Ατομική και Μοριακή Φυσική

Transcript

1 Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Σύστημα πολλών ηλεκτρονίων Λιαροκάπης Ευθύμιος

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σύστημα πολλών ηλεκτρονίων 9. Η προσέγγιση του κεντρικού πεδίου δυναμικού Για τον υπολογισμό των ενεργειακών καταστάσεων ενός ατόμου με πολλά ηλεκτρόνια θα πρέπει να υπολογίσουμε διάφορες συνεισφορές, όπως π.χ. την ηλεκτροστατική ενέργεια ανάμεσα στα ηλεκτρόνια, τις σχετικιστικές διορθώσεις της κινητικής ενέργειας, την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιακού, την επίδραση της πεπερασμένης διάστασης του πυρήνα, τις αλληλεπιδράσεις σπιν-σπιν των ηλεκτρονίων, όπως και με το σπιν του πυρήνα, κλπ. Όπως είναι προφανές, αυτό δεν μπορεί να γίνει αναλυτικά, παρά μόνο με διαδοχικές προσεγγίσεις της αρχικής χαμιλτονιανής. Ας ξεκινήσουμε από την χαμιλτονιανή του Schödinge και ας λάβουμε υπόψη μόνο την ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση ανάμεσα στα ηλεκτρόνια Ze e H = i + (9.) i m oi i, oi Προκύπτει ότι η διαταραχή i, 4 i o i i e είναι πολύ ισχυρή και συγκρίσιμη με πε την ενέργεια που προέρχεται από τους πρώτους όρους, επομένως, δεν μπορεί να θεωρηθεί ως διαταραχή. Για τον υπολογισμό, θα χρειαστεί να ληφθεί υπόψη στην αρχική χαμιλτονιανή ένα μέρος της διαταραχής, χωρίς όμως να αλλοιώνει την δυνατότητα επίλυσης της εξίσωσης με σχετικά εύκολο τρόπο. Μια τέτοια περίπτωση προτάθηκε από τους D.R. Hatee και Y.A. Foc καθώς και τον J.C. Slate και είναι η προσέγγιση του κεντρικού πεδίου δυναμικού. Δηλαδή η παραδοχή ότι το κάθε ηλεκτρόνιο νοιώθει μια αλλοιωμένη «κεντρική» δύναμη, εξ αιτίας της παρουσίας των άλλων ηλεκτρονίων. Μέσω της κατάλληλης επιλογής αυτού του δυναμικού είναι δυνατόν να υπολογίσουμε την επίδραση της υπόλοιπης ηλεκτροστατικής δύναμης, που θα είναι πολύ μικρότερη των ενεργειών που προκύπτουν. Δηλαδή θα θεωρήσουμε ότι Ze V() = + S() (9.) o Όπου S() είναι ένα κεντρικό δυναμικό που πρέπει να προσδιοριστεί κατάλληλα. Παρατηρούμε ότι για μεγάλες αποστάσεις το ηλεκτρόνιο θα «νοιώθει» το δυναμικό από τον πυρήνα Ze και τα υπόλοιπα (Ν-) ηλεκτρόνια (στην γενική περίπτωση ιονισμένου ατόμου θα υπάρχουν N < Z ηλεκτρόνια). Επομένως, για μεγάλες αποστάσεις, θα έχουμε ότι το δυναμικό θα προσεγγίζεται από την σχέση ( Z N + ) N Ze e + = (9.) oi = oi oi Για ουδέτερο άτομο Ν = Ζ και το δυναμικό θα είναι e o. i Όταν όμως 0 (κοντά στον πυρήνα) η θωράκιση που νοιώθει θα είναι πολύ μικρή και κατά προσέγγιση θα ισχύει ότι 9-

4 Ze V() o (9.4) Όμως, ο προσδιορισμός του δυναμικού V() στις ενδιάμεσες αποστάσεις είναι δύσκολος και γι αυτό έχουν αναπτυχθεί κάποια μοντέλα (Thomas-Femi και Hatee- Foc). Το ίδιο ενεργό δυναμικό V() δεν θα μπορεί να αναπαράξει ολόκληρο το φάσμα ενός συνθέτου ατόμου. Μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί με αρκετή ακρίβεια για τον υπολογισμό της βασικής ενεργειακής κατάστασης, καθώς και των πρώτων διηγερμένων καταστάσεων. Θα γράψουμε H = H c + H (9.5) Όπου N H c = i + V( i) (9.6) i= m Και N N e e Ze H = S( i) = + V( i) (9.7) o i< i i o i< i i oi Τα V( i ) θα επιλεγούν με τρόπο που να κάνουν την διαταραχή μικρή. Θα πρέπει αρχικά να λύσουμε την εξίσωση H ψ = V( ) E c c + ψ = ψ m i i (9.8) c c c Η ζητούμενη κυματοσυνάρτηση ψ θα μπορεί να χωριστεί στις επί μέρους μεταβλητές του κάθε ηλεκτρονίου και να δώσει ότι ψ = u ( ) u ( ) u ( ) (9.9) c a a an N Όπου οι συναρτήσεις u ( ) θα ικανοποιούν τις εξισώσεις ai i i + V( i) unlm ( ) = E ( ) l nlunlm l m Με ( a) = ( nlm l ) Η λύση αυτής της εξίσωσης θα είναι της μορφής u ( ) = R ( ) Y ( θ, φ) nlm nl lm l l (9.0) (9.) Όπου εκφράστηκαν συναρτήσει των σφαιρικών αρμονικών Ylm l ( θ, φ ) και των Rnl () d d l( l+ ) + + V() R () () nl = EnlRnl (9.) md md m Πάλι ο κύριος κβαντικός αριθμός θα δίνεται από στην σχέση n= n + l+, όπου n θα ορίζει τον αριθμό των κόμβων. Επομένως θα ισχύει ότι n =,, l = 0,,, n (9.) m = l, l+,, l, l l 9-

