εφόσον ισχύει η σχέση άξονα yy. Παράδειγμα f(-)=f(). Οι άρτιες συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς τον H συνάρτηση y=cos() Μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [-α,α] είναι περιττή εφόσον ισχύει η σχέση f(-)=-f(). Οι περιττές συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων. Παράδειγμα H συνάρτηση y=sin() 5

6 Το άθροισμα δύο άρτιων συναρτήσεων είναι πάντα άρτια συνάρτηση, το άθροισμα δύο περιττών συναρτήσεων είναι πάντα περιττή. Το άθροισμα άρτιας και περιττής συνάρτησης δεν μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε ως άρτια ή περιττή συνάρτηση. Επίσης το γινόμενο δύο άρτιων συναρτήσεων είναι πάντα άρτια συνάρτηση, το γινόμενο δύο περιττών συναρτήσεων είναι πάντα άρτια. Το γινόμενο άρτιας και περιττής συνάρτησης είναι πάντα περιττή συνάρτηση. Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι για f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [, ]( ) και [, ] αν η f είναι άρτια f ( ) f ( ) και αν η f είναι περιττή f ( ) Απόδειξη Αν η συνάρτηση είναι άρτια ισχύει f ( ) f ( ), [, ], επομένως f ( ) f ( ) f ( ). Θέτουμε u du και έχουμε f ( ) f ( u)( du) f ( u) du f ( u) du f ( ). u u Άρα f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) dt. Αν η συνάρτηση είναι περιττή ισχύει f ( ) f ( ), [, ] τότε f ( ) f ( u)( du) f ( u) du f ( u) du f ( ), u u επομένως 6

7 f ( ) f ( ) f ( ) Παραδείγματα α) sin sin rctn( ) ( ) 4 sin Εδώ χρησιμοποιήσαμε ότι η συνάρτηση f( ) είναι περιττή διότι sin sin f ( ) f ( ) οπότε το ολοκλήρωμά της σε συμμετρικό sin διάστημα είναι ίσο με, δηλαδή και το ότι η διότι β) f ( ) f ( ). / / / / f( ) tn tn tn sin ( ) / / / / / / / / cos ( ) sin ( ) cos ( ) / / είναι άρτια cos( ) cos( ) cos( ) cos ( ) cos ( ) cos cos ( sin ( )) / / / / cos sin ( ) 4 cos sin ( ) sin( ) ( ) Εδώ χρησιμοποιήσαμε το ότι και το ότι η συνάρτηση tn tn usin( ) u sin ( ) sin cos( ) u du c f( ) είναι περιττή διότι tn f ( ) f ( ),οπότε το ολοκλήρωμά της σε συμμετρικό διάστημα είναι ίσο με, δηλαδή f ( ) cos ( ) είναι άρτια συνάρτηση διότι / /. οπότε cos cos / /. Τέλος, η tn / f f ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) 7

8 6..5 Σειρές και πολυώνυμα Tylor στην ολοκλήρωση Εκμεταλλευόμενοι ότι κάθε σειρά Tylor ολοκληρώνεται όρο προς όρο στο διάστημα σύγκλισης της μπορούμε να υπολογίσουμε ολοκληρώματα συναρτήσεων (κυρίως αυτών των οποίων ο αναλυτικός υπολογισμός του ολοκληρώματος δεν είναι δυνατός) ως άπειρες σειρές. Χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες σειρές Tylor μπορούμε να έχουμε προσεγγίσεις των ζητούμενων ολοκληρωμάτων. Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e. Χρησιμοποιώντας τους τέσσερις πρώτους όρους του αναπτύγματος σε σειρά Tylor της f() με κέντρο =, βρείτε μία προσέγγιση για το ολοκλήρωμα f ( ). Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση βρείτε την ακριβή τιμή του ολοκληρώματος και υπολογίστε το σφάλμα της προηγούμενης προσέγγισης. Πόσο μεταβάλλεται το % απόλυτο σφάλμα όταν προσθέσουμε έναν ακόμη όρο; f Ο τύπος της σειράς με κέντρο το είναι f ( ) n τις επιμέρους ποσότητες: f ( ) e, f () () n! f '( ) e e, f '() () () f ( ) e e, f () () () f ( ) e e, f () (4) (4) f ( ) 4 e e, f () 4 Οπότε, η σειρά Tylor στο = είναι η ( n) n. Υπολογίζουμε () () f '() f () f () e f () ( ) ( ) ( )...!!! !!! 4! 6 Εναλλακτικά μπορούμε να βρούμε το ανάπτυγμα από τους τύπους: 4 5 e...!! 4! 5! 4 5 e...!! 4! 5! e...!! 4! 5! 8

9 Για το αόριστο ολοκλήρωμα ισχύει: e...!! 4! 5! c 4! 5! 6 4! 7 5! c Οπότε χρησιμοποιώντας τους τέσσερις πρώτους όρους του αναπτύγματος Tylor της συνάρτησης έχουμε ότι e Και η προσέγγιση του ολοκληρώματος, κάνοντας πράξεις με 6 δεκαδικά ψηφία, είναι: 4 f ( ) e Η ακριβής τιμή του ολοκληρώματος είναι : ( ) f e e e e e e e e e e e e Επομένως το απόλυτο σφάλμα της προσέγγισης που έγινε είναι: Απόλυτο Σφάλμα= (Πραγμ. τιμή) (Προς. τιμή) = e.9 = = =.746. Το επί τοις εκατό σχετικό σφάλμα είναι ίσο με.746/.644 %=.8% Εάν τώρα χρησιμοποιήσουμε ένα ακόμη όρο του αναπτύγματος Tylor της συνάρτησης έχουμε ότι 4 e 6 Και η προσέγγιση του ολοκληρώματος είναι: 9

10 4 4 5 f ( ) e Επομένως, το απόλυτο σφάλμα της προσέγγισης που έγινε είναι: Απόλυτο Σφάλμα= (Πραγμ. τιμή) (Προς. τιμή) = e.58 = = =.59. Το επί τοις εκατό σχετικό σφάλμα είναι ίσο με.6/.64 %=.4%. Εάν προσθέσουμε ακόμη ένα όρο στην προηγούμενη προσεγγιστική τιμή του 6 ολοκληρώματος θα προστεθεί η ποσότητα Εάν 44 προσθέσουμε ακόμη έναν όρο το αποτέλεσμα της προσέγγισης θα 7 μεταβληθεί κατά.948. Οπότε παρατηρούμε προστίθενται ή αφαιρούνται όλο και μικρότερες ποσότητες. Εάν υπολογίσουμε ακόμη έναν (τον έβδομο) όρο, το αποτέλεσμα της προσέγγισης θα μεταβληθεί κατά Ο συγκεκριμένος όρος θα είναι μεγαλύτερος (κατά απόλυτη τιμή) από τον κάθε επόμενο στην άπειρη σειρά που υπολογίζει το ολοκλήρωμα. Οπότε μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ο όρος αυτός μας περιγράφει (όσο αφορά την τάξη μεγέθους) το σφάλμα που θα έχουμε στην ολοκλήρωση (εάν δεν γνωρίζαμε την ακριβή τιμή). Δηλαδή εάν θεωρήσουμε τους πρώτους έξι όρους η προσέγγιση θα είναι ακριβής σε τρία τουλάχιστον δεκαδικά ψηφία εφόσον ο κυρίαρχος όρος σφάλματος θα είναι της τάξης του Προσεγγιστικός υπολογισμός Ολοκληρωμάτων Ο αναλυτικός (ακριβής) υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος μίας συνάρτησης είτε γιατί δεν είναι πάντα δυνατός διότι δεν είναι δυνατός (ή εύκολος) ο αναλυτικός υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος της συνάρτησης ή γιατί δεν έχουμε στη διάθεσή μας τη συνάρτηση αλλά μόνο τιμές της. Σε τέτοιες περιπτώσεις μπορούμε να υπολογίσουμε μία προσεγγιστική τιμή του ζητούμενου ολοκληρώματος. Μία μεθοδολογία είναι αυτή που είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο με τη χρήση αναπτυγμάτων Tylor η οποία βασίζεται στην προσέγγιση της συνάρτησης τοπικά από ένα πολυώνυμο. Είναι πολύ πιο συνηθισμένο, και μοναδική λύση όταν έχουμε μόνο τιμές της συνάρτησης και όχι τον τύπο της να χρησιμοποιούμε μία

11 διαφορετική αλγοριθμική μεθοδολογία, η οποία μπορεί να προγραμματιστεί και στον υπολογιστή. Σκοπός μας είναι να προσεγγίσουμε την τιμή του ολοκληρώματος I f ( ) Ο πιο απλός τύπος ονομάζεται κανόνας του Ορθογωνίου. Για να τον εφαρμόσουμε διαμερίζουμε (χωρίζουμε) το διάστημα ολοκλήρωσης [, ] σε n διαστήματα θεωρώντας τα ακόλουθα n σημεία, h, h,..., ( n ) h, n, όπου n h. n Η προσεγγιστική τιμή του ολοκληρώματος δίνεται από τον τύπο I h f ( ) f ( ) f ( )... f ( n ) και σχηματικά παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα όπου το άθροισμα των γραμμοσκιασμένων εμβαδών ορθογωνίων παραλληλογράμμων είναι η προσέγγιση του ολοκληρώματος. Αποδεικνύεται ότι το σφάλμα της προσέγγισης αυτής φράσσεται από τον τύπο E hm όπου θεωρούμε ότι η παράγωγος f '( ) είναι συνεχής και Μ τυχόν άνω φράγμα των τιμών της f '( ) στο [, ]. Παράδειγμα: Θα προσεγγίσουμε με τον κανόνα του ορθογωνίου με n 5 το ολοκλήρωμα

12 I Θεωρούμε τα ακόλουθα σημεία, h., h.4, h.6, 4h.8, 5, 4 όπου h.. 5 και η προσέγγιση του ολοκληρώματος δίνεται από τον υπολογισμό I. ( f () f (.) f (.4) f (.6) f (.8)) Σχηματικά υπολογίσαμε τα γραμμοσκιασμένα εμβαδά και τα προσθέσαμε: Η ακριβής τιμής του ολοκληρώματος είναι και το απόλυτο σφάλμα..4.9 που ικανοποιεί το άνω φράγμα του σφάλματος E.. αφού ( )' ολοκλήρωσης. οπότε και M η μέγιστη τιμή της στο διάστημα Ένας άλλος προσεγγιστικός πιο ακριβής τύπος, είναι κανόνας του Τραπεζίου. Για να εφαρμόζουμε και αυτόν, διαμερίζουμε (χωρίζουμε) το

13 διάστημα ολοκλήρωσης [, ] σε n διαστήματα θεωρώντας τα ακόλουθα n σημεία, h, h,..., ( n ) h, n, όπου n h. n Η προσεγγιστική τιμή του ολοκληρώματος δίνεται από τον τύπο h I f ( ) f ( ) f ( )... f ( n ) f ( n) και σχηματικά παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα όπου το άθροισμα των γραμμοσκιασμένων εμβαδών τραπεζίων είναι η προσέγγιση του ολοκληρώματος. Αποδεικνύεται ότι το σφάλμα της προσέγγισης αυτής φράσσεται από τον τύπο E h M όπου θεωρούμε ότι η δεύτερη παράγωγος f () είναι συνεχής και Μ τυχόν άνω φράγμα των τιμών της f ( ) στο [, ]. Παράδειγμα α) Θα προσεγγίσουμε τώρα με τον κανόνα του τραπεζίου με n 5 το ολοκλήρωμα I Θεωρούμε τα ακόλουθα σημεία