5 Φυσικά, οι συναρτήσεις Rnl () θα διαφέρουν από τις αντίστοιχες του δυναμικού Coulomb. Τα E nl δεν θα εξαρτώνται από την τιμή του m l, αλλά στην γενική περίπτωση θα εξαρτώνται και από το l σε αντίθεση με τα αποτελέσματα για το δυναμικό Coulomb. Η συνολική ενέργεια του ατόμου με Ν ηλεκτρόνια θα δίνεται από την E c N = E (9.4) i= nl ii Αν οι συντεταγμένες δύο ηλεκτρονίων αντιμετατεθούν, η ενέργεια δεν θα αλλάξει (εκφυλισμός αντιμετάθεσης-exchange degeneacy). Ας εφαρμόσουμε την αρχή των μεταβολών μέσω των δοκιμαστικών συναρτήσεων ψ = ϕ( ) ϕ( ) ϕn( N) (9.5) Η συναρτησιακή της ενέργειας θα πάρει την μορφή * N ψ H ψd E[ ψ ] = * N ψψ d (9.6) Αυτή θα γίνεται μικρότερη όσο η δοκιμαστική συνάρτηση ψ θα πλησιάζει την πραγματική ιδιοσυνάρτηση. Ελαχιστοποιώντας ως προς τις μεταβολές με τις φ ι συναρτήσεις προκύπτουν οι σχέσεις i + V( i) ϕi( i) = Eiϕi( i) m Ze * e V( i) = ϕ( ) ϕ( ) d + o i o i (9.7) (9.8) Που κανονικά δεν είναι σφαιρικά συμμετρικές, αλλά μπορούν να γίνουν λαμβάνοντας τον μέσο όρο ως προς όλες τις διεθύνσεις του i. 9. Η απαγορευτική αρχή του Pauli Εξ αιτίας της απαγορευτικής αρχής του Pauli, θα πρέπει η συνολική κυματοσυνάρτηση (περιλαμβάνοντας και το σπιν) να είναι αντισυμμετρική στις συντεταγμένες χώρου και σπιν των Ν σωματιδίων. Αν η κυματοσυνάρτηση έχει την μορφή ψ ( q, q, q N ), τότε θα πρέπει ψ ( q, q, q, q, q ) = ψ ( q, q, q, q, q ) (9.9) i N i N Επομένως, δεν μπορούν δύο ηλεκτρόνια να βρεθούν στην ίδια κατάσταση με το ίδιο σπιν, γιατί αν ταυτίσουμε τα qi = q, τότε ψ = 0. Για να πετύχουμε να φτιάξουμε τις κυματοσυναρτήσεις, μπορούμε να αθροίσουμε διαδοχικά τα σπιν. Π.χ., για τρία ηλεκτρόνια, μπορούμε να προσθέσουμε πρώτα τα δύο σπιν και μετά στο άθροισμα, το τρίτο. Τα δύο πρώτα θα δίνουν ένα singlet με S = 0 και ένα tiplet με S =. Το τρίτο ηλεκτρόνιο με το singlet θα δώσει ένα doublet. Ενώ η πρόσθεση του tiplet με S = στο τρίτο θα δώσει ένα με S =/ και ένα άλλο με S = /. Το πρώτο συνιστά ένα άλλο doublet, ενώ το δεύτερο με S = 9-

6 / αποτελεί μια 4πλή κατάσταση. Τελικά οι καταστάσεις θα είναι οι ακόλουθες, που υπολογίζονται εύκολα από τους πίνακες Clebsch-Godan. S M S [ α() α() β() α() β() α() ] [ β() β() α() β() α() β() ] [ α() α() β() + α() β() α() β() α() α() ] 6 [ β() β() α() + β() α() β() α() β() β() ] 6 α() α() α() [ α() α() β() + α() β() α() + β() α() α() ] [ β() β() α() + β() α() β() + α() β() β() ] β() β() β() (9.0) Έτσι για την κυματοσυνάρτηση της κατάστασης (s )s με συνολικό σπιν S=/ θα υπάρχουν δύο περιπτώσεις για την προβολή του σπιν M S = ± /. Στην περίπτωση που M S = / θα πρέπει η κυματοσυνάρτηση να έχει την μορφή Ψ ( q, q, q) = ψa (,, ) [ α() α() β() α() β() α() ] + (9.) + ψb(,, ) [ α() α() β() + α() β() α() β() α() α() ] 6 όπου έχουν επιλεγεί τα ψ a, ψ b ώστε η Ψ να είναι αντισυμμετρική στο σύνολό της. Αντίστοιχα μπορούμε να γράψουμε τον συνδυασμό για την περίπτωση που M S = -/. 9. Ορίζουσα του Slate Στην περίπτωση του κεντρικού δυναμικού θα έχουμε συναρτήσεις της μορφής u ( q) = u ( ) χ = R ( ) Y ( θφχ, ) (9.) nlm m nlm /, m nl lm /, m l s l s l s Όπου + V() unlmlm = E s nlunlmlm (9.) s m Η ενέργεια E nl δεν θα εξαρτάται από τις προβολές της στροφορμής και του σπιν, επομένως θα υπάρχει εκφυλισμός τάξης (l+). Για να κατασκευάσουμε την κυματοσυνάρτηση των Ν ηλεκτρονίων από τις κυματοσυναρτήσεις του κάθε ηλεκτρονίου, χρησιμοποιούμε την μεθοδολογία των οριζουσών του Slate. Έτσι, αν έχουμε Ν ηλεκτρόνια στις καταστάσεις σπιν και χώρου ( nlm,,, m) q, όπου το ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται στην κατάσταση α το l s i 9-4