14 , h., h.4, h.6, 4h.8, 5, 4 όπου h.. 5 και η προσέγγιση του ολοκληρώματος δίνεται από τον υπολογισμό. I ( f () f (.) f (.4) f (.6) f (.8) f ()) Εφόσον η ακριβής τιμής του ολοκληρώματος είναι το απόλυτο σφάλμα είναι που ικανοποιεί το άνω φράγμα του σφάλματος E αφού ( )'' οπότε και M η μέγιστη τιμή της στο διάστημα ολοκλήρωσης. β) Γνωρίζοντας ότι ln ln ln ln χρησιμοποιείστε τον κανόνα του τραπεζίου για υπολογίστε προσεγγιστικά τον αριθμό ln με σφάλμα μικρότερο του Ξέρουμε ότι. ( )'' ( )'. Η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η δεύτερη παράγωγος στο διάστημα [, ] είναι για η τιμή, αφού η είναι φθίνουσα στο διάστημα αυτό. Έστω h το βήμα με το n n n οποίο θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο του τραπεζίου από το τύπο φράγματος του σφάλματος έχουμε E h M n n 6n 6 n

15 οπότε με n 5 μπορούμε να εξασφαλίσουμε τον υπολογισμό του ln με σφάλμα μικρότερο του. Θα προσεγγίσουμε λοιπόν με τον κανόνα του Τραπεζίου με n 5 το ολοκλήρωμα I Θεωρούμε τα ακόλουθα σημεία, h., h.4, h.6, 4h.8, 5, όπου 4 h.. 5 και η προσέγγιση του ολοκληρώματος δίνεται από τον υπολογισμό. I ( f () f (.) f (.4) f (.6) f (.8) f ()) Η τιμή που παίρνουμε από τον ορισμό είναι ln.6947, βλέπουμε επομένως ότι έχουμε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. 6.4 Εφαρμογές 6.4. Υπολογισμοί Εμβαδών Αν η f( ) είναι μη αρνητική και ολοκληρώσιμη σε ένα διάστημα [,], τότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη y f ( ) και τις ευθείες, και y ισούται με το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης σε αυτό το διάστημα: y A f ( ) 5

16 Αν η f( ) είναι αρνητική και ολοκληρώσιμη σε ένα διάστημα [,], τότε ισχύει f ( ) και το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη y f ( ) και τις ευθείες, και y ισούται με : A f ( ). y f ( ) Παράδειγμα: Υπολογίστε την συνολική επιφάνεια των κλειστών χωρίων που ορίζεται από την καμπύλη και τον άξονα των. y Σε τέτοια προβλήματα πρέπει να προηγηθεί μελέτη της προς ολοκλήρωση συνάρτησης και γραφική της παράσταση ώστε να διαπιστώσουμε σε ποια διαστήματα η συνάρτηση είναι θετική και σε ποια αρνητική. Υπολογίζουμε τα σημεία τομής της συνάρτησης και του άξονα των. Υπολογίζουμε επίσης, την πρώτη παράγωγό της συνάρτησης, το πρόσημό της και τα σημεία στα οποία μηδενίζεται (κρίσιμα σημεία). Τέλος, υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγό της καμπύλης, το πρόσημό της και την τιμή της στα κρίσιμα σημεία. f ( ) ( )( ) f '( ) f ''( ) 6 Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: 6

17 - / / f f ' f '' τ. m σ.κ. τ. min και η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι η ακόλουθη:.4 A A.4 Οπότε για το ζητούμενο εμβαδό έχουμε 4 4 E A A ( ) ( ) Το εμβαδόν μεταξύ δύο καμπύλων για τις οποίες ισχύει f( ) f( ) για ισούται με E f ( ) f ( ) Οπότε σε τέτοιες περιπτώσεις θα πρέπει να μελετάμε ως προς το πρόσημο της την συνάρτηση h( ) f( ) f( ) Παράδειγμα: Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κλειστού χωρίου που ορίζουν οι συναρτήσεις f ( ) και f ( ). Θα βρούμε τα σημεία τομής των δύο καμπυλών. 7

18 f ( ) 4 4 ( ) ( )( ) ή Παρατηρούμε ότι, στο διάστημα [,] η συνάρτηση οπότε: h( ) παίρνει θετικές τιμές, f ( ) E Παράδειγμα Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κλειστού χωρίου που ορίζουν οι καμπύλες f ( ) και ( ) f και. Στο διάστημα [,] ισχύει. E f ( ) f ( ) Το εμβαδόν μεταξύ δύο καμπύλων για τις οποίες ισχύει f( y) f( y) για y ισούται με E f ( y) f ( y) dy Παράδειγμα Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες y και y. Σε αυτήν την άσκηση θα θεωρήσουμε τις συναρτήσεις ως συναρτήσεις της μορφής f ( y) και το ζητούμενο ολοκλήρωμα υπολογίζεται από τον τύπο που παραθέσαμε παραπάνω...5 y y

19 Βρίσκουμε τα σημεία τομής των δύο καμπύλων λύνοντας το σύστημα το δύο εξισώσεων των δύο συναρτήσεων: y y y y και ή και y y y y y ή y y y Το προς ολοκλήρωση διάστημα είναι το,. Για y,, οπότε έχουμε: y y y ( y)( y) οπότε ισχύει Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν χωρίου είναι: y y. y 4 y y dy y dy y dy y Μήκος τμήματος καμπύλης Το μήκος τμήματος καμπύλης της συνάρτησης y f ( ) η οποία είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [, ] ισούται με dy L Παράδειγμα Να βρεθεί το μήκος του τμήματος της καμπύλης y που ορίζεται ανάμεσα στις ευθείες και 4. dy Για τη συγκεκριμένη συνάρτηση ισχύει οπότε το μήκος είναι L Για να υπολογίσουμε το αόριστο ολοκλήρωμα 4 9 θέτουμε όπως du έχουμε αναφέρει u 4 9 u 4 9 u 9 udu οπότε u 4 9 u udu u du c c c Οπότε τελικά 9

20 L Υπολογισμοί όγκων Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα στερεό, όπως φαίνεται στη σχήμα, για το οποίο γνωρίζουμε το εμβαδό E(z) κάθε διατομής του από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα των z. z z Ez ( ) z O y Ο όγκος του στερεού δίνεται από το ολοκλήρωμα V z z E( z) dz. Όταν γνωρίζουμε το εμβαδό E() κάθε διατομής του από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα των τότε ο όγκος ισούται με V E( ). Ενώ όταν γνωρίζουμε το εμβαδό E(y) κάθε διατομής του από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα των τότε ο όγκος ισούται με V y E( y) dy. y Παράδειγμα Έστω ο κλάδος της υπερβολής y για τον οποίο y >. Εάν

21 περιστρέψουμε τον κλάδο περί τον άξονα των y δημιουργούμε ένα κωνικό κέλυφος που μοιάζει με ποτήρι. Πόσος όγκος νερού χρειάζεται για να γεμίσουμε το ποτήρι μέχρι το ύψος y = A; Εννοείται πως A > α. y A y O y y Παρατηρούμε ότι μετά την περιστροφή μία κάθετη τομή στον άξονα yy είναι ένας κύκλος με ακτίνα και εμβαδό E ()= π. Σε ύψος y > α, η ακτίνα του κύκλος είναι y, άρα ο όγκος του νερού μέχρι τη θέση Α είναι: A A y y dy dy y A A A A. A Εάν τώρα το στερεό προέρχεται από την περιστροφή της επίπεδης καμπύλης =f(z) του επιπέδου z γύρω από τον άξονα z, τότε ο όγκος του στερεού από περιστροφή δίνεται από το ολοκλήρωμα z V f () z dz z

22 z f ( z) z f () z z O y Εάν το στερεό προέρχεται από την περιστροφή της επίπεδης καμπύλης y=f() του επιπέδου y γύρω από τον άξονα, τότε ο όγκος του στερεού από περιστροφή δίνεται από το ολοκλήρωμα V f ( ). Εάν το στερεό προέρχεται από την περιστροφή της επίπεδης καμπύλης =f(y) του επιπέδου y γύρω από τον άξονα y, τότε ο όγκος του στερεού από περιστροφή δίνεται από το ολοκλήρωμα y V f y dy y ( ). Παράδειγμα Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού V που δημιουργείται λόγω περιστροφής του γραφήματος της συνάρτησης f sin cos των, για το διάστημα,. γύρω από τον άξονα Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο ο όγκος δίνεται από το ολοκλήρωμα:

23 cos 4 V sin cos sin 4 4 cos4 sin sin 4 sin 4 sin 4 sin() Όπου χρησιμοποιήσαμε τις ακόλουθες τριγωνομετρικές ταυτότητες: sin( ) sin( )cos( ) cos( ) cos(4 ) cos( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) Στην περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε τον όγκο στερεού που προέρχεται από την περιστροφή του χωρίου που βρίσκεται μεταξύ δύο καμπυλών y=f () και y=f () γύρω από τον άξονα των ο όγκος ισούται με: V ( f ( ) f ( )) f ( ) f ( ) Ανάλογα, ο όγκος του στερεού που προέρχεται από την περιστροφή του χωρίου που βρίσκεται μεταξύ δύο καμπυλών =f (y) και =f (y) γύρω από τον άξονα των y ο όγκος ισούται με: Παραδείγματα V ( f ( y) f ( y)) dy. Να βρεθεί ο όγκος εκ περιστροφής, γύρω από τον άξονα των, του χωρίου που περιέχεται πάνω από τη συνάρτηση y και κάτω από την y. Τα σημεία τομής των δύο καμπυλών βρίσκονται στο ο τεταρτημόριο y,

24 και προκύπτουν από τη λύση του συτσήματος: y y y y y y ( ), y y ή ή, y y A(,) y (,) Ο όγκος του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή, γύρω από τον άξονα ', του κλειστού χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες ( f ( ) και ( ) δίνεται από τον τύπο: V f ( ) f ( ) 6. Να βρεθεί ο όγκος εκ περιστροφής, γύρω από τον άξονα των, του χωρίου που περιέχεται μεταξύ του τόξου του κύκλου y 4. y y 6 και της ευθείας 4 y 6 y 4 O 4 4

25 Βρίσκω τα σημεία τομής: y 6 y 6 ( y 4) y 6 y 8y 6 y 6 y 4 4 y 4 y 4 y y( y 4) y y 4 ή 4 y 4 y 4 y 4 y 4 y 8y 6 6 y 8y y 8y Συνεπώς: V Γενικευμένα ολοκληρώματα Ολοκληρώματα συναρτήσεων με άπειρα όρια ολοκλήρωσης ονομάζονται γενικευμένα ολοκληρώματα α είδους της f(). Έστω ότι η f() μία πραγματική συνάρτηση συνεχής α) στο διάστημα [, ) τότε β) στο διάστημα (, ] τότε γ) στο διάστημα (, ) τότε f ( ) lim f ( ) f ( ) lim f ( ) c όπου c τυχών πραγματικός αριθμός. f ( ) f ( ) f ( ) Αν το όριο (ή και τα δύο όρια στην περίπτωση γ) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα υπάρχει ή συγκλίνει. Αν το όριο δεν υπάρχει ή απειρίζεται τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα αποκλίνει. Παραδείγματα α) c 4 5