7 άλλο στην β κλπ, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε την ορίζουσα τάξης Ν Ν του Slate uα( q) uβ( q) uν( q) uα( q) uβ( q) uν( q)... Ψ ( q, q, qn ) = N!... (9.4)... u ( q ) u ( q ) u ( q ) α N β N ν N Που είναι προφανώς αντισυμμετρική ως προς τις αντιμεταθέσεις δύο ηλεκτρονίων, αφού αλλάζει το πρόσημο της ορίζουσας. Επί πλέον, αν δύο γραμμές ή στήλες είναι ίδιες η ορίζουσα μηδενίζεται, ικανοποιώντας την απαγορευτική αρχή του Pauli. Ο παράγοντας χρειάζεται για την κανονικοποίηση της συνολικής N! κυματοσυνάρτησης, και προέρχεται από το γεγονός ότι υπάρχουν Ν! αντιμεταθέσεις των συντεταγμένων q, q, qn των ηλεκτρονίων, επομένως και Ν! όροι στο ανάπτυγμα της ορίζουσας. Η ενέργεια που αντιστοιχεί στην ορίζουσα του Slate ορίζει και την ενέργεια των Ν ηλεκτρονίων. Αν ορίσουμε ως Ρ την πράξη αντιμετάθεσης των συντεταγμένων (χωρικών και σπιν) των ηλεκτρονίων, τότε η ορίζουσα του Slate μπορεί να γραφτεί ως Ψ q, q, q = ( ) Pu ( q ) u ( q ) u ( q ) (9.5) ( ) p c N α β ν N N! p Όπου το (-) Ρ ισούται με + όταν το Ρ είναι άρτιος αριθμός αντιμεταθέσεων και - όταν είναι περιττός. Η άθροιση θα γίνεται ως προς το σύνολο των αντιμεταθέσεων. Κατά την αντιστροφή έχουμε ότι i και η ορίζουσα του Slate θα i l l ln li αλλάζει πρόσημο ανάλογα με το πρόσημο του όρου ( ) ( ) ( ) = ( ) i, δηλαδή θα έχει αυτή την paity. Στην απλή περίπτωση του ηλίου, οι κυματοσυναρτήσεις της βασικής κατάσταση (s) που δημιουργείται από τις συναρτήσεις του κάθε ηλεκτρονίου θα έχουν την μορφή u00,/ = u00( ) χ/,/ = u00( ) α, u00, / = u00( ) χ/, / = u00( ) β (με χρήση των δύο συναρτήσεων α,β των καταστάσεων των σπιν). Επομένως, σύμφωνα με την ορίζουσα του Slate, θα έχουμε στην προσέγγιση αυτή ότι u00( ) α() u00( ) β() Ψ c ( q, q) = = u00( ) α() u00( ) β() (9.6) = u00( ) u00( ) [ α() β() α() β() ] Μπορούμε να αποδείξουμε ότι η χαμιλτονιανή H c αντιμετατίθεται με τους τελεστές N N L = Li και S = Si, δηλαδή με την συνολική στροφορμή και το συνολικό σπιν. i= i= Έτσι ισχύει ότι H c, L = H c, S = 0. (9.7) 9-5

8 Επομένως, είναι δυνατόν να βρούμε ιδιοσυναρτήσεις της H c που να είναι και ιδιοσυναρτήσεις των L, S, Lz, S z με ιδιοτιμές LL+ ( ), SS+ ( ), M L και M. Για το λόγο αυτό, μπορούμε να σχηματίσουμε ιδιοσυναρτήσεις της μορφής S γ LSM LM S, όπου το γ θα εκφράζει κάποιο επί πλέον χαρακτηριστικό της κυματοσυνάρτησης. Όμως στην ορίζουσα του Slate χρησιμοποιήσαμε τις συναρτήσεις u nlmlm που s εκφράζονται συναρτήσει των κβαντικών αριθμών nlm,, l, m. s Για τον λόγο αυτό, η ορίζουσα του Slate είναι ιδιοσυνάρτηση των τελεστών L z και S z, αλλά όχι κατ ανάγκη και των L και S. Για να πετύχουμε ιδιοσυναρτήσεις των L, S, Lz, S z με βάση τις ορίζουσες του Slate, θα πάρoυμε έναν γραμμικό συνδυασμό τoυς. Η περίπτωση του ηλίου που εξετάσαμε παραπάνω είναι μια απλή εφαρμογή όπου, εξ αιτίας του γεγονότος ότι L= S = 0, μια μόνη ορίζουσα του Slate είναι ιδιοσυνάρτηση όλων των τελεστών L, S, Lz, S z. Στην γενική περίπτωση όμως θα χρειαστεί ένας γραμμικός συνδυασμός οριζουσών Slate. Με χρήση της συμμετρίας του συστήματος μπορεί να γίνει πιο εύκολη η όλη διαδικασία. Ως απλό παράδειγμα ας θεωρήσουμε δύο ηλεκτρόνια στην p στιβάδα. Αν αγνοήσουμε το σπιν, το καθένα ηλεκτρόνιο θα μετασχηματίζεται όπως ένα διάνυσμα () ή μια τριάδα σφαιρικών συναρτήσεων D = ( Y, Y0, Y ) με τροχιακή στροφορμή l=. Ο συνδυασμός των δύο διανυσμάτων θα μετασχηματίζεται όπως το γινόμενο () () D D. Από τον συνδυασμό των δύο στροφορμών l = l = θα έχουμε μια ολική στροφορμή 0, που αποτελείται από το άθροισμα lo λ () () () () (0) D D = D + D + D με (5)+()+()=(9) συνιστώσες. Αν ξεκινήσουμε από τις ιδιοσυναρτήσεις u m του κάθε ηλεκτρονίου με στροφορμή = και προβολή m, τότε η δράση των τελεστών στροφορμής I = I ± ± x ii και y I z θα δώσει I+ um = ( + ) m( m+ ) um+ I um = ( + ) m( m ) um (9.8) Iu = mu z m m () () Για την αναπαράσταση της D θα ξεκινήσουμε από τον συνδυασμό U = uυ που έχει = και μέγιστη προβολή m =. Με επίδραση του τελεστή I θα δημιουργήσουμε () IU = ( Iu ) υ+ u( I υ) = u0υ+ uυ0 = ( u0υ+ uυ0) (9.9) () () () Όμως I U = U. Επομένως, U = ( uυ 0 + u0υ) (9.0) Θα έχουμε επίσης ότι (9.) () IU = ( ) 0 ( 0) ( 0) 0( ) Iu υ + u I υ + Iu υ + u I υ = = ( u0υ 0 + uυ + u υ+ u0υ0) = uυ + u0υ0 + u υ 9-6