26 lim lim ln lim ln β) cos lim cos lim sin lim sin το οποίο δεν υπάρχει επειδή στην περίπτωση όπου το απειρίζεται η συνάρτηση sin() κυμαίνεται μεταξύ και -. γ) lim lim lim Ολοκληρώματα συναρτήσεων οι οποίες απειρίζονται σε κάποιο σημείο εντός του διαστήματος ολοκλήρωσης ονομάζονται γενικευμένα ολοκληρώματα β είδους της f(). Έστω ότι η f() μία πραγματική συνάρτηση συνεχής α) στο διάστημα ( τότε, ] β) στο διάστημα [, ) τότε f ( ) lim f ( ) c c γ) στο διάστημα [, c) ( c, ] τότε f ( ) lim f ( ) c c c f ( ) f ( ) f ( ) c Αν το όριο (ή και τα δύο όρια στην περίπτωση γ) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα υπάρχει ή συγκλίνει. Αν το όριο δεν υπάρχει ή απειρίζεται τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα αποκλίνει. 6

27 Παραδείγματα lim lim lim lim β) Ο παρακάτω υπολογισμός ολοκληρώματος είναι λανθασμένος. ln ln ln Ο σωστός υπολογισμός είναι ο ακόλουθος lim lim Υπολογίζουμε τα δύο ολοκληρώματα ξεχωριστά και βλέπουμε ότι δεν συγκλίνουν και το κάθε χωρίο ξεχωριστά δεν είναι φραγμένο. lim lim ln lim ln ln lim lim ln ln lim ln Το αποτέλεσμα μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει. γ) lim lim lim lim lim lim lim d( ) lim d( ) 7

28 lim lim lim lim lim lim Παρατήρηση: Υπενθυμίζουμε ότι δεν ορίζονται οποιαδήποτε τάξης ρίζα αρνητικού αριθμού και ρητές δυνάμεις αρνητικών αριθμών. Δηλαδή ορίζεται όταν. Για αυτό το λόγο αντικαθιστούμε χρησιμοποιήσαμε ότι όταν. όταν k m. Επίσης εδώ Ολοκληρώματα συναρτήσεων τα οποία μπορούν να χαρακτηριστούν συγχρόνως ως α και β είδους ονομάζονται γενικευμένα ολοκληρώματα γ είδους της f(). Παράδειγμα lim lim lim lim 8

29 Παράδειγμα, Η συνάρτηση Γάμμα Έστω φυσικός αριθμός n. Η συνάρτηση Γάμμα στη θέση n, ορίζεται από τον τύπο: n n e ( ) α) Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση, δείξατε ότι ( n ) n ( n) για n και με την βοήθεια αυτής της σχέσης την ( n ) n!,( n,,,,...) β) Στηριζόμενοι στα προηγούμενα αποτελέσματα, υπολογίστε το ολοκλήρωμα: e 6 Λύση α) Από τον ορισμό της Γάμμα συνάρτησης έχουμε: n ( ) lim n n e e Ολοκληρώνοντας παραγοντικά, έχουμε διαδοχικά: n n n ( )' [ ( )] n ( ) e e e n e Υπολογίζουμε τώρα το όριο και έχουμε n n e n e Το δεύτερο όριο είναι ίσο με ( n) L Hospitl: n n n lim e lim( e ) nlim e, ενώ το πρώτο υπολογίζεται με κανόνα n n n n n n( n ) lim( e ) lim lim lim e e e n( n )( n ) lim e Αντικαθιστώντας όλα τα προηγούμενα, έχουμε τελικά ( n ) n ( n). Στη συνέχεια θα αποδείξουμε το ζητούμενο, ( n ) n!,( n,,,,...), επαγωγικά. 9

30 Αποδεικνύουμε ότι ισχύει για n, δηλαδή δείχνουμε ότι (). Πράγματι: Δέχομαι ότι ισχύει για n k () e lim e lim( e ) δηλαδή ισχύει k k ( )! και θα δείξω ότι ισχύει για n k. Χρησιμοποιώντας τώρα τον τύπο ( n ) n ( n), έχουμε: ( k ) k ( k) k ( k )! k! β) Για να υπολογίσουμε τώρα το ολοκλήρωμα θα χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό: y dy και θα πάρουμε: 6 6 y y e e dy 6 y (7) 6! 45 y e dy Παρατήρηση: Γενικά η συνάρτηση γάμμα ορίζεται για μιγαδικούς z ως z z e ( ) Όταν ορίζεται για πραγματικούς αριθμούς είναι το ακόλουθο: y y e dy ( ) το γράφημά της

31

32 Ασκήσεις. Αν οι συναρτήσεις f( ), g ( ) είναι παραγωγίσιμες στο και η h ( ) είναι συνεχής στο τότε, χρησιμοποιώντας το πρώτο θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού, να παραγωγισθεί η συνάρτηση Λύση g( ) F( ) h( t) dt f ( ) Η F( ) ορίζεται στο και έχουμε g( ) c g( ) g( ) f ( ) οπότε F( ) h( t) dt h( t) dt h( t) dt h( t) dt h( t) dt f ( ) f ( ) c c c g ( ) g ( ) f ( ) d d d d F( ) h( t) dt h( t) dt h( t) dt f ( ) c c u u d d h( t) dt g '( ) h( t) dt f '( ) du du c ug ( ) c uf ( ) h( u) g '( ) h( u) f '( ) h( g( )) g '( ) h( f ( )) f '( ) ug ( ) uf ( ). Χρησιμοποιώντας το πρώτο θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού, να παραγωγισθεί ως προς η συνάρτηση: Λύση c F( ) ln t dt ln t dt ln t dt ln t dt ln t dt c c c d d d d F( ) ln tdt ln tdt ln t dt u u d d ln tdt ( )' ln tdt ( )' du c du c u u c F( ) ln t dt t t ln ( )' ln ( )' ln ln (9 4 )ln u u. Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Tylor της f ( ) e κέντρου Αναπτύξτε e ( ) σε σειρά Tylor κέντρου τη συνάρτηση f( ). c

33 Χρησιμοποιώντας 4 όρους του αναπτύγματος αυτού υπολογίστε μία προσέγγιση του ολοκληρώματος Λύση. f ( ). 4 5 e...!! 4! 5! 4 5 e...!! 4! 5! 4 5 e ( )...!! 4! 5! 4 5 e ( )......!! 4! 5!! 4! 5! Οπότε e ( )......! 4! 5!!! 4! 4 5! Κρατώντας έτσι τους όρους για n,,, έχουμε:.. 4 e ( ) Με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης υπολογίστε το ορισμένο ολοκλήρωμα I ln( ). Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα τους 5 πρώτους όρους του πολυωνύμου Tylor με κέντρο το, υπολογίστε μία προσέγγιση του παραπάνω ολοκληρώματος. Υπολογίστε το απόλυτο και το απόλυτο σχετικό σφάλμα της προσέγγισης όταν σας δίνεται ότι ln() Λύση Το αόριστο ολοκλήρωμα ln( ) ' ln( ) ln( ) ln( ) ' ln( )

34 ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln c Οπότε ln( ) ln() ln ln() Το ανάπτυγμα τους 5 πρώτους όρους του πολυωνύμου Tylor με κέντρο το της συνάρτησης f ( ) ln( ) είναι το ακόλουθο: 4 5 ln( ) ln( ) Το απόλυτο σφάλμα είναι ίσο με Το απόλυτο σχετικό σφάλμα είναι ίσο με Να αναπτυχθεί σε σειρά Tylor κέντρου η συνάρτηση χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα της να f ( ) e και υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e σε μορφή σειράς. Πόσους όρους πρέπει να κρατήσουμε ώστε το σφάλμα να είναι μικρότερο του - ; Λύση Το ανάπτυγμα βρίσκεται ως εξής: 4

35 e e !! 4! 5! 6! 7! 8! !! 4! 5! 6! 7! 8! e...!! 4! 5! 6! 7! 8! !! 4! 5! 6! 7! 8! Το ολοκλήρωμα βρίσκεται ως εξής: e Κάθε όρος που προστίθεται ή αφαιρείται στην παραπάνω σειρά είναι μεγαλύτερος από αυτούς που τον ακολουθούν. Οπότε, ο όρος αυτός, ως μέγεθος, είναι κυρίαρχος στο σφάλμα της προσέγγισης όταν επιλέξουμε να προσεγγίσουμε το ολοκλήρωμα με όλους τους προηγούμενουςαπό αυτόν όρους. Εφόσον θέλουμε το σφάλμα να είναι μικρότερο του - είναι φανερό ότι πρέπει να κρατήσουμε τουλάχιστον 7 όρους μιας και η κυρίαρχη ποσότητα στο σφάλμα, σε μία τέτοια περίπτωση θα είναι ο 8 ος όρος ο οποίος είναι.74. Εναλλακτικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι εάν σε μία εναλλάσσουσα σειρά Tylor, δηλαδή σειρά με μορφή n ( ) n, n στην οποία οι συντελεστές εναλλάσσουν το πρόσημό τους, χρησιμοποιήσουμε το μερικό άθροισμα k n n ( ), n n για να προσεγγίσουμε μία συνάρτηση, τότε το σφάλμα που προκύπτει δεν υπερβαίνει (κατ απόλυτη τιμή) τον πρώτο όρο που αγνοούμε, δηλαδή τον όρο k+. 5

36 Χρησιμοποιώντας και πάλι το ανάπτυγμα Tylor της εκθετικής συνάρτησης έχουμε: n n n n n f ( ) e n! n! n n n n n n! Οπότε το ολοκλήρωμα είναι ίσο με n n e n n n n n n n n n n n n n n!(n) n! n! n! n Σύμφωνα με την υπόδειξη, αν κρατήσουμε n-όρους σε αυτό το ανάπτυγμα της σειράς αυτής που είναι εναλλάσσουσα, θα έχουμε σφάλμα κατ απόλυτη τιμή μικρότερο του ψηφίων θα πρέπει n. Αν λοιπόν θέλουμε ακρίβεια δεκαδικών ( n)!( n) n ( n)!( n) Κρατώντας έτσι 7 όρους έχουμε: το οποίο επιτυγχάνεται για n !! 5! 7 4! 9 5! 6! 7! 5 6. Έστω ότι θέλουμε να καλύψουμε με ταπετσαρία μία επιφάνεια της μορφής του γραμμοσκιασμένου σχήματος που ακολουθεί. Για να υπολογίσουμε προσεγγιστικά το εμβαδό της επιφάνειας μετρήσαμε ανά μέτρο το ύψος της επιφάνειας και καταγράψαμε τις ακόλουθες τιμές 6