9 () () () Όμως I U = 6 U0. Επομένως U0 = ( uυ + u0υ0 + u υ) 6 (9.) () Παρόμοια προκύπτει ότι U = ( u υ 0 + u0υ ) (9.) () και U = u υ. (9.4) () () Για να βρούμε το U της τριάδας U, θα πάρουμε έναν γραμμικό συνδυασμό των u0υ και uυ 0 που να είναι ορθογώνιος με τις προηγούμενες συναρτήσεις. Ένας () τέτοιος συνδυασμός είναι ο U = ( u0υ uυ 0). (9.5) () Από αυτό προκύπτει ότι U0 = ( u υ uυ ) (9.6) () και U = ( u υ 0 u0υ ) (9.7) (0) Για το U 0 θα πρέπει να πάρουμε συνδυασμό των u0υ0, uυ, u υ κάθετο σε όλες τις (0) προηγούμενες συναρτήσεις. Προκύπτει ότι U0 = ( u υ + uυ u0υ0) (9.8) 9.4 Οι ηλεκτρονικές καταστάσεις στο κεντρικό δυναμικό πεδίο Με βάση τα προηγούμενα είναι δυνατόν να συνδυάσουμε τις στροφορμές για περισσότερα του ενός ηλεκτρόνια. Μέσω της παραδοχής του κεντρικού δυναμικού αποσυμπλέκουμε τις κυματοσυναρτήσεις των Ν ηλεκτρονίων, που δύνανται να υπολογιστούν αν γνωρίζουμε τα δυναμικά V(). Από την ορίζουσα του Slate ή έναν κατάλληλο γραμμικό συνδυασμό των οριζουσών μπορούμε να βρούμε τις ιδιοσυναρτήσεις της χαμιλτονιανής H c καθώς και τις ενέργειες E nl. Επειδή γνωρίζουμε τις σφαιρικές αρμονικές και τις συναρτήσεις του σπιν, ουσιαστικά λύνουμε την αντίστοιχη κυματική εξίσωση για το ελκτικό δυναμικό V(). Όταν το V() είναι το δυναμικό του Coulomb, τότε όλες οι καταστάσεις με l = 0,,, ( n ) έχουν την ίδια ενέργεια για συγκεκριμένο n. Όμως στο πραγματικό άτομο η θωράκιση των άλλων ηλεκτρονίων μειώνει την ελκτική δύναμη και το φαινόμενο αυτό γίνεται πιο αισθητό όσο τα n και l αυξάνουν, γιατί τα ηλεκτρόνια βρίσκονται πιο μακριά από τον πυρήνα. Για τον λόγο αυτό, για σταθερό l η Enl αυξάνει με το n, και για σταθερό n αυξάνει με το l (το μεγάλο l αντιστοιχεί σε μεγάλη στροφορμή και επομένως τα ηλεκτρόνια βρίσκονται σε μεγαλύτερες αποστάσεις). Γενικά το E nl αυξάνει με το άθροισμα n+l. Αν επικεντρωθούμε στην βασική κατάσταση και στις πρώτες διηγερμένες, τότε η αλληλουχία των ενεργειακών καταστάσεων είναι περίπου η ίδια για όλα τα άτομα και είναι: s, s, p, s, p, (4s, d), 4p, (5s 4d), 5p, (6s, 4f, 5d), 6p, (7s, 5f, 6d)... (9.9) Με τις παρενθέσεις υποδηλώνονται οι καταστάσεις που έχουν περίπου την ίδια ενέργεια και γι αυτό η σειρά κατάληψης μπορεί να αλλάζει σε διαδοχικά στοιχεία του περιοδικού πίνακα. 9-7

10 Αν υπάρχουν ν ηλεκτρόνια σε μ ενεργειακά εκφυλισμένες (ν<μ) καταστάσεις, μ! θα υπάρχουν τρόποι να κατανεμηθούν τα ηλεκτρόνια στις καταστάσεις. ν!( μ ν)! Π.χ. για τον άνθρακα με βασική κατάσταση την s s p 6, θα υπάρχουν = 5 τρόποι τοποθέτησης των δύο ηλεκτρονίων στην εξωτερική p στιβάδα (οι άλλες δύο είναι πλήρως συμπληρωμένες). Θα πρέπει όμως η διάταξη των ηλεκτρονίων να ακολουθεί την απαγορευτική αρχή του Pauli. Κάποιοι εμπειρικοί κανόνες για τον τρόπο συμπλήρωσης των στιβάδων οφείλονται στον Hund και αναφέρονται παρακάτω. Μπορούμε να προβλέψουμε τις διαφορετικές δυνατότητες με βάση την άθροιση των στροφορμών των επί μέρους ηλεκτρονικών καταστάσεων των εξωτερικών (μη-πλήρως συμπληρωμένων) στιβάδων. Επειδή υπάρχουν αφ ενός μεν οι τροχιακές στροφορμές αφ ετέρου δε τα σπιν, γεννάται το ερώτημα με ποια σειρά θα πρέπει να προστεθούν οι στροφορμές (εξωτερικές και εσωτερικές). Γενικά ισχύει ότι οι πλήρεις στιβάδες έχουν συνολική στροφορμή μηδέν και επομένως δεν λαμβάνονται υπόψη στον υπολογισμό των δυνατών καταστάσεων. Επό πλέον, για τα άτομα με μικρό ατομικό αριθμό θα πρέπει να προσθέσουμε πρώτα τις τροχιακές στροφορμές των ηλεκτρονίων των εξωτερικών στιβάδων ( l = l+ l + ), ανεξάρτητα να προσθέσουμε τα σπιν τους ( s = s + s + ), και μετά να προσθέσουμε το συνολικό σπιν στην συνολική τροχιακή στροφορμή ώστε να υπολογίσουμε την ολική στροφορμή ( = l + s). Η μέθοδος αυτή ονομάζεται σύζευξη LS (των Russell-Saundes). Στην άλλη περίπτωση πολύ βαριών πυρήνων θα πρέπει πρώτα να προσθέτουμε ξεχωριστά την τροχιακή στροφορμή και το σπιν ώστε να βρίσκουμε την συνολική στροφορμή του κάθε ηλεκτρονίου ( i = li + si) και μετά να αθροίζουμε τις επί μέρους ολικές στροφορμές ώστε να βρούμε την συνολική στροφορμή = + +. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται σύζευξη. ( ) 9.5 Οι κανόνες του Hund Η συμπλήρωση των στιβάδων με ηλεκτρόνια ακολουθεί την παραπάνω αλληλουχία με βάση και τους κανόνες του Hund. Οι κανόνες αυτοί είναι, () Το συνολικό σπιν S των ισοδύναμων ηλεκτρονίων στη βασική τους κατάσταση λαμβάνει την μέγιστη τιμή του, σε συμφωνία με την απαγορευτική αρχή του Pauli. () Οι τροχιακές στροφορμές των ηλεκτρονίων προστίθενται κατά τρόπο που να δίνουν την μέγιστη τιμή της ολικής στροφορμής L, που είναι συμβατή με τον ο κανόνα του Hund. () Για κάθε μη-πλήρη στιβάδα, η ολική στροφορμή J λαμβάνει τιμές J = L S όταν η στιβάδα είναι λιγότερο από ημιπλήρης και J = L+ S όταν η στιβάδα είναι περισσότερο από ημιπλήρης. 9-8

11 Π.χ. στο τριπλά ιονισμένο δυσπρόσιο (Dy + 9 ) υπάρχει η διάταξη 4 f στα ηλεκτρόνια. Κάθε ηλεκτρόνιο έχει l =, επομένως m l =,,,, δηλαδή 7 καταστάσεις, και με το σπιν 4 καταστάσεις. Από τον ο κανόνα τα πρώτα 7 ηλεκτρόνια θα έχουν παράλληλο σπιν και τα άλλα (αναγκαστικά) αντιπαράλληλα. Επομένως το συνολικό σπιν θα είναι 5/. Από τον ο κανόνα προκύπτει ότι θα πρέπει να τοποθετηθούν ώστε να έχουν τη μέγιστη τροχιακή στροφορμή, δηλαδή με την διάταξη m l σπιν Με συνολική στροφορμή L = 5. Από τον ο κανόνα θα έχουμε ότι J = L+ S = 5 /, αφού 9>7. Ο φασματοσκοπικός συμβολισμός της κατάστασης είναι 6 Η 5/ όπου το γράμμα συμβολίζει την συνολική τροχιακή στροφορμή, ο πάνω αριστερά δείκτης δείχνει τον εκφυλισμό S+ λόγω σπιν και ο κάτω δεξιά την συνολική στροφορμή. Στην γενική περίπτωση θα έχει την μορφή S + L. J 9.6 Το ατομικό μοντέλο των Thomas-Femi Η πρώτη θεωρία για τον υπολογισμό του κεντρικού δυναμικού αναπτύχθηκε από τους Τhomas (97) και Femi (98). Βασίζεται στην παραδοχή ότι το δυναμικό V() μεταβάλλεται πολύ αργά μέσα σ ένα μήκος κύματος του ηλεκτρονίου, έτσι ώστε αρκετά ηλεκτρόνια να μπορούν να τοποθετηθούν σε έναν όγκο όπου το V() μεταβάλλεται κατά ένα μικρό ποσοστό του. Επομένως, δύναται κανείς να εφαρμόσει την στατιστική κατανομή των ηλεκτρονίων (φερμιόνια). Επί πλέον, για μεγάλο αριθμό ηλεκτρονίων, οι κβαντικοί αριθμοί θα είναι μεγάλοι, ώστε να μπορεί κανείς να προσεγγίσει το πρόβλημα ημι-κλασικά. Στις συνηθισμένες θερμοκρασίες το T B είναι παντού πολύ μικρότερο του δυναμικού V(), εκτός από τα άκρα του ατόμου όπου η πιθανότητα να βρεθεί κάποιο ηλεκτρόνιο είναι πολύ μικρή. Γνωρίζουμε ότι σε ένα τρισδιάστατο αέριο Femi, η πυκνότητα των καταστάσεων (= αριθμός καταστάσεων ανά μονάδα όγκου στην περιοχή Ε, Ε+dE) θα δίνεται από την σχέση dn de / m = π E (9.40) Η επιφάνεια Femi στην θερμοκρασία του απόλυτου μηδενός προκύπτει από την σχέση E / F m / n= n( E) de = E F (9.4) π 0 Επομένως η ενέργεια Femi θα είναι EF ( π n) ενώ ( π n) / F / =, (9.4) m = (9.4) Η συνολική ενέργεια του συστήματος θα είναι 9-9

12 E F E = En( E) de = ne F 5 0 (9.44) E Η μέση ενέργεια Eave = = EF n 5 (9.45) p Η συνολική ενέργεια των ηλεκτρονίων θα πρέπει να είναι E + V = + V 0, ώστε m να μην μπορεί να διαφύγει στο άπειρο, όπου V=0. Η μέγιστη κινητική ενέργεια θα είναι η E, επομένως για θα έχουμε ότι F Emax = EF + V() 0. (9.46) Ας παραδεχθούμε ότι η μέγιστη κινητική ενέργεια είναι V() ώστε τα ηλεκτρόνια να μην διαφεύγουν, οπότε p / F mv ( ) = = V() F = ( π n) = (9.47) m m [ mv ( ) ] / Και τελικά n () = (9.48) π V() Όμως το ηλεκτροστατικό δυναμικό προσδιορίζεται από την εξίσωση του e Poisson για φορτία πυκνότητας en() d dv en( ) V = = e e d d εo [ mv ( ) ] / Αντικαθιστώντας το n () = έχουμε ότι π [ mv] / (9.49) d d( V) e d d = (9.50) π εo Θέτουμε bx (9.5) Ze Και V ( x) = χ( x) (9.5) o Όπου x είναι μια αδιάστατη ποσότητα. Προκύπτει ότι ( π ) / / / b= a 0,885 7/ oz aoz (9.5) Ενώ / Z χ χ 0 n () = 4π b x για (9.54) 0 χ < 0 Η εξίσωση του Poisson θα λάβει την μορφή / / d χ x χ χ 0 = για (9.55) dx 0 χ < 0 9-0

13 που αποτελεί την εξίσωση Thomas-Femi Οι οριακές συνθήκες που ακολουθεί η εξίσωση είναι Ze Για 0 V( ) (ισοδύναμα για x 0 χ ) (9.56) o Για V() 0(ισοδύναμα για x χ 0) (9.57) Πρόκειται για μια μη-γραμμική ας τάξης διαφορική εξίσωση που έχει έναν παγκόσμιο χαρακτήρα, αφού η μεταβλητή Ζ έχει εισέλθει στην παράμετρο b. Η λύση της δόθηκε το 9 από τους V. Bush και S.H. Caldwell. Αποδεικνύεται ότι η «ακτίνα» του ατόμου είναι αντιστρόφως ανάλογη της κυβικής ρίζας του ατομικού αριθμού, όπου ως ακτίνα ορίζουμε εκείνη μιας σφαίρας που περικλείει συγκεκριμένο ποσοστό ηλεκτρονίων. Αποδεικνύεται επίσης ότι για μικρές τιμές του x 0 ισχύει ότι χ( x),588x+ (9.58) Και για το δυναμικό προκύπτει ότι για 0 4/ e Z Z V( ) +,794 (9.59) o a o Η λύση της εξίσωσης Thomas-Femi συνήθως γίνεται με αριθμητικές μεθόδους και τα αποτελέσματα υπάρχουν σε πίνακες. 9.7 Η μέθοδος Hatee-Foc Ας αρχίσουμε με το κεντρικό δυναμικό που πρότεινε ο Hatee το 98. Παραδέχτηκε ότι τα ηλεκτρόνια κινούνται ανεξάρτητα μέσα σ ένα κεντρικό πεδίο που δημιουργεί ο πυρήνας και τα άλλα ηλεκτρόνια. Το πεδίο των ηλεκτρονίων μπορεί να υπολογιστεί από τις (άγνωστες) κατανομές πυκνότητας των ηλεκτρονίων, με έναν αυτοσυνεπή τρόπο. Έτσι για το ηλεκτρόνιο και με ανεξάρτητες κανονικοποιημένες συναρτήσεις του κάθε ηλεκτρονίου n ( ) ζητάμε λύσεις των εξισώσεων Ze e + u( ) d u( ) ε u( ) m o = o = Όπου (9.60) (9.6) Είναι προφανές ότι αυτές οι ολοκληρωτικο-διαφορικές εξισώσεις δεν μπορούν να λυθούν επ ακριβώς, αφού οι ζητούμενες συναρτήσεις u ( ) θα προκύψουν από την λύση των εξισώσεων. Ο Hatee θεώρησε σωστά ότι μπορεί να προκύψει λύση με διαδοχικές προσεγγίσεις, όπου ξεκινά κανείς με κάποιες «λογικές» συναρτήσεις u ( ) απ όπου προσδιορίζει νέες συναρτήσεις u ( ) κ.ο.κ. Ένα πλεονέκτημα των εξισώσεων του Hatee είναι ότι έχει ληφθεί ένας μέσος όρος ως προς τις γωνίες και επομένως προκύπτει ένα κεντρικό ισοδύναμο δυναμικό, όπου κινούνται τα ηλεκτρόνια. Εξ αιτίας του κεντρικού δυναμικού, οι λύσεις των 9-

14 κυματοσυναρτήσεων θα μπορούν να εκφραστούν ως γινόμενα ακτινικών συναρτήσεων και σφαιρικών αρμονικών. Τελικά τα (l + ) (ή λιγότερα) ηλεκτρόνια σε κάποια στιβάδα l θα κινούνται με το ίδιο δυναμικό και θα έχουν την ίδια ακτινική συνάρτηση. Όμως οι συναρτήσεις του Hatee αγνοούν την ανάγκη οι συναρτήσεις να είναι αντισυμμετρικές. Στην πράξη, οι συναρτήσεις του Hatee είναι της μορφής ψ (,, ) = u ( ) u ( ) u ( ) (9.6) N N N Και θα πρέπει η απαγορευτική αρχή του Pauli να ικανοποιηθεί μέσω της κατάλληλης επιλογής των συναρτήσεων. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι οι εξισώσεις του Hatee προκύπτουν από την βέλτιστη επιλογή των συναρτήσεων u ( ) μέσω της θεωρίας μεταβολών. Η χαμιλτονιανή χωρίς τον όρο σπιν-τροχιακού είναι της μορφής Ze e H = + (9.6) m o o > Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την αναμενόμενη τιμή της H με τις δοκιμαστικές συναρτήσεις ψ (,, N) = u( ) u( ) un( N). Θα έχουμε ότι * * Ze ψ H ψd d d N = u( ) u( ) d + m o (9.64) * * e + u( ) u( ) u( ) u( ) d d o > u είναι κανονικοποιημένες. Για να βρούμε την βέλτιστη αφού οι συναρτήσεις συνάρτηση ψ, θα μεταβάλλουμε τα ελαχιστοποιήσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα. Η εξάρτηση από το από τους όρους u ξεχωριστά το ένα από τα άλλα, ώστε να u προκύπτει Ze e u u d + u u u u d d = * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m o o > Όπου * = u ( ) H u ( ) d =(αναμενόμενη τιμή του τελεστή H ) (9.65) Ze e H u d (9.66) ( ) m + o o Αυτό θα γίνει ελάχιστο όταν η u γίνει ιδιοσυνάρτηση της H, που σημαίνει ότι θα πρέπει Hu = ε u Οι u( ) θα αποτελούν τις βέλτιστες συναρτήσεις για την ελαχιστοποίηση της συναρτησιακής. Η ενέργεια που αντιστοιχεί στην κυματοσυνάρτηση ψ θα προκύπτει από το ολοκλήρωμα 9-

15 e ψ ψ ε (9.67) * H d d d N = u( ) d d o > Όπου αφαιρούμε τον δεξιά όρο γιατί έχει υπολογιστεί δύο φορές στο άθροισμα των ενεργειών ε. Έτσι το άθροισμα των ε δεν είναι η συνολική ενέργεια, μολονότι το ε είναι η απαιτούμενη ενέργεια για την απομάκρυνση του () ηλεκτρονίου. Αυτό οφείλεται στο ότι η απομάκρυνση ενός ηλεκτρονίου επηρεάζει τις αυτοσυνεπείς λύσεις και επομένως αλλάζει τις ενέργειες των υπολοίπων ηελκτρονίων. Όμως το ε που υπολογίζεται, θα είναι μια καλή προσέγγιση για την απομάκρυνση ενός ηλεκτρονίου, όπως π.χ. με τον ιονισμό. Πρακτικά, ο τρόπος που εφαρμόζουμε την θεωρία του Hatee είναι ο εξής: - Ορίζουμε αρχικά κάποιο δυναμικό W () ( ) (συνήθως λαμβάνουμε το δυναμικό Thomas-Femi). Δηλαδή θέτουμε Ze e + 4 () u ( ) d W ( ) o πε o Με βάση αυτό λύνουμε την εξίσωση του Schödinge (Thomas-Femi) (9.68) () () () () + W ( ) φ ( ) = E φ ( ) m Από τις φ () ( ) υπολογίζουμε την δεύτερη προσέγγιση για το δυναμικό (9.69) Ze e W d () () ( ) = + φ ( ) o o (9.70) ( κ.ο.κ. μέχρι τα W n) ( ) να μην αλλάζουν σημαντικά με τις επόμενες προσεγγίσεις. 9.8 Διόρθωση Foc-Slate Ο Foc το 90 έδωσε μια βελτιωμένη προσέγγιση της μεθόδου του Hatee εισάγοντας τις αντισυμμετρικές συναρτήσεις του Slate. Ας ξεκινήσουμε από την συνάρτηση φ( q) φ( q) φn ( q) φ( q) φ( q) φn ( q) Φ= N! (9.7) φ ( q ) φ ( q ) φ ( q ) N N N N Όπου τα q i εκφράζουν τις χωρικές μεταβλητές και το σπιν. Αν υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της ενέργειας E = Φ H Φ ότι, θα προκύψει 9-

16 e 8πε * Ze e φ( q) φ ( q) ( ) ( ) m o 8πε o, * * φ( q) φ( q) φ ( q) φ ( q) dτdτ o, E = φ q φ q dτ + dτ dτ (9.7 Όπου η ολοκλήρωση γίνεται ως προς τον χώρο και τις παραμέτρους του σπιν. Ο παράγοντας 8 αντί για προκύπτει γιαί αθροίζονται όλα τα,, επομένως ο κάθε 4 όρος υπάρχει δύο φορές. Η σύγκριση με τις προηγούμενες σχέσεις δείχνει ότι υπάρχει ένας παραπάνω όρος (ο τελευταίος). Η μεταβολή ως προς τις συναρτήσεις φ θα δώσει τις σχέσεις (μέσω των πολλαπλασιαστών Lagange ώστε να ληφθούν υπόψη οι περιορισμοί λόγω της ορθογωνιότητας) Ze e φ ( q) φ ( q) dτ φ( q) πε o πε o * e φ ( q) φ( q) dτ φ q λ φ q = o + m 4 4 ( ) ( ) (9.7) Επειδή ο τελεστής στο αριστερό μέρος είναι hemitean, μπορεί να διαγωνοποιηθεί με έναν κατάλληλο μετασχηματισμό φ = u φ (9.74) i i όπου τα u i είναι ένας unitay πίνακας. Δηλαδή, τα λ λάβουν την μορφή λ = εδ (9.75) Μετά από πράξεις θα προκύψει η εξίσωση Hatee-Foc Ze e φ ( ) φ( ) + dτ φ( ) m o o ( ) * (9.76) e φ( ) φ( ) dτ φ( ) = ε φ( ) o ( ) spin Όπου το εκφράζει το σημείο υπολογισμού του ηλεκτρονίου και μεταβλητή ολοκλήρωσης. Αποδεικνύεται ότι το είναι η ε εκφράζει την ενέργεια που απαιτείται για την απομάκρυνση ενός ηλεκτρονίου. Επίσης ότι η ενέργεια που απαιτείται για την μετάπτωση ενός ηλεκτρονίου από την (i) στην () είναι ίση προς ε εi (θεώρημα του Koopman). Η εξίσωση που προέκυψε μοιάζει με την εξίσωση του Hatee, αλλά με την προσθήκη ενός όρου που ονομάζεται αλληλεπίδραση ανταλλαγής (exchange inteaction). Για να δούμε την διαφορά ανάμεσα στις δύο προσεγγίσεις, γράφουμε τον τελευταίο όρο της εξίσωσης του Hatee ως εξής 9-4

17 φ ( ) ( ) ( ) φ φ dτ = dτ dτ (9.77) ( ) H Θέτοντας ρ ( ) = eφ ( ) (9.78) Οπότε ρ H ( d ) = e (9.79) Ξαναγράφουμε τον τελευταίο όρο της εξίσωσης του Hatee ως άθροιση για όλα τα και με τον όρο H e ρ ( ) dτφ ( ) (9.80) o Αν προσθέσουμε τους όρους = στην εξίσωση Hatee-Foc (δύο τελευταίοι όροι) δεν αλλάζει τίποτε, γιατί είναι ίδιοι και αλληλοαναιρούνται. Τότε ο τελευταίος όρος λαμβάνει την μορφή * HF e φ( ) φ( ) e ρ (, ) dτ φ( ) = dτφ ( ) (9.8) o ( ) spin HF H Όπου ορίζουμε την πυκνότητα φορτίου ανταλλαγής ρ (αντί της ρ ) την ποσότητα * * φ( ) φ( ) φ( ) φ( ) HD ρ = e * (9.8) φ ( ) φ ( ) spin Αυτή εσωκλείει την αρχή του Pauli και τα ηλεκτρόνια με τα ίδια σπιν είναι συσχετισμένα (coelated). HF Αποδεικνύεται ότι ρ d = e (9.8) HF Ουσιαστικά, ο αριθμητής του ρ σημαίνει ότι καταστρέφω ένα ηλεκτρόνιο () στην θέση [όρος φ ( )] και το δημιουργώ στο [όρος φ * ( ) ]. Ταυτόχρονα, καταστρέφω ένα ηλεκτρόνιο () στο [όρος φ ( ) ] και το δημιουργώ στο [όρος φ * ( )]. Δηλαδή, ανταλλάσσω τα ηλεκτρόνια () και () στις θέσεις και. Ο παρανομαστής απλά κανονικοποιεί τα αποτέλεσμα. Η άθροιση ως προς όλα τα () δείχνει όλες τις ανταλλαγές ηλεκτρονίων () με όλα τα ηλεκτρόνια. Η χωρική κατανομή της πυκνότητας ανταλλαγής ρ υπολογίζεται δύσκολα στην γενική περίπτωση. Όμως, στην περίπτωση των ελεύθερων ηλεκτρονίων, λαμβάνει την εξής απλή μορφή HF e ρ (, ) exp = i ( i) ( ) (9.84) V Και ο μέσος όρος ως προς τα ηλεκτρόνια (μέσος όρος ως προς ) δίνει ρ HF g, ( Fcos F sin F) 6 ( ) o qen () = (9.85) V g F HF 9-5

18 H Θέτοντας ως πυκνότητα του Hatee τον όρο ρ = ρ (9.86) και συνδυάζοντας τις σχέσεις, βρίσκουμε για την εξίσωση Hatee-Foc την μορφή HF ( ) (, ) Ze e ρ ρ dτ φ( ) = ε φ( ) m o (9.87) o Και εδώ, μια μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων είναι η μόνη δυνατή λύση. Όμως υπάρχει μια επί πλέον δυσκολία ως προς την εξίσωση του Hatee. Επειδή το εμφανίζεται μέσα στον τρίτο όρο, θα υπάρχει μια διαφορετική εξίσωση Hatee-Foc για κάθε ηλεκτρόνιο. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση του Slate που λαμβάνει τον HF μέσο όρο ως προς το της πυκνότητας ρ. Τότε θα έχουμε ότι * HF * * φ( ) φ( ) ρ (, ) φ( ) φ( ) φ( ) φ( ) HF,, ρ = e * = * (9.88) φ ( ) φ ( ) φ ( ) φ ( ) και η πυκνότητα φορτίου γίνεται HF Ze e ρ( ) ρ (, ) dτ φ( ) = ε φ( ) m o (9.89) o που περιλαμβάνει τις ίδιες αλληλεπιδράσεις για όλα τα ηλεκτρόνια. Ο τρίτος αυτός όρος είναι συνάρτηση μόνο του και συνδυαζόμενος με το δυναμικό Coulomb δίνει ένα τοπικό πεδίο που ισχύει για όλα τα ηλεκτρόνια. Αυτός ο όρος περιλαμβάνει τις αλληλεπιδράσεις των ηλεκτρονίων και μπορεί να υπολογιστεί με έναν αυτοσυνεπή τρόπο ή αναλυτικά σε διάφορες απλές περιπτώσεις. 9.9 Παράδειγμα λύσης εξισώσεων Hatee-Foc Στα άτομα ή τα ιόντα με πλήρεις στιβάδες (ή υποστιβάδες), όπως π.χ. στο He, Li +, Be, B + κλπ, αποδεικνύεται ότι το δυναμικό Hatee-Foc είναι σφαιρικά συμμετρικό, έτσι ώστε τα ηλεκτρόνια κινούνται σε ένα κεντρικό δυναμικό με ιδιοσυναρτήσεις της μορφής u = R () Y (, θ φ). Έτσι για την περίπτωση του Be η nlm nl lm βασική κατάσταση είναι s s ( S ) πλήρης. Η ορίζουσα του Slate θα είναι u ( q ) u ( q ) u ( q ) u ( q ) s s s s u ( q ) u ( q ) u ( q ) u ( q ) s s s s ψ ( q, q, q, q4) = (9.90) 4! u ( q ) u ( q ) u ( q ) u ( q ) s s s s u ( q ) u ( q ) u ( q ) u ( q ) Και το δυναμικό Hatee-Foc Όπου s 4 s 4 s 4 s 4 4e V = + V + V + V + V V + V + V + V (9.9) HF d d d d ex ex ex ex s s s s s s s s oi ( ) 9-6

19 d * e Vs( ) = us( ) us( ) d (9.9) o ex * e Vs () f() = us( ) f( ) d us() (9.9) o Για κλειστές στιβάδες τα χωρικά μέρη των κυματοσυναρτήσεων us και us είναι τα ίδια (το ίδιο ισχύει για τα us, us ). Έτσι γράφουμε ότι u ( q) = u s( ) α, u ( q) = u s( ) α s s u ( q) = u ( ) β, u ( q) = u ( ) β s s s s (9.94) Από τις εξισώσεις Hatee-Foc θα προκύψουν οι δύο ολοκληρωτικο-διαφορικές εξισώσεις 4e d d ex + Vs() + Vs() Vs () us() = Esus() m o 4e d d ex + Vs() + Vs() Vs () us() = Esus() m o (9.95) Με E s = E = E και E s s s = E = E (9.96) s s Αφού Y00 =, μπορούμε να γράψουμε τα τροχιακά ως 4π Ps() Ps() us() = Y00, us() Y00 = (9.97) Οπότε προκύπτουν οι εξισώσεις d l( l+ ) 4e d d ex + + V s() + Vs() Vs () Ps() = EsPs() md m o (9.98) d l( l+ ) 4e d d ex + + V s() + Vs() Vs () Ps() = EsPs() md m o 9.0 Λύσεις των εξισώσεων Hatee-Foc Είπαμε ότι οι λύσεις των εξισώσεων Hatee-Foc προκύπτουν από τις διαδοχικές προσεγγίσεις με αυτοσυνεπή τρόπο. Όμως για να γίνουν σωστά οι αριθμητικοί υπολογισμοί, συνήθως χρησιμοποιούνται αναλυτικές συναρτήσεις, που αποτελούν καλές προσαρμογές των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Συνήθως καλές προσεγγίσεις επιτυγχάνονται με τα τροχιακά του Slate που έχουν γενική μορφή n a χ ( ) = N e Y ( θφ, ) (9.99) nlm Όπου n είναι ένας θετικός ακέραιος, α ένας εκθέτης και Ν μια ποσότητα κανονικοποίησης n+ ( a) [( n)! ] lm N = (9.00) 9-7

20 Οι συναρτήσεις του Slate μοιάζουν με τις ιδιοσυναρτήσεις του υδρογόνου για μεγάλα. Όμως, οι συναρτήσεις χ nlm δεν περιέχουν κόμβους, εν αντιθέσει με τις συναρτήσεις Rnl () του υδρογόνου που έχουν n- κόμβους. Συναρτήσει των χ nlm μπορούμε να αναλύσουμε τα χωρικά τροχιακά των Hatee- Foc u ( ) με την μορφή N u ( ) = Ciχi( ) (9.0) i= Π.χ. για την βασική κατάσταση του νέου έχει βρεθεί ότι μια καλή προσέγγιση δίνει ότι us = Ps( ) Y00( θ, φ) = 0,977χ+ 0,044899χ + 0,00058χ 0,00064χ ,0055χ + 0,0999χ 5 6 (9.0) us = Ps( ) Y00( θ, φ) = 0, 09χ 0,0065χ + 0,860χ+ 0,66899χ4 + (9.0) + 0,090χ5 0,87χ6 up = Pp ( ) Y0( θ, φ) = 0, 799χ7 + 0,58χ8 + 0,9χ9 + 0, 087χ0 (9.04) Όπου χ = N exp( 9,48486 ) Y ( θφ, ) (9.05α) 00 χ = N exp( 5,56590 ) Y ( θφ, ) (9.05β) 00 χ = N exp(,9684 ) Y ( θφ, ) (9.05γ) 00 χ = N exp(,864 ) Y ( θφ, ) (9.05δ) χ = N exp( 4,850 ) Y ( θφ, ) (9.05ε) χ = N exp( 7,794 ) Y ( θφ, ) (9.05στ) χ = N exp(,4508 ) Y ( θφ, ) (9.05ζ) χ = N exp(,868 ) Y ( θφ, ) (9.05η) χ = N exp( 4,48489 ) Y ( θφ, ) (9.05θ) χ = N exp( 9,464 ) Y ( θφ, ) (9.05ι) Με βάση αυτές τις συναρτήσεις μπορεί να υπολογιστεί η ακτινική πυκνότητα D () ρ() dv q P() = = Όπου q nl είναι ο αριθμός των ισοδύναμων ηλεκτρονίων στην στιβάδα (nl). Που για το στοιχείο νέον δίνει ότι s s p nl nl nl (9.06) D () = P() + P () + 6 P () (9.07) 9-8

21 Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.