37 Χρησιμοποιήστε αυτές τις τιμές και τον Κανόνα του Τραπεζίου για να προσεγγίσετε το εμβαδό της επιφάνειας. Λύση Είναι σαν να χρειάζεται να υπολογίσουμε προσεγγιστικά το I f ( ) όπου μπορεί να είναι άγνωστη η συνάρτηση αλλά γνωρίζουμε τις τιμές της σε μία διαμέριση του διαστήματος ολοκλήρωσης [,] πλάτος h δηλαδή n. Οπότε I f ( ) ( f ( ) f ( ) f ( ) f ( 9) f ( )) Όπου οι τιμές λαμβάνονται από τον ακόλουθο πίνακα: i i f( i ) Οπότε I ( f ( ) f ( ) f ( ) f ( 9 ) f ( )).5 ( ) Να σχεδιάσετε το χωρίο που περικλείεται μεταξύ των γραφημάτων των συναρτήσεων f και του: g με, και να υπολογίσετε το εμβαδόν f, g,,. Να επαληθεύστε το αποτέλεσμά σας, υπολογίζοντας το ζητούμενο εμβαδόν με στοιχειώδη γεωμετρία, απ ευθείας από την γραφική παράσταση της συνάρτησης. Λύση: 7

38 y y y Προφανώς f,και ο τύπος της είναι ο ακόλουθος: f ( ) Οπότε E f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 Το αποτέλεσμα αυτό συμπίπτει με αυτό που βρίσκουμε αν υπολογίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν από το παραπάνω σχήμα αθροίζοντας το εμβαδόν του κάτω παραλληλογράμμου (με βάση και ύψος ) με αυτό των άνω δύο τριγώνων που συνθέτουν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο βάσης και ύψους. 8. Να υπολογιστεί το εμβαδόν της περιοχής που βρίσκεται κάτω από τη καμπύλη y ΛΥΣΗ και πάνω από τη καμπύλη y ( ) ; 8

39 y( ) y Θα βρούμε πρώτα τα κοινά σημεία των καμπυλών y λύνοντας την εξίσωση: και y( ) ( )( 4). Άρα 4 4 ( ) ( 5 4) Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( ), και g( ),. α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f καθώς και την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα γραφήματα των συναρτήσεων f και g και τις κατακόρυφες ευθείες = και =. Υπόδειξη: Προκειμένου να συγκρίνετε τις συναρτήσεις f και g στο διάστημα [,], χρησιμοποιήστε το ερώτημα (α). Λύση Υπολογίζουμε την παράγωγο της f : 4 f '( ) ( )'.( 7) ( 7)' ( 7).4 (8 ) ( 7) ( 7) ( 7) (9 )( )( ) 4. ( 7) Παρατηρούμε ότι f '( ) στα διαστήματα (,) και (,) και f '( ) στα διαστήματα 9

40 (,) και (,+) (το άρα που είναι ρίζα της παραγώγου δεν επηρεάζει την μονοτονία). Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ) και (, ). Επίσης έχουμε:,) και γνησίως lim f( ) lim lim, f( ) για, ( ) ( ) 4 4 f( ) για και f (). Άρα η μέγιστη τιμή της f είναι για = ίση με τιμή για = ίση με f ( ) f () και η ελάχιστη Συμπεραίνουμε άρα ότι f( ) για κάθε. 4 4 β) Από το ερώτημα (α) συμπεραίνουμε ότι για κάθε έχουμε g( ) f ( ), άρα το γράφημα της g στο διάστημα [,] βρίσκεται 4 4 πάνω από αυτό της f. Οπότε, το ζητούμενο εμβαδόν είναι E ( g( ) f ( )) ( ) Το πρώτο ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα και είναι 4

41 /. ( ) Στο δεύτερο εκτελούμε την αντικατάσταση 4 u 7, du 4 και έχουμε 4 du 7 4 u ln u c ln 7 c άρα 4 Συνεπώς 4 ln( 7) ln8 ln 8 ln ln E 7 ( ) ln, Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή, γύρω από τον άξονα ', του κλειστού χωρίου που περικλείεται από τις παραβολές y 9και 9y. Λύση y 9 A(9,9) 9y (,) Τα σημεία τομής των δύο παραβολών βρίσκονται στο ο τεταρτημόριο y, και προκύπτουν από τη λύση του συτσήματος: , y ή 9 9 9, y 9 y 9 y 9 y 9 y y y y 9 y 9 ή Ο όγκος του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή, γύρω από τον άξονα ', του κλειστού χωρίου που περικλείεται από τις παραβολές 4

42 ( f ( ) και ( ) f ) δίνεται από τον τύπο : ( ) ( ) V f f Να υπολογισθεί ο όγκος του σχήματος που προκύπτει αν περιστρέψουμε τη συνάρτηση y e γύρω από τον άξονα των από = ως = Λύση Σύμφωνα με τον τύπο που είδαμε παραπάνω ο ζητούμενος όγκος υπολογίζεται ως εξής: ( V e ) e. Το αόριστο ολοκλήρωμα e υπολογίζεται εύκολα με διαδοχικές παραγοντικές ολοκληρώσεις e e e c 4

43 e e e e e e ' e e c 4 e e e e e e e e e C e ( + + ) + C 4 4 Οπότε το γενικευμένο ολοκλήρωμα είναι το ακόλουθο: V e lim e ( + + ) lim e και ο ζητούμενος όγκος ισούται προς 4. Εδώ χρησιμοποιήσαμε τα όρια lim e ' e e e lim e lim lim lim lim e lim lim lim lim ' e e e e. Να υπολογιστεί το γενικευμένο ολοκλήρωμα I e Λύση Για το αντίστοιχο αόριστο ολοκλήρωμα έχουμε e e e e e e e e e e 4e c 4

44 Επομένως, I lim e 4e lim 4 e 4e 4 αφού με εφαρμογή του κανόνα De L Hospitl έχουμε lim e lim lim lim e e e. Έστω το ορισμένο ολοκλήρωμα. Δείξτε ότι με απευθείας ( ) χρήση των κανόνων ολοκλήρωσης ισούται με -. Αυτό όμως είναι λάθος (γιατί;). Στη συνεχεία βρείτε το σωστό αποτέλεσμα. Λύση Εάν προχωρήσουμε αφελώς στην αντικατάσταση u, du και την αντίστοιχη αλλαγή στα όρια ολοκλήρωσης για, u και για, u, έχουμε u du u du u u, πράγμα εντελώς παράδοξο για το ολοκλήρωμα μιας θετικής συνάρτησης στο διάστημα από μεχρι (!). Όμως το, είναι ανώμαλο σημείο της συνάρτησης επειδή lim. Οπότε ακολουθούμε τον ορισμό γενικευμένου ολοκληρώματος: 44

45 lim lim c c c c c c c c c lim lim lim lim c c. Δείξτε ότι e ln(), χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση την ανάλυση σε απλά κλάσματα. y e και Λύση Θα υπολογίσουμε κατ αρχάς το αόριστο ολοκλήρωμα και το ολοκλήρωμα γίνεται: u e du e du du e u e du uu ( ). Θέτουμε e αυτό είναι ένα ρητό ολοκλήρωμα. Για να το υπολογίσουμε θα αναλύσουμε το κλάσμα σε άθροισμα απλών κλασμάτων: A B A( u) Bu ( AB) u A ( ) ( ) ( ), u u u u u u u u A B και το ολοκλήρωμα γίνεται: du du du u( u) u u ln u ln u C e και τελικά: ln ln ln e e C C e e Το ορισμένο ολοκλήρωμα τώρα είναι: ln e ln e ln e ln e e e e e Και τελικά έχουμε: lim lim ln ln e e e e Με τον κανόνα L Hopitl υπολογίζουμε το όριο lim ln Αλλά e και επομένως ( ) lim lim e e e lim e ( e ) e e e e lim ln ln lim ln() και το γενικευμένο ολοκλήρωμα τελικά γίνεται: e ln lim e e. 45

46 e e e e lim lim ln ln ln() ln [ln() ln()] ln(). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος. Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό. Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα :. Thoms Clculus th edition, Wier, Hss, Jiordno, Person AW. Thoms Απειροστικός Λογισμός, Finney, Hss, Jiordno, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ για Μηχανικούς Α. Αθανασιάδη Εκδόσεις Τζιόλα. Και υπόκεινται στο Copyright των εκδόσεων αυτών. 46

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα

2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Σειρές Fourier. Σειρές Fourier. Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα Μία συνάρτηση f() είναι περιοδική με περίοδο όταν ισχύει f(+)=f(). Η ελάχιστη δυνατή περίοδος λέγεται και θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θέμα Α) Να δείξετε ότι αν f μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ και F μια παράγουσα της f στο Δ τότε: α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(χ) = F ( ) +c, c είναι παράγουσες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Ολοκλήρωση. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

Βιομαθηματικά BIO-156. Ολοκλήρωση. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017 Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή παράγουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier 3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα 5. Διπλά Ολοκληρώματα σε ορθογώνιο χωρίο. 5.. Εισαγωγή Έστω ότι η f (, ) είναι ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d (, ) A c a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση

2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση --8 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση η Υπολογίστε τα κάτωθι όρια: cos α) β) γ) δ) ε) sin 5 α) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital μια φορά (απροσδιοριστία της μορφής /)

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 8-9. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.. (i) Βρείτε μία παράγουσα της + στο (, + ). Ποιές είναι όλες οι παράγουσες της + στο (, + ); (ii) Βρείτε μία παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλέφωνο: 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή, 19/05/2017 8:00 11:00

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f() ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F() για την οποία ισχύει F ()=f(). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F()=

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Μαρτίου 7 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση ΓΕΛ. ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 202- Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΙΟΥ. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση Το πρόβλημα μελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα από Φάνης Μαργαρώνης Φροντιστήρια Ρούλα Μακρή Τομέας μαθηματικών ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1

Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1 ΘΕΜΑ Έστω οι συναρτήσεις, g με () και g() ln( + ) +. Να αποδείξετε ότι οι C, C g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. Στη συνέχεια να δείξετε ότι στο σημείο αυτό έχουν κοινή εφαπτόμενη, την οποία και να βρείτε.

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 24, 25 Διπλό ολοκλήρωμα

Ανασκόπηση-Μάθημα 24, 25 Διπλό ολοκλήρωμα Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 4, 5 Διπλό ολοκλήρωμα Στο μαθήματα 4 και 5 ( //8, 6 //8 ), μιλήσαμε για το διπλό ολοκλήρωμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 4 Άσκηση (5 μον) Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ R έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη θεωρήματος σελ. 99 σχολικού βιβλίου. Α. α. Ψευδής β. Θεωρούμε τη συνάρτηση, 0 g, 0 η οποία έχει γραφική παράσταση (σχήμα σχολικού βιβλίου σελ.5): y O y=g() Η g είναι συνάρτηση στο Ag

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( )

1. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι. β α. = [f (x) ηµx] - [f (x) συνx] β α. ( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση, να αποδείξετε ότι β ( f () f () ) + α ηµ d β α = [f () ηµ] - [f () συν] β α. ( ) β) Αν f () = ηµ, να αποδείξετε ότι f () + f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη θεωρήματος σελ 99 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα